polígrafo

1. FRAC¸ ˜OES
Prof. Dr. Carlos A. P. Campani
1 FRAC¸ ˜AO
Raz˜ao de dois n´umeros inteiros, a
b
, a ∈ Z e b ∈ Z∗
. Exemplo:
2
3
Observa¸c˜ao: O denominador jamais pode ser zero, pois como a divis˜ao ´e
a opera¸c˜ao contr´aria `a multiplica¸c˜ao. Obter c = a
b
equivale a encontrar um c
tal que c.b = a. Se b = 0, a
b
= a
0
´e o n´umero racional c tal que c.b = c.0 = a.
Como todo n´umero multiplicado por zero resulta em zero, n˜ao h´a como obter
o divisor.
2 Opera¸c˜oes com Fra¸c˜oes
2.1 Soma e Subtra¸c˜ao
DENOMINADORES IGUAIS
a
b
+
c
b
=
a + c
b
Exemplos:
2
3
+
5
3
=
2 + 5
3
=
7
3
6
5
−
4
5
+
1
5
=
6 − 4 + 1
5
=
3
5
1

2. DENOMINADORES DIFERENTES
2
3
+
1
4
2
3
+
1
4
=
4.2 + 3.1
12
=
8 + 3
12
=
11
12
MINIMO M ´ULTIPLO COMUM (MMC)
M´ultiplo de um n´umero inteiro a ´e aquele n´umero inteiro ka, para k ∈ N.
Exemplo:
M´ultiplos de 4: 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28 . . .
M´ultiplos de 6: 0, 6, 12, 18, 24, 30, 36 . . .
Os m´ultiplos comuns foram marcados nas duas sequˆencias e o menor
m´ultiplo comum direrente de zero ´e 12.
MMC(4, 6) = 12
2

3. C´ALCULO DO MMC
1. Decompor os n´umeros em fatores primos, Exemplo com 12 e 30:
12 2
6 2
3 3
1
12 = 2.2.3 = 22
.3
30 2
15 3
5 5
1
30 = 2.3.5
2. O MMC ´e o produto dos fatores primos comuns e n˜ao comuns:
MMC(12, 30) = 22
.3.5 = 60
Observe-se que usamos o maior expoente nas potˆencias de 2 (entre 2 e
22
, escolhemos 22
).
PROCESSO DE DECOMPOSIC¸ ˜AO SIMULTˆANEA
15 24 60 2
15 12 30 2
15 6 15 2
15 3 15 3
5 1 5 5
1 1 1
MMC(15, 24, 60) = 2.2.2.3.5 = 120
2.2 Multiplica¸c˜ao
a
b
×
c
d
=
ac
bd
Exemplo:
2
3
×
5
4
=
2.5
3.4
=
2.5
3.2.2
=
5
3.2
=
5
6
3

4. 2.3 Divis˜ao
a
b
÷
c
d
=
a
b
×
d
c
=
ad
bc
Exemplo:
2
5
÷
7
3
=
2
5
×
3
7
=
2.3
5.7
=
6
35
4