1) O documento discute equações de segundo grau, resolução de equações e razão e proporção. 2) É apresentada a forma geral de uma equação de segundo grau e métodos para identificar seus coeficientes e resolvê-la. 3) O conceito de razão e proporção é explicado e exercícios sobre o tema são fornecidos.

1. LICENCIATURAS
Aulas 13, 14, 15 e 16 – 23/08/2013Aulas 13, 14, 15 e 16 – 23/08/2013

2. MATEMÁTICA
FUNDAMENTAL
DISCIPLINADISCIPLINA
Prof. Me. Hamilton Jr.

3. AGENDA DO DIA
1- Equações do 2º Grau - Resolução1- Equações do 2º Grau - Resolução
2- Exercícios2- Exercícios
3- Razão e Proporção3- Razão e Proporção

4. EQUAÇÕES DO 2º GRAU
Uma equação do 2º grau é escritaUma equação do 2º grau é escrita
na forma:na forma:
02
=++ cbxax
onde:onde:
O coeficienteO coeficiente aa é aquele que acompanha oé aquele que acompanha o xx22
;;
O coeficienteO coeficiente bb é aquele que acompanha oé aquele que acompanha o xx;;
O coeficienteO coeficiente cc é o termo independente;é o termo independente;

5. EQUAÇÕES DO 2º GRAU
Uma equação do 2º grau é escritaUma equação do 2º grau é escrita
na forma:na forma:
02
=++ cbxax
onde:onde:
O coeficienteO coeficiente aa é aquele que acompanha oé aquele que acompanha o xx22
;;
O coeficienteO coeficiente bb é aquele que acompanha oé aquele que acompanha o xx;;
O coeficienteO coeficiente cc é o termo independente;é o termo independente;

6. EXERCÍCIOS
Identifique os coeficientes de cada uma dasIdentifique os coeficientes de cada uma das
equações do 2º grau seguintes.equações do 2º grau seguintes.
368
23
2
56)
83162815528)
9155)
082
5
3
)
0245)
22
22
2
2
2
=++−
−+−=+−+
−=−
=−−
=−+−
x
x
xe
xxxxxd
xxc
xxb
xxa

7. RESOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO
DO 2º GRAU
Assim como a Equação do 1º grau, resolver umaAssim como a Equação do 1º grau, resolver uma
equação do 2º grau é encontrar valores que devoequação do 2º grau é encontrar valores que devo
atribuir para as incógnitas para que a sentença seatribuir para as incógnitas para que a sentença se
torne verdadeira.torne verdadeira.
Uma Equação do 2º Grau sempre terá duasUma Equação do 2º Grau sempre terá duas
respostas como solução.respostas como solução.

8. RESOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO
DO 2º GRAU INCOMPLETA
Dizemos que uma equação do 2ºDizemos que uma equação do 2º
não está completa quando estánão está completa quando está
faltando um de seus termos comfaltando um de seus termos com
exceção do termo que possui aexceção do termo que possui a
incógnita xincógnita x22
. Se ela não tiver este. Se ela não tiver este
termo, não é uma equação do 2ºtermo, não é uma equação do 2º
grau.grau.

9. VEJAMOS
Equação incompleta do tipoEquação incompleta do tipo
axax22
-bx=0-bx=0
Devemos fatorar os dois termos.Devemos fatorar os dois termos.

10. EXERCÍCIOS
Resolva as equações do 2º grau abaixo:Resolva as equações do 2º grau abaixo:
0102)
0357)
035)
0124)
042)
2
2
2
2
2
=+−
=−
=−
=+−
=−
xxe
xxd
yyc
xxb
xxa

11. VEJAMOS
Equação incompleta do tipoEquação incompleta do tipo
axax22
-c=0-c=0
Trabalhamos com o mesmoTrabalhamos com o mesmo
algoritmo de resolução dealgoritmo de resolução de
Equações do 1º grau.Equações do 1º grau.

