O documento apresenta conceitos fundamentais de combinatória como fatorial, permutação, arranjo e combinação. É apresentada a definição formal do princípio fundamental da contagem e resolvidos exemplos ilustrativos de sua aplicação.

1. ANÁLISE COMBINATÓRIA
Professor: Josivaldo Passos.
FATORIAL
5! = 5.4.3.2.1 = 120
4! = 4.3.2.1 = 24
3! = 3.2.1 = 6
2! = 2.1 = 2
1! = 1
0! = 1 CONVENÇÃO
n! = n.(n 1) . (n 2) . (n 3). .... 2 . 1
Exemplo: Calcular o valor de: 10! 10.9. 8!
c) = = 90
8!
a) 4! + 3! b) 7! Observe que: 8!
24 + 6 7.6.5.4.3.2.1 4!+3! 7!
30 5040
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2. (n + 1)! = (n + 1).n.(n – 1).(n – 2).(n – 3)....
(n + 1)! = (n + 1).n.(n – 1)!
O conjunto solução de: Determine a soma dos valores
de m que satisfazem a equação
d)
50! 49! (m – 3)! = 1
210 é:
(n 1)!
49! (n 1)!
50.49! – 49! (m – 3)! = 1! ou (m – 3)! = 0!
(n 1)!
49! 210 m–3=1 m–3=0
(n 1)!
m=4 m=3
49!(50 – 1) (n + 1).n.(n – 1)!
= 210
49! (n – 1)! Logo a soma dos valores de m é 7
(n + 1).n = 210
49
n2 + n – 210 = 0
28/6/2011 n’ = 14 n’’ = - 15 2
(não convém)

3. PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM
O princípio fundamental da contagem, ou princípio multiplicativo,
estabelece um método indireto de contagem de um determinado evento,
sem que haja a necessidade de descrever todas as possibilidades.
Pode ser enunciado dessa forma:
Se um Evento E pode acontecer por n etapas sucessivas e
independentes de modo que:
E1 é o número de possibilidades da 1ª Etapa
E2 é o número de possibilidades da 2ª Etapa
:
:
En é o número de possibilidades da n-ésima Etapa
Então E1 . E2 . ......... .Ek é o número total de possibilidades do evento ocorrer.
Quantas placas para identificação de veículos podem ser confeccionadas
com 3 letras e 4 algarismos?
(Considere 26 letras, supondo que não há nenhuma restrição.)
26 26 26 10 10 10 10 = 175. 760. 000
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4. Quantos números de telefones com sete algarismos e prefixo 244 podem
ser formados ?
Alguns números possíveis Usando o princípio fundamental da contagem:
244 3215
244 5138 10 10 10 10
244 0008 244
244 2344
244 0000
: = 10 000 números
:
:
fixo
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5. Numa olimpíada de Matemática concorrem 100 participantes e serão
atribuídos dois prêmios, um para o 1º lugar e outro para o 2º lugar. De
quantas maneiras poderão ser distribuídos esses prêmios?
100 99
= 9900 maneiras
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6. USA TODOS ELEMENTOS PERMUTAÇÃO
ARRANJO
NÃO USA TODOS ELEMENTOS
IMPORTA ORDEM
COMBINAÇÃO
NÃO IMPORTA ORDEM
p n! p n!
FORMULÁRIO Pn = n! A C
n (n p)! n (n p)!p!
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7.  EXERCÍCIOS:
 1. De quantos modos distintos podemos
colocar 3 livros juntos em uma estante de
biblioteca?
 Resposta: 6
 2. Qual é o número possível de anagramas
que se pode montar com as letras da
palavra AMOR?
 Resposta: 24
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8.  3. Quantos números com cinco algarismos
distintos, podemos construir com os
números ímpares 1,3,5,7,9?
 Resposta: 120
 4. Quantos números com cinco algarismos
podemos construir com os números
ímpares 1,3,5,7,9, desde que estejam
sempre juntos os algarismos 1 e 3?
 Resposta: 48
 5. Quantos são os anagramas possíveis
com as letras: ABCDEFGHI, começando
por AB?
 Resposta: 5040
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9.  6. Há 10 pessoas em um local, sendo 3
com camisas verdes, 3 com camisas
amarelas, 2 com camisas azuis e 2 com
camisas brancas. De quantos modos
podemos perfilar todas essas 10 pessoas
de modo que os grupos com as camisas
de mesma cor fiquem juntos?
 Resposta: 3456
 7. Quantos grupos de 3 pessoas podem
ser montados com 8 pessoas?
 Resposta: 56
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10.  8. Quantos grupos de 2 pessoas podem
ser montados com 1000 pessoas?
 Resposta: 999000
 9. Em uma sala existem 20 pessoas, 8
mulheres e 12 homens. Quantas
comissões podem ser montadas nesta sala
contendo 3 mulheres e 5 homens?
 Resposta: 44352
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11.  10. Para resolver um assunto entre 6
professores e 4 alunos, devemos formar
comissões com 3 professores e 2 alunos.
Quantas são as possibilidades?
 Resposta: 120
 11. Quantos números distintos com 2
algarismos diferentes, podemos formar
com os dígitos: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.
 Resposta: 81
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12.  12. Usando-se apenas os algarismos
1,3,5,7,9 quantos números com 3
algarismos podem ser montados?
 Resposta: 60
 13. Usando-se as 26 letras do alfabeto:
A,B,C,D,...,Z quantos arranjos distintos
com 3 letras podem ser montados?
 Resposta: 15600
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