Apostila de MatemáticaProfessor: Linhares e Júlio. [...] a Matemática procura compreender os modelos                que pe...
Análise CombinatóriaFatorial de um número:  n!=n.(n-1).(n-2)...3.2.1Definições especiais: 0!=1                      1!=1  ...
5) Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar com o algarismos dosistema decimal (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) sem o...
Permutação Simples: É um caso particular de arranjo simples. É o tipo deagrupamento ordenado onde entram todos os elemento...
9) Resolver a equação C m ,3  C m , 2  0.    m!           m!                       03!(m  3)! 2!(m  2)!m.(m  1).(m ...
Binômio de NewtonIntrodução    Pelos produtos notáveis, sabemos que (a+b)² = a² + 2ab + b².   Se quisermos calcular (a + b...
É também imediato que, para qualquer n natural, temos:  Exemplos:Propriedades dos coeficientes binomiais                  ...
então  Essa igualdade é conhecida como relação de Stifel (Michael Stifel,matemático alemão, 1487 - 1567).  Exemplos:Triâng...
Construção do triângulo de Pascal   Para construir o triângulo do Pascal, basta lembrar as seguintespropriedades dos númer...
Propriedade do triângulo de PascalP1 Em Qualquer linha, dois números binomiais eqüidistantes dosextremos são iguais.  De f...
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21                                   1 + 4 + 10 + 20 = 35P4 Teorema das diagonais: A soma dos elem...
Observe que os coeficientes dos desenvolvimentos foram o triângulo dePascal. Então, podemos escrever também:  De modo gera...
Fórmula do termo geral do binômio  Observando os termos do desenvolvimento de (a + b)n, notamosque cada um deles é da form...
Cilindro    Na figura abaixo, temos dois planos paralelos e distintos,     , umcírculo R contido em e uma reta r que inter...
Chamamos de cilindro, ou cilindro circular, o conjunto de todos ossegmentos  congruentes e paralelos a r.Elementos do cili...
Áreas     Num cilindro, consideramos as seguintes áreas:a) área lateral (AL)    Podemos observar a área lateral de um cili...
Volume   Para obter o volume do cilindro, vamos usar novamente o princípio deCavalieri.    Dados dois sólidos com mesma al...
Esfera  Chamamos de esfera de centro O e raio R o conjunto de pontos doespaço cuja distância ao centro é menor ou igual ao...
Partes da esferaSuperfície esférica  A superfície esférica de centro O e raio R é o conjunto de pontos does[aço cuja distâ...
Elementos do cone circular     Dado o cone a seguir, consideramos os seguintes elementos:        altura: distância h do vé...
Da figura, e pelo Teorema de Pitágoras, temos a seguinte relação:                                G2 = h2 +                ...
Áreas Desenvolvendo a superfície lateral de um cone circular reto, obtemos umsetor circular de raio g e comprimento      :...
Volume    Para determinar o volume do cone, vamos ver como calcular volumesde sólidos de revolução. Observe a figura:     ...
CONJUNTOS NUMÉRICOS Conjunto dos números naturais (IN)                 IN={0, 1, 2, 3, 4, 5,...}  Um subconjunto importan...
 Conjunto dos números racionais (Q)    Os números racionais são todos aqueles que podem ser colocados naforma de fração (...
 Conjunto dos números irracionais    Os números irracionais são decimais infinitas não periódicas, ou seja,os números que...
Determinantes  Como já vimos, matriz quadrada é a que tem o mesmo número de linhase de colunas (ou seja, é do tipo nxn).  ...
Portanto, o determinante de uma matriz de ordem 2 é dado pela diferençaentre o produto dos elementos da diagonal principal...
b) Sendo                      , de ordem 3, temos:Cofator  Chamamos de cofator ou complemento algébrico relativo a um elem...
Teorema de Laplace  O determinante de uma matriz quadrada M = [aij]mxn          pode serobtido pela soma dos produtos dos ...
2º passo: Encontramos a soma do produto dos elementos da diagonalprincipal com os dois produtos obtidos pela multiplicação...
Observação: Se desenvolvermos esse determinante de 3ª ordem aplicando oTeorema de Laplace, encontraremos o mesmo número re...
P4) Se os elementos de uma fila de uma matriz são combinações linearesdos elementos correspondentes de filas paralelas, en...
P7) Multiplicando por um número real todos os elementos de uma fila emuma matriz, o determinante dessa matriz fica multipl...
P10) Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo da diagonalsecundária são todos nulos, o determinante é igual ao ...
Equações algébricas                             (com uma variável)   Introdução   Equação é toda sentença matemática abert...
A letra é a incógnita da equação. A palavra incógnita significa "desconhecida".  Na equação acima a incógnita é x; tudo qu...
Os números -5 e 5, que satisfazem a equação, formam o conjuntoverdade, podendo ser indicado por: V = {-5, 5}.   Daí conclu...
Exemplos:          Verifique quais dos elementos do conjunto universo são raízesdas equações abaixo, determinando em cada ...
Função de 1º grau - Afim    Definição Chama-se função polinomial do 1º grau, ou função afim, a qualquerfunção f de IR em I...
x               y           0               -1                           0   Já vimos que o gráfico da função afim y = ax ...
0;                                                            então:             h(x) = 0         -2x + 10 = 0        x=5C...
Justificativa:      para a > 0: se x1 < x2, então ax1 < ax2. Daí, ax1 + b < ax2 + b, de onde   vem f(x1) < f(x2).      par...
y>0          ax + b < 0    x<Conclusão: y é positivo para valores de x menores que a raiz; y é negativopara valores de x m...
EQUAÇÕES EXPONENCIAIS      Chamamos de equações exponenciais toda equação na qual aincógnita aparece em expoente.Exemplos ...
Resolução: 23x-1 = 322x  23x-1 = (25)2x  23x-1 = 210x ; daí 3x-1=10,de onde x=-1/7.6) Resolva a equação 32x–6.3x–27=0.Re...
X       -2    -1       0         1      2                 y       1/4   1/2      1         2      42) y=(1/2)x (nesse caso...
a>1                                       0<a<1       f(x) é crescente e Im=IR+                            f(x) é decresce...
EXERCÍCIO RESOLVIDO:                              111) 4 x 1  4 x  4 x 1                               4Resolução : ...
FUNÇÃO LOGARÍTMICA       A função f:IR+IR definida por f(x)=logax, com a1 e a>0, échamada função logarítmica de base a. ...
x        1/4   1/2     1        2         4                  y         2     1      0        -1       -2    Nos dois exemp...
EQUAÇÕES LOGARÍTMICAS       Chamamos de equações logarítmicas toda equação que envolvelogaritmos com a incógnita aparecend...
log y = 7- log 103 => log y = 7-3 => log y =4 => y=104.Como essas raízes satisfazem as condições de existência, então o co...
2) log2(log3x)  0   Resolução:   Condições de existência: x>0 e log3x>0   Como log21=0, a inequação pode ser escrita assi...
Função Quadrática Definição  Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 2º grau, qualquerfunção f de IR em IR dad...
Observação:  Ao construir o gráfico de uma função quadrática y = ax2 + bx + c,notaremos sempre que:        se a > 0, a par...
Em qualquer caso, as coordenadas de V são   . Veja os gráficos:Prof: Linhares e Júlio                                  Pág...
Imagem   O conjunto-imagem Im da função y = ax2 + bx + c, a     0, é o conjuntodos valores que y pode assumir. Há duas pos...
Construção da Parábola  É possível construir o gráfico de uma função do 2º grau sem montar atabela de pares (x, y), mas se...
x2). a parábola intercepta o eixo Ox em dois pontos e o sinal da função é oindicado nos gráficos abaixo:                  ...
2º -      =0                         quando a > 0                         quando a < 0Prof: Linhares e Júlio              ...
3º -      <0                         quando a > 0Prof: Linhares e Júlio                  Página 62
quando a < 0                GEOMETRIA ANALÍTICARetasIntrodução   Entre os pontos de uma reta e os números reais existe uma...
A medida algébrica de um segmento orientado é o número real quecorresponde à diferença entre as abscissas da extremidade e...
Exemplos:        A(2, 4) pertence ao 1º quadrante (xA > 0 e yA > 0)        B(-3, -5) pertence ao 3º quadrante ( xB < 0 e y...
Equações de uma retaEquação geral  Podemos estabelecer a equação geral de uma reta a partir da condição dealinhamento de t...
se am + bn + c = 0, P é o ponto da reta;        se am + bn + c       0, P não é ponto da reta.                            ...
Geometria Analítica: CircunferênciaEquações da circunferênciaEquação reduzida    Circunferência é o conjunto de todos os p...
Observação: Quando o centro da circunfer6encia estiver na origem (C(0,0)), a equação da circunferência será x2 + y2 = r2 ....
A figura obtida é uma elipse.Observações:1ª) A Terra descreve uma trajetória elíptica em torno do sol, que é um dosfocos d...
focos : os pontos F1 e F2        centro: o ponto O, que é o ponto médio de        semi-eixo maior: a        semi-eixo meno...
Equações  Vamos considerar os seguintes casos:a) elipse com centro na origem e eixo maior horizontal  Sendo c a semidistân...
Hipérbole  Considerando, num plano , dois pontos distintos, F1 e F2 , e sendo 2aum número real menor que a distância entre...
A figura obtida é uma hipérbole.Observação:Os dois ramos dahipérbole são determinados por umplano paralelo ao eixo de sime...
1ª) A parábola é obtida seccionando-se obliquamente um cone circular reto:2ª) Os telescópios refletores mais simples têm e...
MatrizesIntrodução  O crescente uso dos computadores tem feito com que a teoria dasmatrizes seja cada vez mais aplicada em...
Tabelas com m linhas e n colunas ( m e n números naturais diferentes de0) são denominadas matrizes m x n. Na tabela anteri...
Na matriz                    , temos:  Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ], temos: a11 = -1, a12 = 0, a13 = 2 e a14 = 5.Denomina...
Observe a matriz a seguir:a11 = -1 é elemento da diagonal principal, pis i = j = 1a31= 5 é elemento da diagonal secundária...
Assim,         para      uma      matriz     identidade                                .         Matriz transposta: matriz...
Igualdade de matrizes  Duas matrizes, A e B, do mesmo tipo m x n, são iguais se, e somente se,todos os elementos que ocupa...
c) elemento neutro: A + 0 = 0 + A = A, sendo 0 a matriz nula m x nd) elemento oposto: A + ( - A) = (-A) + A = 0Subtração  ...
b) distributiva de um número real em relação à adição de matrizes: x . (A +B) = xA + xBc) distributiva de uma matriz em re...
Assim,                 .  Observe que:  Portanto,      .A, ou seja, para a multiplicação de matrizes não vale apropriedade...
A matriz produto terá o número de linhas de A (m) e o número decolunas de B(n):        Se A3 x 2 e B 2 x 5 , então ( A . B...
Grandezas - Introdução    Entendemos por grandeza tudo aquilo que pode ser medido, contado.As grandezas podem ter suas med...
Duas grandezas variáveis dependentes são diretamente       proporcionais quando a razão entre os valores da 1ª grandeza é ...
Duas grandezas variáveis dependentes são inversamente proporcionais quando arazão entre os valores da 1ª grandeza é igual ...
POLINÔMIOS     Definição   Uma função polinomial ou simplesmente polinômio, é toda funçãodefinida pela relação P(x)=anxn ...
Alguns exercícios resolvidos:    1º) Sabendo-se que –3 é raiz de P(x)=x3+4x2-ax+1, calcular o valor de a.    Resolução: Se...
Temos um sistema de três variáveis:  a  b  c  -1    4a  2b  c  -8  9a  3b  c  3  Resolvendo esse sistema enc...
Obs: um polinômio é dito identicamente nulo se tem todos os seuscoeficientes nulos.     Divisão de polinômios   Sejam doi...
Verificamos que:        x 4  -  1  (x 2  3x - 2) (x 2 - 2x  1)  (2x  1)          x 7x  9x    ...
 Teorema de D’Alembert         Um polinômio P(x) é divisível pelo binômio ax+b se P(-b/a)=0   Exemplo: Determinar o valor...
r1  r2        ar  ar1      c          e d 2         , com a  b          ab             ab                     r r ...
