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Apostila bastante completa de matematica

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Apostila de Matemática
UNIDADE 1
1 – Operações com frações
2 – Divisão de frações
3 – Operações com números relativos
4 – ...
1 – Operações com frações
O método mais direto de resolver frações é o do máximo divisor comum:

 bd
a
c
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+
=  b
b
d

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b
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2
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Ex. 2) 8
4
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8
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8 ×2 +...
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  1. 1. Apostila de Matemática UNIDADE 1 1 – Operações com frações 2 – Divisão de frações 3 – Operações com números relativos 4 – Resolução de equações do 1º grau (1º tipo) 5 – Resolução de equações do 1º grau (2º tipo) 6 – Resolução de equações do 1º grau (3º tipo) 7 – Equação do 2º grau incompleta (1º tipo) 8 – Equação do 2º grau incompleta (2º tipo) 9 – Equação do 2º grau completa 10 – Radicais 11 – Operações com radicais 12 – Exponenciais 13 – Propriedade distributiva 14 – Produtos notáveis 15 – Diferença de quadrados 16 – Trinômio ao quadrado 17 – Binômio ao quadrado 18 – Fatoração 19 – Racionalização de expressões numéricas 20 – Racionalização de expressões algébricas 21 – Solução de equações irracionais 22 – Resolução de sistemas de 2 equações a 2 incógnitas UNIDADE 2 matemática aplicada UNIDADE 3 estatistica UNIDADE 4 regras de três UNIDADE 4 razões e proporções 1
  2. 2. 1 – Operações com frações O método mais direto de resolver frações é o do máximo divisor comum:  bd a c  + =  b b d   bd  da + bc a +   ×c =   d  bd bd 3×7  3×7  2 5 29  ×2 +   × 5 14 + 15 Ex. 1) + =  3  = =  7  3 7 21 21 3×7  5×7   5×7  4 2 28 −10 18  ×4 − ×2 Ex. 2) =  5  = =  7  5 7 35 35 5 ×7 Para 3 ou mais frações o procedimento é o mesmo. a b + c d e f + = b d f  b d f  ×a +   b   d bd b d f   ×c +   f  ×e     f = (d f ) a + (b f ) c + (b d ) e bd f Ex. 3) 5 4 5 5 7 × ×   7 × ×4   7 × ×4  2  ×5 +  × − ×3 5 2 3 7 5 4 + =  =      7 5 4 7 × ×4 5 = 20 × +28 × −35 × 5 2 3 51 = 20 × 7 140 Resolver: a) 2 1 + 7 9 b) 3 1 7 5 c) 8 4 11 5 d) 1 2 3 + + 4 9 7 e) 4 3 4 − + 9 8 11 f) 5 2 4 + − 3 9 5 2 – Divisão de frações a c ÷ b d É só inverter a 2ª fração e multiplicar 2
  3. 3. a c a d ÷ × = b d b c Ex. 1) = ad bc 2 4 2 7 14 7 ÷ × = = = 3 7 3 4 12 6 5 Ex. 2) 8 4 3 = 5 3 15 × = 8 4 32 8 ×2 + 5 × 5 2 5 41 + 5 ×8 41 14 287 5 8 = × Ex. 3) = 40 = = 8 −7 4 1 1 40 1 20 − 2 ×7 7 2 14 Resolver: a) 11 2 ÷ 23 5 b) 4 8 ÷ 3 9 2 4  15 1  +  d)  +  ÷  2 3 7 4 c) 3 1 ÷ 7 8 7 1  4 7  e)  −  ÷  +  3 5 3 8  3 – Operações com números relativos Ex. 1) -2 + (-3) → -2 – 3 = - 5 Ex. 2) +5 – (-8) → 5 + 8 = 11 Ex. 3) (-2) × (-3) = 6 Ex. 4) (-3) × 5 = -15 Ex. 5) (-2)2 = (-2) × (-2) = 4 Ex. 6) (-3)3 = (-3)2 × (-3) = 9 × (-3) = - 27 Resolver: a) -9 + 12 – (-14) = b) 13 + (-9) – 3 = c) 7 – (-8) = d) -14 – (-12) – 24 = 3
  4. 4. e) (-3) × (-8) + 25 = f) 9 × (-2) × (-3) = g) (-5)2 = h) (-2)5 = 4 – Resolução de equações do 1º grau Ex. 1) ax = b , divide os 2 membros por “a” ax/a = b/a → x = b/a Resolver: a) 3x = -7 b) 15x = 3 5 – Equações do 1º grau (continuação) Ex. 1) 6x + 8 = 26 (subtrai 8 nos dois membros p/ isolar x) 6x + 8 – 8 = 26 – 8 → 6x = 18 → x = 18/6 → x = 3 Ex. 2) 3x – 12 = -13 (soma 12 nos dois membros p/ isolar x) 3x – 12 + 12 = 12 – 13 → 3x = -1 → x = -1/3 Resolver: a) 4x + 12 = 6 b) 7x + 13 = 9 c) -5x – 9 = 6 d) 3x + 15 = 0 6 – Equações do 1º grau (continuação) Ex. 1) 5x – 13 = 2x + 7 (subtrai 2x nos dois membros) 5x – 2x – 13 = -2x + 2x + 7 3x – 13 = 7 (soma 13 nos dois membros) 3x – 13 + 13 = 7 + 13 → 3x = 20 → x = 20/3 Resolver: a) 3x + 9 = 5x + 3 b) -2x + 3 = 12 + 3x c) 7x – 13 = -3x + 7 d) 9x – 2 = 6x + 4 e) (2 – x) – (7 – 3x) = 5 + 6x 7 – Equação do 2º grau incompleta (1º tipo) 4
  5. 5. Ex. 1) x2 = 4 → x2 = (extrai a raiz de ambos os membros) 4 X = ± 2 (Eq. do 2º grau sempre tem 2 respostas) Prova: (x)2 = (+2)2 → x2 = 4 As 2 raízes satisfazem 2 (x) = (-2) 2 → x = 4 2 Resolver: a) 3x2 = 12 b) x2 = 7 8 – Equação do 2º grau incompleta (2º tipo) Ex. 1) x2 – 2x = 0 (põe x em evidência) x–2=0 →x=2 Resulta (x – 2)x = 0 x=0 → x=0 Resolver: a) 4x2 – 8x = 0 b) x2 + 3x = 0 c) 3x2 + 7x = 0 d) x2 – 5x = 0 9 – Equação do 2º grau completa Forma: ax2 + bx + c = 0 Solução: ∆ = b2 – 4ac , ∆ > 0 (solução real, 2 raízes diferentes) ∆ = 0 (sol. real, 2 raízes iguais) Fórmula: x = −b ± ∆ ou x’ = (-b + 2a ∆ ) / 2a x” = (-b - ∆ )/2a Ex. 1) 2x2 + 5x + 2 = 0 ∆= 25 −4 ×2 ×2 = 25 −16 = 9 =3 Soluções: x’ = (-5 + 3) / 4 = -2/4 = -1/2 x” = (-5 – 3) / 4 = -8/4 = -2 Resolver: a) x2 – 5x + 6 = 0 b) x2 – 6x + 8 = 0 5
  6. 6. c) 3x2 + 11x + 8 = 0 10 – Radicais → A = radicando; n = índice da raiz e m = expoente do radicando n Am n m/n Am = A Ex. 1) (fórmula geral) 4 = 2/2 1 22 = 2 = 2 = 2 2 Ex. 2) 3 27 = Ex. 3) 5 1024 = Ex. 4) ( x ) 2 3 = 3 33 5 = 210/5 = 22 = 4 210 x × = x = x2 = x 11 – Operações com radicais Ex. 1) x × x = Ex. 2) x × y 8 = 3 Ex. 3) 3 Ex. 4) xn x n −2 Ex. 6) 16 = xy 23 = 2 2 82 92 64 = 81 Ex. 5) 2/2 = x x2 = x = = 8 8    = 9 9  = x n −( n −2 ) 24 = = 24 / 2 x2 = x = 2 Resolver: a) 3 729 b) d) 4 81 e) 3 c) 64 ( x +2) 2 f) 5 710 81 12 – Exponenciais Ax - A é a base, x é o expoente P1) Ax × Ay = Ax+y P2) Ax / Ay = Ax-y 6
  7. 7. P3) (Ax)y = Ax.y P4) (A . B)x = AxBx 1 = A −x x A P5) x A   B  e = Ax = Ax . B-x Bx Ex. 1) 27 = 23+4 = 23 . 24 = 8 × 16 = 128 Ex. 2) (22)3 = 26 = 23+3 = 23 . 23 = 8 × 8 = 64 Ex. 3) (2 × 3)3 = 23 × 33 = 22 × 2 × 32 × 3 = 4 × 2 × 9 × 3 = 216 Ex. 4) 523 = 523-20 = 53 = 52 × 5 = 25 × 5 = 125 20 5 Resolver: 74 b) 2 7 10 a) 2 4 3  c)   2  d) 16 × 2-3 13 - Propriedade distributiva 1) A × (B + C) = A × B + A × C 2) (A ± B)(C + D) = (A ± B)(C + D) = A(C + D) ± B(C + D) Ex. 1) 2(4 + x) = 8 + 2x Ex. 2) (3 – x)(x – 2) = 3(x – 2) – x(x – 2) = 3x – 6 – x2 + 2x = -x2 + 5x – 6 Resolver: a) (x - 7 )(x + 7) b) (a + b)(a + b) c) (2 + 3 )(2 - 3) d) (2 + x )(3 + 2 x) 14 – Produtos notáveis (A + B)2 Pode ser resolvido usando a propriedade distributiva ou a regra a seguir: (A + B)2 = (A + B)(A + B) = A2 + 2AB + B2 (A – B)2 = (A – B)(A – B) = A2 – 2AB + B2 Ex. 1) (x – 2)2 = x2 – 4x + 4 7
  8. 8. Resolver: a) (x – 3)2 b) (a + 2)2 15 – Diferença de quadrados c) (x + y)2 x2 – a2 = (x – a)(x + a) Ex. 1) x2 – 4 = (x – 2)(x + 2) Ex. 2) x2 – 3 = (x - 3 )(x + Ex. 3) x2 – A = (x - A )(x + 3) A) Resolver: a) ( 3 - 2)( 3 + 2) = b) x2 – 16 = c) x2 – 7 = d) (2 + 3 )(2 - 3) = 16 – Trinômio ao quadrado (a + b + c)2 = [(a + b) + c)]2 = (a + b)2 + 2(a + b)c + c2 = a2 + 2ab + b2 + 2ac + 2bc + c2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc Resolver: a) (x + y + 1)2 b) (x – y +2)2 17 – Binômio ao cubo (a + b)3 = (a + b)2 × (a + b) 18 – Fatoração (tirar fator comum para fora do parênteses) Ex. 1) 2x2 + 4x = 2x(x + 2) Ex. 2) x x + x2 = x( x + x) 8
  9. 9. 5 x ( x + 3) 2 + 4 x 2 ( x + 3) x( x + 3)( x + 2) Ex. 3) x ( x + 3) [5( x + 3) + 4 x ] x ( x + 3)( x + 2 ) = = 5 x + 15 + 4 x x +2 = 9 x +15 x +2 Resolver: a) 8 x2 + 4x = 2 x +1 c) ( a + b)2 ( a + b) [( 3x b) d) = (x ) ( )] x +1 − 2 x +1 3 x +1 ( ) −4 ( x − 2) 2 ) = = 19 – Racionalização de expressões numéricas Consiste em tirar uma raiz do denominador. 1 Ex. 1) n → A 1 = 2 Ex. 2) 9 Ex. 3) 3 An −1 n 3 32 3 32 1 × n = A 1 = 2 2 × 2 = 3 An −1 n ×3 9 3 = An −1 n n n = An An −1 A 2 2 9 3 32 3 = 33 9 3 32 = 33 9 3 Resolver: a) 3 b) 3 3 3 c) 5 2 4 d) 3 1 3 9 20 - Racionalização de Expressões Algébricas Multiplica numerador e denominador pelo denominador com o sinal do meio trocado, para resultar numa diferença de quadrados. Ex.1) x x+ x = x (x + x− x ) (x − x x) = x (x − x ) x 2 −x = x (x − x) x ( x −1) = x− x x −1 9
  10. 10. 3 (2 − 3 ) 3 (2 − 3 ) 3 3 2− 3 = = = = 3( 2 − 3 ) 2 2 −2 1 2+ 3 (2 + 3 ) (2 − 3 ) Ex. 2) Resolver : a) d) 1 b) 1+ 2 7 e) 3+ 7 1 1− x 1 a + b 2 c) f) x +1 1 3+ 2 21 - Solução de Equações Irracionais Ex.1) 3 = x 2 +2 − 1 → isola a raiz = 4 16 x2 +2 = x2 + 2 → eleva ao quadrado ambos os membros → x 2 =14 → x =± 14 Resolver: a) x= d) 2 −x = b) x x e) 2= x − 1 c) 5 = x 2 −1 + 3 x = 1 −x 22 - Resolução de Sistemas de Equações a 2 Incógnitas Resolver o sistema de equações: existem 2 métodos; substituição e eliminação. 3 x + 2 y = 12 x + y =5 1) 2) a) Por substituição : da equação 2) obtém-se x = 5 - y que é substituído na 1). Então 3(5 - y) + 2y =12 → y = 3 e volta para x, ou seja x = 5 - y = = 5 - 3 = 2. b) Por eliminação: multiplica-se a 2) por -3 e soma-se com a 1) Então 10
  11. 11. 3x + 2y = 12 -3x - 3y = -15 -y=-3 → y = 3 voltando na 2) , tem-se x = 2. Resolver: a) 2x + y = 12 x + 7y = 19 c) b) 2x + 3y = 8 3x + 4y = 11 d) 3x + 2y = 4 x-y = 2 x - y =3 2x + y = 9 Respostas das Questões 1) a) 25/63 ; b) 8/35 ; e) 343/792 ; c) -4/55 ; d) 227/252 ; f) 147/135 2) a) 55/46 b) 3/2 ; 3) a)17 ; b) 1 ; c) 15 ; f) 54 ; g) 25 ; h) –32 4) a) x= -7/3 ; c) 24/7 ; d) 104/357 ; d) –26 ; e) 256/371 e) 49 ; b) x=1/5 5) a) –3/2 ; b) -4/7 ; 6) a) x=3 ; b) x=-9/5 ; c) x=2 ; 7) a) x= ±2 ; c) x= -3 ; d) x= - 5 d) x=2 ; e) x= -5/2 b) x = ± 7 8) a) x=0 e x= 2 ; b) x=0 e x= -3 ; c) x=0 e x= -7/3 ; d) x=0 e x= 5 9) a) x=2 e x=3 ; 11) a) 9 ; b) x=4 e x= 2 ; b) 4 ; c) 49 ; c) x= -1 e x = -8/3 d) 3 ; e) x + 2 ; f) 3 12) a) 1024 ; b) 49 ; c) 81/16 ; 13) a) x2 – 7 ; b) a2 + 2ab +b2 ; c) 1 ; d) 2x + 7 14) a) x2 – 6x +9 ; b) a2 + 4a + 4 ; 15) a) –1 ; b) (x-4)(x+4) ; 16) a) x2 + y2 +1 + 2xy + 2x + 2y ; d) 2 x +6 c) x2 +2xy + y2 c) ( x - 7 )(x + 7) ; d) 1 b) x2 + y2 + 4 - 2xy + 4x - 4y 11
