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1 - ARGUMENTAÇÃO E LÓGICA
FORMAL
1.1. Distinção validade – verdade
1.1.1. A definição de lógica
Raciocínio ou inferência
Operação mental através da qual
chegamos a uma conclusão
partindo de determinadas razões.
Comunicar o raciocínio
Argumento
Todos os seres racionais possuem a
capacidade de raciocinar e de argumentar,
mas nem todos o fazem de modo correto.
ARGUMENT
OS
Essas crenças levam-nos a discordar de conclusões que
eventualmente as contradigam e das razões avançadas
para as apoiar.
Têm na sua base convicções,
crenças, ideias, opiniões,
informações: aquilo em que
acreditamos acerca do
mundo.
Existência de
discordâncias: não há uma
verdade única.
Mas há crenças partilhadas e bastante
consensuais.
Todos os mamíferos são inteligentes.
Todos os seres humanos são mamíferos.
Logo, todos os seres humanos são inteligentes.
Todos os mamíferos são inteligentes.
Todos os seres humanos são inteligentes.
Logo, todos os seres humanos são
mamíferos.
Podemos discordar desta conclusão, mas
temos de reconhecer que a forma como ela é
obtida é consistente, razoável e válida.
Ainda que consideremos a conclusão
verdadeira, não faz sentido aceitá-la a partir
das razões em que ela se baseia.
Podemos aceitar ou rejeitar a correção de uma forma de raciocínio, sem que isso
implique aceitar ou rejeitar o conteúdo das crenças de que se parte e das crenças a
que se chega.
Exemplo Exemplo
LÓGIC
A
Lógica formal
Disciplina filosófica que estuda a distinção entre argumentos corretos (ou válidos) e
incorretos (ou inválidos), mediante a identificação das condições necessárias à
operação que conduz da verdade de certas crenças à verdade de outras.
Estudo das leis, princípios e regras a que devem
obedecer o pensamento e o discurso para serem válidos.
Lógica informal
Analisa a
validade dos
argumentos
dedutivos.
Analisa
essencialmente
a validade dos
argumentos não
dedutivos.
. 1.1.2. O ARGUMENTO
ARGUMENTO
Conjunto de
proposições
devidamente
articuladas
A(s) premissa(s) procura(m) defender,
sustentar ou justificar a conclusão.
Premissa(s)
Conclusã
o (tese)
Exemplo
ANTECEDENT
E
Premissa Todos os portugueses são europeus.
Premissa Os alentejanos são portugueses.
CONSEQUENT
E
Conclusão Logo, os alentejanos são europeus.
Indicador de
conclusão
Nexo lógico
Não se enquadram na categoria de «argumentos» aqueles que
são meros conjuntos de proposições sem qualquer conexão lógica
entre si.
Os rapazes são giros.
As cerejas fazem bem à
saúde. Logo, as férias devem
continuar.
Exemplo
Um argumento tem subjacente uma
inferência ou raciocínio, uma
operação que efetua a transição
lógica entre proposições.
Nem todas as frases expressam
proposições.
Só as frases declarativas.
Afirmam, negam, atribuem, declaram
ou constatam alguma coisa.
Podem ser consideradas verdadeiras ou
falsas.
PROPOSIÇÕES FRASES
EXEMPLOS TIPO DE FRASE
Saia da minha frente! Frase imperativa.
Que belo jardim você tem! Frase exclamativa.
Quem sou eu? Frase interrogativa.
Farei o que me mandas fazer. Frase que traduz uma promessa.
Ajuda-me a transportar estes sacos. Frase que expressa um pedido.
EXEMPLOS DE FRASES QUE NÃO EXPRESSAM PROPOSIÇÕES
PROPOSIÇÃO
Pensamento ou conteúdo, verdadeiro ou
falso, expresso por uma frase declarativa.
A mesma proposição pode ser expressa por
diferentes frases declarativas:
“A Terra é contemplada pelo astronauta a partir da Lua.”
=
“O astronauta contempla a Terra a partir da Lua.”
Proposições Exemplos
Simples Categóricas
Afirmam ou
negam sem
restrições nem
condições.
Todos os rios
correm. Os poetas
não são arquitetos.
Compostas
(complexas)
Condicionais
Afirmam ou
negam sob
determinadas
condições.
Se viajo, então
aprendo. Se não fores,
então vou eu.
Disjuntivas
Afirmam ou
negam em forma
de alternativas
que se excluem
(disjunção
exclusiva) ou não
(disjunção
inclusiva).
Disjunção
exclusiva: Ou és
sábio ou és
ignorante.
Disjunção inclusiva:
És inteligente ou
boa pessoa.
As proposições, simples ou compostas, relacionam-se umas com as outras,
organizando-se em operações mais complexas – os argumentos.
PROPOSIÇÕES Relacionam termos.
TERMO
É geralmente entendido como a
expressão verbal do conceito.
CONCEITO Elemento básico do pensamento.
Representação intelectual de
determinada realidade.
O conteúdo dessa representação
Pode dizer respeito a uma classe
de objetos ou a uma realidade
singular.
(No entanto, há autores que defendem que
só as noções ou ideias gerais é que podem
ser consideradas conceitos.)
•O mesmo conceito pode ser
expresso por termos
diferentes sob o ponto
de vista linguístico.
•O mesmo vocábulo pode
exprimir diferentes
conceitos (termos distintos
sob o ponto de vista lógico).
•Um termo pode ser
constituído por mais do
que uma palavra,
exprimindo um único
conceito.
Operação
mental que
permite
estabelecer
uma relação
entre
conceitos e
que está
subjacente
à formação
de
proposições
JUÍZO
DEFINIÇÃO
Procura fornecer o significado
e permitir a compreensão do
que é definido.
Aquela que é feita com base em
condições necessárias e
suficientes.
Exemplo:
“A macieira é uma árvore que tem como fruto a
maçã.”
«Ter como fruto a maçã» e «ser árvore» são condições
necessárias, mas também suficientes, para que algo seja uma
macieira.
Definição
explícita
Uma definição
bem construída
nunca será
demasiado
ampla nem
demasiado
restrita.
Uma definição,
para ser
explícita, deve
ser clara e
convir inteira e
exclusivamente
ao definido,
garantindo a
reciprocidade ou
a troca de
Uma vez que é uma atividade
física, o
desporto é saudável. Como se
sabe, a
atividade física é
saudável.
Proposição 1 – O desporto é atividade
física. Proposição 2 – O desporto é
saudável.
Proposição 3 – A atividade física é saudável.
Indicadores de premissa
Indicadores de premissa e de conclusão
Toda a atividade física é
saudável. Todo o desporto é
atividade física. Logo, todo o
desporto é saudável.
Indicador de conclusão
O Universo não é infinito. Com efeito,
se o Universo fosse infinito, a força da
gravidade não existiria. Ora, a força
da
gravidade
existe.
Proposição 1 – O Universo não é infinito.
Proposição 2 – Se o Universo fosse
infinito, a força da gravidade não existiria.
Proposição 3 – A força da gravidade existe.
Indicadores de premissa
Indicadores de premissa e de
conclusão (continuação)
Se o Universo fosse infinito, a força da
gravidade não existiria.
A força da gravidade existe.
Logo, o Universo não é
infinito.
Indicador de conclusão
António é estudioso.
Logo, António obtém boas classificações.
O ENTIMEMA
Indicador de conclusão
Argumento em que uma ou mais
proposições são omitidas,
encontrando-se subentendida(s) –
pode inclusive omitir-se a
conclusão.
A premissa «Todos os estudiosos
obtêm boas classificações» encontra-se
implícita, tendo sido suprimida.
ENTIMEMA
Alguns indicadores de premissa Alguns indicadores de conclusão
Porque… Logo…
Pois… Então…
Admitindo que… Por conseguinte…
Pressupondo que… Portanto…
Considerando que… Por isso…
Partindo do princípio de que… Consequentemente…
Sabendo que… Segue-se que…
Dado que… Infere-se que…
Uma vez que… Conclui-se que…
Devido a… É por essa razão que…
Como… Daí que…
Ora… Assim…
Em virtude de… Isso prova que…
1.1.3. A VERDADE E A VALIDADE
Aplicam-se à matéria ou conteúdo das proposições. Se
estiverem de acordo com a realidade, as proposições
são verdadeiras; se não estiverem, são falsas.
PROPOSIÇÕES
VERDADE FALSIDADE
São qualidades próprias dos argumentos, resultantes do
facto de as premissas apoiarem ou não a
conclusão.
ARGUMENTOS
VALIDADE INVALIDADE
VALIDA
DE
DEDUTI
A validade traduz uma certa relação entre os valores
de verdade das premissas e o valor de verdade da
conclusão.
VALIDADE
NÃO
DEDUTIVA
A sua validade depende apenas da forma
lógica.
ARGUMENT
OS
DEDUTIVOS
Num argumento dedutivo válido é logicamente impossível
que as premissas sejam verdadeiras e a conclusão
falsa.
Os argumentos dedutivos válidos são
especialmente
apreciados pelos filósofos.
Estes argumentos
preservam a
verdade.
Se as premissas
forem
verdadeiras e a
conclusão falsa,
então o
argumento é
inválido.
Todos os alunos são sensatos.
Todos os jovens de dezasseis anos são alunos.
Logo, todos os jovens de dezasseis anos são
sensatos.
Todos os alunos são sensatos.
Todos os jovens de dezasseis anos são sensatos.
Logo, todos os jovens de dezasseis anos são
alunos.
Argumento válido
Todos os A são B.
Todos os C são A.
Logo, todos os C são
B.
Argumento inválido
É logicamente impossível as duas
premissas serem verdadeiras e a
conclusão falsa.
A verdade da conclusão não é garantida
pela verdade das premissas.
Importância
da forma
lógica do
argumento.
Todos os A são B.
Todos os C são B.
Logo, todos os C são
A.
Forma válida Forma inválida
Exemplo
Exemplo
Pode haver argumentos dedutivos válidos com premissas e conclusão
falsas.
Todos os portugueses são pintores.
Bertrand Russell é português.
Logo, Bertrand Russell é
pintor.
Pode haver argumentos dedutivos inválidos com premissas e conclusão
verdadeiras.
Todos os naturais de Lisboa são portugueses.
Fernando Pessoa é português.
Logo, Fernando Pessoa é natural de Lisboa.
Argumento dedutivo válido
Argumento que tem uma forma lógica
tal que a verdade das premissas
garante sempre a verdade da
conclusão, sendo impossível que as
premissas sejam verdadeiras e a
conclusão falsa.
Argumento dedutivo inválido
Argumento que tem uma forma lógica
tal que a verdade das premissas não
garante a verdade da conclusão.
Argumentos dedutivos
Premissas Argumento Conclusão
Verdadeiras
Válido
Verdadeira
É impossível ser falsa
Inválido
Verdadeira
Falsa
Falsas
Válido
Verdadeira
Falsa
Inválido
Verdadeira
Falsa
Argumentos sólidos: argumentos válidos constituídos por proposições
Argumento incorreto ou inválido,
embora aparente ser válido.
Falácia
Falácias
cometidas
involuntariament
e
Falácias
cometidas
intencionalment
e
Paralogismo Sofisma
Falácias formais Falácias informais
Decorrem
apenas da forma
lógica do
argumento.
Resultam de
aspetos que
vão para lá da
forma
lógica do
argumento
A sua validade depende de aspetos que vão para lá
da forma lógica do argumento.
ARGUMENTOS
NÃO
DEDUTIVOS
Num argumento não dedutivo, a verdade das
premissas apenas sugere a plausibilidade da
conclusão ou a probabilidade de ela ser também
verdadeira.
Um argumento não dedutivo é válido quando é
improvável, mas não propriamente impossível,
ter premissas verdadeiras e conclusão falsa.
A indução conduz-nos a conclusões que não
derivam necessariamente das
premissas.
INDUTIVOS OUTROS
ARGUMENTOS NÃO
DEDUTIVOS
Alguns estudantes copiam nos testes.
Logo, todos os estudantes copiam nos testes.
Até hoje, todos os cavalos nasceram
quadrúpedes. Logo, o próximo cavalo a nascer
será quadrúpede.
Argumento indutivo
inválido
Argumento indutivo
válido
A verdade das premissas não
fornece fortes razões para
pensar que a conclusão é
verdadeira.
A verdade das premissas
fornece fortes razões para
pensar que a conclusão é
verdadeira.
Argument
o
forte
Argument
o fraco
1.2. FORMAS DE INFERÊNCIA
VÁLIDA E PRINCIPAIS FALÁCIAS
1.2.1. LÓGICA SILOGÍSTICA
Estrutura das proposições categóricas
Numa proposição categórica, afirmamos ou
negamos alguma coisa – o termo predicado –
de uma outra coisa – o termo sujeito.
Todos os artistas são sábios.
CÓPULA PREDICADO
SUJEITO
Característica ou
qualidade que se
afirma ou nega
do sujeito.
Ser
relativamente ao
qual se afirma
ou nega o
predicado.
Elemento que faz
a ligação do
sujeito com o
predicado.
S é P
Portugal é um país europeu.
O Sol é um planeta.
Picasso não é o autor de
Guernica.
Nenhum cão é animal aquático.
Estabelecem uma
conveniência entre
os sujeitos e os
predicados
respetivos.
Indicam uma
inconveniência entre
os sujeitos e os
predicados respetivos.
Proposições negativas
Proposições afirmativas
Exemplos
VERDADEIR
A
VERDADEIR
A
FALSA
FALSA
A proposição categórica é o enunciado que estabelece uma
relação de afirmação ou de negação entre termos, podendo
tal relação ser considerada verdadeira ou falsa.
QUANTIFICADOR
ES
UNIVERSAIS
«TODOS» «NENHUM
»
EXISTENCIAL
«ALGUM»
Nota:
há outros
quantificadores
com idêntico
significado –
por exemplo,
«Qualquer
» equivale
a
«Todos».
Permitem-nos saber se o sujeito é tomado na sua totalidade ou somente em
parte.