Logo, b=6 e a=2.    Agora achamos o resto: R(x) = ax+b = 2x+6    Resposta: R(x) = 2x+6.     O dispositivo de Briot-Ruffin...
 Decomposição de um polinômio em fatores   Vamos analisar dois casos:   1º caso: O polinômio é do 2º grau.      De uma fo...
Observações:     1) Se duas, três ou mais raiz forem iguais, dizemos que são raízes        duplas, triplas, etc.     2) Um...
PROBABILIDADE   A história da teoria das probabilidades, teve início com os jogos decartas, dados e de roleta. Esse é o mo...
Apostila Professor Linhares
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Apostila Professor Linhares

  1. 1. Apostila de MatemáticaProfessor: Linhares e Júlio. [...] a Matemática procura compreender os modelos que permeiam o mundo que nos rodeia assim como a mente dentro de nós. […] Assim é necessário enfatizar: — a procurar de soluções, e não apenas a memorização de procedimentos; — a exploração de modelos, e não apenas a memorização de fórmulas; — a formulação de conjecturas, e não apenas a resolução de exercícios. [...] com essas ênfases, os estudantes terão a oportunidade de estudar a Matemática como uma disciplina exploradora, dinâmica, que se desenvolve, em lugar de ser uma disciplina que tem um corpo rígido, absoluto, fechado, cheio de regras que precisam ser memorizadas. Shoenfeld (1992).26/01/2011
  2. 2. Análise CombinatóriaFatorial de um número: n!=n.(n-1).(n-2)...3.2.1Definições especiais: 0!=1 1!=1 100!101!1) Calcule o valor da expressão . 99!100!101! 100.99!101.100.99!   100  101.100  100  10100  10200 99! 99! ( x  1)!2) Resolva a equação  56. ( x  1)!( x  1)! ( x  1)( x)( x  1)!  56   56  ( x  1)( x)  56  x 2  x  56 ( x  1)! ( x  1)!  1  225  1  15 x  7  x 2  x  56  0  x   x  2 2 x  -8Resposta : x  7, pois não existe fatorial de um número negativo.3) Quatro times de futebol (Grêmio, Santos, São Paulo e Flamengo) disputam o torneio doscampeões do mundo. Quantas são as possibilidades para os três primeiros lugares?R : Existem 4 possibilidades para o 1º lugar, sobrando 3 possibilidades para o 2º lugar e 2possibilidades para o 3º lugar  4.3.2  24 possibilidades.Arranjo simples: n! An, p  (n  p)! A6, 2  A4,3  A5, 24) Calcule . A9, 2  A8,1 6! 4! 5!   A6, 2  A4,3  A5, 2 (6  2)! (4  3)! (5  2)! 30  24  20 34 17     A9, 2  A8,1 9! 8! 72  8 80 40  (9  2)! (8  1)!Prof: Linhares e Júlio Página 2
  3. 3. 5) Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar com o algarismos dosistema decimal (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) sem os repetir, de modo que :a) COM ECEM COM 1. R : O número pode possuir três algarismos , sendo que para o primeiro existe apenas 1possibilidade (1) e para os outros dois ainda existem 9 números disponíveis : 9! 9! 9.8.7! 1. A9, 2     9.8  72 números. (9  2)! 7! 7!b) COM ECEM COM 2 E TERM INEM COM 5. R : Para o primeiro algarismo existe apenas 1 possibilidade (2), e para o terceiro tambémexiste apenas 1 possibilidade (5). Para o segundo ainda existem 8 possibilidades : 8! 8! 8.7! 1.1. A8,1     8 números. (8  1)! 7! 7!c) SEJAM DIVISÍVEIS POR 5. R : Para um número ser divisível 5, ele deve terminar com 0 ou com 5. Primeirame ntevamos calcular o número de divisíveis por 5 que terminam com 0 : Para o terceiro algarismo existe apenas 1 possibilidade (0), e para os dois primeiros aindaexistem 9 números disponíveis. Portanto o número de divisíveis por 5 que terminam com 0 é : 9! 9! 9.8.7! 1. A9, 2     9.8  72 números. (9  2)! 7! 7! Agora calculamos quantos divisíveis por 5 terminam com 5 : para o terceiro algarismoexiste apenas uma possibilidade (5). Para o primeiro algarismo existem ainda 8 possibilidades,pois o número não pode começar com 0 (senão seria um número de 2 algarismos ). E para osegundo algarismo também existem 8 possibilidades (o segundo algarismo pode ser 0). 8! 8! 8! 8! 8.7! 8.7! 1. A8,1 . A8,1  .  .  .  8.8  64 números. (8  1)! (8  1)! 7! 7! 7! 7!Resposta : O número de divisíveis por 5 é 72  64  136 números.6) Quantos são os números compreendidos entre 2000 e 3000 formados por algarismosdistintos escolhidos entre 1,2,3,4,5,6,7,8 e 9? R : O número deve ter quatro algarismos (pois está entre 2000 e 3000). Para o primeiroalgarismo existe apenas uma possibilidade (2), e para os outros três ainda existem 8 númerosdisponíveis, então : 8! 8! 8.7.6.5! 1. A8,3     8.7.6  336 números. (8  3)! 5! 5!Prof: Linhares e Júlio Página 3
  4. 4. Permutação Simples: É um caso particular de arranjo simples. É o tipo deagrupamento ordenado onde entram todos os elementos. Pn  n!7) Quantos números de 5 algarismos distintos podem ser formados por 1,2,3,5 e 8?P5  5! 5.4.3.2.1  120 números.8) Quantos anagramas da palavra EDITORA :a) COM EÇAM POR A. Para a primeira letra existe apenas uma possibilidade (A), e para as outras 6 letrasexistem 6 possibilidades. Então o total é :1.P6  1.6! 6.5.4.3.2.1  720 anagramas.b) COM EÇAM POR A e terminam com E. Para a primeira letra existe 1 possibilidade (A), e para última também só existe 1 (E),e para as outras 5 letras existem 5 possibilidades. Então o total é :1.1.P5  1.1.5! 5.4.3.2.1  120 anagramas.8) Calcule de quantas maneiras podem ser dipostas 4 damas e 4 cavalheiro s, numa fila, deforma que não fiquem juntos dois cavalheiro s e duas damas. R :Existem duas maneiras de fazer isso : C - D - C - D - C - D - C - D ou D - C - D - C - D - C - D - CColocando um cavalheiro na primeira posição temos como número total de maneiras :P4 .P4  4!.4! 24.24  576 maneiras.Colocando uma dama na primeira posição temos também :P4 .P4  4!.4! 24.24  576 maneiras.Portanto o total é 576  576  1152 maneiras.Combinação Simples: é o tipo de agrupamento em que um grupo difere dooutro apenas pela natureza dos elementos componentes. n! Cn, p  p!(n  p)!Prof: Linhares e Júlio Página 4
  5. 5. 9) Resolver a equação C m ,3  C m , 2  0. m! m!  03!(m  3)! 2!(m  2)!m.(m  1).(m  2).(m  3)! m.(m  1).(m  2)!  0 3!(m  3)! 2!(m  2)!m.(m  1).(m  2) m.(m  1)  0 3! 2!m 3  2m 2  m 2  2m m 2  m  0 6 2m 3  3m 2  2m  3m 2  3m  0  m 3  6 m 2  5m  0 6 6  16 m  5m 2  6m  5  0  m    2 m  1Resposta : m  5.obs : m  1 não é a resposta porque não pode haver C1,3.10) Com 10 espécies de frutas, quantos tipos de salada, contendo 6 espécies diferentespodem ser feitas? 10! 10.9.8.7.6! 5040 5040C10, 6      210 tipos de saladas. 6!.(10  6)! 6!.4! 4! 2411) Numa reunião com 7 rapazes e 6 moças, quantas comissões podemos formar com 3rapazes e 4 moças?RAPAZES- C 7 ,3M OÇAS- C 6, 4O resultado é o produto C 7 ,3 .C 6, 4 . 7! 6! 7.6.5.4! 6.5.4! 210 30 .  .  .  35.15  525 comissões.3!(7  3)! 4!(6  4)! 3!.4! 4!.2! 3! 2Prof: Linhares e Júlio Página 5
  6. 6. Binômio de NewtonIntrodução Pelos produtos notáveis, sabemos que (a+b)² = a² + 2ab + b². Se quisermos calcular (a + b)³, podemos escrever:(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 Se quisermos calcular , podemos adotar o mesmo procedimento:(a + b)4 = (a + b)3 (a+b) = (a3 + 3a2b + 3ab2 + b3) (a+b)= a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 De modo análogo, podemos calcular as quintas e sextas potências e, demodo geral, obter o desenvolvimento da potência a partir daanterior, ou seja, de . Porém quando o valor de n é grande, este processo gradativo de cálculoé muito trabalhoso. Existe um método para desenvolver a enésima potência de um binômio,conhecido como binômio de Newton (Isaac Newton, matemático e físicoinglês, 1642 - 1727). Para esse método é necessário saber o que sãocoeficientes binomiais, algumas de suas propriedades e o triângulo dePascal.Coeficientes Binomiais Sendo n e p dois números naturais , chamamos de coeficientebinomial de classe p, do número n, o número , que indicamos por (lê-se: n sobre p). Podemos escrever: O coeficiente binomial também é chamado de número binomial. Poranalogia com as frações, dizemos que n é o seu numerador e p, odenominador. Podemos escrever:Prof: Linhares e Júlio Página 6
  7. 7. É também imediato que, para qualquer n natural, temos: Exemplos:Propriedades dos coeficientes binomiais Se n, p, k e p + k = n1ª) então Coeficientes binomiais como esses, que tem o mesmo numerador e asoma dos denominadores igual ao numerador, são chamadoscomplementares. Exemplos:2ª) Se n, p, k e p p-1 0Prof: Linhares e Júlio Página 7
  8. 8. então Essa igualdade é conhecida como relação de Stifel (Michael Stifel,matemático alemão, 1487 - 1567). Exemplos:Triângulo de Pascal A disposiçãoordenada dosnúmeros binomiais,como na tabela aolado, recebe o nomede Triângulo dePascal Nesta tabela triangular, os números binomiais com o mesmo numeradorsão escritos na mesma linha e os de mesmo denominador, na mesmacoluna. Por exemplo, os números binomiais , , e estão na linha 3 e osnúmeros binomiais , , , , ..., , ... estão na coluna 1. Substituindo cada número binomial pelo seu respectivo valor, temos:Prof: Linhares e Júlio Página 8
  9. 9. Construção do triângulo de Pascal Para construir o triângulo do Pascal, basta lembrar as seguintespropriedades dos números binomiais, não sendo necessário calculá-los:1ª) Como = 1, todos os elementos da coluna 0 são iguais a 1.2ª) Como = 1, o último elemento de cada linha é igual a 1.3ª) Cada elemento do triângulo que não seja da coluna 0 nem o último decada linha é igual à soma daquele que está na mesma coluna e linha anterior com o elemento que se situaà esquerda deste último (relação de Stifel). Observe os passos e aplicação da relação de Stifel para a construçãodo triângulo:Prof: Linhares e Júlio Página 9
  10. 10. Propriedade do triângulo de PascalP1 Em Qualquer linha, dois números binomiais eqüidistantes dosextremos são iguais. De fato, esses binomiais são complementares.P2 Teorema das linhas: A soma dos elementos da enésima linha é . De modo geral temos:P3 Teorema das colunas: A soma dos elementos de qualquer coluna, do1º elemento até um qualquer, é igual ao elemento situado na coluna àdireita da considerada e na linha imediatamente abaixo.Prof: Linhares e Júlio Página 10
  11. 11. 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 1 + 4 + 10 + 20 = 35P4 Teorema das diagonais: A soma dos elementos situados na mesmadiagonal desde o elemento da 1ª coluna até o de uma qualquer é igual aoelemento imediatamente abaixo deste. 1 + 3 + 6 + 10 + 15 = 35Fórmula do desenvolvimento do binômio de Newton Como vimos, a potência da forma , em que a, ,échamada binômio de Newton. Além disso: quando n = 0 temos quando n = 1 temos quando n = 2 temos quando n = 3 temos quando n = 4 temosProf: Linhares e Júlio Página 11
