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UNIFACS – Universidade Salvador
Curso: Engenharias
Disciplina: Equações Diferenciais e Séries                        2010

                                      1a Lista de Exercícios

1) Através da seqüência das somas parciais analise a convergência das seguintes séries:
             1                                    1       1
a) ∑                       ( Escreva a n =            −       )
     1 (n + 1)(n + 2)                           n +1 n + 2
                                                    (1 + n)n
b) ∑ n                  ( sn = 1 + 2 + 3 + ...+ n =          é a soma dos n primeiros termos de uma P.A);
     1                                                  2
        n 
c) ∑ ln                ( Escreva an = ln n − ln ( n+1 ) )
   1  n +1
        n      n +1                                               1     1 
d) ∑ (       −      )                               e) ∑ 
                                                               −  
                                                                   
        n -1
   1 3          3n                                     1  n +1   n

2) Utilizando séries geométricas, expresse as decimais não finitas, a seguir, como uma
fração:
    a) 0,444... b) 5, 1373737.... c) 0,159159159...

3) Uma bola é derrubada de uma altura de 9m. Cada vez que ela toca o chão sobe novamente,
verticalmente, a uma altura que é 2/3 da distância da qual ela caiu. Determine a distância total
percorrida pela bola até parar.

4)
A figura ao lado mostra uma “escada infinita”.
Ache o volume total da escada sabendo que o
maior cubo tem lado 1 e cada cubo tem
sucessivamente um lado cujo tamanho é a metade
do lado do cubo precedente.



5)
 A figura ao lado mostra os 5 primeiros quadrados de
 uma seqüência infinita formada da seguinte maneira:
 O quadrado externo tem lado igual a 2. Cada um dos
 outros quadrados é obtido ligando-se os pontos
 médios dos lados do quadrado anterior. Calcule:

 a) a soma dos perímetros de todos os quadrados da
 seqüência.

 b) a soma das áreas de todos           os quadrados da
 seqüência.
2


6) Encontre o valor de b para o qual 1 + e b + e 2 b + e 3b + ... = 9

                                                                                  ( x − 1) n
7) Encontre os valores de x para os quais a série                            ∑                  converge e a soma da série para esses
                                                                             0       2n
valores.


8) Através da série geométrica calcule as seguintes somas:
         (−1) n                    4                      5n       1 
                                                                        n
                                                                                                            2 2n + 3 2n
a) ∑               ;     b) ∑            ;          c) ∑        − 4   ;                         d) ∑
                                                       1 9          3 
                                                            n −1
     1    3n                   2   3n                                                                 2      36 n
                               n
          (−1) n        1                       1 1 1 1   1   1
e) ∑ (                 +  )           f) 1 +     + + +  +   +    + ...
     0        2n        5                       2 3 5 25 125 625


9) Verifique que as séries a seguir são convergentes pelo Critério de Leibniz. Calcule a soma sn e o
erro cometido quando a soma S da série é aproximada por sn.
     ∞   (−1) n +1                                     (−1) n −1
                                                       ∞
a) ∑                   ; s4:                      b) ∑           ; s3
     1        n3                                     1 (2n)!

10) Calcule quantos termos precisamos adicionar para encontrar a soma parcial com a precisão
indicada
         (−1) n −1                                              (−1) n +1
a) ∑                    ( erro < 0,01);                b) ∑                      ( erro < 0,001 )
     1        n2                                            1           n4

                                                           (−1) n −1
11) Mostre que a série alternada                   ∑                     converge por Leibniz e calcule a soma da série com
                                                       1   10 n .n!
precisão de 3 casas decimais.


12) Utilizando os critérios e propriedades vistos analise o comportamento das seguintes séries
quanto à convergência
      3
          n
                         b) ∑ 2 2−n                     n2                  (−1) n n
a) ∑                                           c) ∑                  d) ∑
      5                                             n2 +1                   n +1
          1                                        1                                       1                             1
e)   ∑                                  f)   ∑3                               g)    ∑3                          h)   ∑
     n3                                            n2                                      n4                            n!
                                                                n
i) ∑
       1                                       3n + 1                                   (−1) n                                   nn
     (2n )!                             j) ∑                                k)    ∑                           l)   ∑ (−1) n
                                             1 n                                      (ln n ) n                                  n!
      n
m) ∑ 
                   
            + n −4                           (
                                        n) ∑ n −3 + 3 − n           )                      2n 
                                                                              o) ∑  n −1 + 2 n                p) ∑
                                                                                                                         ( −1) n n 5
      n +1                                                                              3                                 5n
                                                                                               
3


13) Mostre, usando o critério da razão, que as seguintes séries são convergentes para todo x real.
      xn                   (−1) n x 2n                          (−1) n x 2n +1
a) ∑     ;            b) ∑             ;                 c) ∑
    0 n!                 0   (2n)!                             0 (2n + 1)!

