CONCURSOS .
1. Números Inteiros - Problemas
2. Números Racionais - Problemas
3. Equação de 1º grau - Problemas
4. Sistemas...
CONCURSOS .
CONJUTO DOS NÚMEROS INTEIROS
(ℤ)
ℤ = {… , −2, −1, 0, +1, +2, … }
RETA NUMÉRICA
MÓDULO OU VALOR ABSOLUTO
É o va...
CONCURSOS .
Exemplos:
    1025 
    1025 
5.DIVISÃO
Valem as mesmas regras feitas na multiplicação,
mas ...
CONCURSOS .
(𝑎 𝑚) 𝑛
= 𝑎 𝑚∙𝑛
Exemplos.
a) (42)3
= 42∙3
= 46
b) (25)8
= 25∙8
= 240
c) (104)7
= 104∙7
= 1028
P4) Potência de ...
CONCURSOS .
d)    65 
e)    73 
f)    234 
g)    86 
h)    29 
i)    8115 
04. C...
CONCURSOS .
B) 3
C) 5
D) 7
E) 9
(OBM - 1998) No quadrado mágico abaixo, a soma
dos números em cada linha, coluna e diagona...
CONCURSOS .
36 4
(0) 9
Esta divisão é exata. Então dizemos: 36 é divisível
por 4 ou 4 é divisor de 36.
Veja outros exemplo...
CONCURSOS .
Divisibilidade por 8:
Um número é divisível por 8 quando termina em
000 ou seus três últimos algarismos formam...
CONCURSOS .
Para saber-se a quantidade de divisores de um
número qualquer basta seguir-se os passos a
seguir:
 Decompõe-s...
CONCURSOS .
9. Mínimo Múltiplo Comum (M.M.C.)
Dados dois ou mais números inteiros, denomina-
se mínimo múltiplo comum dess...
CONCURSOS .
( ) Qualquer número é múltiplo de si mesmo.
( ) Todo número primo é ímpar.
( ) O número zero não é divisor de ...
CONCURSOS .
mel em caixas com o maior número possível de
garrafas, sem misturá-las e sem que sobre ou falte
garrafa. Qual ...
CONCURSOS .
Nesse caso, qual é o número de alunos dessa
turma?
41. Três funcionários, de uma empresa
multinacional, sairão...
CONCURSOS .
C) 127
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
QUESTÕES DE VESTIBULARES
01. Três estudantes estão almoçando juntos num
restauran...
CONCURSOS .
minutos. Após quanto tempo os carros irão se
encontrar novamente?
A) 35 D) 20
B) 30 E) 15
C) 25
13. Três tubos...
CONCURSOS .
CONJUNTO DOS NÚMEROS
RACIONAIS (ℚ)
Este conjunto possui todos os números que podem
ser representados sob a for...
CONCURSOS .
4
3
8
6
b) Fração imprópria.
É toda fração em que o numerador é maior ou igual
ao denominador. A fração é igua...
CONCURSOS .
OBSERVAÇÃO:
Pode-se também simplificar uma fração utilizando
o máximo divisor comum (M.D.C.) entre o
numerador...
CONCURSOS .
Para comparar-se dois números decimais precisa-
se considerar dois casos.
a) Os números possuem as partes inte...
CONCURSOS .
DÍZIMA PERIÓDICA
a) Dízima periódica simples – é aquela que após
a vírgula apresenta apenas o período.
Exemplo...
CONCURSOS .
Para se somar frações com denominadores
diferentes, reduzimos as frações ao mesmo
denominador.
Dividimos o men...
CONCURSOS .
𝑎−𝑛
=
1
𝑎 𝑛
; 𝑐𝑜𝑚 𝑎 ≠ 0
“Eleva-se ao expoente positivo o inverso da
fração”.
Exemplo.
(
2
3
)
−2
= (
3
2
)
2
=...
CONCURSOS .
b) 2325
 porque 322222225

Algumas propriedades da radiciação de
racionais.
a) Potência de uma radiciaç...
CONCURSOS .
b)
7 7
3 g) 7.5 m) 6
6
7
b
a
c)
5 5
x h) 3
8.2 n) 8
128
64
d)  2
7a i) 7
10ab o)
4
16
e)  6 7
8y j) 3 3
5 ...
CONCURSOS .
ordenado, e Maria Eduarda, 32 . Quem gasta
mais?
12. Coloque em ordem decrescente as frações:
a)
4
9
,
4
17
,
...
CONCURSOS .
19. Efetue as multiplicações indicadas e
simplifique quando possível.
a) 
6
4
3
2
b) 






11
5
8
...
CONCURSOS .
EQUAÇÃO DO 1º GRAU
CONCEITOS INICIAIS.
Definição de equação.
De modo geral, uma equações é uma sentença
matemá...
CONCURSOS .
02. Resolva as equações:
a) 10
11
5

x
d) x
5
1
8
b) 6
7
3

x
e) 2
7

x
c) 711  x f) 132  x
03. Res...
CONCURSOS .
09. A soma de três números ímpares e
consecutivos é 63. Determine-os.
10. Jade e Brênia têm juntas R$ 250,00. ...
CONCURSOS .
massa. A balança marcou 920 gramas. Chamando
de x a massa da pera e de y a massa da laranja,
expresse essa sit...
CONCURSOS .
56. O inteiro da forma n
34 admite 9 divisores.
Calcule a soma dos seus três primeiros múltiplos.
EXERCÍCIOS ...
CONCURSOS .
10. Paula fez um teste que continha 36 questões.
Nesse teste, ela respondeu todas as questões,
obtendo um núme...
CONCURSOS .
10. (UPE) Um laboratório utiliza, na fabricação de
um determinado remédio, as substâncias A e B.
Sabendo que ...
CONCURSOS .
número de pés dos animais criados é 56 e o
número de cabeças é 20, é CORRETO afirmar que
o número de porcos é ...
CONCURSOS .
A)Cr$ 2.000,00 D)Cr$ 3.000,00
B)Cr$ 2.500,00 E)Cr$ 1.800,00
C)Cr$ 2.300,00
30. Um Diretor tentou distribuir co...
CONCURSOS .
EQUAÇÃO DO 2º GRAU
É toda equação que pode ser escrita sob a forma
𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, onde 𝒂, 𝒃 e 𝒄 são números...
CONCURSOS .
PROPORCIONALIDADE
RAZÃO
Dados dois números 𝒂 e 𝒃, numa certa ordem,
com 𝒃 ≠ 𝟎; a razão entre estes dois número...
CONCURSOS .
quantidade de termos, são inversamente
proporcionais quando o produto entre os termos
correspondentes é consta...
CONCURSOS .
B) 810 min
C) 500 min
D) 250 min
E) 600 min
Exemplo 3:
Um avião faz certo percurso em 1h e 30min, à
velocidade...
CONCURSOS .
MÉDIA ARITMÉTICA SIMPLES
E PONDERADA
MÉDIA ARITMÉTICA SIMPLES
A média aritmética de 𝒏 números reais é o número...
CONCURSOS .
a) 8,0 d) 10,0
b) 9,0 e) 6,0
c) 7,0
05. Qual a Média aritmética entre os números 8, 12
e 16?
a) 13 d) 16
b) 12...
CONCURSOS .
Qual foi o consumo médio diário de arroz, em kg,
nessa semana?
A) 10,48 D) 12,88
B) 11,60 E) 13,20
C) 12,64
07...
CONCURSOS .
PORCENTAGEM
Razão centesimal
Toda a razão que tem para consequente o número
100 denomina-se razão centesimal. ...
CONCURSOS .
6) Arthur ganha R$ 320,00 por mês. Ele contribui
com o sindicato com uma taxa de 2%. Qual o valor
que Arthur p...
[Dass]   apostila cdf - matematica basica para concursos publicos - 2014
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  • alguem sabe sobre o exercicio de mmc,numa plataforma partem dois onibus a cada 15 minutos
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[Dass] apostila cdf - matematica basica para concursos publicos - 2014

  1. 1. CONCURSOS . 1. Números Inteiros - Problemas 2. Números Racionais - Problemas 3. Equação de 1º grau - Problemas 4. Sistemas de equação de 1º grau - Problemas 5. Razão e proporção - Problemas 6. Regra de três simples e composta - Problemas 7. Porcentagem - Problemas 8. Juros Simples - Problemas 9. Médias Aritmética e ponderada - Problemas 10. Equações do 2º grau - Problemas 11. Conjuntos – Problemas 1. Números Naturais 2. Múltiplos e Divisores 3. Números Inteiros 4. Números Racionais 5. Geratriz de Uma Dízima Periódica 6. Sistema Geral de Medidas 7. Equações do 1º Grau 8. Razão e Proporção 9. Proporções 10. Divisão Proporcional 11. Regra de Três 12. Porcentagem
  2. 2. CONCURSOS . CONJUTO DOS NÚMEROS INTEIROS (ℤ) ℤ = {… , −2, −1, 0, +1, +2, … } RETA NUMÉRICA MÓDULO OU VALOR ABSOLUTO É o valor do número inteiro sem o seu sinal. Exemplo: 33  e 33  O módulo (ou valor absoluto) também pode ser interpretado geometricamente como a distância do número inteiro à origem da reta numérica. Ex.: 33  e 33  OBSERVAÇÃO: Números inteiros que tem o mesmo módulo são opostos ou simétricos. Exemplo: Os números 12 e 12 são simétricos, pois possuem módulos iguais. COMPARAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS Dados dois números inteiros diferentes, na reta numérica o menor é o que está à esquerda do outro. Exemplos: 712  27  326  OPERAÇÕES COM NÚMEROS INTEIROS 1. ADIÇÃO a) Adição de inteiros de mesmo sinal Adicionam-se os módulos das parcelas e repete- se o sinal comum a elas. Exemplos:     532      532  b) Adição de inteiros de sinais diferentes Conserva-se o sinal do número de maior valor absoluto e subtrai-se os respectivos valores absolutos. Exemplos:     132      132  Observação: A soma de dois números opostos é igual a zero. 2. SUBTRAÇÃO A subtração de dois números inteiros é calculada somando-se o primeiro número ao oposto do segundo. Exemplos:         15520520          15520520          25520520          25520520  4. MULTIPLICAÇÃO a) Multiplicação de inteiros de mesmo sinal Multiplicam-se os valores absolutos e atribui-se ao produto obtido SEMPRE o sinal positivo. Exemplos:     1025      1025  b) Multiplicação de inteiros de sinais de diferentes Multiplicam-se os valores absolutos e atribui-se ao produto obtido SEMPRE o sinal negativo. - 2 - 1 0 +1 +2 +3 ...- 3... - 2 - 1 0 +1 +2 +3 ...- 3... 3 unidades 3 unidades
  3. 3. CONCURSOS . Exemplos:     1025      1025  5.DIVISÃO Valem as mesmas regras feitas na multiplicação, mas é claro que agora se deve dividir. Exemplo:     34:12      34:12      34:12      34:12  Observação: As operações de adição, subtração e multiplicação são fechadas, em relação aos inteiros. Já a operação de divisão não é fechada em relação aos inteiros. 6. POTENCIAÇÃO É um produto de fatores iguais (base), onde a quantidade é dada por um número denominado expoente. 𝑎 𝑛 = 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ … ∙ 𝑎⏟ 𝑛 𝑣𝑒𝑧𝑒𝑠 𝑜 𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟 𝑎 Onde:  𝑎 é a base da potência.  𝑛 é o expoente.  𝑎 𝑛 é a potência (ou resultado da potenciação). Exemplos: a) 255552  b)       25555 2  c) 822223  d)         2166666 3  Consequências da definição: i) 𝑎0 = 1,para 𝑎 ≠ 0 ii) 𝑎1 = 𝑎 DICA DO SÁBIO a) Base negativa elevada a expoente par, o resultado é positivo.     par b) Base negativa elevada a expoente ímpar, o resultado é negativo.     ímpar Exemplo:  22 44  pois   16414 22  e       16444 2  . Propriedades Operacionais da Potenciação P1) Multiplicação de potência de mesma base. 𝑎 𝑚 ∙ 𝑎 𝑛 = 𝑎 𝑚+𝑛 Exemplos. a) 23 ∙ 27 = 23+7 = 210 b) 315 ∙ 318 = 315+8 = 3113 c) 510 ∙ 5−8 = 510+(−8) = 510−8 = 52 P2) Quociente de potência de mesma base. 𝑎 𝑚 𝑎 𝑛 = 𝑎 𝑚−𝑛 ; 𝑐𝑜𝑚 𝑎 ≠ 0 ou 𝑎 𝑚 ÷ 𝑎 𝑛 = 𝑎 𝑚−𝑛 ; 𝑐𝑜𝑚 𝑎 ≠ 0 Exemplos. a) (−3)10 ÷ (−3)2 = (−3)10−2 = (−3)8 b) 27 ÷ 2−3 = 27−(−3) = 27+3 = 210 c) 812 83 = 812−3 = 89 P3) Potência de potência. Não esqueça!!!!
