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ANÁLISE COMBINATÓRIA FATORIAL 5! = 5.4.3.2.1 =  120 4! = 4.3.2.1 =  24 3! = 3.2.1 =  6 2! = 2.1 =  2 1! =  1 0! =  1 CONVENÇÃO Exemplo:  Calcular o valor de: a) 4! + 3! b) 7! 24 + 6 30 7.6.5.4.3.2.1 5040 Observe que: 4!+3!    7! c)  n! = n.(n    1) . (n    2) . (n    3). .... 2 . 1 = 8! 10. 9. 8! 90 = 28/06/11
d)  –  49! 49! 50 . 49! 49! (50 – 1) 49! 49 O conjunto solução de: é: (n – 1)! = 210 (n + 1)! = (n + 1).n.(n – 1).(n – 2).(n – 3).... (n + 1)! = (n + 1).n.(n – 1)! (n + 1).n.(n – 1)! (n + 1).n = 210 n 2  + n – 210 = 0 n’ = 14 n’’ = - 15 ( não   convém ) Determine a soma dos valores  de  m  que satisfazem a equação (m – 3)! = 1  (m – 3)! = 1! ou (m – 3)! = 0! m – 3 = 1 m = 4 m – 3 = 0 m = 3 Logo a soma dos valores de m é 7 28/06/11
PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM O princípio fundamental da contagem, ou princípio multiplicativo,  estabelece um método indireto de contagem de um determinado evento,  sem que haja a necessidade de descrever todas as possibilidades.   Pode ser enunciado dessa forma: Se um Evento E pode acontecer por  n  etapas sucessivas e  independentes de modo que: E 1  é o número de possibilidades da 1ª Etapa E 2  é o número de possibilidades da 2ª Etapa : : E n  é o número de possibilidades da n-ésima Etapa Então E 1  . E 2  . ......... .E k  é o número total de possibilidades do evento ocorrer. Quantas placas para identificação de veículos podem ser confeccionadas  com 3 letras e 4 algarismos?  (Considere 26 letras, supondo que não há nenhuma restrição.) 26 26 26 10 10 10 10 = 175. 760. 000 28/06/11
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Análise combinatória (resumo e exercícios)

  • 1. ANÁLISE COMBINATÓRIA FATORIAL 5! = 5.4.3.2.1 = 120 4! = 4.3.2.1 = 24 3! = 3.2.1 = 6 2! = 2.1 = 2 1! = 1 0! = 1 CONVENÇÃO Exemplo: Calcular o valor de: a) 4! + 3! b) 7! 24 + 6 30 7.6.5.4.3.2.1 5040 Observe que: 4!+3!  7! c) n! = n.(n  1) . (n  2) . (n  3). .... 2 . 1 = 8! 10. 9. 8! 90 = 28/06/11
  • 2. d) – 49! 49! 50 . 49! 49! (50 – 1) 49! 49 O conjunto solução de: é: (n – 1)! = 210 (n + 1)! = (n + 1).n.(n – 1).(n – 2).(n – 3).... (n + 1)! = (n + 1).n.(n – 1)! (n + 1).n.(n – 1)! (n + 1).n = 210 n 2 + n – 210 = 0 n’ = 14 n’’ = - 15 ( não convém ) Determine a soma dos valores de m que satisfazem a equação (m – 3)! = 1 (m – 3)! = 1! ou (m – 3)! = 0! m – 3 = 1 m = 4 m – 3 = 0 m = 3 Logo a soma dos valores de m é 7 28/06/11
  • 3. PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM O princípio fundamental da contagem, ou princípio multiplicativo, estabelece um método indireto de contagem de um determinado evento, sem que haja a necessidade de descrever todas as possibilidades. Pode ser enunciado dessa forma: Se um Evento E pode acontecer por n etapas sucessivas e independentes de modo que: E 1 é o número de possibilidades da 1ª Etapa E 2 é o número de possibilidades da 2ª Etapa : : E n é o número de possibilidades da n-ésima Etapa Então E 1 . E 2 . ......... .E k é o número total de possibilidades do evento ocorrer. Quantas placas para identificação de veículos podem ser confeccionadas com 3 letras e 4 algarismos? (Considere 26 letras, supondo que não há nenhuma restrição.) 26 26 26 10 10 10 10 = 175. 760. 000 28/06/11
  • 4. Quantos números de telefones com sete algarismos e prefixo 244 podem ser formados ? Alguns números possíveis 244 3215 244 5138 244 0008 244 2344 244 0000 : : : Usando o princípio fundamental da contagem: 244 10 10 10 10 = 10 000 números fixo 28/06/11
  • 5. Numa olimpíada de Matemática concorrem 100 participantes e serão atribuídos dois prêmios, um para o 1º lugar e outro para o 2º lugar. De quantas maneiras poderão ser distribuídos esses prêmios? 99 100 = 9900 maneiras 28/06/11
  • 6. TIPOS DE AGRUPAMENTOS USA TODOS ELEMENTOS NÃO USA TODOS ELEMENTOS PERMUTAÇÃO ARRANJO COMBINAÇÃO IMPORTA ORDEM NÃO IMPORTA ORDEM P n = n! FORMULÁRIO 28/06/11
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  • 9.
  • 10.
  • 11.
  • 12.