Este documento apresenta 122 problemas de geometria espacial resolvidos, cobrindo tópicos como relações entre volumes de sólidos geométricos inscritos e circunscritos uns aos outros (ex. tetraedros, octaedros, cones), cálculo de áreas de seções de planos em sólidos, e determinação de volumes de sólidos compostos a partir de outros. As soluções utilizam fórmulas da geometria espacial para cálculo de áreas e volumes.

1. GEOMETRIA ESPACIAL - V
Celso do Rosário Brasil Gonçalves
(101) Dada uma esfera de 6√ m de diâmetro, considere o octaedro regular nela inscrito,
bem como o plano paralelo a duas faces opostas do octaedro, tal que suas distâncias a essas
duas faces sejam diretamente proporcionais aos números 1 e 2. Calcule a área da secção que
o plano considerado produz no octaedro regular.
Solução
(102) Em um tetraedro regular inscreve-se uma esfera e nesta esfera inscreve-se um novo
tetraedro regular. Determine a relação entre os volumes dos dois tetraedros.
Solução
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2. GEOMETRIA ESPACIAL - V
Celso do Rosário Brasil Gonçalves
(103) O segmento AB de medida 8 cm é uma das diagonais de um octaedro regular. Calcule a
área total do hexaedro convexo, cujos vértices são os pontos médios das arestas do
octaedro dado.
Solução
(104) Dados um cubo e um tetraedro regular nele inscrito, considere o plano que contém o
centro do cubo e que é paralelo a uma das faces do tetraedro. Calcule a razão entre as áreas
das secções que esse plano produz nos dois sólidos dados.
Solução
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3. GEOMETRIA ESPACIAL - V
Celso do Rosário Brasil Gonçalves
(105) Em um prisma triangular regular se inscreve um cilindro. Que relação existe entre as
áreas laterais desses dois sólidos?
Solução
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4. GEOMETRIA ESPACIAL - V
Celso do Rosário Brasil Gonçalves
(106) Determine o volume de um cilindro de revolução circunscrito a um prisma triangular de
12 cm de altura, sendo a base do prisma um triângulo isósceles cujo ângulo do vértice mede
30°, sendo 5 cm a medida da base do triângulo.
Solução
(107) O raio de um cone é igual ao raio de uma esfera de 144π cm² de superfície, a geratriz
é os 5/3 do raio. Determine a razão entre os volumes de ambos os sólidos e o volume da
pirâmide regular de base hexagonal inscrita no cone.
Solução
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5. GEOMETRIA ESPACIAL - V
Celso do Rosário Brasil Gonçalves
(108) Determine o volume do octaedro cujos vértices são os pontos médios das faces do
paralelepípedo reto-retângulo de dimensões “a”, “b” e “c”.
Solução
(109) Calcule o volume de um cubo inscrito numa pirâmide quadrangular regular a 6 m de
altura e 3 m de aresta da base, sabendo que o cubo tem vértices sobre as arestas da
pirâmide.
Solução
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6. GEOMETRIA ESPACIAL - V
Celso do Rosário Brasil Gonçalves
(110) Dá-se a altura h de uma pirâmide regular de base quadrada e constrói-se sobre a base
um cubo, de modo que a face oposta à base corte a pirâmide num quadrado de lado “a”.
Calcule o lado da base da pirâmide.
Solução
(111) Um prisma quadrangular regular de 12√ m² de área lateral está inscrito num octaedro
regular de 32 √ m² de área total. Calcule o volume do prisma, sabendo que seus vértices
pertencem a arestas do octaedro.
Solução
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7. GEOMETRIA ESPACIAL - V
Celso do Rosário Brasil Gonçalves
(112) Num paralelepípedo retângulo a, b, c, assinalemos os pontos médios de todas as arestas
e unamos dois a dois aqueles pontos médios que pertencem a arestas concorrentes num
mesmo vértice. Suprimindo os oito tetraedros que ficam assim determinados nos triedros do
paralelepípedo, obtém-se um poliedro. Determine o volume desse poliedro em função de a, b,
c.
Solução
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8. GEOMETRIA ESPACIAL - V
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(113) Determine a razão entre o volume de um octaedro regular e o volume de um cilindro
equilátero circunscrito a esse octaedro.
Solução
(114) Um vaso cilíndrico cujo raio da base é “r” e cuja altura é 2r está cheio de água.
Mergulha-se nesse vaso um tetraedro regular até que sua base fique inscrita na base do
cilindro. Há transbordamento de água. Retirando-se o tetraedro do vaso, qual é a altura da
coluna de água?
Solução
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9. GEOMETRIA ESPACIAL - V
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(115) Calcule a razão entre o volume de um cone equilátero de raio R e o do cilindro de
revolução nele inscrito cuja geratriz seja igual ao raio da base.
Solução
(116) É dado um cone cujo raio da base é R e cuja altura é h. Inscreva um cilindro de modo
que a área lateral deste seja igual à área lateral do cone parcial, determinado pela base
superior do cilindro.
Solução
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10. GEOMETRIA ESPACIAL - V
Celso do Rosário Brasil Gonçalves
(117) Em um cone de geratriz g e altura h, inscrevemos um cilindro determinando um cone
menor cuja base coincide com uma base do cilindro. Obtenha a altura do cilindro, sabendo
que a área lateral do cone menor é igual à área lateral do cilindro.
Solução
(118) Inscreva um cilindro num cone dado de raio R e apótema G, de modo que a área lateral
do cone que está acima do cilindro seja igual à área da coroa cujas circunferências são a base
do cilindro e a do cone.
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11. GEOMETRIA ESPACIAL - V
Celso do Rosário Brasil Gonçalves
Solução
(119) Um cilindro de revolução tem raio r E ALTURA 2r.No seu interior constroem-se dois
cones, cada um tendo por vértice o centro de uma das bases do cilindro e por base a base
oposta do cilindro. Calcule a porção do volume do cilindro exterior aos dois cones.
Solução
(120) Um cone e um cilindro têm um a base comum, e o vértice do cone e encontra no centro
da outra base do cilindro. Determine a medida do ângulo formado pelo eixo do cone e sua
geratriz, sabendo que as superfícies totais do cilindro e do cone estão entre si como 7/14.
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12. GEOMETRIA ESPACIAL - V
Celso do Rosário Brasil Gonçalves
Solução
(121) Em uma vasilha de forma cilíndrica colocamos uma esfera de raio R. Sabendo que o raio
da base da vasilha mede r, responda: Em quanto se eleva o nível da água contida na vasilha,
sabendo que a esfera está totalmente submersa na água?
Solução
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13. GEOMETRIA ESPACIAL - V
Celso do Rosário Brasil Gonçalves
(122) Inscreva um cilindro circular reto de área lateral πa² numa esfera de diâmetro “d”.
Solução
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