Ângulos 8o ano

Profº: Antônio SoaresAntônio Soares
MATEMÁTICAMATEMÁTICA
Série: 8º anoSérie: 8º ano
Aula: – ÂNGULOSAula: – ÂNGULOS

β αO
A
B
ELEMENTOS DE UM ÂNGULO:
IntroduçãoIntrodução
Denomina-se ângulo a união de duas semirretas que
têm a mesma origem com uma das regiões do plano por
elas limitada.
GEOMETRIA: ÂNGULOSGEOMETRIA: ÂNGULOS

α
0º < α < 180º0º < α < 180º
0º < β < 90º0º < β < 90ºβ
CLASSIFICAÇÃO SEGUNDO A SUA MEDIDA
a) ÂNGULO CONVEXO
a.1) ÂNGULO AGUDO

θ = 90ºθ = 90º
α
90º < α < 180º90º < α < 180º
θ
a.2) ÂNGULO RETO
a.3) ÂNGULO OBTUSO

α + β = 90ºα + β = 90º
θ + δ = 180ºθ + δ = 180º
δθ
α
β
CLASSIFICAÇÃO SEGUNDO A SOMA
a) ÂNGULOS COMPLEMENTARES
b) ÂNGULOS SUPLEMENTARES

α
β
δ ε
φ
α α
CLASSIFICAÇÃO SEGUNDO A SUA POSIÇÃO
a) ÂNGULOS ADJACENTES b) ÂNGULOS CONSECUTIVOS
ÂNGULOS OPOSTOS PELO VÉRTICE
são congruentes
Pode formar mais ângulosUn lado comum

Quantos ângulos temos aqui?
Isso mesmo, temos oito ângulos!

Se estiverem ocupando a mesma posição na reta transversal são
chamados correspondentes.
Esses ângulos recebem, dois a dois,
nomes especiais

Se estiverem ocupando a mesma posição na reta transversal são
chamados correspondentes.
Esses ângulos recebem, dois a dois, nomes
especiais

Ângulos alternos externos
Duas retas paralelas, cortadas por uma transversal determinam
ângulos alternos internos ou externos congruentes.

Exercício
Qual a medida dos ângulos indicados?
Eles estão em que posição em relação à reta transversal?
O que podemos afirmar em relação às suas medidas?
Assim, precisamos resolver a equação 2x + 10º = x + 30º, cujo resultado é x
= 20º.

Ângulos colaterais externos
Duas retas paralelas, cortadas por uma transversal determinam
ângulos colaterais internos ou externos suplementares.

Exercício
Assim, precisamos resolver a equação x + 20º = 180º, cujo resultado é
x = 160º.

Exercício
Assim, precisamos resolver a equação 2x + x = 180º, cujo resultado é
x = 60º.

Exercício
Os ângulos são concorrentes,
logo são ângulos iguais.
3b - 11° = 2b + 6°
3b - 2b = 6° + 11°
b = 17°
Os ângulos são suplementares, logo a soma entre eles é igual a 180°.
a + (2b + 6°) = 180°
a + 2b + 6° = 180°
a + 2(17°) + 6° = 180°(substituímos b por 17°)
a + 34° + 6° = 180°
a + 40° = 180°
a = 180° - 40°
a = 140°

01. Ângulos alternos internos:
m ∠3 = m ∠5; m ∠4 = m ∠6
02. Ângulos alternos externos:
m ∠1 = m ∠7; m ∠2 = m
∠8
03. Ângulos conjugados internos:
m ∠3+m ∠6=m ∠4+m ∠5=180°
04. Ângulos conjugados externos:
m ∠1+m ∠8=m ∠2+m ∠7=180°
05. Ângulos correspondentes:
m ∠1 = m ∠5; m ∠4 = m ∠8
m ∠2 = m ∠6; m ∠3 = m ∠7
ÂNGULOS FORMADOS POR DUAS RETAS PARALELAS
E UMA TRANSVERSAL
1 2
34
5 6
78

α + β + θ = x + yα + β + θ = x + y
α
β
θ
x
y
01- Ângulos que se formam por uma linha poligonal entre
duas retas paralelas.
PROPRIEDADES DOS ÂNGULOS

α
β
θ
δ
ε
α + β + θ + δ + ε = 180°α + β + θ + δ + ε = 180°
02- ÂNGULOS ENTRE DUAS RETAS PARALELAS

α + β = 180°α + β = 180°
α β
03- ÂNGULOS DE LADOS PERPENDICULARES

O complemento da diferença entre o suplemento e o
complemento de um ângulo “X” é igual ao dobro
do complemento do ângulo “X”. Calcule a medida do
ângulo “X”.
90 - { ( ) - ( ) } = ( )180° - X 90° - X 90° - X2
90° - { 180° - X - 90° + X } = 180° - 2X
90° - 90° = 180° - 2X
2X = 180° X = 90°X = 90°
RESOLUÇÃO
Problema Nº 01
A estrutura segundo o enunciado:
Desenvolvendo se obtem:
Logo se reduz a:

A soma das medidas dos ângulos é 80° e o
complemento do primeiro ângulo é o dobro da
medida do segundo ângulo. Calcule a diferença
das medidas desses ângulos.
Sejam os ângulos: α e β
α + β = 80°Dado: β = 80° - α ( 1 )
( 90° - α ) = 2β ( 2 )
Substituindo (1) em (2):
( 90° - α ) = 2 ( 80° - α )
90° - α = 160° -2α
β = 10°
α = 70°
α - β = 70°-10°
= 60°
Problema Nº 02
RESOLUÇÃO
Dado:
Diferença das medidas
Resolvendo

