Proporção Áurea

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PROPORÇÃO ÁUREA
ORIGEM
“Quantos pares de coelhos podem ser gerados em
um ano, à partir de um par de coelhos?”

PROPORÇÃO ÁUREA
ORIGEM
• Leonardo Pisano (1180 – 1250).
• Matemático italiano apelidado
Fibonacci.

PROPORÇÃO ÁUREA
SEQUÊNCIA DE FIBONACCI
• Resolveu a questão onde criou a
sequência mais intrigante da
matemática.
• Cada número da série é resultado da
soma dos dois anteriores (0, 1, 1, 2, 3,
5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233…).

PROPORÇÃO ÁUREA
• O número áureo está presente na fórmula do termo geral da Série de
Fibonacci:
• Pode ser aproximado pela divisão do n-ésimo termo da Série de Fibonacci
pelo termo anterior:

PROPORÇÃO ÁUREA
• Ao dividirmos dois números consecutivos da sequência de Fibonacci (o
maior pelo menor) chegamos próximos ao número PHI (1,618…).
• O número PHI é uma sequência inﬁnita:
1,61803398874989484820458683436563811772030917980576…

PROPORÇÃO ÁUREA
PHI
• Proporção áurea, número de ouro, número áureo, seção áurea, segmento
áureo, proporção de ouro ou proporção divina.
• Recebeu esse nome em homenagem à Phidias, escultor grego que o
utilizava em suas obras.
• É uma constante real algébrica irracional.
LETRA GREGA (PHI)

PROPORÇÃO ÁUREA
• O resultado é encarado como expressão do belo (o ideal da beleza), pelo
equilíbrio de suas proporções.
• É usada na arte desde a antiguidade.
• É frequente a sua utilização em pinturas renascentistas (Giotto).
• Está envolvido com a natureza do crescimento.
• O fascinante é o fato de ser encontrado através de desenvolvimento
matemático.
O QUE É?

PROPORÇÃO ÁUREA
DIVISÃO EM MÉDIA E EXTREMA RAZÃO
• A partir de um segmento de 10 unidades, determina-se a sua seção áurea
multiplicando-o por 0,618 (média). Para encontrar-se um segmento maior,
em extrema razão, deve-se multiplicar as dez unidades iniciais por 1,618.

PROPORÇÃO ÁUREA
PROCESSO DE CONSTRUÇÃO
• Determine o ponto de médio (M) de
AB. Levante por B uma
perpendicular BC, sendo BC = BM.
• Com centro em C trace uma
circunferência de raio CB.
• Trace uma semi-reta AC.
• A interseção entre a circunferência e a
semi-reta determina os pontos D e D’.
• Com centro do compasso em A e
abertura AD, trace um arco e
determine o ponto E.
• AE é o segmento áureo de AB.
CONSTRUÇÃO COM RÉGUA E COMPASSO

PROPORÇÃO ÁUREA
PROCESSO DE CONSTRUÇÃO
• Com centro do compasso em A e
abertura AD', trace um arco e
determine o ponto E’.
• E'A é o segmento áureo de E’B.
CONSTRUÇÃO COM RÉGUA E COMPASSO

PROPORÇÃO ÁUREA
PROPORÇÃO ÁUREA
PROPORÇÃO ÁUREA, NÚMERO DE OURO OU PROPORÇÃO DIVINA

PROPORÇÃO ÁUREA
PROPORÇÃO ÁUREA
PROPORÇÃO ÁUREA EM RETÂNGULOS

PROPORÇÃO ÁUREA
ONDE SE ENCONTRA
• Nas espirais das galáxias, nos furacões, nas ondas, no comportamento dos
átomos, na refração do som, na conversão de milhas para quilômetros…

PROPORÇÃO ÁUREA
FIGURAS GEOMÉTRICAS
• Um decágono regular, inscrito numa circunferência, tem os lados em
proporção áurea com o raio da circunferência.

PROPORÇÃO ÁUREA
FIGURAS GEOMÉTRICAS
• Chamando os vértices de um
pentagrama de A, L, O, K e B, o
triângulo isósceles formado por
A, L e O tem seus lados em
relação dourada com a base, e o
triângulo isósceles A, H e O tem
sua base em relação dourada
com os lados.

PROPORÇÃO ÁUREA
TUDO É NÚMERO - PITÁGORAS
• Ao descobrir que as proporções no pentagrama eram a proporção áurea,
Pitágoras tornou esse símbolo “estrelado" como a representação da
Irmandade Pitagórica. (Um dos motivos que o levou a dizer que "tudo é
número“, onde a natureza segue padrões matemáticos).

