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Equação do 1º grau
O que você
sabe sobre
equações?
Para aproveitar 100% dessa
 aula você precisa saber:
O Conjuntos dos Números Inteiros e
 todas as operações

O Conjuntos dos Números Racionais
 e todas as operações
O que são expressões
         algébricas?
    São expressões matemáticas que
apresentam uma variável (representada
por uma letra)

Exemplos:
 3x (o triplo de um número)
 y – 4 (um número menos 4)
 2m – 1 (o dobro de um número menos 1)
Expressões algébricas são expressões
 matemáticas que apresentam variáveis.

Expressões      Expressões
                                 Variáveis
 Algébricas     Matemáticas
Tente fazer sozinho!
    Escolha uma letra para representar um
número e traduza para a linguagem simbólica
Matemática cada expressão abaixo:

e)   O triplo desse número mais dez
f)   Esse número menos quatro
g)   O quádruplo desse número
h)   A terça parte desse número
i)   Três quartos desse número
Solução
 O triplo desse número mais dez: 3x + 10
      3            x        +   10

 Esse número menos quatro: x – 4
              x   -         4


 O quádruplo desse número: 4x
          4             x

                               x
d) A terça parte desse número:
     1/3                 x     3
                             3
e) Três quartos desse número: x
      3/4               x    4
O que é valor numérico?
     É o valor obtido quando trocamos as
variáveis de uma expressão algébrica por
números.

Exemplo:

 3x + 5, para x = -6
  3 (- 6) + 5 = -18 + 5 = -13

 a2 – 2ab + b2, para a = -5 e b = 2
 (- 5)2 – 2 . (- 5) . 2 + 22 = 25 + 20 + 4 = 49
Valor Numérico é o valor obtido quando
trocamos as variáveis de uma expressão
algébrica por números.


 Valor                     Trocar variáveis
Numérico        Valor
                            por números
Expressões
                             Variáveis
              Matemáticas
Expressões
 Algébricas    Valor                    Trocar
                            Valor     variáveis
              Numérico
                                     por números
Encontre o erro!
  Calcule o valor numérico da expressão
algébrica 3x – y – xy, para x = 2 e y = -2.

Solução de um aluno:

3.2 - 2 – 2 . (-2) =
6 -2 + 4 =
4+4=8
Solução
3x – y – xy, para x = 4 e y = -2.
Solução de um aluno:
3.4 - 2 – 4 . (-2) =
12 -2 + 8 =
10 + 8 = 18

Solução correta:
3 . (4) – (- 2) – (4) . (- 2) =
12 + 2 + 8 =
14 + 8 = 22
Como simplificamos expressões
           algébricas?
Fazendo a redução dos termos semelhantes.

   O que são termos semelhantes?
  São termos que apresentam a mesma parte
literal.
          O que é parte literal?
 É a parte em que aparecem as letras, ou
seja, a parte das variáveis.
Expressões         Parte
                                                Variáveis
              Matemáticas        Literal

Expressões     Valor                       Trocar variáveis
                              Valor
 Algébricas   Numérico                      por números


              Simplificação                         Termos
                                 Redução
                                                  semelhantes
Exemplos de termos
          semelhantes:
 3a e 5a

 7xy e 8xy

Observação:
200x e 200y não são termos semellhantes.
12x e 8xy não são termos semelhantes.
Como reduzimos os termos
           semelhantes?
    Basta somar ou subtrair os coeficientes
 dos termos semelhantes.

Exemplos:
 – 4x + 6y + 10x – 2y – x = 5x + 4y

 x + 7y + 10y – 3x = - 2x + 17y

 x – y + 3x – 2y – 4x = - 3y
Expressões        Parte
                                               Variáveis
              Matemáticas       Literal

Expressões     Valor                      Trocar variáveis
                            Valor
 Algébricas   Numérico                     por números

                              Termos                 Soma
              Redução
                            semelhantes              Subtração
Vamos praticar!

Qual é o perímetro da figura abaixo?

               y+1

        y                 y

               y–2
Solução
           y+1

   y                   y

           y–2
y + y + 1 + y + y – 2 = 4y – 1
Caso exista um número multiplicando
a expressão algébrica, usaremos a
propriedade distributiva.

