1. O documento apresenta 24 exercícios resolvidos sobre o triângulo de Pascal. 2. Os exercícios envolvem identificar elementos específicos de linhas do triângulo a partir de informações fornecidas, como a soma de elementos ou a probabilidade de escolha de elementos. 3. As resoluções demonstram propriedades matemáticas do triângulo de Pascal, como a igualdade entre elementos simétricos e a relação entre elementos de linhas consecutivas.

1. numerosnamente 1
Triângulo de Pascal
Exercícios Resolvidos
1- Uma linha do triângulo de Pascal tem 15 elementos. Quantos elementos dessa linha
são inferiores a 100.
Resolução:
Uma linha tem 15 elementos logo: n+1=15  n=14 ; estamos a trabalhar na linha 14.
Na linha 14 sabemos que o 2º elemento dessa linha é igual ao nº da linha:
1 14 ….. 14 1
1 14 91 364 364 91 14 1
-São 6 elementos inferiores a 100.
2- Uma certa linha do triângulo de Pascal é constituída por todos os elementos da forma
. Escolhido, ao acaso, um elementos dessa linha, qual é a probabilidade de ele ser o
nº 14?
Resolução:
Elementos da forma , vemos que estamos a trabalhar na linha 14. Esta linha tem
n+1 elementos (15 elementos).
1 14 ….. 14 1
1 14 14 1
O nº 14 aparece 2 vezes: Os casos favoráveis = 2; casos possíveis=nº de elementos da
linha (15)
3- No triângulo de Pascal, considere a linha que contém os elementos da forma .
Quantos elementos desta linha são menores do que ?
a) 8 ; b) 6 ; c) 5 ; d) 3
Resolução:
1 ….. 1
São menores que são menores que
Temos assim 4 + 4 elementos = 8  opção a)

2. numerosnamente 2
4- A soma dos dois últimos termos de uma certa linha do triângulo de Pascal é 31. Qual é
o quinto elemento da linha anterior?
a) 23751 ; b) 28416 ; c) 31465 ; d) 36534
Resolução:
Soma dos dois últimos = 31 = soma dos dois primeiros = 31 ; o 1º elemento é sempre
1, logo o 2º elemento é 30. Estamos a falar da linha 30; A linha anterior é a linha 29.
Assim o quinto elemento da linha 29 é igual  opção a)
5- De uma certa linha do triângulo de Pascal, sabe-se que a soma dos dois primeiros
termos é 21. Qual é o maior termo dessa linha?
a) 169247 ; b) 17524 ; c) 184756 ; d) 193628
Resolução:
Como a soma dos dois primeiros termos = 21 e sendo o 1º termo = 1 e o 2º termo=20,
estamos na presença da linha 20. O nº de elementos desta linha é 21. Como é um nº
impar de elementos, o maior termo é o seu termo médio:
1 20 ….. 20 1
São 10 termos são 10 termos
Termo médio =  opção c)
6- Na sequência seguinte os três primeiros elementos e os três últimos elementos de
uma linha do triângulo de Pascal são:
1 15 105 ….. 105 15 1
São escolhidos, ao acaso, dois elementos dessa linha. Qual é a probabilidade de a
soma desses elementos ser igual a 105?
a) 1 ; b) ; b) ; d) 0
Resolução:
1 15 105 …. 105 15 1
Pela distribuição dos elementos nunca se consegue obter uma soma igual a 105 e além
disso os elementos da forma
Assim a probabilidade é zero (opção d)

