ALGEBRA LINEAR

1. Equação do Plano
Aula - 06

2. A B
C

Equação Vetorial do Plano

3. A B
C
Equação Vetorial do Plano

4. Equação Vetorial do Plano
A
B
C

AB X
AX
AC
uur
X
y
z
O

5. X Î ,AX ABÛ
uur uur
e AC
uur
.L D Û e  Î ¡
AX AB AC = +
uur uur uur
OX OA AX= +
uur uur uur
AX AB AC = +
uur uur uur
,OX OA AB AC = + +
uur uur uur uur
,  Î ¡
Equação Vetorial do Plano
A
B
C

AB X
AX
AC
uur
X
y
z
O

6. ,OX OA AB AC = + +
uur uur uur uur
,  Î ¡
( , , )u u uAB u x y z= =
uur r
, ( , , )v v vAC v x y z= =
uur r
1 1 1( , , ) ( , , )x y z x y z= ( , , )u u ux y z+ + ( , , )v v vx y z ,  Î ¡
Equação Vetorial do Plano
1 1 1 2 2 2 3 3 3( , , ), ( , , ), ( , , )A x y z B x y z C x y z

7. 1
1
1
( ) ( )
: ( ) ( ) , ,
( ) ( )
u v
u v
u v
x x x x
y y y y
z z z z
 
    
 
ì = + +ïïï = + + Îí
ïï = + +ïî
R
Equação Paramétrica do Plano
1 1 1 2 2 2 3 3 3( , , ), ( , , ), ( , , )A x y z B x y z C x y z
( , , )u u uAB u x y z= =
uur r
, ( , , )v v vAC v x y z= =
uur r

8. Determine as equações vetorial e paramétrica
do plano determinado pelos pontos
(2,1, 1), (3,5, 6)A B- - e (0,2, 4).C -
Exemplo

9. (2,1, 1), (3,5, 6)A B- - e (0,2 4)C -
:( , , ) (2,1 1)x y z = - (1,4, 5) ( 2,1, 3) + - + - - ,  Î R
2 2
: 1 4
1 5 3
x
y
z
 
  
 
ì = + -ïïï = + +í
ïï = - - -ïî
,  Î R
Solução

10. X
P
n
r

Plano dados o Vetor Normal e um Ponto

11. . 0n PX =
uur uur
( , , )X x y z
0 0 0( , , ).( , , ) 0a b c x x y y z z- - - =
0 0 0( ) ( ) ( ) 0a x x b y y c z z- + - + - =
0 0 0. . . . . . 0a x a x b y b y c z c z- + - + - =
Plano dados o Vetor Normal e um Ponto
X
P
n
r

0 0 0. . . ( . . . ) 0a x b y c z a x b y c z+ + - + + =
. . . 0a x b y c z d+ + + =
d-
14444442 4444443
(Equação geral do plano)
( , , )n a b c =
r

12. Determine a equação geral do plano que passa
pelo ponto , sendo
um vetor normal ao plano .

(3, 1 , 3)P - ( 2, 1, 2 )n= -
r

Exemplo

13. (3, 1 , 3)P -( 2, 1, 2 )n= -
r
P
n
r

Exemplo

14. 0ax by cz d+ + + =
2 3 0x y z d+ + + =
?d = (3, 1 , 3)P -
2.3 ( 1) 2.3 0d+ - - + = 1dÞ =
2 2 1 0x y z+ - + =
Exemplo
( 2, 1, 2 )n= -
r
(3, 1 , 3)P -

15. u
r
v
r
0P

Plano dados por um ponto e dois vetores não colineares
e então temos o vetor normal e
um ponto do plano, caindo no caso anterior.
n u v= ´
r r r

16. Exemplo
Determine a equação geral do plano , que passa
pelo ponto e é paralelo ao vetores
e .

(0,1, 1)P -
(2, 4,5)u = -
r
( 2,3,0)v = -
r

17. Solução
(2, 4,5)u = -
r
( 2,3,0)v = -
r
2 4 5
2 3 0
i j k
n u v= ´ = -
-
r r r
r rr
( 15, 10, 2)n= - - -
r
15 10 2 0x y z d- - - + =
(0,1, 1)P -
8d =
15.0 10.1 2( 1) 0d- - - - + =
15 10 2 8 0x y z- - - + =
0ax by c z d+ + + =

18. A B
C

Plano que passa por três pontos

19. A B
C
Plano que passa por três pontos
Caindo no caso de um ponto do plano e seu
vetor normal.
n AB AC= ´
uur uurr

20. Determine a equação geral do plano , que passa
pelos pontos e .

(2,1, 1), (3,5, 6)A B- - (0,2 4)C -
Exemplo

21. u AB=
r uur
v AC=
r uur
(1,4, 5)u= -
r
( 2,1, 3)v= - -
r
1 4 5
2 1 3
i j k
u v´ = -
- -
r r r
r r
( 7,13,9)u v´ = -
r r
7 13 9 0x y z d- + + + =
7.2 13.1 9( 1) d 0- + + - + =
(2,1, 1), (3,5, 6)A B- - (0,2 4)C -
Substituindo (2,1, 1)A -
d 10=
7 13 9 10 0x y z- + + + =
Solução

22. Obrigado!