1) O documento apresenta vários exercícios de geometria espacial relacionados a sólidos geométricos como tetraedros, esferas, pirâmides, cones e cilindros. São solicitadas determinações de volumes, áreas de superfícies e identificações de propriedades geométricas.

1. Lógica, axiomas, pontos, retas e planos, volumes e áreas de sólidos 1
1. Na figura está representado um tetraedro regular
(sólido geométrico com 4 faces, que são todas
triângulos equiláteros). A, B, C e D são os vértices do
tetraedro. Indica todos os pares de retas não
complanares definidas pelos vértices do tetraedro.
2. Determina a área da superfície de uma esfera com
10 cm de diâmetro. Apresenta o resultado aproximado às décimas, por
defeito.
3. Determina o volume de cada uma das seguintes pirâmides.
4. Um cone tem 21 cm de altura e a sua base tem 10 cm de diâmetro.
Determina:
a) o comprimento da geratriz do cone;
b) o volume do cone.
5. Observa a seguinte planificação.
a) Que sólido se pode obter através desta
planificação?
b) Calcula a área da superfície do sólido.
6. O Museu do Louvre, situado no centro de Paris, é um dos maiores e mais
famosos museus do mundo. No seu pátio central encontra-se uma
pirâmide quadrangular que funciona como principal porta de acesso
ao museu. A pirâmide atinge uma altura aproximada de 22m e tem
uma base quadrada com cerca de 34m de lado. Determina:
a) O volume da pirâmide;
b) A área lateral da pirâmide.
7. Na figura está representado um sólido composto por
um paralelepípedo e por um prisma triangular.
a) Indica a posição relativa:
i. Das retas AC e EG;
ii. Da reta FG e do plano IHA;
iii. Dos planos DCB e IKJ;
iv. Das retas CB e DK.
b) Justifica as seguintes afirmações.
i. A reta FB é perpendicular ao plano ADC.
ii. O plano ABC é paralelo ao plano EFG.

2. Lógica, axiomas, pontos, retas e planos, volumes e áreas de sólidos 2
c) Sabendo que AC = 5cm, BC = 3cm, CG = 2cm e AI = 5cm,
determina o volume do sólido.
8. Na figura está representado o plano ß e a pirâmide [ABCDE], cuja base
está contida no plano ß.
a) Utilizando as letras da figura, indica:
i. Dois planos coincidentes;
ii. Duas retas não complanares;
iii. Duas retas concorrentes;
iv. Uma reta secante ao plano ß;
v. Três pontos colineares.
b) Seja r uma reta perpendicular ao plano ß
em A. Indica a posição relativa das retas r e AD.
c) Quantos são os planos que, contendo o ponto E, são paralelos a
ß? Justifica.
9. O cone e o cilindro da figura têm a mesma base e a mesma altura.
Suponhamos que o cilindro está cheio
de água e
o cone está vazio e que vertemos a água do
cilindro para o cone, de modo a que este fique
cheio. Neste caso, qual é a razão entre o volume
de água no cone e o volume de água no
cilindro?
10.Observa a figura.
a) Justifica que a reta l é perpendicular
ao plano definido pelas retas AC e BC.
b) A reta l e o ponto C definem um
plano? Justifica.
c) Qual das seguintes afirmações é
verdadeira?
i. A reta l não é perpendicular a
nenhuma reta do plano definido pelas retas AB e AC, com
exceção das próprias retas AB e AC.
ii. A reta l é perpendicular a qualquer reta que passe por C.
iii. A reta l é perpendicular a qualquer reta do plano definido
pelas retas AB e AC.
iv. A reta l é perpendicular a qualquer reta do plano definido
pelas retas AB e AC, que passe em C.
11.As proposições seguintes são todas falsas. Para cada uma, encontra um
exemplo que o prove.
a) Três retas paralelas são sempre complanares.
b) Duas retas perpendiculares a uma reta são paralelas entre si.
c) Se uma reta é perpendicular a uma reta de um plano, então é
perpendicular a todas as retas desse plano
d) Duas retas que não se intersetam são sempre complanares.