  12. 12. Observe que os coeficientes dos desenvolvimentos foram o triângulo dePascal. Então, podemos escrever também: De modo geral, quando o expoente é n, podemos escrever a fórmula dodesenvolvimento do binômio de Newton: Note que os expoentes de a vão diminuindo de unidade em unidade,variando de n até 0, e os expoentes de b vão aumentando de unidade emunidade, variando de 0 até n. O desenvolvimento de (a + b)n possui n + 1termos.Prof: Linhares e Júlio Página 12
  13. 13. Fórmula do termo geral do binômio Observando os termos do desenvolvimento de (a + b)n, notamosque cada um deles é da forma . Quando p = 0 temos o 1º termo: Quando p = 1 temos o 2º termo: Quando p = 2 temos o 3º termo: Quando p = 3 temos o 4º termo: Quando p = 4 temos o 5º termo: .............................................................................. Percebemos, então, que um termo qualquer T de ordem p + 1pode serexpresso por:Prof: Linhares e Júlio Página 13
  14. 14. Cilindro Na figura abaixo, temos dois planos paralelos e distintos, , umcírculo R contido em e uma reta r que intercepta , mas não R: Para cada ponto C da região R, vamos considerar o segmento ,paralelo à reta r : Assim, temos:Prof: Linhares e Júlio Página 14
  15. 15. Chamamos de cilindro, ou cilindro circular, o conjunto de todos ossegmentos congruentes e paralelos a r.Elementos do cilindro Dado o cilindro a seguir, consideramos os seguintes elementos: bases: os círculos de centro O e Oe raios r altura: a distância h entre os planos geratriz: qualquer segmento de extremidades nos pontos das circunferências das bases ( por exemplo, ) e paralelo à reta r .Prof: Linhares e Júlio Página 15
  16. 16. Áreas Num cilindro, consideramos as seguintes áreas:a) área lateral (AL) Podemos observar a área lateral de um cilindro fazendo a suaplanificação: Assim, a área lateral do cilindro reto cuja altura é h e cujos raios doscírculos das bases são r é um retângulo de dimensões :b) área da base ( AB):área do círculo de raio rc) área total ( AT): soma da área lateral com as áreas das basesProf: Linhares e Júlio Página 16
  17. 17. Volume Para obter o volume do cilindro, vamos usar novamente o princípio deCavalieri. Dados dois sólidos com mesma altura e um plano , se todo plano ,paralelo ao plano , intercepta os sólidos e determina secções de mesmaárea, os sólidos têm volumes iguais: Se 1 é um paralelepípedo retângulo, então V2 = ABh. Assim, o volume de todo paralelepípedo retângulo e de todo cilindroé o produto da área da base pela medida de sua altura: Vcilindro = ABh No caso do cilindro circular reto, a área da base é a área do círculo deraio r ;portanto seu volume é:Prof: Linhares e Júlio Página 17
  18. 18. Esfera Chamamos de esfera de centro O e raio R o conjunto de pontos doespaço cuja distância ao centro é menor ou igual ao raio R. Considerando a rotação completa de um semicírculo em torno de umeixo e, a esfera é o sólido gerado por essa rotação. Assim, ela é limitada poruma superfície esférica e formada por todos os pontos pertencentes a essasuperfície e ao seu interior.Volume O volume da esfera de raio R é dado por:Prof: Linhares e Júlio Página 18
  19. 19. Partes da esferaSuperfície esférica A superfície esférica de centro O e raio R é o conjunto de pontos does[aço cuja distância ao ponto O é igual ao raio R. Se considerarmos a rotação completa de uma semicircunferência emtorno de seu diâmetro, a superfície esférica é o resultado dessa rotação. A área da superfície esférica é dada por: Cone circular Dado um círculo C, contido num plano , e um ponto V ( vértice) forade , chamamos de cone circular o conjunto de todos os segmentos .Prof: Linhares e Júlio Página 19
  20. 20. Elementos do cone circular Dado o cone a seguir, consideramos os seguintes elementos: altura: distância h do vértice V ao plano geratriz (g):segmento com uma extremidade no ponto V e outra num ponto da circunferência raio da base: raio R do círculo eixo de rotação:reta determinada pelo centro do círculo e pelo vértice do coneCone reto Todo cone cujo eixo de rotação é perpendicular à base é chamado conereto, também denominado cone de revolução. Ele pode ser gerado pelarotação completa de um triângulo retângulo em torno de um de seuscatetos.Prof: Linhares e Júlio Página 20
  21. 21. Da figura, e pelo Teorema de Pitágoras, temos a seguinte relação: G2 = h2 + R2Secção meridiana A secção determinada, num cone de revolução, por um plano quecontém o eixo de rotação é chamada secção meridiana. Se o triângulo AVB for eqüilátero, o cone também será eqüilátero:Prof: Linhares e Júlio Página 21
  22. 22. Áreas Desenvolvendo a superfície lateral de um cone circular reto, obtemos umsetor circular de raio g e comprimento : Assim, temos de considerar as seguintes áreas:a) área lateral (AL): área do setor circularb) área da base (AB):área do circulo do raio Rc) área total (AT):soma da área lateral com a área da baseProf: Linhares e Júlio Página 22
  23. 23. Volume Para determinar o volume do cone, vamos ver como calcular volumesde sólidos de revolução. Observe a figura: d = distância do centro de gravidade (CG) da sua superfície ao eixo e S=área da superfície Sabemos, pelo Teorema de Pappus - Guldin, que, quando umasuperfície gira em torno de um eixo e, gera um volume tal que: Vamos, então, determinar o volume do cone de revolução gerado pelarotação de um triângulo retângulo em torno do cateto h: O CG do triângulo está a uma distância do eixo de rotação.Logo:Prof: Linhares e Júlio Página 23
  24. 24. CONJUNTOS NUMÉRICOS Conjunto dos números naturais (IN) IN={0, 1, 2, 3, 4, 5,...} Um subconjunto importante de IN é o conjunto IN*: IN*={1, 2, 3, 4, 5,...}  o zero foi excluído do conjunto IN. Podemos considerar o conjunto dos números naturais ordenados sobreuma reta, como mostra o gráfico abaixo: Conjunto dos números inteiros (Z) Z={..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...} O conjunto IN é subconjunto de Z. Temos também outros subconjuntos de Z: Z* = Z-{0} Z+ = conjunto dos inteiros não negativos = {0,1,2,3,4,5,...} Z_ = conjunto dos inteiros não positivos = {0,-1,-2,-3,-4,-5,...} Observe que Z+=IN. Podemos considerar os números inteiros ordenados sobre uma reta,conforme mostra o gráfico abaixo:Prof: Linhares e Júlio Página 24
  25. 25.  Conjunto dos números racionais (Q) Os números racionais são todos aqueles que podem ser colocados naforma de fração (com o numerador e denominador  Z). Ou seja, oconjunto dos números racionais é a união do conjunto dos númerosinteiros com as frações positivas e negativas. 5 3 3Então : -2,  ,  1, , 1, , por exemplo, são números racionais. 4 5 2Exemplos: 3 6 9 a)  3    1 2 3 1 2 3 b) 1    1 2 3Assim, podemos escrever: a Q  {x | x  , com a  Z , b  Z e b  0} b É interessante considerar a representação decimal de um númeroracional a , que se obtém dividindo a por b. b Exemplos referentes às decimais exatas ou finitas: 1 5 75  0,5   1,25  3,75 2 4 20 Exemplos referentes às decimais periódicas ou infinitas: 1 6 7  0,333...  0,857142857142...  1,1666... 3 7 6 Toda decimal exata ou periódica pode ser representada na forma denúmero racional.Prof: Linhares e Júlio Página 25
  26. 26.  Conjunto dos números irracionais Os números irracionais são decimais infinitas não periódicas, ou seja,os números que não podem ser escrito na forma de fração (divisão de doisinteiros). Como exemplo de números irracionais, temos a raiz quadrada de2 e a raiz quadrada de 3: 2  1,4142135... 3  1,7320508... Um número irracional bastante conhecido é o número=3,1415926535... Conjunto dos números reais (IR) Dados os conjuntos dos números racionais (Q) e dos irracionais,definimos o conjunto dos números reais como: IR=Q  {irracionais} = {x|x é racional ou x é irracional} O diagrama abaixo mostra a relação entre os conjuntos numéricos: Portanto, os números naturais, inteiros, racionais e irracionais sãotodos números reais. Como subconjuntos importantes de IR temos: IR* = IR-{0} IR+ = conjunto dos números reais não negativos IR_ = conjunto dos números reais não positivos Obs: entre dois números inteiros existem infinitos números reais. Porexemplo: Entre os números 1 e 2 existem infinitos números reais: 1,01 ; 1,001 ; 1,0001 ; 1,1 ; 1,2 ; 1,5 ; 1,99 ; 1,999 ; 1,9999 ... Entre os números 5 e 6 existem infinitos números reais: 5,01 ; 5,02 ; 5,05 ; 5,1 ; 5,2 ; 5,5 ; 5,99 ; 5,999 ; 5,9999 ...Prof: Linhares e Júlio Página 26
  27. 27. Determinantes Como já vimos, matriz quadrada é a que tem o mesmo número de linhase de colunas (ou seja, é do tipo nxn). A toda matriz quadrada está associado um número ao qual damos o nomede determinante. Dentre as várias aplicações dos determinantes na Matemática, temos: resolução de alguns tipos de sistemas de equações lineares; cálculo da área de um triângulo situado no plano cartesiano, quando são conhecidas as coordenadas dos seus vértices;Determinante de 1ª ordem Dada uma matriz quadrada de 1ª ordem M=[a11], o seu determinante é onúmero real a11:det M =Ia11I = a11Observação: Representamos o determinante de uma matriz entre duasbarras verticais, que não têm o significado de módulo. Por exemplo: M= [5] det M = 5 ou I 5 I = M = [-3] det M = -3 ou I -3 5 I = -3Determinante de 2ª ordem Dada a matriz , de ordem 2, por definição o determinanteassociado a M, determinante de 2ª ordem, é dado por:Prof: Linhares e Júlio Página 27
  28. 28. Portanto, o determinante de uma matriz de ordem 2 é dado pela diferençaentre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto doselementos da diagonal secundária. Veja o exemplo a seguir.Menor complementar Chamamos de menor complementar relativo a um elemento aij de umamatriz M, quadrada e de ordem n>1, o determinante MCij , de ordem n - 1,associado à matriz obtida de M quando suprimimos a linha e a coluna quepassam por aij . Vejamos como determiná-lo pelos exemplos a seguir:a) Dada a matriz , de ordem 2, para determinar o menorcomplementar relativo ao elemento a11(MC11), retiramos a linha 1 e acoluna 1:Da mesma forma, o menor complementar relativo ao elemento a12 é:Prof: Linhares e Júlio Página 28