  12. 12. 18) a) 4x ; b) x - 2 ; 19) a) b) 20) a) 3 ; 3 2 -1; 3 c) a + b ; 25 /5 ; b) (1 + d) (7/2).(3 - 5) ; 21) a) x=0 e x=1 ; d) x=4 e x= 1 ; d) x+ 2 c) 2 4 27 /3 ; d) x ) / (1 - x) ; e) ( a - 3 81 / 9 c) 2 ( b )/ (a2 – b2 ) ; f) x -1 ) / (x -1) 3 - 2 c) x = ± 5 b) x=5 ; e) x= ( 1± 5 )/2 UNIDADE 2 1 - INTRODUÇÃO NÚMEROS REAIS O conjunto de números reais é normalmente associado a uma reta. Esse conjunto infinito é representado pelo símbolo R. Os números reais podem ser fracionários nos negativos ... -3 -2 -1 nos positivos 0 1 2 3 ... 12
  13. 13. Ex.: 2,7893 . NÚMEROS (REAIS) RACIONAIS São números que podem ser expressos na forma p/q , onde p e q são inteiros positivos ou negativos. 0 1 1 2 1 2 21 , , , , , , , ... , etc. 1 1 2 1 3 7 13 Ex.: racionais positivos ou - 1 5 2 41 ,,,, ... , etc. 2 7 3 17 racionais negativos NÚMEROS (REAIS) IRRACIONAIS São números que não podem ser postos na forma anterior (p/q) e são por exemplo: 2 , 3 , - 5 , π , etc. VARIÁVEIS E CONSTANTES Chama-se variável real a um símbolo capaz de representar qualquer número de um conjunto de números reais. Representação (x, y, z, s, ...) Por outro lado, um símbolo que represente sempre um mesmo número é denominado de constante. Ex.: π, e, 3 , etc. Os valores que uma variável pode assumir são representados por intervalos , que são definidos a seguir. Seja a e b números reais, tais que a < b. 1 - O intervalo aberto de a até b, denotado por (a,b), é o conjunto de todos os números reais x, tais que a < x < b. Os pontos extremos não pertencem ao intervalo. ( | | | | | | | a ) b 2 - O intervalo fechado de a até b, representado por [a,b] é o conjunto de números reais x, tais que a ≤ x ≤ b. Os extremos a e b pertencem ao intervalo. [ | | | | | | | a ] b 3 - Intervalo aberto à direita, de a até b, representado por [a,b) é o conjunto de números reais x, tal que a ≤ x < b. Neste caso a pertence ao intervalo, mas b não pertence. [ | | | | | | | a ) b 13
  14. 14. 4 - Intervalo aberto à esquerda (a , b]. b ∈ ao intervalo. a ∉ ao intervalo. ( OUTROS TIPOS DE INTERVALOS | | | | | | | a ] b Existem também os intervalos não limitados representados com os símbolos +∞ e -∞ (infinito). Os intervalos 1 - De a até +∞ , representado por (a, +∞) é o conjunto de todos os números reais x tal que x > a. ( a +∞ 2 - De -∞ até a é (-∞, a) é o conjunto dos números reais x tal que x < a. -∞ ) a a ∉ ao intervalo 3 - De a até +∞, representado por [a, +∞) é o conjunto de todos os números reais x, tais que x ≥ a. [ a +∞ a ∈ ao intervalo 4 - De -∞ até a, (-∞,a] , x ≤ a. ] -∞ a a ∈ ao intervalo 5 - O intervalo (-∞, +∞) é o conjunto dos números reais R. Noção de dependência ou funcionalidade. Em nosso cotidiano, sempre nos deparamos com fatos que relacionam duas grandezas (variáveis), por exemplo: 1) A área de uma circunferência A = π r2 depende de seu raio. A depende do r, que podemos dizer A é função de r, ou ainda A = f(r). 2) O valor do selo depende do peso da carta, Valor = f(peso). 3) A velocidade de um carro depende da potência de seu motor, ou também V = f(P) Com isso podemos criar um conceito matemático que seja capaz de descrever a relação entre variáveis, esse conceito é o de função. 14
  15. 15. 1.1 - FUNÇÕES REAIS Diz-se que uma variável y é uma função de uma variável x, quando a cada valor de x corresponda, mediante uma certa lei, um valor para y. Pode-se dizer que função é uma regra ou correspondência que associa um valor da variável y a cada valor da variável x. Uma função é representada por y = f(x) onde x → variável independente, que pode variar livremente y → variável dependente Lê-se: y é igual a f de x (ou função de x). Domínio da variável independente O domínio da variável independente é o conjunto de valores numéricos que essa variável pode assumir. Domínio da função Ou campo de existência (definição) de uma função é o conjunto de pontos onde a função é definida ou existe (tem valor finito e real). Se a função for do tipo y = P ( x ) , para que ela exista, a raiz deve ser positiva para ser real , então a condição é P(x)≥0 . Se a função for do tipo y = P(x)/Q(x) , para que ela exista, não deve haver zero no denominador, então a condição é Q(x)≠0 . E finalmente, se função for do tipo y = Q(x) / P ( x ) , para que ela exista, não pode dar zero no denominador e a raiz deve ser positiva para ser real , então a condição é P(x)>0 . Entretanto, existem exceções para este caso, por exemplo se P(x)=x 2 + 3, seu valor será sempre positivo para qualquer valor de x. Exemplos: Achar o campo de existência (domínio) das funções: a) y = 2x + 3 b) y = f(x) = x2 + 2 x pode assumir qualquer valor real que, y existe e é finito.Seu domínio é (-∞, +∞) ou -∞ < x < + ∞. -∞ x 0 +∞ Neste caso, x pode assumir qualquer valor que sempre resulta em y real e finito, então o domínio da função é D: (-∞,∞). c) y = 3 x −2 agora x só não pode ter o valor 2, porque neste caso, y → ∞, logo o domínio é (-∞, 2) e (2, +∞). 15
  16. 16. -∞       )(       2 +∞ GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO O gráfico de uma função f é o conjunto de todos os pontos (x, y) no plano xy, onde x pertence ao domínio de f e y é a imagem de f. Exemplo: Esboce o gráfico da função f definida pela equação y = 2x2 , com a restrição x ≥ 0. + y (ordenada) Y Uma função, pela sua definição, a cada valor de x corresponde um =2x , x ≥0 de y. Assim, único valor (4,32) o gráfico a seguir não representa uma função. X 0 2 8 18 32 50 2 Y P y (1,2) Q O O 1 2 x3 4 +x (abcissa) mesma abcissa Para ser uma função, dois pontos distintos (em y) de um gráfico não podem possuir a mesma abcissa (x). Domínio via gráfico O domínio de uma função é o conjunto de todas as abcissas dos pontos do gráfico. y ordenadas f x abcissas O domínio de f 16
  17. 17. Imagem A imagem de uma função é o conjunto de todas as ordenadas dos pontos do gráfico. y f Imagem de f O y Exemplo: Dada a função y = x −1 ,queremos estudar o seu comportamento. Faça o gráfico de f e determine o seu domínio e imagem (nesse intervalo). Solução: Como y = f(x) = x −1 , a condição de existência da função é que x - 1 ≥ 0 para que a raiz exista no campo dos números reais. Assim, x - 1 ≥ 0 → x ≥ 1 ou D: [1 , ∞ ). Para se fazer o gráfico da função construi-se a tabela, respeitando este dominio. y 1 x Q y 1,00 1,25 1,50 1,75 2,00 0,00 0,50 0,71 0,87 1,00 0,5 Imagem de f Gráfico de f 2 x Domínio de f , D : [1,∞} e I : [ 0, ∞ } Quando uma função f é definida por uma equação y = f(x) e nenhuma restrição é dada, o domínio de f consiste em todos os valores de x para os quais a função existe. Exemplo: Dada a função y = 3x + 1 x pode assumir qualquer valor, então o domínio de f é R dos números reais. y y = 3x + 1 Domínio = R Imagem = R 1 x 17
  18. 18. Exemplo: Dada a função y= 4 −x (Condição de existência 4 - x ≥ 0) já que 4 − x é definido somente para 4 - x ≥ 0, isto é, x ≤ 4, o domínio de f é o intervalo (-∞, 4] e a sua imagem é o intervalo [0 , ∞). A raiz quadrada tem dois sinais, ± , mas para que y seja uma função toma-se só um sinal, e a preferência é para o sinal positivo. Então y ≥ 0. x y   -2 -1 0 1 2 4 y 6 = 2,45 ... 5 = 2,24 ... 2 3 = 1,73 2 = 1,41 0 y= 4− x 2 O x 4 Domínio da função: (-∞ 4] → é o domínio de x → -∞ < x ≤ 4. Imagem da função: [0, ∞) pois y ≥ 0. y O domínio de f é o próprio domínio de x, isto é, o intervalo onde x existe. Neste exemplo x existe de (-∞ a 4]. X Y A imagem de f é o intervalo onde y existe, no caso y ≥ 0 então [0, ∞). -3 1 / 4 = 0,25 -2 1 / 3 = 0,33 1 -1 1 / 2 = 0,50 1 2 3 4 1 ∞ -3 -2 -1 –1 –1/2 = -0,50 –1/3 = -0,33 A Achar o Exemplo: condição de existência da função 0, que fornece os –1/4 = -0,25 domínio e a imagem é 1-x ≠ 5 x dois = f(x) = 1 para o domínio e a imagem : y intervalos 1−x Domínio: (-∞, 1) e (1, ∞) Imagem : (-∞, 0) e ( 0, ∞) x = 1 (singularidade ) 18
  19. 19. Exercício proposto 1) Achar o domínio e imagem da função y = Condição de existência x ≠ 0 1 x (hipérbole) y D : (-∞, 0) (0, ∞) x I : ( -∞, 0) (0, ∞) x = 0 (singularidade) VALOR ABSOLUTO Se x é um número real, então o valor absoluto de x, representado por x, é definido por se x≥0 -x se x<0 x x = Exemplo: 7 = 7 pois 7 > 0, -3 = - (-3) = 3 pois -3 < 0 19
  20. 20. O valor absoluto de um número real é sempre positivo. PROPRIEDADES DO VALOR ABSOLUTO (Todas as propriedades abaixo valem para os sinais >, ≥ , < e ≤ ) Suponha que X e Y são números reais ou funções. 1) X + Y ≤ X + Y desigualdade triangular, EX.: X=2 e Y=3 (igual) e X = -2, Y = 1 (maior) 2) X = Y se e somente se X = ± Y ( ou X = Y e X = - Y ) 3) X < Y 4) X ≥ Y se e somente se -Y < X< Y (ou X < Y e X > -Y ) Neste caso, os valores de X estão internos aos de Y -Y X Y se e somente se X ≥ Y ou X ≤ -Y X Neste caso, os valores de X estão externos aos de Y -Y Y Exemplo1: Achar o domínio (solução) da expressão 3x + 2 ≥ 5 Solução: Usando a propriedade 4, do valor absoluto, onde X=3x+2, e Y=5 tem-se 3x + 2 ≥ 5 e 3x + 2 ≤ -5 Isolando x → 3x ≥ 5 - 2 Isolando x,→ 3x ≤ -5 - 2 3x ≥ 3 3x ≤ -7 x≥1 x≤- solução existe no domínio (-∞, -7/3] e [1, ∞) ∞ x Exemplo 2 : Achar o 7 3 x -7/3 ∞ conjunto solução 1 da expressão 2x + 3 < 3 Solução: Pela propriedade 3 , monta-se as duas equações 2x +3 > -3 2x>-6 ou x >-3 e 2x + 3 <3 2x < 0 ou x<0 x -3 0 Exemplo 3: Achar x que satisfaz à expressão  x -2 = 5 20