A soma de seus complementos dos ângulos é 130°
e a diferença de seus suplementos dos mesmos
ângulos é 10°. Calcule a medida destes ângulos.
Sejam os ângulos: α e β
( 90° - α ) ( 90° - β ) = 130°+
β + α = 50° ( 1 )
( 180° - α ) ( 180° - β ) = 10°-
β - α = 10° ( 2 )
Resolvendo: (1) e (2)
β + α = 50°
β - α = 10°
(+)
2β = 60°
β = 30°
α = 20°
Problema Nº 03
RESOLUÇÃO
Do enunciado:
Do enunciado:

Se têm ângulos adjacentes AOB e BOC
(AOB<BOC), se traça a bissetriz OM dol ângulo
AOC; se os ângulos BOC e BOM medem 60° e 20°
respectivamente. Calcule a medida do ângulo AOB.
A B
O
C
M
α
α
60°
20°X
Da figura:
α = 60° - 20°
Logo:
X = 40° - 20°
α = 40°
X = 20°X = 20°
Problema Nº 04
RESOLUÇÃO

A diferença das medidas dos ângulos adjacentes
AOB e BOC é 30°. Calcule a medida do ângulo
formado pela bissetriz do ângulo AOC com o lado
OB.
A
O
B
C
θ
θ
X
(θ- X)
( θ + X) (θ - X)= 30º
2X=30º
X = 15°X = 15°
Problema Nº 05
RESOLUÇÃO
M
Construção do gráfico segundo o
enunciado
Do enunciado:
AOB - OBC = 30°
-
Logo se substitui pelo que
se observa no gráfico

Se têm os ângulos consecutivos AOB, BOC e COD
tal que a m∠AOC = m∠BOD = 90°. Calcule a
medida do ângulo formado pelas bissetrizes dos
ângulos AOB e COD.
A
C
B
D
M
N
αα
β
β
θ
X
Da figura:
2α + θ = 90°
θ + 2β = 90°
( + )
2α + 2θ + 2β = 180°
α + θ + β = 90°
X = α + θ + βX = α + θ + β
X = 90°X = 90°
Problema Nº 06
RESOLUÇÃO
Construção do gráfico segundo o enunciado

Se m // n . Calcule a medida do ângulo “X”
80°
30°
α
α
θ
θ
X
m
n
Problema Nº 07

2α + 2θ = 80° + 30°
Pela propriedade
Propriedade do quadrilátero
côncavo
α + θ = 55° (1)
80° = α + θ + X (2)
Substituindo (1) em (2)
80° = 55° + X
X = 25°X = 25°
80°
30°
α
α
θ
θ
X
m
n
RESOLUÇÃO

Se m // n . Calcular a medida do ângulo “X”
5α
4α 65°
X
m
n
Problema Nº 08

5α
4α 65°
X
m
n
Pela propiedad:
4α + 5α = 90°
α = 10°α = 10°
Ângulo exterior do triângulo
40° 65°
X = 40° + 65°
X = 105°X = 105°
RESOLUÇÃO

Se m // n . Calcule a medida do ângulo ”X”
α
2α
x
m
n
θ
2θ
Problema Nº 09

3α + 3θ = 180°
α + θ = 60°α + θ = 60°
Ângulos entre línhas poligonais
X = α + θ X = 60°X = 60°
RESOLUÇÃO
α
2α
x
m
n
θ
2θ
x
Ângulos conjugados
internos

PROBLEMA 01- Se L1 // L2 . Calcule a m ∠ x
A) 10° B) 20° C) 30° D) 40° E) 50°
x
α
α
β
β
4x
3x
L1
L2

m
n
30°
X
PROBLEMA 02- Se m // n. Calcule a m ∠ x
A) 18° B) 20° C) 30° D) 36° E) 48°

PROBLEMA 03- Se m // n. Calcule a m ∠ α
A) 15° B) 22° C) 27° D) 38° E) 45°
3α
3α
3α
α
m
n

PROBLEMA 04- Se m // n. Calcule o valor de “x”
A) 10° B) 15° C) 20° D) 25° E) 30°
40°
95°
α
α
2x
m
n

PROBLEMA 05- Calcule m ∠ x
A) 99° B) 100° C) 105° D) 110° E) 120°
3α
6α
x

α
4θ
4α
θ
X
m
n
PROBLEMA 06- Se m // n. Calcule m ∠ x
A) 22° B) 28° C) 30° D) 36° E) 60°

A) 24° B) 25° C) 32° D) 35° E) 45°
PROBLEMA 07- Se. Calcule m ∠ x
88°
24°
x
α
α
θ
θ
m
n

20°
30°
X
m
n
A) 50° B) 60° C) 70° D) 80° E) 30°

PROBLEMA 09- Se m//n e θ - α = 80°. Calcule m∠x
A) 60° B) 65° C) 70° D) 75° E) 80°
θ
θ
x
α
α
m
n

A) 20° B) 30° C) 40° D) 50° E) 60°
x
x
x
m
n

PROBLEMA 11- Se m // n. Calcule m ∠ α
A) 46° B) 48° C) 50° D) 55° E) 60°
180°-2α
α
2α
m
n

A) 30° B) 36° C) 40° D) 45° E) 50°
α
α
θ
θ
x
80°
m
n

A) 30° B) 40° C) 50° D) 60° E) 70°
80°
α
α
β
β
m
n
x

REPOSTAS DOS PROBLEMAS PROPOSTOS
1. 20º 8. 50º
2. 30º 9. 80º
3. 45º 10. 30º
4. 10º 11. 60º
5. 120º 12. 40º
6. 36º 13. 50º
7. 32º

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