  29. 29. b) Sendo , de ordem 3, temos:Cofator Chamamos de cofator ou complemento algébrico relativo a um elementoaij de uma matriz quadrada de ordem n o número Aij tal que Aij = (-1)i+j .MCij . Veja:a) Dada , os cofatores relativos aos elementos a11 e a12 damatriz M são:b) Sendo , vamos calcular os cofatores A22, A23 e A31:Prof: Linhares e Júlio Página 29
  30. 30. Teorema de Laplace O determinante de uma matriz quadrada M = [aij]mxn pode serobtido pela soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer ( linhaou coluna) da matriz M pelos respectivos cofatores. Assim, fixando , temos:em que é o somatório de todos os termos de índice i, variando de 1 atém, .Regra de Sarrus O cálculo do determinante de 3ª ordem pode ser feito por meio de umdispositivo prático, denominado regra de Sarrus. Acompanhe como aplicamos essa regra para .1º passo: Repetimos as duas primeiras colunas ao lado da terceira:Prof: Linhares e Júlio Página 30
  31. 31. 2º passo: Encontramos a soma do produto dos elementos da diagonalprincipal com os dois produtos obtidos pela multiplicação dos elementosdas paralelas a essa diagonal (a soma deve ser precedida do sinal positivo):3º passo: Encontramos a soma do produto dos elementos da diagonalsecundária com os dois produtos obtidos pela multiplicação dos elementosdas paralelas a essa diagonal ( a soma deve ser precedida do sinalnegativo):Assim:Prof: Linhares e Júlio Página 31
  32. 32. Observação: Se desenvolvermos esse determinante de 3ª ordem aplicando oTeorema de Laplace, encontraremos o mesmo número real.Determinante de ordem n > 3 Vimos que a regra de Sarrus é válida para o cálculo do determinante deuma matriz de ordem 3. Quando a matriz é de ordem superior a 3, devemosempregar o Teorema de Laplace para chegar a determinantes de ordem 3 edepois aplicar a regra de Sarrus.Propriedades dos determinantes Os demais associados a matrizes quadradas de ordem n apresentam asseguintes propriedades:P1 ) Quando todos os elementos de uma fila ( linha ou coluna) são nulos, odeterminante dessa matriz é nulo.Exemplo:P2) Se duas filas de uma matriz são iguais, então seu determinante é nulo.Exemplo:P3) Se duas filas paralelas de uma matriz são proporcionais, então seudeterminante é nulo.Exemplo:Prof: Linhares e Júlio Página 32
  33. 33. P4) Se os elementos de uma fila de uma matriz são combinações linearesdos elementos correspondentes de filas paralelas, então seu determinante énulo.Exemplos:P5 ) Teorema de Jacobi: o determinante de uma matriz não se alteraquando somamos aos elementos de uma fila uma combinação linear doselementos correspondentes de filas paralelas.Exemplo:Substituindo a 1ª coluna pela soma dessa mesma coluna com o dobro da 2ª,temos:P6) O determinante de uma matriz e o de sua transposta são iguais.Exemplo:Prof: Linhares e Júlio Página 33
  34. 34. P7) Multiplicando por um número real todos os elementos de uma fila emuma matriz, o determinante dessa matriz fica multiplicado por esse número.Exemplos:P8) Quando trocamos as posições de duas filas paralelas, o determinante deuma matriz muda de sinal.Exemplo:P9) Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo da diagonalprincipal são todos nulos, o determinante é igual ao produto dos elementosdessa diagonal.Exemplos:Prof: Linhares e Júlio Página 34
  35. 35. P10) Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo da diagonalsecundária são todos nulos, o determinante é igual ao produto doselementos dessa diagonal multiplicado por .Exemplos:P11) Para A e B matrizes quadradas de mesma ordem n, . Como:Exemplo:P12)Exemplo:Prof: Linhares e Júlio Página 35
  36. 36. Equações algébricas (com uma variável) Introdução Equação é toda sentença matemática aberta que exprime uma relação deigualdade. A palavra equação tem o prefixo equa, que em latim quer dizer"igual". Exemplos:2x + 8 = 05x - 4 = 6x + 83a - b - c = 0Não são equações:4 + 8 = 7 + 5 (Não é uma sentença aberta)x - 5 < 3 (Não é igualdade) (não é sentença aberta, nem igualdade)A equação geral do primeiro grau:ax+b = 0onde a e b são números conhecidos e a > 0, se resolve de maneira simples:subtraindo b dos dois lados, obtemos:ax = -bdividindo agora por a (dos dois lados), temos: Considera a equação 2x - 8 = 3x -10Prof: Linhares e Júlio Página 36
  37. 37. A letra é a incógnita da equação. A palavra incógnita significa "desconhecida". Na equação acima a incógnita é x; tudo que antecede o sinal da igualdadedenomina-se 1º membro, e o que sucede, 2º membro. Qualquer parcela, do 1º ou do 2º membro, é um termo da equação. Equação do 1º grau na incógnita x é toda equação que pode ser escrita na forma ax=b, sendo a e b números racionais, com a diferente de zero.Conjunto Verdade e Conjunto Universo de uma Equação Considere o conjunto A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e a equação x + 2 = 5. Observe que o número 3 do conjunto A é denominado conjuntouniverso da equação e o conjunto {3} é o conjunto verdade dessa mesmaequação. Observe este outro exemplo: Determine os números inteiros que satisfazem a equação x² = 25 O conjunto dos números inteiro é o conjunto universo da equação.Prof: Linhares e Júlio Página 37
  38. 38. Os números -5 e 5, que satisfazem a equação, formam o conjuntoverdade, podendo ser indicado por: V = {-5, 5}. Daí concluímos que: Conjunto Universo é o conjunto de todos os valores que variável pode assumir. Indica-se por U. Conjunto verdade é o conjunto dos valores de U, que tornam verdadeira a equação . Indica-se por V.Observações: O conjunto verdade é subconjunto do conjunto universo. Não sendo citado o conjunto universo, devemos considerar como conjunto universo o conjunto dos números racionais. O conjunto verdade é também conhecido por conjunto solução e pode ser indicado por S. Raízes de uma equação Os elementos do conjunto verdade de uma equação são chamados raízesda equação. Para verificar se um número é raiz de uma equação, devemos obedecer àseguinte seqüência: Substituir a incógnita por esse número. Determinar o valor de cada membro da equação. Verificar a igualdade, sendo uma sentença verdadeira, o número considerado é raiz da equação.Prof: Linhares e Júlio Página 38
  39. 39. Exemplos: Verifique quais dos elementos do conjunto universo são raízesdas equações abaixo, determinando em cada caso o conjunto verdade. Resolva a equação x - 2 = 0, sendo U = {0, 1, 2, 3}. Para x = 0 na equação x - 2 = 0 temos: 0 - 2 = 0=> -2 = 0. (F) Para x = 1 na equação x - 2 = 0 temos: 1 - 2 = 0=> -1 = 0. (F) Para x = 2 na equação x - 2 = 0 temos: 2 - 2 = 0=> 0 = 0. (V) Para x = 3 na equação x - 2 = 0 temos: 3 - 2 = 0=> 1 = 0. (F) Verificamos que 2 é raiz da equação x - 2 = 0, logo V = {2}. Resolva a equação 2x - 5 = 1, sendo U = {-1, 0, 1, 2}. Para x = -1 na equação 2x - 5 = 1 temos: 2 . (-1) -5 = 1 => -7 = 1. (F) Para x = 0 na equação 2x - 5 = 1 temos: 2 . 0 - 5 =1 => -5 = 1. (F) Para x = 1 na equação 2x - 5 = 1 temos: 2 . 1 - 5 =1 => -3 = 1. (F) Para x = 2 na equação 2x - 5 = 1 temos: 2 . 2 - 5 =1 => -1 = 1. (F) A equação 2x - 5 = 1 não possui raiz em U, logo V = Ø.Prof: Linhares e Júlio Página 39
  40. 40. Função de 1º grau - Afim Definição Chama-se função polinomial do 1º grau, ou função afim, a qualquerfunção f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax + b, onde a e bsão números reais dados e a 0.Na função f(x) = ax + b, o número a é chamado de coeficiente de x e onúmero b é chamado termo constante.Veja alguns exemplos de funções polinomiais do 1º grau:f(x) = 5x - 3, onde a = 5 e b = - 3f(x) = -2x - 7, onde a = -2 e b = - 7f(x) = 11x, onde a = 11 e b = 0Gráfico O gráfico de uma função polinomial do 1º grau, y = ax + b, com a 0, éuma reta oblíqua aos eixos Ox e Oy. Exemplo: Vamos construir o gráfico da função y = 3x - 1: Como o gráfico é uma reta, basta obter dois de seus pontos e ligá-loscom o auxílio de uma régua: a) Para x = 0, temos y = 3 · 0 - 1 = -1; portanto, um ponto é (0, -1). b) Para y = 0, temos 0 = 3x - 1; portanto, e outro ponto é. Marcamos os pontos (0, -1) e no plano cartesiano e ligamos osdois com uma reta.Prof: Linhares e Júlio Página 40
  41. 41. x y 0 -1 0 Já vimos que o gráfico da função afim y = ax + b é uma reta. O coeficiente de x, a, é chamado coeficiente angular da reta e, comoveremos adiante, a está ligado à inclinação da reta em relação ao eixo Ox. O termo constante, b, é chamado coeficiente linear da reta. Para x = 0,temos y = a · 0 + b = b. Assim, o coeficiente linear é a ordenada do pontoem que a reta corta o eixo Oy.Zero e Equação do 1º Grau Chama-se zero ou raiz da função polinomial do 1º grau f(x) = ax + b, a0, o número real x tal que f(x) = 0. Temos: f(x) = 0 ax + b = 0 Vejamos alguns exemplos: 1. Obtenção do zero da função f(x) = 2x - 5: f(x) = 0 2x - 5 = 0 2. Cálculo da raiz da função g(x) = 3x + 6: g(x) = 0 3x + 6 = 0 x = -2 3. Cálculo da abscissa do ponto em que o gráfico de h(x) = -2x + 10 corta o eixo das abicissas: O ponto em que o gráfico corta o eixo dos x é aquele em que h(x) =Prof: Linhares e Júlio Página 41
  42. 42. 0; então: h(x) = 0 -2x + 10 = 0 x=5Crescimento e decrescimento Consideremos a função do 1º grau y = 3x - 1. Vamos atribuir valores cadavez maiores a x e observar o que ocorre com y: x -3 -2 -1 0 1 2 3 y -10 -7 -4 -1 2 5 8 Notemos que, quando aumentos o valor de x, os correspondentes valores de y também aumentam. Dizemos, então que a função y = 3x - 1 é crescente. Observamos novamente seu gráfico:Regra geral:a função do 1º grau f(x) = ax + b é crescente quando o coeficiente de x épositivo (a > 0);a função do 1º grau f(x) = ax + b é decrescente quando o coeficiente de x énegativo (a < 0);Prof: Linhares e Júlio Página 42
  43. 43. Justificativa: para a > 0: se x1 < x2, então ax1 < ax2. Daí, ax1 + b < ax2 + b, de onde vem f(x1) < f(x2). para a < 0: se x1 < x2, então ax1 > ax2. Daí, ax1 + b > ax2 + b, de onde vem f(x1) > f(x2).Sinal Estudar o sinal de uma qualquer y = f(x) é determinar os valor de x paraos quais y é positivo, os valores de x para os quais y é zero e os valores dex para os quais y é negativo. Consideremos uma função afim y = f(x) = ax + b vamos estudar seusinal. Já vimos que essa função se anula pra raiz . Há dois casospossíveis: 1º) a > 0 (a função é crescente) y>0 ax + b > 0 x> y>0 ax + b < 0 x< Conclusão: y é positivo para valores de x maiores que a raiz; y énegativo para valores de x menores que a raiz2º) a < 0 (a função é decrescente) y>0 ax + b > 0 x<Prof: Linhares e Júlio Página 43