  21. 21. Solução: Pela propriedade 2 , tem-se x-2 = 5 = -3 satisfazem a equação dada. e x-2 = -5 , cujas soluções são x = 7 e x Exemplo 4: Estudar a função y = x A variável independente conjunto dos números reais R. x pode assumir qualquer valor, portanto o domínio é o y y = x x D : (-∞,∞) I : [0 , ∞) DESIGUALDADES (do 2o grau) As desigualdades também apresentam soluções dentro de um intervalo do conjunto dos reais. A teoria vale para os sinais (>, ≥ ,< e ≤) . Exemplo, dada a desigualdade a x2 + b x + c > 0 , as soluções x 1 e x2 são obtidas com se fosse uma equação do 2o grau ,ou x1 = (- b + b 2 − 4ac )/2a e x2 = (- b - b 2 − 4ac )/2a mas o conjunto de soluções é D : (-∞ , x1 ) e (x2 , ∞) , (o conjunto é extra-raizes) x x X1 X2 Se a desigualdade for negativa, ou seja, a x2 + b x + c < 0 ( O conjunto é intra-raizes) x X1 Exemplo 1: Achar o domínio da função y = X2 x2 −4 Solução: x2 – 4 ≥ 0 , logo D : (-∞ , -2] e [2 , ∞ ) TIPOS DE FUNÇÃO As funções mais usuais são: as pares, as ímpares, as polinomiais, as racionais, as algébricas, exponenciais e as trigonométricas. Funções Pares e Ímpares a) Uma função f é par, para todo x de seu domínio se f(-x) = f(x), ou seja, -x pertence ao domínio de f. 21
  22. 22. b) Uma função f é ímpar, para todo x de seu domínio se f(-x) = -f(x). Isto é, -x pertence também ao domínio de f. Exemplos: a) Pares g(x) = x2 pois b) Ímpares f(x) = x4 + 2 g(-x) = (-x)2 = x2 = g(x) f(-x) = (-x)4 + 2 = x4 + 2 = f(x) g(x) = x3 g(-x) = (-x)3 = -x3 = -g(x) f(x) = 2x f(-x) = 2(-x) = -2x = -f(x) Funções Polinomiais São funções da forma f(x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + anxx n>0 e ai , reais Exemplo: f(x) = 2x2 - x + 1 , a0 = 1, a1 = -1, a2 = 2 Funções Racionais (razão) São funções definidas por f(x) = p( x ) q( x) onde p(x) e q(x) são funções polinomiais e q ≠ 0. Exemplo: f(x) = 3x 2 − x + 1 4x5 − x 3 + 1 é uma função racional Funções Algébricas São resultantes de operações algébricas comuns. Exemplo: f(x) = x + 1 , g(x) = x x +5 2 etc. Exercícios Classificar as funções abaixo: 1) f(x) = x4 + x 22
  23. 23. Resp. Não é par nem ímpar - é polinomial 2) g(t) = 2t2 + 3t Resp. g(-t) = 2(-t)2 + 3-t = 2t2 + 3t = g(t) par x2 − 4 3) f(x) = (função racional, que pode ser simplificada para f(x) = x+2) x −2 RESUMO DOS TIPOS DE FUNÇÕES Tipo de Função Par f(-x) = f(x) Ímpar f(-x) = - f(x) Polinomiais f(x)=a0 +a1x+a2x2+..+anxn Racionais f(x) = P(x)/Q(x) Algébricas Trigonométricas Logarítmicas Exemplo y=x4 → y = (-x)4 = x4 y = x3 → y = (-x)3 = -x3 y = 3 +5x-7x2 e outros. y =(2x3+ 4x) / (x2+2x) Todas as anteriores. y = senx , cosx , etc. y =lnx , ou y = lgax y = ef(x) ou y = af(x) Exponenciais FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS As funções trigonométricas são 6, ou seja, seno, co-seno, tangente, secante, co-secante e cotangente. Essas funções são abreviadas por: sen, cos, tan (ou tg) , sec, csc, cot. Antes de estudar essas funções vamos estudar as medidas de ângulos. As medidas de ângulos podem ser em graus e radianos. r O α α (radianos) = 1 rd ≅ 57,3º s s=r r 1rd=57,3 o Se s = r , o ângulo compreendido por s é de 1 radiano Num círculo completo s = αr = 2πr → α = (radianos), e 180o = π = 3,1416 ... Graus Radianos 30o 45o 60º 90º 6 4 3 2 π π π π 120º 2π 3 2π r = 2π ou 360o equivalente a 2π r 135º 3π 4 150º 5π 6 180º π 270º 3π 2 360º 2π 23
  24. 24. O grau é uma unidade sexagesimal , isto é, seus múltiplos e sub-múltiplos variam de 60 em 60. Exemplo : 1o = 60′(minutos de arco) e 1′ = 60 ′′(segundos de arco). Ex.1 Transformar 35,758o em grau, minutos e segundos. Solução: = 35o + (0,758×60=45,48)parte inteira + (0,48×60=28,8) = 35o 45′ 28,8′′ Ex.2 Efetuar a transformação inversa, ou seja, 35 o .Solução: 45′ 28,8′′ para a forma decimal = 35o + 45/60 + 28,8/(60×60) = 35,758o História da Trigonometria A trigonometria provavelmente começou quando se quis saber a altura de árvores e montanhas, sem que fosse necessário subir nas mesmas para medir. Construiu-se um triângulo com o lado maior(hipotenusa) coincidindo com o raio de um círculo de raio=1, e com isso, montou-se uma tabela de valores x e y (que seriam ≤1) para cada ângulo. Para valores de X e Y (fora do círculo) maiores do que 1, e um mesmo ângulo, os lados seriam proporcionais e isso permitiria calcular esses valores. Q O α y α x α1 - y - y/x - α2 - - - - x P - o α Y X - - y = senα , x = cosα e tanα =senα/cosα=y/x = Y/X O nome senα foi dado para a medida y, e para a medida x foi dado cosα. A relação entre as duas grandezas y e x é chamada de tanα . Assim a altura da árvore pode ser calculada, considerando que y = x tanα tanα = y/x = medido no círculo de r=1, para cada ângulo α 24
  25. 25. Exemplo: se a distância da árvore fosse 30m e o ângulo de visada fosse de 30 o , então h = 30 . 0,500/0,866 = 17,4m , onde o valor 0,50 = y = senα e o valor 0,86 para x que foram medidos (com uma régua) no círculo de raio unitário, para o ângulo de30o . Atualmente , os valores senα, cosα e tanα não são mais medidos, pois, podem ser calculados com precisão por funções desenvolvidas pelos matemáticos. cott reta do ângulo Definição das funções trigonométricas. x = cost → sect = 1/x (x ,y) Usa-se o círculo trigonométrico (de raio unitário) para representar as funções, e o y = sent → csct = 1/y ângulo aqui é representado por “t” . tant y y/x = tant → cott = x/y = 1/tant t x rd = (π / 180).gr gr = (180 /π ). rd Por semelhança de triângulos pode se obter S R P O t x2 + y2 = 1 sen2 t +cos2 t = 1 Q C OQ = sect SR = cott CQ = tgt OR = csct 2 2 OQ = OC + CQ 2 OR2 = OS2 + SR2 csc2 t = 1 + cot2 t sec2t = 1 + tan2t 25
  26. 26. Valores de senx, cosx e tanx em graus e radianos π π RADIANOS 0 π 6 π 4 3 2 GRAUS sen 0 0 30º 60º 3 2 90º 1 180º 0 cos 1 0 -1 tg 0 3 2 3 3 45º 2 2 2 2 1 ∞ 0 1 2 1 2 3 π O domínio das funções seno e co-seno é o conjunto dos reais, R. Os domínios das outras 4 funções são os conjuntos de valores de t para os quais o denominador da fração que a define é diferente de zero. Veja os gráficos: y y = senx x=t 1 -2π - -π - π 0 -1 2π Imagem : [-1,1] x 26
  27. 27. y = cosx 1 -2π - -π - π 0 x 2π -1 Imagem [-1,1] Os dois gráficos mostram que -∞ < x < ∞, ou seja, o domínio das funções seno e co-seno é R (conjunto dos reais). Analisar o domínio das funções y = tanx e y = cotx. y=tanx - y = tanx = x≠±k π 2 sen x cos x -π - 0 , cosx = 0 em x = ± π π 2 X , ± 3π 2 etc I : (-∞, ∞) ; sendo k = 1,3,5,.... ímpar (y → ∞ nestes pontos) Para a função y = cotx tem-se: 27
  28. 28. y=cotx -2π - -π - π 0 2π X senx = 0 em 0 , ±π , ±2π então x deve ser diferente de (0, ±π ,y → ∞ nestes ≠ ±kπ , k = 0, 1, 2, 3, ... ±2π....),ou x pontos y = cotx = Funções: y = secx = 1 cos x y -π - π y = secx π 1 2 π 2 X -1 cosx = 0 Domínio da função: D: { x ≠ k Função y = cscx = em π 2 } e x≠k π 2 , para k = 1, 2, 3 ... y = cscx I = (-∞, y , [1, ∞) -1] 1 sen x -π - π/2 x ≠ ±kπ 0 π/2 π X k = 0, 1, 2, ... 28
  29. 29. Identidades trigonométricas As identidades trigonométricas são relações obtidas no círculo trigonométrico de raio unitário e são bastante úteis nas aplicações matemáticas. sen(-t) = -sent (função ímpar) ver gráficos cos(-t) = cost (função par) sen2t + cos2t = 1 (ver definição), demonstrar tg2t + 1 = sec2t cot2t + 1 = csc2t sen(t + s) = sent coss + cost sens sen(t - s) = sent coss - cost sens cos(t + s) = cost coss - sent sens cos(t - s) = cost coss + sent sens tan t + tan s 1 − tan t tan s tan t − tan s tan(t - s) = 1 + tan t tan s tan(t + s) = sen( t + s) cos(t + s) para t ou s ≠ ±k π 2 t  1 (1 - cost) 2  2 t  1 cos2  = (1 + cost) 2  2 sen2  = sen2t = 2sent cost cos2t = cos2t - sen2t Exemplos: tan(t + s) = a) sen(t + π) Resp. – sent ; π  π  b) sen 2 − s   c) cos  2 − s   Resp. Resp. coss ; coss FUNÇÕES INVERSAS 29
  30. 30. Dada uma função y = f(x), a inversa dessa função é definida como g(x) = x = f -1(y) e trocando y por x. A imagem de g está contida no domínio de f. O domínio de g está contida na imagem de f. Exemplo 2: (função inversa) y = g(x) 1 g(x) = x2 +1 → x2 = g(x) – 1 → x = y − → y = x −1 2 Direta : g(x) = x +1 , D : (-∞ , ∞) → mas a restrição da raiz faz com que elas sejam inversa só na região : D [0 , ∞) e I : [1, ∞) , pois Inversa : f(x) = x −1 , x-1 ≥ 0 , D: [1,∞) e I : [0 , ∞). y =f(x) y=g(x) 1 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 x x Funções inversas trigonométricas y=senx π/2 1 -π y=sen-1x Inversas Diretas π/2 -π/2 x π -1 -π/2 1 x -1 D: (-∞, ∞) só é inversa na região D: [-π/2 , π/2 ] e de imagem I: [-1, 1] D: [-1, 1] é o domínio da inv. Sabemos que 102 = 100 , 103 As funções inversas trigonométricas são I: [-π/2 , úteis ] é suase 4tem, por exemplo o bastante π/2 quando imagem. =1000, e 23 = 8 , 2 = 16 , etc. y seno de um ângulo e se quer saber o valor do ângulo. Ex. senα = 0,5 , portanto, senα-1=30º mas e se tivéssemos um f(x)= lgbx número fracionário do tipo FUNÇÃO LOGARÍTMICA 100,30103 = N , quanto seria N ? se y = 0⇒ Se x = by , então y é chamado de logaritmo deNeste caso, b e escreve-se o x na base y=0,30103 é logaritmo x = b0 = 1 log10 N. Os logaritmos se de x como logx ou lgx ou lgbx . 1 b aplicam para resolver equações do tipo:7x = 3, achar x. Solução: Aplica a propriedade y = lgb x b = 10 é a base decimal lgAx =x.lgA , ou na equação dada , Propridades dos logarítmos(naturais ou x. , x =, outros): x= 0,477121255/0,845098040 x = 0,5645750344 (Os lg10 toma-se calculadora) na 30