12. EXERCÍCIOS
Resolva as equações do 2º grau abaixo:Resolva as equações do 2º grau abaixo:
0363)
0982)
0642)
0483)
01004)
2
2
2
2
2
=−
=−
=+−
=+
=−
xe
xd
xc
xb
xa

13. RESOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO
DO 2º GRAU COMPLETA
Dizemos que uma equação do 2ºDizemos que uma equação do 2º
está na forma completa quandoestá na forma completa quando
conta com todos os termos.conta com todos os termos.

14. RESOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO
DO 2º GRAU COMPLETA
Para resolvê-la, devemos aplicar aPara resolvê-la, devemos aplicar a
FÓRMULA DE BHÁSKARAFÓRMULA DE BHÁSKARA
a
acbb
x
2
42
−±−
=

15. EXERCÍCIOS
Resolva as equações do 2º grau abaixo:Resolva as equações do 2º grau abaixo:
032)
0158)
04869)
01110)
086)
2
2
2
2
2
=−−
=++
=−+
=−−
=++
yye
xxd
xxc
xxb
xxa

16. RAZÃO
Chamamos de razão entre dois números a
representação em forma fracionária que
mostra uma comparação entre estes dois
valores.
LEMOS:
x está para y

17. TERMOS DE UMA
RAZÃO
antecedente
consequente

18. EXEMPLO
Uma grande empresa transportadora conta
com 130 funcionários entre os quais 70 são
homens e 60 são mulheres. Qual a razão
entre o número de mulheres para o número
total de funcionários:
LEMOS:
A cada treze
funcionários
temos 6
mulheres.

19. Quando estamos trabalhando com RAZÃO,
estamos na verdade comparando duas
grandezas
O QUE DEFINIMOS POR GRANDEZA?
GRANDEZAS SÃO VALORES QUE SE
ALTERAM DEPENDENDO DA SITUAÇÃO.
EXEMPLOS:
Horas, Peso, Distância, Número deHoras, Peso, Distância, Número de
Habitantes, Volume, Área, entre outras.Habitantes, Volume, Área, entre outras.

20. RAZÕES INVERSAS
Dizemos que duas razões são inversas
quando o antecedente de uma se torna o
consequente da outra e vice-versa.
O produto entre
duas razões inversas
sempre dará 1.

21. PROPORÇÃO
Duas razões tornam-se uma proporção
quando formam uma igualdade.
LEMOS:
x está para y
assim como
w está para z.

22. PROPORÇÃO
Podemos também representar uma razão
por meio de uma divisão:
EXTREMOS
EXTREMOS
MEIOS
MEIOS

23. EXEMPLO
Formam uma
Proporção?
Sim, pois 10:20 é
igual a 3:6.

24. PROPRIEDADE FUNDAMENTAL
DAS PROPORÇÕES
O produto dos extremos
é igual ao produto dos
meios.

25. PROPRIEDADE FUNDAMENTAL
DAS PROPORÇÕES

26. PELO EXEMPLO
ANTERIOR

27. EXERCÍCIOS
1) Qual a razão que é igual a 2/7 e
cujo antecedente seja igual a 8.
2) Quatro números, 15, 9, x e 15,
todos diferentes de zero, formam
nesta ordem uma proporção.
Qual o valor da quarta
proporcional x?

28. EXERCÍCIOS
3) Se (3, x, 14, ...) e (6, 8, y, ...) forem
grandezas proporcionais, então o
valor de x + y é:
a) 20
b) 22
c) 24
d) 28
e) 32

29. EXERCÍCIOS
4) (PUC) Se (2; 3; x; ...) e (8; y; 4; ...)
forem duas sucessões de números
proporcionais, então:
a) x = 1 e y = 6
b) x = 2 e y = 12
c) x = 1 e y = 12
d) x = 4 e y = 2
e) x = 8 e y = 12