1. Aula 10
Derivando fun»~es exponenciais e
co
logar¶
³tmicas
Nesta aula estaremos deduzindo as derivadas das fun»~es f (x) = ax e g(x) = loga x,
co
sendo a uma constante real, a > 0 e a 61.
=
O que faz do n¶mero e uma constante t~o especial ? A resposta est¶ no seguinte
u a a
teorema
Teorema 10.1
1. Se f(x) = ex , ent~o f 0 (x) = ex . Ou seja, a derivada da fun»~o exponencial de
a ca
base e coincide com a pr¶pria fun»~o.
o ca
2. Se f (x) = ax (a > 0, a 61), ent~o f 0 (x) = ax ¢ ln a.
= a
Demonstra»~o. Seja f(x) = ex . Ent~o
ca a
¢f f (x + ¢x) ¡ f (x) ex+¢x ¡ ex
lim = lim = lim
¢x!0 ¢x ¢x!0 ¢x ¢x!0 ¢x
¢x
e ¢e ¡e
x x
= lim
¢x!0 ¢x
e¢x ¡ 1
= lim ex ¢
¢x!0 ¢x
e¢x ¡ 1
= ex ¢ lim = ex ¢ 1 = ex
¢x!0 ¢x
Para justi¯car o ultimo passo na dedu»~o acima, nos resta demonstrar:
¶ ca
Proposi»~o 10.1
ca
eh ¡ 1
lim =1
h!0 h
88

2. Derivando funcoes exponenciais e logar¶
»~ ³tmicas 89
Demonstra»~o. Faremos o c¶lculo do limite atrav¶s de uma interessante mudan»a de
ca a e c
vari¶vel.
a
Fazendo eh ¡ 1 = z, temos eh = 1 + z, e ent~o h = loge (1 + z)
a
Assim sendo, h ! 0 se e somente se z ! 0, e ent~o
a
eh ¡ 1 z 1
lim = lim = lim
h!0 h z!0 loge (1 + z) z!0 loge (1 + z)
z
1 1 1
= lim h i= = =1
z!0
loge (1 + z)1=z loge e 1
¢f
Portanto, sendo f(x) = ex , temos lim = ex .
¢x!0 ¢x
Para calcular a derivada de ax , fazemos
x
ax = eloge a = ex loge a = ex ln a = e(ln a)x
Pela regra da cadeia, (eu )0 = eu ¢ u0 , logo
£ ¤0
(ax )0 = e(ln a)x = e(ln a)x ¢ ((ln a)x)0 = e(ln a)x ¢ ln a = ax ln a
Quanto a fun»~es logar¶
co ³tmicas, temos o seguinte
Teorema 10.2
1 1
1. (ln x)0 = 2. (ln jxj)0 =
x x
0 1 0 1
3. (loga x) = 4. (loga jxj) =
x ln a x ln a
Demonstra»~o. Se y = ln x, ent~o y = loge x, e portanto x = ey .
ca a
ca ³cita em rela»~o a x, temos (x)0 = (ey )0 , logo 1 = ey ¢ y 0 .
Por deriva»~o impl¶ ca
1 1
Portanto y 0 = = , ou seja, (ln x)0 = 1=x.
ey x
µ ¶0
0 ln x (ln x)0 1
Assim sendo, (loga x) = = = .
ln a ln a x ln a
Para derivar ln jxj, ou loga jxj, lembremo-nos de que jxj = x quando x > 0, e
jxj = ¡x quando x < 0. Assim, se x > 0, reca¶ ³mos nos itens 1 e 3.
1 ¡1 1
Se x < 0, (ln jxj)0 = (ln(¡x))0 = ¡x
¢ (¡x)0 = x
¢ (¡1) = x
. O item 4 ¶
e
deduzido analogamente.