  4. 4. CONCURSOS . (𝑎 𝑚) 𝑛 = 𝑎 𝑚∙𝑛 Exemplos. a) (42)3 = 42∙3 = 46 b) (25)8 = 25∙8 = 240 c) (104)7 = 104∙7 = 1028 P4) Potência de um produto. (𝑎 ∙ 𝑏) 𝑛 = 𝑎 𝑛 ∙ 𝑏 𝑛 Exemplos. a) (2 ∙ 3)5 = 25 ∙ 35 b) (4 ∙ 10)8 = 48 ∙ 108 c) (22 ∙ 36)3 = 22∙3 ∙ 36∙3 = 26 ∙ 318 Potências de base 10 - Parte 1 Em uma potência de base 10, a quantidade de zeros, após o algarismo 1, é numericamente igual ao valor do expoente. 100 = 1 101 = 10 102 = 100 103 = 1000 ⋮ 10 𝑛 = 1 00 ⋯ 00⏟ 𝑛 𝑧𝑒𝑟𝑜𝑠 ADIÇÃO ALGÉBRICA É uma expressão numérica formada apenas por adições e subtrações de números inteiros. Para facilitar os cálculos destas adições, pode-se eliminar os parentes seguindo-se algumas regras. a) Conservar os sinais dos números que estão no interior dos parênteses quando o sinal que precede os parênteses for positivo. Exemplos: 6)6(    55  b) Trocar os sinais dos números que estão no interior dos parênteses quando o sinal que precede os parênteses for negativo. Exemplos:   66    55  Outros exemplos: a)     16412412  b)     38585  c)    125757  d) 136715310  EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 01. Calcule. a)    205  b)    122  c)    915  d)   06  e)    108  f)    99  g)    1515  h)  200  i)    915  j)    812  l)    2114  m)    2418  n)    5048  o)    32106  p)      1053  q)        2562  r)          39785  s)          122742  t) 144686  u) 291294  v) 1071765  x) 12655612  02. Resolva as expressões. a)  625  b)  122315  c)    3012159  d)    48659  e)        5121232  03. Determine os produtos a seguir. a)    65  b)    12  c)  04 
  5. 5. CONCURSOS . d)    65  e)    73  f)    234  g)    86  h)    29  i)    8115  04. Calcule os quocientes. a)    9:9  g)    27:108  b)    8:8  h)    7:35  c)  7:0  i)    36:72  d)    12:48  j)    10:90  e)    5:50  l)    29:29  f)    56:112  m)    31:31  05. (OBM - 1998) Qual dos números a seguir é o maior? A) 345 B) 920 C) 2714 D) 2439 E) 8112 06. (OBM - 1998) Renata digitou um número em sua calculadora, multiplicou-o por 3, somou 12, dividiu o resultado por 7 e obteve o número 15. O número digitado foi: A) 31 B) 7 C) 39 D) 279 E) 27 07. (OBM - 1998) Numa competição de ciclismo, Carlinhos dá uma volta completa na pista em 30 segundos, enquanto que Paulinho leva 32 segundos para completar uma volta. Quando Carlinhos completar a volta número 80, Paulinho estará completando a volta número: A) 79 B) 78 C) 76 D) 77 E) 75 08. (OBM - 1998) Num código secreto, as 10 primeiras letras do nosso alfabeto representam os algarismos de 0 a 9, sendo que a cada letra corresponde um único algarismo e vice-versa. Sabe-se que d + d = f, d . d = f, c + c = d, c + d = a e a – a = b. Podemos concluir que a + b + c + d é igual a: A) 0 B) 2 C) 4 D) 6 E) 8 09. DE OLHO NOS CONCURSOS. (OBM - 1998) Escreva um número em cada círculo da fila abaixo, de modo que a soma de três números quaisquer vizinhos (consecutivos) seja 12. 3 5 No último círculo à direita deve estar escrito o número: A) 3 B) 2 C) 1 D) 4 E) 7 (OBM - 1998) Hoje é sábado. Que dia da semana será daqui a 99 dias? A) segunda-feira B) sábado C) domingo D) sexta-feira E) quinta feira (OBM - 1998) Qual é o dígito das unidades do número 31998? A) 1
  6. 6. CONCURSOS . B) 3 C) 5 D) 7 E) 9 (OBM - 1998) No quadrado mágico abaixo, a soma dos números em cada linha, coluna e diagonal é sempre a mesma. Por isso, no lugar do X devemos colocar o número: A) 30 B) 20 C) 35 D) 45 E) 40 TÓPICOS DE ARITMÉTICA 1. Número Primo – Um número inteiro positivo, maior que 1, é denominado primo quando for divisível por si e pela a unidade. Exemplo. Lista de números primos até 100. 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 2. Número Composto – Um número inteiro positivo, maior que 1, é denominado composto quando ele não for primo. Exemplos. 6, 15, 20 e 1340 3. Múltiplo de um número inteiro – Denomina-se múltiplo de um número, o produto desse número por um número inteiro qualquer. Exemplo: Vamos efetuar a multiplicação do número 5 pela sequência dos números naturais. 1535 1025 515 005     Os resultados obtidos 0, 5, 10, 15, ... são os múltiplos do número 5. Observe que:  O menor múltiplo de um número é sempre zero;  Todo número inteiro multiplicado por 1 dá o próprio número;  Todo número natural é sempre múltiplo de si mesmo  aa 1 ;  Os múltiplos de um número formam um conjunto infinito. 4. Divisor de um número inteiro – Dados dois números inteiros 𝒂 e 𝒃, com 𝒃 ≠ 𝟎, afirma-se que 𝒃 é divisor de 𝒂 se a divisão 𝒂 ÷ 𝒃 for exata. Exemplo. Considere a divisão a seguir:
  7. 7. CONCURSOS . 36 4 (0) 9 Esta divisão é exata. Então dizemos: 36 é divisível por 4 ou 4 é divisor de 36. Veja outros exemplos:  Se 12 é divisível por 3, então 3 é divisor de 12.  Se 15 é divisível por 5, então 5 é divisor de 15. Observação:  O menor divisor natural de um número é sempre o número 1;  O maior divisor de um número é o próprio número; Os divisores de um número formam um conjunto finito. 5. Critérios de divisibilidade. São regras básicas, utilizadas para decidir se um número inteiro é divisível ou não por outro, sem que seja necessário efetuar a divisão. Divisibilidade por 2: Todo número par é divisível por 2. Exemplos:  26 é divisível por 2, pois 26 é par;  108 é divisível por 2, pois 108 é par;  115 não é divisível por 2, pois 115 não é par. Divisibilidade por 3: Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos é divisível por 3. Exemplos: 72 é divisível por 3, pois 7 + 2 = 9 (9 é divisível por 3).  138 é divisível por 3, pois 1 + 3 + 8 = 12 (12 é divisível por 3). 125 não é divisível por 3, pois 1 + 2 + 5 = 8 (8 não é divisível por 3). Divisibilidade por 4: Um número é divisível por 4 quando termina em 00 ou seus dois últimos algarismos formam um número divisível por 4. Exemplos: 1500 é divisível por 4, pois termina em 00;  1624 é divisível por 4, pois 24 é divisível por 4;  4130 não é divisível por 4, pois 30 não é divisível por 4. Divisibilidade por 5: Um número é divisível por 5 quando o algarismo das unidades é zero ou 5. Exemplos: 125 é divisível por 5, pois termina em 5;  230 é divisível por 5, pois termina em 0;  314 não é divisível por 5, pois não termina nem em 0 e nem em 5. Divisibilidade por 6: Um número é divisível por 6 quando é divisível simultaneamente por 2 e por 3. Exemplos:  420 é divisível por 6, pois é divisível por 2 e por 3.  642 é divisível por 6, pois é divisível por 2 e por 3.  734 não é divisível por 6, pois é divisível por 2, mas não por 3. Divisibilidade por 7: Há um procedimento prático, que ajuda a determinar se um dado inteiro é divisível por 7:  Separa-se, do número dado, o dígito das unidades simples.  Do número restante, à esquerda, subtrai-se o dobro do dígito separado, anteriormente.  Em seguida, repete-se este procedimento até a obtenção de um número suficientemente pequeno, que possa ser reconhecido como divisível por 7. Exemplo: Considere o número 5922. 1. Separa-se o dígito das unidades simples: 2 592.2 2. Do número restante à esquerda, 592, subtrai- se o dobro de 2, que é 4. 592 – 4 = 588 3. Novamente, separa-se o dígito das unidades simples: 8 58.8 4. Subtrai-se o dobro de 8 de 58. 58 – 16 = 42 O número 42 é divisível por 7, então 5922 também é divisível por 7.
  8. 8. CONCURSOS . Divisibilidade por 8: Um número é divisível por 8 quando termina em 000 ou seus três últimos algarismos formam um número divisível por 8. Exemplos:  2000 é divisível por 8, pois termina em 000;  3184 é divisível por 8, pois 184 : 8 = 23;  5302 não é divisível por 8, pois 302 não é divisível por 8. Divisibilidade por 9 Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos é divisível por 9. Exemplos: 423 é divisível por 9, pois 4 + 2 + 3 = 9 (9 é divisível por 9);  756 é divisível por 9, pois 7 + 5 + 6 = 18 (18 é divisível por 9);  852 não é divisível por 9, pois 8 + 5 + 2 = 15 ( 15 não é divisível por 9). Divisibilidade por 10 Todo número terminado em zero é divisível por 10. Exemplos: 250 é divisível por 10, pois termina em zero; 3000 é divisível por 10, pois termina em zero;  135 não é divisível por 10, pois não termina em 0 (zero). Divisibilidade por 11: Um número é divisível por 11 quando as somas dos algarismos de ordem ímpar e de ordem par, começando da direita para a esquerda, forem iguais, ou quando a diferença entre essas somas for 11 ou múltiplo de 11. Atenção: A regra nos fala sobre a ordem ímpar e a ordem par, isto é, primeiro, segundo e não que o algarismo seja um número ímpar ou par. Exemplo: 868659, a soma dos algarismos de ordem ímpar é 9+6+6 = 21 e a soma dos algarismos de ordem par é 5+8+8 = 21. Como as somas são iguais, o número é divisível por 11. Divisibilidade por 12: Um número é divisível por 12, quando ele for divisível por 3 e por 4 simultaneamente. Exemplo:  48 é divisível por 12, pois é 3 divide 48 e 4, também. 6. Fatoração Única. Todo número composto – com exceção do zero – sempre pode ser decomposto ou escrito na forma de um produto de fatores primos. Essa forma é denominada decomposição em fatores primos ou fatoração completa do número. Exemplos. 4 é composto 224  e 2 é primo 6 é composto 326  e 2 e 3 são primos 8 é composto 2228  e 2 é primo 9 é composto 339  e 3 é primo Podemos encontrar os fatores primos de um número por meio de um processo prático. Exemplo (a ser resolvido em aula). Decompor 36 em fatores primos. Observação. Quadrados perfeitos são inteiros, cuja forma fatorada, apresenta todos os fatores primos com expoentes pares. Exemplos. Quadrados perfeitos até 400. 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 196 225 256 289 324 361 400 7. Quantidade de divisores de um inteiro positivo.
  9. 9. CONCURSOS . Para saber-se a quantidade de divisores de um número qualquer basta seguir-se os passos a seguir:  Decompõe-se o número dado em fatores primos;  Adiciona-se uma unidade, a cada um dos expoentes dos fatores primos;  Multiplica-se os resultados obtidos. Exemplos. a) Quantos são os divisores positivos de 54? Solução: 54 = 21 ∙ 33 . Logo são (1 + 1)(1 + 3) = 8 divisores positivos. b) Calcular a quantidade de divisores positivos de 900: Solução: 900 = 22 ∙ 32 ∙ 52 .Logo há (1 + 2)(1 + 2)(1 + 2) = 3 ∙ 3 ∙ 3 = 27 divisores inteiros. 8. Máximo Divisor Comum (M.D.C.) Dados dois ou mais números inteiros, denomina- se máximo divisor comum desses números o maior inteiro que é divisor ao mesmo tempo dos números considerados. Há dois processos para se determinar o M.D.C. de dois ou mais números, que são: a) Processo das divisões sucessivas (ou Algoritmo de Euclides). Consiste em dividir o número maior pelo menor, no caso de dois números, depois o segundo maior pelo restante e assim sucessivamente, até encontrar o valor que torne o resto nulo. Neste caso, o menor número encontrado será o MDC. Exemplo (a ser resolvido em aula): Determinar o M.D.C. entre 125 e 75. Solução: Quociente 125 75 Resto Então, o 𝑚. 𝑑. 𝑐(75,125) = ________. b) Cálculo do M.D.C. por decomposição em fatores primos. Este processo consiste de duas etapas: Decompor os números em seus fatores primos; Calcular o produto dos fatores primos comuns, cada um elevado ao menor de seus expoentes. Exemplo 1 (a ser resolvido em aula): Determinar o M.D.C. entre 30 e 42. Exemplo 2: Determinar o M.D.C. entre 14 e 27. Solução: 14 = 2 ∙ 7 27 = 3 ∙ 3 ∙ 3 = 33 Note que 14 e 27 não possuem fatores primos comuns. Admite apenas 1 como fator comum. Logo, o 𝑚𝑑𝑐 (14, 27) = 1. Dizemos também que 14 e 27 são números primos entre si. Dois ou mais números, diferentes de zero, são denominados primos entre si quando o MDC entre eles é igual a 1. Algumas propriedades do MDC a) O m.d.c. de dois números primos é a unidade. Exemplos. (3,5) 1mdc   2,7 1mdc  b) O m.d.c. de dois números, onde o maior é múltiplo do menor, é o menor desses números. Exemplo. (150,50) 50mdc  (4,2) 2mdc  c) Dados dois números diferentes de zero, o produto deles é igual ao produto do MMC pelo MDC desses mesmos números.    ba,M.M.C.ba,M.D.C.ba 
  10. 10. CONCURSOS . 9. Mínimo Múltiplo Comum (M.M.C.) Dados dois ou mais números inteiros, denomina- se mínimo múltiplo comum desses números o menor número (diferente de zero) que é múltiplo ao mesmo tempo dos números considerados. Há dois processos para se determinar o M.M.C. de dois ou mais números, que são: a) Cálculo do M.M.C. por decomposição em fatores primos (separadamente). Este processo consiste em obter o MMC entre vários números, pela decomposição em fatores primos. Para isto pode-se seguir as etapas seguintes: Decompor os números em seus fatores primos; Calcular o produto de todos os fatores primos, cada um deles elevado ao maior de seus expoentes. Exemplo (a ser resolvido em aula). Determinar o M.M.C. entre 4 e 15. b) Cálculo do M.M.C. por decomposição simultânea em fatores primos. Consiste em decompor simultaneamente os números dados em fatores primos. Exemplo 1 (a ser resolvido em aula): Determinar o M.M.C. entre 30, 42 e 60. Exemplo 2 (a ser resolvido em aula): Determine o m.m.c. dos números: a) m.m.c. (3, 4, 6) b) m.m.c. (2, 4, 8) c) m.m.c. (3, 6, 9) d) m.m.c. (4, 8, 10) e) m.m.c. (6, 12, 15) f) m.m.c. (12, 16, 24) g) m.m.c. (12, 15, 21) h) m.m.c. (20, 25, 40) i) m.m.c. (6, 12, 18, 30) j) m.m.c. (35, 50, 70, 100) l) m.m.c. (20, 80, 110, 240) Algumas propriedades do M.M.C. a) O m.m.c. de dois números primos entre si é o produto desses números. Exemplos. (4,7) 28mmc  (5,8) 40mmc  b) O m.m.c. de dois números em que o número maior é divisível pelo menor, é o maior desses números. Exemplos. (4,16) 16mmc  (2,10) 10mmc  c) Multiplicando-se ou dividindo-se dois ou mais números inteiros por um outro inteiro, diferente de zero, o m.m.c. desses dois números ficará multiplicado ou dividido por esse outro número. Exemplo. O m.m.c.(12, 18) = 36, multiplicando-se 12 e 18 por 2, temos, respectivamente: 24 e 36, e o m.m.c.(24,36) = 72. ATIVIDADES DE APLICAÇÃO. 01. Não é correto afirmar que: a) 2 é o único par primo. b) O conjunto dos números primos é infinito. c) O número 1 é primo. d) O número 7 é primo. e) 232  é primo. 02. Julgue as sentenças a seguir, marcando V para as verdadeiras e F para as falsas. ( ) Qualquer número é divisor de si mesmo.
