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                 definição


                 grau


                                 adição

                                 subtração

                 operações        multiplicação

    Polinômios                               métodos
                               divisão

                                             Teoremas




                  Equações
                 polinomiais
Polinômio
  Definição:
  Chamamos de polinômio na variável x,
toda expressão na forma:
                  n 1                n2
  an x  an1 x
      n
                          an  2 x          ...  a2 x  a1 x  a0
                                                       2

 Onde:
an, an-1, an-2,...,a2, a1, a0 são números complexos
 denominados coeficientes
n é um número inteiro não negativo
x é uma variável complexa
definição   an x n  an1 x n1  an2 x n2  ...  a2 x 2  a1 x  a0




Polinômios
Polinômio
 Grau do polinômio:
 O grau do polinômio é determinado pelo
maior expoente da variável.

Exemplos:
 4x2 – 3  2º grau

 8x5 + 6x3+ 2x  5º grau
definição     an x n  an1 x n1  an2 x n2  ...  a2 x 2  a1 x  a0
             grau        Maior expoente da variável




Polinômios
Tente fazer
              sozinho
 1) (Mack-SP) Determine m real para que o
polinômio:
    p(x) = (m-4)x3 + (m2-16)x2 + (m+4)x + 4
seja de grau 2.
Tente fazer
              sozinho
 1) (Mack-SP) Determine m real para que o
polinômio:
    p(x) = (m-4)x3 + (m2-16)x2 + (m+4)x + 4
seja de grau 2.
Solução
p(x) = (m-4)x3 + (m2-16)x2 + (m+4)x + 4

     m4  0       m  16  0
                    2


     m4           m  4

Resposta: m não existe.
Tente fazer
             sozinho
 2) (Faap-SP) Calcule os valores de a, b e c
para que os polinômios p1(x) e p2(x) sejam
idênticos:
 p1(x) = a(x+c)3 + b(x+d)
 p2(x) = x3 + 6x2 +15x +14
Tente fazer
             sozinho
 2) (Faap-SP) Calcule os valores de a, b e c
para que os polinômios p1(x) e p2(x) sejam
idênticos:
 p1(x) = a(x+c)3 + b(x+d)
 p2(x) = x3 + 6x2 +15x +14
Solução
p1(x) = a(x+c)3 + b(x+d) e p2(x) = x3 + 6x2 +15x +14

a  x  c   b x  d   x  6 x  15 x  14
          3                              3   2


a x  3x c  3xc  c   bx  bd  x  6 x  15 x  14
      3       2            2         3                    3       2


ax 3  3acx 2  3ac 2 x  ac 3  bx  bd  x 3  6 x 2  15 x  14
ax  3acx
  3               2
                       3ac   2
                                    bx  ac   3
                                                     bd  x  6 x  15 x  14
                                                              3       2
Solução
p1(x) = a(x+c)3 + b(x+d) e p2(x) = x3 + 6x2 +15x +14
               2
                      2
                                
ax  3acx  3ac  b x  ac  bd  x  6 x  15x  14
  3                                     3              3       2



  ax  x
      3    3
                   3acx  6 x
                           2        2
                                            3ac   2
                                                           
                                                        b x  15 x
  a 1             3.1.c  6                3.1.2  b  15
                                                   2


                   c2                      12  b  15
                                            b3
Operações com
          Polinômios
 A) Adição:
  Sendo p(x) = 3x2+2x-1 e q(x) = -x3+7x2-6,
logo p(x) + q(x) = -x3+10x2+2x-7.

 B) Subtração:
  Sendo p(x) = 3x2-4x+1 e q(x) = 5x2-3x+4,
logo p(x) - q(x) = -2x2-x-3.
Operações com
           Polinômios
 C) Multiplicação :
 Sendo p(x) = 7 e q(x) = 2x3-4x2+5x-3, logo
p(x).q(x) = 7(2x3-4x2+5x-3)=14x3-28x2+35x-21.

 Sendo p(x) = 3x-4 e q(x) = -2x+5, logo
p(x) . q(x) = (3x-4)(-2x+5) = -6x2+15x+8x-20 =
            = -6x2+23x-20.
definição     an x n  an1 x n1  an2 x n2  ...  a2 x 2  a1 x  a0
             grau        Maior expoente da variável
                                  adição

                                  subtração

                                   multiplicação
             operações


Polinômios
Tente fazer
               sozinho
 3) Sejam f(x) e g(x) dois polinômios de graus
7 e 5, respectivamente. Julgue as sentenças
seguintes, corrigindo o que for falso:
a) O grau de f(x) . g(x) é 35
b) O grau de f(x) + g(x) é 7
c) O grau do polinômio (x2-1).g(x)+f(x) é 7
Tente fazer
               sozinho
 3) Sejam f(x) e g(x) dois polinômios de graus
7 e 5, respectivamente. Julgue as sentenças
seguintes, corrigindo o que for falso:
a) O grau de f(x) . g(x) é 35
b) O grau de f(x) + g(x) é 7
c) O grau do polinômio (x2-1).g(x)+f(x) é 7
Solução
 f(x)  grau 7 e g(x)  grau 5

 a) f(x) . g(x)  grau 35 (falso)
      x7 . x5 = x12  grau 12
 b) f(x) + g(x)  grau 7 (verdadeiro)
 c) (x2-1) . g(x) + f(x)  grau 7 (falso)

grau 7 ou menor que 7, pois o coeficiente da
soma dos termos de grau 7 pode ser zero
Divisão de
                 Polinômios
 C.1) Método da chave
 No método da chave temos que armar a conta,
como se fosse uma divisão de números naturais:
              dividendo   divisor



                resto     quociente




e seguir os passos conforme os exemplos.
Divisão de
               Polinômios
Exemplo 1: Calcule (x2 + 2x – 15) : (x + 5)
1º passo: ordenar e completar o dividendo,
  se necessário.
Nesse caso não será necessário

2º passo: armar a conta.   x2 + 2x - 15 x + 5
Divisão de
                 Polinômios
  3º passo: dividir o 1º termo do dividendo pelo
1º termo do divisor.

              x2 + 2x - 15 x + 5
                           x
Divisão de
                  Polinômios
  4º passo: multiplicar o resultado por cada
termo do divisor, colocando a resposta embaixo
do dividendo, com o sinal contrário.

     x2 + 2x - 15 x + 5
    -x2 - 5x      x
Divisão de
                Polinômios
 5º passo: efetuar a soma da 1ª com a 2ª linha,
obtendo um novo dividendo.