  44. 44. y>0 ax + b < 0 x<Conclusão: y é positivo para valores de x menores que a raiz; y é negativopara valores de x maiores que a raiz.Prof: Linhares e Júlio Página 44
  45. 45. EQUAÇÕES EXPONENCIAIS Chamamos de equações exponenciais toda equação na qual aincógnita aparece em expoente.Exemplos de equações exponenciais:1) 3x =81 (a solução é x=4)2) 2x-5=16 (a solução é x=9)3) 16x-42x-1-10=22x-1 (a solução é x=1)4) 32x-1-3x-3x-1+1=0 (as soluções são x’=0 e x’’=1) Para resolver equações exponenciais, devemos realizar dois passosimportantes: 1º) redução dos dois membros da equação a potências de mesmabase; 2º) aplicação da propriedade: a m  a n  m  n (a  1 e a  0)EXERCÍCIOS RESOLVIDOS:1) 3x=81Resolução: Como 81=34, podemos escrever 3x = 34E daí, x=4.2) 9x = 1Resolução: 9x = 1  9x = 90 ; logo x=0. x 3 813)    4 256 x x x 4 3 81 3 34 3 3Resolução :        4       ; então x  4. 4 256 4 4 4 44) 3 x  4 27 3 3Resolução : 3  27  3  3  3  3 ; logo x  x 4 x 4 3 x 4 45) 23x-1 = 322xProf: Linhares e Júlio Página 45
  46. 46. Resolução: 23x-1 = 322x  23x-1 = (25)2x  23x-1 = 210x ; daí 3x-1=10,de onde x=-1/7.6) Resolva a equação 32x–6.3x–27=0.Resolução: vamos resolver esta equação através de uma transformação:32x–6.3x–27=0  (3x)2-6.3x–27=0Fazendo 3x=y, obtemos:y2-6y–27=0 ; aplicando Bhaskara encontramos  y’=-3 e y’’=9Para achar o x, devemos voltar os valores para a equação auxiliar 3x=y:y’=-3  3x’ = -3  não existe x’, pois potência de base positiva épositivay’’=9  3x’’ = 9  3x’’ = 32  x’’=2Portanto a solução é x=2 FUNÇÃO EXPONENCIAL Chamamos de funções exponenciais aquelas nas quais temos avariável aparecendo em expoente. A função f:IRIR+ definida por f(x)=ax, com a  IR+ e a1, échamada função exponencial de base a. O domínio dessa função é oconjunto IR (reais) e o contradomínio é IR+ (reais positivos, maiores quezero). GRÁFICO CARTESIANO DA FUNÇÃO EXPONENCIAL Temos 2 casos a considerar:  quando a>1;  quando 0<a<1. Acompanhe os exemplos seguintes:1) y=2x (nesse caso, a=2, logo a>1) Atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores de y, obtemos a tabela e o gráfico abaixo:Prof: Linhares e Júlio Página 46
  47. 47. X -2 -1 0 1 2 y 1/4 1/2 1 2 42) y=(1/2)x (nesse caso, a=1/2, logo 0<a<1) Atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores de y, obtemos a tabela e o gráfico abaixo: X -2 -1 0 1 2 Y 4 2 1 1/2 1/4 Nos dois exemplos, podemos observar que a) o gráfico nunca intercepta o eixo horizontal; a função não tem raízes; b) o gráfico corta o eixo vertical no ponto (0,1); c) os valores de y são sempre positivos (potência de base positiva é positiva), portanto o conjunto imagem é Im=IR+. Além disso, podemos estabelecer o seguinte:Prof: Linhares e Júlio Página 47
  48. 48. a>1 0<a<1 f(x) é crescente e Im=IR+ f(x) é decrescente e Im=IR+ Para quaisquer x1 e x2 do domínio: Para quaisquer x1 e x2 do domínio: x2>x1  y2>y1 (as desigualdades têm x2>x1  y2<y1 (as desigualdades têm mesmo sentido) sentidos diferentes) INEQUAÇÕES EXPONENCIAIS Chamamos de inequações exponenciais toda inequação na qual aincógnita aparece em expoente.Exemplos de inequações exponenciais:1) 3 x  81 (a solução é x  4) 12) 2 2x-2  2 x 2 (que é satisfeita para todo x real) x 3 4 43)      (que é satisfeita para x  -3) 5 54) 25 x - 150.5 x  3125  0 (que é satisfeita para 2  x  3) Para resolver inequações exponenciais, devemos realizar dois passosimportantes: 1º) redução dos dois membros da inequação a potências de mesmabase; 2º) aplicação da propriedade: a>1 0<a<1 am > an  m>n am > an  m<n(as desigualdades têm mesmo sentido) (as desigualdades têm sentidos diferentes)Prof: Linhares e Júlio Página 48
  49. 49. EXERCÍCIO RESOLVIDO:  111) 4 x 1  4 x  4 x 1  4Resolução : 4x  11A inequação pode ser escrita  4 x  4 x .4  . 4 4M ultiplicando ambos os lados por 4 temos :4 x  4.4 x  16.4 x  11 , ou seja :(1  4  16).4 x  11  -11.4 x  11 e daí, 4 x  1Porém, 4 x  1  4 x  4 0.Como a base (4) é maior que 1, obtemos :4 x  40  x  0Portanto S  IR - (reais negativos)Prof: Linhares e Júlio Página 49
  50. 50. FUNÇÃO LOGARÍTMICA A função f:IR+IR definida por f(x)=logax, com a1 e a>0, échamada função logarítmica de base a. O domínio dessa função é oconjunto IR+ (reais positivos, maiores que zero) e o contradomínio é IR(reais). GRÁFICO CARTESIANO DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA Temos 2 casos a considerar:  quando a>1;  quando 0<a<1. Acompanhe nos exemplos seguintes, a construção do gráfico emcada caso:3) y=log2x (nesse caso, a=2, logo a>1) Atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores de y, obtemos a tabela e o gráfico abaixo: x 1/4 1/2 1 2 4 y -2 -1 0 1 24) y=log(1/2)x (nesse caso, a=1/2, logo 0<a<1) Atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores de y, obtemos a tabela e o gráfico abaixo:Prof: Linhares e Júlio Página 50
  51. 51. x 1/4 1/2 1 2 4 y 2 1 0 -1 -2 Nos dois exemplos, podemos observar que d) o gráfico nunca intercepta o eixo vertical; e) o gráfico corta o eixo horizontal no ponto (1,0). A raiz da função é x=1; f) y assume todos os valores reais, portanto o conjunto imagem é Im=IR. Além disso, podemos estabelecer o seguinte: a>1 0<a<1 f(x) é crescente e Im=IR f(x) é decrescente e Im=IR Para quaisquer x1 e x2 do domínio: Para quaisquer x1 e x2 do domínio: x2>x1  y2>y1 (as desigualdades têm x2>x1  y2<y1 (as desigualdades têm mesmo sentido) sentidos diferentes)Prof: Linhares e Júlio Página 51
  52. 52. EQUAÇÕES LOGARÍTMICAS Chamamos de equações logarítmicas toda equação que envolvelogaritmos com a incógnita aparecendo no logaritmando, na base ou emambos.Exemplos de equações logarítmicas:7) log3x =5 (a solução é x=243)8) log(x2-1) = log 3 (as soluções são x’=-2 e x’’=2)9) log2(x+3) + log2(x-3) = log27 (a solução é x=4)10) logx+1(x2-x)=2 (a solução é x=-1/3)Alguns exemplos resolvidos:1) log3(x+5) = 2 Resolução: condição de existência: x+5>0 => x>-5 log3(x+5) = 2 => x+5 = 32 => x=9-5 => x=4 Como x=4 satisfaz a condição de existência, então o conjuntosolução é S={4}.2) log2(log4 x) = 1 Resolução: condição de existência: x>0 e log4x>0 log2(log4 x) = 1 ; sabemos que 1 = log2(2), então log2(log4x) = log2(2) => log4x = 2 => 42 = x => x=16 Como x=16 satisfaz as condições de existência, então oconjunto solução é S={16}.3) Resolva o sistema:log x  log y  73. log x  2. log y  1Resolução: condições de existência: x>0 e y>0Da primeira equação temos:log x+log y=7 => log y = 7-log xSubstituindo log y na segunda equação temos:3.log x – 2.(7-log x)=1 => 3.log x-14+2.log x = 1 => 5.log x = 15 =>=> log x =3 => x=103Substituindo x= 103 em log y = 7-log x temos:Prof: Linhares e Júlio Página 52
  53. 53. log y = 7- log 103 => log y = 7-3 => log y =4 => y=104.Como essas raízes satisfazem as condições de existência, então o conjuntosolução é S={(103;104)}. INEQUAÇÕES LOGARÍTMICAS Chamamos de inequações logarítmicas toda inequação que envolvelogaritmos com a incógnita aparecendo no logaritmando, na base ou emambos.Exemplos de inequações logarítmicas: 1) log2x > 0 (a solução é x>1) 2) log4(x+3)  1 (a solução é –3<x1) Para resolver inequações logarítmicas, devemos realizar dois passosimportantes: 1º) redução dos dois membros da inequação a logaritmos de mesmabase; 2º) aplicação da propriedade: a>1 0<a<1 logam > logan  m>n>0 logam > logan  0<m<n(as desigualdades têm mesmo sentido) (as desigualdades têm sentidos diferentes)EXERCÍCIOS RESOLVIDOS:1) log2(x+2) > log28 Resolução: Condições de existência: x+2>0, ou seja, x>-2 (S1) Como a base (2) é maior que 1, temos: x+2>8 e, daí, x>6 (S2) O conjunto solução é S= S1  S2 = {x  IR| x>6}. Portanto a solução final é a intersecção de S1 e S2, como estárepresentado logo abaixo no desenho:Prof: Linhares e Júlio Página 53
  54. 54. 2) log2(log3x)  0 Resolução: Condições de existência: x>0 e log3x>0 Como log21=0, a inequação pode ser escrita assim: log2(log3x)  log21 Sendo a base (2) maior que 1, temos: log3x  1. Como log33 = 1, então, log3x  log33 e, daí, x  3, porque a base (3) é maior que 1. As condições de existência estão satisfeitas, portanto S={x  IR| x  3}.Prof: Linhares e Júlio Página 54
  55. 55. Função Quadrática Definição Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 2º grau, qualquerfunção f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax2 + bx + c, onde a,b e c são números reais e a 0. Vejamos alguns exemplos de função quadráticas: 1. f(x) = 3x2 - 4x + 1, onde a = 3, b = - 4 e c = 1 2. f(x) = x2 -1, onde a = 1, b = 0 e c = -1 3. f(x) = 2x2 + 3x + 5, onde a = 2, b = 3 e c = 5 4. f(x) = - x2 + 8x, onde a = 1, b = 8 e c = 0 5. f(x) = -4x2, onde a = - 4, b = 0 e c = 0Gráfico O gráfico de uma função polinomial do 2º grau, y = ax2 + bx + c, com a 0, é uma curva chamada parábola.Exemplo: Vamos construir o gráfico da função y = x 2 + x: Primeiro atribuímos a x alguns valores, depois calculamos o valorcorrespondente de y e, em seguida, ligamos os pontos assim obtidos. x y -3 6 -2 2 -1 0 0 0 1 2 2 6Prof: Linhares e Júlio Página 55
  56. 56. Observação: Ao construir o gráfico de uma função quadrática y = ax2 + bx + c,notaremos sempre que: se a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima; se a < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo;Zero e Equação do 2º Grau Chama-se zeros ou raízes da função polinomial do 2º grau f(x) = ax2 +bx + c , a 0, os números reais x tais que f(x) = 0. Então as raízes da função f(x) = ax2 + bx + c são as soluções da equaçãodo 2º grau ax2 + bx + c = 0, as quais são dadas pela chamada fórmula deBhaskara: Temos:Observação A quantidade de raízes reais de uma função quadrática depende do valorobtido para o radicando , chamado discriminante, a saber: quando é positivo, há duas raízes reais e distintas; quando é zero, há só uma raiz real; quando é negativo, não há raiz real.Coordenadas do vértice da parábola Quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima e um pontode mínimo V; quando a < 0, a parábola tem concavidade voltada para baixoe um ponto de máximo V.Prof: Linhares e Júlio Página 56
  57. 57. Em qualquer caso, as coordenadas de V são . Veja os gráficos:Prof: Linhares e Júlio Página 57
