1. Exercícios de Trigonometria
1. A semi-circunferência de centro O tem raio 2 cm e AÔF = 40º
Determine a área do triângulo [ABC] arredondado
B
ao cm2 (em cálculos intermédios usa 2 c.d.)
F
A D O E C
2. Prove que:
1
a) 1 + tg2x =
cos 2 x
cos 2
b) 1 – sen
1 sen
cos 1 sen 2
c)
1 sen cos cos
d)
1 cos x 1 cos x tg 2 x
cos 2 x
3. Sem recorrer à calculadora, indique o valor de:
3 3
a) sen π + sen b) sen + cos c) tg + tg d) sen . cos
2 4 4 4 4 3 6
3 1
4. Sabendo-se que sen x e x , 2 , calcule o valor exato de
2 3
cos x 2 cos x
2
5. Resolva em |R, as equações:
x
a) sen (2x) = 1 b) cos t= 0 c) 4 + 8sen =0
3 2
cos a 1 1 1 1 3
d) =0 e) tg x f)
2 2 3 3 1 tg x 4
2
1
g) sen x - 1 = 0 h) sen =0 i) cos x + cos2 x = 0
x
t 3
j) 5 – 10 cos
=0 k) sen x + cos x = 0 l) cos (2x) = sen x
3 4
m) 3 cos = 2 sen2 n) cos 2 2 sen 2
6. Resolva a condição 2 sen x + 1 > 0 no intervalo:
a) 0, 2 b) ,
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2. Exercícios de Trigonometria
1
7. Resolva a condição | sen x | < no intervalo:
2
a) 0, 2 b) ,
8. Em um intervalo, sabe-se que a tangente é negativa e o co-seno é crescente. Nesse intervalo:
(A) O seno e o co-seno são negativos
(B) O co-seno é negativo e o seno é crescente
(C) O seno é negativo e crescente
(D) O seno é positivo e o co-seno é negativo
1
9. Sabendo-se que sen α = - , qual das afirmações é necessariamente verdadeira?
3
8
a) cos α = -
3
1
b) sen = -
3
1
c) sen = -
3
1
d) cos = -
2 3
10. Prove que a equação x = sen x tem, pelo menos, uma solução em [-1, 1]
11. Prove que existe pelo menos um número real x tal que sen x = x – 2
12. Relativamente à função f(x) = cos2x, prove que: f(x + π) = f(x), x
13. A partir do gráfico da função f(x) = sen x, determine o gráfico da função g(x) = -3 + f(x – )
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3. Exercícios de Trigonometria
Soluções:
1. 8 cm2
3
3. a) -1; b) 2; c) 0; d)
4
1 2 8
4.
3
5
5. a) x = k , k ; b) t = - k , k ; c) x = - 4k x 4k , k ;
4 6 3 3
3 5
d) a = 2 k a 2 k , k ; e) x = k , k ;
4 4 3
5 1 5
f) x = k x k , k ; g) 2k x 2k , k ;
6 6 6 6
1
h) x = , k 0 i) x = k x 2k , k ;
k 2
3
j) t = 1 + 6k t 1 6k , k ; k) x = k , k ;
4
2 k
l) x = x 2 k , k ; m) 2k , k ; n) 2k , k
12 3 4 3 2
7 11 5
6. a) x 0, , 2 ; b) x , ,
6 6
6 6
5 7 11 5 5
7. a) x 0, ,
6 6 6 6 , 2 ;
b) x , , ,
6 6 6 6
8. C
9. C
10.
Sen x – x = 0
Sen (-1) 0
Sen (1) 0
Como a função é continua e o produto das imagens de -1 e 1 é inferior a zero; podemos aplicar o
corolário do Teorema de Bolzano e provar que existe pelo menos uma solução no intervalo pretendido.
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4. Exercícios de Trigonometria
11.
Como se vê na imagem é possível que sen x seja
igual a x – 2.
4
Mas se fizermos sen x – x + 2 = 0 e provarmos
que existe uma imagem negativa e outra positiva;
2
podemos aplicar o corolário do Teorema de
h x = x-2
Bolzano e sabendo que se trata de uma função
-5 5
gx = sin x contínua por se tratar de operações entre funções
contínuas (trigonométrica e polinomial);
-2
Assim:
lim sen x x 2
-4 x
lim sen x x 2
x
Como o produto das imagens é negativo, prova-
se que é verdadeiro.
12.
F(x + Π) = cos2 (x + Π) = cos2 x, porque como x + Π é um ângulo do 3º quadrante e nesse quadrante o
cosseno é negativo, mas como a função está ao quadrado fica positiva.
13.
4
2
q x = s inx
-5 5
rx = s in x-
-2
s x = -3+sin x-
-4
-6
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