Proposi»~o 10.2 Sendo ® uma constante real, racional ou irracional, e x > 0,
ca
(x® )0 = ®x®¡1

3. Derivando funcoes exponenciais e logar¶
»~ ³tmicas 90
Demonstra»~o. Se y = x® ent~o ln y = ln x® = ® ln x.
ca a
ca ³cita, em rela»~o a x, temos (ln y)0 = (® ln x)0 .
Por deriva»~o impl¶ ca
1 0 1
Logo, ¢y =®¢ .
y x
1 1
Portanto, y 0 = y ¢ ® ¢ = ®x® ¢ = ®x®¡1 .
x x
No exemplo seguinte, fazemos uso da fun»~o ln para derivar uma fun»~o exponen-
ca ca
cial de base e expoente vari¶veis.
a
Exemplo 10.1 (Uma fun»~o exponencial de base e expoente vari¶veis) Calcular
ca a
a derivada de f (x) = x .
x
Solu»~o. Sendo y = xx , temos ln y = ln xx = x ¢ ln x.
ca
Derivando ambos os membros em rela»~o a x, temos
ca
(ln y)0 = (x ¢ ln x)0
1 0
¢ y = ln x + x ¢ (ln x)0
y
µ ¶
0 1
y = y ln x + x ¢ = xx (1 + ln x).
x
Portanto (xx )0 = xx (1 + ln x).
10.1 Problemas
1. Calcule as derivadas das seguintes fun»oes.
c~
2 2
(a) y = e¡3x (b) y = e4x+5 (c) y = ax (d) y = 7x +2x
x
(e) y = ex (1 ¡ x2 ) (f) y = ex ¡1
e +1
(g) y = x1=x (h) y = x¼ ¼ x
Respostas.
2 2 +2x
(a) ¡3e¡3x (b) 4e4x+5 (c) 2xax ln a (d) 2(x + 1)7x ln 7 (e) ex (1 ¡ 2x ¡ x2 )
2ex
(f) (ex +1)2 (g) x1=x ¢ 1¡ln x (h) ¼x¼¡1 ¼ x + x¼ ¼ x ln ¼
x2
2. Calcule as derivadas das seguintes fun»oes.
c~
x
(a) y = ln jax + bj (b) y = loga (x2 + 1) (c) y = ln 1+ex e
2
(d) y = ln 1+x2 (e) y = ln jx2 + 2xj (f) y = log10 (3x2 + 2)5
1¡x p
(g) y = x ln x (h) y = (ln x)3 (i) y = ln(x + x2 + ¸) (¸ 60)
=
¯ a+x ¯
1 ¯
(j) y = log10 (ln x) (k) y = 2a ln a¡x ¯ (a 60)
=
a 2x 1 4x 2x+1
Respostas. (a) ax+b (b) (x2 +1) ln a
(c) 1+ex (d) 1¡x4 (e) x2 +x
2
(f) 30x
(3x2 +2) ln 10
(g) 1 + ln x (h) 3(ln x) (i) px1+¸ (j) x ln x ln 10
x 2
1
(k) 1
a2 ¡x2

4. Derivando funcoes exponenciais e logar¶
»~ ³tmicas 91
3. Calcule y 0 , calculando ln y, expandindo o segundo membro, utilizando propriedades
de logaritmos, e ent~o derivando implicitamente.
a
q 2
(x+1)2 2
(a) y = 3 x(x +1) (b) y = (x+2)3 (x+3)4 (c) y = x(1+x 2)
(x¡1)2
p
1¡x
q p
(d) y = (3x2 + 2) 6x ¡ 7
q ³ ´ 2 +14x+5)
x(x2 +1)
Respostas. (a) 1
3
3
(x¡1)2
¢ 1
x + 2
¡ x¡1x2 +1
(b) ¡ (x+1)(5x (x+3)5
2x
(x+2)4
2 ¡2x4
³ ´q p
(c) 1+3x
p (d) 3x
3x2 +2
3
+ 2(6x¡7) (3x2 + 2) 6x ¡ 7
(1¡x2 )3
4. Calcule dy=dx, se y = f (x) ¶ de¯nida implicitamente pela equa»~o
e ca
(a) 3y ¡ x2 + ln(xy) = 2 (b) x ln y ¡ y ln x = 1 (c) exy ¡ x3 + 3y 2 = 11
(2x2 ¡1)y y2 ¡xy ln y 3x2 ¡yexy
Respostas. (a) dy
dx
= x(3y+1)
(b) dy
dx
= x2 ¡xy ln x
(c) dy
dx
= xexy +6y
5. Determine a equa»~o da reta tangente µ curva y = x2 + ln(2x ¡ 5) no ponto dessa
ca a
curva de abcissa 3. Resposta. y = 8x ¡ 15
6. Mostre que a fun»~o y = C1 e¡x + C2 e¡2x ¶ solu»~o da equa»~o diferencial
ca e ca ca
00 0
y + 3y + 2y = 0.