Observação: As séries acima são respectivamente as séries de f(x) = ex, f(x) = cosx e                           f(x) = senx


14) Encontre o raio e o domínio de convergência ( a menos dos extremos) das seguintes séries

       x n +1                     1
                                          n
                                                                       ( x − 3) n                 xn                       ( x − 2) n
a) ∑                     b) ∑  3 −  ( x + 1) n                c) ∑                      d) ∑                      e) ∑
       n +1                       n                                     2n                     (2n )!                      n3 n


                                                               1
15) A partir da série geométrica              ∑x
                                              0
                                                     n
                                                          =
                                                              1− x
                                                                   ; se x < 1 ; dê a representação em série das
seguintes funções, indicando a região de convergência.
             x                                            1                                        1                             x2
a) f(x) =                             b) f(x) =                                     c) f(x) =                   d) f(x) =
            1+ x                                      1+ x2                                     4 − x2                         8 + x3

                                         1
16) A partir da série ∑ x n =                , x < 1 , e usando derivação ou integração, mostre que
                              0         1− x
                1
a) f(x) =               = ∑ ( −1) n +1 nx n −1 ; x ∈] − 1,1[
            (1 + x) 2     1

                            (−1) n x n +1
b) f(x) = ln(1 + x) = ∑                   ; x ∈ ] − 1, 1 ]
                          0    n +1
                            (−1) n x 2n +1
c) f(x) = arctgx = ∑                       ; x ∈ [−1, 1 ]
                          0    2n + 1

                                    xn                                            (−1) n x 2n
17) A partir das séries ∑              = ex ; ∀ x∈R ,                cosx = ∑                 ∀∈ R              e
                                  0 n!                                          0   (2n)!
           (−1) n x 2n +1
senx = ∑                  ∀∈ R; dê a representação em série das seguintes funções, indicando a
          0 (2n + 1)!
região de convergência.
                  2                                           2 /2                  c) f(x) = xsen2x            d) f(x) = x2 cosx
a) f(x) = e − x                       b) f(x) = xe − x



                                                                                                         f ( n ) (0 ) n
18) Encontre os quatro primeiros termos da série de MacLauren f ( x ) = ∑                                            x para as
                                                                                                       0      n!
seguintes funções:
                                                      1
a) f ( x ) = 1 + x ;               b) f ( x ) =
                                                  ( x + 1) 3
4


19) Usando a série de MacLauren encontre

                                                                   1
a) Um polinômio de grau 2 para aproximar a função f ( x ) =
                                                                  1− x2
b) Um polinômio de grau 3 para aproximar a função f ( x ) = 5 1 + x



20) A partir da série da função f(x) = ex; encontre uma série de potências de x para a função
                                                                                         1
               2                                                                              −x 2
f(x) = e − x . Use a série encontrada para encontrar a expansão em série da integral     ∫e          dx e
                                                                                         0
calcule o valor da soma parcial s5. (Observe que a série encontrada converge por Leibniz e que
portanto a soma s5 tem erro menor que a6 ). Calcule o erro.


21) “Se ε é o erro de uma aproximação, então esta terá precisão de k casas decimais se
 ε < 0,5x10 − k .” .Usando este resultado, calcule:

   1               2
a) ∫ x 2 e − x dx , com precisão de três casas decimais.
   0
   1 sen x 2
b) ∫               dx , com precisão de cinco casas decimais.
   0      x2

   0, 2
c) ∫ cos(x 2 )dx , com precisão de quatro casas decimais.
    0



22) Use a série do exercício 16 b) para encontrar ln(1,1) com precisão de três casas decimais

23) Use séries de potências para provar a fórmula de Euler e ix = cos x + i sen x


Respostas:
                 1
1) a) Converge a   ; b) Diverge; c) Diverge; d) Converge a 1; e) Converge a −1
                 2
     4     2543      159             8           16
2) a) ; b)      ; c)     3) 45m; 4) ; 5) a)          m ; b) 8 m2    6) b = ln(8/9)
     9     495       999             7         2− 2