  31. 31. Quando b = e ≅ 2,7182818 ..., esta base é chamada de natural e representa-se por y = ln x ou LN(x) . Quando o logarítmo , lg = “ln” a base é sempre "e" , isto é , ln x = lg ex ou logarítimo de x na base "e" . A inversa da função logarítmica é a função exponencial, ou vice versa. y=exp(x) y y = lnx 1 0 1 x Direta : y= exp(x)=ex D : (-∞ , ∞ ) I : (0, ∞ ) Inversa : y = lnx D : (0 , ∞ ) I : (-∞ , ∞ ) (A inversa de y = e x , é obtida aplicando lg=ln , ou lny=lne x =xlne=x, e trocando x por y ,resultando y =lnx) 31
  32. 32. Unidade 3 Estatistica Básica PROBABILIDADE A história da teoria das probabilidades, teve início com os jogos de cartas, dados e de roleta. Esse é o motivo da grande existência de exemplos de jogos de azar no estudo da probabilidade. A teoria da probabilidade permite que se calcule a chance de ocorrência de um número em um experimento aleatório. Experimento Aleatório É aquele experimento que quando repetido em iguais condições, podem fornecer resultados diferentes, ou seja, são resultados explicados ao acaso. Quando se fala de tempo e possibilidades de ganho na loteria, a abordagem envolve cálculo de experimento aleatório. Espaço Amostral É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. A letra que representa o espaço amostral, é S. Exemplo: Lançando uma moeda e um dado, simultaneamente, sendo S o espaço amostral, constituído pelos 12 elementos: S = {K1, K2, K3, K4, K5, K6, R1, R2, R3, R4, R5, R6} 35163. Escreva explicitamente os seguintes eventos: A={caras e m número par aparece}, B={um número primo aparece}, C={coroas e um número ímpar aparecem}. 35164. Idem, o evento em que: 32
  33. 33. a) A ou B ocorrem; b) B e C ocorrem; c) Somente B ocorre. 1. Quais dos eventos A,B e C são mutuamente exclusivos Resolução: 1. Para obter A, escolhemos os elementos de S constituídos de um K e um número par: A={K2, K4, K6}; Para obter B, escolhemos os pontos de S constituídos de números primos: B={K2,K3,K5,R2,R3,R5} Para obter C, escolhemos os pontos de S constituídos de um R e um número ímpar: C={R1,R3,R5}. XLVIII (a) A ou B = AUB = {K2,K4,K6,K3,K5,R2,R3,R5} (b) B e C = B Ç C = {R3,R5} (c) Escolhemos os elementos de B que não estão em A ou C; B Ç Ac Ç Cc = {K3,K5,R2} 1. A e C são mutuamente exclusivos, porque A Ç C = Æ Conceito de probabilidade Se num fenômeno aleatório as possibilidades são igualmente prováveis, então a probabilidade de ocorrer um evento A é: Por, exemplo, no lançamento de um dado, um número pasra pode ocorrer de 3 maneiras diferentes dentre 6 igualmente prováveis, portanto, P = 3/6= 1/2 = 50% Dizemos que um espaço amostral S (finito) é equiprovável quando seus eventos elementares têm probabilidades iguais de ocorrência. Num espaço amostral equiprovável S (finito), a probabilidade de ocorrência de um evento A é sempre: Propriedades Importantes: 1. Se A e A’ são eventos complementares, então: P( A ) + P( A' ) = 1 2. A probabilidade de um evento é sempre um número entre Æ (probabilidade de evento impossível) e 1 (probabilidade do evento certo). 33
  34. 34. Probabilidade Condicional Antes da realização de um experimento, é necessário, que já tenha alguma informação sobre o evento que se deseja observar.Nesse caso o espaço amostral se modifica e o evento tem a s sua probabilidade de ocorrência alterada. Fórmula de Probabilidade Condicional P(E1 e E2 e E3 e ...e En-1 e En) é igual a P(E1).P(E2/E1).P(E3/E1 e E2)...P(En/E1 e E2 e ...En-1). Onde P(E2/E1) é a probabilidade de ocorrer E2, condicionada pelo fato de já ter ocorrido E1; P(E3/E1 e E2) é a probabilidade ocorrer E3, condicionada pelo fato de já terem ocorrido E1 e E2; P(Pn/E1 e E2 e ...En-1) é a probabilidade de ocorrer En, condicionada ao fato de já ter ocorrido E1 e E2...En-1. Exemplo: Uma urna tem 30 bolas, sendo 10 vermelhas e 20 azuis. Se ocorrer um sorteio de 2 bolas, uma de cada vez e sem reposição, qual será a probabilidade de a primeira ser vermelha e a segunda ser azul? Resolução: Seja o espaço amostral S=30 bolas, bolinhas e considerarmos os seguintes eventos: A: branca na primeira retirada e P(A) = 10/30 B: preta na segunda retirada e P(B) = 20/29 Assim: P(A e B) = P(A).(B/A) = 10/30.20/29 = 20/87 Eventos independentes Dizemos que E1 e E2 e ...En-1, En são eventos independentes quando a probabilidade de ocorrer um deles não depende do fato de os outros terem ou não terem ocorrido. Fórmula da probabilidade dos eventos independentes: P(E1 e E2 e E3 e ...e En-1 e En) = P(E1).P(E2).p(E3)...P(En) Exemplo: Uma urna tem 30 bolas, sendo 10 vermelhas e 20 azuis. Se sortearmos 2 bolas, 1 de cada vez e respondo a sorteada na urna, qual será a probabilidade de a primeira ser branca e a segunda ser preta? Resolução: Como os eventos são independentes, a probabilidade de sair vermelha na primeira retirada e azul na segunda retirada é igual ao produto das probabilidades de cada condição, ou seja, P(A 34
  35. 35. e B) = P(A).P(B). Ora, a probabilidade de sair vermelha na primeira retirada ´e 10/30 e a de sair azul na segunda retirada 20/30. Daí, usando a regra do produto, temos: 10/30.20/30=2/9. Observe que na segunda retirada forma consideradas todas as bolas, pois houve reposição. Assim, P(B/A) =P(B), porque o fato de sair bola vermelha na primeira retirada não influenciou a segunda retirada, já que ela foi reposta na urna. Probabilidade de ocorrer a união de eventos Fórmula da probabilidade de ocorrer a união de eventos: P(E1 ou E2) = P(E1) + P(E2).P(E1 e E2) De fato, se existirem elementos comuns a E1 e E2, estes eventos estarão computados no cálculo de P(E1) e P(E2). Para que sejam considerados uma vez só, subtraímos P(E1 e E2). Fórmula de probabilidade de ocorrer a união de eventos mutuamente exclusivos: P(E1 ou E2 ou E3 ou ... ou En) = P(E1) + P(E2) + ... + P(En) Exemplo: Se dois dados, azul e branco, forem lançados, qual a probabilidade de sair 5 no azul e 3 no branco? Considerando os eventos: A: Tirar 5 no dado azul e P(A) = 1/6 B: Tirar 3 no dado branco e P(B) = 1/6 Sendo S o espaço amostral de todos os possíveis resultados, temos: n(S) = 6.6 = 36 possibilidades. Daí, temos:P(A ou B) = 1/6 + 1/6 – 1/36 = 11/36 Exemplo: Se retirarmos aleatoriamente uma carta de baralho com 52 cartas, qual a probabilidade de ser um 8 ou um Rei? Sendo S o espaço amostral de todos os resultados possíveis, temos: n(S) = 52 cartas. Considere os eventos: A: sair 8 e P(A) = 8/52 B: sair um rei e P(B) = 4/52 Assim, P(A ou B) = 4/52 + 4/52 – 0 = 8/52 = 2/13. Note que P(A e B) = 0, pois uma carta não pode ser 8 e rei ao mesmo tempo. Quando isso ocorre dizemos que os eventos A e B são mutuamente exclusivos. 1- bjeto da estatística Estatística é uma ciência exata que visa fornecer subsídios ao analista para coletar, organizar, resumir, analisar e apresentar dados. Trata de parâmetros extraídos da população, tais como média ou desvio padrão. 35
  36. 36. A estatística fornece-nos as técnicas para extrair informação de dados, os quais são muitas vezes incompletos, na medida em que nos dão informação útil sobre o problema em estudo, sendo assim, é objetivo da Estatística extrair informação dos dados para obter uma melhor compreensão das situações que representam. Quando se aborda uma problemática envolvendo métodos estatísticos, estes devem ser utilizados mesmo antes de se recolher a amostra, isto é, deve-se planejar a experiência que nos vai permitir recolher os dados, de modo que, posteriormente, se possa extrair o máximo de informação relevante para o problema em estudo, ou seja para a população de onde os dados provêm. Quando de posse dos dados, procura-se agrupa-los e reduzi-los, sob forma de amostra, deixando de lado a aleatoriedade presente. Seguidamente o objetivo do estudo estatístico pode ser o de estimar uma quantidade ou testar uma hipótese, utilizando-se técnicas estatísticas convenientes, as quais realçam toda a potencialidade da Estatística, na medida em que vão permitir tirar conclusões acerca de uma população, baseando-se numa pequena amostra, dando-nos ainda uma medida do erro cometido. 2- População e amostra Qualquer estudo científico enfrenta o dilema de estudo da população ou da amostra. Obviamente tería-se uma precisão muito superior se fosse analisado o grupo inteiro, a população, do que uma pequena parcela representativa, denominada amostra. Observa-se que é impraticável na grande maioria dos casos, estudar-se a população em virtude de distâncias, custo, tempo, logística, entre outros motivos. A alternativa praticada nestes casos é o trabalho com uma amostra confiável. Se a amostra é confiável e proporciona inferir sobre a população, chamamos de inferência estatística. Para que a inferência seja válida, é necessária uma boa amostragem, livre de erros, tais como falta de determinação correta da população, falta de aleatoriedade e erro no dimensionamento da amostra. Quando não é possível estudar, exaustivamente, todos os elementos da população, estudamse só alguns elementos, a que damos o nome de Amostra. Quando a amostra não representa corretamente a população diz-se enviesada e a sua utilização pode dar origem a interpretações erradas. 3- Recenseamento Recenseamento é a contagem oficial e periódica dos indivíduos de um País, ou parte de um País. Ele abrange, no entanto, um leque mais vasto de situações. Assim, pode definir-se recenseamento do seguinte modo: Estudo científico de um universo de pessoas, instituições ou objetos físicos com o propósito de adquirir conhecimentos, observando todos os seus elementos, e fazer juízos quantitativos acerca de características importantes desse universo. 4- Estatística descritiva e estatística indutiva Sondagem Por vezes não é viável nem desejável, principalmente quando o número de elementos da população é muito elevado, inquirir todos os seus elementos sempre que se quer estudar uma ou mais características particulares dessa população. Assim surge o conceito de sondagem, que se pode tentar definir como: Estudo científico de uma parte de uma população com o objetivo de estudar atitudes, hábitos e 36