Exemplos:
1. Todos os seres humanos são bípedes.
2. Alguns seres humanos não são altos.
Nas proposições categóricas há uma relação de inclusão ou de não
inclusão, na classe relativa ao predicado, de todos ou de apenas alguns
dos elementos que fazem parte da classe do sujeito.
TERMO GERAL
Designa os membros de determinada
classe.
EXTENSÃO
COMPREENS
ÃO
(INTENSÃO)
É o conjunto de
Exemplo: todos os
cães.
seres, objetos,
membros
abrangidos por
um
conceito / termo.
É o sentido ou a
significação de um Exemplo:
conceito / termo, propriedades
isto é, a propriedade comuns aos cães -
ou o conjunto de animal, mamífero,
propriedades que vertebrado,
determinam a quadrúpede,
extensão do ladrador, etc.
conceito.
Nota: em geral, quanto maior é o número de elementos
a que o conceito se aplica (extensão), menor é a
quantidade de características comuns (compreensão) e
vice-versa.
PROPOSIÇÕES
Forma-padrão ou forma canónica
Exemplos:
Todos os gatos são viventes.
Todos os americanos são
cantores.
Exemplos:
Os gatos vivem.
Os americanos
cantam.
Quaisquer frases declarativas podem exprimir proposições do tipo «S é P».
Exemplo
Os gatos que brincam na minha rua descobrem ratos nos locais mais obscuros das casas
silenciosas» equivale a «Todos os gatos que brincam na minha rua são descobridores de ratos
nos locais mais obscuros das casas silenciosas.
PROPOSIÇÕES
CATEGÓRICAS
QUANTIDADE
QUALIDADE
Exemplo:
Qualquer deus
é imortal.
AFIRMATIVAS
Uma proposição é
afirmativa quando
ela nos indica –
através da cópula –
que o predicado
convém ao sujeito.
NEGATIVAS
Uma proposição é
negativa quando ela
nos indica – nuns
casos através da
cópula, noutros
através de
quantificadores
como
«Nenhum» – que
o predicado não
convém ao
sujeito.
UNIVERSAIS
Uma proposição é
considerada
universal quando o
sujeito é tomado em
toda a sua
extensão.
PARTICULARE
S
Uma proposição é
considerada
particular quando
o sujeito é tomado
apenas numa
parte da sua
extensão.
Exemplo:
Há animais que
não são mortais.
Exemplo:
Todos os cães
são
vertebrados.
Exemplo:
Alguns
insetos
perturbam.
NOTA: as proposições singulares – aquelas em que um predicado/atributo é
afirmado ou negado de um único sujeito – serão consideradas proposições
Tipos de proposições Forma lógica
Tipo A Universal afirmativa Todo o S é P.
Tipo E Universal negativa Nenhum S é P.
Tipo I Particular afirmativa Algum S é P.
Tipo O Particular negativa Algum S não é P.
A E
I O
CONTRÁRI
AS
SUBCONTRÁRI
AS
Exemplo: Todos os
papéis são brancos.
SUBALTERN
AS
SUBALTERN
AS
CONTRADITÓR
IAS
QUADRADO DE OPOSIÇÃO
Exemplo: Nenhum papel
é branco.
Exemplo: Alguns papéis
não são brancos.
Exemplo: Alguns papéis
são brancos.
Proposições categóricas na sua forma-padrão ou
forma canónica e outras expressões das
mesmas
Tipo A Universais afirmativas
O predicado é afirmado de todos os elementos da classe que o sujeito
representa.
Forma-padrão Outras expressões
Todo o S é P
Todos os filósofos são críticos.
Qualquer filósofo é
crítico. Ser filósofo é ser
crítico. Os filósofos são
críticos.
O filósofo é crítico.
Quem é filósofo é crítico.
Não há filósofos que não sejam críticos.
Só há filósofos críticos.
Tipo E Universais negativas
O predicado é negado de todos os elementos da classe que o sujeito
representa.
Forma-padrão Outras expressões
Nenhum S é P
Nenhum animal é
perigoso.
Os animais não são perigosos.
O animal não é perigoso.
Ser perigoso não é uma característica
dos animais.
Não há animal que seja perigoso.
Só existem animais não perigosos.
Todos os animais não são
perigosos.
Tipo I Particulares afirmativas
O predicado é afirmado apenas de uma parte dos elementos da classe
que o sujeito representa.
Forma-padrão Outras expressões
Algum S é P
Alguns dias são
belos.
Certos dias são belos.
Há dias belos.
Existem dias belos.
Existe pelo menos um dia que é belo.
Tipo O Particulares negativas
O predicado é negado apenas de uma parte dos elementos da classe
que o sujeito representa.
Forma-padrão Outras expressões
Algum S não é P
Alguns caminhos não
são
transitáveis.
Certos caminhos não são transitáveis.
Há caminhos não transitáveis.
Existem caminhos não transitáveis.
Existe pelo menos um caminho que
não é transitável.
Nem todos os caminhos são transitáveis.
TIPO A
A DISTRIBUIÇÃO DOS TERMOS
Todos os gatos são
animais.
D ND
TIPO I
Alguns gatos são
animais.
ND ND
TIPO O
Alguns gatos não são
animais.
ND D
TIPO E
Nenhum gato é
animal.
D D
S
P
S
P
S
P
S
P
Termo
distribuído (D):
quando é
tomado
universalmente
(ou seja, em
toda a sua
extensão).
Termo não
distribuído
(ND): quando
não é tomado
universalmente
(refere-se
apenas a uma
parte da sua
extensão).
Todo o S é P
Nenhum S é P
Algum S é P
Algum S não é
Proposições de tipo A
– universais afirmativas
Proposições de tipo E
– universais negativas
Todos os deuses são
benfeitores.
Isto significa que todos os
deuses
são alguns dos benfeitores.
Nenhuns seres humanos
são anjos.
Isto significa que todos os anjos
se encontram excluídos da
classe dos seres humanos.
Proposições de tipo I
– particulares afirmativas
Proposições de tipo O
– particulares negativas
Alguns loucos são inteligentes.
Isto significa que alguns
loucos são alguns dos
inteligentes.
Alguns desportistas não são
ricos.
Isto significa que à classe
de todos os ricos não
pertencem alguns
desportistas.
Para compreender a distribuição do predicado
Silogismo categórico
regular
Forma particular de argumento dedutivo, tendo sido
Aristóteles o seu criador.
Argumento formado por três proposições categóricas, de tal maneira que,
sendo dadas as duas primeiras – as premissas –, se segue
necessariamente a terceira – a conclusão –, desde que o argumento seja
válido.
Necessidade lógica entre as premissas e a conclusão.
Aceitando as premissas, somos obrigados a aceitar a
conclusão.
Silogismo categórico regular
Premissa maior Contém o termo maior (P) e o termo médio (M).
Premissa menor Contém o termo menor (S) e o termo médio (M).
Conclusão Faz a ligação entre o termo maior e o termo
menor.
Termo
maior
A classificação dos termos é feita com base na função que eles
desempenham nas proposições em que se encontram.
É sempre o sujeito da
conclusão.
Termo
menor
É sempre o predicado da
conclusão.
Termo
médio
Serve de intermediário dos anteriores,
permitindo a passagem das premissas à
conclusão. Nunca deve entrar na conclusão.
Termos
extremo
s
M P
Todos os cientistas são
sábios.
SILOGISMO CATEGÓRICO
REGULAR
S M
Todos os biólogos são
cientistas.
S P
Logo, todos os biólogos são
sábios.
ANTECEDENT
E
CONSEQUENT
E
Premiss
a
maior
Todos os M são
P.
Todos os S são
M.
Logo, todos os
S são P.
Premiss
a
menor
Conclusã
o
Forma lógica
O silogismo categórico regular é um argumento que, a partir de um antecedente
que relaciona dois termos (o maior e o menor) com um terceiro (o médio), chega
a um consequente que relaciona esses dois termos entre si.
Forma
do
silogism
o
Modo
Figura
Tipo de proposições (A, E, I, O)
Posição do termo médio
(nas premissas)
64
modos
possíveis
4
figuras
possívei
s
256 (64x4)
formas
possíveis
Apenas 24 destas formas são
válidas.
A FORMA DO SILOGISMO: O MODO E A
FIGURA
Primeira figura: o termo médio é sujeito na
premissa maior e predicado na premissa
menor.
MODO
A
EXEMPLO
Todos os mamíferos sonham.
FIGUR
A M –
P
A
A
Os macacos são
mamíferos. Logo, os
macacos sonham.
S – M
S – P
Terceira figura: o termo médio é sujeito nas duas
premissas.
Quarta figura: o termo médio é predicado na
premissa maior e sujeito na premissa menor.
MODO
I
EXEMPLO
Alguns filósofos são alemães.
FIGUR
A M –
P
MODO
E
EXEMPLO
Nenhum gato é ave.
FIGUR
A P –
M
A
I
Todos os filósofos são europeus.
Logo, alguns europeus são
alemães.
M – S
S – P
I
O
Algumas aves são mamíferos.
Logo, alguns mamíferos não são
gatos.
M – S
S – P
AS QUATRO FIGURAS DO
SILOGISMO
Segunda figura: o termo médio é predicado
nas duas premissas.
MODO
E
EXEMPLO
Nenhum português é asiático.
FIGUR
A P –
M
A
E
Todos os chineses são asiáticos.
Logo, nenhum chinês é
português.
S – M
S – P
Primeira figura
AA
A
EA
E
AII
EIO
AAI
EA
O
Segunda figura
EA
E
AE
E
EIO
AO
O
EA
O
AE
O
Quarta figura
AA
I
AE
E
IAI
EA
O
EIO
AE
O
Terceira figura
AA
I IAI
AII
EA
O
OA
O
EIO
24 formas válidas do silogismo categórico regular
Forma canónica tradicional do silogismo
Premissa maior: Todos os estudiosos são perspicazes.
Premissa menor: Todos os alunos portugueses são
estudiosos. Conclusão: Logo, todos os alunos portugueses
são perspicazes..
Primeira
figura
Modo: AAA
Exemplo
Mas tal ordem de colocação não é
obrigatória, nomeadamente no que se refere
às premissas.
1.ª
2.ª
3.ª
Exemplo Alguns filósofos são crentes.
Todos os crentes são felizes.
Logo, alguns filósofos são
felizes.
S – M
M – P
S – P
Todos os crentes são felizes.
Alguns filósofos são crentes.
Logo, alguns filósofos são
felizes.
M – P
S – M
S – P
Este Devemos
silogismo identificar as
pertence premissas a
à primeira partir da
figura e posição dos
não à termos na
quarta. conclusão.
Regras da validade do silogismo categórico
O silogismo tem três termos, e só três termos: o maior, o
menor e o médio.
As rosas são flores.
Algumas mulheres são Rosas.
Logo, algumas mulheres são
flores.
1.ª
regra
Silogismo inválido Silogismo válido
Este silogismo tem quatro termos.
A palavra «rosas» está usada em
dois sentidos, valendo por dois
termos.
As rosas são flores.
Algumas coisas belas são rosas.
Logo, algumas coisas belas são
flores..
Além de cumprir as restantes
regras, este silogismo contém,
apenas, três termos.
Um silogismo categórico válido é aquele que respeita todas as regras.
O termo médio nunca pode entrar na conclusão.
Alguns pintores são
inteligentes. Alguns pintores
são artistas.
Logo, alguns artistas são pintores.
2.ª
regr
a
Falso silogismo Silogismo válido
O termo médio («pintores») entra
indevidamente na conclusão, onde
o termo «inteligentes» nem sequer
aparece. Embora seja válido, este
argumento não é um silogismo.
Os pintores são
inteligentes. Os pintores
são artistas.
Logo, alguns artistas são
inteligentes..
O termo médio encontra-se
apenas nas premissas. Além
disso, este silogismo cumpre todas
as restantes regras.
O termo médio deve ser tomado pelo menos uma vez em
toda a sua extensão: tem de estar distribuído pelo menos
uma vez.
Algumas pontes são belas.
Algumas pontes são construções
seguras. Logo, algumas construções
seguras são belas.
3.ª
regr
a
Silogismo inválido Silogismo
válido
As premissas, ao apresentarem ambas
um termo médio («pontes») tomado
apenas em parte da sua extensão, não
nos permitem concluir que existem
pontes simultaneamente belas e
seguras. A conclusão é, por isso,
ilegítima.
Todas as pontes são belas.
Algumas pontes são construções
seguras. Logo, algumas construções
seguras são belas.
Além de cumprir todas as restantes
regras, este silogismo também cumpre a
regra presente, pois o termo «pontes»
encontra-se distribuído na primeira
premissa.
Nenhum termo pode ter maior extensão na conclusão do
que nas premissas.
Os europeus são inteligentes.
Os portugueses não são europeus.
Logo, os portugueses não são
inteligentes.
4.ª
regr
a
Silogismo inválido Silogismo
válido
Na conclusão é tomado universalmente
um termo que nas premissas o é apenas
em parte – o termo maior: «inteligentes».
Os europeus são
inteligentes. Os portugueses
são europeus.
Logo, os portugueses são
inteligentes.
Neste silogismo, nenhum termo é mais
extenso na conclusão do que nas
premissas. O termo maior não se encontra
distribuído nem na premissa nem na
conclusão; o menor é tomado
universalmente em ambas. Este silogismo
também cumpre as restantes regras.
A conclusão deve seguir sempre a parte mais fraca
(negativa e particular).
Todos os homens são
felizes. Alguns homens são
espertos.
Logo, todos os espertos são felizes.
5.ª
regr
a
Silogismo inválido Silogismo válido
A conclusão é ilegítima, por se
apresentar como universal quando,
afinal, há uma premissa particular
(a parte mais fraca deste
silogismo).
Todos os homens são felizes.
Alguns homens são espertos.
Logo, alguns espertos são
felizes.
Neste silogismo, além de se
cumprirem as restantes regras,
também a conclusão segue a
parte mais fraca: a segunda
premissa.
De duas premissas negativas nada se pode concluir.
Nenhum poeta é fumador.
Nenhum fumador é desportista.
Logo, nenhum desportista é
poeta.
