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A palavra logaritmo foi inventada por
John Napier. A sua origem é grega e
significa a razão dos números –
“logos” significa razão e “aritmo”,
número. O conceito de logaritmo foi
introduzido pelo matemático escocês
John Napier (1550-1617) e
aperfeiçoado pelo inglês Henry
Briggs (1561-1630) Em 1614 Neper
publicou o seu trabalho sobre
logaritmos no livro “Descrição das
Maravilhosas Regras dos Logaritmos”
no qual expõe o uso dos logaritmos
• A invenção dos logaritmos no século XVI é
comparável ao aparecimento dos computadores no
século XX - foi um grande salto na realização das
operações aritméticas e representou para a
astronomia e para a navegação algo muito próximo
do que hoje o computador representa para essas
mesmas áreas.
Transformando os produtos em somas e os quocientes em diferenças, o
uso dos logaritmos conseguiu diminuir em muito o tempo que os
astrônomos gastavam nos seus cálculos.
A ideia é bastante simples. Se for possível escrever dois números
positivos quaisquer na forma de potências com a mesma base, então
multiplicar esses números equivale a somar os expoentes respectivos.
• DEFINIÇÃO
• Dados os números reais b (positivo e diferente de
1), N (positivo) e x , que satisfaçam a relação bx
=
N, dizemos que x é o logaritmo de N na base b.
Isto é expresso simbolicamente da seguinte forma:
logb
N = x. Neste caso, dizemos que b é a base do
sistema de logaritmos, N é o logaritmando ou
antilogaritmo e x é o logaritmo.
1. Quando a base do sistema de logaritmos é
igual a 10 , usamos a expressão logaritmo
decimal e na representação simbólica
escrevemos somente logN ao invés de
log10
N.
2. Assim é que quando escrevemos logN = x ,
devemos concluir pelo que foi exposto, que
10x
= N.
2)Os logaritmos decimais (base 10)
normalmente são números decimais
onde a parte inteira é denominada
característica e a parte decimal é
denominada mantissa. Que são
logaritmos decimais tabelados, que e
possível consultado uma tábua de
logaritmo (que foi desenvolvida por Henry
Briggs, matemático inglês do século XVI.
3) Da definição de logaritmo, infere-se
(conclui-se) que somente os números
reais positivos possuem logaritmo.
Assim, não têm sentido as expressões
log3
(-9), log2
0 , etc.
Existe também um sistema de logaritmos chamado
neperiano (em homenagem a John Napier - matemático
escocês do século XVI, inventor dos logaritmos), cuja
base é o número irracional e = 2,7183... e indicamos
este logaritmo pelo símbolo ln.
Assim, loge
M = ln M.
Este sistema de logaritmos, também conhecido como
sistema de logaritmos naturais, tem grande aplicação no
estudo de diversos fenômenos da natureza.
1. É fácil demonstrar as seguintes
propriedades imediatas dos logaritmos,
todas decorrentes da definição:
2. O logaritmo da unidade em qualquer base é
nulo, ou seja: logb
1 = 0 porque b0
= 1.
3. O logaritmo da base é sempre igual a 1, ou
seja: logb
b = 1 , porque b1
= b.) logb
bk
= k ,
porque bk
= bk
.
4. Se logb
M = logb
N então podemos concluir
que M = N. Esta propriedade é muito
utilizada na solução de exercícios
envolvendo equações onde aparecem
logaritmos (equações logarítmicas).
5. Se blogbM
= M ou seja: b elevado ao logaritmo
de M na base b é igual a M.
PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DOS LOGARITMOS
P1 - Logaritmo De Um Produto
O logaritmo de um produto é igual a soma dos logaritmos dos fatores, ou
seja:logb
(M.N) = logb
M + logb
N
P2 - Logaritmo De Um Quociente
O logaritmo de uma fração ordinária é igual a diferença entre os
logaritmos do numerador da fração e do denominador, ou seja:logb
(M/N)
= logb
M - logb
N
Nota: Chamamos de cologaritmo de um número positivo N numa base b,
ao logaritmo do inverso multiplicativo de N, também na base b. Ou
seja: cologb
N = logb
(1/N) = logb
1 - logb
N = 0 - logb
N = - logb
N. (menos
log de N na base b).