            x2 + 2x - 15 x + 5
           -x2 - 5x      x
               - 3x - 15
Divisão de
                 Polinômios
  6º passo: verificar se o grau do 1º termo do
novo dividendo é menor que o grau do 1º termo
do divisor. Caso não seja, voltamos ao 3º passo.

              x2 + 2x - 15 x + 5
             -x2 - 5x      x
                 - 3x - 15
Divisão de
                Polinômios

 x2 + 2x - 15 x + 5        x2 + 2x - 15 x + 5
-x2 - 5x      x           -x2 - 5x      x -3
    - 3x - 15                 - 3x - 15
                                3x + 15
                                   0

    Logo, quociente é x – 3 e resto é 0.
Divisão de
                   Polinômios
  Exemplo 2: Encontre o resto da divisão de
x4 + 1 por x3 +1.
1º passo:
            x4 + 1 = x4 + 0x3 + 0x2 + 0x + 1

2º passo:
            x4 + 0x3 + 0x2 + 0x + 1 x3 + 1
Divisão de
                Polinômios
  Exemplo 2: Encontre o resto da divisão de
x4 + 1 por x3 +1.
3º passo:
      x4 + 0x3 + 0x2 + 0x + 1 x3 + 1
                              x
Divisão de
               Polinômios
  Exemplo 2: Encontre o resto da divisão de
x4 + 1 por x3 +1.
4º passo:
      x4 + 0x3 + 0x2 + 0x + 1 x3 + 1
     -x4             - x      x
Divisão de
               Polinômios
  Exemplo 2: Encontre o resto da divisão de
x4 + 1 por x3 +1.
5º passo:
      x4 + 0x3 + 0x2 + 0x + 1 x3 + 1
     -x4             - x      x
                     - x+1
Divisão de
                  Polinômios
  Exemplo 2: Encontre o resto da divisão de
x4 + 1 por x3 +1.
5º passo:

 x4 + 0x3 + 0x2 + 0x + 1 x3 + 1
-x4             - x      x
                - x+1


Logo, o quociente é x e o resto é - x +1
definição     an x n  an1 x n1  an2 x n2  ...  a2 x 2  a1 x  a0
             grau        Maior expoente da variável
                                  adição

                                  subtração

                                   multiplicação
             operações
                                                                  Método da
                                                                                     Divisão comum
                                                                   Chave
Polinômios                                      métodos

                                divisão
Divisão de divisão de
Note que para toda
Polinômios a sentença:
 polinômios, vale
  D(x) = d(x) . q(x) + r(x)
          Exemplo:
  x4 + 1 = x (x3 + 1) – x + 1
Tente fazer
             sozinho
4) (Uespi) O resto da divisão do polinômio
 4x3 + 12x2 + x – 4 por 2x + 3 é:
 a) 1
 b) 2
 c) 4
 d) 6
 e) 8
Tente fazer
             sozinho
4) (Uespi) O resto da divisão do polinômio
 4x3 + 12x2 + x – 4 por 2x + 3 é:
 a) 1
 b) 2
 c) 4
 d) 6
 e) 8
Solução

 4x3 + 12x2 + x – 4   2x + 3
-4x3 – 6x2            2x2 + 3x – 4
       6x2 + x – 4
      – 6x2 – 9x
           – 8x – 4
           + 8x+12
                  8         Letra E
Tente fazer
               sozinho
5) Determine o polinômio p(x) que dividido
pelo polinômio f(x) = x + 5, tem por quociente
 q(x) = x – 2 e deixa resto r(x) = 3.
Tente fazer
               sozinho
5) Determine o polinômio p(x) que dividido
pelo polinômio f(x) = x + 5, tem por quociente
 q(x) = x – 2 e deixa resto r(x) = 3.
Solução
D(x)= d(x).q(x) + r(x)
P(x)= f(x) . q(x) + r(x)
P(x) = (x + 5) (x – 2) + 3
P(x) = x2 – 2x + 5x – 10 + 3
P(x) = x2 + 3x – 7
Divisão de
                Polinômios
  C.1) Dispositivo de Briot – Ruffini
  Vamos usar o próximo exemplo para mostrar
os passos a serem seguidos:
  Exemplo 1: Calcular o quociente e o resto de
(x3 – 4x2 + 5x -2) : (x - 3).
 1º passo: Calcular a raiz do divisor.
              x 3  0  x  3
Divisão de
                  Polinômios
  C.1) Dispositivo de Briot – Ruffini
Exemplo 1: (x3 – 4x2 + 5x -2) : (x - 3).
  2º passo: Dispor a raiz do divisor e os
coeficientes do dividendo da seguinte forma

              3   1 -4 5 -2
Divisão de
                  Polinômios
  C.1) Dispositivo de Briot – Ruffini
Exemplo 1: (x3 – 4x2 + 5x -2) : (x - 3).
  2º passo: Dispor a raiz do divisor e os
coeficientes do dividendo da seguinte forma
 raiz do                             coeficientes
              3   1 -4 5 -2
 divisor                             do dividendo
Divisão de
                   Polinômios
  C.1) Dispositivo de Briot – Ruffini
Exemplo 1: (x3 – 4x2 + 5x -2) : (x - 3).

3º passo: abaixar o 1º coeficiente do dividendo

               3   1 -4 5 -2
                   1
Divisão de
                    Polinômios
  C.1) Dispositivo de Briot – Ruffini
Exemplo 1: (x3 – 4x2 + 5x -2) : (x - 3).
  4º passo: multiplicar o número abaixado pela
raiz do divisor e somar com o coeficiente
seguinte. (3 . 1 - 4 = -1)
            3   1 -4 5 -2
                1   -1
Divisão de
                      Polinômios
  C.1) Dispositivo de Briot – Ruffini
Exemplo 1: (x3 – 4x2 + 5x -2) : (x - 3).

  4º passo: multiplicar o número abaixado pela
raiz do divisor e somar com o coeficiente
seguinte.    +
                                 Colocar o resultado
              3   1 -4 5 -2         embaixo do
                  1   -1         coeficiente somado
          x
Divisão de
                  Polinômios
  C.1) Dispositivo de Briot – Ruffini

Exemplo 1: (x3 – 4x2 + 5x -2) : (x - 3).