6.ª
regr
a
Silogismo inválido Silogismo válido
Neste silogismo, a conclusão é
indevidamente extraída das
premissas, das quais aliás nenhuma
conclusão se pode extrair, pois não
há uma ligação entre os termos.
Nenhum poeta é fumador.
Alguns desportistas são
fumadores. Logo, alguns
desportistas não são poetas.
Este silogismo, além de respeitar
as restantes regras, também
permite estabelecer uma ligação
entre os termos.
De duas premissas particulares nada se pode concluir.
Alguns jovens são espertos.
Alguns jovens não são
desconfiados. Logo, alguns seres
desconfiados não são espertos.
7.ª
regr
a
Silogismo inválido Silogismo válido
Em silogismos com premissas
particulares, a conclusão será
extraída indevidamente, na medida
em que haverá violação de alguma
outra regra. No exemplo
apresentado, o termo médio não se
encontra distribuído pelo menos uma
vez.
Todos os jovens são espertos.
Alguns jovens são desconfiados.
Logo, alguns seres desconfiados
são espertos.
Este silogismo respeita a
presente regra e todas as
restantes.
De duas premissas afirmativas não se pode extrair
uma conclusão negativa.
Todos os artistas são cantores.
Alguns americanos são artistas.
Logo, alguns americanos não
são cantores.
8.ª
regr
a
Silogismo inválido Silogismo válido
Neste silogismo afirma-se, nas
premissas, uma ligação dos
termos
«cantores» e «americanos» com o
termo «artistas». Sendo assim,
também se deveria afirmar alguma
ligação entre os termos extremos
na conclusão, o que não acontece.
Todos os artistas são
cantores. Alguns americanos
são artistas.
Logo, alguns americanos são
cantores.
Este silogismo é válido, pois
respeita a presente regra e todas as
restantes.
Regras relativas aos termos
Quadro-síntese das regras da validade do silogismo categórico
1.ª O silogismo tem apenas três
termos.
2.ª O termo médio nunca pode
entrar na conclusão.
3.ª O termo médio deve ser
tomado pelo menos uma vez em
toda a sua extensão.
4.ª Nenhum termo pode ter
maior extensão na conclusão do
que nas premissas.
Regras relativas às proposições
5.ª A conclusão deve seguir
sempre a parte mais fraca.
6.ª De duas premissas negativas
nada se pode concluir.
7.ª De duas premissas
particulares nada se pode
concluir.
8.ª De duas premissas afirmativas não
se pode tirar uma conclusão negativa..
Falácias no silogismo categórico
Sempre que se desrespeitam as regras do silogismo, seja as relativas aos
termos,
seja as relativas às proposições, comete-se uma falácia.
Falácia dos
quatro termos
Quando se
infringe a regra
segundo a qual o
silogismo tem três
termos e só três
termos.
Algumas das falácias do silogismo categórico apresentam designações
específicas:
Falácia do
termo médio
não
distribuído
Quando se
infringe a regra
segundo a qual o
termo médio deve
ser tomado pelo
menos uma vez
em toda a sua
extensão.
Falácia da
ilícita maior
Quando o termo
maior se
encontra
distribuído na
conclusão e não
na premissa,
infringindo –se a
regra segundo a
qual nenhum
termo pode ter
maior extensão
na conclusão do
que nas
Falácia da
ilícita menor
Quando o termo
menor se
encontra
distribuído na
conclusão e não
na premissa,
infringindo-se a
regra segundo a
qual nenhum
termo pode ter
maior extensão
na conclusão do
que nas
Falácia
das
premissas
exclusivas
Quando se extrai
uma conclusão
de duas
premissas
negativas,
infringindo-se a
regra segundo a
qual de duas
premissas
negativas nada
se pode concluir.
Silogismo condicional
Silogismo cuja premissa maior é
uma proposição condicional
Antecedente Consequente
Conclusão
Premissa menor
Premissa maior Se há vida após a morte, então a existência tem
sentido.
Há vida após a morte.
Logo, a existência tem sentido.
Exemplo
Expressões alternativas de proposições condicionais
•A existência tem sentido, se houver vida após a morte.
•A existência tem sentido, caso haja vida após a morte.
•Desde que haja vida após a morte, a existência tem sentido.
•Se há vida após a morte, a existência tem sentido.
•A existência não tem sentido, a menos que haja vida após a
morte.
•Para a existência ter sentido basta haver vida após a morte.
Silogismo condicional
Modo afirmativo Modo negativo
Modos válidos
Modus ponens Modus tollens
Há uma relação necessária entre as
premissas e a conclusão.
Modo que consiste em afirmar o antecedente na premissa
menor e em afirmar, de seguida, o consequente na
conclusão.
Modus ponens
Forma lógica Exemplos
Se P, então
Q. P.
Logo, Q.
Se compro a casa, então gasto muito
dinheiro. Compro a casa.
Logo, gasto muito dinheiro.
Se não gasto dinheiro, então faço uma boa
poupança. Não gasto dinheiro.
Logo, faço uma boa poupança.
Modo que consiste em negar o consequente na premissa
menor e em negar depois o antecedente na
conclusão.
Modus tollens
Forma lógica Exemplos
Se P, então Q.
Não Q.
Logo, não P.
Se compro a casa, então gasto muito dinheiro.
Não gasto muito dinheiro.
Logo, não compro a casa.
Se estiver sol, então não fico em
casa. Fico em casa.
Logo, não está sol.
Silogismo condicional:
falácias
Falácia da afirmação do
consequente: afirma-se o
consequente na premissa menor e
o antecedente na conclusão.
Falácia da negação do
antecedente: nega-se o
antecedente na premissa menor e o
consequente na conclusão.
Forma
lógica
Exemplo
s
Se P, então
Q. Q.
Logo, P.
Forma
lógica
Exemplo
s
Se P, então
Q. Não P.
Logo, não Q.
Se chove, então fico em
casa. Não chove.
Logo, não fico em casa.
Se não chove, então não fico em
casa. Chove.
Logo, fico em casa.
Se chove, então fico em
casa. Fico em casa.
Logo, chove.
Se não chove, então não fico em
casa. Não fico em casa.
Logo, não chove.
Silogismo disjuntivo
Silogismo cuja premissa maior é
uma proposição disjuntiva (que
pode ser exclusiva ou inclusiva).
Exemplo
Premissa maior Ou sou inocente ou sou culpado.
Premissa menor Sou inocente.
Conclusão Logo, não sou culpado.
A premissa menor afirma ou nega uma
das alternativas. A conclusão, por
sua vez, afirma ou nega a outra, em
função do que se passar na
premissa menor.
Silogismo disjuntivo
(disjunção exclusiva)
Modus ponendo tollens
(modo que, afirmando, nega)
Modos válidos
Há uma relação necessária entre
as premissas e a conclusão.
Modus tollendo ponens
(modo que, negando, afirma)
Modo cuja premissa maior é uma disjunção exclusiva, cuja
premissa menor afirma uma das alternativas e cuja conclusão
nega a outra.
Modus ponendo tollens
Forma lógica Exemplos
Ou P ou
Q. P.
Logo, não Q.
Ou penso ou
sinto. Penso.
Logo, não sinto.
OU:
Ou P ou Q.
Ou não estou desconcentrado ou estou
cansado. Estou cansado.
Q. Logo, estou desconcentrado.
Logo, não P.
Modo cuja premissa maior é uma disjunção exclusiva, cuja premissa
menor nega uma das alternativas e cuja conclusão afirma a outra.
Modus tollendo ponens
Forma lógica Exemplos
Ou P ou
Q. Não P.
Logo, Q.
Ou chove ou faz sol.
Não chove.
Logo, faz
sol.
OU:
Ou P ou
Q. Não Q.
Logo, P.
Ou não fico em casa ou não vou para a rua.
Vou para a rua.
Logo, não fico em casa.
Proposições disjuntivas
Disjunção completa
ou exclusiva.
Uma das
alternativas
exclui a outra.
Exemplo:
Ou danço ou estou quieto.
Disjunção inclusiva.
Uma alternativas
não exclui a
outra.
Exemplo:
Escrevo ou sorrio.
Modo cuja premissa maior é uma disjunção
inclusiva, cuja premissa menor apresenta a
negação de uma das alternativas (que não
se excluem) e cuja conclusão afirma a
outra.
Modus tollendo ponens
Forma lógica Exemplos
P ou Q.
Não P.
Logo,
Q.
Escrevo ou sorrio.
Não
escrevo.
Logo, sorrio.
Ou:
P ou
Q. Não
Q.
Logo,
P.
Os pássaros voam ou não
cantam.
Os pássaros
cantam. Logo,
voam.
A premissa maior é uma disjunção inclusiva,
a premissa menor apresenta a afirmação de
uma das alternativas (que não se excluem)
e a conclusão nega a outra.
Falácia no silogismo disjuntivo
Forma lógica Exemplos
P ou
Q. P.
Logo, não Q.
Sou marinheiro ou cantor.
Sou marinheiro.
Logo, não sou
cantor.
Ou:
P ou
Q. Q.
Logo, não P.
Sou marinheiro ou
cantor. Sou cantor.
Logo, não sou marinheiro.
1.2.2. LÓGICA PROPOSICIONAL
PROPOSIÇÃO
Pensamento ou conteúdo expresso por uma frase declarativa, suscetível
de
ser considerada verdadeira ou falsa.
As proposições têm valor de verdade.
Simples ou elementares
São proposições em
que não estão
presentes quaisquer
operadores.
Complexas ou compostas
São proposições em que
está presente um
operador ou mais do que
um.
Exemplos
As casas são brancas. As casas são amarelas.
Gertrudes é arquiteta. Paulo é engenheiro.
Deus existe. O mundo foi criado por Deus.
Eu sou jogador de futebol.
Exemplos
As casas são brancas ou as casas são
amarelas.
Gertrudes é arquiteta e Paulo é engenheiro.
Se Deus existe, então o mundo foi criado por
ele.
Proposições
Simples Complexas
O seu valor de verdade
depende do facto de elas
estarem ou não de
acordo com a realidade.
O seu valor de verdade
depende do valor de
verdade das
proposições simples e
dos operadores
utilizados.
Gertrudes é arquiteta. Paulo é engenheiro.
verdadeira falsa
Gertrudes é arquiteta e Paulo é engenheiro.
Gertrudes é arquiteta ou Paulo é engenheiro.
falsa
verdadeira
«Penso que»,
«visto que»,
«acredito que»,
«é possível que»,
etc.
Operadores Proposicionais
Trata-se de palavras ou expressões que, sendo ligadas a
determinada(s) proposição(ões), permitem formar novas
proposições.
«E», «ou», «se…,
então», etc.
Operadores
verofuncionais
(operadores
lógicos ou
conetivas
proposicionais).
Operadores que nos permitem, uma vez conhecidos os valores de verdade
das
proposições simples, determinar, apenas com base nessa informação, o
valor de verdade da proposição resultante.
Proposição complexa função de verdade
Letras
proposicionais
P: Deus existe.
Q: A vida tem
sentido.
Exemplo Forma lógica
Deus existe e a vida tem
sentido. Logo, Deus existe.
P e Q.
Logo, P.
Argumento dedutivamente válido.
É possível determinar, com base nos operadores
verofuncionais, a validade dos argumentos em que
as proposições se integram.
Variáveis
proposicionais
Símbolo Leitura Formas proposicionais
 não Negação
 e Conjunção
Constante
s lógicas  ou Disjunção
→ se..., então Condicional
↔ se, e só se Bicondicional
OPERADORES VEROFUNCIONAIS
Forma lógica Exemplos
 P Não P. Deus não existe.
P  Q P e Q. Deus existe e a vida tem sentido.
P  Q P ou Q. Deus existe ou a vida tem sentido.
P → Q Se P, então Q. Se Deus existe, então a vida tem sentido.
P ↔ Q P se, e só se, Q. Deus existe se, e só se, a vida tiver sentido.
Operador
singular, unário ou
monádico
Aplica-se apenas a uma proposição. «Não».
Operador binário
ou diádico
Aplica-se a duas proposições.
«E», «ou», «se...,
então»,
«se, e só se».
 P (Não P)
Negação
P: Portugal é um país asiático.
Portugal não é um país asiático.
Não é verdade que Portugal é um país asiático.
É falso que Portugal seja um país asiático.
É errado afirmar que Portugal é um país
asiático.
Expressões
alternativas
Tabela de verdade
Tabela que apresenta as diversas
condições de verdade de uma forma
proposicional específica, permitindo
determinar de modo mecânico a sua
verdade ou falsidade.
A tabela de verdade exibe os valores de
verdade possíveis da(s) proposição(ões) e
os valores de verdade resultantes das
operações efetuadas.
Tabela de
verdade da
negação
V
F
P
F
V
 P
Coluna de referência
Primeira parte Segunda parte
Sendo o operador da negação o único operador
unário, só haverá duas filas na tabela.
A negação é uma proposição com
a forma «Não P», representando-
se por
« P». Se P é verdadeira,  P é
falsa; se P é falsa,  P é
verdadeira.
A negação de uma negação (ou dupla
negação) – que se representa por «  P»
– equivale a uma afirmação.
P  Q (P e Q)
Conjunção
P: A vida é enigmática.
Q: A morte é
enigmática.
A vida é enigmática e a morte é
enigmática.
A vida é enigmática e a morte também o é.
A vida e a morte são enigmáticas.
A vida é enigmática, mas a morte é-o
igualmente. Quer a vida quer a morte são
enigmáticas..
Expressõe
s
alternativa
s
Tabela de verdade da conjunção
P Q P  Q
V V V
V F F
F V F
F F F
A conjunção é uma proposição
com a forma «P e Q»,
simbolizando-se por
«P  Q», a qual é verdadeira se
as proposições conectadas – que
também se chamam
«proposições conjuntas» – forem
verdadeiras e é falsa desde que
pelo menos uma dessas
Sendo o operador da conjunção, à semelhança
dos que estudaremos a seguir, um operador
binário, haverá na tabela quatro condições de
verdade.
P  Q (P ou
Q)
Disjunçã
o
inclusiva
P: Descartes era
racionalista. Q: Locke era
empirista.
Descartes era racionalista ou
Locke era empirista.
