Gab matrizes.
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- 1. MATRIZES – OPERAÇÕES – 2012 - GABARITO 1. Determine as matrizes (2x2) cujos elementos foram dados: a) =+ ≠ = jise,ji jise,2 aij b) <− ≥− = jise,ji jise,j3i2 b 2 ij Solução. A matriz 2x2 apresenta 1 ≤ i ≤ 2 e 1 ≤ j ≤ 2. a) ⇒ =+= = = =+= 42 22 422a 2a 2a 211a 22 21 12 11 . b) − −− ⇒ −=−=−= =−=−= −=−=−= −=−=−= 21 11 2642.32.2b 1341.32.2b 12121b 1321.31.2b 22 21 2 12 11 . 2. Escreva a matriz A = (aij) do tipo 3x4 sabendo que aij = 2i – 3j. Solução. A matriz 3x4 apresenta 1 ≤ i ≤ 3 e 1 ≤ j ≤ 4. −− −−− −−−− =⇒ −=−=−= −=−=−= =−=−= =−=−= −=−=−= −=−=−= −=−=−= =−=−= −=−=−= −=−=−= −=−=−= −=−=−= = 6303 8521 10741 A 61264.33.2a 3963.33.2a 0662.33.2a 3361.33.2a 81244.32.2a 5943.32.2a 2642.32.2a 1341.32.2a 101224.31.2a 7923.31.2a 4622.31.2a 1321.31.2a A 34 33 32 31 24 23 22 21 14 13 12 11 . COLÉGIO PEDRO II - CAMPUS SÃO CRISTÓVÃO III 3ª SÉRIE – MATEMÁTICA I – MA-INFO – PROF. WALTER TADEU www.professorwaltertadeu.mat.br
- 2. 3. Dada a matriz = 017-5 1-032- B , calcule a11 + a21 – a13 + 2.a22. Solução. Identificando os elementos e efetuando as operações, temos: 111452)7.(2)0(5)2(a.2aaa 22132111 −=−+−=−+−+−=+−+ . 4. Dada a matriz C = − 2,51 1- 2 1 5-7 32 , calcule 3.a31 – 5.a42. Solução. Identificando os elementos e efetuando as operações, temos: 115,125,15,12)5,0.(3)5,2.(5 2 1 .3a.5a.3 4231 −=−=−=− =− . 5. Determine x e y tais que: a) = − + 9 11 2 2 yx yx b) − − = 11 11 ²yx y²x Solução. Duas matrizes são iguais se cada elemento na mesma posição for igual. a) 11011)5(211y 5 4 20 x20x4 9yx2 11yx2 9 11 yx2 yx2 =−=−= ==⇒=⇒ =− =+ ⇒ = − + .
- 3. b) 11011)5(211y 1y 1x )Interseção( 1y 1y 1y 1x 1y 1x 1x 1x 11 11 ²yx y²x 2 2 =−=−= −= −= ⇒ −= = ⇒= −= −= −= = ⇒= ⇒ − − = . 6. Determine o valor de x ∈ IR, na matriz A, para que A = At , sendo A = xx x 21 ²3 . Solução. Igualando a matriz à sua transposta, temos: = = ⇒=−⇒=−⇒=⇒ = ⇒ = = 21x 0x 0)21x(x0x21xx21x x²x x213 xx21 ²x3 x²x x213 A xx21 ²x3 A 22 t . 7. Determine a, b e c para que = −− + − 143 502 341 13 20 23 b c aa . Solução. Efetuando a soma das matrizes e igualando à do 2º membro, temos:
- 4. = −= = ⇒−=−=⇒=+⇒ = =⇒= =+ ⇒ ⇒ =+ =− =+ ⇒ = +−++ −−+ ⇒ = −− + − 2c 1b 3a 132b2b3 2c 3a6a2 2ba 31c 51a2 2ba 143 502 32401c 1a233ba 143 502 341 13b 20c a23a . 8 Dadas as matrizes − −−= 534 201 321 M , = 100 010 001 N e − − − = 023 102 110 P calcule X, de modo que: a) X – M = N – P b) P + X = M – N c) X + (M – P) = N Solução. Isolando X no 1º membro e efetuando a operação que se apresentar no 2º membro, temos: a) − −= − − − − + − −−=−+= 657 311 232 023 102 110 100 010 001 534 201 321 PNMX . b) − −−= − − − − − − −−=−−= 457 311 230 023 102 110 100 010 001 534 201 321 PNMX . c) −− − −− = − − − + + − −−−=++−= 457 311 230 023 102 110 100 010 001 534 201 321 PNMX . 9. (FGV) Considere as matrizes − = 12 02 51 A e = 156 651 B e seja C = AB. A soma dos elementos da 2a coluna de C vale: a) 35 b) 40 c) 45 d) 50 e) 55 Solução. Como A é de ordem 3 x 2 e B de ordem 2 x 3, então C = A.B será de ordem 3 x 3. Não é necessário efetuar o produto de toda a matriz. Basta identificar os elementos da 2º coluna de C: 3554051030ccc 55105.15.2c 100105.05.2c 302555.55.1c 322212 32 22 12 =−=−+=++⇒ −=+−=+−= =+=+= =+=+= .