  11. 11. CONCURSOS . ( ) Qualquer número é múltiplo de si mesmo. ( ) Todo número primo é ímpar. ( ) O número zero não é divisor de nenhum número natural. ( ) Qualquer número diferente de zero tem infinitos divisores. ( ) O maior divisor de um número natural é o próprio número. 03. Decomponha os números, a seguir, em fatores primos: a) 76 e)152 i) 120 b) 95 f) 900 j) 254 c) 64 g) 130 l) 32 d) 81 h) 420 m) 72 04. Determine quantos são os divisores naturais de: a) 152 d) 81 g) 130 b) 95 e)76 h) 420 c) 64 f) 900 i) 32 05. Calcule o número de divisores de k, sendo 2 3 2 24 15 9 .k    06. Determinar o algarismo x de modo que: a) 135x seja divisível por 2. b) 26x seja divisível por 3. c) 513x seja divisível por 4. d) 2894x seja divisível por 5. e) 427x seja divisível por 5. f) 680x seja divisível por 9. g) 2344x seja divisível por 2 e 5. h) 2435x seja divisível por 5 e 10. i) 1155x seja divisível por 2 e 3. j) 648x seja divisível por 3 e 4. 07. Determine o menor algarismo X de modo que o número 6X23X seja divisível por 6. 08. Determine os menores valores X e Y de modo que o inteiro 231XY seja divisível por 5 e 9 ao mesmo tempo. 09. Determine o algarismo Y de modo que o inteiro 7Y6 seja divisível por 3 e 4, simultaneamente. 10. Um número é formado por 3 algarismos. O algarismo das unidades é 2 e o das centenas é 5. Determine os possíveis valores do algarismo das dezenas para que esse número seja divisível por 3. 11. Se hoje é segunda-feira, daqui a 198 dias será qual dia da semana? 12. Uma pessoa tocou a campainha da casa 36 da rua das Abóboras. Dona Bia, uma vizinha que gostava das coisas bem explicadinhas, estava na janela de sua casa e disse: Eles mudaram para esta mesma rua. O número de sua casa é maior que 220 e menor que 300, termina em 6 e é divisível por 2, 3, 4 e 6. Qual o número da casa que a pessoa deve procurar? 13. Determinar o M.M.C. de 15, 16, 48 e 150. 14. Determinar o M.M.C. de 144 e 90. 15. No alto de dois edifícios existem duas lâmpadas vermelhas A e B. A lâmpada A pisca 15 vezes por minuto e a lâmpada B pisca 10 vezes por minuto. Calcule de quantos e quantos minutos elas piscaram simultaneamente. 16. Dois carros dão voltas em uma pista de corridas. Um deles dá uma volta completa a cada 3 minutos e o outro faz o mesmo a cada 4 minutos. Se partirem ao mesmo tempo, depois de quantos minutos passarão juntos novamente pelo ponto de partida? 17. De um aeroporto partem, simultaneamente, Às 8 horas três aviões. O primeiro faz uma viagem de 2 em 2 horas; o segundo, de 3 em 3 horas e o terceiro de 4 em 4 horas. Calcule a que horas os três aviões partirão juntos novamente. 18. Numa casa existem três goteiras. A primeira pinga 12 vezes por minuto, a segunda pinga 20 vezes por minuto e a terceira 15 vezes por minuto. Calcule de quantos em quantos segundos as três goteiras pingarão simultaneamente. 19. Três navios partem, de um porto, para o mesmo destino; o primeiro, a cada 8 dias; o segundo, a cada 10 dias e o terceiro a cada 5 dias. Calcule quantos dias transcorrem para que partam juntos novamente. 20. Numa competição, partem juntos dois ciclistas. O primeiro leva 20 segundos para dar uma volta completa na pista e o segundo, 18. Eles estarão juntos novamente na largada depois de quantos minutos? 21. Calcule o M.D.C. dos seguintes números: a) 120 e 84 c) 240, 180 e 72 b) 36 e 12 d) 220, 510, 685 22. Em uma mercearia o proprietário deseja estocar 84 garrafas de água, 56 de suco e 42 de
  12. 12. CONCURSOS . mel em caixas com o maior número possível de garrafas, sem misturá-las e sem que sobre ou falte garrafa. Qual deve ser a quantidade de garrafas por caixa? 23. Sempre que determinada pessoa anda 650 centímetros, 800 centímetros e 1000 centímetros, ela dá um número exato de passos. Qual é o maior comprimento possível de cada passo dado por essa pessoa? 24. Pretende-se dividir 3 rolos de arame de 630, 300 e 200 metros de comprimento, em pedaços iguais e de maior tamanho possível. Calcule o comprimento de cada pedaço. 25. Nas quatro séries de um ginásio há, respectivamente, 60, 48, 36 e 24 alunos. Em quantas equipes poderemos agrupar esses alunos, sem misturar as séries, de modo que cada equipe tenha o mesmo e o maior número possível de alunos? 26. Desejo dividir peças de fazenda que medem, respectivamente, 144, 108 e 90 metros, em partes iguais e de maior tamanho possível. Calcule o comprimento de cada parte e o número de partes de cada peça. 27. O M.M.C. de dois números é 11352 e o M.D.C. é 6. Se um dos números é 264, calcule o outro número. 28. Calcular o M.M.C. de 9 e 12, sabendo que o seu M.D.C. é 3. 29. O produto de dois números é 5760 e o MDC é 8. Calcular o MMC desses dois números. 30. O MMC de dois números é 360 e o MDC é 30. Calcule o produto desses dois números. 31. Sabendo que o MDC (x, 20) = 5 e que o MMC (x, 20) = 60, determine x. 32. Dois depósitos, tem respectivamente, 1350 e 4356 litros de capacidade. Para encher cada um desses depósitos usou-se uma mesma vasilha, um número exato de vezes. Qual a maior capacidade que pode ter a vasilha? 33. Duas pessoas, fazendo exercícios diários, partem simultaneamente de um mesmo ponto e, andado, contornam uma pista oval que circunda um jardim. Uma dessas pessoas dá uma volta completa em 12 minutos. A outra, andando mais devagar, leva 20 minutos para completar a volta. Depois de quantos minutos essas duas pessoas voltarão a se encontrar no mesmo ponto de partida? 34. Um relógio A bate a cada 15 minutos, outro relógio B bate a cada 25 minutos, e um terceiro relógio C a cada 40 minutos. Qual é, em horas, o menor intervalo de tempo decorrido entre duas batidas simultâneas dos três relógios? 35. Três luminosos acendem em intervalos regulares. O primeiro a cada 20 segundos, o segundo a cada 24 segundos e o terceiro a cada 30 segundos. Se, em um dado instante, os três acenderem ao mesmo tempo, depois de quantos segundos os luminosos voltarão a acender simultaneamente? 36. A estação rodoviária de uma cidade é o ponto de partida das viagens intermunicipais. De uma plataforma da estação, a cada 15 minutos partem um ônibus da viação Sol, com destino a cidade Paraíso. Os ônibus da viação Lua partem da plataforma vizinha a cada 18 minutos, com destino a cidade Porta do Céu. Se, às 8 horas os dois ônibus partirem simultaneamente, a que horas os dois ônibus partirão juntos novamente? 37. De um aeroporto partem, todos os dias, três aviões que fazem rotas internacionais. O primeiro avião faz a rota em 9 dias, o segundo em 12 dias e o terceiro, em 18 dias. Se, certo dia, os três aviões partirem simultaneamente, depois de quantos dias esses aviões esses aviões partirão novamente no mesmo dia? 38. Numa classe há 28 meninos e 21 meninas. A professora quer formar grupos só de meninos ou só de meninas, com a mesma quantidade de alunos e usando ao maior quando possível. Quantos grupos de meninas pedem ser formados? 39. Em um certo país as eleições para presidente ocorrem de 5 em 5 anos e para senador de 3 em 3 anos. Em 2014 essas eleições coincidiram. Quando essas eleições voltarão coincidirem a novamente? 40. Em uma turma do 6º ano do ensino fundamental, com mais de 30 alunos, foi distribuído um total de 126 borrachas, 168 lápis, 210 livros e 252 cadernos. Essa distribuição foi feita de modo que cada aluno recebesse o mesmo número de borrachas, de lápis, de livros e de caderno, e esta quantidade fosse a maior possível.
  13. 13. CONCURSOS . Nesse caso, qual é o número de alunos dessa turma? 41. Três funcionários, de uma empresa multinacional, sairão a serviço no mesmo dia. Sabe-se que o primeiro faz viagens de 12 em 12 dias; o segundo faz viagens de 20 em 20 dias; o terceiro faz viagens de 25 em 25 dias. Depois de quantos dias sairão juntos novamente? 42. Uma editora recebeu pedidos de três livrarias, como mostra o quadro abaixo. Como a editora deseja remeter os três pedidos com a mesma quantidade de livros e com o maior número de livros possível por pacote, quantos pacotes serão ao todo? 43. O Sr. Antônio tem uma banca de frutas na feira. Nela há um saco com 180 laranjas e outro com 270 laranjas. Ele quer dividir as quantidades de laranjas, em sacolas, com quantidades iguais da fruta. Qual deve ser o maior número possível de laranjas em cada sacola? 44. Regina possui 3 pedaços de fita, com os tamanhos, respectivamente, 120 cm, 186 cm e 240 cm; que serão utilizados na confecção de alguns enfeites. Ela pretende cortá-los em pedaços do maior tamanho possível, de forma que não haja sobras e que todos os pedaços tenham o mesmo tamanho. Qual será o tamanho de cada pedaço de fita após o corte; e quantos pedaços de fita serão obtidos ao todo? TESTES DE CONCURSOS 01. (COVEST) Indique o número de inteiros divisíveis simultaneamente por 7 e por 11, entre 1 e 7000. A) 70 D) 90 B) 96 E) 87 C) 85 02. (COVEST) Qual das afirmativas abaixo não é verdadeira, a respeito do número natural: 12345678 1213141516171819   ? A) é par. B) é múltiplo inteiro de 3. C) é múltiplo inteiro de 7. D) é múltiplo inteiro de 13. E) é múltiplo inteiro de 19. 03. (COVEST) Qual o dígito das unidades do produto 01x103x3x5x...x11 , cujos fatores são os números naturais ímpares, de 1 até 103? A) 1 D) 7 B) 5 E) 9 C) 3 04. (COVEST) Se hoje é domingo, qual será o dia da semana, passados 100 dias a partir de hoje? A) segunda-feira D) quinta-feira B) terça-feira E) sexta-feira C) quarta-feira 05. (COVEST) O produto das idades de três amigos adolescentes (entre 12 e 19 anos) corresponde a 4080 anos. Qual a soma de suas idades em anos? A) 48 D) 51 B) 49 E) 52 C) 50 06. (IFPE) Ao dar entrada em sua licença maternidade, numa quarta-feira, Lourdes toma conhecimento de que deve se afastar do trabalho por 180 dias (não contando com o dia da solicitação). Lourdes pretende deixar para o último dia da licença uma consulta com o pediatra de seu filho. Em qual dia da semana isso ocorrerá? A) Segunda-feira D) Quinta-feira B) Terça-feira E) Sexta-feira C) Quarta-feira 07. (IFPE) Indo para Boa Viagem, vê-se um “relógio” que marca quantos dias faltam para a Copa do Mundo de 2014. Se o “relógio” estiver marcando 900 dias, quantas semanas completas faltarão para o início da Copa de 2014? A) 125 D) 128 B) 126 E) 129
  14. 14. CONCURSOS . C) 127 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO QUESTÕES DE VESTIBULARES 01. Três estudantes estão almoçando juntos num restaurante. O primeiro almoça nesse restaurante a cada 10 dias, o segundo a cada 15 dias e o terceiro a cada 6 dias. Depois de quantos dias dar-se-á novamente esse encontro? A) 30 B) 40 C) 20 D) 10 E) 15 02. (EPCAR MG) Um relógio bate a cada 15 minutos, outro relógio a cada 25 minutos e um terceiro a cada 40 minutos. O menor intervalo de tempo decorrido entre duas batidas simultâneas dos três relógios é: A) 1 hora D) 30 horas B) 10 horas E) 40 horas C) 20 horas 03. (COVEST) Um ônibus chega a um terminal a cada 4 dias. Um segundo ônibus chega ao terminal a cada 6 dias e um terceiro, a cada 7 dias. Numa ocasião, os três ônibus chegaram ao terminal no mesmo dia. A próxima vez que chegarão juntos novamente, ao terminal, ocorrerá depois de: A) 60 dias C) 35 dias E) 124 dias B) 84 dias D) 168 dias 04. (ESSA MG) Três rolos de fio medem, respectivamente, 24m, 84m e 90m. Eles foram cortados em pedaços iguais e de maior tamanho possível. Então, o comprimento de cada pedaço é: A) 8m B) 3m C) 6m D) 2m E) 4m 05. (CESESP PE) Sabendo que a soma de dois números inteiros e positivos é igual a 1012 e o MDC e o MMC destes dois números são, respectivamente, 4 e 7840, tem-se que estes dois números são: A) 200 e 812 C) 72 e 940 E) 8 e 1004 B) 32 e 980 D) 196 e 816 06. (EEAR CFS SP) Sendo 3 2 2 3 5,A    4 3 2 3B   e 5 4 2 3 ,C   então o quociente da divisão do mmc pelo mdc dos números A, B e C é: A) 36 B) 90 C) 180 D) 450 E) 500 07. (EPCAR MG) Seja o número 488 9 ,m a b onde “b” é o algarismo das unidades e “a” o algarismo das centenas. Sabendo-se que m é divisível por 45, então a b é igual a: A) 1 B) 9 C) 7 D) 16 E) 25 08. (ESSA MG) Sabendo que 2 2 .3 .5,x A  2 2 2 .3.5x B  e que o MMC de A e B tem 45 divisores naturais, o valor de x será: A) 1 D) 5 B) 2 E) 8 C) 3 09. (CDF 2005) As medidas tomadas sobre as divisas de um campo de formato triangular são: 504m, 392m e 378m. O proprietário deseja plantar coqueiros nas divisas do campo de tal modo que as distâncias entre eles, tomadas sobre as divisas, sejam iguais e maiores possíveis. Calcule quantos coqueiros são necessários ao plantio, se há um coqueiro em cada canto do campo. A) 91 B) 95 C) 94 D) 93 E) 92 10. (CDF 2005) Dona Bia tem um enfeite “pisca- pisca” para árvores de Natal que tem lâmpadas amarelas, vermelhas e azuis. As lâmpadas amarelas acendem de 4 em 4 minutos; as vermelhas, de 3 em 3 minutos e as azuis de 6 em 6 minutos. Se às 20 horas e 15 minutos acenderem todas as lâmpadas, a que horas elas voltarão a acender novamente ao mesmo tempo? A) 20h e 27min D) 21h e 20min B) 20h e 17min E) 21h C) Nunca acenderão juntas 11. (CDF 2005) Numa competição, dois nadadores partem juntos e prosseguem atravessando a piscina de uma margem à outra, repetidas vezes. O primeiro leva 26s para ir de um lado a outro, e o segundo gasta 24s, para fazer o mesmo percurso. Quanto tempo decorrerá, até que eles cheguem simultaneamente, a mesma margem de onde partiram? A) 12min 30s D) 8min 12s B) 14min E) 11min 10s C) 10min 24s 12. (CDF 2007) Dois carros partem juntos, a fim de dar voltas em torno de uma pista de corrida. O carro mais rápido demora 3 minutos para completar uma volta e o outro carro demora 5