  5º passo: repetir as operações (multiplicar
pela raiz do divisor e somar com o coeficiente
seguinte)
Divisão de
                   Polinômios
  C.1) Dispositivo de Briot – Ruffini
Exemplo 1: (x3 – 4x2 + 5x -2) : (x - 3).
  5º passo:
        +                                 +
   3    1 -4 5 -2              3       1 -4 5 -2
        1   -1 2                       1 -1 2 4
    x                              x
Divisão de
                  Polinômios
  C.1) Dispositivo de Briot – Ruffini
Exemplo 1: (x3 – 4x2 + 5x -2) : (x - 3).
 6º passo: identificar o resto e os coeficientes
do quociente.
                    3    1 -4 5 -2
 O quociente é:
   x2 – x + 2            1 -1 2 4          Resto = 4
Divisão de
                Polinômios
C.1) Dispositivo de Briot – Ruffini

Exemplo 2: (2x3 – 5x + 1) : (x + i).

1º passo: x  i  0  x  i

2º passo:                 3º passo:
   -i   2 0 -5 1               -i   2 0 -5 1
                                    2
Divisão de
                  Polinômios
C.1) Dispositivo de Briot – Ruffini

Exemplo 2: (2x3 – 5x + 1) : (x + i).

4º e 5º passos:            6º passo:
-i   2 0 -5 1           O quociente é: 2x2 – 2ix – 7
     2 -2i -7 1+7i           O resto é: 1 + 7i
definição      an x n  an1 x n1  an2 x n2  ...  a2 x 2  a1 x  a0
             grau        Maior expoente da variável
                                  adição

                                   subtração

                                    multiplicação
             operações
                                                                   Método da
                                                                                      Divisão comum
                                                                    Chave
Polinômios                                       métodos
                                                                   Dispositivo de
                                                                                          Seguir os 6 passos
                                 divisão                            Briot-Ruffini
Tente fazer
               sozinho
6) O polinômio p(x) = -x3 + ax2 + 5x + b (a e
  b são constantes reais) é divisível por x – 5.
  Quando dividimos p(x) por x + 2, obtemos
  resto 35.
a) Determine os valores de a e b.
b) Qual é o resto da divisão de p(x) por x+4?
Tente fazer
               sozinho
6) O polinômio p(x) = -x3 + ax2 + 5x + b (a e
  b são constantes reais) é divisível por x – 5.
  Quando dividimos p(x) por x + 2, obtemos
  resto 35.
a) Determine os valores de a e b.
b) Qual é o resto da divisão de p(x) por x+4?
Solução
5      -1    a      5              b
       -1   a – 5 5a – 20    25a – 100 + b
                                  0
-2     -1    a       5            b
       -1   a + 2 - 2a + 1   4a – 2 + b
                                  35
    25a – 100 + b = 0          a=3
     4a – 2 + b = 35           b = 25
Teorema do Resto


 “ Seja p(x) um polinômio
 tal que p ≥ 1. O resto da
divisão de p(x) por x – a é
    igual a p(a), ou seja,
          r = p(a).”
Teorema do Resto
Exemplo: Para calcular o resto da divisão de
p(x) = 3x2 – 17x + 15 por x – 2, basta aplicar
o Teorema do Resto.
A raiz do divisor é : x – 2 = 0  x = 2
Pelo Teorema do Resto temos que:
r(x) = p(2)
r(x) = 3.22 – 17.2 + 15 = 12 – 34 + 15 = - 7.
definição     an x n  an1 x n1  an2 x n2  ...  a2 x 2  a1 x  a0
             grau        Maior expoente da variável
                                  adição

                                  subtração

                                   multiplicação
             operações
                                                                   Método da
                                                                                     Divisão comum
                                                                    Chave
Polinômios                                      métodos
                                                                   Dispositivo de
                                                                                         Seguir os 6 passos
                                divisão                             Briot-Ruffini
                                                                    Teorema           r(x)=p(a) , sendo
                                                                    do resto        (x-a) divisor de p(x)
                                                 Teoremas
Tente fazer
              sozinho
7) (Unifesp) A divisão de um polinômio p(x)
por um polinômio k(x) tem q(x) = x3 + 3x2 + 5
como quociente e r(x) = x2 + x + 7 como resto.
  Sabendo-se que o resto da divisão de k(x)
por x é 2, o resto da divisão de p(x) por x é:
a) 10    b) 12     c) 15     d) 25     e) 70
Tente fazer
              sozinho
7) (Unifesp) A divisão de um polinômio p(x)
por um polinômio k(x) tem q(x) = x3 + 3x2 + 5
como quociente e r(x) = x2 + x + 7 como resto.
  Sabendo-se que o resto da divisão de k(x)
por x é 2, o resto da divisão de p(x) por x é:
a) 10    b) 12     c) 15     d) 25     e) 70
Solução
P(x)= k(x) . q(x) + r(x)
P(x) = k(x) . (x3 + 3x2 + 5) + (x2 + x + 7)
P(0) = k(0) . (03 + 3.02 + 5) + (02 + 0 + 7)
P(0) = k(0) . 5 + 7
Pelo Teorema do resto, temos que k(0) = 2
Logo, p(0) = 2 . 5 + 7 = 17  letra C
Teorema de
D’Alembert
 “ Seja a (complexo) é raiz de
um polinômio f(x), então f(x) é
     divisível por x – a e,
   reciprocamente, se f(x) é
 divisível por x – a, então a é
          raiz de f(x).”
definição     an x n  an1 x n1  an2 x n2  ...  a2 x 2  a1 x  a0
             grau        Maior expoente da variável
                                  adição

                                  subtração

                                   multiplicação
             operações
                                                                  Método da
                                                                                     Divisão comum
                                                                   Chave
Polinômios                                      métodos
                                                                  Dispositivo de
                                                                                         Seguir os 6 passos
                                divisão                            Briot-Ruffini
                                                                    Teorema           r(x)=p(a) , sendo
                                                                    do resto        (x-a) divisor de p(x)
                                                 Teoremas
                                                                    Teorema de           a é raiz de f(x) f(x)
                                                                    D’Alembert           é divisível por (x-a)
Equações
                Polinomiais
  Equação polinomial é aquela que pode ser
escrita na forma:
                       n 1
       an x  an1 x
          n
                               ...  a1 x  a0  0
 Exemplos:
 x3 + 1 = 0
 3x2 – 2ix + 1 = 0
 x4 – 2x3 + x2 + 2x – 2 = 0
definição      an x n  an1 x n1  an2 x n2  ...  a2 x 2  a1 x  a0
             grau        Maior expoente da variável
                                   adição

                                   subtração

                                    multiplicação
             operações
                                                                   Método da
                                                                                      Divisão comum
                                                                    Chave
Polinômios                                       métodos
                                                                   Dispositivo de
                                                                                          Seguir os 6 passos
                                 divisão                            Briot-Ruffini
                                                                     Teorema          r(x)=p(a) , sendo
                                                                     do resto       (x-a) divisor de p(x)
                                                  Teoremas
                                                                     Teorema de           a é raiz de f(x) f(x)
                                                                     D’Alembert           é divisível por (x-a)

                                    Definição         an x n  an1 x n1  ...  a1 x  a0  0
              Equações
             polinomiais
Equações
               Polinomiais
 Raiz da equação é o valor que da variável,
que satisfaz a igualdade.