Tabela de verdade
da
disjunção inclusiva
P Q P  Q
V V V
V F V
F V V
F F F
A disjunção inclusiva é uma proposição com a forma «P ou Q», simbolizando-se por «P  Q», a
qual será
sempre verdadeira, exceto quando P e Q forem simultaneamente falsas.
P  Q (Ou P ou
Q)
P: Vou ao
cinema. Q: Fico
em casa.
Ou vou ao cinema ou fico em
casa.
Tabela de verdade
da disjunção
exclusiva
P Q P  Q
V V F
V F V
F V V
F F F
A disjunção exclusiva é uma proposição com a forma «Ou P ou Q», simbolizando-se por «P  Q»,
a qual é verdadeira se P e Q possuem valores lógicos distintos e falsa se P e Q possuem o
Disjuntas
Disjunçã
o
exclusiv
a
P → Q (Se P, então
Q)
Condiciona
l
(implicaçã
o material)
P: Marco golos.
Q: Sou desportista.
Se marco golos, então sou
desportista.
Sou desportista, se marco golos.
Sou desportista, caso marque
golos.
Desde que eu marque golos, sou
desportista. Ser desportista é condição
necessária para eu marcar golos.
Marcar golos é condição suficiente para eu
ser desportista.
Se marco golos, sou desportista.
Não sou desportista, a menos que marque
golos.
Expressões
alternativas
Tabela de verdade da
condicional
P Q P → Q
V V V
V F F
F V V
F F V
A condicional é uma proposição
composta com a forma «Se P,
então Q», simbolizando-se por «P
→ Q», a qual só é falsa se P – o
antecedente
– é verdadeira e Q – o consequente
– é falsa. Em todas as
restantes situações, a nova
proposição é
Antecedent
e (P)
É uma condição
suficiente para o
consequente.
Consequent
e (Q)
É uma condição
necessária para o
antecedente.
P ↔ Q (Se, e só se)
Bicondiciona
l
(equivalênci
a material)
P: Sou escritor.
Q: Publico livros.
Sou escritor se, e só se, publico
livros.
Sou escritor se, e somente se, publico livros.
Sou escritor se, e apenas se, publico livros.
Publicar livros é condição necessária e
suficiente para eu ser escritor.
Se sou escritor, publico livros e vice-versa.
Expressõe
s
alternativa
s
Tabela de verdade da
bicondicional
P Q P ↔ Q
V V V
V F F
F V F
F F V
A bicondicional é uma proposição
composta com a forma «P se, e só
se, Q», simbolizando-se por «P ↔
Q», a qual é verdadeira se ambas
as proposições tiverem o mesmo
valor lógico e falsa se as
proposições tiverem valores
lógicos distintos.
Proposiçõe
s simples
Formas proposicionais e operadores verofuncionais
Negação Conjunção
Disjunção
Condicional Bicondicional
inclusiva exclusiva
P Q  P  Q P  Q P  Q P  Q P → Q P ↔ Q
V V F F V V F V V
V F F V F V V F F
F V V F F V V V F
F F V V F F F V V
P: Eu sonho.
Q: Eu
estudo.
Eu sonho e não estudo.
É falso afirmar que eu sonho e não estudo.
Âmbito dos operadores
P   Q
 (P   Q)
Uma conjunção e uma negação que incide sobre a proposição
Q.
Uma negação que incide sobre a conjunção de P e de
 Q.
Âmbito de um operador: refere-se à proposição (ou
proposições) sobre a qual (ou sobre as quais) esse operador
incide.
No segundo exemplo, o operador da negação (enquanto operador principal)
apresenta
Operador principal: 
Operador principal: 
Colocar as proposições na
forma canónica,
identificando os operadores
verofuncionais envolvidos.
Isolar as proposições
simples que as constituem
e atribuir variáveis
proposicionais a cada uma.
A isto se chama
«construir o
dicionário» dessas
proposições ou
proceder à sua
«interpretação».
Simbolizar ou formalizar
a proposição
complexa.
Formalizar proposições complexas
Exemplo: Não sou bom aluno a Filosofia, a não ser que estude lógica.
Expressão canónica Interpretação (dicionário) Formalização
Se estudo lógica, então
sou bom aluno a Filosofia.
P: Estudo lógica.
Q: Sou bom aluno a
Filosofia.
P → Q
Exemplo: Não sou rico se, e só se, não tenho dinheiro.
Expressão canónica Interpretação (dicionário) Formalização
Não sou rico se, e só se,
não tenho dinheiro.
P: Sou rico.
Q: Tenho dinheiro.
 P ↔  Q
Exemplo: O ser humano não é feliz, a não ser que o dizer-se que Deus não
existe e
a vida é absurda constitua uma falsidade.
Expressão canónica Interpretação (dicionário) Formalização
Se é falso que Deus não
existe e que a vida é
absurda, então o ser
humano é feliz.
P: Deus existe.
Q: A vida é absurda.
R: O ser humano é feliz.
 ( P  Q) → R
Expressão canónica Interpretação Formalização
Não é verdade que se
está sol então está bom
tempo.
P: Está sol.
Q: Está bom tempo.
 (P → Q))
O método das tabelas de verdade
P
Q
 (P →
Q)
V
V
V
F
F
V
F F
P
Q
P
Q
P
Q
Colocar na tabela
os valores de
verdade das
proposições
simples,
esgotando as
possibilidades.
Desenhar a
tabela, colocando
aí as letras
proposicionais e a
proposição
complexa.
 (P →
Q)
 (P →
Q)
 (P →
Q)
1. 2.
3.
Calcular os
valores de
verdade das
V V V Calcular os valores V V F V
proposições,
excetuando os
daquela que é
relativa ao
operador
V
F
F
F
V
F
F
V
V
de verdade da
proposição
relativa ao
operador
principal.
V
F
F
F
V
F
V
F
F
F
V
V
4.
Para duas variáveis, são necessárias quatro filas;
para
três, oito; para quatro, dezasseis, etc.
P Q R [R  (
P
 Q)]↔ (R

Q)
V V V V V V V
V V F V V V V
V F V V F V V
V F F F F V F
F V V V F V V
F V F F F F V
F F V V F V V
F F F F F V F
Determinamos primeiro os valores
de verdade da conjunção «P  Q»
e da disjunção «R  Q» (a ordem
neste caso é irrelevante). De
seguida, determinamos os valores
da disjunção «R  (P  Q)». Por
fim, determinamos os valores da
bicondicional a partir dos valores
obtidos para as duas disjunções.
Tautologias ou
verdades
lógicas
Fórmulas proposicionais que são sempre verdadeiras, qualquer que seja o
valor de verdade das proposições simples que as constituem.
Exemplo Forma lógica
Se acendo e apago a
luz, então acendo a luz.
(P  Q) → P
P Q (P  Q
)
→ P
V V V V
V F F V
F V F V
F F F V
Contradições ou
falsidades
lógicas
Fórmulas proposicionais que são sempre falsas, independentemente do
valor de verdade das proposições simples que as compõem.
Exemplo Forma lógica
Não penso ou não sonho
se, e só se, penso e
sonho.
( P   Q) ↔ (P  Q)
P Q ( P  
Q)
↔ (P Q)
V V F F F F V
V F F V V F F
F V V V F F F
F F V V V F F
Contingências ou proposições indeterminadas
Fórmulas proposicionais que tanto podem ser verdadeiras como
falsas, consoante os valores lógicos das proposições simples que as
compõem.
Exemplo Forma lógica
Se passeio ou corro, então
mantenho a saúde.
(P  Q) → R
P Q R (P  Q) → R
V V V V V
V V F V F
V F V V V
V F F V F
F V V V V
F V F V F
F F V F V
F F F F V
Equivalências lógicas
Duas proposições são logicamente equivalentes se apresentarem as
mesmas condições de verdade: quando uma for verdadeira, a outra
também o será e, quando uma for falsa, a outra sê-lo-á também. Tal
significa que a sua bicondicional constitui uma verdade lógica ou uma
tautologia.
Bicondicional ou
equivalência
material
Pode ser verdadeira ou falsa.
Equivalência lógica
É sempre verdadeira.
Exemplo: P Q P ↔ Q
Trabalho se, e só se, tenho saúde.
V V V
V F F
Forma lógica
F V F
P ↔ Q F F V
Exemplo: P Q (P
→
Q
)
 (Q →
P)
Se trabalho, então tenho saúde
e, se tenho saúde, então
trabalho.
V V V V V
V F F F V
Forma lógica
F V V F F
(P → Q)  (Q → P) F F V V V
As duas proposições
complexas são
equivalentes, pois
apresentam as
mesmas condições de
verdade: têm o mesmo
valor de verdade em
qualquer circunstância.
P Q (P ↔ Q) ↔ [(P → Q)  (Q →
P)]
V V V V V V V
V F F V F F V
F V F V V F F
F F V V V V V
Tautologia
P ↔ Q  (P → Q)  (Q →
P)
Símbolo de
equivalênci
a lógica
ALGUMAS EQUIVALÊNCIAS
LÓGICAS
P → Q   (P   Q)
P → Q   P  Q
P  Q   ( P  
Q) P  Q   ( P 
 Q) P    P
P ↔ Q   Q ↔  P
Tautologias e formas de inferência válida
Condicional
ou implicação
material
P
Q
[(P → Q)  P] →
Q
V V V V V
V F F F V
F V V F V
F F V F V
Passagem das
premissas à
conclusão
Uma forma de inferência dedutiva é válida se, e somente se, a
fórmula proposicional (implicativa) que lhe corresponde for uma
tautologia.
Inspetores
de
circunstância
s
Argumento Interpretação Formalização
Se sou português,
então sou
conhecedor de
Camões.
Sou português.
Logo, sou
conhecedor de
Camões.
P: Sou português.
Q: Sou conhecedor de
Camões.
P → Q
P
 Q
Nota: Em vez do símbolo , também poderemos usar o símbolo
,
que se designa por «martelo semântico». Ambos se leem
«Logo», um indicador de conclusão.
Num inspetor de
circunstâncias, um
argumento válido
será aquele no qual
não existe nenhuma
linha que torne todas
as premissas
verdadeiras e a
conclusão falsa.
P
Q
P → Q,
P
Q
V V V V V
V F F V F
F V V F V
F F V F F
A primeira linha exprime a
única circunstância em que
ambas as premissas são
verdadeiras. Ora, dado que tal
circunstância também torna a
conclusão verdadeira, o
argumento é considerado
válido.
Premissa
1
Premissa
2
Conclusã
o
P
Q
P → Q,
Q
P
V V V V V
V F F F V
F V V V F
F F V F F
A primeira e a terceira linhas
exprimem as únicas
circunstâncias em que ambas
as premissas são verdadeiras.
Contudo, se na primeira linha
a circunstância torna a
conclusão verdadeira, já na
terceira linha a circunstância
em causa torna a conclusão
falsa. O argumento é, por isso,
inválido.
Premissa 1 Premissa 2 Conclusão
Argumento Interpretação Formalização
Se corro, então sinto-
me bem.
Sinto-me
bem. Logo,
corro.
P: Corro.
Q: Sinto-me bem.
P →
Q Q
 P
Premissa
1
Premissa
2
Conclusã
o
Argumento Interpretação Formalização
Se leio, aumento a
minha inteligência.
Se aumento a minha
inteligência, aumento a minha
autoestima.
Logo, se leio,
aumento a minha
autoestima.
P: Leio.
Q: Aumento a
minha inteligência.
R: Aumento a minha
autoestima.
P →
Q Q
→ R
 P → R
V V
V
V V
F
V F
V
V F F
F V
V
V V V
V
F
F
F
V
V
F
V
F
V V V
V F V
V V V
V V V
P Q R P →
Q,
Q → R P →
R
Estamos perante um
argumento válido, pois nas
circunstâncias em que ambas
as premissas são verdadeiras,
a conclusão também o é.
Algumas
formas
de
inferênci
a válida
Modus ponens:
afirmação do
antecedente na
segunda
premissa e do
consequente
na conclusão.
Exemplo Formalização
Se está sol, então vou à praia.
Está sol.
Logo, vou à praia.
P → Q
P
Q
Modus tollens:
negação do
consequente
na segunda
premissa e do
antecedente na
conclusão.
Exemplo Formalização
Se está sol, então vou à
praia. Não vou à praia.
Logo, não está sol.
P → Q
 Q
 P
Contraposição
Exemplo Formalização
Se Deus existe, então o mundo é
finito. Logo, se o mundo não é finito,
então Deus não existe.
P → Q
 Q →  P
Exemplo Formalização
Se o mundo não é finito, então Deus
não existe.
Logo, se Deus existe, então o
mundo é finito.
 Q →  P
P → Q
Silogismo
disjuntivo
(disjunção
inclusiva) ou
modus
tollendo
ponens
Exemplo Formalização
Canto ou
assobio. Não
canto.
Logo, assobio.
P  Q
 P
Q
Exemplo Formalização
Canto ou
assobio. Não
assobio.
Logo, canto.
P  Q
 Q
P
Silogism
o
hipotético
Exemplo Formalização
Se viajar, então aprendo novas
coisas. Se aprendo novas coisas,
então torno- me melhor pessoa.
Logo, se viajar, então torno-me
melhor pessoa.
P →
Q Q
→ R
P → R
Negação
da
conjunçã
o
Exemplo Formalização
Não é verdade que fumo e que
tenho saúde.
Logo, não fumo ou não tenho saúde.
 (P  Q)
 P   Q
Exemplo Formalização
Não fumo ou não tenho saúde.
Logo, não é verdade que fumo e
que tenho saúde..
 P   Q
 (P  Q)
Leis de De
Morgan:
indicam-
nos que de
uma
conjunção
negativa
podemos
inferir uma
disjunção
de
negações,
e que de
uma
disjunção
negativa
podemos
inferir uma
conjunção
de
negações.
Negação
da
disjunçã
o
Exemplo Formalização
Não é verdade que há sol ou
chuva. Logo, não há sol e não há
chuva.
 (P  Q)
 P   Q
Exemplo Formalização
Não há sol e não há chuva.
Logo, não é verdade que há sol
ou chuva.
