Função quadratica1

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Função quadrática

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    1. 1. Função Quadrática Professora: Angélica Maria Ribeiro de Lima Oliveira Natal, Fevereiro/ 2014
    2. 2. MATEMÁTICA, 9º ANO Função 2º grau – conceitos iniciais Imagem: Autor Ingy The Wingy / disponibilizado por Laim / Creative Commons Attribution-Share Alike 2.0 Generic Vamos analisar o movimento de uma bola após ser chutada por um goleiro, em um tiro de meta (velocidade inicial de 72 km/h).
    3. 3. MATEMÁTICA, 9º ANO Função 2º grau – conceitos iniciais A altura da bola varia em função do tempo. Veja a tabela a seguir. ALTURA (m) TEMPO (s) 15 20 15 0 1 2 3 4
    4. 4. MATEMÁTICA, 9º ANO Função 2º grau – conceitos iniciais NOTE: A bola ganha altura até 2 segundos e depois perde altura, chegando ao chão novamente no instante de 4 segundos. A função que fornece a altura, neste caso, em função do tempo é dada por: h = 20t – 5t2
    5. 5. MATEMÁTICA, 9º ANO Função 2º grau – conceitos iniciais Galileu foi, provavelmente, o primeiro a observar que um objeto em queda livre percorre distâncias proporcionais ao quadrado do tempo decorrido. t (s) h (m) 1 2 3 5 20 45
    6. 6. MATEMÁTICA, 9º ANO Função 2º grau – conceitos iniciais DEFINIÇÃO Chama-se FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU ou FUNÇÃO QUADRÁTICA qualquer função de R em R dada por uma lei da forma: f f ( x ) = ax 2 + bx + c com a, b e c números reais e Nomenclaturas: Domínio  D ( f ) = R Contradomínio CD ( f ) = R Conjunto Imagem é o conjunto formado por todos as ordenadas y, que representam imagens das abscissas x, por meio da função.
    7. 7. MATEMÁTICA, 9º ANO Função 2º grau – conceitos iniciais Identificação de coeficientes da função quadrática: a=2 2x2 - 3x + 5 = 0 b = -3 a=8 4x + 8x2 - 4 = 0 b = 4 c=5 a = -1 -x2 + 4x - 3 = 0 c = -4 a = -6 b=4 3x - 6x2 = 0 b = 3 c = -3 c=0
    8. 8. MATEMÁTICA, 9º ANO Função 2º grau – conceitos iniciais Zeros da função: Zero da função, ou raízes da equação, são os valores de “x” que anulam a função, tornando-a uma equação f(x) = 0, através dos valores encontrados na fórmula de Bháskara: − b ± b − 4ac f ( x) = 0 ⇒ ax + bx + c = 0 ⇒ x = 2a 2 2 O Discriminante (representado pela letra grega delta), mostrará a quantidade de raízes reais da função quadrática pela fórmula abaixo: ∆ = b2 – 4.a.c
    9. 9. MATEMÁTICA, 9º ANO Função 2º grau – conceitos iniciais ∆>0 a>0 a<0 ∆<0 ∆=0
    10. 10. MATEMÁTICA, 9º ANO Função 2º grau – conceitos iniciais CONCAVIDADE DA PARÁBOLA: Concavidade para cima Concavidade para baixo Se a < 0 Se a > 0 y = ax2 + bx + c
    11. 11. MATEMÁTICA, 9º ANO Função 2º grau – conceitos iniciais TERMO INDEPENDENTE y Exemplo : y = x2 - 2x + 4 c y x 4 x y = ax2 + bx + c Ponto em que a reta toca no eixo y
    12. 12. MATEMÁTICA, 9º ANO Função 2º grau – conceitos iniciais
    13. 13. MATEMÁTICA, 9º ANO Função 2º grau – conceitos iniciais O vértice é um ponto muito importante na parábola, pois por meio dele obtemos informações significativas. A ordenada yv do vértice admite valor mínimo ou valor máximo. Se a > 0, concavidade voltada para cima, então a função admite valor MÍNIMO, . yv y Se a < 0, concavidade voltada para baixo, então a função admite valor MÁXIMO, . yv y Valor máximo yv 0 . x Valor mínimo . yv 0 x
    14. 14. MATEMÁTICA, 9º ANO Função 2º grau – conceitos iniciais Coordenadas do Vértice y = ax2 + bx + c Em qualquer caso, as coordenadas do vértice são dadas por: b xV = − 2a ∆ yV = − 4a
    15. 15. MATEMÁTICA, 9º ANO Função 2º grau – conceitos iniciais • Achar as raízes da função ( ) 2 f x = x −2x −3 • O valor de c toca o eixo do y x′ = −1 x′′ = 3 • Achar o vértice da função  −b −∆  V = , ÷  2a 4a  −(−2) 2 XV = = =1 2.1 2 −(16) −16 YV = = = −4 4.1 4 V = (1, −4)
    16. 16. MATEMÁTICA, 9º ANO Função 2º grau – conceitos iniciais Para se estudar o sinal da função do 2º grau deve-se adotar o procedimento: •Determinam-se as raízes da função. •Marcam-se as raízes em uma reta (caso existam). •Analisa-se a concavidade da parábola. •Faz-se o estudo do sinal. + + -
    17. 17. MATEMÁTICA, 9º ANO Função 2º grau – conceitos iniciais Analisar os sinais da função, é verificar nos intervalos do domínio onde a função tem imagem positiva, negativa ou nula, considerando também o valor de a e o valor de ∆. ∆>0 a>0 a<0 + . .+ X1 X2 . .- -X 1 + X2 ∆<0 + - + - ∆=0 + - . + + X1=X2 . X1=X2 - -