P3 - Logaritmo De Uma Potência
Quando um logaritmo estiver elevado a um expoente, na próxima
passagem esse expoente irá multiplicar o resultado desse logaritmo.
Temos a seguinte fórmula, facilmente demonstrável: logb
Mk
= k.logb
M.
• P4 - Mudança De Base
• Se soubermos o logaritmo de N na base b e
desejamos obter o logaritmo de N numa
base a, essa mudança de base, muito
importante na solução de exercícios, poderá
ser feita de acordo com a fórmula a seguir,
cuja demonstração não apresenta
dificuldades, aplicando-se os conhecimentos
aqui expostos.
•
APLICAÇÕES LOGARITMOS NO COTIDIANO
Os logaritmos possuem inúmeras aplicações no
cotidiano, a Física e a Química utilizam as funções
logarítmicas nos fenômenos em que os números
adquirem valores muito grandes, tornando-os
menores, facilitando os cálculos e a construção de
gráficos.
Na computação, é utilizado o logaritmo na base 2 para
representar dígitos de informação (bits).
Na física, a escala logarítmica é utilizada em diversas
aplicações.
Uma delas é a escala de decibéis, que mede a
intensidade de sons.
Ela é uma escala logarítmica também na base 10.
Na química, por sua vez, os logaritmos são aplicados
para calcular o pH (potencial hidrogeniônico) de uma
solução.
Na geologia, os logaritmos permitem medir a
amplitude (ou a “força”) de algum abalo sísmico
através da Escala Richter. A base utilizada, neste caso,
é a 10, de modo que um abalo sísmico com 6 pontos
nesta escala é 10 vezes mais forte do que um abalo
com 5 pontos. Há também a Escala de Mercalli, que
não utiliza conceitos de logaritmos e é um pouco
menos precisa, sendo pouco utilizada na prática.
• A escala Richter foi desenvolvida por
Charles Richter e Beno Gutenberg, no
intuito de medir a magnitude de um
terremoto provocado pelo movimento
das placas tectônicas. As ondas
produzidas pela liberação de energia
do movimento das placas podem
causar desastres de grandes
proporções.
Os estudos de Charles e Beno resultaram em uma
escala logarítmica denominada Richter, que possui
pontuação de 0 a 9 graus. A magnitude (graus) é o
logaritmo da medida das amplitudes (medida por
aparelhos denominados sismógrafos) das ondas
produzidas pela liberação de energia do terremoto.
A fórmula utilizada é a seguinte:
onde M: magnitude;
A: amplitude máxima;
A0
: amplitude de referência.
M = log A – log A0
• Assim se compararmos um terremoto de 6
graus com outro de 8 graus, de magnitude,
pela formula chegaremos ao resultado que
as ondas do terremoto A2
possuem
amplitudes 100 vezes mais intensas do que a
do terremoto A1:
• M1
– M2
= (log A1
– log A0
) – (log A2
– log A0
)
• M1
– M2
= (log A1
– log A0
) – (log A2
– log A0)
• A2
= 100A1
Para calcular a energia liberada por um terremoto,
usamos a seguinte fórmula:
onde I: varia de 0 a 9
E: energia liberada em kW/h
E0
: 7 x 10-3
kW/h.
I = (2/3)log10(E/E0)
Assim, de acordo com a fórmula, a energia liberada
por um terremoto de 6 graus na escala Richter é de 7 x
106
kW/h.
CONCLUSÃO
O logarítmo nunca morrerá pela simples razão de que
as variações exponencial e logarítmica são partes
vitais da natureza e da análise. Conseqüentemente, um
estudo das propriedades da função logarítmica e de
sua inversa, a função exponencial, permanecerá
sempre uma parte importante do ensino da matemática
e de outras ciências.