 Exemplos:
    a) 2x + 12 = 0        b) x2 – 9 = 0
         2 x = - 12          x2 = 9
           x=-6               x=±3
definição     an x n  an1 x n1  an2 x n2  ...  a2 x 2  a1 x  a0
             grau        Maior expoente da variável
                                  adição

                                  subtração

                                   multiplicação
             operações
                                                                  Método da
                                                                                     Divisão comum
                                                                   Chave
Polinômios                                      métodos
                                                                  Dispositivo de
                                                                                         Seguir os 6 passos
                                divisão                            Briot-Ruffini
                                                                    Teorema           r(x)=p(a) , sendo
                                                                    do resto        (x-a) divisor de p(x)
                                                 Teoremas
                                                                    Teorema de           a é raiz de f(x) f(x)
                                                                    D’Alembert           é divisível por (x-a)

                                   Definição         an x n  an1 x n1  ...  a1 x  a0  0
              Equações                                         Valor da variável que
             polinomiais                       definição        satisfaz a igualdade

                                 raiz
Equações
                 Polinomiais
c)x  2x  2x  0
     3   2
                         d)x  2x  x  2  0
                               3   2


            
x x  2x  2  0
     2
                        x x  2  1x  2  0
                           2

x  0 ou x  2x  2  0 x  2x 2  1  0
          2

            x1  1  i;
                        x  2  0 ou x 1  0
                                          2

            x2  1  i     x  -2         x  1
Equações
                      Polinomiais
 Podemos decompor um polinômio em fatores
do 1º grau, de acordo com suas raízes, através
da fórmula:
   p( x)  an ( x  x1 )( x  x2 )( x  x3 )  ...  ( x  xn )
 Onde:
 an é o coeficiente de xn .
 xi são as raízes de p(x).
Equações
                        Polinomiais
  Exemplo: Sabendo que as raízes do polinômio
2x3 – 4x2 – 2x + 4 são os números –1, 1 e 2,
podemos decompor esse polinômio em fatores
do 1º grau, usando a fórmula:
         p( x)  an ( x  x1 )( x  x2 )( x  x3 )  ...  ( x  xn )
     Sendo assim, temos:
                2(x + 1) (x – 1) (x – 2)
Tente fazer
          sozinho
8) Resolva a equação abaixo, sabendo
que duas de suas raízes são – 1 e 1.
         x4 – 2x3 + x2 – 2 = 0
Tente fazer
          sozinho
8) Resolva a equação abaixo, sabendo
que duas de suas raízes são – 1 e 1.
         x4 – 2x3 + x2 – 2 = 0
Solução
  Como – 1 e 1 são raízes de p(x) = 0, então
p(x) = (x + 1)(x – 1).q(x) = 0.
 Logo,
  -1   1   -2   1    2   -2
   1   1   -3   4   -2    0
       1   -2   2    0        q(x) = x2 – 2x + 2

 Como as raízes de q(x) são 1 + i e 1 – i ,
então as raízes da equação são ± 1 e 1 ± i.
Multiplicidade
                 da Raiz
 Entende-se por multiplicidade da raiz o
número de vezes que uma mesma raiz aparece.

 Exemplo:
   Na resolução da equação x2 – 12x + 36 = 0 ,
encontramos duas raízes iguais a 6. Nesse caso,
dizemos que x = 6 é uma raiz de multiplicidade
2.
definição     an x n  an1 x n1  an2 x n2  ...  a2 x 2  a1 x  a0
             grau        Maior expoente da variável
                                  adição

                                  subtração

                                   multiplicação
             operações
                                                                  Método da
                                                                                     Divisão comum
                                                                   Chave
Polinômios                                      métodos
                                                                  Dispositivo de
                                                                                         Seguir os 6 passos
                                divisão                            Briot-Ruffini
                                                                    Teorema           r(x)=p(a) , sendo
                                                                    do resto        (x-a) divisor de p(x)
                                                 Teoremas
                                                                    Teorema de           a é raiz de f(x) f(x)
                                                                    D’Alembert           é divisível por (x-a)

                                   Definição         an x n  an1 x n1  ...  a1 x  a0  0
              Equações                                         Valor da variável que
             polinomiais                       definição        satisfaz a igualdade

                                 raiz                                                     Nº de vezes que
                                                                        definição          a raiz aparece
                                               multiplicidade
Multiplicidade
                 da Raiz
  Para identificar qual é a multiplicidade de
uma raiz, basta dividir o polinômio pela raiz,
até encontrar um resto diferente de zero.

 Exemplo:
    Qual é a multiplicidade da raiz 2 do
 polinômio p(x) = x4 – 5x3 + 6x2 + 4x – 8?
Multiplicidade
                  da Raiz
 Exemplo:
    Qual é a multiplicidade da raiz 2 do
 polinômio p(x) = x4 – 5x3 + 6x2 + 4x – 8?
       2   1   -5    6   4   -8
       2   1   -3    0   4    0
       2   1   -1   -2   0
não    2   1    1   0
           1    3
definição     an x n  an1 x n1  an2 x n2  ...  a2 x 2  a1 x  a0
             grau        Maior expoente da variável
                                  adição