  58. 58. Imagem O conjunto-imagem Im da função y = ax2 + bx + c, a 0, é o conjuntodos valores que y pode assumir. Há duas possibilidades:1ª - quando a > 0, a>02ª quando a < 0, a<0Prof: Linhares e Júlio Página 58
  59. 59. Construção da Parábola É possível construir o gráfico de uma função do 2º grau sem montar atabela de pares (x, y), mas seguindo apenas o roteiro de observaçãoseguinte: 1. O valor do coeficiente a define a concavidade da parábola; 2. Os zeros definem os pontos em que a parábola intercepta o eixo dos x; 3. O vértice V indica o ponto de mínimo (se a > 0), ou máximo (se a< 0); 4. A reta que passa por V e é paralela ao eixo dos y é o eixo de simetria da parábola; 5. Para x = 0 , temos y = a · 02 + b · 0 + c = c; então (0, c) é o ponto em que a parábola corta o eixo dos y.Sinal Consideramos uma função quadrática y = f(x) = ax2 + bx + c edeterminemos os valores de x para os quais y é negativo e os valores de xpara os quais y é positivos. 2 Conforme o sinal do discriminante = b - 4ac, podemos ocorrer osseguintes casos:1º- >0 Nesse caso a função quadrática admite dois zeros reais distintos (x1Prof: Linhares e Júlio Página 59
  60. 60. x2). a parábola intercepta o eixo Ox em dois pontos e o sinal da função é oindicado nos gráficos abaixo: quando a > 0y > 0 (x < x1 ou x > x2)y < 0 x1 < x < x2 quando a < 0y > 0 x1 < x < x2y<0 (x < x1 ou x > x2)Prof: Linhares e Júlio Página 60
  61. 61. 2º - =0 quando a > 0 quando a < 0Prof: Linhares e Júlio Página 61
  62. 62. 3º - <0 quando a > 0Prof: Linhares e Júlio Página 62
  63. 63. quando a < 0 GEOMETRIA ANALÍTICARetasIntrodução Entre os pontos de uma reta e os números reais existe umacorrespondência biunívoca, isto é, a cada ponto de reta corresponde umúnico número real e vice-versa. Considerando uma reta horizontal x, orientada da esquerda para direita(eixo), e determinando um ponto O dessa reta ( origem) e um segmento u,unitário e não-nulo, temos que dois números inteiros e consecutivosdeterminam sempre nesse eixo um segmento de reta de comprimento u:Medida algébrica de um segmento Fazendo corresponder a dois pontos, A e B, do eixo x os números reais xAe xB , temos:Prof: Linhares e Júlio Página 63
  64. 64. A medida algébrica de um segmento orientado é o número real quecorresponde à diferença entre as abscissas da extremidade e da origemdesse segmento.Plano cartesiano A geometria analítica teve como principal idealizador o filósofo francêsRené Descartes ( 1596-1650). Com o auxílio de um sistema de eixosassociados a um plano, ele faz corresponder a cada ponto do plano um parordenado e vice-versa. Quando os eixos desse sistemas são perpendiculares na origem, essacorrespondência determina um sistema cartesiano ortogonal ( ou planocartesiano). Assim, há uma reciprocidade entre o estudo da geometria (ponto, reta, circunferência) e da Álgebra ( relações, equações etc.),podendo-se representar graficamente relações algébricas e expressaralgebricamente representações gráficas. Observe o plano cartesiano nos quadros quadrantes:Prof: Linhares e Júlio Página 64
  65. 65. Exemplos: A(2, 4) pertence ao 1º quadrante (xA > 0 e yA > 0) B(-3, -5) pertence ao 3º quadrante ( xB < 0 e yB < 0)Observação: Por convenção, os pontos localizados sobre os eixos não estãoem nenhum quadrante.Distância entre dois pontos Dados os pontos A(xA, yA) e B(xB, yB) e sendo dAB a distância entre eles,temos: Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo ABC, vem:Como exemplo, vamos determinar a distância entre os pontos A(1, -1) eB(4, -5):Prof: Linhares e Júlio Página 65
  66. 66. Equações de uma retaEquação geral Podemos estabelecer a equação geral de uma reta a partir da condição dealinhamento de três pontos. Dada uma reta r, sendo A(xA, yA) e B(xB, yB) pontos conhecidos edistintos de r e P(x,y) um ponto genérico, também de r, estando A, B e Palinhados, podemos escrever: Fazendo yA - yB = a, xB - xA = b e xAyB - xByA=c, como a e b não sãosimultaneamente nulos , temos: ax + by + c = 0(equação geral da reta r) Essa equação relaciona x e y para qualquer ponto P genérico da reta.Assim, dado o ponto P(m, n):Prof: Linhares e Júlio Página 66
  67. 67. se am + bn + c = 0, P é o ponto da reta; se am + bn + c 0, P não é ponto da reta. Acompanhe os exemplos: Vamos considerar a equação geral da reta r que passa por A(1, 3) e B(2, 4). Considerando um ponto P(x, y) da reta, temos: Vamos verificar se os pontos P(-3, -1) e Q(1, 2) pertencem à reta r do exemplo anterior. Substituindo as coordenadas de P em x - y + 2 = 0, temos:-3 - (-1) + 2 = 0 -3 + 1 + 2 = 0 Como a igualdade é verdadeira, então P r. Substituindo as coordenadas de Q em x - y + 2 = 0, obtemos:1-2+2 0 Como a igualdade não é verdadeira, então Q r.Prof: Linhares e Júlio Página 67
  68. 68. Geometria Analítica: CircunferênciaEquações da circunferênciaEquação reduzida Circunferência é o conjunto de todos os pontos de um planoeqüidistantes de um ponto fixo, desse mesmo plano, denominado centro dacircunferência: Assim, sendo C(a, b) o centro e P(x, y) um ponto qualquer dacircunferência, a distância de C a P(dCP) é o raio dessa circunferência.Então: Portanto, (x - a)2 + (y - b)2 =r2 é a equação reduzida da circunferência epermite determinar os elementos essenciais para a construção dacircunferência: as coordenadas do centro e o raio.Prof: Linhares e Júlio Página 68
  69. 69. Observação: Quando o centro da circunfer6encia estiver na origem (C(0,0)), a equação da circunferência será x2 + y2 = r2 .Equação geral Desenvolvendo a equação reduzida, obtemos a equação geral dacircunferência: Como exemplo, vamos determinar a equação geral da circunferência decentro C(2, -3) e raio r = 4. A equação reduzida da circunferência é:( x - 2 )2 +( y + 3 )2 = 16 Desenvolvendo os quadrados dos binômios, temos: Geometria Analítica - CônicasElipse Considerando, num plano , dois pontos distintos, F1 e F2 , e sendo 2aum número real maior que a distância entre F1 e F2, chamamos de elipse oconjunto dos pontos do plano tais que a soma das distâncias dessespontos a F1 e F2 seja sempre igual a 2a. Por exemplo, sendo P, Q, R, S, F1 e F2 pontos de um mesmo plano e F1F2< 2a, temos:Prof: Linhares e Júlio Página 69
  70. 70. A figura obtida é uma elipse.Observações:1ª) A Terra descreve uma trajetória elíptica em torno do sol, que é um dosfocos dessa trajetória. A lua em torno da terra e os demais satélites em relação a seusrespectivos planetas também apresentam esse comportamento.2ª) O cometa de Halley segue uma órbita elíptica, tendo o Sol como um dosfocos.3ª) As elipses são chamadas cônicas porque ficam configuradas pelo cortefeito em um cone circular reto por um plano oblíquo em relação à sua base.Elementos Observe a elipse a seguir. Nela, consideramos os seguintes elementos:Prof: Linhares e Júlio Página 70
  71. 71. focos : os pontos F1 e F2 centro: o ponto O, que é o ponto médio de semi-eixo maior: a semi-eixo menor: b semidistância focal: c vértices: os pontos A1, A2, B1, B2 eixo maior: eixo menor: distância focal:Relação fundamental Na figura acima, aplicando o Teorema de Pitágoras ao tri6angulo OF2B2, retângulo em O, podemos escrever a seguinte relação fundamental: a2 =b2 + c2Excentricidade Chamamos de excentricidade o número real e tal que: Pela definição de elipse, 2c < 2a, então c < a e, conseqüentemente, 0 < e< 1.Observação:Quando os focos são muito próximos, ou seja, c é muitopequeno, a elipse se aproxima de uma circunferência.Prof: Linhares e Júlio Página 71
  72. 72. Equações Vamos considerar os seguintes casos:a) elipse com centro na origem e eixo maior horizontal Sendo c a semidistância focal, os focos da elipse são F1(-c, 0) e F2(c, 0): Aplicando a definição de elipse , obtemos a equação daelipse:b) elipse com centro na origem e eixo maior vertical Nessas condições, a equação da elipse é:Prof: Linhares e Júlio Página 72
  73. 73. Hipérbole Considerando, num plano , dois pontos distintos, F1 e F2 , e sendo 2aum número real menor que a distância entre F1 e F2 , chamamos dehipérbole o conjunto dos pontos do plano tais que o módulo da diferençadas dist6ancias desses pontos a F1 e F2 seja sempre igual a 2a. Por exemplo, sendo P, Q, R, S, F1 e F2 pontos de um mesmo plano eF1F2 = 2c, temos:Prof: Linhares e Júlio Página 73
  74. 74. A figura obtida é uma hipérbole.Observação:Os dois ramos dahipérbole são determinados por umplano paralelo ao eixo de simetria dedois cones circulares retos e opostospelo vértice:Parábola Dados uma reta d e um ponto F , de um plano , chamamos deparábola o conjunto de pontos do plano eqüidistantes de F e d. Assim, sendo, por exemplo, F, P, Q e R pontos de um plano e d umareta desse mesmo plano, de modo que nenhum ponto pertença a d, temos:Observações:Prof: Linhares e Júlio Página 74
  75. 75. 1ª) A parábola é obtida seccionando-se obliquamente um cone circular reto:2ª) Os telescópios refletores mais simples têm espelhos com secções planasparabólicas.3ª) As trajetórias de alguns cometas são parábolas, sendo que o Sol ocupa ofoco.4ª) A superfície de um líquido contido em um cilindro que gira em torno deseu eixo com velocidade constante é parabólica.Prof: Linhares e Júlio Página 75
  76. 76. MatrizesIntrodução O crescente uso dos computadores tem feito com que a teoria dasmatrizes seja cada vez mais aplicada em áreas como Economia,Engenharia, Matemática, Física, dentre outras. Vejamos um exemplo. A tabela a seguir representa as notas de três alunos em uma etapa: Química Inglês Literatura Espanhol A 8 7 9 8 B 6 6 7 6 C 4 8 5 9 Se quisermos saber a nota do aluno B em Literatura, basta procurar onúmero que fica na segunda linha e na terceira coluna da tabela. Vamos agora considerar uma tabela de números dispostos em linhas ecolunas, como no exemplo acima, mas colocados entre parênteses oucolchetes: Em tabelas assim dispostas, os números são os elementos. As linhas sãoenumeradas de cima para baixo e as colunas, da esquerda para direita:Prof: Linhares e Júlio Página 76
  77. 77. Tabelas com m linhas e n colunas ( m e n números naturais diferentes de0) são denominadas matrizes m x n. Na tabela anterior temos, portanto,uma matriz 3 x 3. Veja mais alguns exemplos: é uma matriz do tipo 2 x 3 é uma matriz do tipo 2 x 2Notação geral Costuma-se representar as matrizes por letras maiúsculas e seuselementos por letras minúsculas, acompanhadas por dois índices queindicam, respectivamente, a linha e a coluna que o elemento ocupa. Assim, uma matriz A do tipo m x n é representada por:ou, abreviadamente, A = [aij]m x n, em que i e j representam,respectivamente, a linha e a coluna que o elemento ocupa. Por exemplo, namatriz anterior, a23 é o elemento da 2ª linha e da 3ª coluna.Prof: Linhares e Júlio Página 77