                                                             2
7) A série converge para x ∈] − 1,3[ e sua soma é S =
                                                            3−x
          1     2     37      7       23      25
8 a) −      ; b) ; c)    ; d)    ; e)    ; f)
          4     3      4      72      12      12
5


            1549
9) a) s 4 =       ≅ 0,896 . O erro absoluto cometido é menor que a5 = 0,008
            1728
              331
     b) s 3 =     ≅ 0,459 . O erro absoluto cometido é menor que a4 = 0,0000248
              720

                                        1   1      1
10) a) 9; b) 5 ; 11) S =                  −     +
                                       10 10 2.2 10 3.6

12) São divergentes: c); d); f); j); l); m) e o) As demais convergem.

14) a) Dc = ]1, −1[; r = 1; b) Dc = ]−4/3, −2/3[ ; r = 1/3; c) Dc = ] 1, 5 [; r = 2 ; d) Dc = R , r = ∞

e) Dc= ]−1, 5[, r = 3

                                                                                             x 2n
15) a)    ∑ (−1) n x n +1 ; x ∈] − 1,1[ ; b)       ∑ (−1) n x 2n ; x ∈] − 1,1[ ; c)    ∑               ; x ∈] − 2,2[
           0                                       0                                    0   2 2n + 2
         (−1) n x 3n + 2
d)   ∑                       ; x ∈] − 2,2[
     0         2 3n +3
            (−1) n x 2n                            (−1) n x 2n +1                       (−1) n 2 2n +1 x 2n + 2
17) a)    ∑ n! ; ∀x ∈ R ; b)                  ∑                     ; ∀x ∈ R ;   c)   ∑                         ; ∀x ∈ R ;
          0                                    0       2 n n!                         0      (2n + 1)!
         (−1) n x 2n + 2
d)   ∑      (2n)!
                         ; ∀x ∈ R
     0


                        x x2 x3                 1
18) a)         1+ x = 1+ −  +    + ... ; b)          3
                                                       = 1 − 3x + 6 x 2 − 10x 3
                        2 8   16            (1 + x )

                   1            x2                      x 4 2 36 3
19) a)                   =1+       ;    b) 5 1 + x = 1 + −   x +     x
               1− x2             2                      5 50     750

     1         2               (−1) n             1  1    1    1    1
20) ∫ e − x dx = ∑                      ; s5 = 1 − +    −    +    −      . O erro é menor que
     0                   0   (2n + 1)n!           3 5.2! 7.3! 9.4! 11.5!
           1
a6 =
         13.6!

            1 1 1     1   1   1                 1    1     1              1
21) a) s 5 = − + −      +   +   ; b) s 3 = 1 −     +    −      ; c) s 0 =
            3 5 14 54 264 1560                 5.3! 9.5! 13.7!            5
          1   1
22) s1 =    −   = 0,095
         10 200