 P   Q
  (P  Q)
Formas argumentativas inválidas
Falácia da
afirmação
do
consequent
e
Exemplo Formalização
Se és meu amigo, então dizes-me sempre a
verdade. Dizes-me sempre a verdade.
Logo, és meu amigo.
P →
Q Q
 P
Comete-se quando, a partir de uma proposição condicional, se afirma o consequente
na
segunda premissa, concluindo-se com a afirmação do antecedente.
Falácia da
negação do
antecedent
e
Exemplo Formalização
Se és meu amigo, então dizes-me sempre a
verdade.
Não és meu amigo.
Logo, não me dizes sempre a verdade.
P → Q
 P
  Q
Comete-se quando, a partir de uma proposição condicional, se nega o
antecedente na segunda premissa, concluindo-se com a negação do
consequente.
Variáveis de fórmula
Representam qualquer tipo de proposição (simples ou complexas). Usam-
se
as letras iniciais do alfabeto: A, B, C, etc.
Exemplo 1 Formalização
Se tenho livros, então
estudo. Não estudo.
Logo, não tenho livros.
P → Q
 Q
 P
Exemplo 2 Formalização
Se tenho livros, então estudo e sou
feliz. Não é verdade que estudo e que
sou feliz. Logo, não tenho livros.
P → (Q  R)
 (Q  R)
 P
P: Tenho livros.
Q: Estudo.
R: Sou
feliz.
Exemplo 2 Formalização
Se tenho livros, então estudo e sou
feliz. Não é verdade que estudo e que
sou feliz. Logo, não tenho livros.
A → B
 B
 A
FORMAS
DE
INFERÊNC
IA VÁLIDA
Modus ponens Modus tollens
A →
B A
B
A → B
 B
 A
Silogismo disjuntivo Silogismo hipotético
A  B
 A
B
A  B
 B
A
A →
B B
→ C
A → C
Contraposição Leis de De Morgan
A → B
 B →  A
 B →  A
 A → B

 (A  B)
 A   B
 A   B
  (A  B))
OU A → B   B →  A OU  (A  B)   A   B
Nota: o símbolo  significa, no presente
contexto, que tanto se pode inferir
validamente num como noutro sentido.

 (A  B)
 A   B
 A   B
  (A  B)
OU  (A  B)   A   B
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FALACIOSAS
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Argumentação lógica e validade de argumentos

  • 1. 1 - ARGUMENTAÇÃO E LÓGICA FORMAL 1.1. Distinção validade – verdade 1.1.1. A definição de lógica
  • 2. Raciocínio ou inferência Operação mental através da qual chegamos a uma conclusão partindo de determinadas razões. Comunicar o raciocínio Argumento Todos os seres racionais possuem a capacidade de raciocinar e de argumentar, mas nem todos o fazem de modo correto.
  • 3. ARGUMENT OS Essas crenças levam-nos a discordar de conclusões que eventualmente as contradigam e das razões avançadas para as apoiar. Têm na sua base convicções, crenças, ideias, opiniões, informações: aquilo em que acreditamos acerca do mundo. Existência de discordâncias: não há uma verdade única. Mas há crenças partilhadas e bastante consensuais.
  • 4. Todos os mamíferos são inteligentes. Todos os seres humanos são mamíferos. Logo, todos os seres humanos são inteligentes. Todos os mamíferos são inteligentes. Todos os seres humanos são inteligentes. Logo, todos os seres humanos são mamíferos. Podemos discordar desta conclusão, mas temos de reconhecer que a forma como ela é obtida é consistente, razoável e válida. Ainda que consideremos a conclusão verdadeira, não faz sentido aceitá-la a partir das razões em que ela se baseia. Podemos aceitar ou rejeitar a correção de uma forma de raciocínio, sem que isso implique aceitar ou rejeitar o conteúdo das crenças de que se parte e das crenças a que se chega. Exemplo Exemplo
  • 5. LÓGIC A Lógica formal Disciplina filosófica que estuda a distinção entre argumentos corretos (ou válidos) e incorretos (ou inválidos), mediante a identificação das condições necessárias à operação que conduz da verdade de certas crenças à verdade de outras. Estudo das leis, princípios e regras a que devem obedecer o pensamento e o discurso para serem válidos. Lógica informal Analisa a validade dos argumentos dedutivos. Analisa essencialmente a validade dos argumentos não dedutivos.
  • 6. . 1.1.2. O ARGUMENTO
  • 7. ARGUMENTO Conjunto de proposições devidamente articuladas A(s) premissa(s) procura(m) defender, sustentar ou justificar a conclusão. Premissa(s) Conclusã o (tese)
  • 8. Exemplo ANTECEDENT E Premissa Todos os portugueses são europeus. Premissa Os alentejanos são portugueses. CONSEQUENT E Conclusão Logo, os alentejanos são europeus. Indicador de conclusão Nexo lógico Não se enquadram na categoria de «argumentos» aqueles que são meros conjuntos de proposições sem qualquer conexão lógica entre si. Os rapazes são giros. As cerejas fazem bem à saúde. Logo, as férias devem continuar. Exemplo Um argumento tem subjacente uma inferência ou raciocínio, uma operação que efetua a transição lógica entre proposições.
  • 9. Nem todas as frases expressam proposições. Só as frases declarativas. Afirmam, negam, atribuem, declaram ou constatam alguma coisa. Podem ser consideradas verdadeiras ou falsas. PROPOSIÇÕES FRASES
  • 10. EXEMPLOS TIPO DE FRASE Saia da minha frente! Frase imperativa. Que belo jardim você tem! Frase exclamativa. Quem sou eu? Frase interrogativa. Farei o que me mandas fazer. Frase que traduz uma promessa. Ajuda-me a transportar estes sacos. Frase que expressa um pedido. EXEMPLOS DE FRASES QUE NÃO EXPRESSAM PROPOSIÇÕES PROPOSIÇÃO Pensamento ou conteúdo, verdadeiro ou falso, expresso por uma frase declarativa. A mesma proposição pode ser expressa por diferentes frases declarativas: “A Terra é contemplada pelo astronauta a partir da Lua.” = “O astronauta contempla a Terra a partir da Lua.”
  • 11. Proposições Exemplos Simples Categóricas Afirmam ou negam sem restrições nem condições. Todos os rios correm. Os poetas não são arquitetos. Compostas (complexas) Condicionais Afirmam ou negam sob determinadas condições. Se viajo, então aprendo. Se não fores, então vou eu. Disjuntivas Afirmam ou negam em forma de alternativas que se excluem (disjunção exclusiva) ou não (disjunção inclusiva). Disjunção exclusiva: Ou és sábio ou és ignorante. Disjunção inclusiva: És inteligente ou boa pessoa. As proposições, simples ou compostas, relacionam-se umas com as outras, organizando-se em operações mais complexas – os argumentos.
  • 12. PROPOSIÇÕES Relacionam termos. TERMO É geralmente entendido como a expressão verbal do conceito. CONCEITO Elemento básico do pensamento. Representação intelectual de determinada realidade. O conteúdo dessa representação Pode dizer respeito a uma classe de objetos ou a uma realidade singular. (No entanto, há autores que defendem que só as noções ou ideias gerais é que podem ser consideradas conceitos.) •O mesmo conceito pode ser expresso por termos diferentes sob o ponto de vista linguístico. •O mesmo vocábulo pode exprimir diferentes conceitos (termos distintos sob o ponto de vista lógico). •Um termo pode ser constituído por mais do que uma palavra, exprimindo um único conceito. Operação mental que permite estabelecer uma relação entre conceitos e que está subjacente à formação de proposições JUÍZO
  • 13. DEFINIÇÃO Procura fornecer o significado e permitir a compreensão do que é definido. Aquela que é feita com base em condições necessárias e suficientes. Exemplo: “A macieira é uma árvore que tem como fruto a maçã.” «Ter como fruto a maçã» e «ser árvore» são condições necessárias, mas também suficientes, para que algo seja uma macieira. Definição explícita Uma definição bem construída nunca será demasiado ampla nem demasiado restrita. Uma definição, para ser explícita, deve ser clara e convir inteira e exclusivamente ao definido, garantindo a reciprocidade ou a troca de
  • 14. Uma vez que é uma atividade física, o desporto é saudável. Como se sabe, a atividade física é saudável. Proposição 1 – O desporto é atividade física. Proposição 2 – O desporto é saudável. Proposição 3 – A atividade física é saudável. Indicadores de premissa Indicadores de premissa e de conclusão Toda a atividade física é saudável. Todo o desporto é atividade física. Logo, todo o desporto é saudável. Indicador de conclusão
  • 15. O Universo não é infinito. Com efeito, se o Universo fosse infinito, a força da gravidade não existiria. Ora, a força da gravidade existe. Proposição 1 – O Universo não é infinito. Proposição 2 – Se o Universo fosse infinito, a força da gravidade não existiria. Proposição 3 – A força da gravidade existe. Indicadores de premissa Indicadores de premissa e de conclusão (continuação) Se o Universo fosse infinito, a força da gravidade não existiria. A força da gravidade existe. Logo, o Universo não é infinito. Indicador de conclusão
  • 16. António é estudioso. Logo, António obtém boas classificações. O ENTIMEMA Indicador de conclusão Argumento em que uma ou mais proposições são omitidas, encontrando-se subentendida(s) – pode inclusive omitir-se a conclusão. A premissa «Todos os estudiosos obtêm boas classificações» encontra-se implícita, tendo sido suprimida. ENTIMEMA
  • 17. Alguns indicadores de premissa Alguns indicadores de conclusão Porque… Logo… Pois… Então… Admitindo que… Por conseguinte… Pressupondo que… Portanto… Considerando que… Por isso… Partindo do princípio de que… Consequentemente… Sabendo que… Segue-se que… Dado que… Infere-se que… Uma vez que… Conclui-se que… Devido a… É por essa razão que… Como… Daí que… Ora… Assim… Em virtude de… Isso prova que…
  • 18. 1.1.3. A VERDADE E A VALIDADE
  • 19. Aplicam-se à matéria ou conteúdo das proposições. Se estiverem de acordo com a realidade, as proposições são verdadeiras; se não estiverem, são falsas. PROPOSIÇÕES VERDADE FALSIDADE São qualidades próprias dos argumentos, resultantes do facto de as premissas apoiarem ou não a conclusão. ARGUMENTOS VALIDADE INVALIDADE VALIDA DE DEDUTI A validade traduz uma certa relação entre os valores de verdade das premissas e o valor de verdade da conclusão. VALIDADE NÃO DEDUTIVA
  • 20. A sua validade depende apenas da forma lógica. ARGUMENT OS DEDUTIVOS Num argumento dedutivo válido é logicamente impossível que as premissas sejam verdadeiras e a conclusão falsa. Os argumentos dedutivos válidos são especialmente apreciados pelos filósofos. Estes argumentos preservam a verdade. Se as premissas forem verdadeiras e a conclusão falsa, então o argumento é inválido.
  • 21. Todos os alunos são sensatos. Todos os jovens de dezasseis anos são alunos. Logo, todos os jovens de dezasseis anos são sensatos. Todos os alunos são sensatos. Todos os jovens de dezasseis anos são sensatos. Logo, todos os jovens de dezasseis anos são alunos. Argumento válido Todos os A são B. Todos os C são A. Logo, todos os C são B. Argumento inválido É logicamente impossível as duas premissas serem verdadeiras e a conclusão falsa. A verdade da conclusão não é garantida pela verdade das premissas. Importância da forma lógica do argumento. Todos os A são B. Todos os C são B. Logo, todos os C são A. Forma válida Forma inválida Exemplo Exemplo
  • 22. Pode haver argumentos dedutivos válidos com premissas e conclusão falsas. Todos os portugueses são pintores. Bertrand Russell é português. Logo, Bertrand Russell é pintor. Pode haver argumentos dedutivos inválidos com premissas e conclusão verdadeiras. Todos os naturais de Lisboa são portugueses. Fernando Pessoa é português. Logo, Fernando Pessoa é natural de Lisboa.
  • 23. Argumento dedutivo válido Argumento que tem uma forma lógica tal que a verdade das premissas garante sempre a verdade da conclusão, sendo impossível que as premissas sejam verdadeiras e a conclusão falsa. Argumento dedutivo inválido Argumento que tem uma forma lógica tal que a verdade das premissas não garante a verdade da conclusão. Argumentos dedutivos Premissas Argumento Conclusão Verdadeiras Válido Verdadeira É impossível ser falsa Inválido Verdadeira Falsa Falsas Válido Verdadeira Falsa Inválido Verdadeira Falsa Argumentos sólidos: argumentos válidos constituídos por proposições
  • 24. Argumento incorreto ou inválido, embora aparente ser válido. Falácia Falácias cometidas involuntariament e Falácias cometidas intencionalment e Paralogismo Sofisma Falácias formais Falácias informais Decorrem apenas da forma lógica do argumento. Resultam de aspetos que vão para lá da forma lógica do argumento
  • 25. A sua validade depende de aspetos que vão para lá da forma lógica do argumento. ARGUMENTOS NÃO DEDUTIVOS Num argumento não dedutivo, a verdade das premissas apenas sugere a plausibilidade da conclusão ou a probabilidade de ela ser também verdadeira. Um argumento não dedutivo é válido quando é improvável, mas não propriamente impossível, ter premissas verdadeiras e conclusão falsa.
