O documento discute uma dúvida sobre a divisibilidade de combinações de elementos tomados k a k de p^a (p elevado a a) por p. A solução mostra que o expoente de p no numerador da fórmula binomial é maior que no denominador, portanto p divide a combinação.

1. ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES
PUC-RIO - CASO DE DIVISIBILIDADE
ClAudio Buffara – Rio de Janeiro

2. Uma dúvida bem legal foi publicada na lista PUC-RIO sobre divisibilidade, e
hoje estarei compartilhando em nosso blog.

3. DÚVIDA
Estou em cima desse exercício de teoria dos números faz tempo e não cheguei
a nada, alguém tem alguma dica?
Mostrar que o número de combinações de p^a (p elevado a a) elementos
tomados k a k é divisível por p, supondo p^a>k (acho que também é
necessário que a>1).
Formulei isso assim:
p^a!/(k!(p^a-k)!) = 0 (mod p)

4. SOLUÇÃO
Um jeito mais fácil é usar a velha e, espero, conhecida fórmula para o
expoente de p em n! Igual a [n/p] + [n/p^2] + [n/p^3] + ....
O expoente de p no numerador de Binom (p^m,k) (1 <= k <= p^m - 1) é:
[p^m/p] + [p^m/p^2] + ... + [p^m/p^(m-1)] + [p^m/p^m] =
p^(m-1) + p^(m-2) + ... + p + 1.
O expoente de p no denominador de Binom(p^m,k) é a soma de:
[k/p] + [k/p^2] + [k/p^3] + ....

5. e
[(p^m-k)/p] + [(p^m-k)/p^2] + [(p^m-k)/p^3] + ...
Mas:
[k/p^j] + [(p^m - k)/p^j] <= [(k + (p^m-k))/p^j] = [p^m/p^j] = p^(m-j).
Além disso, para k = 1, teremos:
[1/p^j] + [(p^m - 1)/p^j] = p^(m-j) - 1 < p^(m-j) = [p^m/p^j]
A partir dessas duas desigualdades é fácil concluir que o expoente de p no
numerador é estritamente maior do que o expoente de p no denominador, de
modo que p divide Binom(p^m,k).
Confira a discussão completa em:
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.200506/msg00231.html