7. A posi»~o s de um ponto m¶vel P sobre um eixo horizontal s ¶ dada por s(t) =
ca o e
t2 ¡ 4 ln(1 + t), t ¸ 0, sendo s dado em cent¶³metros e t em segundos. Determine
a velocidade e a acelera»~o do ponto P em um instante t qualquer. Determine
ca
os intervalos de tempo em que o ponto P se move (a) para a esquerda, isto ¶, e
2(t2 +t¡2)
em dire»~o contr¶ria µ do eixo s, e (b) para a direita. Resposta. v(t) = t+1 ,
ca a a
4
a(t) = 2 + (t+1)2 . (a) 0 · t < 1, (b) t > 1.
8. Esboce o gr¶¯co de f (x) = e1=x , analisando a fun»~o f atrav¶s de derivadas e
a ca e
c¶lculos de limites apropriados.
a
Resposta.
A reta x = 0 (eixo y) ¶ ass¶
e ³ntota ver-
y
tical do gr¶¯co (somente para x > 0).
a
A reta y = 1 ¶ ass¶
e ³ntota horizontal do
6 gr¶¯co.
a
f 0 (x) = ¡e1=x =x2
4 f 00 (x) = e1=x (2x + 1)=x4
2
-2 -1 0 1 2 3 x
2
9. Esboce o gr¶¯co de f(x) = 1+e1=x ¡ 1, analisando a fun»~o f atrav¶s de derivadas
a ca e
e c¶lculos de limites apropriados.
a

5. Derivando funcoes exponenciais e logar¶
»~ ³tmicas 92
Resposta.
E util saber que f ¶ uma fun»~o¶
¶¶ e ca ³mpar, ou
y
seja, f (¡x) = ¡f (x), para cada x 60 =
1
(veri¯que).
1 2 3 x 2e1=x
f 0 (x) = 2
-3 -2 -1 0 x (1 + e1=x )2
¡2e1=x [e1=x (2x ¡ 1) + 2x + 1]
-1 f 00 (x) =
(1 + e1=x )3 x4
Dado num¶rico. Ra¶ de f 00 : ¼ §0; 4.
e ³zes
ca ³mpar, temos que f 0 ¶ uma fun»~o par (f 0 (¡x) = f 0 (x)), e f 00 ¶
Sendo f uma fun»~o ¶ e ca e
tamb¶m fun»~o ¶
e ca ³mpar (veja problema 9, aula 3).
10. (a) Qual n¶mero real ¶ maior, (0; 1)0;1 ou (0; 2)0;2 ?
u e
(b) Qual ¶ o menor valor de xx, sendo x real e positivo?
e
Respostas. (a) (0; 1)0;1 > (0; 2)0;2 (b) (1=e)1=e . Sugest~o para ambos os itens.
a
Veri¯que os intervalos de crescimento e de decrescimento de f (x) = xx.
11. Mostre que ¼ e < e¼ , sem o uso de m¶quinas de calcular.
a
ln x
Sugest~o. Considere f (x) =
a . Mostre que f ¶ crescente no intervalo ]0; e] e
e
x
decrescente no intervalo [e; +1[. Use ent~o o fato de que ¼ > e.
a