                                  subtração

                                   multiplicação
             operações
                                                                   Método da
                                                                                     Divisão comum
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                                                                                             sucessivas
Tente fazer
           sozinho
9) Determine uma equação algébrica
do 4º grau que tenha -1 como raiz de
multiplicidade 3 e 2 como outra raiz.
Tente fazer
           sozinho
9) Determine uma equação algébrica
do 4º grau que tenha -1 como raiz de
multiplicidade 3 e 2 como outra raiz.
Solução
Como o – 1 tem multiplicidade 3 e o 2 é a
outra raiz, podemos escrever o polinômio
assim:
p(x) = (x + 1)3 (x – 2) = 0
p(x) = (x3 +3x2 + 3x + 1) (x – 2) = 0
p(x) = x4 + x3 – 3x2 – 5x – 2 = 0
Bibliografia
• Matemática – Volume Único: Iezzi, Gelson;
  Dolce, Osvaldo; Degenszajn, David; Périgo,
  Roberto – Atual Editora – 4ª edição – 2007 –
  Páginas: 551 a 585
• Matemática Contexto e Aplicações: Dante,
  Luiz Roberto – Editora Ática – 3ª edição –
  2008 - Páginas: 134 a 164
• Figuras: google imagens
Note que para toda divisão de
 polinômios, vale a sentença:
   D(x) = d(x) . q(x) + r(x)
          Exemplo:
  x4 + 1 = x (x3 + 1) – x + 1