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  • 1. 1 UNIFACS – Universidade Salvador Curso: Engenharias Disciplina: Equações Diferenciais e Séries 2010 1a Lista de Exercícios 1) Através da seqüência das somas parciais analise a convergência das seguintes séries: 1 1 1 a) ∑ ( Escreva a n = − ) 1 (n + 1)(n + 2) n +1 n + 2 (1 + n)n b) ∑ n ( sn = 1 + 2 + 3 + ...+ n = é a soma dos n primeiros termos de uma P.A); 1 2  n  c) ∑ ln  ( Escreva an = ln n − ln ( n+1 ) ) 1  n +1 n n +1  1 1  d) ∑ ( − ) e) ∑   −   n -1 1 3 3n 1  n +1 n 2) Utilizando séries geométricas, expresse as decimais não finitas, a seguir, como uma fração: a) 0,444... b) 5, 1373737.... c) 0,159159159... 3) Uma bola é derrubada de uma altura de 9m. Cada vez que ela toca o chão sobe novamente, verticalmente, a uma altura que é 2/3 da distância da qual ela caiu. Determine a distância total percorrida pela bola até parar. 4) A figura ao lado mostra uma “escada infinita”. Ache o volume total da escada sabendo que o maior cubo tem lado 1 e cada cubo tem sucessivamente um lado cujo tamanho é a metade do lado do cubo precedente. 5) A figura ao lado mostra os 5 primeiros quadrados de uma seqüência infinita formada da seguinte maneira: O quadrado externo tem lado igual a 2. Cada um dos outros quadrados é obtido ligando-se os pontos médios dos lados do quadrado anterior. Calcule: a) a soma dos perímetros de todos os quadrados da seqüência. b) a soma das áreas de todos os quadrados da seqüência.
  • 2. 2 6) Encontre o valor de b para o qual 1 + e b + e 2 b + e 3b + ... = 9 ( x − 1) n 7) Encontre os valores de x para os quais a série ∑ converge e a soma da série para esses 0 2n valores. 8) Através da série geométrica calcule as seguintes somas: (−1) n 4  5n 1  n 2 2n + 3 2n a) ∑ ; b) ∑ ; c) ∑  − 4   ; d) ∑ 1 9  3  n −1 1 3n 2 3n   2 36 n n (−1) n 1 1 1 1 1 1 1 e) ∑ ( +  ) f) 1 + + + + + + + ... 0 2n 5 2 3 5 25 125 625 9) Verifique que as séries a seguir são convergentes pelo Critério de Leibniz. Calcule a soma sn e o erro cometido quando a soma S da série é aproximada por sn. ∞ (−1) n +1 (−1) n −1 ∞ a) ∑ ; s4: b) ∑ ; s3 1 n3 1 (2n)! 10) Calcule quantos termos precisamos adicionar para encontrar a soma parcial com a precisão indicada (−1) n −1 (−1) n +1 a) ∑ ( erro < 0,01); b) ∑ ( erro < 0,001 ) 1 n2 1 n4 (−1) n −1 11) Mostre que a série alternada ∑ converge por Leibniz e calcule a soma da série com 1 10 n .n! precisão de 3 casas decimais. 12) Utilizando os critérios e propriedades vistos analise o comportamento das seguintes séries quanto à convergência  3 n b) ∑ 2 2−n n2 (−1) n n a) ∑   c) ∑ d) ∑  5 n2 +1 n +1 1 1 1 1 e) ∑ f) ∑3 g) ∑3 h) ∑ n3 n2 n4 n! n i) ∑ 1  3n + 1  (−1) n nn (2n )! j) ∑   k) ∑ l) ∑ (−1) n 1 n  (ln n ) n n!  n m) ∑   + n −4  ( n) ∑ n −3 + 3 − n )  2n  o) ∑  n −1 + 2 n  p) ∑ ( −1) n n 5  n +1   3  5n  
  • 3. 3 13) Mostre, usando o critério da razão, que as seguintes séries são convergentes para todo x real. xn (−1) n x 2n (−1) n x 2n +1 a) ∑ ; b) ∑ ; c) ∑ 0 n! 0 (2n)! 