  15. 15. CONCURSOS . minutos. Após quanto tempo os carros irão se encontrar novamente? A) 35 D) 20 B) 30 E) 15 C) 25 13. Três tubos de plásticos medem respectivamente 15m, 18m e 24m. Queremos dividi-los em partes iguais e de maior tamanho possível. Quantas partes serão obtidas? A) 21 B) 25 C) 26 D) 19 E) 17 14. O produto de dois números inteiros positivos é 1728 e o MMC entre os dois é 144. Assim, o MDC entre os dois é: A) 21 B) 30 C) 12 D) 8 E) 14 15. (CEFET – PI) Dona Luiza recebe periodicamente a visita de seus três filhos: João a visita a cada 15 dias; Maria a visita a cada 20 dias; e Antônio, a cada 24 dias. Como hoje é dia de seu aniversário, os três foram vê- la. Daqui a quantos dias os três se encontrarão novamente com dona Luiza? A) 70 dias D) 130 dias B) 90 dias E) 140 dias C) 120 dias 16. (COVEST) João atualiza o antivírus do seu computador a cada 22 dias e Maria atualiza o antivírus a cada 25 dias. Em certa segunda- feira, os dois atualizaram o antivírus no mesmo dia. Na próxima vez em que os dois atualizarem o antivírus no mesmo dia, qual será o dia da semana? A) Segunda-feira D) Quinta-feira B) Terça-feira E) Sexta-feira C) Quarta-feira 17. (COVEST) Indique a afirmativa falsa. Um número natural é divisível por: A) 2 se termina em 0, 2, 4, 6 ou 8. B) 3 se a soma dos seus dígitos é divisível por 3. C) 5 se a soma dos seus dígitos é divisível por 5. D) 6 se é divisível por 2 e 3. E) 9 se a soma dos seus dígitos é divisível por 9. 18. (FUVEST) O número de divisores naturais do número 40 é: A) 8 B) 6 C) 4 D) 2 E) 20 19. (CEFET-MG) Para que o número 2 2 14x n   tenha 15 divisores, o valor de x deverá ser igual a: a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) 0 20. (FATEC) Um certo planeta possui dois satélites naturais: Lua A e Lua B; o planeta gira em torno do sol e os satélites em torno do planeta, de forma que os alinhamentos: Sol - planeta - Lua A ocorre a cada 18 anos e Sol - planeta - Lua B ocorre a cada 48 anos. Se hoje ocorrer o alinhamento Sol - planeta - Lua A - Lua B, então o fenômeno se repetirá daqui a: A) 48 anos D) 144 anos B) 66 anos E) 860 anos C) 96 anos 21. (PSAEAM) Sabendo que o número 3045X8 é divisível por 3, a soma de todos os valores que X pode assumir é: A) 12 B) 11 C) 10 D) 9 E) 8 (OBM – 1997) O número N tem três algarismos. O produto dos algarismos de N é 126 e a soma dos dois últimos algarismos de N é 11. O algarismo das centenas de N é: A) 2 B) 3 C) 6 D) 7 E) 9
  16. 16. CONCURSOS . CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS (ℚ) Este conjunto possui todos os números que podem ser representados sob a forma 𝒂 𝒃 , em que 𝒂 e 𝒃 são números inteiros, com 𝒃 ≠ 𝟎. ℚ = { 𝑎 𝑏 | 𝑎 ∈ ℤ e 𝑏 ∈ ℤ, 𝑏 ≠ 0} Exemplos: 2 1 75,0 10 3 34,1 Os números racionais podem ser fracionários ou decimais. 1. RACIONAL FRACIONÁRIO. Toda fração representa uma parte de um valor inteiro. Ela pode ser representada sob a forma 𝑎 𝑏 ; onde 𝒂 é denominado numerador e 𝒃 denominador. Na fração 3 8 temos os seguintes elementos: O numerador indica quantas partes foram tomadas do inteiro. Enquanto, que o denominador indica em quantas partes o inteiro foi dividido igualmente. O traço horizontal chama-se traço de fração. Para se lê uma fração, devem ser considerados três casos. a) O denominador é menor que 10. Lê-se o numerador seguido do denominador na forma ordinal. FRAÇÃO LEITURA 2 1 Um meio 3 2 Dois terços 9 7 Sete nonos b) O denominador é maior que 10. Lê-se o numerador seguido do denominador, ao qual se acrescenta o vocábulo avos: FRAÇÃO LEITURA 11 3 Três onze avos 27 7 Sete vinte e sete avos 43 8 Oito quarenta e três avos c) O denominador é uma potência de base 10. Lê-se o numerador seguido do denominador na forma ordinal. FRAÇÃO LEITURA 10 3 Três décimos 100 21 Vinte e um centésimos 1000 5 Cinco milésimos 000.10 2 Dois décimos de milésimos Tipos de frações. As frações são classificadas de acordo com o valor do numerador e denominador. a) Fração Própria. É toda fração em que o numerador é menor que o denominador. A fração é menor que 1. Exemplos. 6 5 e 5 3 3 8 numerador denominador
  17. 17. CONCURSOS . 4 3 8 6 b) Fração imprópria. É toda fração em que o numerador é maior ou igual ao denominador. A fração é igual ou maior que 1. Exemplos. 3 5 e 10 10 c) Fração aparente. É toda fração em que o numerador é múltiplo do denominador. A fração é igual a um número inteiro de unidades. Exemplo. 3 6 = 2 inteiros OBSERVAÇÃO: Qualquer número inteiro poderá ser expresso por um número racional fracionário, onde o denominador é a unidade. Exemplos: 1 7 7  1 51 51  d) Frações equivalentes. São frações diferentes que representam a mesma parte do inteiro. Observe: Verifica-se, pelas figuras, que a fração 4 3 equivale à fração . 8 6 4 3 é equivalente a 8 6 24 23    8 6 é equivalente a 4 3 28 26    Podemos escrever: 4 3 8 6  Assim, Para obter frações equivalentes a uma outra, basta multiplicar ou dividir tanto o numerador como o denominador por um mesmo número inteiro diferente de zero. e) Frações decimais. É toda fração que apresenta uma potência de base 10 no denominador. Exemplos. 10 2 ; 100 1 ; 1000 8 Número Misto É formado por uma parte inteira e por outra fracionária. Exemplos. 6 1 2 (lê-se: dois inteiros e um sexto) 3 2 5 (lê-se: cinco inteiros e dois terços) 2 1 7 (lê-se: sete inteiros e um meio) Simplificação de frações. Simplificar uma fração significa obter uma fração equivalente a ela, com numerador e o denominador menores. Para simplificar uma fração, divide-se o numerador e o denominador por um mesmo número natural maior que 1 (um). Se o numerador e o denominador não têm divisores comuns, a fração não pode ser simplificada e recebe o nome de fração irredutível (ou forma simplificada). Exemplos: 6 5 212 210 12 10     6 5 12 10  2 1 510 55 10 5     2 1 10 5 
  18. 18. CONCURSOS . OBSERVAÇÃO: Pode-se também simplificar uma fração utilizando o máximo divisor comum (M.D.C.) entre o numerador e o denominador. Este valor simplificará a fração dada, de uma única vez. Comparação de frações. Para que duas, ou mais, frações sejam comparadas é necessário que seus denominadores tenham o mesmo valor. E caso isso ocorra, a que possuir maior valor no numerador será a maior. Exemplo. 5 8 > 3 8 Caso as frações a serem comparadas não possuam o mesmo denominador, é necessário obter a fração equivalente a cada uma. Exemplo. 5 8 ? 3 4 Obter as frações equivalentes. 5 8 = 5 8 3 4 = 6 8 Comparar: 5 8 < 6 8 ⟺ 5 8 < 3 4 Então 5 8 < 3 4 2. RACIONAL DECIMAL. É o racional caracterizado pela presença de uma vírgula. Exemplos. 45,0 145,3 012,2 Partes de um número decimal. Todo número decimal possui duas partes: inteira (á esquerda da vírgula); e a decimal (à direita da vírgula). Exemplo. 21⏟ 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑎 , 743⏟ 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑚𝑎𝑙 Observação. Os algarismos que compõem a parte decimal são denominados casas decimais. Propriedades dos números decimais. P1) Um número decimal não se altera quando se acrescenta ou retira-se um ou mais zeros à direita de sua parte decimal. Exemplo. 5,2 = 5,20 = 5,200 = 5,2000 = ⋯ P2) Para se obter o produto de um número decimal por uma potência de base 10, desloca-se a vírgula para a direita, tantas vezes, quantos forem os zeros da potência de base 10. Exemplos. 34,289 × 10 = 342,89 34,289 × 100 = 3428,9 34,289 × 1000 = 34289 34,289 × 10000 = 342890 P3) Para se obter o quociente de um número decimal por uma potência de base 10, desloca-se a vírgula para a esquerda, tantas vezes, quantos forem os zeros da potência de base 10. Exemplos. 3428,9 ÷ 10 = 342,89 3428,9 ÷ 100 = 34,289 3428,9 ÷ 1000 = 3,4289 3428,9 ÷ 10000 = 0,34289 Comparação de números decimais.
  19. 19. CONCURSOS . Para comparar-se dois números decimais precisa- se considerar dois casos. a) Os números possuem as partes inteiras diferentes. O maior número é o que tem a maior parte inteira. Exemplos.  7,215,3  , pois 23  .  7843,904,12  , pois 912  . b) As partes inteiras são iguais. Igualam-se as casas decimais acrescentando zeros. O maior é aquele que tem a maior parte decimal. Exemplos.  57,46,4  , pois 60,46,4  e 5760  .  012,8612,86  , pois 120,8612,86  e 12120  . Transformações entre racionais a) FRAÇÃO IMPRÓPRIA EM NÚMERO MISTO. Para transformar uma fração imprópria em número misto, dividimos o numerador pelo denominador. Exemplo. Quociente ⟶ Parte inteira Resto ⟶ Numerador da nova fração. Divisor ⟶ Denominador da nova fração (permanece o mesmo) 3 2 1 3 5  b) NÚMERO MISTO EM FRAÇÃO IMPRÓPRIA. Para transformar um número misto em fração imprópria, multiplicamos o inteiro pelo denominador e somamos o produto com o numerador; o denominador permanece o mesmo. Exemplo. 5 17 5 253 5 2 3     numerador: 17253   denominador: permanece o mesmo c) FRAÇÃO EM NÚMERO DECIMAL. Para transformarmos uma fração qualquer em um número decimal basta dividir o numerador pelo denominador. Exemplos. 7,0 10 7  ...333,2 3 7  875,1 8 15  TIPOS DE DECIMAL a) Decimal exato – numeral que possui um número finito de algarismos na parte decimal. Exemplos: 7,0 e 875,1 b) Dízima periódica – numeral formado por infinitos algarismos que se repetem periodicamente na parte decimal. Exemplos: ...333,2 e ...0909,5 d) NÚMERO DECIMAL EXATO EM FRAÇÃO Nesse caso o substituiremos por uma fração equivalente conforme os exemplos abaixo. Exemplos: 10000 2 0002,0  1000 325 325,0  5 3 12 1 3 2 numerador denominador
  20. 20. CONCURSOS . DÍZIMA PERIÓDICA a) Dízima periódica simples – é aquela que após a vírgula apresenta apenas o período. Exemplos: 1,0...11111,0  25,0...2525,0  638,5...638638638,5  b) Dízima periódica composta - é aquela que após a vírgula apresenta um numeral não periódico, seguido de um período. Exemplos: 23,1...322,1  5412,3...12545454,3  10,62...011111,62  e) DÍZIMA PERIÓDICA EM FRAÇÃO GERATRIZ I) Dízima periódica simples – a geratriz será uma fração cujo numerador é o período, e o denominador será tantos 9 quanto for o número de algarismos do período. Devemos sempre conservar o inteiro. Exemplo 1: 9 3 ...33333,0  Período: 3 (no numerador, o algarismo três) Quantidade de algarismo do período: 1 (no denominador, um nove) Exemplo 2: 99 26 ...262626,0  Período: 26 (no numerador, o número 26) Quantidade de algarismo do período: 2 (no denominador, dois noves) Exemplo 3: 999 563 1...563563,1  Período: 563 (no numerador, o número 563) Quantidade de algarismo do período: 3 (no denominador, três noves) Observação: Sempre conservando o inteiro. II) Dízima periódica composta - sua geratriz será uma fração cujo numerador é igual à parte não periódica, seguida do período, menos a parte não periódica. O denominador são tantos noves quantos forem os algarismos do período, seguidos por tantos zeros quantos forem os algarismos da parte não periódica. Exemplo 1: 90 24 90 226 ...2666,0    Período: 6 Quantidade de algarismo do período: 1 (no denominador, um nove) Quantidade de algarismo da parte não periódica: 1 (no denominador, um zero) Exemplo 2: 990 353 1 990 3356 1...3565656,1    Período: 56 Quantidade de algarismo do período: 2 Quantidade de algarismo da parte não periódica: 1 Exemplo 3: 900 101 12 900 11112 12...11222,12    Período: 2 Quantidade de algarismo do período: 1 Quantidade de algarismo da parte não periódica: 2 Operações com frações. 1. Adição a) Frações com denominadores iguais. Para se somar frações com denominadores iguais, somam-se os numeradores e conserva-se o denominador comum. Exemplo. 9 7 9 25 9 2 9 5    b) Frações com denominadores diferentes.