  37. 37. preferências da população relativamente a acontecimentos, circunstâncias e assuntos de interesse comum. 5-Amostragem Amostragem é o processo que procura extrair da população elementos que através de cálculos probabilísticos ou não, consigam prover dados inferenciais da população-alvo. Não Probabilística Tipos de Amostragem Acidental ou conveniência Intencional Quotas ou proporcional Desproporcional Probabilística Aleatória Simples Aleatória Estratificada Conglomerado Não Probabilística A escolha de um método não probabilístico, via de regra, sempre encontrará desvantagem frente ao método probabilístico. No entanto, em alguns casos, se faz necessário a opção por este método. Fonseca (1996), alerta que não há formas de se generalizar os resultados obtidos na amostra para o todo da população quando se opta por este método de amostragem. 5.1- Acidental ou conveniência Indicada para estudos exploratórios. Freqüentemente utilizados em super mercados para testar produtos. Intencional O entrevistador dirige-se a um grupo em específico para saber sua opinião. Por exemplo, quando de um estudo sobre automóveis, o pesquisador procura apenas oficinas. 5.2- Quotas ou proporcional Na realidade, trata-se de uma variação da amostragem intencional. Necessita-se ter um prévio conhecimento da população e sua proporcionalidade. Por exemplo, deseja-se entrevistar apenas indivíduos da classe A, que representa 12% da população. Esta será a quota para o trabalho. Comumente também substratifica-se uma quota obedecendo a uma segunda proporcionalidade. 5.3- Desproporcional Muito utilizada quando a escolha da amostra for desproporcional à população. Atribui-se pesos para os dados, e assim obtém-se resultados ponderados representativos para o estudo. Probabilística Para que se possa realizar inferências sobre a população, é necessário que se trabalhe com amostragem probabilística. É o método que garante segurança quando investiga-se alguma hipótese. Normalmente os indivíduos investigados possuem a mesma probabilidade de ser selecionado na amostra. 37
  38. 38. 5.4- Aleatória Simples É o mais utilizado processo de amostragem. Prático e eficaz, confere precisão ao processo de amostragem. Normalmente utiliza-se uma tabela de números aleatórios e nomeia-se os indivíduos, sorteando-se um por um até completar a amostra calculada Uma variação deste tipo de amostragem é a sistemática. Em um grande número de exemplos, o pesquisador depara-se com a população ordenada. Neste sentido, tem-se os indivíduos dispostos em seqüência o que dificulta a aplicação exata desta técnica. Quando se trabalha com sorteio de quadras de casas por exemplo, há uma regra crescente para os números das casas. Em casos como este, divide-se a população pela amostra e obtém-se um coeficiente (y). A primeira casa será a de número x, a segunda será a de número x + y; a terceira será a de número x + 3. y. Supondo que este coeficiente seja 6. O primeiro elemento será 3. O segundo será 3 + 6. O terceiro será 3 + 2.6. O quarto será 3 + 3.6, e assim sucessivamente. Aleatória Estratificada Quando se deseja guardar uma proporcionalidade na população heterogênea. Estratifica-se cada subpopulação por intermédio de critérios como classe social, renda, idade, sexo, entre outros. 5.5- Conglomerado Em corriqueiras situações, torna-se difícil coletar características da população. Nesta modalidade de amostragem, sorteia-se um conjunto e procura-se estudar todo o conjunto. É exemplo de amostragem por conglomerado, famílias, organizações e quarteirões. 6- Dimensionamento da amostra Quando deseja-se dimensionar o tamanho da amostra, o procedimento desenvolve-se em três etapas distintas: *1 Avaliar a variável mais importante do grupo e a mais significativa; *2 Analisar se é ordinal, intervalar ou nominal; *3 Verificar se a população é finita ou infinita; Variável intervalar e população infinita Variável intervalar e população finita Variável nominal ou ordinal e população infinita Variável nominal ou ordinal e população finita Obs.: A proporção (p) será a estimativa da verdadeira proporção de um dos níveis escolhidos para a variável adotada. Por exemplo, 60% dos telefones da amostra é Nokia, então p será 0,60. 38
  39. 39. A proporção (q) será sempre 1 - p. Neste exemplo q, será 0,4. O erro é representado por d. Para casos em que não se tenha como identificar as proporções confere-se 0,5 para p e q. 7- Tipos de dados Basicamente os dados, dividem-se em contínuos e discretos. O primeiro é definido como qualquer valor entre dois limites quaisquer, tal como um diâmetro. Portanto trata-se de um valor que ser "quebrado". São dados contínuos, questões que envolvem idade, renda, gastos, vendas, faturamento, entre muitas outras. Quando fala-se em valores discretos, aborda-se um valor exato, tal como quantidade de peças defeituosas. Comumente utiliza-se este tipo de variáveis para tratar de numero de filhos, satisfação e escalas nominais no geral. O tipologia dos dados determina a variável, ela será portanto contínua ou discreta. Isto quer dizer que ao definir-se uma variável com contínua ou discreta, futuramente já definiu-se que tipo de tratamento se dará a ela. De acordo com o que dissemos anteriormente, numa análise estatística distinguem-se essencialmente duas fases: Uma primeira fase em que se procura descrever e estudar a amostra: Estatística Descritiva e uma segunda fase em que se procura tirar conclusões para a população: 1ª Fase Estatística Descritiva Procura-se descrever a amostra, pondo em evidência as características principais e as propriedades. 2ª Fase Estatística Indutiva Conhecidas certas propriedades (obtidas a partir de uma análise descritiva da amostra), expressas por meio de proposições, imaginam-se proposições mais gerais, que exprimam a existência de leis (na população). No entanto, ao contrário das proposições deduzidas, não podemos dizer que são falsas ou verdadeiras, já que foram verificadas sobre um conjunto restrito de indivíduos, e portanto não são falsas, mas não foram verificadas para todos os indivíduos da População, pelo que também não podemos afirmar que são verdadeiras ! Existe, assim, um certo grau de incerteza (percentagem de erro) que é medido em termos de Probabilidade. Considerando o que foi dito anteriormente sobre a Estatística Indutiva, precisamos aqui da noção de Probabilidade, para medir o grau de incerteza que existe, quando tiramos uma conclusão para a população, a partir da observação da amostra. 8- Dados, tabelas e gráficos Distribuição de freqüência Quando da análise de dados, é comum procurar conferir certa ordem aos números tornando-os visualmente mais amigáveis. O procedimento mais comum é o de divisão por classes ou categorias, verificando-se o número de indivíduos pertencentes a cada classe. 1. Determina-se o menor e o maior valor para o conjunto: 2. Definir o limite inferior da primeira classe (Li) que deve ser igual ou ligeiramente inferior ao menor valor das observações: 3. Definir o limite superior da última classe (Ls) que deve ser igual ou ligeiramente superior ao maior valor das observações: 4. Definir o número de classes (K), que será calculado usando K = . Obrigatoriamente deve estar compreendido entre 5 a 20. 39
  40. 40. 5. Conhecido o número de classes define-se a amplitude de cada classe: 6. Com o conhecimento da amplitude de cada classe, define-se os limites para cada classe (inferior e superior) Distribuições simétricas A distribuição das frequências faz-se de forma aproximadamente simétrica, relativamente a uma classe média Caso especial de uma distribuição simétrica Quando dizemos que os dados obedecem a uma distribuição normal, estamos tratando de dados que distribuem-se em forma de sino. Distribuições Assimétricas A distribuição das freqüências apresenta valores menores num dos lados: Distribuições com "caudas" longas Observamos que nas extremidades há uma grande concentração de dados em relação aos concentrados na região central da distribuição. 9- Medidas de tendência Central As mais importante medidas de tendência central, são a média aritmética, média aritmética para dados agrupados, média aritmética ponderada, mediana, moda, média geométrica, média harmônica, quartis. Quando se estuda variabilidade, as medidas mais importantes são: amplitude, desvio padrão e variância. Medidas Média aritmética Média aritmética para dados agrupados 40
