2. Matemática, 2º Ano
Matriz Inversa
Noções iniciais
• No conjunto dos números reais, para todo a ≠ 0, existe um número b,
denominado inverso de a, satisfazendo a condição:
a.b = b.a =1
• É bastante comum indicarmos o inverso de a por ou a -1.
Exemplo:
a
1
1
5
5
1
5
1
5
3. Matemática, 2º Ano
Matriz Inversa
Definição
• Uma matriz A, quadrada de ordem n, diz-se invertível se, e somente se,
existir uma matriz B, quadrada de ordem n, tal que:
Em que In é a matriz identidade de ordem n e B é denominada inversa de A e
indicada por A-1 .
n
I
A
B
B
A
4. Matemática, 2º Ano
Matriz Inversa
Exemplo 1:
• Verifique que a matriz é a inversa da matriz .
4
11
1
3
B
3
11
1
4
A
1
0
0
1
4
11
1
3
3
11
1
4
B
A
1
0
0
1
3
11
1
4
4
11
1
3
A
B
Como A · B = B · A = I2 , a matriz B é a inversa de A, isto é, B = A-1.
5. Matemática, 2º Ano
Matriz Inversa
• Para verificar se uma matriz quadrada é ou não invertível e,
em caso afirmativo, determinar sua inversa,
apresentaremos, a seguir, um processo baseado na
definição de matriz inversa e na resolução de sistemas
lineares.
• Quando uma matriz é invertível, dizemos que ela é uma matriz
não singular, caso contrário, será uma matriz singular.
Observações:
6. Matemática, 2º Ano
Matriz Inversa
Exemplo 2:
• Vamos encontrar, se existir, a inversa de .
Devemos verificar se existe , tal que A . A-1 = In.
4
5
2
3
A
d
c
b
a
A 1
Logo:
1
0
0
1
4
5
4
5
2
3
2
3
1
0
0
1
4
5
2
3
d
b
c
a
d
b
c
a
d
c
b
a
7. Matemática, 2º Ano
Matriz Inversa
Exemplo 2 (continuação):
Do conceito de igualdade, seguem os sistemas:
0
4
5
1
2
3
0
4
5
1
2
3
d
b
d
b
c
a
c
a
, cuja solução é a = 2 e c = -5/2
, cuja solução é b = -1 e c = 3/2
Então,
2
3
2
5
1
2
1
A
É fácil ver que A-1 . A = In também está satisfeita.
8. Matemática, 2º Ano
Matriz Inversa
Exemplo 3:
• Vamos encontrar, se existir, a inversa de .
1
2
2
4
A
Fazendo A.A-1 = In , temos:
1
0
0
1
2
2
2
4
2
4
1
0
0
1
.
1
2
2
4
d
b
c
a
d
b
c
a
d
c
b
a
Logo:
1
2
0
2
4
0
2
1
2
4
d
b
d
b
e
c
a
c
a
9. Matemática, 2º Ano
Matriz Inversa
Exemplo 4:
Com o primeiro sistema não admitindo solução, já seria possível concluir
que não existe a inversa de A (O segundo sistema também não admitiu
solução). .
1
2
0
2
4
0
2
1
2
4
d
b
d
b
c
a
c
a
.(-2) .(-2)
2
2
4
0
2
4
0
2
4
1
2
4
d
b
d
b
c
a
c
a
Resolvendo os sistemas pelo método da adição, temos:
1
0 2
0
(Impossível) (Impossível)
10. Matemática, 2º Ano
Matriz Inversa
• O processo apresentado nos exemplos anteriores, apesar
do grande nível de complexidade, pode ser usado para o
cálculo de inversas de matrizes quadradas de ordem n, com
n ≥ 2.
• Estudar métodos para solução de sistemas lineares será
bastante eficaz para o cálculo de matrizes inversas de ordem
n, com n ≥ 3.
Observações:
11. Matemática, 2º Ano
Matriz Inversa
Exercícios
01. Obter a matriz inversa da matriz .
1
1
1
2
A
Resolução:
Sendo , temos:
c
c
b
a
A 1
1
0
0
1
2
2
1
0
0
1
.
1
1
1
2
d
b
c
a
d
b
c
a
d
c
b
a
0
1
2
0
1
2
d
b
d
b
c
a
c
a
, cuja solução é a = 1 e c = -1
, cuja solução é b = -1 e c = 2
2
1
1
1
1
A
12. Matemática, 2º Ano
Matriz Inversa
Exercícios
02. Verifique se é a inversa de .
3
1
5
2
2
1
5
3
Resposta: SIM
03. Determine, se existir, a inversa da matriz .
0
1
2
1
Resposta:
2
1
2
1
1
0
13. Matemática, 2º Ano
Matriz Inversa
Exercícios
04. Verifique se a inversa de é a matriz .
Resposta: SIM
3
0
1
0
2
0
0
0
1
3
1
0
3
1
0
2
1
0
0
0
1
05. A inversa de é a matriz . Determine x e y.
x
y
2
3
Resposta: x = 7 e y = 1
1
5
4
x
x
x
14. Matemática, 2º Ano
Matriz Inversa
Propriedades
• Sendo A e B matrizes quadradas de ordem n e invertíveis, temos
as seguintes propriedades:
• Dada A, se existir A-1, então ela é única;
• (A-1)-1 = A;
• (A . B)-1 = B-1 . A-1;
• (A-1)t = (At)-1.
