1) O documento discute o ensino de funções do 1o e 2o grau utilizando ferramentas da Web 2.0 como blogs e softwares educativos. 2) Apresenta exemplos de como modelar matematicamente situações reais utilizando funções quadráticas, como o cálculo da área de um terreno. 3) Explica conceitos-chave como vértice, raízes, concavidade e discriminante para a análise de funções do 2o grau.

1. UFF Universidade Federal Fluminense Instituto de Matemática / Laboratório de Novas Tecnologias do Ensino - LANTE. Curso: Pós-Graduação Lato Sensu - Especialização à distância em Novas Tecnologias no Ensino da Matemática. Trabalho Final de Curso – Práticas – Parte 2. Informática Educativa: história das funções com a Web 2.0 Carmelita F. dos Santos Ribeiro Claudio Teixeira Miguel Helio Pinho Gutterres Jalline Berriel Rafael Alves de Araújo Orientadora: Alessandreia Marta de Oliveira Campos dos Goytacazes, 19 de abril de 2011

4. O Clube da Seleção Brasileira de Futebol dispõe de um campo de futebol de 100 m de comprimento por 70 m de largura e, por medida de segurança, decidiu cercá-lo, deixando entre o campo e a cerca uma pista com x ( metros) de largura. a) Qual é a área A ( x ) do terreno limitado pela cerca? (Dica: Procure a lei que expressa A ( x )). b) Em particular, se o clube brasileiro necessitar de uma área cercada de 8056 m 2 , qual deve ser a largura da pista entre o campo e o muro? Figura 2.1: Ilustração do problema do campo de futebol Fonte: Livro Matemática Volume Único dos autores Iezzi, et al (1998)

6. Se quiséssemos variar a largura da cerca para outro valor, o que aconteceria com a área encontrada? Façam suas anotações segundo observação na Figura 2.1. Considere agora a área A(x) como uma função de variável A (chamaremos de y) dependente da variável x. Usando o software geogebra, vamos construir o gráfico do modelo ( y = 4x² + 340x + 7000 ) proposto e observar algumas variações da área: O que vocês observam? Qual é o formato do gráfico obtido, é linear ou não-linear? Esta curva obtida recebe o nome de parábola! Funções como estas estudadas por este tipo de modelo recebem o nome de Função do 2º Grau ou Função Quadrática . A função do 2º grau, também denominada função quadrática, é definida pela expressão do tipo: y = f(x) = ax² + bx + c , onde a , b e c são constantes reais e a 0. Portanto, o gráfico de uma função quadrática sempre será uma parábola. Podemos visualizar uma parábola em um parque de diversões, simplesmente olhando para a montanha russa.

14. Quando o discriminante é maior que zero Quando o valor de = b 2 - 4ac > 0, a parábola intercepta o eixo x em dois pontos. Como para estes pontos y = 0, logo estes pontos são as raízes ou zeros da função vistos anteriormente. Exemplo: y = f(x) = x² + 4x + 3 x² + 4x + 3 = 0 Assim, = b 2 - 4ac = (4)² - 4.1.3 = 16 – 12 = 4 > 0. Logo, x = 1 e x’= 3. Gráfico:

15. Quando o discriminante é maior que zero Quando o valor de = b 2 - 4ac < 0, a parábola não intercepta o eixo x. Neste caso não há raízes ou zeros da função, ou seja, não há valores reais que tornam y = 0. Exemplo: y = f(x) = x² - x + 2 x² - x + 2 = 0 Assim, = b 2 - 4ac = (-1)² - 4.1.2 = 1 – 8 = -7 < 0. Gráfico:

16. Resumo de como esboçar o gráfico manualmente: Para finalizarmos, vamos modelar o problema apresentado no início do nosso estudo: “Qual é o lado de um quadrado em que a área menos o lado dá 870?” (RPM 43, 2000, página 21). Um modelo para este problema será: x 2 – x = 870, isto é, x 2 – x – 870 = 0. Isto quer dizer que para uma função do tipo y = x 2 – x – 870, basta tomarmos o valor de y = 0 e para nossa felicidade, este tipo de equação já sabemos resolver: Resolva você mesmo! O valor de x positivo encontrado responde também a seguinte pergunta: Qual é a medida do lado de um terreno quadrado em que a área menos o lado dá 870? Desenhe o gráfico da função y = x 2 – x – 870 com a ajuda do geogebra e também manualmente seguindo as seguintes etapas: 1ª etapa: Raízes ou zeros da função: Escreva aqui os valores de x encontrados; 2ª etapa: Coordenadas do vértice: Calcule as coordenadas do vértice e compare com o gráfico do geogebra; Portanto, V=(-2,1) 3ª etapa: Concavidade da parábola Como a = 1 > 0, a concavidade estará voltada para cima. Feito isso, esboce o gráfico!

17. “ A sabedoria do homem faz brilhar a luz do seu rosto, e a dureza do seu rosto se muda” (Eclesiastes 8.1).