3. numerosnamente 3
7- Numa certa linha do triângulo de Pascal, o penúltimo elemento é 111. Escolhe-se, ao
acaso, um elemento dessa linha. Qual é a probabilidade de esse elemento ser maior
que ?
a) ; b) ; c) ; d)
Resolução:
O penúltimo elemento é igual ao 2º elemento e como o 2º elemento dá-nos a linha,
estamos assim na linha 111.
1 111 ……. 111 1
Então sabemos que temos os três primeiros termos inferiores a e os três
últimos termos também inferiores a . São 6 elementos inferiores a
Como temos 111+1=112 elementos = casos possíveis e se retirarmos 6 elementos
obtemos 112-6=106 casos possíveis;
 opção b)
8- Considere a linha do triângulo de Pascal em que o produto do segundo elemento pelo
penúltimo elemento é 484. Qual é a probabilidade de escolher, ao acaso, um elemento
dessa linha que seja superior a 1000?
a) ; b) ; c) ; d)
Resolução:
O produto da 2º elemento pelo penúltimo = 484; o 2º elemento é sempre igual ao
penúltimo:
1 …. 1
 
, pois o 2º elemento dá-nos a linha que se vai
trabalhar.
Esta linha tem 22+1 = 23 elementos (casos possíveis)
1 231 1540 …. 1540 231 22 1
Temos os três primeiros elementos inferiores a 1000 e os últimos três elementos
inferiores a 1000. Ao todos são 6 elementos inferiores a 1000.
Os elementos superiores são: 23-6=17 (casos favoráveis)

4. numerosnamente 4
opção c)
9- A soma dos dois primeiros termos de uma certa linha do triângulo de Pascal é 13.
Quantos elementos dessa linha são menores do que 70?
a) 2 ; b) 4 ; c) 6 ; d) 8
Resolução:
A soma dos dois primeiros termos = 1 + = 13  …estamos na presença da
linha 12.
1 12 66 220 …. 220 66 12 1
temos os três primeiros e os três últimos: 6 elementos  opção c)
10- Uma certa linha do triângulo de Pascal tem exatamente 9 elementos. Escolhe-se, ao
acaso, dois desses 9 elementos. Qual é a probabilidade de escolher dois números cujo
produto seja igual a 8?
a) 0 ; b) ; c) ; d)
Resolução:
9 elementos   (linha 8)
1 8 28 ……… 28 8 1
.Para o produto dar 8 temos: ( a ordem não interessa )
- 1º elemento x 2º elemento = 8
- 1º elemento x penúltimo elemento = 8
- penúltimo elemento x último elemento = 8
- penúltimo elemento x 1º elemento = 8
Temos assim 4 casos favoráveis e 9 casos possíveis:
 opção d)
11- Numa certa linha do triângulo de Pascal, o segundo elemento é 2009. Quantos
elementos dessa linha são maiores do que um milhão?
a) 2004 ; b) 2005 ; c) 2006 ; d) 2007

5. numerosnamente 5
Resolução:
Sabendo que o segundo elemento é 2009, estamos na presença da linha 2009.
1 2009 2 017 036 ……… 2 017 036 2009 1
Só temos os dois primeiros termos e os dois últimos termos, que são inferiores a um
milhão.
Nº de elementos = 2009 + 1 = 2010
2010 – 4 = 2006 elementos superiores a um milhão: opção c)
12- O terceiro elemento de uma certa linha do triângulo da Pascal é 55. Qual é o
penúltimo elemento dessa linha?
a) 10 ; b) 11 ; c) 12 ; d) 13
1 55 …. 55 1
.
Se … =45
Se … = 55 ….. ok
Opção b)
13- A soma de todos os elementos de uma certa linha de um triângulo de Pascal é igual a
256. Qual é o terceiro elemento dessa linha?
Resolução:
A soma de todos os elementos de uma qualquer linha do triângulo de Pascal é
  … estamos na oitava linha;
1º elemento =
2º elemento =
3º elemento = = 28

6. numerosnamente 6
14- Na figura estão representados os quatro últimos elementos de uma certa linha do
triângulo de Pascal.
1
Como a figura sugere, três dos elementos foram substituídos pelas letras p, m e n.
Sabe-se que:
- a soma dos quatro elementos representados na figura é 2796417
- a soma dos quatro últimos elementos da linha seguinte é 2829314
Determine
Resolução:
A soma dos quatro últimos é igual à soma dos quatro primeiros. Logo estamos a
trabalhar com os quatro últimos = quatro primeiros.
… … 1 (linha anterior)
1 (linha seguinte)
{
( ) ( ) ( )