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  • 2.
  • 3. Conhecimento Anterior • Produtos Notáveis • Fatoração • Conjuntos Numéricos • Números Complexos • Noções de Função
  • 4. Vamos aprender definição grau adição subtração operações multiplicação Polinômios métodos divisão Teoremas Equações polinomiais
  • 5. Polinômio Definição: Chamamos de polinômio na variável x, toda expressão na forma: n 1 n2 an x  an1 x n  an  2 x  ...  a2 x  a1 x  a0 2 Onde: an, an-1, an-2,...,a2, a1, a0 são números complexos denominados coeficientes n é um número inteiro não negativo x é uma variável complexa
  • 6. definição an x n  an1 x n1  an2 x n2  ...  a2 x 2  a1 x  a0 Polinômios
  • 7. Polinômio Grau do polinômio: O grau do polinômio é determinado pelo maior expoente da variável. Exemplos:  4x2 – 3  2º grau  8x5 + 6x3+ 2x  5º grau
  • 8. definição an x n  an1 x n1  an2 x n2  ...  a2 x 2  a1 x  a0 grau Maior expoente da variável Polinômios
  • 9. Tente fazer sozinho 1) (Mack-SP) Determine m real para que o polinômio: p(x) = (m-4)x3 + (m2-16)x2 + (m+4)x + 4 seja de grau 2.
  • 10. Tente fazer sozinho 1) (Mack-SP) Determine m real para que o polinômio: p(x) = (m-4)x3 + (m2-16)x2 + (m+4)x + 4 seja de grau 2.
  • 11. Solução p(x) = (m-4)x3 + (m2-16)x2 + (m+4)x + 4 m4  0 m  16  0 2 m4 m  4 Resposta: m não existe.
  • 12. Tente fazer sozinho 2) (Faap-SP) Calcule os valores de a, b e c para que os polinômios p1(x) e p2(x) sejam idênticos: p1(x) = a(x+c)3 + b(x+d) p2(x) = x3 + 6x2 +15x +14
  • 13. Tente fazer sozinho 2) (Faap-SP) Calcule os valores de a, b e c para que os polinômios p1(x) e p2(x) sejam idênticos: p1(x) = a(x+c)3 + b(x+d) p2(x) = x3 + 6x2 +15x +14
  • 14. Solução p1(x) = a(x+c)3 + b(x+d) e p2(x) = x3 + 6x2 +15x +14 a  x  c   b x  d   x  6 x  15 x  14 3 3 2 a x  3x c  3xc  c   bx  bd  x  6 x  15 x  14 3 2 2 3 3 2 ax 3  3acx 2  3ac 2 x  ac 3  bx  bd  x 3  6 x 2  15 x  14 ax  3acx 3 2  3ac 2  bx  ac 3  bd  x  6 x  15 x  14 3 2
  • 15. Solução p1(x) = a(x+c)3 + b(x+d) e p2(x) = x3 + 6x2 +15x +14 2  2  ax  3acx  3ac  b x  ac  bd  x  6 x  15x  14 3 3 3 2 ax  x 3 3 3acx  6 x 2 2 3ac 2   b x  15 x a 1 3.1.c  6 3.1.2  b  15 2 c2 12  b  15 b3
  • 16. Operações com Polinômios A) Adição: Sendo p(x) = 3x2+2x-1 e q(x) = -x3+7x2-6, logo p(x) + q(x) = -x3+10x2+2x-7. B) Subtração: Sendo p(x) = 3x2-4x+1 e q(x) = 5x2-3x+4, logo p(x) - q(x) = -2x2-x-3.
  • 17. Operações com Polinômios C) Multiplicação :  Sendo p(x) = 7 e q(x) = 2x3-4x2+5x-3, logo p(x).q(x) = 7(2x3-4x2+5x-3)=14x3-28x2+35x-21.  Sendo p(x) = 3x-4 e q(x) = -2x+5, logo p(x) . q(x) = (3x-4)(-2x+5) = -6x2+15x+8x-20 = = -6x2+23x-20.
  • 18. definição an x n  an1 x n1  an2 x n2  ...  a2 x 2  a1 x  a0 grau Maior expoente da variável adição subtração multiplicação operações Polinômios
  • 19. Tente fazer sozinho 3) Sejam f(x) e g(x) dois polinômios de graus 7 e 5, respectivamente. Julgue as sentenças seguintes, corrigindo o que for falso: a) O grau de f(x) . g(x) é 35 b) O grau de f(x) + g(x) é 7 c) O grau do polinômio (x2-1).g(x)+f(x) é 7
  • 20. Tente fazer sozinho 3) Sejam f(x) e g(x) dois polinômios de graus 7 e 5, respectivamente. Julgue as sentenças seguintes, corrigindo o que for falso: a) O grau de f(x) . g(x) é 35 b) O grau de f(x) + g(x) é 7 c) O grau do polinômio (x2-1).g(x)+f(x) é 7
  • 21. Solução f(x)  grau 7 e g(x)  grau 5 a) f(x) . g(x)  grau 35 (falso) x7 . x5 = x12  grau 12 b) f(x) + g(x)  grau 7 (verdadeiro) c) (x2-1) . g(x) + f(x)  grau 7 (falso) grau 7 ou menor que 7, pois o coeficiente da soma dos termos de grau 7 pode ser zero
  • 22. Divisão de Polinômios C.1) Método da chave No método da chave temos que armar a conta, como se fosse uma divisão de números naturais: dividendo divisor resto quociente e seguir os passos conforme os exemplos.
  • 23. Divisão de Polinômios Exemplo 1: Calcule (x2 + 2x – 15) : (x + 5) 1º passo: ordenar e completar o dividendo, se necessário. Nesse caso não será necessário 2º passo: armar a conta. x2 + 2x - 15 x + 5
  • 24. Divisão de Polinômios 3º passo: dividir o 1º termo do dividendo pelo 1º termo do divisor. x2 + 2x - 15 x + 5 x
  • 25. Divisão de Polinômios 4º passo: multiplicar o resultado por cada termo do divisor, colocando a resposta embaixo do dividendo, com o sinal contrário. x2 + 2x - 15 x + 5 -x2 - 5x x
  • 26. Divisão de Polinômios 5º passo: efetuar a soma da 1ª com a 2ª linha, obtendo um novo dividendo. x2 + 2x - 15 x + 5 -x2 - 5x x - 3x - 15
  • 27. Divisão de Polinômios 6º passo: verificar se o grau do 1º termo do novo dividendo é menor que o grau do 1º termo do divisor. Caso não seja, voltamos ao 3º passo. x2 + 2x - 15 x + 5 -x2 - 5x x - 3x - 15
  • 28. Divisão de Polinômios x2 + 2x - 15 x + 5 x2 + 2x - 15 x + 5 -x2 - 5x x -x2 - 5x x -3 - 3x - 15 - 3x - 15 3x + 15 0 Logo, quociente é x – 3 e resto é 0.
  • 29. Divisão de Polinômios Exemplo 2: Encontre o resto da divisão de x4 + 1 por x3 +1. 1º passo: x4 + 1 = x4 + 0x3 + 0x2 + 0x + 1 2º passo: x4 + 0x3 + 0x2 + 0x + 1 x3 + 1
  • 30. Divisão de Polinômios Exemplo 2: Encontre o resto da divisão de x4 + 1 por x3 +1. 3º passo: x4 + 0x3 + 0x2 + 0x + 1 x3 + 1 x
  • 31. Divisão de Polinômios Exemplo 2: Encontre o resto da divisão de x4 + 1 por x3 +1. 4º passo: x4 + 0x3 + 0x2 + 0x + 1 x3 + 1 -x4 - x x
  • 32. Divisão de Polinômios Exemplo 2: Encontre o resto da divisão de x4 + 1 por x3 +1. 5º passo: x4 + 0x3 + 0x2 + 0x + 1 x3 + 1 -x4 - x x - x+1
  • 33. Divisão de Polinômios Exemplo 2: Encontre o resto da divisão de x4 + 1 por x3 +1. 5º passo: x4 + 0x3 + 0x2 + 0x + 1 x3 + 1 -x4 - x x - x+1 Logo, o quociente é x e o resto é - x +1
  • 34. definição an x n  an1 x n1  an2 x n2  ...  a2 x 2  a1 x  a0 grau Maior expoente da variável adição subtração multiplicação operações Método da Divisão comum Chave Polinômios métodos divisão