0 (2n + 1)! Observação: As séries acima são respectivamente as séries de f(x) = ex, f(x) = cosx e f(x) = senx 14) Encontre o raio e o domínio de convergência ( a menos dos extremos) das seguintes séries x n +1  1 n ( x − 3) n xn ( x − 2) n a) ∑ b) ∑  3 −  ( x + 1) n c) ∑ d) ∑ e) ∑ n +1  n 2n (2n )! n3 n 1 15) A partir da série geométrica ∑x 0 n = 1− x ; se x < 1 ; dê a representação em série das seguintes funções, indicando a região de convergência. x 1 1 x2 a) f(x) = b) f(x) = c) f(x) = d) f(x) = 1+ x 1+ x2 4 − x2 8 + x3 1 16) A partir da série ∑ x n = , x < 1 , e usando derivação ou integração, mostre que 0 1− x 1 a) f(x) = = ∑ ( −1) n +1 nx n −1 ; x ∈] − 1,1[ (1 + x) 2 1 (−1) n x n +1 b) f(x) = ln(1 + x) = ∑ ; x ∈ ] − 1, 1 ] 0 n +1 (−1) n x 2n +1 c) f(x) = arctgx = ∑ ; x ∈ [−1, 1 ] 0 2n + 1 xn (−1) n x 2n 17) A partir das séries ∑ = ex ; ∀ x∈R , cosx = ∑ ∀∈ R e 0 n! 0 (2n)! (−1) n x 2n +1 senx = ∑ ∀∈ R; dê a representação em série das seguintes funções, indicando a 0 (2n + 1)! região de convergência. 2 2 /2 c) f(x) = xsen2x d) f(x) = x2 cosx a) f(x) = e − x b) f(x) = xe − x f ( n ) (0 ) n 18) Encontre os quatro primeiros termos da série de MacLauren f ( x ) = ∑ x para as 0 n! seguintes funções: 1 a) f ( x ) = 1 + x ; b) f ( x ) = ( x + 1) 3
  • 4. 4 19) Usando a série de MacLauren encontre 1 a) Um polinômio de grau 2 para aproximar a função f ( x ) = 1− x2 b) Um polinômio de grau 3 para aproximar a função f ( x ) = 5 1 + x 20) A partir da série da função f(x) = ex; encontre uma série de potências de x para a função 1 2 −x 2 f(x) = e − x . Use a série encontrada para encontrar a expansão em série da integral ∫e dx e 0 calcule o valor da soma parcial s5. (Observe que a série encontrada converge por Leibniz e que portanto a soma s5 tem erro menor que a6 ). Calcule o erro. 21) “Se ε é o erro de uma aproximação, então esta terá precisão de k casas decimais se ε < 0,5x10 − k .” .Usando este resultado, calcule: 1 2 a) ∫ x 2 e − x dx , com precisão de três casas decimais. 0 1 sen x 2 b) ∫ dx , com precisão de cinco casas decimais. 0 x2 0, 2 c) ∫ cos(x 2 )dx , com precisão de quatro casas decimais. 0 22) Use a série do exercício 16 b) para encontrar ln(1,1) com precisão de três casas decimais 23) Use séries de potências para provar a fórmula de Euler e ix = cos x + i sen x Respostas: 1 1) a) Converge a ; b) Diverge; c) Diverge; d) Converge a 1; e) Converge a −1 2 4 2543 159 8 16 2) a) ; b) ; c) 3) 45m; 4) ; 5) a) m ; b) 8 m2 6) b = ln(8/9) 9 495 999 7 2− 2 2 7) A série converge para x ∈] − 1,3[ e sua soma é S = 3−x 1 2 37 7 23 25 8 a) − ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) 4 3 4 72 12 12
  • 5. 5 1549 9) a) s 4 = ≅ 0,896 . O erro absoluto cometido é menor que a5 = 0,008 1728 331 b) s 3 = ≅ 0,459 . O erro absoluto cometido é menor que a4 = 0,0000248 720 1 1 1 10) a) 9; b) 5 ; 11) S = − + 10 10 2.2 10 3.6 12) São divergentes: c); d); f); j); l); m) e o) As demais convergem. 14) a) Dc = ]1, −1[; r = 1; b) Dc = ]−4/3, −2/3[ ; r = 1/3; c) Dc = ] 1, 5 [; r = 2 ; d) Dc = R , r = ∞ e) Dc= ]−1, 5[, r = 3 x 2n 15) a) ∑ (−1) n x n +1 ; x ∈] − 1,1[ ; b) ∑ (−1) n x 2n ; x ∈] − 1,1[ ; c) ∑ ; x ∈] − 2,2[ 0 0 0 2 2n + 2 (−1) n x 3n + 2 d) ∑ ; x ∈] − 2,2[ 0 2 3n +3 (−1) n x 2n (−1) n x 2n +1 (−1) n 2 2n +1 x 2n + 2 17) a) ∑ n! ; ∀x ∈ R ; b) ∑ ; ∀x ∈ R ; c) ∑ ; ∀x ∈ R ; 0 0 2 n n! 0 (2n + 1)! (−1) n x 2n + 2 d) ∑ (2n)! ; ∀x ∈ R 0 x x2 x3 1 18) a) 1+ x = 1+ − + + ... ; b) 3 = 1 − 3x + 6 x 2 − 10x 3 2 8 16 (1 + x ) 1 x2 x 4 2 36 3 19) a) =1+ ; b) 5 1 + x = 1 + − x + x 1− x2 2 5 50 750 1 2 (−1) n 1 1 1 1 1 20) ∫ e − x dx = ∑ ; s5 = 1 − + − + − . O erro é menor que 0 0 (2n + 1)n! 3 5.2! 7.3! 9.4! 11.5! 1 a6 = 13.6! 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 21) a) s 5 = − + − + + ; b) s 3 = 1 − + − ; c) s 0 = 3 5 14 54 264 1560 5.3! 9.5! 13.7! 5 1 1 22) s1 = − = 0,095 10 200