Exemplos:

 3 (2x - 4) = 6x – 12

 7 (y + 5) = 7y + 35
Expressões        Parte
                                               Variáveis
              Matemáticas       Literal

Expressões     Valor                      Trocar variáveis
                            Valor
 Algébricas   Numérico                     por números
                                                     Soma
                              Termos
              Redução                                Subtração
                            semelhantes
                                                     Distributiva
Encontre o erro!
  Simplificando a expressão abaixo, um aluno
cometeu um erro. Você consegue descobrir?

         4 (x – 1) + 3 (x + 1) =
         4x – 4 + 3x + 3 =
         7x – 1 =
         6x
Solução

 4 (x – 1) + 3 (x + 1) =
 4x – 4 + 3x + 3 =
 7x – 1 =
 6x (errado)

Resposta correta: 7x – 1
O que é equação?
 É toda expressão matemática que apresenta
uma expressão algébrica e uma igualdade.

Exemplos:

 7x + 5 = 4
                        Tudo que está antes
                     do sinal de igual é chamado
 2y2 – 3y + 7 = 0          de 1º membro.
                        Tudo que está depois
                     do sinal de igual é chamado
 2a – 8 = 3a – 10         de 2º membro.
Igualdade
                        Expressões        Parte
                                                         Variáveis
                        Matemáticas       Literal
Equação

          Expressões     Valor                      Trocar variáveis
                                      Valor
           Algébricas   Numérico                     por números

                                                               Soma
                                        Termos
                        Redução                                Subtração
                                      semelhantes
                                                               Distributiva
O que é equação do 1º grau?
   É a equação, cujo expoente de todas as
variáveis é 1.

Exemplos:

 3x + 5 = 12

 24 – y + 8y = 36
Igualdade

                              Expressões        Parte
                                                               Variáveis
                              Matemáticas       Literal


          Expressões          Valor                       Trocar variáveis
Equação                                     Valor
           Algébricas        Numérico                      por números

                                                                     Soma
                                              Termos
                             Redução                                 Subtração
                                            semelhantes
                                                                     Distributiva
          1º grau     Variável expoente 1
O que é raiz de uma equação?
  É o número que, colocado no lugar da
variável, torna a igualdade verdadeira.

Exemplos:
 x – 2 = 0 (a raiz é igual a 2, pois quando
 colocamos o 2 no lugar do x, a igualdade é
 verdadeira, ou seja, 2 – 2 = 0).

 3x – 4 = 11 (a raiz é igual a 5, pois quando
 colocamos o 5 no lugar do x, a igualdade é
 verdadeira, ou seja, 3.5 – 4 = 15 – 4 = 11).
Igualdade

                              Expressões           Parte
                                                                  Variáveis
                              Matemáticas          Literal


          Expressões          Valor                          Trocar variáveis
                                               Valor
           Algébricas        Numérico                         por números

Equação                                                                 Soma
                                                 Termos
                             Redução                                    Subtração
                                               semelhantes
                                                                        Distributiva
          1º grau     Variável expoente 1



          Raiz da      Número     Igualdade
          equação                 verdadeira
O que são equações equivalentes?
  São equações que apresentam a mesma
solução.

Exemplo:
3x + 2 = 8    e   3x = 6
3.2 + 2 = 8       3.2 = 6
6+2=8

  O número 2 é solução das duas equações,
logo, dizemos que elas são equivalentes.
Igualdade

                              Expressões           Parte
                                                                  Variáveis
                              Matemáticas          Literal


          Expressões          Valor                          Trocar variáveis
                                               Valor
           Algébricas        Numérico                         por números

                                                                        Soma
                                                 Termos
                             Redução                                    Subtração
Equação                                        semelhantes
                                                                        Distributiva
          1º grau     Variável expoente 1



          Raiz da                 Igualdade
                       Número
          equação                 verdadeira


          Equivalência     Mesma raiz
Quais são os princípios de
equivalência das igualdades?

   Princípio aditivo das igualdades



   Princípio multiplicativo das igualdades
Igualdade

                              Expressões              Parte
                                                                     Variáveis
                              Matemáticas             Literal


          Expressões          Valor                             Trocar variáveis
                                               Valor
           Algébricas        Numérico                            por números

                                                                           Soma
                                                  Termos
                             Redução                                       Subtração
Equação                                        semelhantes
                                                                           Distributiva
          1º grau     Variável expoente 1



          Raiz da                 Igualdade
                      Número
          equação                 verdadeira

                             mesma raiz
          Equivalência                      Aditivo
                             princípios
                                            Multiplicativo
Princípio Aditivo
  Adicionando ou subtraindo um mesmo número
aos dois membros de uma equação, obtemos
uma equação equivalente à equação dada.