3. Lógica, axiomas, pontos, retas e planos, volumes e áreas de sólidos 3
12. A família Coelho vai mandar fazer floreiras
em cimento. A figura é um esquema dessas
floreiras: a região mais clara é a parte de
cimento, e a mais escura é a cavidade que
vai ficar com terra. O modelo geométrico
das floreiras tem a forma de um cubo com
50cm de aresta. A cavidade que vai ficar
com a terra tem a forma de um prisma
quadrangular reto, com a mesma altura da
floreira e 40 cm de aresta da base.
a) Determina em cm3, o volume da parte de cimento da floreira.
Apresenta os cálculos que efetuares.
b) Utilizando as letras da figura indica:
i. Duas retas concorrentes;
ii. A projeção ortogonal da reta JK no plano ADC;
iii. O conjunto de pontos do espaço que determinam com E
uma reta perpendicular à reta EM;
iv. O conjunto de pontos do espaço equidistantes de J e de L.
c) Indica:
i. A distância do ponto N ao plano ADC;
ii. A distância do plano IJK ao plano EFG.
d) Utilizando as letras da figura, identifica, justificando, uma reta
perpendicular ao plano que contém a base da floreira.
13. Na figura podes ver um cubo e uma pirâmide
quadrangular regular. A base da pirâmide coincide
com a base [ABCD] do cubo. O vértice P da pirâmide
pertence à face [EFGH]
do cubo.
a) Utilizando as letras da figura indica uma reta que
seja complanar com a reta AC e perpendicular
a esta reta.
b) Indica, justificando, a posição relativa dos
planos BCG e ADH.
c) Sabe-se que a pirâmide da figura tem 9 cm3 de volume.
i. Qual é o comprimento da aresta do cubo?
ii. Qual é o comprimento da diagonal espacial do cubo?
iii. Determina a área lateral da pirâmide.
iv. Determina o volume do cubo não ocupado pela pirâmide.
14. Um cilindro está inscrito num cubo com 8 dm3 de volume.
Determina:
a) o comprimento da aresta do cubo;
b) a área total do cilindro;
c) o volume do cilindro.
15.Prova que a soma de um número par com um número
ímpar é sempre um número ímpar.

4. Lógica, axiomas, pontos, retas e planos, volumes e áreas de sólidos 4
16. A figura representa um cubo e uma pirâmide com
vértice no centro do cubo. Sabe-se que o cubo mede
64cm3 de volume.
a) Mostra que a aresta
do cubo mede 4cm e
determina o volume da pirâmide.
b) Determina o volume do cubo não ocupado
pela pirâmide.
c) Determina o valor do comprimento da diagonal facial e da
diagonal espacial do cubo.
d) Determina a área total da pirâmide.
e) Utilizando as letras da figura, indica:
i. Dois planos concorrentes;
ii. Dois planos perpendiculares;
iii. Duas retas contidas no mesmo plano.
f) Considera o plano que contém a face [FVG] da pirâmide e
indica:
i. Uma reta contida no plano;
ii. Uma reta estritamente paralela ao plano;
iii. Um plano que lhe seja perpendicular.
g) Indica, justificando, a posição relativa das retas AB e VF.
17.Calcula a área lateral e a área da superfície de:
a) Um prisma triangular regular cuja aresta lateral mede 41m e cuja
aresta da base mede 18m;
b) Uma pirâmide quadrangular com 4m de altura e cuja base tem
64m2 de área.
18. Observa o cilindro. Sabendo que a área da superfície do
cilindro excede em 50πmm2 a sua área lateral, determina:
a) o raio da base do cilindro;
b) a área lateral do cilindro.
19. Na figura estão representados dois planos paralelos e ß.
Sabe-se que:
a) [ABCD] é uma das faces laterais de um prisma
quadrangular;
b) AB = 3cm;
c) AD = 5cm;
d) A reta BD é perpendicular ao plano .
a. Prova que a reta BD também é perpendicular ao
plano ß.
b. Utilizando as letras da figura, indica:
i. uma reta secante ao plano .
ii. uma reta paralela ao plano .
iii. a projeçãoo ortogonal do ponto B no plano ß.
iv. duas retas concorrentes oblíquas;

5. Lógica, axiomas, pontos, retas e planos, volumes e áreas de sólidos 5
v. o conjunto de pontos do espaço que determinam com C uma
reta perpendicular à reta AC.
c. Justifica que os ângulos DAB e ADC são iguais;
d. Indica a distância entre os planos e ß.
e. Seja s uma reta paralela à reta AB. Justifica que s é paralela à reta
CD.
f. Determina a área da superfície do prisma quadrangular do qual
[ABCD] é uma face.
g. Determina o volume do prisma quadrangular do qual [ABCD] é
uma face.
h. Seja v uma reta contida no plano , que passa em C. Indica a
posição relativa das retas v e AC.
20. Na figura está representado a planificação de um cone.
Determina:
a) a amplitude do ângulo ;
b) a área da superfície do cone;
c) o volume do cone.