  • 26. A indução conduz-nos a conclusões que não derivam necessariamente das premissas. INDUTIVOS OUTROS ARGUMENTOS NÃO DEDUTIVOS Alguns estudantes copiam nos testes. Logo, todos os estudantes copiam nos testes. Até hoje, todos os cavalos nasceram quadrúpedes. Logo, o próximo cavalo a nascer será quadrúpede. Argumento indutivo inválido Argumento indutivo válido A verdade das premissas não fornece fortes razões para pensar que a conclusão é verdadeira. A verdade das premissas fornece fortes razões para pensar que a conclusão é verdadeira. Argument o forte Argument o fraco
  • 27. 1.2. FORMAS DE INFERÊNCIA VÁLIDA E PRINCIPAIS FALÁCIAS
  • 29. Estrutura das proposições categóricas Numa proposição categórica, afirmamos ou negamos alguma coisa – o termo predicado – de uma outra coisa – o termo sujeito. Todos os artistas são sábios. CÓPULA PREDICADO SUJEITO Característica ou qualidade que se afirma ou nega do sujeito. Ser relativamente ao qual se afirma ou nega o predicado. Elemento que faz a ligação do sujeito com o predicado. S é P
  • 30. Portugal é um país europeu. O Sol é um planeta. Picasso não é o autor de Guernica. Nenhum cão é animal aquático. Estabelecem uma conveniência entre os sujeitos e os predicados respetivos. Indicam uma inconveniência entre os sujeitos e os predicados respetivos. Proposições negativas Proposições afirmativas Exemplos VERDADEIR A VERDADEIR A FALSA FALSA A proposição categórica é o enunciado que estabelece uma relação de afirmação ou de negação entre termos, podendo tal relação ser considerada verdadeira ou falsa.
  • 31. QUANTIFICADOR ES UNIVERSAIS «TODOS» «NENHUM » EXISTENCIAL «ALGUM» Nota: há outros quantificadores com idêntico significado – por exemplo, «Qualquer » equivale a «Todos». Permitem-nos saber se o sujeito é tomado na sua totalidade ou somente em parte. Exemplos: 1. Todos os seres humanos são bípedes. 2. Alguns seres humanos não são altos. Nas proposições categóricas há uma relação de inclusão ou de não inclusão, na classe relativa ao predicado, de todos ou de apenas alguns dos elementos que fazem parte da classe do sujeito.
  • 32. TERMO GERAL Designa os membros de determinada classe. EXTENSÃO COMPREENS ÃO (INTENSÃO) É o conjunto de Exemplo: todos os cães. seres, objetos, membros abrangidos por um conceito / termo. É o sentido ou a significação de um Exemplo: conceito / termo, propriedades isto é, a propriedade comuns aos cães - ou o conjunto de animal, mamífero, propriedades que vertebrado, determinam a quadrúpede, extensão do ladrador, etc. conceito. Nota: em geral, quanto maior é o número de elementos a que o conceito se aplica (extensão), menor é a quantidade de características comuns (compreensão) e vice-versa.
  • 33. PROPOSIÇÕES Forma-padrão ou forma canónica Exemplos: Todos os gatos são viventes. Todos os americanos são cantores. Exemplos: Os gatos vivem. Os americanos cantam. Quaisquer frases declarativas podem exprimir proposições do tipo «S é P». Exemplo Os gatos que brincam na minha rua descobrem ratos nos locais mais obscuros das casas silenciosas» equivale a «Todos os gatos que brincam na minha rua são descobridores de ratos nos locais mais obscuros das casas silenciosas.
  • 34. PROPOSIÇÕES CATEGÓRICAS QUANTIDADE QUALIDADE Exemplo: Qualquer deus é imortal. AFIRMATIVAS Uma proposição é afirmativa quando ela nos indica – através da cópula – que o predicado convém ao sujeito. NEGATIVAS Uma proposição é negativa quando ela nos indica – nuns casos através da cópula, noutros através de quantificadores como «Nenhum» – que o predicado não convém ao sujeito. UNIVERSAIS Uma proposição é considerada universal quando o sujeito é tomado em toda a sua extensão. PARTICULARE S Uma proposição é considerada particular quando o sujeito é tomado apenas numa parte da sua extensão. Exemplo: Há animais que não são mortais. Exemplo: Todos os cães são vertebrados. Exemplo: Alguns insetos perturbam. NOTA: as proposições singulares – aquelas em que um predicado/atributo é afirmado ou negado de um único sujeito – serão consideradas proposições
  • 35. Tipos de proposições Forma lógica Tipo A Universal afirmativa Todo o S é P. Tipo E Universal negativa Nenhum S é P. Tipo I Particular afirmativa Algum S é P. Tipo O Particular negativa Algum S não é P.
  • 36. A E I O CONTRÁRI AS SUBCONTRÁRI AS Exemplo: Todos os papéis são brancos. SUBALTERN AS SUBALTERN AS CONTRADITÓR IAS QUADRADO DE OPOSIÇÃO Exemplo: Nenhum papel é branco. Exemplo: Alguns papéis não são brancos. Exemplo: Alguns papéis são brancos.
  • 37. Proposições categóricas na sua forma-padrão ou forma canónica e outras expressões das mesmas Tipo A Universais afirmativas O predicado é afirmado de todos os elementos da classe que o sujeito representa. Forma-padrão Outras expressões Todo o S é P Todos os filósofos são críticos. Qualquer filósofo é crítico. Ser filósofo é ser crítico. Os filósofos são críticos. O filósofo é crítico. Quem é filósofo é crítico. Não há filósofos que não sejam críticos. Só há filósofos críticos.
  • 38. Tipo E Universais negativas O predicado é negado de todos os elementos da classe que o sujeito representa. Forma-padrão Outras expressões Nenhum S é P Nenhum animal é perigoso. Os animais não são perigosos. O animal não é perigoso. Ser perigoso não é uma característica dos animais. Não há animal que seja perigoso. Só existem animais não perigosos. Todos os animais não são perigosos.
  • 39. Tipo I Particulares afirmativas O predicado é afirmado apenas de uma parte dos elementos da classe que o sujeito representa. Forma-padrão Outras expressões Algum S é P Alguns dias são belos. Certos dias são belos. Há dias belos. Existem dias belos. Existe pelo menos um dia que é belo.
  • 40. Tipo O Particulares negativas O predicado é negado apenas de uma parte dos elementos da classe que o sujeito representa. Forma-padrão Outras expressões Algum S não é P Alguns caminhos não são transitáveis. Certos caminhos não são transitáveis. Há caminhos não transitáveis. Existem caminhos não transitáveis. Existe pelo menos um caminho que não é transitável. Nem todos os caminhos são transitáveis.
  • 41. TIPO A A DISTRIBUIÇÃO DOS TERMOS Todos os gatos são animais. D ND TIPO I Alguns gatos são animais. ND ND TIPO O Alguns gatos não são animais. ND D TIPO E Nenhum gato é animal. D D S P S P S P S P Termo distribuído (D): quando é tomado universalmente (ou seja, em toda a sua extensão). Termo não distribuído (ND): quando não é tomado universalmente (refere-se apenas a uma parte da sua extensão). Todo o S é P Nenhum S é P Algum S é P Algum S não é
  • 42. Proposições de tipo A – universais afirmativas Proposições de tipo E – universais negativas Todos os deuses são benfeitores. Isto significa que todos os deuses são alguns dos benfeitores. Nenhuns seres humanos são anjos. Isto significa que todos os anjos se encontram excluídos da classe dos seres humanos. Proposições de tipo I – particulares afirmativas Proposições de tipo O – particulares negativas Alguns loucos são inteligentes. Isto significa que alguns loucos são alguns dos inteligentes. Alguns desportistas não são ricos. Isto significa que à classe de todos os ricos não pertencem alguns desportistas. Para compreender a distribuição do predicado
  • 43. Silogismo categórico regular Forma particular de argumento dedutivo, tendo sido Aristóteles o seu criador. Argumento formado por três proposições categóricas, de tal maneira que, sendo dadas as duas primeiras – as premissas –, se segue necessariamente a terceira – a conclusão –, desde que o argumento seja válido. Necessidade lógica entre as premissas e a conclusão. Aceitando as premissas, somos obrigados a aceitar a conclusão.
  • 44. Silogismo categórico regular Premissa maior Contém o termo maior (P) e o termo médio (M). Premissa menor Contém o termo menor (S) e o termo médio (M). Conclusão Faz a ligação entre o termo maior e o termo menor.
  • 45. Termo maior A classificação dos termos é feita com base na função que eles desempenham nas proposições em que se encontram. É sempre o sujeito da conclusão. Termo menor É sempre o predicado da conclusão. Termo médio Serve de intermediário dos anteriores, permitindo a passagem das premissas à conclusão. Nunca deve entrar na conclusão. Termos extremo s
  • 46. M P Todos os cientistas são sábios. SILOGISMO CATEGÓRICO REGULAR S M Todos os biólogos são cientistas. S P Logo, todos os biólogos são sábios. ANTECEDENT E CONSEQUENT E Premiss a maior Todos os M são P. Todos os S são M. Logo, todos os S são P. Premiss a menor Conclusã o Forma lógica O silogismo categórico regular é um argumento que, a partir de um antecedente que relaciona dois termos (o maior e o menor) com um terceiro (o médio), chega a um consequente que relaciona esses dois termos entre si.
  • 47. Forma do silogism o Modo Figura Tipo de proposições (A, E, I, O) Posição do termo médio (nas premissas) 64 modos possíveis 4 figuras possívei s 256 (64x4) formas possíveis Apenas 24 destas formas são válidas. A FORMA DO SILOGISMO: O MODO E A FIGURA
  • 48. Primeira figura: o termo médio é sujeito na premissa maior e predicado na premissa menor. MODO A EXEMPLO Todos os mamíferos sonham. FIGUR A M – P A A Os macacos são mamíferos. Logo, os macacos sonham. S – M S – P Terceira figura: o termo médio é sujeito nas duas premissas. Quarta figura: o termo médio é predicado na premissa maior e sujeito na premissa menor. MODO I EXEMPLO Alguns filósofos são alemães. FIGUR A M – P MODO E EXEMPLO Nenhum gato é ave. FIGUR A P – M A I Todos os filósofos são europeus. Logo, alguns europeus são alemães. M – S S – P I O Algumas aves são mamíferos. Logo, alguns mamíferos não são gatos. M – S S – P AS QUATRO FIGURAS DO SILOGISMO Segunda figura: o termo médio é predicado nas duas premissas. MODO E EXEMPLO Nenhum português é asiático. FIGUR A P – M A E Todos os chineses são asiáticos. Logo, nenhum chinês é português. S – M S – P
  • 49. Primeira figura AA A EA E AII EIO AAI EA O Segunda figura EA E AE E EIO AO O EA O AE O Quarta figura AA I AE E IAI EA O EIO AE O Terceira figura AA I IAI AII EA O OA O EIO 24 formas válidas do silogismo categórico regular
  • 50. Forma canónica tradicional do silogismo Premissa maior: Todos os estudiosos são perspicazes. Premissa menor: Todos os alunos portugueses são estudiosos. Conclusão: Logo, todos os alunos portugueses são perspicazes.. Primeira figura Modo: AAA Exemplo Mas tal ordem de colocação não é obrigatória, nomeadamente no que se refere às premissas. 1.ª 2.ª 3.ª Exemplo Alguns filósofos são crentes. Todos os crentes são felizes. Logo, alguns filósofos são felizes. S – M M – P S – P Todos os crentes são felizes. Alguns filósofos são crentes. Logo, alguns filósofos são felizes. M – P S – M S – P Este Devemos silogismo identificar as pertence premissas a à primeira partir da figura e posição dos não à termos na quarta. conclusão.
  • 51. Regras da validade do silogismo categórico O silogismo tem três termos, e só três termos: o maior, o menor e o médio. As rosas são flores. Algumas mulheres são Rosas. Logo, algumas mulheres são flores. 1.ª regra Silogismo inválido Silogismo válido Este silogismo tem quatro termos. A palavra «rosas» está usada em dois sentidos, valendo por dois termos. As rosas são flores. Algumas coisas belas são rosas. Logo, algumas coisas belas são flores.. Além de cumprir as restantes regras, este silogismo contém, apenas, três termos. Um silogismo categórico válido é aquele que respeita todas as regras.
  • 52. O termo médio nunca pode entrar na conclusão. Alguns pintores são inteligentes. Alguns pintores são artistas. Logo, alguns artistas são pintores. 2.ª regr a Falso silogismo Silogismo válido O termo médio («pintores») entra indevidamente na conclusão, onde o termo «inteligentes» nem sequer aparece. Embora seja válido, este argumento não é um silogismo. Os pintores são inteligentes. Os pintores são artistas. Logo, alguns artistas são inteligentes.. O termo médio encontra-se apenas nas premissas. Além disso, este silogismo cumpre todas as restantes regras.
  • 53. O termo médio deve ser tomado pelo menos uma vez em toda a sua extensão: tem de estar distribuído pelo menos uma vez. Algumas pontes são belas. Algumas pontes são construções seguras. Logo, algumas construções seguras são belas. 3.ª regr a Silogismo inválido Silogismo válido As premissas, ao apresentarem ambas um termo médio («pontes») tomado apenas em parte da sua extensão, não nos permitem concluir que existem pontes simultaneamente belas e seguras. A conclusão é, por isso, ilegítima. Todas as pontes são belas. Algumas pontes são construções seguras. Logo, algumas construções seguras são belas. Além de cumprir todas as restantes regras, este silogismo também cumpre a regra presente, pois o termo «pontes» encontra-se distribuído na primeira premissa.
  • 54. Nenhum termo pode ter maior extensão na conclusão do que nas premissas. Os europeus são inteligentes. Os portugueses não são europeus. Logo, os portugueses não são inteligentes. 4.ª regr a Silogismo inválido Silogismo válido Na conclusão é tomado universalmente um termo que nas premissas o é apenas em parte – o termo maior: «inteligentes». Os europeus são inteligentes. Os portugueses são europeus. Logo, os portugueses são inteligentes. Neste silogismo, nenhum termo é mais extenso na conclusão do que nas premissas. O termo maior não se encontra distribuído nem na premissa nem na conclusão; o menor é tomado universalmente em ambas. Este silogismo também cumpre as restantes regras.
  • 55. A conclusão deve seguir sempre a parte mais fraca (negativa e particular). Todos os homens são felizes. Alguns homens são espertos. Logo, todos os espertos são felizes. 5.ª regr a Silogismo inválido Silogismo válido A conclusão é ilegítima, por se apresentar como universal quando, afinal, há uma premissa particular (a parte mais fraca deste silogismo). Todos os homens são felizes. Alguns homens são espertos. Logo, alguns espertos são felizes. Neste silogismo, além de se cumprirem as restantes regras, também a conclusão segue a parte mais fraca: a segunda premissa.