Exemplo:

x + 5 = 15 – 3x                 Equações
x + 5 – 5 = 15 – 3x – 5
                              Equivalentes
x = 10 – 3x
Princípio Multiplicativo
  Multiplicando ou dividindo os dois membros de
uma equação, por um número diferente de zero,
obtemos uma equação equivalente à equação
dada.

Exemplo:

 x + 5 = 15 – 3x                  Equações
( x + 5 ).2 = (15 – 3x).2
                                 Equivalentes
 2x + 10 = 30 – 6x
Como calculamos a raiz de uma
           equação?
  Usando, convenientemente, os Princípios de
  Equivalência, de modo que um dos membros
                        não
tenha variável e o outro seja a variável (x).

Exemplos:

x–3=6
 x–3+3=6+3
 x=9
 10x = 30 – 5x
  10x + 5x = 30 – 5x + 5x
  15x = 30
  15x : 15 = 30 : 15
  x=2
 6x – 3 = 3x + 7 – 2x
  6x – 3 – 6x = 3x + 7 – 2x – 6x
   - 3 = -5x + 7
  - 3 – 7 = -5 x + 7 – 7
  - 10 = - 5x
   - 10 : (- 1) = - 5x : (- 1)
  10 : 5 = 5x : 5
  2=x
 2 (x + 6) = 4 (x + 2)
  2x + 12 – 2x = 4x + 8 – 2x
  12 = 2x + 8
  12 – 8 = 2x + 8 – 8
  4 = 2x
  4 : 2 = 2x : 2
  2=x
Resolvendo com o macete!
x–3=6
  x=6+3
  x=9
 10x = 30 – 5x
  10x + 5x = 30
  15x = 30
   x = 30 : 15
   x=2
 6x – 3 = 3x + 7 – 2x
  – 3 – 7 = 3x – 2x – 6x
  – 10 = - 5x
  – 10 : (- 5) = x
  2=x
 2 (x + 6) = 4 (x + 2)
  2x + 12 = 4x + 8
  12 – 8 = 4x – 2x
   4 = 2x
   4:2=x
   2=x
Igualdade
                              Expressões             Parte
                                                                         Variáveis
                              Matemáticas            Literal


          Expressões          Valor                              Trocar variáveis
                                                Valor
           Algébricas        Numérico                             por números

                                                                                Soma
                                                   Termos
                             Redução                                            Subtração
Equação                                         semelhantes
                                                                                Distributiva
          1º grau     Variável expoente 1


          Raiz da                 Igualdade
                      Número
          equação                 verdadeira
                                            mesma raiz
                        Equivalência                           Aditivo
                                            princípios
           Cálculo                                             Multiplicativo
                         Membro = x
                          Outro membro sem variável
Como devemos proceder se a
   equação apresentar fração?
  Basta igualar todos os denominadores e
eliminá-los em seguida.
Exemplo: 2 x + 1 = 5 x − 4
           3 2 6
          2 x 1 5x
              + =        −4
           3 2 2 3 61 1 6
          4 x + 3 = 5 x − 24
          27 = x
Igualdade
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                        Equivalência                           Aditivo
                                            princípios
          Cálculo                                              Multiplicativo
                        Membro = x
                         Outro membro sem variável

                         Fração     Igualar e eliminar denominador
Tente fazer sozinho!