  21. 21. CONCURSOS . Para se somar frações com denominadores diferentes, reduzimos as frações ao mesmo denominador. Dividimos o menor múltiplo comum dos denominadores das duas frações pelo denominador de cada uma delas. Multiplicamos os quocientes obtidos pelos respectivos numeradores. Exemplo. 1 2 + 1 3 = 3 6 + 2 6 = 3 + 2 6 = 5 6 2. Subtração a) Frações com denominadores iguais. Para se subtrair frações com denominadores iguais, subtraem-se os numeradores e conserva- se o denominador comum. Exemplo. 8 3 8 25 8 2 8 5    b) Frações com denominadores diferentes. Para se subtrair frações com denominadores diferentes, reduzimos as frações ao mesmo denominador. Exemplo. 8 5 − 2 3 = 24 15 − 10 15 = 24 − 10 15 = 14 15 3.Multiplicação a) Multiplicação de um inteiro por uma fração. Para se multiplicar um inteiro por uma fração, multiplica-se o inteiro pelo numerador e conserva- se o mesmo denominador. Exemplo. 8 15 8 35 8 3 5    b) Multiplicação de uma fração por outra. Para se multiplicar fração por fração, multiplicam- se os numeradores e os denominadores entre si. Exemplos. a) 8 1 4 1 2 1  b) 35 12 7 3 5 4  4. Divisão Fração inversa Dois números são inversos quando o produto deles é igual a 1. Exemplo: 1 40 40 5 8 8 5  . Então, 8 5 é o inverso de 5 8 , pois o seu produto é igual a 1 (um). Para dividir uma fração por qualquer outra fração, basta multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda. A divisão é a operação inversa da multiplicação. Exemplos. a)   6 1 3 1 2 1 1 3 2 1 3 2 1      b) 20 1 20 1 5 1 4 5 1 1 4 5 1 4  c) 18 12 2 3 9 4 3 2 9 4              5. Potenciação É válida a mesma definição e observações feitas nos inteiros. Exemplos. 8 27 2 3 2 3 2 3 2 3 3                          49 16 7 4 7 4 7 4 2                   De modo geral: ( 𝑎 𝑏 ) 𝑛 = 𝑎 𝑛 𝑏 𝑛 ; 𝑐𝑜𝑚 𝑏 ≠ 0 “Eleva-se o numerador e o denominador a essa potência”. Observação. Potência do expoente negativo:
  22. 22. CONCURSOS . 𝑎−𝑛 = 1 𝑎 𝑛 ; 𝑐𝑜𝑚 𝑎 ≠ 0 “Eleva-se ao expoente positivo o inverso da fração”. Exemplo. ( 2 3 ) −2 = ( 3 2 ) 2 = 32 22 = 9 4 Operações com números decimais 1. Adição E Subtração Na adição e subtração de números decimais, deve-se escrevê-lo um sobre o outro, de tal modo que as vírgulas se posicionem numa mesma coluna, após as quais igualam-se as casas decimais, completando-as com zeros. Exemplos (a serem resolvidos em aula): 76,21,32a)  76,21,32b)  2. Multiplicação Para multiplicar um número decimal por outro número decimal, deve-se:  Multiplicar os números como se fossem números naturais.  Colocar a vírgula no resultado, de modo que a quantidade de casas decimais seja igual à soma do número de casas decimais dos fatores. Exemplo (a ser resolvido em aula): 6,535,2  3. Divisão A divisão se faz reduzindo-se tanto o dividendo como o divisor a numerais contendo o mesmo número de casas decimais; a seguir “cortam-se” as vírgulas, após o que efetua-se a operação como se eles fossem números naturais. Exemplos. 12,06,333a)  46,333b)  Radiciação de números racionais Sejam 𝑎 ∈ ℚ e 𝑛 ∈ ℤ com 𝑛 ≥ 2. Deste modo, 𝒃 ∈ ℚ é a raiz enésima de 𝒂 se e somente se, 𝒃 𝒏 for igual a 𝒂. √ 𝑎 𝑛 = 𝑏 ⟺ 𝑏 𝑛 = 𝑎 Onde: √ ⟶ Radical 𝒃 ⟶ Raiz 𝒂 ⟶ Radicando 𝒏 ⟶ Índice do radical Exemplos. a) 636  porque 366662 
  23. 23. CONCURSOS . b) 2325  porque 322222225  Algumas propriedades da radiciação de racionais. a) Potência de uma radiciação. A potência 𝒏 da raiz enésima de um radical é igual ao radicando. ( √ 𝑎 𝑛 ) 𝑛 = 𝑎 Exemplo. (√4 3 ) 3 = √433 = 4 b) Potência com expoente fracionário. Se 𝑎 é um número real positivo e 𝑚 𝑛 é um número racional, com 𝑚 e 𝑛 inteiros e 𝑛 > 0 definimos: 𝑎 𝑚 𝑛 = √𝑎 𝑚𝑛 Exemplos. 5 3 4 = √534 c) Raiz de um produto. A raiz de um produto é igual ao produto das raízes de cada fator, deste produto. √𝑎 ∙ 𝑏 𝑛 = √ 𝑎 𝑛 ∙ √𝑏 𝑛 Exemplo. √4 ∙ 9 = √4 ∙ √9 = 2 ∙ 3 = 6 d) Raiz de um quociente. Raiz de um quociente é igual ao quociente das raízes de cada um dos termos, com o segundo termo não nulo. √ 𝑎 𝑏 𝑛 = √ 𝑎 𝑛 √𝑏 𝑛 ; 𝑐𝑜𝑚 𝑏 ≠ 0 Exemplo. √ 27 8 3 = √27 3 √8 3 = 3 2 EXERCÍCIOS PARA FIXAÇÃO 1) Escreva em forma de potência com expoente fracionário: a) 7 2 3 e) 5 2 5 b) 9 8 3 f) 9 5 1 c) 6 3 3 g) 7 6 d) 11 2 10 h) 3 3 2) Escreva em forma de radical: a) 4 1 5 d) 7 6 10 b) 2 1 6 e) 4 3 8  c) 3 2 3 f)   3 1 2   a) 126 22  b) 305 3 55  1) Determine as raízes e justificando sua resposta: a) 64 i) 3 8 b) 100 j) 5 32 c) 0 l) 3 1 d) 3 8 m) 6 1 e)         3 3 2 n) 4 16 f) 100 1 o) 25 g) 4 81 p) 3 243 h) 4 81 q) 3 243 2) Aplique as propriedades de radicais e resolva cada uma das questões a seguir: a) 2 8 f)  3 32 7a l) 5 32 2
  24. 24. CONCURSOS . b) 7 7 3 g) 7.5 m) 6 6 7 b a c) 5 5 x h) 3 8.2 n) 8 128 64 d)  2 7a i) 7 10ab o) 4 16 e)  6 7 8y j) 3 3 5 yw p) 9 3 3 2 a ba EXERCÍCIOS PARA FIXAÇÃO 01. Transforme os seguintes números mistos em frações impróprias. Observe o modelo: 2 3 2 121 2 1 1    a) 5 1 2 d) 7 3 4 b) 10 7 13 e) 20 17 9 c) 20 1 9 f) 5 2 5 02. Transforme as seguintes frações impróprias em números mistos: a) 5 11 d) 3 20 b) 17 108 e) 4 17 c) 8 37 f) 11 32 03. Simplifique as seguintes frações até obter frações irredutíveis: a) 45 15 f) 225 105 l) 72 48 b) 121 11 g) 144 120 m) 68 46 c) 40 25 h) 128 16 n) 52 13 d) 49 21 i) 135 45 o) 95 19 e) 48 12 j) 45 27 p) 25 20 04.Obtenha uma fração equivalente a 53 que tenha denominador 15. 05. Obtenha uma fração equivalente a 4921 que tenha denominador 7. 06. Calcule: a) 3 1 de 21 = e) 5 3 de 25 = b) 6 4 de 12 = f) 3 2 de 150 = c) 3 2 de 9 = g) 8 5 de 40 = d) 9 5 de 63 = h) 3 4 de 60 = 08. Marcelo tem 45 figurinhas. Colou 53 no seu álbum. Quantas figurinhas Marcelo não colou no álbum? 09. Uma cozinheira fez 60 doces. Já vendeu 32 dos docinhos. Quantos docinhos ainda faltam ser vendidos? 10. Helena tem de correr 24 metros. Já correu 43 Quantos metros Helena já correu? 11. Eduardo e Maria Eduardo recebem por mês a mesma quantia. Eduardo gasta 43 do seu
  25. 25. CONCURSOS . ordenado, e Maria Eduarda, 32 . Quem gasta mais? 12. Coloque em ordem decrescente as frações: a) 4 9 , 4 17 , 4 3 b) 7 5 , 3 5 , 9 5 c) 6 1 , 3 4 , 12 5 , 2 1 13. Procure uma fração equivalente a cada um dos seguintes numerais decimais. a) 0,7 g) -2,5252... b) 0,33 h) -3,444... c) 1,333 i) -3,12777... d) 5,21 j) 51,89999... e) 2,333... l) -0,7474... f) -2,777... m) 123,454545... 14. Responda com V (verdadeiro) ou F(falso). a) 6 1 3 1  e) 3 3 3 2  b) 6 2 3 1  f) 10 2 5 1  c) 6 3 3 1  g) 6 3 3 2  d) 3 1 3 2  h) 6 2 3 2  15. Sabendo que a hora tem 60 minutos, represente com frações e simplifique: a) 5 minutos em relação a uma hora. b) 15 minutos em relação a uma hora. c) 30 minutos em relação a uma hora. d) 10 minutos em relação a uma hora. e) 45 minutos em relação a uma hora. f) 60 minutos em relação a uma hora. 16. Reduza as frações ao mesmo denominador comum. 4 1 , 2 1 a) 6 1 , 9 2 , 18 5 , 4 3 d) 8 1 , 6 1 b) 10 11 , 14 9 , 5 2 , 7 3 e) 12 7 , 6 5 , 8 3 c) 30 11 , 10 9 , 15 14 , 20 7 f) 17. Dê a forma decimal das frações a seguir: a) 2 1 d) 5 1 g) 5 13 b) 3 1 e) 4 3 h) 7 6 c) 4 1 f) 5 2 i) 16 6 18. Calcule e, se possível, simplifique os resultados. a)  5 1 5 2 b)  3 1 7 2 c)  2 1 6 3 12 7 d)  9 7 3 1 6 5 e)  8 1 2 5 1 3 f)  7 1 2 3 1 1 g)  6 7 2 8 1 4 h)  3 7 2 8 3 i)  1 16 7 2 8 5 3 j)  14 15 1 7 1 85 i) 9 2 9 5 9 1  j) 10 7 10 6  l) 8 7 8 9  m) 4 13 22 7 11 5  n) 6 5 3 1 2 1  o) 2 1 6 5 4 3  p) 3 1 2 1 6 5  q) 4 3 6 5 3 1 2 1 
  26. 26. CONCURSOS . 19. Efetue as multiplicações indicadas e simplifique quando possível. a)  6 4 3 2 b)        11 5 8 3 c)  4 1 5 4 3 8 2 d)        8 9 3 7 9 8 e)   65 3 1 2 4 1 3 f)  4 3 6 3 g)  6 9 3 1 h)    6 4 5 4 i)  5 10 3 1 j)  8 7 2 9 8 2 l) 7 4 3 1  m) 2 3 8 7  n) 9 5 5 3  o) 2 11 7 2  p) 45 4 8 9  q) 9 8 4 45  20. Efetue as divisões indicadas e simplifique quando possível. a)  7 4 3 f)  5 9 8 b)  8 5 2 g)  7 5 5 14 c)  8 5 5 4 h)  5 1 2 5 14 d)  3 4 5 9 i)  5 2 7 7 e)  2 1 1 3 1 2 j)  3 4 5 5 4 6 21. Represente na forma de frações decimais os seguintes números decimais: A) 27,43 E) 28,3 B) 1,273 F) 43,0 C) 03,0 G) 272,1 D) 28,412 H) 21,32 22. Efetue as operações indicadas a seguir. A) 4,733,24,21  B) 27,38,12  C) 02,142,176,273  D) 312,81,433,0  E) 83,24,31  F) 27,24,7  G) 3,121,312  H) 3,2743,32  I) 3,24,21  J) 3,41,12  L) 12,321,112  M) 7,03,0  N) 2,213116,454  O) 4,0232,7  23. Se 32 de uma mesa custam R$ 480,00, qual é o preço da mesa toda? 24. Um automóvel percorreu 92 de uma estrada e depois mais 31 da mesma, rodando desse modo 300 km. Qual o comprimento da estrada? 25. No percurso entre duas cidades, um ciclista percorreu 4 1 e depois mais 8 3 dessa estrada. Faltam ainda 7 200m para chegar ao destino. Qual é a distancia entre as cidades? 26. Meu irmão tem R$ 224,00. Eu tenho 7 5 do que ele tem. Quanto tenho?
  27. 27. CONCURSOS . EQUAÇÃO DO 1º GRAU CONCEITOS INICIAIS. Definição de equação. De modo geral, uma equações é uma sentença matemática, com incógnitas, e que exprime uma igualdade: Incógnita. Letra que representa o valor desconhecido de uma equação. Raiz de uma equação ou solução. A raiz de uma equação (ou solução) é o valor atribuído à(s) incógnita(s), que torna a sentença verdadeira. E este valor pode existir, ou não. Conjunto solução. Conjunto que possui todas as soluções de uma equação. Resolução de uma equação. Resolver uma equação significa determinar o seu conjunto solução. EQUAÇÃO DO 1º GRAU É toda equação que pode ser escrita sob a forma geral 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0, onde 𝑥 é a incógnita e 𝑎 e 𝑏, respectivamente, são os coeficientes números, com 𝑎 ≠ 0. 𝑎𝑥 + 𝑏⏟ 1º 𝑚𝑒𝑚𝑏𝑟𝑜 = 0⏟ 2º 𝑚𝑒𝑚𝑏𝑟𝑜 O lado esquerdo da igualdade é denominado “primeiro membro”, enquanto que o lado direito é denominado “segundo membro”. Exemplos a serem resolvidos em aula: 𝑥 + 3 = 7 2𝑥 + 1 = 11 SISTEMA DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU. De modo geral, um sistema de equações é um conjunto de equações que possuem o mesmo conjunto solução. E de modo mais particular, um sistema de equações do 1º grau é um conjunto de equações, do 1º grau, que possuem o mesmo conjunto solução. Resolver um sistema de equações lineares consiste, então, em encontrar os valores para suas incógnitas, que verifiquem, simultaneamente, todas as equações do sistema. Métodos de resolução de um sistema de equações do 1º grau. Há dois processos para resolução de um sistema de duas equações a duas incógnitas: a) Método da adição: Consiste em somar as duas equações com o objetivo de fazer “desaparecer” uma das incógnitas. Exemplo (a ser resolvido em aula). { 2𝑥 + 3𝑦 = 11 𝑥 + 2𝑦 = 8 b) Método da substituição: Consiste em expressar uma incógnita em função da outra, e em seguida substituir o valor na outra equação. Exemplo (a ser resolvido em aula). { 𝑥 + 𝑦 = 10 𝑥 + 2𝑦 = 17 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 01. Encontre a raiz de cada equação: a) 2 3 2 1 x d) 2 1 5 x b) 2 2 3 x e) 2 7  x c) 3 4 3 1 x f) 132  x
  28. 28. CONCURSOS . 02. Resolva as equações: a) 10 11 5  x d) x 5 1 8 b) 6 7 3  x e) 2 7  x c) 711  x f) 132  x 03. Resolva as equações (isolando a incógnita): a) 11x+7=-6 b) 3x+1=19 c) 5+2x=1 d) 5x+3=7 e) X-3=1 f) 2x-3=17 g) -2x-2=-5 h) 3x-1=0 i) 5-2x=-17 j) 1-x=-1 04. Determine a raiz de cada equação (incógnita em mais de um termo): a) 2x+11=x b) 3x+1=2x c) 1+2x=3-5x d) 5x-1=2-x e) 5+x=-7+8x f) 7x+1=5x-7 g) 5x-91=4x-77 h) 5+3y=-1+4y i) -15-11x=-9-3x j) 1-2y=7y+8 k) 1045-x=729-3x l) 1-3x=17-4x m) 3-2x=17-4x n) x-1+2x=1-3x 05.Encontre a raiz de cada equação (eliminando parênteses) a) 3(x+3)-1=2 b) 3(x+2)=2(x-7) c) 3(x+2)-1=2(x+3)-7 d) 3(x+1)+2=5+2(x-1) e) 5(2x+7)-1=4(x-5)+9 f) 2(x-1)+3(x+1)=4(x+2) g) 2(x+1)+5(x-1)=7 h) 2(2x+3)+5(x+1)=8-3(x-1) i) 13(2x-3)-5(2-x)=5(-3+6x) j) 2(2x+7)+3(3x-5)=3(4x+5)-1 k) 3-7(1-2x)=5-(x+9) l) (1+3x)-(1-2x)+(-11-7x)=5 m) 2(1-5y)+3(-1-y)-4(-7+2y)=-y n) X-3(4-x)=7x-(1-x) 06.Resolva as seguintes equações: (eliminando denominadores) a) 2 5 2  x b) 2 1 3 2  x c) 5 1 2 3  x d) 2 3  x e) 0)4( 3 1 )2( 2 1  xx f) 1 4 3 7 1     xx g) 5 32 3 1 2 1      xxx h) 12 75  xx i) 632 xxx  j) 53 1 7 2 xx  k) 12 3 2 2 3     xx l) 5 13 2 1 3 1 4 12        xxxx m) 4 7 12 17 3 1 2     x x xx n) x xx     2 1 2 1 o) 3 2 1 15 1 96   mmm p) 3 52 5 14 2 2 13 13        yyyy q) 9 2 )71( 4 79 x x x    r) )72( 5 1 )3( 3 1 )6( 2 1  bbb s) aa 31,09,128,342,171,0  t) 2 12 2 2 2 4 365 1       zzz u) 105 12 4 31 2 31 xxxx       07. A terça parte de um número, mais cinco, é igual a quatro nonos desse número. Determine o número. 08. A soma de dois números pares consecutivos é 58. Determine-os.