  • 56. De duas premissas negativas nada se pode concluir. Nenhum poeta é fumador. Nenhum fumador é desportista. Logo, nenhum desportista é poeta. 6.ª regr a Silogismo inválido Silogismo válido Neste silogismo, a conclusão é indevidamente extraída das premissas, das quais aliás nenhuma conclusão se pode extrair, pois não há uma ligação entre os termos. Nenhum poeta é fumador. Alguns desportistas são fumadores. Logo, alguns desportistas não são poetas. Este silogismo, além de respeitar as restantes regras, também permite estabelecer uma ligação entre os termos.
  • 57. De duas premissas particulares nada se pode concluir. Alguns jovens são espertos. Alguns jovens não são desconfiados. Logo, alguns seres desconfiados não são espertos. 7.ª regr a Silogismo inválido Silogismo válido Em silogismos com premissas particulares, a conclusão será extraída indevidamente, na medida em que haverá violação de alguma outra regra. No exemplo apresentado, o termo médio não se encontra distribuído pelo menos uma vez. Todos os jovens são espertos. Alguns jovens são desconfiados. Logo, alguns seres desconfiados são espertos. Este silogismo respeita a presente regra e todas as restantes.
  • 58. De duas premissas afirmativas não se pode extrair uma conclusão negativa. Todos os artistas são cantores. Alguns americanos são artistas. Logo, alguns americanos não são cantores. 8.ª regr a Silogismo inválido Silogismo válido Neste silogismo afirma-se, nas premissas, uma ligação dos termos «cantores» e «americanos» com o termo «artistas». Sendo assim, também se deveria afirmar alguma ligação entre os termos extremos na conclusão, o que não acontece. Todos os artistas são cantores. Alguns americanos são artistas. Logo, alguns americanos são cantores. Este silogismo é válido, pois respeita a presente regra e todas as restantes.
  • 59. Regras relativas aos termos Quadro-síntese das regras da validade do silogismo categórico 1.ª O silogismo tem apenas três termos. 2.ª O termo médio nunca pode entrar na conclusão. 3.ª O termo médio deve ser tomado pelo menos uma vez em toda a sua extensão. 4.ª Nenhum termo pode ter maior extensão na conclusão do que nas premissas. Regras relativas às proposições 5.ª A conclusão deve seguir sempre a parte mais fraca. 6.ª De duas premissas negativas nada se pode concluir. 7.ª De duas premissas particulares nada se pode concluir. 8.ª De duas premissas afirmativas não se pode tirar uma conclusão negativa..
  • 60. Falácias no silogismo categórico Sempre que se desrespeitam as regras do silogismo, seja as relativas aos termos, seja as relativas às proposições, comete-se uma falácia. Falácia dos quatro termos Quando se infringe a regra segundo a qual o silogismo tem três termos e só três termos. Algumas das falácias do silogismo categórico apresentam designações específicas: Falácia do termo médio não distribuído Quando se infringe a regra segundo a qual o termo médio deve ser tomado pelo menos uma vez em toda a sua extensão. Falácia da ilícita maior Quando o termo maior se encontra distribuído na conclusão e não na premissa, infringindo –se a regra segundo a qual nenhum termo pode ter maior extensão na conclusão do que nas Falácia da ilícita menor Quando o termo menor se encontra distribuído na conclusão e não na premissa, infringindo-se a regra segundo a qual nenhum termo pode ter maior extensão na conclusão do que nas Falácia das premissas exclusivas Quando se extrai uma conclusão de duas premissas negativas, infringindo-se a regra segundo a qual de duas premissas negativas nada se pode concluir.
  • 61. Silogismo condicional Silogismo cuja premissa maior é uma proposição condicional Antecedente Consequente Conclusão Premissa menor Premissa maior Se há vida após a morte, então a existência tem sentido. Há vida após a morte. Logo, a existência tem sentido. Exemplo
  • 62. Expressões alternativas de proposições condicionais •A existência tem sentido, se houver vida após a morte. •A existência tem sentido, caso haja vida após a morte. •Desde que haja vida após a morte, a existência tem sentido. •Se há vida após a morte, a existência tem sentido. •A existência não tem sentido, a menos que haja vida após a morte. •Para a existência ter sentido basta haver vida após a morte.
  • 63. Silogismo condicional Modo afirmativo Modo negativo Modos válidos Modus ponens Modus tollens Há uma relação necessária entre as premissas e a conclusão.
  • 64. Modo que consiste em afirmar o antecedente na premissa menor e em afirmar, de seguida, o consequente na conclusão. Modus ponens Forma lógica Exemplos Se P, então Q. P. Logo, Q. Se compro a casa, então gasto muito dinheiro. Compro a casa. Logo, gasto muito dinheiro. Se não gasto dinheiro, então faço uma boa poupança. Não gasto dinheiro. Logo, faço uma boa poupança.
  • 65. Modo que consiste em negar o consequente na premissa menor e em negar depois o antecedente na conclusão. Modus tollens Forma lógica Exemplos Se P, então Q. Não Q. Logo, não P. Se compro a casa, então gasto muito dinheiro. Não gasto muito dinheiro. Logo, não compro a casa. Se estiver sol, então não fico em casa. Fico em casa. Logo, não está sol.
  • 66. Silogismo condicional: falácias Falácia da afirmação do consequente: afirma-se o consequente na premissa menor e o antecedente na conclusão. Falácia da negação do antecedente: nega-se o antecedente na premissa menor e o consequente na conclusão. Forma lógica Exemplo s Se P, então Q. Q. Logo, P. Forma lógica Exemplo s Se P, então Q. Não P. Logo, não Q. Se chove, então fico em casa. Não chove. Logo, não fico em casa. Se não chove, então não fico em casa. Chove. Logo, fico em casa. Se chove, então fico em casa. Fico em casa. Logo, chove. Se não chove, então não fico em casa. Não fico em casa. Logo, não chove.
  • 67. Silogismo disjuntivo Silogismo cuja premissa maior é uma proposição disjuntiva (que pode ser exclusiva ou inclusiva). Exemplo Premissa maior Ou sou inocente ou sou culpado. Premissa menor Sou inocente. Conclusão Logo, não sou culpado. A premissa menor afirma ou nega uma das alternativas. A conclusão, por sua vez, afirma ou nega a outra, em função do que se passar na premissa menor.
  • 68. Silogismo disjuntivo (disjunção exclusiva) Modus ponendo tollens (modo que, afirmando, nega) Modos válidos Há uma relação necessária entre as premissas e a conclusão. Modus tollendo ponens (modo que, negando, afirma)
  • 69. Modo cuja premissa maior é uma disjunção exclusiva, cuja premissa menor afirma uma das alternativas e cuja conclusão nega a outra. Modus ponendo tollens Forma lógica Exemplos Ou P ou Q. P. Logo, não Q. Ou penso ou sinto. Penso. Logo, não sinto. OU: Ou P ou Q. Ou não estou desconcentrado ou estou cansado. Estou cansado. Q. Logo, estou desconcentrado. Logo, não P.
  • 70. Modo cuja premissa maior é uma disjunção exclusiva, cuja premissa menor nega uma das alternativas e cuja conclusão afirma a outra. Modus tollendo ponens Forma lógica Exemplos Ou P ou Q. Não P. Logo, Q. Ou chove ou faz sol. Não chove. Logo, faz sol. OU: Ou P ou Q. Não Q. Logo, P. Ou não fico em casa ou não vou para a rua. Vou para a rua. Logo, não fico em casa.
  • 71. Proposições disjuntivas Disjunção completa ou exclusiva. Uma das alternativas exclui a outra. Exemplo: Ou danço ou estou quieto. Disjunção inclusiva. Uma alternativas não exclui a outra. Exemplo: Escrevo ou sorrio.
  • 72. Modo cuja premissa maior é uma disjunção inclusiva, cuja premissa menor apresenta a negação de uma das alternativas (que não se excluem) e cuja conclusão afirma a outra. Modus tollendo ponens Forma lógica Exemplos P ou Q. Não P. Logo, Q. Escrevo ou sorrio. Não escrevo. Logo, sorrio. Ou: P ou Q. Não Q. Logo, P. Os pássaros voam ou não cantam. Os pássaros cantam. Logo, voam. A premissa maior é uma disjunção inclusiva, a premissa menor apresenta a afirmação de uma das alternativas (que não se excluem) e a conclusão nega a outra. Falácia no silogismo disjuntivo Forma lógica Exemplos P ou Q. P. Logo, não Q. Sou marinheiro ou cantor. Sou marinheiro. Logo, não sou cantor. Ou: P ou Q. Q. Logo, não P. Sou marinheiro ou cantor. Sou cantor. Logo, não sou marinheiro.
  • 74. PROPOSIÇÃO Pensamento ou conteúdo expresso por uma frase declarativa, suscetível de ser considerada verdadeira ou falsa. As proposições têm valor de verdade. Simples ou elementares São proposições em que não estão presentes quaisquer operadores. Complexas ou compostas São proposições em que está presente um operador ou mais do que um. Exemplos As casas são brancas. As casas são amarelas. Gertrudes é arquiteta. Paulo é engenheiro. Deus existe. O mundo foi criado por Deus. Eu sou jogador de futebol. Exemplos As casas são brancas ou as casas são amarelas. Gertrudes é arquiteta e Paulo é engenheiro. Se Deus existe, então o mundo foi criado por ele.
  • 75. Proposições Simples Complexas O seu valor de verdade depende do facto de elas estarem ou não de acordo com a realidade. O seu valor de verdade depende do valor de verdade das proposições simples e dos operadores utilizados. Gertrudes é arquiteta. Paulo é engenheiro. verdadeira falsa Gertrudes é arquiteta e Paulo é engenheiro. Gertrudes é arquiteta ou Paulo é engenheiro. falsa verdadeira
  • 76. «Penso que», «visto que», «acredito que», «é possível que», etc. Operadores Proposicionais Trata-se de palavras ou expressões que, sendo ligadas a determinada(s) proposição(ões), permitem formar novas proposições. «E», «ou», «se…, então», etc. Operadores verofuncionais (operadores lógicos ou conetivas proposicionais). Operadores que nos permitem, uma vez conhecidos os valores de verdade das proposições simples, determinar, apenas com base nessa informação, o valor de verdade da proposição resultante. Proposição complexa função de verdade
  • 77. Letras proposicionais P: Deus existe. Q: A vida tem sentido. Exemplo Forma lógica Deus existe e a vida tem sentido. Logo, Deus existe. P e Q. Logo, P. Argumento dedutivamente válido. É possível determinar, com base nos operadores verofuncionais, a validade dos argumentos em que as proposições se integram. Variáveis proposicionais
  • 78. Símbolo Leitura Formas proposicionais  não Negação  e Conjunção Constante s lógicas  ou Disjunção → se..., então Condicional ↔ se, e só se Bicondicional OPERADORES VEROFUNCIONAIS
  • 79. Forma lógica Exemplos  P Não P. Deus não existe. P  Q P e Q. Deus existe e a vida tem sentido. P  Q P ou Q. Deus existe ou a vida tem sentido. P → Q Se P, então Q. Se Deus existe, então a vida tem sentido. P ↔ Q P se, e só se, Q. Deus existe se, e só se, a vida tiver sentido. Operador singular, unário ou monádico Aplica-se apenas a uma proposição. «Não». Operador binário ou diádico Aplica-se a duas proposições. «E», «ou», «se..., então», «se, e só se».
  • 80.  P (Não P) Negação P: Portugal é um país asiático. Portugal não é um país asiático. Não é verdade que Portugal é um país asiático. É falso que Portugal seja um país asiático. É errado afirmar que Portugal é um país asiático. Expressões alternativas Tabela de verdade Tabela que apresenta as diversas condições de verdade de uma forma proposicional específica, permitindo determinar de modo mecânico a sua verdade ou falsidade. A tabela de verdade exibe os valores de verdade possíveis da(s) proposição(ões) e os valores de verdade resultantes das operações efetuadas. Tabela de verdade da negação V F P F V  P Coluna de referência Primeira parte Segunda parte Sendo o operador da negação o único operador unário, só haverá duas filas na tabela. A negação é uma proposição com a forma «Não P», representando- se por « P». Se P é verdadeira,  P é falsa; se P é falsa,  P é verdadeira. A negação de uma negação (ou dupla negação) – que se representa por «  P» – equivale a uma afirmação.
  • 81. P  Q (P e Q) Conjunção P: A vida é enigmática. Q: A morte é enigmática. A vida é enigmática e a morte é enigmática. A vida é enigmática e a morte também o é. A vida e a morte são enigmáticas. A vida é enigmática, mas a morte é-o igualmente. Quer a vida quer a morte são enigmáticas.. Expressõe s alternativa s Tabela de verdade da conjunção P Q P  Q V V V V F F F V F F F F A conjunção é uma proposição com a forma «P e Q», simbolizando-se por «P  Q», a qual é verdadeira se as proposições conectadas – que também se chamam «proposições conjuntas» – forem verdadeiras e é falsa desde que pelo menos uma dessas Sendo o operador da conjunção, à semelhança dos que estudaremos a seguir, um operador binário, haverá na tabela quatro condições de verdade.
  • 82. P  Q (P ou Q) Disjunçã o inclusiva P: Descartes era racionalista. Q: Locke era empirista. Descartes era racionalista ou Locke era empirista. Tabela de verdade da disjunção inclusiva P Q P  Q V V V V F V F V V F F F A disjunção inclusiva é uma proposição com a forma «P ou Q», simbolizando-se por «P  Q», a qual será sempre verdadeira, exceto quando P e Q forem simultaneamente falsas. P  Q (Ou P ou Q) P: Vou ao cinema. Q: Fico em casa. Ou vou ao cinema ou fico em casa. Tabela de verdade da disjunção exclusiva P Q P  Q V V F V F V F V V F F F A disjunção exclusiva é uma proposição com a forma «Ou P ou Q», simbolizando-se por «P  Q», a qual é verdadeira se P e Q possuem valores lógicos distintos e falsa se P e Q possuem o Disjuntas Disjunçã o exclusiv a
  • 83. P → Q (Se P, então Q) Condiciona l (implicaçã o material) P: Marco golos. Q: Sou desportista. Se marco golos, então sou desportista. Sou desportista, se marco golos. Sou desportista, caso marque golos. Desde que eu marque golos, sou desportista. Ser desportista é condição necessária para eu marcar golos. Marcar golos é condição suficiente para eu ser desportista. Se marco golos, sou desportista. Não sou desportista, a menos que marque golos. Expressões alternativas Tabela de verdade da condicional P Q P → Q V V V V F F F V V F F V A condicional é uma proposição composta com a forma «Se P, então Q», simbolizando-se por «P → Q», a qual só é falsa se P – o antecedente – é verdadeira e Q – o consequente – é falsa. Em todas as restantes situações, a nova proposição é Antecedent e (P) É uma condição suficiente para o consequente. Consequent e (Q) É uma condição necessária para o antecedente.