  41. 41. Média aritmética ponderada Mediana 1) Se n é impar, o valor é central, 2) se n é par, o valor é a média dos dois valores centrais Moda Valor que ocorre com mais freqüência. Média geométrica Média harmônica Quartil Sendo a média uma medida tão sensível aos dados, é preciso ter cuidado com a sua utilização, pois pode dar uma imagem distorcida dos dados. Pode-se mostrar, que quando a distribuição dos dados é "normal", então a melhor medida de localização do centro, é a média. Sendo a Distribuição Normal uma das distribuições mais importantes e que surge com mais freqüência nas aplicações, (esse fato justifica a grande utilização da média). A média possui uma particularidadebastante interessante, que consiste no seguinte: se calcularmos os desvios de todas as observações relativamente à média e somarmos esses desvios o resultado obtido é igual a zero. A média tem uma outra característica, que torna a sua utilização vantajosa em certas aplicações: Quando o que se pretende representar é a quantidade total expressa pelos dados, utiliza-se a média. Na realidade, ao multiplicar a média pelo número total de elementos, obtemos a quantidade pretendida. 9.1- Moda Define-se moda como sendo: o valor que surge com mais freqüência se os dados são discretos, ou, o intervalo de classe com maior freqüência se os dados são contínuos. Assim, da representação gráfica dos dados, obtém-se imediatamente o valor que representa a moda ou a classe modal Esta medida é especialmente útil para reduzir a informação de um conjunto de dados qualitativos, apresentados sob a forma de nomes ou categorias, para os quais não se pode calcular a média e por vezes a mediana. 9.2- Mediana 41
  42. 42. A mediana, é uma medida de localização do centro da distribuição dos dados, definida do seguinte modo: Ordenados os elementos da amostra, a mediana é o valor (pertencente ou não à amostra) que a divide ao meio, isto é, 50% dos elementos da amostra são menores ou iguais à mediana e os outros 50% são maiores ou iguais à mediana Para a sua determinação utiliza-se a seguinte regra, depois de ordenada a amostra de n elementos: Se n é ímpar, a mediana é o elemento médio. Se n é par, a mediana é a semi-soma dos dois elementos médios. 9.3-Considerações a respeito de Média e Mediana Se se representarmos os elementos da amostra ordenada com a seguinte notação: X1:n , X2:n , ... , Xn:n então uma expressão para o cálculo da mediana será: Como medida de localização, a mediana é mais robusta do que a média, pois não é tão sensível aos dados. 1- Quando a distribuição é simétrica, a média e a mediana coincidem. 2- A mediana não é tão sensível, como a média, às observações que são muito maiores ou muito menores do que as restantes (outliers). Por outro lado a média reflete o valor de todas as observações. Como já vimos, a média ao contrário da mediana, é uma medida muito influenciada por valores "muito grandes" ou "muito pequenos", mesmo que estes valores surjam em pequeno número na amostra. Estes valores são os responsáveis pela má utilização da média em muitas situações em que teria mais significado utilizar a mediana. A partir do exposto, deduzimos que se a distribuição dos dados: 1. for aproximadamente simétrica, a média aproxima-se da mediana 2. for enviesada para a direita (alguns valores grandes como "outliers"), a média tende a ser maior que a mediana 3. for enviesada para a esquerda (alguns valores pequenos como "outliers"), a média tende a ser inferior à mediana. 10 - Medidas de dispersão Introdução No capítulo anterior, vimos algumas medidas de localização do centro de uma distribuição de dados. Veremos agora como medir a variabilidade presente num conjunto de dados através das seguintes medidas: 10.1- Medidas de dispersão Um aspecto importante no estudo descritivo de um conjunto de dados, é o da determinação da variabilidade ou dispersão desses dados, relativamente à medida de localização do centro da amostra. Supondo ser a média, a medida de localização mais importante, será relativamente a ela que se define a principal medida de dispersão - a variância, apresentada a seguir. 10.2- Variância Define-se a variância, como sendo a medida que se obtém somando os quadrados dos desvios das observações da amostra, relativamente à sua média, e dividindo pelo número de 42
  43. 43. observações da amostra menos um. 10.3- Desvio-padrão Uma vez que a variância envolve a soma de quadrados, a unidade em que se exprime não é a mesma que a dos dados. Assim, para obter uma medida da variabilidade ou dispersão com as mesmas unidades que os dados, tomamos a raiz quadrada da variância e obtemos o desvio padrão: O desvio padrão é uma medida que só pode assumir valores não negativos e quanto maior for, maior será a dispersão dos dados. Algumas propriedades do desvio padrão, que resultam imediatamente da definição, são: o desvio padrão será maior, quanta mais variabilidade houver entre os dados. 11. Distribuição Normal A distribuição normal é a mas importante distribuição estatística, considerando a questão prática e teórica. Já vimos que esse tipo de distribuição apresenta-se em formato de sino, unimodal, simétrica em relação a sua média. Considerando a probabilidade de ocorrência, a área sob sua curva soma 100%. Isso quer dizer que a probabilidade de uma observação assumir um valor entre dois pontos quaisquer é igual à área compreendida entre esses dois pontos. 68,26% => 1 desvio 95,44% => 2 desvios 99,73% => 3 desvios Na figura acima, tem as barras na cor marrom representando os desvios padrões. Quanto mais afastado do centro da curva normal, mais área compreendida abaixo da curva haverá. A um desvio padrão, temos 68,26% das observações contidas. A dois desvios padrões, possuímos 95,44% dos dados comprendidos e finalmente a três desvios, temos 99,73%. Podemos concluir que quanto maior a variablidade dos dados em relação à média, maior a probabilidade de encontrarmos o valor que buscamos embaixo da normal. Propriedade 1: "f(x) é simétrica em relação à origem, x = média = 0; Propriedade 2: "f(x) possui um máximo para z=0, e nesse caso sua ordenada vale 0,39; Propriedade3: "f(x) tende a zero quando x tende para + infinito ou - infinito; Propriedade4: "f(x) tem dois pontos de inflexão cujas abscissas valem média + DP e média - DP, ou quando z 43
  44. 44. tem dois pontos de inflexão cujas abscissas valem +1 e -1. Unidade 4 Regra de três simples Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro valores dos quais conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos três já conhecidos. Passos utilizados numa regra de três simples: 1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência. 2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais. 3º) Montar a proporção e resolver a equação. Exemplos: 1) Com uma área de absorção de raios solares de 1,2m 2, uma lancha com motor movido a energia solar consegue produzir 400 watts por hora de energia. Aumentando-se essa área para 1,5m 2, qual será a energia produzida? Solução: montando a tabela: Área (m2) Energia (Wh) 1,2 400 1,5 x Identificação do tipo de relação: Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna). Observe que: Aumentando a área de absorção, a energia solar aumenta. Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são diretamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no mesmo sentido (para baixo) na 1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos: Logo, a energia produzida será de 500 watts por hora. 2) Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 400Km/h, faz um determinado percurso em 3 horas. Em quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse de 480km/h? Solução: montando a tabela: Velocidade (Km/h) Tempo (h) 400 3 480 x 44
  45. 45. Identificação do tipo de relação: Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna). Observe que: Aumentando a velocidade, o tempo do percurso diminui. Como as palavras são contrárias (aumentando - diminui), podemos afirmar que as grandezas são inversamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no sentido contrário (para cima) na 1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos: Logo, o tempo desse percurso seria de 2,5 horas ou 2 horas e 30 minutos. 3) Bianca comprou 3 camisetas e pagou R$120,00. Quanto ela pagaria se comprasse 5 camisetas do mesmo tipo e preço? Solução: montando a tabela: Camisetas Preço (R$) 3 120 5 x Observe que: Aumentando o número de camisetas, o preço aumenta. Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são diretamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação temos: Logo, a Bianca pagaria R$200,00 pelas 5 camisetas. 4) Uma equipe de operários, trabalhando 8 horas por dia, realizou determinada obra em 20 dias. Se o número de horas de serviço for reduzido para 5 horas, em que prazo essa equipe fará o mesmo trabalho? Solução: montando a tabela: Horas por dia Prazo para término (dias) 8 20 5 x Observe que: Diminuindo o número de horas trabalhadas por dia, o prazo para término aumenta. Como as palavras são contrárias (diminuindo - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são inversamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação temos: 45