  • 35. Divisão de divisão de Note que para toda Polinômios a sentença: polinômios, vale D(x) = d(x) . q(x) + r(x) Exemplo: x4 + 1 = x (x3 + 1) – x + 1
  • 36. Tente fazer sozinho 4) (Uespi) O resto da divisão do polinômio 4x3 + 12x2 + x – 4 por 2x + 3 é: a) 1 b) 2 c) 4 d) 6 e) 8
  • 37. Tente fazer sozinho 4) (Uespi) O resto da divisão do polinômio 4x3 + 12x2 + x – 4 por 2x + 3 é: a) 1 b) 2 c) 4 d) 6 e) 8
  • 38. Solução 4x3 + 12x2 + x – 4 2x + 3 -4x3 – 6x2 2x2 + 3x – 4 6x2 + x – 4 – 6x2 – 9x – 8x – 4 + 8x+12 8 Letra E
  • 39. Tente fazer sozinho 5) Determine o polinômio p(x) que dividido pelo polinômio f(x) = x + 5, tem por quociente q(x) = x – 2 e deixa resto r(x) = 3.
  • 40. Tente fazer sozinho 5) Determine o polinômio p(x) que dividido pelo polinômio f(x) = x + 5, tem por quociente q(x) = x – 2 e deixa resto r(x) = 3.
  • 41. Solução D(x)= d(x).q(x) + r(x) P(x)= f(x) . q(x) + r(x) P(x) = (x + 5) (x – 2) + 3 P(x) = x2 – 2x + 5x – 10 + 3 P(x) = x2 + 3x – 7
  • 42. Divisão de Polinômios C.1) Dispositivo de Briot – Ruffini Vamos usar o próximo exemplo para mostrar os passos a serem seguidos: Exemplo 1: Calcular o quociente e o resto de (x3 – 4x2 + 5x -2) : (x - 3). 1º passo: Calcular a raiz do divisor. x 3  0  x  3
  • 43. Divisão de Polinômios C.1) Dispositivo de Briot – Ruffini Exemplo 1: (x3 – 4x2 + 5x -2) : (x - 3). 2º passo: Dispor a raiz do divisor e os coeficientes do dividendo da seguinte forma 3 1 -4 5 -2
  • 44. Divisão de Polinômios C.1) Dispositivo de Briot – Ruffini Exemplo 1: (x3 – 4x2 + 5x -2) : (x - 3). 2º passo: Dispor a raiz do divisor e os coeficientes do dividendo da seguinte forma raiz do coeficientes 3 1 -4 5 -2 divisor do dividendo
  • 45. Divisão de Polinômios C.1) Dispositivo de Briot – Ruffini Exemplo 1: (x3 – 4x2 + 5x -2) : (x - 3). 3º passo: abaixar o 1º coeficiente do dividendo 3 1 -4 5 -2 1
  • 46. Divisão de Polinômios C.1) Dispositivo de Briot – Ruffini Exemplo 1: (x3 – 4x2 + 5x -2) : (x - 3). 4º passo: multiplicar o número abaixado pela raiz do divisor e somar com o coeficiente seguinte. (3 . 1 - 4 = -1) 3 1 -4 5 -2 1 -1
  • 47. Divisão de Polinômios C.1) Dispositivo de Briot – Ruffini Exemplo 1: (x3 – 4x2 + 5x -2) : (x - 3). 4º passo: multiplicar o número abaixado pela raiz do divisor e somar com o coeficiente seguinte. + Colocar o resultado 3 1 -4 5 -2 embaixo do 1 -1 coeficiente somado x
  • 48. Divisão de Polinômios C.1) Dispositivo de Briot – Ruffini Exemplo 1: (x3 – 4x2 + 5x -2) : (x - 3). 5º passo: repetir as operações (multiplicar pela raiz do divisor e somar com o coeficiente seguinte)
  • 49. Divisão de Polinômios C.1) Dispositivo de Briot – Ruffini Exemplo 1: (x3 – 4x2 + 5x -2) : (x - 3). 5º passo: + + 3 1 -4 5 -2 3 1 -4 5 -2 1 -1 2 1 -1 2 4 x x
  • 50. Divisão de Polinômios C.1) Dispositivo de Briot – Ruffini Exemplo 1: (x3 – 4x2 + 5x -2) : (x - 3). 6º passo: identificar o resto e os coeficientes do quociente. 3 1 -4 5 -2 O quociente é: x2 – x + 2 1 -1 2 4 Resto = 4
  • 51. Divisão de Polinômios C.1) Dispositivo de Briot – Ruffini Exemplo 2: (2x3 – 5x + 1) : (x + i). 1º passo: x  i  0  x  i 2º passo: 3º passo: -i 2 0 -5 1 -i 2 0 -5 1 2
  • 52. Divisão de Polinômios C.1) Dispositivo de Briot – Ruffini Exemplo 2: (2x3 – 5x + 1) : (x + i). 4º e 5º passos: 6º passo: -i 2 0 -5 1 O quociente é: 2x2 – 2ix – 7 2 -2i -7 1+7i O resto é: 1 + 7i
  • 53. definição an x n  an1 x n1  an2 x n2  ...  a2 x 2  a1 x  a0 grau Maior expoente da variável adição subtração multiplicação operações Método da Divisão comum Chave Polinômios métodos Dispositivo de Seguir os 6 passos divisão Briot-Ruffini
  • 54. Tente fazer sozinho 6) O polinômio p(x) = -x3 + ax2 + 5x + b (a e b são constantes reais) é divisível por x – 5. Quando dividimos p(x) por x + 2, obtemos resto 35. a) Determine os valores de a e b. b) Qual é o resto da divisão de p(x) por x+4?
  • 55. Tente fazer sozinho 6) O polinômio p(x) = -x3 + ax2 + 5x + b (a e b são constantes reais) é divisível por x – 5. Quando dividimos p(x) por x + 2, obtemos resto 35. a) Determine os valores de a e b. b) Qual é o resto da divisão de p(x) por x+4?
  • 56. Solução 5 -1 a 5 b -1 a – 5 5a – 20 25a – 100 + b 0 -2 -1 a 5 b -1 a + 2 - 2a + 1 4a – 2 + b 35 25a – 100 + b = 0 a=3 4a – 2 + b = 35 b = 25
  • 57. Teorema do Resto “ Seja p(x) um polinômio tal que p ≥ 1. O resto da divisão de p(x) por x – a é igual a p(a), ou seja, r = p(a).”
  • 58. Teorema do Resto Exemplo: Para calcular o resto da divisão de p(x) = 3x2 – 17x + 15 por x – 2, basta aplicar o Teorema do Resto. A raiz do divisor é : x – 2 = 0  x = 2 Pelo Teorema do Resto temos que: r(x) = p(2) r(x) = 3.22 – 17.2 + 15 = 12 – 34 + 15 = - 7.
  • 59. definição an x n  an1 x n1  an2 x n2  ...  a2 x 2  a1 x  a0 grau Maior expoente da variável adição subtração multiplicação operações Método da Divisão comum Chave Polinômios métodos Dispositivo de Seguir os 6 passos divisão Briot-Ruffini Teorema r(x)=p(a) , sendo do resto (x-a) divisor de p(x) Teoremas
  • 60. Tente fazer sozinho 7) (Unifesp) A divisão de um polinômio p(x) por um polinômio k(x) tem q(x) = x3 + 3x2 + 5 como quociente e r(x) = x2 + x + 7 como resto. Sabendo-se que o resto da divisão de k(x) por x é 2, o resto da divisão de p(x) por x é: a) 10 b) 12 c) 15 d) 25 e) 70
  • 61. Tente fazer sozinho 7) (Unifesp) A divisão de um polinômio p(x) por um polinômio k(x) tem q(x) = x3 + 3x2 + 5 como quociente e r(x) = x2 + x + 7 como resto. Sabendo-se que o resto da divisão de k(x) por x é 2, o resto da divisão de p(x) por x é: a) 10 b) 12 c) 15 d) 25 e) 70
  • 62. Solução P(x)= k(x) . q(x) + r(x) P(x) = k(x) . (x3 + 3x2 + 5) + (x2 + x + 7) P(0) = k(0) . (03 + 3.02 + 5) + (02 + 0 + 7) P(0) = k(0) . 5 + 7 Pelo Teorema do resto, temos que k(0) = 2 Logo, p(0) = 2 . 5 + 7 = 17  letra C