  78. 78. Na matriz , temos: Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ], temos: a11 = -1, a12 = 0, a13 = 2 e a14 = 5.Denominações especiais Algumas matrizes, por suas características, recebem denominaçõesespeciais. Matriz linha: matriz do tipo 1 x n, ou seja, com uma única linha. Por exemplo, a matriz A =[4 7 -3 1], do tipo 1 x 4. Matriz coluna: matriz do tipo m x 1, ou seja, com uma única coluna. Por exemplo, , do tipo 3 x 1 Matriz quadrada: matriz do tipo n x n, ou seja, com o mesmo número de linhas e colunas; dizemos que a matriz é de ordem n. Por exemplo, a matriz é do tipo 2 x 2, isto é, quadrada de ordem 2. Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonalsecundária. A principal é formada pelos elementos aij tais que i = j. Nasecundária, temos i + j = n + 1. Veja:Prof: Linhares e Júlio Página 78
  79. 79. Observe a matriz a seguir:a11 = -1 é elemento da diagonal principal, pis i = j = 1a31= 5 é elemento da diagonal secundária, pois i + j = n + 1 ( 3 + 1 = 3 + 1) Matriz nula: matriz em que todos os elementos são nulos; é representada por 0m x n.Por exemplo, . Matriz diagonal: matriz quadrada em que todos os elementos que não estão na diagonal principal são nulos. Por exemplo: Matriz identidade: matriz quadrada em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os demais são nulos; é representada por In, sendo n a ordem da matriz. Por exemplo:Prof: Linhares e Júlio Página 79
  80. 80. Assim, para uma matriz identidade . Matriz transposta: matriz At obtida a partir da matriz A trocando- se ordenadamente as linhas por colunas ou as colunas por linhas. Por exemplo: Desse modo, se a matriz A é do tipo m x n, At é do tipo n x m. Note que a 1ª linha de A corresponde à 1ª coluna de At e a 2ª linha de Acorresponde à 2ª coluna de At. Matriz simétrica: matriz quadrada de ordem n tal que A = At . Por exemplo, é simétrica, pois a12 = a21 = 5, a13 = a31 = 6, a23 = a32 =4, ou seja, temos sempre a ij = a ij. Matriz oposta: matriz -A obtida a partir de A trocando-se o sinal de todos os elementos de A. Por exemplo, .Prof: Linhares e Júlio Página 80
  81. 81. Igualdade de matrizes Duas matrizes, A e B, do mesmo tipo m x n, são iguais se, e somente se,todos os elementos que ocupam a mesma posição são iguais: .Operações envolvendo matrizesAdição Dadas as matrizes , chamamos de soma dessasmatrizes a matriz , tal que Cij = aij + bij , para todo : A+B=CExemplos:Observação: A + B existe se, e somente se, A e B forem do mesmo tipo.Propriedades Sendo A, B e C matrizes do mesmo tipo ( m x n), temos as seguintespropriedades para a adição:a) comutativa: A + B = B + Ab) associativa: ( A + B) + C = A + ( B + C)Prof: Linhares e Júlio Página 81
  82. 82. c) elemento neutro: A + 0 = 0 + A = A, sendo 0 a matriz nula m x nd) elemento oposto: A + ( - A) = (-A) + A = 0Subtração Dadas as matrizes , chamamos de diferença entreessas matrizes a soma de A com a matriz oposta de B: A-B=A+(-B)Observe:Multiplicação de um número real por uma matriz Dados um número real x e uma matriz A do tipo m x n, o produto de xpor A é uma matriz B do tipo m x n obtida pela multiplicação de cadaelemento de A por x, ou seja, bij = xaij: B = x.A Observe o seguinte exemplo:Propriedades Sendo A e B matrizes do mesmo tipo ( m x n) e x e y números reaisquaisquer, valem as seguintes propriedades:a) associativa: x . (yA) = (xy) . AProf: Linhares e Júlio Página 82
  83. 83. b) distributiva de um número real em relação à adição de matrizes: x . (A +B) = xA + xBc) distributiva de uma matriz em relação à adição de dois números reais: (x+ y) . A = xA + yAd) elemento neutro : xA = A, para x=1, ou seja, A=AMultiplicação de matrizes O produto de uma matriz por outra não é determinado por meio doproduto dos sus respectivos elementos. Assim, o produto das matrizes A = ( aij) m x p e B = ( bij) p x n é a matriz C= (cij) m x n em que cada elemento cij é obtido por meio da soma dosprodutos dos elementos correspondentes da i-ésima linha de A peloselementos da j-ésima coluna B. Vamos multiplicar a matriz para entender como seobtém cada Cij: 1ª linha e 1ª coluna 1ª linha e 2ª coluna 2ª linha e 1ª coluna 2ª linha e 2ª colunaProf: Linhares e Júlio Página 83
  84. 84. Assim, . Observe que: Portanto, .A, ou seja, para a multiplicação de matrizes não vale apropriedade comutativa. Vejamos outro exemplo com as matrizes : Da definição, temos que a matriz produto A . B só existe se o número decolunas de A for igual ao número de linhas de B:Prof: Linhares e Júlio Página 84
  85. 85. A matriz produto terá o número de linhas de A (m) e o número decolunas de B(n): Se A3 x 2 e B 2 x 5 , então ( A . B ) 3 x 5 Se A 4 x 1 e B 2 x 3, então não existe o produto Se A 4 x 2 e B 2 x 1, então ( A . B ) 4 x 1Propriedades Verificadas as condições de existência para a multiplicação de matrizes,valem as seguintes propriedades:a) associativa: ( A . B) . C = A . ( B . C )b) distributiva em relação à adição: A . ( B + C ) = A . B + A . C ou(A+B).C=A.C+B.Cc) elemento neutro: A . In = In . A = A, sendo In a matriz identidade deordem n Vimos que a propriedade comutativa, geralmente, não vale para amultiplicação de matrizes. Não vale também o anulamento do produto, ouseja: sendo 0 m x n uma matriz nula, A .B =0 m x n não implica,necessariamente, que A = 0 m x n ou B = 0 m x n.Matriz inversa Dada uma matriz A, quadrada, de ordem n, se existir uma matriz A, demesma ordem, tal que A . A = A . A = In , então A é matriz inversa de A .Representamos a matriz inversa por A-1 .Prof: Linhares e Júlio Página 85
  86. 86. Grandezas - Introdução Entendemos por grandeza tudo aquilo que pode ser medido, contado.As grandezas podem ter suas medidas aumentadas ou diminuídas. Alguns exemplos de grandeza: o volume, a massa, a superfície, ocomprimento, a capacidade, a velocidade, o tempo, o custo e a produção. É comum ao nosso dia-a-dia situações em que relacionamos duas oumais grandezas. Por exemplo: Em uma corrida de "quilômetros contra o relógio", quanto maior for avelocidade, menor será o tempo gasto nessa prova. Aqui as grandezas são avelocidade e o tempo. Num forno utilizado para a produção de ferro fundido comum, quantomaior for o tempo de uso, maior será a produção de ferro. Nesse caso, asgrandezas são o tempo e a produção.Grandezas diretamente proporcionais Um forno tem sua produção de ferro fundido de acordo com a tabelaabaixo: Tempo Produção (Kg) (minutos) 5 100 10 200 15 300 20 400Observe que uma grandeza varia de acordo com a outra. Essas grandezassão variáveis dependentes. Observe que:Quando duplicamos o tempo, a produção também duplica.5min ----> 100Kg10 min ----> 200KgQuando triplicamos o tempo, a produção também triplica.5min ----> 100Kg15 min ----> 300KgAssim:Prof: Linhares e Júlio Página 86
  87. 87. Duas grandezas variáveis dependentes são diretamente proporcionais quando a razão entre os valores da 1ª grandeza é igual a razão entre os valores correspondentes da 2ªVerifique na tabela que a razão entre dois valores de uma grandeza é iguala razão entre os dois valores correspondentes da outra grandeza.Grandezas inversamente proporcionais Um ciclista faz um treino para a prova de "1000 metros contra orelógio", mantendo em cada volta uma velocidade constante e obtendo,assim, um tempo correspondente, conforme a tabela abaixo Velocidade (m/s) Tempo (s) 5 200 8 125 10 100 16 62,5 20 50Observe que uma grandeza varia de acordo com a outra. Essas grandezassão variáveis dependentes. Observe que:Quando duplicamos a velocidade, o tempo fica reduzido à metade.5m/s ----> 200s10 m/s ----> 100sQuando quadriplicamos a velocidade, o tempo fica reduzido à quartaparte.5m/s ----> 200s20 m/s ----> 50sAssim:Prof: Linhares e Júlio Página 87
  88. 88. Duas grandezas variáveis dependentes são inversamente proporcionais quando arazão entre os valores da 1ª grandeza é igual ao inverso da razão entre osvalores correspondentes da 2ª. Verifique na tabela que a razão entre dois valores de uma grandeza é igual ao inverso da razão entre os dois valores correspondentes da outra grandeza. Prof: Linhares e Júlio Página 88
  89. 89. POLINÔMIOS  Definição Uma função polinomial ou simplesmente polinômio, é toda funçãodefinida pela relação P(x)=anxn + an-1.xn-1 + an-2.xn-2 + ... + a2x2 + a1x + a0. Onde: an, an-1, an-2, ..., a2, a1, a0 são números reais chamados coeficientes. n  IN x  C (nos complexos) é a variável. GRAU DE UM POLINÔMIO: Grau de um polinômio é o expoente máximo que ele possui. Se ocoeficiente an0, então o expoente máximo n é dito grau do polinômio eindicamos gr(P)=n. Exemplos: a) P(x)=5 ou P(x)=5.x0 é um polinômio constante, ou seja, gr(P)=0. b) P(x)=3x+5 é um polinômio do 1º grau, isto é, gr(P)=1. c) P(x)=4x5+7x4 é um polinômio do 5º grau, ou seja, gr(P)=5. Obs: Se P(x)=0, não se define o grau do polinômio.  Valor numérico O valor numérico de um polinômio P(x) para x=a, é o número que seobtém substituindo x por a e efetuando todas as operações indicadas pelarelação que define o polinômio. Exemplo: Se P(x)=x3+2x2+x-4, o valor numérico de P(x), para x=2, é: P(x)= x3+2x2+x-4 P(2)= 23+2.22+2-4 P(2)= 14 Observação: Se P(a)=0, o número a chamado raiz ou zero de P(x). Por exemplo, no polinômio P(x)=x2-3x+2 temos P(1)=0; logo, 1 é raizou zero desse polinômio.Prof: Linhares e Júlio Página 89