  46. 46. Regra de três composta A regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas grandezas, direta ou inversamente proporcionais. Exemplos: 1) Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m3 de areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão necessários para descarregar 125m3? Solução: montando a tabela, colocando em cada coluna as grandezas de mesma espécie e, em cada linha, as grandezas de espécies diferentes que se correspondem: Horas Caminhões Volume 8 20 160 5 x 125 Identificação dos tipos de relação: Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna). A seguir, devemos comparar cada grandeza com aquela onde está o x. Observe que: Aumentando o número de horas de trabalho, podemos diminuir o número de caminhões. Portanto a relação é inversamente proporcional (seta para cima na 1ª coluna). Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o número de caminhões. Portanto a relação é diretamente proporcional (seta para baixo na 3ª coluna). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões de acordo com o sentido das setas. Montando a proporção e resolvendo a equação temos: Logo, serão necessários 25 caminhões. 46
  47. 47. 2) Numa fábrica de brinquedos, 8 homens montam 20 carrinhos em 5 dias. Quantos carrinhos serão montados por 4 homens em 16 dias? Solução: montando a tabela: Homens Carrinhos Dias 8 20 5 4 x 16 Observe que: Aumentando o número de homens, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação é diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão). Aumentando o número de dias, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação também é diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões. Montando a proporção e resolvendo a equação temos: Logo, serão montados 32 carrinhos. 3) Dois pedreiros levam 9 dias para construir um muro com 2m de altura. Trabalhando 3 pedreiros e aumentando a altura para 4m, qual será o tempo necessário para completar esse muro? Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x. Depois colocam-se flechas concordantes para as grandezas diretamente proporcionais com a incógnita e discordantes para as inversamente proporcionais, como mostra a figura abaixo: Montando a proporção e resolvendo a equação temos: Logo, para completar o muro serão necessários 12 dias. Exercícios complementares Agora chegou a sua vez de tentar. Pratique tentando fazer esses exercícios: 1) Três torneiras enchem uma piscina em 10 horas. Quantas horas levarão 10 torneiras para encher 2 piscinas? Resposta: 6 horas. 2) Uma equipe composta de 15 homens extrai, em 30 dias, 3,6 toneladas de carvão. Se for aumentada para 20 homens, em quantos dias conseguirão extrair 5,6 toneladas de carvão? Resposta: 35 dias. 3) Vinte operários, trabalhando 8 horas por dia, gastam 18 dias para construir um muro de 300m. Quanto tempo levará uma turma de 16 operários, trabalhando 9 horas por dia, para construir um muro de 225m? Resposta: 15 dias. 4) Um caminhoneiro entrega uma carga em um mês, viajando 8 horas por dia, a uma velocidade média de 50 km/h. Quantas horas por dia ele deveria viajar para entregar essa carga em 20 dias, a uma velocidade média de 60 km/h? Resposta: 10 horas por dia. 47
  48. 48. 5) Com uma certa quantidade de fio, uma fábrica produz 5400m de tecido com 90cm de largura em 50 minutos. Quantos metros de tecido, com 1 metro e 20 centímetros de largura, seriam produzidos em 25 minutos? Resposta: 2025 metros. Unidade 5 Razões e Proporções Medidas de superfície Introdução As medidas de superficie fazem parte de nosso dia a dia e respondem a nossas perguntas mais corriqueiras do cotidiano: *3. Qual a area desta sala? *4. Qual a area desse apartamento? *5. Quantos metros quadrados de azulejos são necessarios para revestir essa piscina? *6. Qual a area dessa quadra de futebol de salão? *7. Qual a area pintada dessa parede? Superfície e área Superficie é uma grandeza com duas dimensòes, enquanto área é a medida dessa grandeza, portanto, um número. Metro Quadrado A unidade fundamental de superfície chama-se metro quadrado. O metro quadrado (m2) é a medida correspondente à superfície de um quadrado com 1 metro de lado. Unidade Múltiplos Submúltiplos Fundamental quilômetros hectômetro decâmetro metro decímetro centímetro milímetro quadrado quadrado quadrado quadrado quadrado quadrado quadrado 2 2 2 2 2 2 km hm dam m dm cm mm2 2 2 2 2 2 2 1.000.000m 10.000m 100m 1m 0,01m 0,0001m 0,000001m2 2 2 2 2 O dam , o hm e km sào utilizados para medir grandes superfícies, enquanto o dm , o cm2 e o mm2 são utilizados para pequenas superfícies. Exemplos: 1) Leia a seguinte medida: 12,56m2 km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2 12, 56 Lê-se “12 metros quadrados e 56 decímetros quadrados”. Cada coluna dessa tabela corresponde a uma unidade de área. 2) Leia a seguinte medida: 178,3 m2 km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2 1 78, 30 Lê-se “189 metros quadrados e 30 decímetros quadrados” 3) Leia a seguinte medida: 0,917 dam2 km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2 0, 91 70 Lê-se 9.170 decímetros quadrados. Medidas Agrárias As medidas agrárias são utilizadas parea medir superfícies de campo, plantações, pastos, fazendas, etc. A principal unidade destas medidas é o are (a). Possui um múltiplo, o hectare (ha), e um submúltiplo, o centiare (ca). 48
  49. 49. Unidade hectare (ha) are (a) agrária Equivalência 100a 1a de valor Lembre-se: 1 ha = 1hm2 1a = 1 dam2 1ca = 1m2 centiare (ca) 0,01a Transformação de unidades de superfície No sistema métrico decimal, devemos lembrar que, na transformação de unidades de superfície, cada unidade de superfície é 100 vezes maior que a unidade imediatamente inferior: Observe as seguintes transformações: transformar 2,36 m2 em mm2. *8. km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2 Para transformar m2 em mm2 (três posições à direita) devemos multiplicar por 1.000.000 (100x100x100). 2,36 x 1.000.000 = 2.360.000 mm2 transformar 580,2 dam2 em km2. *9. km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2 Para transformar dam2 em km2 (duas posições à esquerda) devemos dividir por 10.000 (100x100). 580,2 : 10.000 = 0,05802 km2 Pratique! Tente resolver esses exercícios: 1) Transforme 8,37 dm2 em mm2 (R: 83.700 mm2) 2) Transforme 3,1416 m2 em cm2 (R: 31.416 cm2) 3) Transforme 2,14 m2 em dam2 (R: 0,0214 dam2) 4) Calcule 40m x 25m (R: 1.000 m2) Medidas de volume Introdução Frequentemente nos deparamos com problemas que envolvem o uso de três dimensões: comprimento, largura e altura. De posse de tais medidas tridimensionais, poderemos calcular medidas de metros cúbicos e volume. Metro cúbico A unidade fundamental de volume chama-se metro cúbico. O metro cúbico (m3) é medida correspondente ao espaço ocupado por um cubo com 1 m de aresta. Múltiplos e submúltiplos do metro cúbico 49
  50. 50. Unidade Submúltiplos Fundamental hectômetro decâmetro decímetro centímetro quilômetro cúbico metro cúbico milímetro cúbico cúbico cúbico cúbico cúbico km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3 3 3 3 3 3 3 1.000.000.000m 1.000.000 m 1.000m 1m 0,001m 0,000001m 0,000000001 m3 Leitura das medidas de volume A leitura das medidas de volume segue o mesmo procedimento do aplicado às medidas lineares. Devemos utilizar porem, tres algarismo em cada unidade no quadro. No caso de alguma casa ficar incompleta, completa-se com zero(s). Exemplos. Múltiplos *10. km3 Leia a seguinte medida: 75,84m3 hm3 dam3 m3 75, dm3 840 cm3 mm3 dm3 006 cm3 400 mm3 Lê-se "75 metros cúbicos e 840 decímetros cúbicos". *11. km3 Leia a medida: 0,0064dm3 hm3 dam3 m3 0, Lê-se "6400 centímetros cúbicos". Transformação de unidades de volume Na transformação de unidades de volume, no sistema métrico decimal, devemos lembrar que cada unidade de volume é 1.000 vezes maior que a unidade imediatamente inferior. Observe a seguinte transformação: *12. km3 transformar 2,45 m3 para dm3. hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3 Para transformar m3 em dm3 (uma posição à direita) devemos multiplicar por 1.000. 2,45 x 1.000 = 2.450 dm3 Pratique! Tente resolver esses exercícios: 1) Transforme 8,132 km3 em hm3 (R: 8.132 hm3) 2) Transforme 180 hm3 em km3 (R: 0,18 km3) 3) Transforme 1 dm3 em dam3 (R: 0,000001 dam3) 4) Expresse em metros cúbicos o valor da expressão: 3.540dm 3 + 340.000cm3 (R: 3,88 m3) 50
  51. 51. Medidas de capacidade A quantidade de líquido é igual ao volume interno de um recipiente, afinal quando enchemos este recipiente, o líquido assume a forma do mesmo. Capacidade é o volume interno de um recipiente. A unidade fundamental de capacidade chama-se litro. Litro é a capacidade de um cubo que tem 1dm de aresta. 1l = 1dm3 Múltiplos e submúltiplos do litro Unidade Submúltiplos Fundamental quilolitro hectolitro decalitro litro decilitro centilitro mililitro kl hl dal l dl cl ml 1000l 100l 10l 1l 0,1l 0,01l 0,001l Cada unidade é 10 vezes maior que a unidade imediatamente inferior. Relações 1l = 1dm3 1ml = 1cm3 1kl = 1m3 Leitura das medidas de capacidade Múltiplos *13. kl Exemplo: leia a seguinte medida: 2,478 dal hl dal 2, l 4 dl 7 cl 8 ml Lê-se "2 decalitros e 478 centilitros". Transformação de unidades de capacidade Na transformação de unidades de capacidade, no sistema métrico decimal, devemos lembrar que cada unidade de capacidade é 10 vezes maior que a unidade imediatamente inferior. Observe a seguinte transformação: *14. kl transformar 3,19 l para ml. hl dal l dl cl ml Para transformar l para ml (três posições à direita) devemos multiplicar por 1.000 (10x10x10). 3,19 x 1.000 = 3.190 ml Pratique! Tente resolver esses exercícios: 51