   Resolva a equação:
3x x + 3        6− x 1
   +     = 2x −     +
 2   4           6    2
Solução
3x x + 3        6− x 1
   +     = 2x −     +
 2 6 4 3 1 12 6 2 2               6
6(3 x) + 3( x + 3) = 12(2 x) − 2(6 − x) + 6
18 x + 3 x + 9 = 24 x − 12 + 2 x + 6
21x + 9 = 26 x − 6
9 + 6 = 26 x − 21x
15 = 5 x
15
   =x
 5
3= x
O que você aprendeu:
 O que são expressões algébricas
 Valor numérico
 Redução dos termos semelhantes
 O que são equações do primeiro grau
 O que é raiz de uma equação
 Como calcular a raiz de uma equação
 do 1º grau, se tiver ou não fração
Bibliografia
• Bianchini, Edwaldo – Matemática 6ª série (7º
  ano), 6ª edição – 1998, Editora Moderna.
  Páginas: 82 até 117.
• Silveira, Ênio; Marques, Cláudio – Matemática
  6ª série, 1ª edição – 2002, Editora Moderna.
  Páginas: 64 até 87.
• Iezzi, Gelson; Dolce, Osvaldo; Machado,
  Antonio – Matemática e Realidade Ensino
  Fundamental 6ªsérie 7º ano, 5ªedição – 2005,
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  • 2. O que você sabe sobre equações?
  • 3. Para aproveitar 100% dessa aula você precisa saber: O Conjuntos dos Números Inteiros e todas as operações O Conjuntos dos Números Racionais e todas as operações
  • 4. O que são expressões algébricas? São expressões matemáticas que apresentam uma variável (representada por uma letra) Exemplos:  3x (o triplo de um número)  y – 4 (um número menos 4)  2m – 1 (o dobro de um número menos 1)
  • 5. Expressões algébricas são expressões matemáticas que apresentam variáveis. Expressões Expressões Variáveis Algébricas Matemáticas
  • 6. Tente fazer sozinho! Escolha uma letra para representar um número e traduza para a linguagem simbólica Matemática cada expressão abaixo: e) O triplo desse número mais dez f) Esse número menos quatro g) O quádruplo desse número h) A terça parte desse número i) Três quartos desse número
  • 7. Solução  O triplo desse número mais dez: 3x + 10 3 x + 10  Esse número menos quatro: x – 4 x - 4  O quádruplo desse número: 4x 4 x x d) A terça parte desse número: 1/3 x 3 3 e) Três quartos desse número: x 3/4 x 4
  • 8. O que é valor numérico? É o valor obtido quando trocamos as variáveis de uma expressão algébrica por números. Exemplo:  3x + 5, para x = -6 3 (- 6) + 5 = -18 + 5 = -13  a2 – 2ab + b2, para a = -5 e b = 2 (- 5)2 – 2 . (- 5) . 2 + 22 = 25 + 20 + 4 = 49
  • 9. Valor Numérico é o valor obtido quando trocamos as variáveis de uma expressão algébrica por números. Valor Trocar variáveis Numérico Valor por números
  • 10. Expressões Variáveis Matemáticas Expressões Algébricas Valor Trocar Valor variáveis Numérico por números
  • 11. Encontre o erro! Calcule o valor numérico da expressão algébrica 3x – y – xy, para x = 2 e y = -2. Solução de um aluno: 3.2 - 2 – 2 . (-2) = 6 -2 + 4 = 4+4=8
  • 12. Solução 3x – y – xy, para x = 4 e y = -2. Solução de um aluno: 3.4 - 2 – 4 . (-2) = 12 -2 + 8 = 10 + 8 = 18 Solução correta: 3 . (4) – (- 2) – (4) . (- 2) = 12 + 2 + 8 = 14 + 8 = 22
  • 13. Como simplificamos expressões algébricas? Fazendo a redução dos termos semelhantes. O que são termos semelhantes? São termos que apresentam a mesma parte literal. O que é parte literal? É a parte em que aparecem as letras, ou seja, a parte das variáveis.
  • 14. Expressões Parte Variáveis Matemáticas Literal Expressões Valor Trocar variáveis Valor Algébricas Numérico por números Simplificação Termos Redução semelhantes
  • 15. Exemplos de termos semelhantes:  3a e 5a  7xy e 8xy Observação: 200x e 200y não são termos semellhantes. 12x e 8xy não são termos semelhantes.