- 5. 10. Calcule a e b de modo que −− − = − − ⋅+ − 52 239 12 31 03 21 ba . Solução. Efetuando a multiplicação por escalar e resolvendo a equação, temos: = −= ⇒ −=−=⇒=+− =⇒−=− ⇒ −− − = −− −+− ⇒ ⇒ −− − = − − + − ⇒ −− − = − − ⋅+ − 5b 4a 495a9ba 5b5b 52 239 bb2a3 b3a2ba 52 239 bb2 b3b 0a3 a2a 52 239 12 31 b 03 21 a . 11. Considere as seguintes matrizes − − = 606 411 046 D −− −− = 237 796 C e −− −− − = 106 401 996 E . Se for possível, calcule: a) 2C – D b) (2Dt – 3Et )t c) D² - DE Solução. Analisando as possibilidades, temos: a) Não é possível efetuar 2C – D, pois a ordem de C é 2x3 e a ordem de D é 3x3. b) Calculando as transpostas pedidas e efetuando, temos: ( ) −− = − − =−⇒ − − =− −−− −− − −− = −−− −− − −− =− 1506 2025 271930 152027 0219 6530 E.3D.2 152027 0219 6530 E.3D.2 31227 0027 18318 1280 028 12212 149 009 616 .3 640 014 616 .2E.3D.2 t ttttt tt . c) Efetuando as operações, temos: − −− − =− −− − −− − − − − = −− −− − − − − − − − − =− 123072 45410 223480 E.DD 5472 919 5440 36240 28529 162040 106 401 996 . 606 411 046 606 411 046 . 606 411 046 E.DD 2 2 .
- 6. 10. Calcule a e b de modo que −− − = − − ⋅+ − 52 239 12 31 03 21 ba . Solução. Efetuando a multiplicação por escalar e resolvendo a equação, temos: = −= ⇒ −=−=⇒=+− =⇒−=− ⇒ −− − = −− −+− ⇒ ⇒ −− − = − − + − ⇒ −− − = − − ⋅+ − 5b 4a 495a9ba 5b5b 52 239 bb2a3 b3a2ba 52 239 bb2 b3b 0a3 a2a 52 239 12 31 b 03 21 a . 11. Considere as seguintes matrizes − − = 606 411 046 D −− −− = 237 796 C e −− −− − = 106 401 996 E . Se for possível, calcule: a) 2C – D b) (2Dt – 3Et )t c) D² - DE Solução. Analisando as possibilidades, temos: a) Não é possível efetuar 2C – D, pois a ordem de C é 2x3 e a ordem de D é 3x3. b) Calculando as transpostas pedidas e efetuando, temos: ( ) −− = − − =−⇒ − − =− −−− −− − −− = −−− −− − −− =− 1506 2025 271930 152027 0219 6530 E.3D.2 152027 0219 6530 E.3D.2 31227 0027 18318 1280 028 12212 149 009 616 .3 640 014 616 .2E.3D.2 t ttttt tt . c) Efetuando as operações, temos: − −− − =− −− − −− − − − − = −− −− − − − − − − − − =− 123072 45410 223480 E.DD 5472 919 5440 36240 28529 162040 106 401 996 . 606 411 046 606 411 046 . 606 411 046 E.DD 2 2 .