  • 84. P ↔ Q (Se, e só se) Bicondiciona l (equivalênci a material) P: Sou escritor. Q: Publico livros. Sou escritor se, e só se, publico livros. Sou escritor se, e somente se, publico livros. Sou escritor se, e apenas se, publico livros. Publicar livros é condição necessária e suficiente para eu ser escritor. Se sou escritor, publico livros e vice-versa. Expressõe s alternativa s Tabela de verdade da bicondicional P Q P ↔ Q V V V V F F F V F F F V A bicondicional é uma proposição composta com a forma «P se, e só se, Q», simbolizando-se por «P ↔ Q», a qual é verdadeira se ambas as proposições tiverem o mesmo valor lógico e falsa se as proposições tiverem valores lógicos distintos.
  • 85. Proposiçõe s simples Formas proposicionais e operadores verofuncionais Negação Conjunção Disjunção Condicional Bicondicional inclusiva exclusiva P Q  P  Q P  Q P  Q P  Q P → Q P ↔ Q V V F F V V F V V V F F V F V V F F F V V F F V V V F F F V V F F F V V
  • 86. P: Eu sonho. Q: Eu estudo. Eu sonho e não estudo. É falso afirmar que eu sonho e não estudo. Âmbito dos operadores P   Q  (P   Q) Uma conjunção e uma negação que incide sobre a proposição Q. Uma negação que incide sobre a conjunção de P e de  Q. Âmbito de um operador: refere-se à proposição (ou proposições) sobre a qual (ou sobre as quais) esse operador incide. No segundo exemplo, o operador da negação (enquanto operador principal) apresenta Operador principal:  Operador principal: 
  • 87. Colocar as proposições na forma canónica, identificando os operadores verofuncionais envolvidos. Isolar as proposições simples que as constituem e atribuir variáveis proposicionais a cada uma. A isto se chama «construir o dicionário» dessas proposições ou proceder à sua «interpretação». Simbolizar ou formalizar a proposição complexa. Formalizar proposições complexas Exemplo: Não sou bom aluno a Filosofia, a não ser que estude lógica. Expressão canónica Interpretação (dicionário) Formalização Se estudo lógica, então sou bom aluno a Filosofia. P: Estudo lógica. Q: Sou bom aluno a Filosofia. P → Q
  • 88. Exemplo: Não sou rico se, e só se, não tenho dinheiro. Expressão canónica Interpretação (dicionário) Formalização Não sou rico se, e só se, não tenho dinheiro. P: Sou rico. Q: Tenho dinheiro.  P ↔  Q Exemplo: O ser humano não é feliz, a não ser que o dizer-se que Deus não existe e a vida é absurda constitua uma falsidade. Expressão canónica Interpretação (dicionário) Formalização Se é falso que Deus não existe e que a vida é absurda, então o ser humano é feliz. P: Deus existe. Q: A vida é absurda. R: O ser humano é feliz.  ( P  Q) → R
  • 89. Expressão canónica Interpretação Formalização Não é verdade que se está sol então está bom tempo. P: Está sol. Q: Está bom tempo.  (P → Q)) O método das tabelas de verdade P Q  (P → Q) V V V F F V F F P Q P Q P Q Colocar na tabela os valores de verdade das proposições simples, esgotando as possibilidades. Desenhar a tabela, colocando aí as letras proposicionais e a proposição complexa.  (P → Q)  (P → Q)  (P → Q) 1. 2. 3. Calcular os valores de verdade das V V V Calcular os valores V V F V proposições, excetuando os daquela que é relativa ao operador V F F F V F F V V de verdade da proposição relativa ao operador principal. V F F F V F V F F F V V 4.
  • 90. Para duas variáveis, são necessárias quatro filas; para três, oito; para quatro, dezasseis, etc. P Q R [R  ( P  Q)]↔ (R  Q) V V V V V V V V V F V V V V V F V V F V V V F F F F V F F V V V F V V F V F F F F V F F V V F V V F F F F F V F Determinamos primeiro os valores de verdade da conjunção «P  Q» e da disjunção «R  Q» (a ordem neste caso é irrelevante). De seguida, determinamos os valores da disjunção «R  (P  Q)». Por fim, determinamos os valores da bicondicional a partir dos valores obtidos para as duas disjunções.
  • 91. Tautologias ou verdades lógicas Fórmulas proposicionais que são sempre verdadeiras, qualquer que seja o valor de verdade das proposições simples que as constituem. Exemplo Forma lógica Se acendo e apago a luz, então acendo a luz. (P  Q) → P P Q (P  Q ) → P V V V V V F F V F V F V F F F V
  • 92. Contradições ou falsidades lógicas Fórmulas proposicionais que são sempre falsas, independentemente do valor de verdade das proposições simples que as compõem. Exemplo Forma lógica Não penso ou não sonho se, e só se, penso e sonho. ( P   Q) ↔ (P  Q) P Q ( P   Q) ↔ (P Q) V V F F F F V V F F V V F F F V V V F F F F F V V V F F
  • 93. Contingências ou proposições indeterminadas Fórmulas proposicionais que tanto podem ser verdadeiras como falsas, consoante os valores lógicos das proposições simples que as compõem. Exemplo Forma lógica Se passeio ou corro, então mantenho a saúde. (P  Q) → R P Q R (P  Q) → R V V V V V V V F V F V F V V V V F F V F F V V V V F V F V F F F V F V F F F F V
  • 94. Equivalências lógicas Duas proposições são logicamente equivalentes se apresentarem as mesmas condições de verdade: quando uma for verdadeira, a outra também o será e, quando uma for falsa, a outra sê-lo-á também. Tal significa que a sua bicondicional constitui uma verdade lógica ou uma tautologia. Bicondicional ou equivalência material Pode ser verdadeira ou falsa. Equivalência lógica É sempre verdadeira.
  • 95. Exemplo: P Q P ↔ Q Trabalho se, e só se, tenho saúde. V V V V F F Forma lógica F V F P ↔ Q F F V Exemplo: P Q (P → Q )  (Q → P) Se trabalho, então tenho saúde e, se tenho saúde, então trabalho. V V V V V V F F F V Forma lógica F V V F F (P → Q)  (Q → P) F F V V V As duas proposições complexas são equivalentes, pois apresentam as mesmas condições de verdade: têm o mesmo valor de verdade em qualquer circunstância.
  • 96. P Q (P ↔ Q) ↔ [(P → Q)  (Q → P)] V V V V V V V V F F V F F V F V F V V F F F F V V V V V Tautologia P ↔ Q  (P → Q)  (Q → P) Símbolo de equivalênci a lógica ALGUMAS EQUIVALÊNCIAS LÓGICAS P → Q   (P   Q) P → Q   P  Q P  Q   ( P   Q) P  Q   ( P   Q) P    P P ↔ Q   Q ↔  P
  • 97. Tautologias e formas de inferência válida Condicional ou implicação material P Q [(P → Q)  P] → Q V V V V V V F F F V F V V F V F F V F V Passagem das premissas à conclusão Uma forma de inferência dedutiva é válida se, e somente se, a fórmula proposicional (implicativa) que lhe corresponde for uma tautologia.
  • 98. Inspetores de circunstância s Argumento Interpretação Formalização Se sou português, então sou conhecedor de Camões. Sou português. Logo, sou conhecedor de Camões. P: Sou português. Q: Sou conhecedor de Camões. P → Q P  Q Nota: Em vez do símbolo , também poderemos usar o símbolo , que se designa por «martelo semântico». Ambos se leem «Logo», um indicador de conclusão. Num inspetor de circunstâncias, um argumento válido será aquele no qual não existe nenhuma linha que torne todas as premissas verdadeiras e a conclusão falsa. P Q P → Q, P Q V V V V V V F F V F F V V F V F F V F F A primeira linha exprime a única circunstância em que ambas as premissas são verdadeiras. Ora, dado que tal circunstância também torna a conclusão verdadeira, o argumento é considerado válido. Premissa 1 Premissa 2 Conclusã o
  • 99. P Q P → Q, Q P V V V V V V F F F V F V V V F F F V F F A primeira e a terceira linhas exprimem as únicas circunstâncias em que ambas as premissas são verdadeiras. Contudo, se na primeira linha a circunstância torna a conclusão verdadeira, já na terceira linha a circunstância em causa torna a conclusão falsa. O argumento é, por isso, inválido. Premissa 1 Premissa 2 Conclusão Argumento Interpretação Formalização Se corro, então sinto- me bem. Sinto-me bem. Logo, corro. P: Corro. Q: Sinto-me bem. P → Q Q  P
  • 100. Premissa 1 Premissa 2 Conclusã o Argumento Interpretação Formalização Se leio, aumento a minha inteligência. Se aumento a minha inteligência, aumento a minha autoestima. Logo, se leio, aumento a minha autoestima. P: Leio. Q: Aumento a minha inteligência. R: Aumento a minha autoestima. P → Q Q → R  P → R V V V V V F V F V V F F F V V V V V V F F F V V F V F V V V V F V V V V V V V P Q R P → Q, Q → R P → R Estamos perante um argumento válido, pois nas circunstâncias em que ambas as premissas são verdadeiras, a conclusão também o é.
  • 101. Algumas formas de inferênci a válida Modus ponens: afirmação do antecedente na segunda premissa e do consequente na conclusão. Exemplo Formalização Se está sol, então vou à praia. Está sol. Logo, vou à praia. P → Q P Q Modus tollens: negação do consequente na segunda premissa e do antecedente na conclusão. Exemplo Formalização Se está sol, então vou à praia. Não vou à praia. Logo, não está sol. P → Q  Q  P Contraposição Exemplo Formalização Se Deus existe, então o mundo é finito. Logo, se o mundo não é finito, então Deus não existe. P → Q  Q →  P Exemplo Formalização Se o mundo não é finito, então Deus não existe. Logo, se Deus existe, então o mundo é finito.  Q →  P P → Q
  • 102. Silogismo disjuntivo (disjunção inclusiva) ou modus tollendo ponens Exemplo Formalização Canto ou assobio. Não canto. Logo, assobio. P  Q  P Q Exemplo Formalização Canto ou assobio. Não assobio. Logo, canto. P  Q  Q P Silogism o hipotético Exemplo Formalização Se viajar, então aprendo novas coisas. Se aprendo novas coisas, então torno- me melhor pessoa. Logo, se viajar, então torno-me melhor pessoa. P → Q Q → R P → R
  • 103. Negação da conjunçã o Exemplo Formalização Não é verdade que fumo e que tenho saúde. Logo, não fumo ou não tenho saúde.  (P  Q)  P   Q Exemplo Formalização Não fumo ou não tenho saúde. Logo, não é verdade que fumo e que tenho saúde..  P   Q  (P  Q) Leis de De Morgan: indicam- nos que de uma conjunção negativa podemos inferir uma disjunção de negações, e que de uma disjunção negativa podemos inferir uma conjunção de negações. Negação da disjunçã o Exemplo Formalização Não é verdade que há sol ou chuva. Logo, não há sol e não há chuva.  (P  Q)  P   Q Exemplo Formalização Não há sol e não há chuva. Logo, não é verdade que há sol ou chuva.  P   Q   (P  Q)
  • 104. Formas argumentativas inválidas Falácia da afirmação do consequent e Exemplo Formalização Se és meu amigo, então dizes-me sempre a verdade. Dizes-me sempre a verdade. Logo, és meu amigo. P → Q Q  P Comete-se quando, a partir de uma proposição condicional, se afirma o consequente na segunda premissa, concluindo-se com a afirmação do antecedente. Falácia da negação do antecedent e Exemplo Formalização Se és meu amigo, então dizes-me sempre a verdade. Não és meu amigo. Logo, não me dizes sempre a verdade. P → Q  P   Q Comete-se quando, a partir de uma proposição condicional, se nega o antecedente na segunda premissa, concluindo-se com a negação do consequente.
  • 105. Variáveis de fórmula Representam qualquer tipo de proposição (simples ou complexas). Usam- se as letras iniciais do alfabeto: A, B, C, etc. Exemplo 1 Formalização Se tenho livros, então estudo. Não estudo. Logo, não tenho livros. P → Q  Q  P Exemplo 2 Formalização Se tenho livros, então estudo e sou feliz. Não é verdade que estudo e que sou feliz. Logo, não tenho livros. P → (Q  R)  (Q  R)  P P: Tenho livros. Q: Estudo. R: Sou feliz. Exemplo 2 Formalização Se tenho livros, então estudo e sou feliz. Não é verdade que estudo e que sou feliz. Logo, não tenho livros. A → B  B  A
  • 106. FORMAS DE INFERÊNC IA VÁLIDA Modus ponens Modus tollens A → B A B A → B  B  A Silogismo disjuntivo Silogismo hipotético A  B  A B A  B  B A A → B B → C A → C Contraposição Leis de De Morgan A → B  B →  A  B →  A  A → B   (A  B)  A   B  A   B   (A  B)) OU A → B   B →  A OU  (A  B)   A   B Nota: o símbolo  significa, no presente contexto, que tanto se pode inferir validamente num como noutro sentido.   (A  B)  A   B  A   B   (A  B) OU  (A  B)   A   B FORMAS FALACIOSAS Afirmação do consequente Negação do antecedente A → B B A → B  A