 {  {  
 ( )
32896 
( )( )
( )
32896  32896 
 0  ; = 32640 ; =2763520
15- Considere a linha do triângulo de Pascal em que a soma dos dois primeiros elementos
com os dois últimos elementos é igual a 20. Escolhendo, ao acaso, um elemento dessa
linha, qual é a probabilidade de ele ser par?
Resolução:
1 …. 1
 
Estamos na linha 9
1º elemento=
2º elemento=
3º elemento=
4º elemento=
5º elemento=
6º elemento=

7. numerosnamente 7
7º elemento=
8º elemento=
9º elemento=
10º elemento=
Casos possíveis = 10
Casos favoráveis = 6
16- A soma dos três primeiros termos de uma certa linha do triângulo de Pascal é 121.
Qual é o terceiro elemento da linha seguinte?
Resolução:
1 + + = 121 
1
Assim o 3º elemento da linha seguinte é 120
17- Considere a linha do triângulo de Pascal em que o segundo elemento é 35. Escolhem-
se, ao acaso, dois elementos dessa linha. Qual é a probabilidade de estes dois
elementos serem iguais?
Resolução:
Segundo elemento = 35  estamos na presença da linha 35. Esta linha tem 36
elementos
= ;
Temos assim que os elementos equidistantes dos extremos são iguais 2 a 2. Temos 18
elementos iguais a 18 elementos ou seja 18 pares de elementos iguais.
18- O quarto número de uma certa linha do triângulo de Pascal é 19600. A soma dos
quatro primeiros números dessa linha é 20876. Qual é o terceiro número da linha
seguinte?
Resolução:
1 x y 19600
1 1+x x+y
1+x+y+19600 = 20876  x+y=1275

8. numerosnamente 8
19- No triângulo de Pascal, existe uma linha com onze elementos. Seja “a” o maior número
dessa linha. Qual é o valor de “a”?
Resolução
A linha tem onze elementos: logo o maior valor é o seu termo médio
20- a b c d e f g representa uma linha completa do triângulo de Pascal, onde todos os
elementos são substituídos por letras. Qual das seguintes igualdades é verdadeira?
a) ) ) )
Resolução:
Vemos que a linha tem 7 elementos = estamos na linha 6 (n+1=7)
Então Opção b)
21- Considere duas linhas consecutivas do triângulo de Pascal, das quais se
reproduzem alguns elementos:
……. 36 a 126 ……..
…… 120 b …..
Indique o valor de b ?
Resolução:
36 + a =120 ; a + 126 = b
a= 84 ; b = 210
21- O terceiro elemento de uma linha do triângulo de Pascal é 61075. A soma dos três
primeiros elementos dessa linha é 61426. Qual é a soma dos três últimos elementos da
linha seguinte?
Resolução:
1 x 61075
1 1+x x+61075
1 + x + 61075 = 61426  x= 350
Os primeiros três elementos da linha seguintes são iguais aos três últimos elementos
dessa linha:

9. numerosnamente 9
1 351 61425 …. A sua soma= 1+351+61425=61777
22- Determine os números em falta no triângulo de Pascal seguinte:
Resolução:
23- Considere a seguinte parte inicial do triângulo da Pascal:

10. numerosnamente 10
Acrescenta-lhe as duas linhas seguintes.
Resolução:
24- A soma dos três últimos elementos de uma linha do triângulo de Pascal é 106. Qual a
soma dos dois primeiros elementos dessa linha?
Resolução:
Os três últimos elementos são iguais aos três primeiros elementos. A letra “a” é que
nos dá a linha que estamos a trabalhar. Assim:
1 a b …… b a 1
( )

( )( )
( )

 
( )