  • 63. Teorema de D’Alembert “ Seja a (complexo) é raiz de um polinômio f(x), então f(x) é divisível por x – a e, reciprocamente, se f(x) é divisível por x – a, então a é raiz de f(x).”
  • 64. definição an x n  an1 x n1  an2 x n2  ...  a2 x 2  a1 x  a0 grau Maior expoente da variável adição subtração multiplicação operações Método da Divisão comum Chave Polinômios métodos Dispositivo de Seguir os 6 passos divisão Briot-Ruffini Teorema r(x)=p(a) , sendo do resto (x-a) divisor de p(x) Teoremas Teorema de a é raiz de f(x) f(x) D’Alembert é divisível por (x-a)
  • 65. Equações Polinomiais Equação polinomial é aquela que pode ser escrita na forma: n 1 an x  an1 x n  ...  a1 x  a0  0 Exemplos:  x3 + 1 = 0  3x2 – 2ix + 1 = 0  x4 – 2x3 + x2 + 2x – 2 = 0
  • 66. definição an x n  an1 x n1  an2 x n2  ...  a2 x 2  a1 x  a0 grau Maior expoente da variável adição subtração multiplicação operações Método da Divisão comum Chave Polinômios métodos Dispositivo de Seguir os 6 passos divisão Briot-Ruffini Teorema r(x)=p(a) , sendo do resto (x-a) divisor de p(x) Teoremas Teorema de a é raiz de f(x) f(x) D’Alembert é divisível por (x-a) Definição an x n  an1 x n1  ...  a1 x  a0  0 Equações polinomiais
  • 67. Equações Polinomiais Raiz da equação é o valor que da variável, que satisfaz a igualdade. Exemplos: a) 2x + 12 = 0 b) x2 – 9 = 0 2 x = - 12 x2 = 9 x=-6 x=±3
  • 68. definição an x n  an1 x n1  an2 x n2  ...  a2 x 2  a1 x  a0 grau Maior expoente da variável adição subtração multiplicação operações Método da Divisão comum Chave Polinômios métodos Dispositivo de Seguir os 6 passos divisão Briot-Ruffini Teorema r(x)=p(a) , sendo do resto (x-a) divisor de p(x) Teoremas Teorema de a é raiz de f(x) f(x) D’Alembert é divisível por (x-a) Definição an x n  an1 x n1  ...  a1 x  a0  0 Equações Valor da variável que polinomiais definição satisfaz a igualdade raiz
  • 69. Equações Polinomiais c)x  2x  2x  0 3 2 d)x  2x  x  2  0 3 2   x x  2x  2  0 2 x x  2  1x  2  0 2 x  0 ou x  2x  2  0 x  2x 2  1  0 2 x1  1  i; x  2  0 ou x 1  0 2 x2  1  i x  -2 x  1
  • 70. Equações Polinomiais Podemos decompor um polinômio em fatores do 1º grau, de acordo com suas raízes, através da fórmula: p( x)  an ( x  x1 )( x  x2 )( x  x3 )  ...  ( x  xn ) Onde: an é o coeficiente de xn . xi são as raízes de p(x).
  • 71. Equações Polinomiais Exemplo: Sabendo que as raízes do polinômio 2x3 – 4x2 – 2x + 4 são os números –1, 1 e 2, podemos decompor esse polinômio em fatores do 1º grau, usando a fórmula: p( x)  an ( x  x1 )( x  x2 )( x  x3 )  ...  ( x  xn ) Sendo assim, temos: 2(x + 1) (x – 1) (x – 2)
  • 72. Tente fazer sozinho 8) Resolva a equação abaixo, sabendo que duas de suas raízes são – 1 e 1. x4 – 2x3 + x2 – 2 = 0
  • 73. Tente fazer sozinho 8) Resolva a equação abaixo, sabendo que duas de suas raízes são – 1 e 1. x4 – 2x3 + x2 – 2 = 0
  • 74. Solução Como – 1 e 1 são raízes de p(x) = 0, então p(x) = (x + 1)(x – 1).q(x) = 0. Logo, -1 1 -2 1 2 -2 1 1 -3 4 -2 0 1 -2 2 0 q(x) = x2 – 2x + 2 Como as raízes de q(x) são 1 + i e 1 – i , então as raízes da equação são ± 1 e 1 ± i.
  • 75. Multiplicidade da Raiz Entende-se por multiplicidade da raiz o número de vezes que uma mesma raiz aparece. Exemplo: Na resolução da equação x2 – 12x + 36 = 0 , encontramos duas raízes iguais a 6. Nesse caso, dizemos que x = 6 é uma raiz de multiplicidade 2.
  • 76. definição an x n  an1 x n1  an2 x n2  ...  a2 x 2  a1 x  a0 grau Maior expoente da variável adição subtração multiplicação operações Método da Divisão comum Chave Polinômios métodos Dispositivo de Seguir os 6 passos divisão Briot-Ruffini Teorema r(x)=p(a) , sendo do resto (x-a) divisor de p(x) Teoremas Teorema de a é raiz de f(x) f(x) D’Alembert é divisível por (x-a) Definição an x n  an1 x n1  ...  a1 x  a0  0 Equações Valor da variável que polinomiais definição satisfaz a igualdade raiz Nº de vezes que definição a raiz aparece multiplicidade
  • 77. Multiplicidade da Raiz Para identificar qual é a multiplicidade de uma raiz, basta dividir o polinômio pela raiz, até encontrar um resto diferente de zero. Exemplo: Qual é a multiplicidade da raiz 2 do polinômio p(x) = x4 – 5x3 + 6x2 + 4x – 8?
  • 78. Multiplicidade da Raiz Exemplo: Qual é a multiplicidade da raiz 2 do polinômio p(x) = x4 – 5x3 + 6x2 + 4x – 8? 2 1 -5 6 4 -8 2 1 -3 0 4 0 2 1 -1 -2 0 não 2 1 1 0 1 3
  • 79. definição an x n  an1 x n1  an2 x n2  ...  a2 x 2  a1 x  a0 grau Maior expoente da variável adição subtração multiplicação operações Método da Divisão comum Chave Polinômios métodos Dispositivo de Seguir os 6 passos divisão Briot-Ruffini Teorema r(x)=p(a) , sendo do resto (x-a) divisor de p(x) Teoremas Teorema de a é raiz de f(x) f(x) D’Alembert é divisível por (x-a) Definição an x n  an1 x n1  ...  a1 x  a0  0 Equações Valor da variável que polinomiais definição satisfaz a igualdade raiz Nº de vezes que definição a raiz aparece multiplicidade Divisões identificação sucessivas
  • 80. Tente fazer sozinho 9) Determine uma equação algébrica do 4º grau que tenha -1 como raiz de multiplicidade 3 e 2 como outra raiz.
  • 81. Tente fazer sozinho 9) Determine uma equação algébrica do 4º grau que tenha -1 como raiz de multiplicidade 3 e 2 como outra raiz.
  • 82. Solução Como o – 1 tem multiplicidade 3 e o 2 é a outra raiz, podemos escrever o polinômio assim: p(x) = (x + 1)3 (x – 2) = 0 p(x) = (x3 +3x2 + 3x + 1) (x – 2) = 0 p(x) = x4 + x3 – 3x2 – 5x – 2 = 0
  • 83. Bibliografia • Matemática – Volume Único: Iezzi, Gelson; Dolce, Osvaldo; Degenszajn, David; Périgo, Roberto – Atual Editora – 4ª edição – 2007 – Páginas: 551 a 585 • Matemática Contexto e Aplicações: Dante, Luiz Roberto – Editora Ática – 3ª edição – 2008 - Páginas: 134 a 164 • Figuras: google imagens
  • 84. Note que para toda divisão de polinômios, vale a sentença: D(x) = d(x) . q(x) + r(x) Exemplo: x4 + 1 = x (x3 + 1) – x + 1