    18. 18. MATEMÁTICA, 9º ANO Função 2º grau – conceitos iniciais Estudar o sinal da função f(x)= x2 - 5x + 6. x2 - 5x + 6 = 0 (determina-se a raiz da função); -marcam-se as raízes em uma reta e analisa-se a concavidade da parábola; -faz-se o estudo do sinal. f(x) > 0, para x<2 ou x>3 f(x)=0, para x=2 ou x=3 f(x) < 0, para 2 < x < 3
    19. 19. MATEMÁTICA, 9º ANO Função 2º grau – conceitos iniciais ESBOÇO DO GRÁFICO Para construir um gráfico de uma função quadrática devemos ter : - Concavidade y - Ponto c - Zeros - Vértice x
    20. 20. MATEMÁTICA, 9º ANO Função 2º grau – conceitos iniciais Vamos partir de dois exemplos para fazermos algumas generalizações: Exemplo 1: y = f(x) = x² - 4x + 3 X Y -1 8 0 3 1 0 2 -1 3 0 4 8
    21. 21. MATEMÁTICA, 9º ANO Função 2º grau – conceitos iniciais Exemplo 2: y = f(x) = -x² + 4 X Y -2 -1 0 1 2 3 0 3 4 3 0 -5
    22. 22. MATEMÁTICA, 9º ANO Função 2º grau – conceitos iniciais EM RESUMO Para construir o gráfico de uma função do 2º grau, basta Para construir o gráfico de uma função do 2º grau, basta seguir os seguintes passos: seguir os seguintes passos: 1. Determinar as raízes da função( se existirem). 1. Determinar as raízes da função( se existirem). 2. Marcar os valores das raízes sobre o eixo x. 2. Marcar os valores das raízes sobre o eixo x. 3. Calcular o vértice V =  −b , −∆  da parábola e marcar no 3. Calcular o vértice  ÷ da parábola e marcar no 2a 4 a   plano cartesiano. plano cartesiano. 4. Marcar no eixo y o valor do coeficiente c. 4. Marcar no eixo y o valor do coeficiente c. 5. Analisar a concavidade da parábola e traçar a curva 5. Analisar a concavidade da parábola e traçar a curva passando pelos pontos marcados. passando pelos pontos marcados.
    23. 23. MATEMÁTICA, 9º ANO Função 2º grau – conceitos iniciais O Geogebra é um programa dinâmico para o estudo da Matemática, juntando Geometria, Álgebra e Cálculo. Nesse software, podemos desenhar pontos, vetores, segmentos, linhas e funções, e isso de forma dinâmica. No uso de funções, podemos mostrar no gráfico as coordenadas, os vértices, etc. Ele pode ser baixado gratuito no site: http://www.baixaki.com.br/download/geogebra.htm. Imagem: Geogebra / software gratuito de código aberto. Link: http://www.pucsp.br/geogebrasp/geogebra.ht ml / http://www.geogebratube.org Área de trabalho do software
    24. 24. MATEMÁTICA, 9º ANO Função 2º grau – conceitos iniciais Exemplos de gráficos com o Geogebra: Imagens: Geogebra / software gratuito de código aberto. Link: http://www.pucsp.br/geogebrasp/geogebra.html / http://www.geogebratube.org
    25. 25. MATEMÁTICA, 9º ANO Função 2º grau – conceitos iniciais Exemplos de gráficos com o Geogebra: Imagens: Geogebra / software gratuito de código aberto. Link: http://www.pucsp.br/geogebrasp/geogebra.html / http://www.geogebratube.org
    26. 26. MATEMÁTICA, 9º ANO Função 2º grau – conceitos iniciais Exemplos de gráficos com o Geogebra: Imagens: Geogebra / software gratuito de código aberto. Link: http://www.pucsp.br/geogebrasp/geogebra.html / http://www.geogebratube.org
    27. 27. MATEMÁTICA, 9º ANO Função 2º grau – conceitos iniciais DANTE, Luiz Roberto. Matemática (Ensino médio). Vol. Único. São Paulo: Ática, 2008. GIOVANNI e BONJORNO. Matemática Fundamental: uma nova abordagem. Volume único. Editora FTD, 2002 Manual “Ajuda GeoGebra - Manual Oficial da Versão 3.2”. Acesso em 29 nov. de 3010. Disponível em <http://www.geogebra.org/help/docupt_PT.pdf> Sites: http://hsa.zip.net/ http://www.somatematica.com.br/emedio/funcao2/funcao2.php Software Geogebra http://www.baixaki.com.br/download/geogebra.htm.
    28. 28. Tabela de Imagens n° do slide 2 direito da imagem como está ao lado da foto Autor Ingy The Wingy / disponibilizado por Laim / Creative Commons Attribution-Share Alike 2.0 Generic 23 a 26 Geogebra / software gratuito de código aberto. link do site onde se consegiu a informação Data do Acesso http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Wayne_ Brown_4.jpg 29/08/2012 http://www.pucsp.br/geogebrasp/geogebra.html / http://www.geogebratube.org 30/08/2012

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