  52. 52. 1) Transforme 7,15 kl em dl (R: 71.500 dl) 2) Transforme 6,5 hl em l (R: 650 l) 3) Transforme 90,6 ml em l (R: 0,0906 l) 4) Expresse em litros o valor da expressão: 0,6m 3 + 10 dal + 1hl (R: 800 l) Medidas de massa Introdução Observe a distinção entre os conceitos de corpo e massa: Massa é a quantidade de matéria que um corpo possui, sendo, portanto, constante em qualquer lugar da terra ou fora dela. Peso de um corpo é a força com que esse corpo é atraído (gravidade) para o centro da terra. Varia de acordo com o local em que o corpo se encontra. Por exemplo: A massa do homem na Terra ou na Lua tem o mesmo valor. O peso, no entanto, é seis vezes maior na terra do que na lua. Explica-se esse fenômeno pelo fato da gravidade terrestre ser 6 vezes superior à gravidade lunar. Obs: A palavra grama, empregada no sentido de "unidade de medida de massa de um corpo", é um substantivo masculino. Assim 200g, lê-se "duzentos gramas". Quilograma A unidade fundamental de massa chama-se quilograma. O quilograma (Kg) é a massa de 1dm3 de água destilada à temperatura de 4ºC. Apesar de o quilograma ser a unidade fundamental de massa, utilizamos na prática o grama como unidade principal de massa. Múltiplos e Submúltiplos do grama Unidade Múltiplos Submúltiplos principal quilograma hectograma decagrama grama decigrama centigrama miligrama kg hg dag g dg cg mg 1.000g 100g 10g 1g 0,1g 0,01g 0,001g Observe que cada unidade de volume é dez vezes maior que a unidade imediatamente inferior. Exemplos: 1 dag = 10 g 1 g = 10 dg Medidas de massa Transformação de Unidades Cada unidade de massa é 10 vezes maior que a unidade imediatamente inferior. Observe as Seguintes transformações: *15. Transforme 4,627 kg em dag. 52
  53. 53. kg hg dag g dg cg mg Para transformar kg em dag (duas posições à direita) devemos multiplicar por 100 (10 x 10). 4,627 x 100 = 462,7 Ou seja: 4,627 kg = 462,7 dag Observação: Peso bruto: peso do produto com a embalagem. Peso líquido: peso somente do produto. Medidas de tempo Introdução É comum em nosso dia-a-dia pergunta do tipo: Qual a duração dessa partida de futebol? Qual o tempo dessa viagem? Qual a duração desse curso? Qual o melhor tempo obtido por esse corredor? Todas essas perguntas serão respondidas tomando por base uma unidade padrão de medida de tempo. A unidade de tempo escolhida como padrão no Sistema Internacional (SI) é o segundo. Segundo O Sol foi o primeiro relógio do homem: o intervalo de tempo natural decorrido entre as sucessivas passagens do Sol sobre um dado meridiano dá origem ao dia solar. O segundo (s) é o tempo equivalente a 1/86.400 do dia solar médio. As medidas de tempo não pertencem ao Sistema Métrico Decimal. Múltiplos e Submúltiplos do Segundo Quadro de unidades Múltiplos minutos min 60 s hora h 60 min = 3.600 s dia d 24 h = 1.440 min = 86.400s São submúltiplos do segundo: *16. décimo de segundo *17. centésimo de segundo *18. milésimo de segundo Cuidado: Nunca escreva 2,40h como forma de representar 2 h 40 min. Pois o sistema de medidas de tempo não é decimal. Observe: 53
  54. 54. Outras importantes unidades de medida: mês (comercial) = 30 dias ano (comercial) = 360 dias ano (normal) = 365 dias e 6 horas ano (bissexto) = 366 dias semana = 7 dias quinzena = 15 dias bimestre = 2 meses trimestre = 3 meses quadrimestre = 4 meses semestre = 6 meses biênio = 2 anos lustro ou qüinqüênio = 5 anos década = 10 anos século = 100 anos milênio = 1.000 anos Medidas de Comprimento Sistema Métrico Decimal Desde a Antiguidade os povos foram criando suas unidades de medida. Cada um deles possuía suas próprias unidades-padrão. Com o desenvolvimento do comércio ficavam cada vez mais difíceis a troca de informações e as negociações com tantas medidas diferentes. Era necessário que se adotasse um padrão de medida único para cada grandeza. Foi assim que, em 1791, época da Revolução francesa, um grupo de representantes de vários países reuniu-se para discutir a adoção de um sistema único de medidas. Surgia o sistema métrico decimal. Metro A palavra metro vem do gegro métron e significa "o que mede". Foi estabelecido inicialmente que a medida do metro seria a décima milionésima parte da distância do Pólo Norte ao Equador, no meridiano que passa por Paris. No Brasil o metro foi adotado oficialmente em 1928. Múltiplos e Submúltiplos do Metro Além da unidade fundamental de comprimento, o metro, existem ainda os seus múltiplos e submúltiplos, cujos nomes são formados com o uso dos prefixos: quilo, hecto, deca, deci, centi e mili. Observe o quadro: Unidade Múltiplos Submúltiplos Fundamental quilômetro hectômetro decâmetro metro decímetro centímetro milímetro km hm dam m dm cm mm 1.000m 100m 10m 1m 0,1m 0,01m 0,001m Os múltiplos do metro são utilizados para medir grandes distâncias, enquanto os submúltiplos, para pequenas distâncias. Para medidas milimétricas, em que se exige precisão, utilizamos: 54
  55. 55. mícron (µ) = 10-6 m angströn (Å) = 10-10 m Para distâncias astronômicas utilizamos o Ano-luz (distância percorrida pela luz em um ano): Ano-luz = 9,5 · 1012 km O pé, a polegada, a milha e a jarda são unidades não pertencentes ao sistemas métrico decimal, são utilizadas em países de língua inglesa. Observe as igualdades abaixo: Pé Polegada Jarda Milha terrestre Milha marítima = = = = = 30,48 cm 2,54 cm 91,44 cm 1.609 m 1.852 m Observe que: 1 pé = 12 polegadas 1 jarda = 3 pés Leitura das Medidas de Comprimento A leitura das medidas de comprimentos pode ser efetuada com o auxílio do quadro de unidades. Exemplos: Leia a seguinte medida: 15,048 m. Seqüência prática 1º) Escrever o quadro de unidades: km hm dam m dm cm mm 2º) Colocar o número no quadro de unidades, localizando o último algarismo da parte inteira sob a sua respectiva. km hm dam m dm cm mm 1 5, 0 4 8 3º) Ler a parte inteira acompanhada da unidade de medida do seu último algarismo e a parte decimal acompanhada da unidade de medida do último algarismo da mesma. 15 metros e 48 milímetros Outros exemplos: 6,07 km 82,107 dam 0,003 m lê-se "seis quilômetros e sete decâmetros" lê-se "oitenta e dois decâmetros e cento e sete centímetros". lê-se "três milímetros". Transformação de Unidades Observe as seguintes transformações: *19. Transforme 16,584hm em m. km hm dam m dm cm mm Para transformar hm em m (duas posições à direita) devemos multiplicar por 100 (10 x 10). 16,584 x 100 = 1.658,4 Ou seja: 16,584hm = 1.658,4m 55
  56. 56. Transforme 1,463 dam em cm. km hm dam m dm cm mm Para transformar dam em cm (três posições à direita) devemos multiplicar por 1.000 (10 x 10 x 10). 1,463 x 1.000 = 1,463 Ou seja: 1,463dam = 1.463cm. *21. Transforme 176,9m em dam. km hm dam m dm cm mm Para transformar dam em cm (três posições à esquerda) devemos dividir por 10. 176,9 : 10 = 17,69 Ou seja: 176,9m = 17,69dam *22. Transforme 978m em km. km hm dam m dm cm mm Para transformar m em km (três posições à esquerda) devemos dividir por 1.000. 978 : 1.000 = 0,978 Ou seja: 978m = 0,978km. *20. Observação: Para resolver uma expressão formada por termos com diferentes unidades, devemos inicialmente transformar todos eles numa mesma unidade, para a seguir efetuar as operações. Perímetro de um Polígono Perímetro de um polígono é a soma das medidas dos seus lados. Perímetro do retângulo b - base ou comprimento h - altura ou largura Perímetro = 2b + 2h = 2(b + h) Perímetro dos polígonos regulares Triângulo equilátero Quadrado 56
  57. 57. P = l+ l + l P=3·l P = l + l + l+ l P=4·l Pentágono P=l+l+l+l+l P=5· Hexágono P=l+l+l+l+l+l P=6·l l - medida do lado do polígono regular P - perímetro do polígono regular Para um polígono de n lados, temos: P=n·l Comprimento da Circunferência Um pneu tem 40cm de diâmetro, conforme a figura. Pergunta-se: Cada volta completa deste pneu corresponde na horizontal a quantos centímetros? Envolva a roda com um barbante. Marque o início e o fim desta volta no barbante. Estique o bastante e meça o comprimento da circunferência correspondente à roda. Medindo essa dimensão você encontrará aproximadamente 125,6cm, que é um valor um pouco superior a 3 vezes o seu diâmetro. Vamos ver como determinar este comprimento por um processo não experimental. Você provavelmente já ouviu falar de uma antiga descoberta matemática: Dividindo o comprimento de uma circunferência (C) pela medida do seu diâmetro (D), encontramos sempre um valor aproximadamente igual a 3,14. Assim: 57
  58. 58. O número 3,141592... corresponde em matemática à letra grega (lê-se "pi"), que é a primeira lera da palavra grega perímetro. Costuma-se considera = 3,14. Logo: Utilizando essa fórmula, podemos determinar o comprimento de qualquer circunferência. Podemos agora conferir com auxílio da fórmula o comprimento da toda obtido experimentalmente. C = 2pir C = 2 3,14 · 20 · C = 125,6 cm 3,141592... 58

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