  • 16. Como reduzimos os termos semelhantes? Basta somar ou subtrair os coeficientes dos termos semelhantes. Exemplos:  – 4x + 6y + 10x – 2y – x = 5x + 4y  x + 7y + 10y – 3x = - 2x + 17y  x – y + 3x – 2y – 4x = - 3y
  • 17. Expressões Parte Variáveis Matemáticas Literal Expressões Valor Trocar variáveis Valor Algébricas Numérico por números Termos Soma Redução semelhantes Subtração
  • 18. Vamos praticar! Qual é o perímetro da figura abaixo? y+1 y y y–2
  • 19. Solução y+1 y y y–2 y + y + 1 + y + y – 2 = 4y – 1
  • 20. Caso exista um número multiplicando a expressão algébrica, usaremos a propriedade distributiva. Exemplos:  3 (2x - 4) = 6x – 12  7 (y + 5) = 7y + 35
  • 21. Expressões Parte Variáveis Matemáticas Literal Expressões Valor Trocar variáveis Valor Algébricas Numérico por números Soma Termos Redução Subtração semelhantes Distributiva
  • 22. Encontre o erro! Simplificando a expressão abaixo, um aluno cometeu um erro. Você consegue descobrir? 4 (x – 1) + 3 (x + 1) = 4x – 4 + 3x + 3 = 7x – 1 = 6x
  • 23. Solução 4 (x – 1) + 3 (x + 1) = 4x – 4 + 3x + 3 = 7x – 1 = 6x (errado) Resposta correta: 7x – 1
  • 24. O que é equação? É toda expressão matemática que apresenta uma expressão algébrica e uma igualdade. Exemplos:  7x + 5 = 4  Tudo que está antes do sinal de igual é chamado  2y2 – 3y + 7 = 0 de 1º membro.  Tudo que está depois do sinal de igual é chamado  2a – 8 = 3a – 10 de 2º membro.
  • 25. Igualdade Expressões Parte Variáveis Matemáticas Literal Equação Expressões Valor Trocar variáveis Valor Algébricas Numérico por números Soma Termos Redução Subtração semelhantes Distributiva
  • 26. O que é equação do 1º grau? É a equação, cujo expoente de todas as variáveis é 1. Exemplos:  3x + 5 = 12  24 – y + 8y = 36
  • 27. Igualdade Expressões Parte Variáveis Matemáticas Literal Expressões Valor Trocar variáveis Equação Valor Algébricas Numérico por números Soma Termos Redução Subtração semelhantes Distributiva 1º grau Variável expoente 1
  • 28. O que é raiz de uma equação? É o número que, colocado no lugar da variável, torna a igualdade verdadeira. Exemplos:  x – 2 = 0 (a raiz é igual a 2, pois quando colocamos o 2 no lugar do x, a igualdade é verdadeira, ou seja, 2 – 2 = 0).  3x – 4 = 11 (a raiz é igual a 5, pois quando colocamos o 5 no lugar do x, a igualdade é verdadeira, ou seja, 3.5 – 4 = 15 – 4 = 11).
  • 29. Igualdade Expressões Parte Variáveis Matemáticas Literal Expressões Valor Trocar variáveis Valor Algébricas Numérico por números Equação Soma Termos Redução Subtração semelhantes Distributiva 1º grau Variável expoente 1 Raiz da Número Igualdade equação verdadeira
  • 30. O que são equações equivalentes? São equações que apresentam a mesma solução. Exemplo: 3x + 2 = 8 e 3x = 6 3.2 + 2 = 8 3.2 = 6 6+2=8 O número 2 é solução das duas equações, logo, dizemos que elas são equivalentes.
  • 31. Igualdade Expressões Parte Variáveis Matemáticas Literal Expressões Valor Trocar variáveis Valor Algébricas Numérico por números Soma Termos Redução Subtração Equação semelhantes Distributiva 1º grau Variável expoente 1 Raiz da Igualdade Número equação verdadeira Equivalência Mesma raiz
  • 32. Quais são os princípios de equivalência das igualdades?  Princípio aditivo das igualdades  Princípio multiplicativo das igualdades