ProfVania Lima

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"Somos Físicos" Logarítmos

  • 1.
  • 2. A palavra logaritmo foi inventada por John Napier. A sua origem é grega e significa a razão dos números – “logos” significa razão e “aritmo”, número. O conceito de logaritmo foi introduzido pelo matemático escocês John Napier (1550-1617) e aperfeiçoado pelo inglês Henry Briggs (1561-1630) Em 1614 Neper publicou o seu trabalho sobre logaritmos no livro “Descrição das Maravilhosas Regras dos Logaritmos” no qual expõe o uso dos logaritmos
  • 3. • A invenção dos logaritmos no século XVI é comparável ao aparecimento dos computadores no século XX - foi um grande salto na realização das operações aritméticas e representou para a astronomia e para a navegação algo muito próximo do que hoje o computador representa para essas mesmas áreas.
  • 4. Transformando os produtos em somas e os quocientes em diferenças, o uso dos logaritmos conseguiu diminuir em muito o tempo que os astrônomos gastavam nos seus cálculos. A ideia é bastante simples. Se for possível escrever dois números positivos quaisquer na forma de potências com a mesma base, então multiplicar esses números equivale a somar os expoentes respectivos.
  • 5. • DEFINIÇÃO • Dados os números reais b (positivo e diferente de 1), N (positivo) e x , que satisfaçam a relação bx = N, dizemos que x é o logaritmo de N na base b. Isto é expresso simbolicamente da seguinte forma: logb N = x. Neste caso, dizemos que b é a base do sistema de logaritmos, N é o logaritmando ou antilogaritmo e x é o logaritmo.
  • 6. 1. Quando a base do sistema de logaritmos é igual a 10 , usamos a expressão logaritmo decimal e na representação simbólica escrevemos somente logN ao invés de log10 N. 2. Assim é que quando escrevemos logN = x , devemos concluir pelo que foi exposto, que 10x = N.
  • 7. 2)Os logaritmos decimais (base 10) normalmente são números decimais onde a parte inteira é denominada característica e a parte decimal é denominada mantissa. Que são logaritmos decimais tabelados, que e possível consultado uma tábua de logaritmo (que foi desenvolvida por Henry Briggs, matemático inglês do século XVI. 3) Da definição de logaritmo, infere-se (conclui-se) que somente os números reais positivos possuem logaritmo. Assim, não têm sentido as expressões log3 (-9), log2 0 , etc.
  • 8. Existe também um sistema de logaritmos chamado neperiano (em homenagem a John Napier - matemático escocês do século XVI, inventor dos logaritmos), cuja base é o número irracional e = 2,7183... e indicamos este logaritmo pelo símbolo ln. Assim, loge M = ln M. Este sistema de logaritmos, também conhecido como sistema de logaritmos naturais, tem grande aplicação no estudo de diversos fenômenos da natureza.
  • 9. 1. É fácil demonstrar as seguintes propriedades imediatas dos logaritmos, todas decorrentes da definição: 2. O logaritmo da unidade em qualquer base é nulo, ou seja: logb 1 = 0 porque b0 = 1. 3. O logaritmo da base é sempre igual a 1, ou seja: logb b = 1 , porque b1 = b.) logb bk = k , porque bk = bk . 4. Se logb M = logb N então podemos concluir que M = N. Esta propriedade é muito utilizada na solução de exercícios envolvendo equações onde aparecem logaritmos (equações logarítmicas). 5. Se blogbM = M ou seja: b elevado ao logaritmo de M na base b é igual a M.