15. Matemática, 2º Ano
Matriz Inversa
Propriedades
• Se uma matriz A é invertível, então esta inversa é única.
• Demonstração:
De fato, vamos supor que A seja invertível de ordem n, que B e C
sejam suas inversas e ainda que B ≠ C. Dessa forma, AB = BA = In e
AC = CA = In. Tomando a primeira equação e multiplicando ambos os
lados da equação, à esquerda, por C, temos C (AB) = CIn, ou seja,
(CA)B= CIn, como CA = In. Logo: B = C.
16. Matemática, 2º Ano
Matriz Inversa
Propriedades
• Se uma matriz A é invertível, então a inversa A-1 é invertível e
(A-1)-1 = A .
• Demonstração:
Sabemos que uma matriz B é inversa de A se, e somente se,
A.B=B.A = In.
Como A-1 é a inversa e A, então AA-1 = A-1A =In.
Pela demonstração anterior, temos que a inversa é única, então B = A é
a inversa e A-1 , ou seja, (A-1)-1= A.
17. Matemática, 2º Ano
Matriz Inversa
Exemplo 5:
• Vamos encontrar a inversa de . .
Fazendo A . A-1 = In:
4
5
2
3
A
1
0
0
1
4
5
4
5
2
3
2
3
1
0
0
1
4
5
2
3
d
b
c
a
d
b
c
a
d
c
b
a
Então
2
3
2
5
1
2
1
A
Calculando (A-1)-1
1
0
0
1
2
3
2
5
2
3
2
5
2
2
1
0
0
1
2
3
2
5
1
2
w
y
z
x
w
y
z
x
w
z
y
x
A
A
4
5
2
3
1
1
18. Matemática, 2º Ano
Matriz Inversa
Propriedades
• Se A e B são invertíveis, então AB também é e (AB)-1 = B-1A-1.
• Demonstração:
Para verificarmos esta propriedade, devemos mostrar que
(AB)B-1A-1=In e B-1A-1(AB) = In .
(AB)B-1A-1=A(BB-1)A-1 =AInA-1 =AA-1 = In .
A segunda identidade é inteiramente análoga.
19. Matemática, 2º Ano
Matriz Inversa
Exemplo 6:
• Encontrando as inversas e o produto de e .
4
5
2
3
A
Calculando (AB)-1 e B-1A-1 , podemos confirmar a igualdade:
2
3
2
5
1
2
1
A
1
1
1
2
B
2
1
1
1
1
B
9
14
5
8
AB
8
7
5
2
9
1
AB
8
7
5
2
9
1
1
A
B
20. Matemática, 2º Ano
Matriz Inversa
Propriedades
• Se A é invertível, então At também é e (At)-1 = (A-1)t.
• Demonstração:
Com efeito, fazendo uso da propriedade anterior, temos:
n
t
n
t
t
t
n
t
n
t
t
t
I
I
AA
A
A
I
I
A
A
A
A
1
1
1
1
21. Matemática, 2º Ano
Matriz Inversa
Exemplo 6:
• Vamos verificar a propriedade (At)-1 = (A-1)t para a matriz
1
2
1
3
A
Calculando At e A-1 , teremos respectivamente:
1
1
2
3
t
A
3
2
1
1
1
A
Fazendo uso dos recursos expostos anteriormente, temos:
t
t
A
A 1
1
3
1
2
1
22. Matemática, 2º Ano
Matriz Inversa
Aplicação prática:
1. As senhas numéricas de quatro dígitos dos clientes de um determinado
banco são representadas como uma matriz S2 x 2, em que os dois primeiros
são a 1ª linha e os dois últimos, a 2ª linha. O banco usa uma matriz invertível
denominada matriz chave, para
manter o sigilo das senhas de seus clientes. E, por questões de segurança, o
banco gera uma nova matriz T = S.X , denominada matriz transmitida.
a) Como ‘recuperar’ a senha de um cliente, se só conhecemos a matriz chave
e a matriz transmitida?
b) Sabendo que a matriz transmitida de um determinado cliente é ,
qual sua senha?
2
4
1
3
X
18
36
12
26
T
Resposta:
a) (SX)X-1=S(XX-1)= SI2 =S b) 2509
23. Matemática, 2º Ano
Matriz Inversa
Exercícios de fixação
01. Encontre a inversa de cada matriz dada, se possível:
cos
cos
)
2
2
2
2
2
2
)
3
2
6
5
5
3
4
3
)
sen
sen
C
c
B
b
A
a
Resp: é singular
Resp:
Resp: cosɵ senɵ
-senɵ cosɵ
1/5 √2 1/5 √2
-2/5 √2 1/10 √2
24. Matemática, 2º Ano
Matriz Inversa
Exercício de Fixação
02. Dadas as matrizes ,calcule:
.
1
4
0
2
1
1
3
2
B
e
A
a) (AB)-1 b) (AB)t c) AA-1 – I d) (2B)-1
1/2 3/2
-3 -8
Resp: a) b) c) 0 d)
-16 6
-3 1
1/4 0
-1 1/2
25. Matemática, 2º Ano
Matriz Inversa
03. São dadas as matrizes A e B, quadradas de ordem n e invertíveis. A
solução da equação (BAX)t = B, em que (BAX)t é a transposta da matriz
(BAX), é a matriz X tal que:
Exercício de Fixação
t
B
AB
X
1
t
B
BA
X
1
1
AB
B
X t
1
BA
B
X t
a)
b)
c)
d)
Resposta: B