  90. 90. Alguns exercícios resolvidos: 1º) Sabendo-se que –3 é raiz de P(x)=x3+4x2-ax+1, calcular o valor de a. Resolução: Se –3 é raiz de P(x), então P(-3)=0. P(-3)=0 => (-3)3+4(-3)2-a.(-3)+1 = 0 3a = -10 => a=-10/3 Resposta: a=-10/3 2º) Calcular m  IR para que o polinômio P(x)=(m2-1)x3+(m+1)x2-x+4 seja: a) do 3ºgrau b) do 2º grau c) do 1º grau Resposta: a) para o polinômio ser do 3º grau, os coeficientes de x2 e x3 devem ser diferentes de zero. Então: m2-10 => m21 => m1 m+10 => m-1 Portanto, o polinômio é do 3º grau se m1 e m-1. b) para o polinômio ser do 2º grau, o coeficiente de x 3 deve ser igual a zero e o coeficiente de x2 diferente de zero. Então: m2-1=0 => m2=1 => m=1 m+10 => m-1 Portanto, o polinômio é do 2º grau se m=1. c) para o polinômio ser do 1º grau, os coeficientes de x2 e x3 devem ser iguais a zero. Então: m2-1=0 => m2=1 => m=1 m+1=0 => m=-1 Portanto, o polinômio é do 1º grau se m=-1.3º) Num polinômio P(x), do 3º grau, o coeficiente de x3 é 1. SeP(1)=P(2)=0 e P(3)=30, calcule o valor de P(-1).Resolução:Temos o polinômio: P(x)=x3+ax2+bx+c.Precisamos encontrar os valores de a,b e c (coeficientes).Vamos utilizar os dados fornecidos pelo enunciado do problema:P(1)=0 => (1)3+a.(1)2+b(1)+c = 0 => 1+a+b+c=0 => a+b+c=-1P(2)=0 => (2)3+a.(2)2+b(2)+c = 0 => 8+4a+2b+c=0 => 4a+2b+c=-8P(3)=30 => (3)3+a.(3)2+b(3)+c = 30 => 27+9a+3b+c=30 => 9a+3b+c=3Prof: Linhares e Júlio Página 90
  91. 91. Temos um sistema de três variáveis: a  b  c  -1  4a  2b  c  -8 9a  3b  c  3 Resolvendo esse sistema encontramos as soluções:a=9, b=-34, c=24Portanto o polinômio em questão é P(x)= x3+9x2-34x+24.O problema pede P(-1):P(-1)= (-1)3+9(-1)2-34(-1)+24 => P(-1)=-1+9+34+24P(-1)= 66Resposta: P(-1)= 66  Polinômios iguais Dizemos que dois polinômios A(x) e B(x) são iguais ou idênticos (eindicamos A(x)B(x)) quando assumem valores numéricos iguais paraqualquer valor comum atribuído à variável x. A condição para que doispolinômios sejam iguais ou idênticos é que os coeficientes dos termoscorrespondentes sejam iguais. Exemplo: Calcular a,b e c, sabendo-se que x2-2x+1  a(x2+x+1)+(bx+c)(x+1). Resolução: Eliminando os parênteses e somando os termos semelhantesdo segundo membro temos: x2-2x+1  ax2+ax+a+bx2+bx+cx+c 1x2-2x+1  (a+b)x2+(a+b+c)x+(a+c) Agora igualamos os coeficientes correspondentes: a  b  1  a  b  c  2 a  c  1  Substituindo a 1ª equação na 2ª: 1+c = -2 => c=-3. Colocando esse valor de c na 3ª equação, temos: a-3=1 => a=4. Colocando esse valor de a na 1ª equação, temos: 4+b=1 => b=-3. Resposta: a=4, b=-3 e c=-3.Prof: Linhares e Júlio Página 91
  92. 92. Obs: um polinômio é dito identicamente nulo se tem todos os seuscoeficientes nulos.  Divisão de polinômios Sejam dois polinômios P(x) e D(x), com D(x) não nulo. Efetuar a divisão de P por D é determinar dois polinômios Q(x) e R(x),que satisfaçam as duas condições abaixo: 1ª) Q(x).D(x) + R(x) = P(x) 2ª) gr(R) < gr(D) ou R(x)=0 P( x) D( x ) R( x) Q( x) Nessa divisão: P(x) é o dividendo. D(x) é o divisor. Q(x) é o quociente. R(x) é o resto da divisão. Obs: Quando temos R(x)=0 dizemos que a divisão é exata, ou seja, P(x)é divisível por D(x) ou D(x) é divisor de P(x). Se D(x) é divisor de P(x)  R(x)=0Exemplo:Determinar o quociente de P(x)=x4+x3-7x2+9x-1 por D(x)=x2+3x-2.Resolução: Aplicando o método da chave, temos: x 4  x3  7 x 2  9 x  1 x 2  3x  2  x 4  3x3  2 x 2 x 2  2 x  1  Q( x)  2 x3  5 x 2  9 x  1  2 x3  6 x 2  4 x x2  5x  1  x 2  3x  2 2 x  1  R( x)Prof: Linhares e Júlio Página 92
  93. 93. Verificamos que: x 4  -  1  (x 2  3x - 2) (x 2 - 2x  1)  (2x  1)   x 7x  9x    3 2 -   P(x) D(x) Q(x) R(x)  Divisão de um polinômio por um binômio da forma ax+b Vamos calcular o resto da divisão de P(x)=4x2-2x+3 por D(x)=2x-1. Utilizando o método da chave temos: 4x2  2x  3 2x  1  4x2  2x 2x 3 Logo: R(x)=3 A raiz do divisor é 2x-1=0 => x=1/2. Agora calculamos P(x) para x=1/2. P(1/2) = 4(1/4) – 2(1/2) + 3 P(1/2) = 3 Observe que R(x) = 3 = P(1/2) Portanto, mostramos que o resto da divisão de P(x) por D(x) é igual aovalor numérico de P(x) para x=1/2, isto é, a raiz do divisor.  Teorema do restoO resto da divisão de um polinômio P(x) pelo binômio ax+b é igual a P(-b/a). Note que –b/a é a raiz do divisor. Exemplo: Calcule o resto da divisão de x2+5x-1 por x+1. Resolução: Achamos a raiz do divisor: x+1=0 => x=-1 Pelo teorema do resto sabemos que o resto é igual a P(-1): P(-1)=(-1)2+5.(-1)-1 => P(-1) = -5 = R(x) Resposta: R(x) = -5.Prof: Linhares e Júlio Página 93
  94. 94.  Teorema de D’Alembert Um polinômio P(x) é divisível pelo binômio ax+b se P(-b/a)=0 Exemplo: Determinar o valor de p, para que o polinômio P(x)=2x3+5x2-px+2 seja divisível por x-2. Resolução: Se P(x) é divisível por x-2, então P(2)=0. P(2)=0 => 2.8+5.4-2p+2=0 => 16+20-2p+2=0 => p=19 Resposta: p=19.  Divisão de um polinômio pelo produto (x-a)(x-b) Vamos resolver o seguinte problema: calcular o resto da divisão dopolinômio P(x) pelo produto (x-a)(x-b), sabendo-se que os restos da divisãode P(x) por (x-a) e por (x-b) são, respectivamente, r1 e r2. Temos: a é a raiz do divisor x-a, portanto P(a)=r1 (eq. 1) b é a raiz do divisor x-b, portanto P(b)=r2 (eq. 2) E para o divisor (x-a)(x-b) temos P(x)=(x-a)(x-b) Q(x) + R(x) (eq.3) O resto da divisão de P(x) por (x-a)(x-b) é no máximo do 1º grau, pois odivisor é do 2º grau; logo: R(x)=cx+d Da eq.3 vem: P(x)=(x-a)(x-b) Q(x) + cx + d Fazendo: x=a => P(a) = c(a)+d (eq. 4) x=b => P(b) = c(b)+d (eq. 5) Das equações 1, 2, 4 e 5 temos: ca  d  r1  cb  d  r2 Resolvendo o sistema obtemos:Prof: Linhares e Júlio Página 94
  95. 95. r1  r2 ar  ar1 c e d 2 , com a  b ab ab r r ar  ar1 Logo : R( x)  1 2 x  2 , com a  b ab ab Observações: 1ª) Se P(x) for divisível por (x-a) e por (x-b), temos: P(a)= r1 =0 P(b)= r2 =0 Portanto, P(x) é divisível pelo produto (x-a)(x-b), pois: r1  r2 ar  ar1 R( x)  x 2  00  0 a b a b 2ª) Generalizando, temos: Se P(x) é divisível por n fatores distintos (x-a1), (x-a2),..., (x-an) entãoP(x) é divisível pelo produto (x-a1)(x-a2)...(x-an). Exemplo: Um polinômio P(x) dividido por x dá resto 6 e dividido por (x-1) dáresto 8. Qual o resto da divisão de P(x) por x(x-1)? Resolução: 0 é a raiz do divisor x, portanto P(0)=6 (eq. 1) 1 é a raiz do divisor x-1, portanto P(1)=8 (eq. 2) E para o divisor x(x-1) temos P(x)=x(x-1) Q(x) + R(x) (eq. 3) O resto da divisão de P(x) por x(x-1) é no máximo do 1º grau, pois odivisor é do 2º grau; logo: R(x)=ax+b Da eq.3 vem: P(x)=x(x-1) Q(x) + ax + b Fazendo: x=0 => P(0) = a(0)+b => P(0) = b (eq. 4) x=1 => P(1) = a(1)+b => P(1) = a+b (eq. 5) Das equações 1, 2, 4 e 5 temos: b  6  a  b  8Prof: Linhares e Júlio Página 95
  96. 96. Logo, b=6 e a=2. Agora achamos o resto: R(x) = ax+b = 2x+6 Resposta: R(x) = 2x+6.  O dispositivo de Briot-Ruffini Serve para efetuar a divisão de um polinômio P(x) por um binômio daforma (ax+b). Exemplo: Determinar o quociente e o resto da divisão do polinômioP(x)=3x3-5x2+x-2 por (x-2). Resolução:    RAIZ DO DIVISOR ES DE P(x)  COEFICIENT    2 3 5 1 2  3.(2)  5 1.(2)  1 3.(2)  2 1  3  3  4  COEFICIENTES DO QUOCIENTE Q(x) RESTO Observe que o grau de Q(x) é uma unidade inferior ao de P(x), pois odivisor é de grau 1. Resposta: Q(x)=3x2+x+3 e R(x)=4. Para a resolução desse problema seguimos os seguintes passos: 1º) Colocamos a raiz do divisor e os coeficientes do dividendoordenadamente na parte de cima da “cerquinha”. 2º) O primeiro coeficiente do dividendo é repetido abaixo. 3º) Multiplicamos a raiz do divisor por esse coeficiente repetido abaixoe somamos o produto com o 2º coeficiente do dividendo, colocando oresultado abaixo deste. 4º) Multiplicamos a raiz do divisor pelo número colocado abaixo do 2ºcoeficiente e somamos o produto com o 3º coeficiente, colocando oresultado abaixo deste, e assim sucessivamente. 5º) Separamos o último número formado, que é igual ao resto dadivisão, e os números que ficam à esquerda deste serão os coeficientes doquociente.Prof: Linhares e Júlio Página 96
  97. 97.  Decomposição de um polinômio em fatores Vamos analisar dois casos: 1º caso: O polinômio é do 2º grau. De uma forma geral, o polinômio de 2º grau P(x)=ax2+bx+c queadmite as raízes r1 e r2 pode ser decomposto em fatores do 1º grau, daseguinte forma: ax2+bx+c = a(x-r1)(x-r2) Exemplos: 1) Fatorar o polinômio P(x)=x2-4. Resolução: Fazendo x2-4=0, obtemos as raízes r1=2 e r2=-2. Logo: x2-4 = (x-2)(x+2). 2) Fatorar o polinômio P(x)=x2-7x+10. Resolução: Fazendo x2-7x+10=0, obtemos as raízes r1=5 e r2=2. Logo: x2-7x+10 = (x-5)(x-2). 2º caso: O polinômio é de grau maior ou igual a 3. Conhecendo uma das raízes de um polinômio de 3º grau, podemosdecompô-lo num produto de um polinômio do 1º grau por um polinômio do2º grau e, se este tiver raízes, podemos em seguida decompô-lo também. Exemplo: Decompor em fatores do 1º grau o polinômio 2x3-x2-x. Resolução: 2x3-x2-x = x.(2x2-x-1)  colocando x em evidência Fazendo x.(2x2-x-1) = 0 obtemos: x=0 ou 2x2-x-1=0. Uma das raízes já encontramos (x=0). As outras duas saem da equação: 2x2-x-1=0 => r1=1 e r2=-1/2. Portanto, o polinômio 2x3-x2-x, na forma fatorada é: 2.x.(x-1).(x+(1/2)).Generalizando, se o polinômio P(x)=anxn+an-1xn-1+...+a1x+a0 admite nraízes r1, r2,..., rn, podemos decompô-lo em fatores da seguinte forma: anxn+an-1xn-1+...+a1x+a0 = an(x-r1)(x-r2)...(x-rn)Prof: Linhares e Júlio Página 97
  98. 98. Observações: 1) Se duas, três ou mais raiz forem iguais, dizemos que são raízes duplas, triplas, etc. 2) Uma raiz r1 do polinômio P(x) é dita raiz dupla ou de multiplicidade 2 se P(x) é divisível por (x-r1)2 e não por (x-r1)3.Prof: Linhares e Júlio Página 98
  99. 99. PROBABILIDADE A história da teoria das probabilidades, teve início com os jogos decartas, dados e de roleta. Esse é o motivo da grande existência de exemplosde jogos de azar no estudo da probabilidade. A teoria da probabilidadepermite que se calcule a chance de ocorrência de um número em umexperimento aleatório. Experimento Aleatório É aquele experimento que quando repetido em iguais condições, podemfornecer resultados diferentes, ou seja, são resultados explicados ao acaso.Quando se fala de tempo e possibilidades de ganho na loteria, a abordagemenvolve cálculo de experimento aleatório. Espaço Amostral É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimentoaleatório. A letra que representa o espaço amostral, é S. Exemplo: Lançando uma moeda e um dado, simultaneamente, sendo S o espaçoamostral, constituído pelos 12 elementos: S = {K1, K2, K3, K4, K5, K6, R1, R2, R3, R4, R5, R6} 1. Escreva explicitamente os seguintes eventos: A={caras e m número par aparece}, B={um número primo aparece}, C={coroas e um número ímpar aparecem}. 2. Idem, o evento em que: a) A ou B ocorrem; b) B e C ocorrem; c) Somente B ocorre. 3. Quais dos eventos A,B e C são mutuamente exclusivosResolução: 1. Para obter A, escolhemos os elementos de S constituídos de um K e um número par: A={K2, K4, K6};Prof: Linhares e Júlio Página 99

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