  29. 29. CONCURSOS . 09. A soma de três números ímpares e consecutivos é 63. Determine-os. 10. Jade e Brênia têm juntas R$ 250,00. Jade possui R$ 70,00 a mais que o dobro da quantia de Brênia. Quanto possui cada uma? 11. Pedro e Ernesto colheram juntos 55 maçãs. Pedro colheu 4/7 da quantidade de maçãs colhidas por Ernesto. Quantas maçãs colheu Pedro? 12. Num quintal há galinhas e coelhos, ao todo 35 cabeças e 106 pés. Quantos animais há de cada espécie? 13. Igor e Adriana têm, respectivamente, 8 e 40 anos. Daqui a quantos anos a idade de Adriana será o triplo da idade de Igor? 14. Júlio pediu que seu primo Luís pensasse em um número e, a seguir, fizesse as seguintes operações: adicionasse 25 ao número pensado; multiplicasse o resultado obtido por 3; subtraísse 10 ao novo resultado. Ao término dessas operações, Luís encontrou 80 como resultado. Em que número pensou? 15. Um terreno retangular tem 144 m de perímetro. O comprimento é o triplo da largura. Determine a área desse terreno. 16. Um número somado com seu dobro é igual a 72. Qual é esse número? 17. O triplo de um número, aumentado de 15, é igual a 39. Qual é esse número? 18. Um número somado com sua quarta parte é igual a 60. Qual é esse número? 19. A diferença entre os 2/3 de um número e sua metade é igual a 10. Qual é esse número? 20. Ana tem 5 anos a mais que Paula. A soma de suas idades é 35 anos. Qual é idade de Ana? 21. Lúcio e Cândido pesam juntos 124 kg. Lúcio tem 16 kg a mais que Cândido. Qual o peso de cada um deles? 22. A soma de dois números pares consecutivos é 138. Quais são esses números? 23. A soma de um número com seu sucessor é 73. Qual é esse número? 24. A soma de quatro números naturais consecutivos é 150. Determine-os. 26. A soma de dois números é 103 e a diferença é 23. Quais são esses números? 27. A soma de três números pares e consecutivos é 90. Calcule o maior deles. 28. Reparta 460 figurinhas entre André, Breno e Cid, de modo que Breno receba o dobro de Cid, e André fique com 60 figurinhas a mais que Breno. Quantas figurinhas recebe André? 29. Um campeonato de surf oferece R$ 15.000,00 aos três primeiros colocados. O 1º recebe R$ 5.000,00 a mais que o 3º. O 2º recebe o dobro da quantia do 3º. Qual o prêmio de cada um? 30. A soma das idades de Tânia e Denise é 56 anos. A idade de Tânia é 3/4 da idade de Denise. Quantos anos tem cada uma? 31. Em uma fábrica, um terço dos empregados são homens e 72 outros são mulheres. Quantos são os empregados da fábrica? 32. Telma comprou uma camisa que foi paga em 3 prestações: na 1ª prestação, ela pagou a metade do valor a camisa; na 2ª prestação, a terça parte; e na 3ª e última, R$ 10,00. Quanto ela pagou pela camisa? 33. Num quintal, existem galinhas e coelhos. Sabendo que são ao todo 20 cabeças e 58 pés, determine o número de galinhas e coelhos. 34. Num estacionamento, existem 20 veículos, entre motos e carros. Determine o número de motos, sabendo que existem 56 rodas. 35. As idades de Germana e Cristina somam 45 anos. Há 6 anos, a idade de Germana era o dobro da idade de Cristina. Qual a idade atual de Germana? 36. Aníbal afirmou: “Daqui a 4 anos, minha idade será o triplo da idade que tinha há 26 anos”. Qual a sua idade? 37. Pensei em um número. Multipliquei por 5. Dividi por 4 e subtraí 8, obtendo 12. Em que número pensei? 38. Em uma balança, foram colocadas duas peras de mesma massa e três laranjas de mesma
  30. 30. CONCURSOS . massa. A balança marcou 920 gramas. Chamando de x a massa da pera e de y a massa da laranja, expresse essa situação por meio de uma equação. 39. Em uma papelaria, um caderno custa x reais e uma agenda custa y reais. Escreva uma equação que represente cada situação. a) A agenda e o caderno custam juntos 45 reais. b) O caderno custa 45 reais a mais que a agenda. c) A agenda custa quatro vezes o preço do caderno. d) Se eu comprar três agendas e 7 cadernos vou gastar 82 reais. 40. Resolva os sistemas a seguir: a)      143 10 yx yx b)      5423 6 yx xy c)      2 6 yx yx d)      823 32 yx yx e)      952 2 yx yx f)      42 23 yx xy g)      1 5 yx yx h)      58 52 yx yx i)      123 20 yx yx j)      352 2 yx yx k)      1735 1423 yx yx l)      142 102 yx yx 41. Em um estacionamento há carros e motos. No total há 8 veículos e 16 rodas. Determine quantos carros e quantas motos há nesse estacionamento. 42. No sítio da vovó Helena há coelhos e galinhas. Um dia Denis, o neto dela, começou a contar quantos animais há no sítio. Ele chegou à conclusão de que há 88 animais e 226 pés. Quantas galinhas há neste sítio? 43. Numa partida de futebol estavam presentes 35.000 espectadores pagantes. O valor da arquibancada coberta e da não coberta eram, respectivamente, R$ 50 e R$ 15. Foram arrecadados na bilheteria R$ 1.050.000. Quantos foram os ingressos vendidos para a arquibancada coberta? 44. A diferença entre o preço de um sorvete e o preço de um doce é 4 reais. Raquel tomou um sorvete e comprou dois doces, gastando ao todo 13 reais. Qual é o preço do sorvete? 45. Em uma revendedora há carros e motos, totalizando 22 veículos e 74 rodas. Determine quantos carros e quantas motos há nessa revendedora. 46. Uma lapiseira custa o triplo de uma caneta. Se as duas juntas custam 24 reais, qual é o preço de cada uma? 47. Uma tábua com 2,85 m de comprimento foi dividida em duas partes. O comprimento da primeira parte tem 0,93 m a mais que o comprimento da segunda. Qual é o comprimento de cada parte? 48. Um livro tem 160 páginas, e eu já li uma parte dele. O número de páginas que já li corresponde a 35 do número de páginas que faltam para eu terminar de ler esse livro. Quantas páginas eu já li? 49. Um colégio tem 50 professores. O número de professores que ensinam outras matérias é 73 do número de professores que ensinam Matemática. Quantos professores não ensinam Matemática neste colégio? 50. Davidson e Denilson são irmãos. A soma e a diferença entre suas idades são, respectivamente, 46 e 2 anos. Determine as idades dos irmãos. 51. Calcular o valor de m para que o número 3 2 2 3 5m   admita 60 divisores. 52. Calcular o valor de n para que o número 3 5 3n  admita 12 divisores. 53. Calcule o número 9 10 ,n N   sabendo que ele admite 27 divisores. 54. Sendo 2 72  x M um número que admite 15 divisores, determine x. 55. O número N de três algarismos quando decomposto em fatores primos é da forma .32 ma  Sabe-se que N é divisível pelo menor número composto, compreendido entre 2 10 e .103 Calcule o maio valor possível para a.
  31. 31. CONCURSOS . 56. O inteiro da forma n 34 admite 9 divisores. Calcule a soma dos seus três primeiros múltiplos. EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO II 01. Toda a produção mensal de latas de refrigerante de uma certa fábrica foi vendida a três lojas. Para a loja A, foi vendida metade da produção; para a loja B, foram vendidos 2/5 da produção e para a loja C, foram vendidas 2500 unidades. Qual foi a produção mensal dessa fábrica? A) 4166 latas B) 10000 latas C) 20000 latas D) 25000 latas E) 30000 latas 02. Há 18 anos Hélio tinha precisamente três vezes a idade de seu filho. Agora tem o dobro da idade desse filho. Quantos anos têm Hélio e seu filho, respectivamente? A) 72 anos e 36 anos. B) 36 anos e 18 anos. C) 40 anos e 20 anos. D) 50 anos e 25 anos. E) 38 anos e 19 anos. 03. Dentre as pessoas na sala de espera de um consultório médico, em um determinado momento, uma falou: “Se juntarmos a nós a metade de nós e o médico, seríamos 16 pessoas”. Nesse momento, o número de pessoas aguardando atendimento é: A) 5 B) 8 C) 9 D) 10 E) 12 04. Um antigo problema hindu afirma: “De uma quantidade de puras flores de lótus, uma terça parte, um quinto e um sexto foram oferecidas aos deuses Siva, Vishnu e Sol. Um quarto da quantidade original foi ofertada a Bhavani. Os seis lótus restantes foram dados ao venerável preceptor”. Resolvendo esse problema, conclui-se que a quantidade original de flores é A) 60. B) 120 C) 240. D) 320. E) 360. 05. Paula fez um teste que continha 36 questões. Nesse teste, ela respondeu todas as questões, obtendo um número de acertos igual ao triplo do número de erros. Quantas questões desse teste Paula errou? A) 4 B) 9 C) 12 D) 18 E) 27 06. Uma tora de madeira mais meia tora de madeira com as mesmas dimensões, tem massa igual a 27 kg. Qual a massa de cada tora dessas madeiras? A) 14 kg B) 15 kg C) 16 kg D) 17 kg E) 18 kg 07. No orçamento de um bancário, 1/5 do salário é gasto com moradia, e 1/10 com transporte e 3/5 com alimentação. Sabendo que sobram R$ 2.000,00 para outras despesas, qual o seu salário? A) R$ 15.000,00 B) R$ 18.000,00 C) R$ 13.000,00 D) R$ 20.000,00 E) R$ 17.000,00 08. Um Diretor tentou distribuir com seus funcionários alguns brindes que lhe foram enviados. Notou, porém, que se desse 3 a cada um restariam 24; mas se desse 7 a cada, não restaria brinde algum. Quantos eram os funcionários A)10 B)9 C)6 D)5 E)3 09. Um tijolo pesa um quilo mais meio tijolo. Quanto pesa um tijolo e meio? A)2 quilos B)2 quilos e meio C)3 quilos D)3 quilos e meio E)1 quilo e meio
  32. 32. CONCURSOS . 10. Paula fez um teste que continha 36 questões. Nesse teste, ela respondeu todas as questões, obtendo um número de acertos igual ao triplo do número de erros. Quantas questões desse teste Paula errou? A) 4 B) 9 C) 12 D) 18 E) 27 TESTES DE CONCURSOS 01. (PSAEAM) Dentre as pessoas na sala de espera de um consultório médico, em um determinado momento, uma falou: “Se juntarmos a nós a metade de nós e o médico, seríamos 16 pessoas”. Nesse momento, o número de pessoas aguardando atendimento é: A) 5 D) 10 B) 8 E) 12 C) 9 02. (PSAEAM) Uma tora de madeira mais meia tora de madeira com as mesmas dimensões, tem massa igual a 27 kg. Qual a massa de cada tora dessas madeiras? A) 14 kg D) 17 kg B) 15 kg E) 18 kg C) 16 kg 03. (UPE) Maria Eduarda aprendeu, nas aulas de matemática, que a soma de três números inteiros pares consecutivos é igual a 18. Partindo dessa afirmativa, Maria Eduarda indaga a sua tia, que é professora de matemática do ensino fundamental: qual é o valor da soma de seus quadrados? A) 110 D) 80 B) 116 E) 120 C) 136 04. (UPE) Uma torneira enche um reservatório em 3 horas, e outra enche o mesmo reservatório em 2 horas. Em quanto tempo, as duas torneiras juntas enchem o reservatório? A) 1 hora e 10 minutos. B) 1 hora e 20 minutos. C) 1 hora e 15 minutos. D) 1 hora e 12 minutos. E) 1 hora e 18 minutos. 05. (OBM) 2 melancias custam o mesmo que 9 laranjas mais 6 bananas; além disso, meia dúzia de bananas custa a metade de uma melancia. Portanto, o preço pago por uma dúzia de laranjas e uma dúzia de bananas é igual ao preço de: A) 3 melancias D) 5 melancias B) 4 melancias E) 2 melancias C) 6 melancias 06. (CMR) Comprei 12 metros de tecido. Depois, comprei mais 20 metros do mesmo tecido. Sabendo que, na segunda compra, paguei R$ 104,00 a mais do que na primeira, o valor da primeira compra foi de A) R$ 62,40 D) R$ 132,00 B) R$ 87,00 E) R$ 156,00 C) R$ 105,00 07. (UPE) Uma certa quantia será repartida entre Júnior, Daniela e Eduarda. Sabendo-se que Júnior e Daniela receberão juntos R$ 5.000,00, Júnior e Eduarda dividirão R$ 4.500,00 e Daniela e Eduarda juntas receberão R$ 3.500,00, podemos afirmar que Eduarda receberá: A) R$ 3.000,00 D) R$ 2.500,00 B) R$ 2.000,00 E) R$ 3.500,00 C) R$ 1.500,00 08. (UPE) Os filhos do Sr. Júnior, Neto e Maria Eduarda, nasceram em 20/12. Em 20/12/2000, dia do aniversário deles, Daniela, amiga de Júnior, perguntou as idades das crianças. Júnior respondeu: “Suas idades são tais que cinco vezes a idade de Maria Eduarda somada a treze vezes a idade de Neto é igual a 38 anos”. No dia 20/12/2000, a soma das idades de Maria Eduarda e Neto é A) 5 anos. D) 8 anos. B) 6 anos. E) 9 anos. C) 7 anos. 09. (UPE) Um certo produto é vendido nas lojas A e B. Na loja B, o produto é R$ 60,00 mais caro que na loja A. Se a loja B oferecer um desconto de 20% no produto, o preço seria o mesmo nas duas lojas. O preço do produto na loja A é A) R$ 260,00. D) R$ 250,00. B) R$ 270,00. E) R$ 240,00. C) R$ 280,00.