  • 33. Igualdade Expressões Parte Variáveis Matemáticas Literal Expressões Valor Trocar variáveis Valor Algébricas Numérico por números Soma Termos Redução Subtração Equação semelhantes Distributiva 1º grau Variável expoente 1 Raiz da Igualdade Número equação verdadeira mesma raiz Equivalência Aditivo princípios Multiplicativo
  • 34. Princípio Aditivo Adicionando ou subtraindo um mesmo número aos dois membros de uma equação, obtemos uma equação equivalente à equação dada. Exemplo: x + 5 = 15 – 3x Equações x + 5 – 5 = 15 – 3x – 5 Equivalentes x = 10 – 3x
  • 35. Princípio Multiplicativo Multiplicando ou dividindo os dois membros de uma equação, por um número diferente de zero, obtemos uma equação equivalente à equação dada. Exemplo: x + 5 = 15 – 3x Equações ( x + 5 ).2 = (15 – 3x).2 Equivalentes 2x + 10 = 30 – 6x
  • 36. Como calculamos a raiz de uma equação? Usando, convenientemente, os Princípios de Equivalência, de modo que um dos membros não tenha variável e o outro seja a variável (x). Exemplos: x–3=6 x–3+3=6+3 x=9
  • 37.  10x = 30 – 5x 10x + 5x = 30 – 5x + 5x 15x = 30 15x : 15 = 30 : 15 x=2  6x – 3 = 3x + 7 – 2x 6x – 3 – 6x = 3x + 7 – 2x – 6x - 3 = -5x + 7 - 3 – 7 = -5 x + 7 – 7 - 10 = - 5x - 10 : (- 1) = - 5x : (- 1) 10 : 5 = 5x : 5 2=x
  • 38.  2 (x + 6) = 4 (x + 2) 2x + 12 – 2x = 4x + 8 – 2x 12 = 2x + 8 12 – 8 = 2x + 8 – 8 4 = 2x 4 : 2 = 2x : 2 2=x
  • 39. Resolvendo com o macete! x–3=6 x=6+3 x=9  10x = 30 – 5x 10x + 5x = 30 15x = 30 x = 30 : 15 x=2
  • 40.  6x – 3 = 3x + 7 – 2x – 3 – 7 = 3x – 2x – 6x – 10 = - 5x – 10 : (- 5) = x 2=x  2 (x + 6) = 4 (x + 2) 2x + 12 = 4x + 8 12 – 8 = 4x – 2x 4 = 2x 4:2=x 2=x
  • 41. Igualdade Expressões Parte Variáveis Matemáticas Literal Expressões Valor Trocar variáveis Valor Algébricas Numérico por números Soma Termos Redução Subtração Equação semelhantes Distributiva 1º grau Variável expoente 1 Raiz da Igualdade Número equação verdadeira mesma raiz Equivalência Aditivo princípios Cálculo Multiplicativo Membro = x Outro membro sem variável
  • 42. Como devemos proceder se a equação apresentar fração? Basta igualar todos os denominadores e eliminá-los em seguida. Exemplo: 2 x + 1 = 5 x − 4 3 2 6 2 x 1 5x + = −4 3 2 2 3 61 1 6 4 x + 3 = 5 x − 24 27 = x
  • 43. Igualdade Expressões Parte Variáveis Matemáticas Literal Expressões Valor Trocar variáveis Valor Algébricas Numérico por números Soma Termos Redução Subtração semelhantes Equação 1º grau Variável expoente 1 Distributiva Raiz da Igualdade Número equação verdadeira mesma raiz Equivalência Aditivo princípios Cálculo Multiplicativo Membro = x Outro membro sem variável Fração Igualar e eliminar denominador
  • 44. Tente fazer sozinho! Resolva a equação: 3x x + 3 6− x 1 + = 2x − + 2 4 6 2
  • 45. Solução 3x x + 3 6− x 1 + = 2x − + 2 6 4 3 1 12 6 2 2 6 6(3 x) + 3( x + 3) = 12(2 x) − 2(6 − x) + 6 18 x + 3 x + 9 = 24 x − 12 + 2 x + 6 21x + 9 = 26 x − 6 9 + 6 = 26 x − 21x 15 = 5 x 15 =x 5 3= x
  • 46. O que você aprendeu:  O que são expressões algébricas  Valor numérico  Redução dos termos semelhantes  O que são equações do primeiro grau  O que é raiz de uma equação  Como calcular a raiz de uma equação do 1º grau, se tiver ou não fração
  • 47. Bibliografia • Bianchini, Edwaldo – Matemática 6ª série (7º ano), 6ª edição – 1998, Editora Moderna. Páginas: 82 até 117. • Silveira, Ênio; Marques, Cláudio – Matemática 6ª série, 1ª edição – 2002, Editora Moderna. Páginas: 64 até 87. • Iezzi, Gelson; Dolce, Osvaldo; Machado, Antonio – Matemática e Realidade Ensino Fundamental 6ªsérie 7º ano, 5ªedição – 2005, Editora Atual. Páginas: 179 até 196.