  • 10. PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DOS LOGARITMOS P1 - Logaritmo De Um Produto O logaritmo de um produto é igual a soma dos logaritmos dos fatores, ou seja:logb (M.N) = logb M + logb N P2 - Logaritmo De Um Quociente O logaritmo de uma fração ordinária é igual a diferença entre os logaritmos do numerador da fração e do denominador, ou seja:logb (M/N) = logb M - logb N Nota: Chamamos de cologaritmo de um número positivo N numa base b, ao logaritmo do inverso multiplicativo de N, também na base b. Ou seja: cologb N = logb (1/N) = logb 1 - logb N = 0 - logb N = - logb N. (menos log de N na base b). P3 - Logaritmo De Uma Potência Quando um logaritmo estiver elevado a um expoente, na próxima passagem esse expoente irá multiplicar o resultado desse logaritmo. Temos a seguinte fórmula, facilmente demonstrável: logb Mk = k.logb M.
  • 11. • P4 - Mudança De Base • Se soubermos o logaritmo de N na base b e desejamos obter o logaritmo de N numa base a, essa mudança de base, muito importante na solução de exercícios, poderá ser feita de acordo com a fórmula a seguir, cuja demonstração não apresenta dificuldades, aplicando-se os conhecimentos aqui expostos. •
  • 12. APLICAÇÕES LOGARITMOS NO COTIDIANO Os logaritmos possuem inúmeras aplicações no cotidiano, a Física e a Química utilizam as funções logarítmicas nos fenômenos em que os números adquirem valores muito grandes, tornando-os menores, facilitando os cálculos e a construção de gráficos. Na computação, é utilizado o logaritmo na base 2 para representar dígitos de informação (bits).
  • 13. Na física, a escala logarítmica é utilizada em diversas aplicações. Uma delas é a escala de decibéis, que mede a intensidade de sons. Ela é uma escala logarítmica também na base 10.
  • 14. Na química, por sua vez, os logaritmos são aplicados para calcular o pH (potencial hidrogeniônico) de uma solução.
  • 15. Na geologia, os logaritmos permitem medir a amplitude (ou a “força”) de algum abalo sísmico através da Escala Richter. A base utilizada, neste caso, é a 10, de modo que um abalo sísmico com 6 pontos nesta escala é 10 vezes mais forte do que um abalo com 5 pontos. Há também a Escala de Mercalli, que não utiliza conceitos de logaritmos e é um pouco menos precisa, sendo pouco utilizada na prática.
  • 16. • A escala Richter foi desenvolvida por Charles Richter e Beno Gutenberg, no intuito de medir a magnitude de um terremoto provocado pelo movimento das placas tectônicas. As ondas produzidas pela liberação de energia do movimento das placas podem causar desastres de grandes proporções.
  • 17. Os estudos de Charles e Beno resultaram em uma escala logarítmica denominada Richter, que possui pontuação de 0 a 9 graus. A magnitude (graus) é o logaritmo da medida das amplitudes (medida por aparelhos denominados sismógrafos) das ondas produzidas pela liberação de energia do terremoto. A fórmula utilizada é a seguinte: onde M: magnitude; A: amplitude máxima; A0 : amplitude de referência. M = log A – log A0
  • 18. • Assim se compararmos um terremoto de 6 graus com outro de 8 graus, de magnitude, pela formula chegaremos ao resultado que as ondas do terremoto A2 possuem amplitudes 100 vezes mais intensas do que a do terremoto A1: • M1 – M2 = (log A1 – log A0 ) – (log A2 – log A0 ) • M1 – M2 = (log A1 – log A0 ) – (log A2 – log A0) • A2 = 100A1
  • 19. Para calcular a energia liberada por um terremoto, usamos a seguinte fórmula: onde I: varia de 0 a 9 E: energia liberada em kW/h E0 : 7 x 10-3 kW/h. I = (2/3)log10(E/E0) Assim, de acordo com a fórmula, a energia liberada por um terremoto de 6 graus na escala Richter é de 7 x 106 kW/h.
  • 20. CONCLUSÃO O logarítmo nunca morrerá pela simples razão de que as variações exponencial e logarítmica são partes vitais da natureza e da análise. Conseqüentemente, um estudo das propriedades da função logarítmica e de sua inversa, a função exponencial, permanecerá sempre uma parte importante do ensino da matemática e de outras ciências. ProfVania Lima