  33. 33. CONCURSOS . 10. (UPE) Um laboratório utiliza, na fabricação de um determinado remédio, as substâncias A e B. Sabendo que m1 da substância A custa R$ 0,03 (3 centavos), m1 da substância B custa R$ 0,05 (5 centavos) e que um frasco de m100 do remédio custa R$ 3,60 (três reais e sessenta centavos), quantos m da substância A têm no frasco? A) 70 D) 50 B) 65 E) 30 C) 60 11. (UPE) Júnior e Daniela têm algum dinheiro. Júnior dá a Daniela R$ 5,00 e, em seguida, Daniela dá a Júnior 31 do que possui. Assim, ambos ficam com R$ 18,00. A diferença entre as quantias que cada um tinha inicialmente é A) R$ 7,00 B) R$ 8,00 D) R$ 10,00 C) R$ 9,00 E) R$ 11,00 12. (UPE) Maria Eduarda comprou um terreno na praia de Pitimbu e, outro na praia de Itamaracá, por um total de R$ 45 000,00. Dois meses depois da compra, vendeu os dois terrenos e obteve um lucro de 3.000,00R$ , vendendo o de Pitimbu com um lucro de 20% e, o de Itamaracá com um prejuízo de 10% sobre o preço de compra. Por quanto Maria Eduarda vendeu o terreno de Pitimbu? A) R$ 30 000,00 D) R$ 20 000,00 B) R$ 27 500,00 E) R$ 22 500,00 C) R$ 25 000,00 13. (UPE) Há três anos, a população de Pitimbu era igual à população de Caapora de hoje. Nos três últimos anos, a população de Pitimbu não mudou, mas a população de Caaporã cresceu 50%. Atualmente, as duas cidades somam 90.000 habitantes. Há três anos, qual era a soma das duas populações? A) 36 000 D) 60 000 B) 45 000 E) 75 000 C) 50 000 14. (COVEST) O presidente de um clube pagou 48.000,00Cr$ por doze camisas e igual número de calções, para o time de vôlei. Sabendo-se que uma camisa custou três vezes mais que um calção, quanto custou cada um? A) Cr$ 1.000,00 D) Cr$ 2.300,00 B) Cr$ 1.500,00 E) Cr$ 3.000,00 C) Cr$ 2.000,00 15. (EsPCEX) Numa partida de basquetebol, uma equipe, entre cestas de 2 (dois) pontos e 3 (três) pontos, fez 40 cestas, totalizando 98 pontos. Pode- se dizer que o número de cestas de 3 (três) pontos dessa equipe foi de: A) 20 D) 24 B) 18 E) 22 C) 26 16. (COLÉGIO NAVAL) Num gibi, um ser de outro planeta capturou em uma de suas viagens três tipos de animais. O primeiro tinha 4 patas e 2 chifres, o segundo 2 patas e nenhum cifre e o terceiro 4 patas e 1 chifre. Quantos animais do terceiro tipo ele capturou, sabendo que existiam 227 cabeças, 782 patas e 303 chifres? A) 24 D) 27 B) 25 E) 30 C) 26 17. (COLÉGIO NAVAL) Observe o sistema de equações lineares abaixo.      472 1232 :S1 yx yx Sendo  11, yx solução de 1S , o resultado de     11 32126 yx  é igual a A) 18 D) 28 B) 21 E) 32 C) 24 18. (UPE) Um pequeno criador tem em sua criação 150 animais, entre porcos e galinhas. Sabendo-se que o número de pés dos animais é igual a 400, é CORRETO afirmar que o criador tem A) 25 porcos. D) 42 porcos. B) 50 porcos. E) 55 porcos. C) 35 porcos. 19. (UPE) A soma da idade de Paulo com a de seu filho é 34 anos. Sabendo-se que há 7 anos, a idade de Paulo era o dobro da idade que seu filho tem atualmente, é CORRETO afirmar que a idade do filho de Paulo é um A) quadrado perfeito. B) número par. C) número primo. D) divisor de 15. E) múltiplo de 5. 20. (UPE) Um pequeno agricultor, além de sua roça, cria porcos e galinhas. Sabendo-se que o
  34. 34. CONCURSOS . número de pés dos animais criados é 56 e o número de cabeças é 20, é CORRETO afirmar que o número de porcos é igual a A) 5 D) 8 B) 6 E) 9 D) 7 21. (UPE) Dan pesou certa quantidade de arroz, feijão e milho e verificou que o arroz e o feijão juntos pesaram 40 kg; o feijão e o milho, 55kg e o arroz e o milho, 45 kg. O arroz, o milho e o feijão juntos pesaram A) 50 kg D) 80 kg B) 60 kg E) 90 kg C) 70 kg 22. (UPE) Uma certa quantia de dinheiro será dividida entre os irmãos Júlio, Danilo e Evandro. Se Júlio e Danilo receberão juntos R$ 10.000,00, Júlio e Evandro dividirão R$ 9.000,00 e Danilo e Evandro receberão juntos R$ 7.000,00, é possível afirmar que Evandro receberá A) R$ 6.000 D) R$ 5.000 B) R$ 4.00 E) R$ 7.000 C) R$ 3.000 23. (UPE) Dan e Rebeca possuem juntos 20 bolas de gude. Rebeca e Eduarda possuem 24 bolas de gude. Dan e Eduarda possuem 22 bolas de gude. Qual o número de bolas de gude? A) 28 D) 27 B) 35 E) 33 C) 30 24. (UPE) Um clube promoveu um show de Música Popular Brasil ao qual compareceram 200 pessoas, entre sócios e não sócios. No total, o valor arrecadado foi 1.400,00R$ , e todas as pessoas pagaram ingresso. Sabendo-se que o preço do ingresso foi 10,00R$ e que cada sócio pagou a metade desse valor, o número de sócios presentes ao show é de: A) 100 D) 160 B) 80 E) 120 C) 140 25. (COVEST) No orçamento de um bancário, 1/5 do salário é gasto com moradia, e 1/10 com transporte e 3/5 com alimentação. Sabendo que sobram R$ 2.000,00 para outras despesas, qual o seu salário? A)R$ 15.000,00 D)R$ 20.000,00 B)R$ 18.000,00 E)R$ 17.000,00 C)R$ 13.000,00 26. (COVEST) Numa corrida de Fórmula 1, os três primeiros colocados consomem um total de 640 litros de gasolina. O segundo colocado gasta 7/8 do que consome o primeiro, e o terceiro utiliza 5/8 da quantidade de combustível usada pelo primeiro. Assinale a alternativa certa para o consumo do segundo colocado: A)256 litros D)250 litros B)160 litros E)400 litros C)224 litros 27. (COVEST) Certo comerciante de verduras na CEASA, num dia vendeu 22 caixas de tomate e 15 de repolho, recebendo um total de Cz$ 3.100,00. No dia seguinte, vendeu pelos mesmos preços da véspera, 15 caixas de tomate e 30 de repolho, obtendo um total de Cz$ 3.300,00. Assinale o preço de cada caixa de repolho: A)Cz$ 48,00 D)Cz$ 50,00 B)Cz$ 60,00 E)Cz$ 45,00 C)Cz$ 30,00 28. (COVEST) Perguntado sobre a idade de seu filho Júnior, José respondeu o seguinte: “Minha idade quando somada à idade de Júnior é igual a 47 anos; e quando somada à idade de Maria é igual a 78 anos. As idades de Maria e Júnior somam 39 anos”. Qual a idade de Júnior? A)2 anos D)5 anos B)3 anos E)10 anos C)4 anos 29.(COVEST) Um motorista gastou Cr$ 14.000,00 para abastecer seu automóvel. Sabendo-se que fez uma mistura colocando 1 parte de gasolina para cada 8 partes de álcool, e que o preço do álcool é 75% do preço da gasolina, quantos cruzeiros gastou com gasolina ?
  35. 35. CONCURSOS . A)Cr$ 2.000,00 D)Cr$ 3.000,00 B)Cr$ 2.500,00 E)Cr$ 1.800,00 C)Cr$ 2.300,00 30. Um Diretor tentou distribuir com seus funcionários alguns brindes que lhe foram enviados. Notou, porém, que se desse 3 a cada um restariam 24; mas se desse 7 a cada, não restaria brinde algum. Quantos eram os funcionários ? A)10 D)5 B)9 E)3 C)6 31. Ao tentar dividir alguns chocolates entre seus filhos, um pai verificou que se desse 2 a cada um sobrariam 9, e se desse 4, faltariam 3 para completar a divisão. Quantos filhos ele tinha ? A)7 D)3 B)5 E)6 C)2 32. Um grupo de alunos resolveu fazer uma excursão. O tesoureiro do grupo observou que, se cada aluno pagasse R$ 20,00 , havia um déficit de R$ 60,00; se pagasse R$ 25,00 , haveria um excesso de R$ 100,00. De quantos alunos era constituído o grupo ? A)25 D)32 B)28 E)40 C)30 33. Se um pai der R$ 250,00 a cada filho, ainda lhe restará a importância de R$ 300,00. Entretanto, para dar R$ 400,00 a cada um, lhe faltariam R$ 750,00. Qual o valor da quantia que esse pai possui? A)R$ 1.900,00 D)R$ 2.460,00 B)R$ 2.050,00 E)R$ 3.000,00 C)R$ 2.280,00 34.Um tijolo pesa um quilo mais meio tijolo. Quanto pesa um tijolo e meio ? A)2 quilos D)3 quilos e meio B)2 quilos e meio E)1 quilo e meio C)3 quilos
  36. 36. CONCURSOS . EQUAÇÃO DO 2º GRAU É toda equação que pode ser escrita sob a forma 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, onde 𝒂, 𝒃 e 𝒄 são números reais e 𝒂 ≠ 𝟎. Exemplos. a) 𝑥2 − 2𝑥 = 0 b) 𝑥2 − 144 = 0 c) 𝑥2 + 5𝑥 + 6 = 0 Determinando os valores das soluções De modo geral, os valores das soluções de uma equação do 2º grau são determinados a partir da expressão seguinte, que é mais conhecida por Fórmula de Bhaskara: 𝑥 = −𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐 2𝑎 Onde Δ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐. O  (letra grega delta) é denominado discriminante. E a partir dele pode-se julgar como são as raízes (ou soluções) de uma equação do 2º grau, e até mesmo se existem. OBSERVAÇÃO: Toda equação do 2º grau apresenta sempre, duas raízes que serão ou não reais.  Caso Δ > 0, a equação terá duas raízes reais e distintas. ( 𝑥1 ≠ 𝑥2)  Caso Δ = 0, a equação terá duas raízes reais e iguais. ( 𝑥1 = 𝑥2)  Caso Δ < 0, a equação terá raízes não reais e distintas. Relações entre os coeficientes e as soluções de uma equação do 2ºgrau.  Soma das raízes: 𝑥1 + 𝑥2 = −𝑏 𝑎  Produto das raízes: 𝑥1 ∙ 𝑥2 = 𝑐 𝑎
  37. 37. CONCURSOS . PROPORCIONALIDADE RAZÃO Dados dois números 𝒂 e 𝒃, numa certa ordem, com 𝒃 ≠ 𝟎; a razão entre estes dois números é definida como sendo o quociente de 𝒂 (antecedente) por 𝒃 (consequente). 𝑎: 𝑏 = 𝑎 𝑏 ; 𝑐𝑜𝑚 𝑏 ≠ 0 Exemplo. A razão entre 45 e 60 é 45: 60 = 45 60 = 3 4 Razões equivalentes. Dadas duas razões, ambas são denominadas equivalentes se seus respectivos quocientes forem iguais. Exemplo. 2 4 = 16 32 PROPORÇÃO Dadas duas razões, elas irão formar uma proporção se forem iguais. Ou seja, uma proporção é uma igualdade de razões. 𝑎: 𝑏 ∷ 𝑐: 𝑑 Ou 𝑎 𝑏 = 𝑐 𝑑 Observação. Os números 𝒂 e 𝒅 são denominados extremos, enquanto que b e c são denominados meios. Exemplo. 5 3 = 25 15 Propriedades da proporção. P1) Propriedade fundamental da proporção. O produto dos meios é igual ao produto dos extremos. 𝑎 𝑏 = 𝑐 𝑑 ⟺ 𝑎 ∙ 𝑑 = 𝑏 ∙ 𝑐 P2) Em qualquer proporção, a soma dos antecedentes está para os consequentes, assim como, cada antecedente está para seus consequentes. 𝑎 𝑏 = 𝑐 𝑑 = 𝑎 + 𝑐 𝑏 + 𝑑 SEQUÊNCIAS PROPORCIONAIS. Duas sequências proporcionais podem ser diretamente ou inversamente proporcionais. a) Sequências diretamente proporcionais. Duas sequências numéricas, com a mesma quantidade de termos, são diretamente proporcionais quando a razão entre os termos correspondentes é constante. (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, … , 𝑎 𝑛) e (𝑏1, 𝑏2, 𝑏3, … , 𝑏 𝑛) 𝑎1 𝑏1 = 𝑎2 𝑏2 = 𝑎3 𝑏3 = ⋯ = 𝑎 𝑛 𝑏 𝑛 = 𝑘 Observação. A razão constante, dessas sequências, é denominada fator de proporcionalidade. Exemplo. As sequências (36, 45, 6) e (12, 15, 2), nessa ordem, são diretamente proporcionais, com fator de proporcionalidade 3. 36 12 = 45 15 = 6 2 = 3 Observação. Duas grandezas são denominadas diretamente proporcionais quando a primeira aumenta (ou diminui) a segunda aumenta (ou diminui) proporcionalmente. b) Sequências inversamente proporcionais. Duas sequências numéricas, com a mesma
  38. 38. CONCURSOS . quantidade de termos, são inversamente proporcionais quando o produto entre os termos correspondentes é constante. (𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎 𝑛) e (𝑏1, 𝑏2, … , 𝑏 𝑛) 𝑎1 ∙ 𝑏1 = 𝑎2 ∙ 𝑏2 = ⋯ = 𝑎 𝑛 ∙ 𝑏 𝑛 = 𝑘 ou 𝑎1 1 𝑏1 = 𝑎2 1 𝑏2 = ⋯ = 𝑎 𝑛 1 𝑏 𝑛 = 𝑘 Exemplo. (3, 2, 6, 8) e (8, 12, 4,3) são inversamente proporcionais e com fator de proporcionalidade 24. 3 ∙ 8 = 2 ∙ 12 = 6 ∙ 4 = 8 ∙ 3 = 24 ou 3 1 8 = 2 1 12 = 6 1 4 = 8 1 3 = 24 DIVISÃO EM PARTES PROPORCIONAIS Dividir (ou repartir) um número (ou quantidade) em partes proporcionais, a vários outros números dados, significa decompô-lo em parcelas proporcionais a esses números dados. Exemplo. Dividir o número 150 em três partes diretamente proporcionais a 12, 7 e 11. Solução. Isso significa dividir o número 150 em três parcelas, tais que a razão da primeira parcela para o número 12 seja igual à razão da segunda para o número 7 e igual à da terceira para o número 11. Assim chamamos de x, y e z, respectivamente, cada uma das parcelas. Ou seja: 𝑥 12 = 𝑦 7 = 𝑧 11 Além disso, como x, y e z são as parcelas em que dividimos o número 180, devemos ter: 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 180 Utilizando a propriedade da proporção que diz “Em qualquer proporção, a soma dos antecedentes está para os consequentes, assim como, cada antecedente está para seus consequentes”, então: 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 12 + 7 + 11 = 𝑥 12 = 𝑦 7 = 𝑧 11 ou, 𝑥 12 = 𝑦 7 = 𝑧 11 = 150 30 Como 150 30 = 5 Então 𝑥 12 = 5 ⟹ 𝑥 = 12 ∙ 5 = 60 𝑦 7 = 5 ⟹ 𝑦 = 7 ∙ 5 = 35 𝑧 11 = 5 ⟹ 𝑧 = 11 ∙ 5 = 55 Sendo 60 + 35 + 55 = 150, concluímos que as partes procuradas são : 60, 35 e 55. REGRA DE TRÊS Regra de três simples. A regra de três simples é uma técnica, através da qual se resolve problema que envolve duas grandezas: diretamente proporcionais (quando as grandezas variam no mesmo sentido) ou inversamente proporcionais (quando as grandezas variam em sentido contrário), no qual é conhecido o par de valores de uma grandeza, enquanto que, na outra, é conhecido apenas um valor e deseja-se saber o segundo. Este método faz uso de proporções, que são obtidas a partir dos valores de cada grandeza. Exemplo 1: Na construção de um muro de 12m foram utilizados 2.160 tijolos. Para se construir um muro de 30m será necessário: A) 864 tijolos B) 5.400 tijolos C) 2.700 tijolos D) 2.592 tijolos E) 3.000 tijolos Exemplo 2: Se 5 torneiras enchem um tanque em 450 minutos, então 9 torneiras encheriam o mesmo tanque em: A) 900 min
  39. 39. CONCURSOS . B) 810 min C) 500 min D) 250 min E) 600 min Exemplo 3: Um avião faz certo percurso em 1h e 30min, à velocidade de 360km/h. À velocidade de 400km/h, faria o mesmo percurso em: A) 81 min B) 100 min C) 135 min D) 90 min E) 75 min Regra de três composta. Esta técnica é uma variação da regra de três simples. É aplicada quando o problema envolve mais de duas grandezas. Exemplo 1: 4 máquinas produzem 600 peças em 3 dias. Para produzir 750 peças em 5 dias serão necessários: A) 8 máquinas B) 2 máquinas C) 5 máquinas D) 3 máquinas E) 7 máquinas Exemplo 2: Numa fábrica de sapatos trabalham 16 operários e produzem em 8 horas de serviço 120 peças de calçados. Desejando ampliar as instalações para produzir 300 peças por dia, a quantia de operários necessários para assegurar essa produção de 10 horas de trabalho diário é: A) 18 B) 32 C) 24 D) 15 E) 40 Exemplo 3: Um motociclista, mantendo velocidade constante, percorre a distância de 1.080 km em 2 dias, viajando 8 horas por dia. Nas mesmas condições, quantos quilômetros ele poderá percorrer se viajar 6 horas por dia, durante 3 dias. A) 1.215 B) 1.420 C) 915 D) 540 E) 1.315
  40. 40. CONCURSOS . MÉDIA ARITMÉTICA SIMPLES E PONDERADA MÉDIA ARITMÉTICA SIMPLES A média aritmética de 𝒏 números reais é o número que se obtém somando os 𝒏 números e dividindo o resultado por 𝒏. 𝑀𝐴 = 𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥 𝑛 𝑛 Observação. A média aritmética pode ser considerada como valor de cada elemento do grupo. Exemplo: Dado um grupo de pessoas com 22, 20, 21, 24 e 20 anos, determinar a média aritmética das idades nesse grupo. 𝑀𝐴 = 22 + 20 + 21 + 24 + 20 5 = 107 5 = 21,4 Dizemos, então, que a média aritmética ou simplesmente a média de idade do grupo é de 21,4 anos. Exemplo: Em determinada região, ao medir de hora em hora a temperatura obteve-se: 14ºC às 6h, 15ºC às 7h, 15ºC às 8h, 18ºC às 9h, 20ºC às 10h e 23ºC às 11h. Qual foi a temperatura média das 6h às 11h? 𝑀𝐴 = 14 + 15 + 15 + 18 + 20 + 23 6 = 105 6 = 17,5 Dizemos, então, que no período das 6h às 11h a temperatura média foi de 17,5ºC. MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA A média aritmética ponderada de n números reais é o número que se obtém multiplicando cada número pelo seu peso, somando esses produtos e dividindo o resultado pela soma dos pesos. 𝑴𝑷 = 𝑷 𝟏 ∙ 𝒙 𝟏 + 𝑷 𝟐 ∙ 𝒙 𝟐 + ⋯ + 𝑷 𝒏 ∙ 𝒙 𝒏 𝑷 𝟏 + 𝑷 𝟐 + ⋯ + 𝑷 𝒏 Exemplo: Num grupo de 10 crianças, três tem 7 anos, cinco tem 6 anos e duas tem 5 anos. Qual é a média de idade deste grupo? 𝑴𝑷 = 𝟑∙𝟕+𝟓∙𝟔+𝟐∙𝟓 𝟑+𝟓+𝟐 = 𝟐𝟏+𝟑𝟎+𝟏𝟎 𝟏𝟎 = 𝟔𝟏 𝟏𝟎 = 𝟔, 𝟏 Observação. Como no exemplo acima, em algumas situações o peso pode ser considerado como a frequência dos valores dentro do grupo considerado. Exemplo: Um aluno que realiza vários trabalhos com pesos diferentes, isto é com graus de importância diferentes. Se no decorrer do bimestre ele obteve 6,5 na prova de peso 2, 7,0 na pesquisa de peso 3, 6,0 no debate com peso 1 e 7,0 no trabalho em equipe com peso 2 qual é a sua média que neste bimestre? 𝑀𝑃 = 2 ∙ 6,5 + 3 ∙ 7 + 1 ∙ 6 + 2 ∙ 7 2 + 3 + 1 + 2 = 6,75 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 01. A Média Aritmética de 11 números é 45. Se o número 8 for retirado do conjunto, a Média Aritmética dos números restantes será: a) 48,7 d) 42 b) 48 e) 41,5 c) 47,5 02. O salário médio, por hora de trabalho, numa fábrica de 110 trabalhadores é de R$ 5.000,00. Calculando-se,no entanto, apenas com 100 trabalhadores homens a média passa a ser R$ 5.300,00. Qual o salário médio das mulheres, por hora de trabalho, em reais? a) 3100 d) 2000 b) 2400 e) 2500 c) 4000 03. Um extrato bancário de um cliente, de um determinado mês era de R$ 20.000 em 2 dias, R$ 15.000 em 5 dias, R$ 4.000 em 8 dias e R$ 600,00 em 15 dias. Qual foi seu saldo médio? a) 5200 d) 4500 b) 3500 e) 3800 c) 5000 04. Um aluno obteve em Português a média mensal 4,5. Na primeira parcial tirou 5,5. Quanto deve tirar na prova final para ficar com a média 7,0, sendo que os pesos das respectivas provas são 3, 3 e 4?
  41. 41. CONCURSOS . a) 8,0 d) 10,0 b) 9,0 e) 6,0 c) 7,0 05. Qual a Média aritmética entre os números 8, 12 e 16? a) 13 d) 16 b) 12 e) 15 c) 33 06. As minhas notas bimestrais em Matemática, no ano passado, foram: 6, peso 2; 5, peso 2; 8, peso 3 e 7, peso 3. Que média obtive no bimestre? a) 6,0 d) 6,5 b) 6,1 e) 6,7 c) 6,2 07. Numa pesquisa envolvendo 100 pessoas para verificar a renda mensal média num determinado bairro de uma certa cidade, foram obtidos os seguintes dados: Pessoas 15 25 30 15 10 5 Salário 1 3 5 6 12 20 A renda mensal por média, por pessoa, é: a) 5,5 d) 6,5 b) 5 e) 8 c) 6 08. Qual a média ponderada dos números 7, 6 10 e 8 cujos pesos são iguais a 3, 3, 2 e 2, respectivamente? a)6,8 d)3,6 b)7,5 e)8,2 c)9,1 09. Entre sessenta números, vinte são iguais a 5, dez são iguais a 6, quinze são iguais a 8, dez são iguais a 12, e cinco são iguais a 16. Qual a média aritmética desses números? a) 7 d) 8,2 b) 7,4 e) 8,6 c) 8 10. (UFF-RJ) Cada um dos 60 alunos da turma A obteve, na avaliação de um trabalho, nota 5 ou nota 10. A média aritmética dessas notas foi 6. Determine quantos alunos obtiveram nota 5 e quantos obtiveram nota 10. TESTES DE CONCURSOS 01. (VUNESP) Suponhamos que nos vestibulares desse ano uma universidade tivesse tido, para os seus diversos cursos, uma média de 3,60 candidatos por vaga oferecida. Se para os vestibulares do ano que vem o número de vagas foi aumentado de 20% e o número de candidatos em 10%, qual a média de candidatos por vaga que essa universidade terá no próximo ano? A) 3,24 D) 3,40 B) 3,30 E) 3,46 C) 3,36 02. (VUNESP) Uma classe de 30 alunos obteve média 52 em um exame. Outra classe de 25 alunos obteve média 30 no mesmo exame. A média dos 55 alunos nesse exame foi A) 40. D) 46. B) 42. E) 48. C) 44. 03. (VUNESP) A média de idade, em anos, de quatro agentes vale M. Um novo agente de 31 anos foi integrado ao grupo e a nova média de idade desses cinco agentes passou a ser de 33 anos. Conclui-se que M, em anos, vale A) 30,5. D) 36,5. B) 33,5. E) 37,5. C) 35,5. 04. (CESGRANRIO) Uma fábrica de tecidos produziu 2.020m de tecido em janeiro, 1.950 m em fevereiro e 2.060m em março. Em média, quantos metros de tecido essa fábrica produziu, por mês, nesse trimestre? A) 1.970 D) 2.080 B) 1.990 E) 2.100 C) 2.010 05. (COVEST) Aplicou-se um teste aos alunos de uma disciplina ao qual compareceram 180 alunos. Sabendo que estes alunos foram distribuídos em turmas com 55, 60 e 65 estudantes, e que as médias aritméticas das notas obtidas, em cada uma das turmas, foram 5,2; 6,6 e 6,8; respectivamente. Indique qual foi a média aritmética aproximada das notas do referido teste. A) 6,12 D) 6,24 B) 6,16 E) 6,28 C) 6,20 06. (CESGRANRIO) O gráfico abaixo apresenta a quantidade de arroz, em kg, consumida durante uma semana na Escola Central.
  42. 42. CONCURSOS . Qual foi o consumo médio diário de arroz, em kg, nessa semana? A) 10,48 D) 12,88 B) 11,60 E) 13,20 C) 12,64 07. (COVEST) Aplicou-se um teste aos alunos de uma disciplina ao qual compareceram 180 alunos. Sabendo que estes alunos foram distribuídos em turmas com 55, 60 e 65 estudantes, e que as médias aritméticas das notas obtidas, em cada uma das turmas, foram 5,2; 6,6 e 6,8; respectivamente. Indique qual foi a média aritmética aproximada das notas do referido teste. A) 6,12 D) 6,24 B) 6,16 E) 6,28 C) 6,20 08. (COVEST) Suponha que um país A tem uma renda per capita anual de 20.000 dólares e uma população de 50 milhões de habitantes. Um outro país B tem uma renda per capita de 10.000 dólares e uma população de 20 milhões. Se os dois países se fundirem para formar um novo país, a renda per capita resultante estará mais próxima de qual valor abaixo? A) 30.000 dólares D) 17.000 dólares B) 20.000 dólares E) 15.000 dólares C) 18.000 dólares 09. (COVEST) Numa turma, com igual número de moças e rapazes, foi aplicada uma prova de matemática. A média aritmética das notas das moças foi 9,2 e a dos rapazes foi 8,8. Qual a média aritmética das notas de toda a turma nesta prova? A) 7 D) 9,1 B) 8,9 E) 9,2 C) 9 10. (COVEST) A média aritmética dos 62 alunos de uma turma foi 5,4. Excluindo a menor nota, que foi 3,2, e a maior, que foi 8,8, qual a média aritmética dos 60 alunos restantes? A) 5,38 D) 5,32 B) 5,36 E) 5,30 C) 5,34 11. (COVEST) Em uma repartição, trabalham seis mulheres e quatro homens. A média das idades das mulheres é de 45 anos, e a média das idades dos homens é de 40 anos. Qual a média das idades dos trabalhadores da repartição? A) 42 anos D) 45 anos B) 43 anos E) 46 anos C) 44 anos
  43. 43. CONCURSOS . PORCENTAGEM Razão centesimal Toda a razão que tem para consequente o número 100 denomina-se razão centesimal. Alguns exemplos: 100 110 ; 100 5,12 ; 100 10 ; 100 2 Podemos representar uma razão centesimal de outras formas: %202,0 100 2  %1010,0 100 10  %5,12125,0 100 5,12  %11010,1 100 110  As expressões 2%, 10% e 110% são chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais. É frequente o uso dessas expressões percentuas para indicar acréscimos ou reduções em preços, números ou quantidades. Exemplos:  A gasolina teve um aumento de 15%. Significa que em cada R$ 100,00 houve um acréscimo de R$ 15,00.  O cliente recebeu um desconto de 10% em todas as mercadorias. Significa que em cada R$ 100,00 foi dado um desconto de R$ 10,00.  Dos candidatos que se inscreveram para um concurso público, 60% eram alunos de cursinhos preparatório. Significa que em cada 100 candidatos inscritos, 60 se prepararam em cursinhos. Considere o seguinte problema: João vendeu 50% dos seus 50 cavalos. Quantos cavalos ele vendeu? Solução: Para solucionar esse problema devemos aplicar a taxa percentual (50%) sobre o total de cavalos. cavalosde 25 100 2500 50 100 50 50%50  Logo, ele vendeu 25 cavalos, que representa a porcentagem procurada. Portanto, chegamos a seguinte definição: Porcentagem é o valor obtido ao aplicarmos uma taxa percentual a um determinado valor. EXERCÍCIOS DE ASSIMILIÇÃO 1) Calcule: a) 50% de 36 f) 3,2% de 250 b) 25% de 256 g) 0,5% de 224 c) 75% de 9 h) 100% de 48 d) 120% de 360 i) 3% de 25 e) 270% de 960 j) 45% de 450 2) Quarenta por cento da terça parte de 2.400 é igual a: a) 320 b) 960 c) 800 d) 420 3) Se 1,5% de uma produção sai com defeito, quantas das 5 400 facas que produz uma fabrica saem defeituosas? a) 80 facas c) 85 facas b) 81 facas d) 91 facas 4) Numa classe de 45 alunos, 40% são meninas. Quantos são os meninos? a) 27 b) 25 c) 23 d) 21 5) Um jogador de futebol, ao longo de um campeonato, cobrou 75 faltas, transformando em gols 8% dessas faltas. Quantos gols de falta esse jogador fez? a) 6 b) 10 c) 12 d) 15
  44. 44. CONCURSOS . 6) Arthur ganha R$ 320,00 por mês. Ele contribui com o sindicato com uma taxa de 2%. Qual o valor que Arthur paga ao sindicato? a) R$ 6,00 c) R$ 6,20 b) R$ 6,40 d) R$ 7,00 7) Roseane quer comprar um fogão. O preço a prazo é R$ 250,00. Se ela pagar à vista, terá 20% de desconto. Qual o preço do fogão à vista? a) R$ 180,00 c) R$ 220,00 b) R$ 200,00 d) R$ 50,00 8) Em um colégio, 25% dos alunos são rapazes e 35% são moças. Sabendo-se que existem 600 crianças, calcule o número de alunos do colégio. a) 1500 c) 1200 b) 1400 d) 1000 9) Num quintal, 25% dos animais são galinhas; 35% são patos. Sabendo-se que há 80 perus, calcule quantos animais existem no quintal. a) 100 c) 200 b) 150 d) 250 10) Em um Banco, 10% dos funcionários são chefes, 30% são escriturários, havendo 12000 auxiliares. Calcule o numero de funcionários do Banco. a) 18000 c) 25000 b) 20000 d) 30000 AUMENTOS E DIMINUIÇÕES PERCENTUAIS Quando falamos em aumentos ou diminuições em porcentagem precisamos de uma maneira prática para resolver os problemas. Sendo assim, oferecemos a fórmula:  iVV IF  1 Onde: FV → Valor Final IV → Valor Inicial i → porcentagem em decimal ATENÇÃO: → Usa-se o sinal de mais se o problema se referir a aumento percentual. → Usa-se o sinal de menos se o problema se referir a diminuição percentual. Exemplo 1: Uma mercadoria custa R$ 520,00, mas sofrerá um aumento de 15%. Qual o novo valor da mercadoria após o reajuste? Exemplo 2: Uma geladeira custa R$ 1.240,00, mas sofrerá um aumento de R$ 220,00. Qual a taxa percentual de aumento? Exemplo 3: Paguei uma duplicata de R$ 12.000,00 com 20% de abatimento. Calcule o valor liquido pago. Exemplo 4: Um comerciante recebeu um desconto de R$ 300,00 numa compra cujo valor era de R$ 2.400,00. Calcule a taxa de desconto. CALCULO DE VARIAÇÃO DE TAXAS PERCENTUAIS

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