PROPORÇÃO ÁUREA
• O pentagrama é obtido
traçando-se as diagonais de um
pentágono regular. O
pentágono menor, formado
pelas interseções das diagonais,
está em proporção com o
pentágono maior, de onde se
originou o pentagrama. A razão
entre as medidas dos lados dos
dois pentágonos é igual ao
quadrado da razão áurea.
SEGMENTOS PENTAGRAMA

PROPORÇÃO ÁUREA
• O molusco bombeia gás para dentro de sua concha repleta de câmaras para
regular a profundidade de sua ﬂutuação, proporcionando um crescimento
do raio aproximado a seção áurea.
ANIMAIS
CONCHA DO CARAMUJO NAUTILUS (MEDIDAS APROXIMADAS)

PROPORÇÃO ÁUREA
• População de abelhas: A proporção entre abelhas fêmeas e machos em
qualquer colmeia.
• Presas de elefantes, escamas de peixes…
ANIMAIS
MEDIDAS APROXIMADAS

PROPORÇÃO ÁUREA
• Observada no crescimento das plantas, algumas vezes na formação de seus
galhos, outras na posição ou número de folhas ou pétalas.
VEGETAIS
MEDIDAS APROXIMADAS

PROPORÇÃO ÁUREA
• A altura do corpo humano e a
medida do umbigo até o chão.
• A altura do crânio e a medida
da mandíbula até o alto da
cabeça.
• A medida da cintura até a
cabeça e o tamanho do tórax.
• A medida do ombro à ponta do
dedo e a medida do cotovelo à
ponta do dedo.
CORPO HUMANO

PROPORÇÃO ÁUREA
• O tamanho dos dedos e a medida da dobra central até a ponta.
• A medida da dobra central até a ponta dividido e da segunda dobra até a
ponta.
CORPO HUMANO

PROPORÇÃO ÁUREA
AS IDEIAS DE PROPORÇÃO E SIMETRIA APLICADAS
À CONCEPÇÃO DA BELEZA HUMANA
LEONARDO DA VINCI

PROPORÇÃO ÁUREA
HOMEM VITRUVIANO
• É baseado numa famosa passagem do
arquiteto romano Marcus Vitruvius Pollio
na sua série de dez livros intitulados de
“De Architectura” (no terceiro livro, ele
descreve as proporções do corpo
humano masculino). Contudo suas
tentativas ﬁcaram imperfeitas.
• Leonardo da Vinci fez com que o encaixe
ﬁcasse perfeito dentro dos padrões
matemáticos esperados. HOMEM VITRUVIANO - LEONARDO DA VINCI

PROPORÇÃO ÁUREA
HOMEM VITRUVIANO
• Um palmo é o comprimento de quatro dedos.
• Um pé é o comprimento de quatro palmos.
• Um côvado é o comprimento de seis palmos.
• Um passo são quatro côvados.
• A altura de um homem é quatro côvados.
• O comprimento dos braços abertos de um
homem (envergadura dos braços) é igual à sua
altura.
• A distância entre a linha de cabelo na testa e o
fundo do queixo é um décimo da altura de um
homem.
• A distância entre o topo da cabeça e o fundo do
queixo é um oitavo da altura de um homem.
HOMEM VITRUVIANO - LEONARDO DA VINCI

PROPORÇÃO ÁUREA
HOMEM VITRUVIANO
• A distância entre o fundo do pescoço e a linha
de cabelo na testa é um sexto da altura de
um homem.
• O comprimento máximo nos ombros é um
quarto da altura de um homem.
• A distância entre o meio do peito e o topo da
cabeça é um quarto da altura de um homem.
• A distância entre o cotovelo e a ponta da mão
é um quarto da altura de um homem.
• A distância entre o cotovelo e a axila é um
oitavo da altura de um homem.
• O comprimento da mão é um décimo da
altura de um homem.
HOMEM VITRUVIANO - LEONARDO DA VINCI

PROPORÇÃO ÁUREA
HOMEM VITRUVIANO
• A distância entre o fundo do queixo e o
nariz é um terço do comprimento do
rosto.
• A distância entre a linha de cabelo na
testa e as sobrancelhas é um terço do
comprimento do rosto.
• O comprimento da orelha é um terço do
da face.
• O comprimento do pé é um sexto da
altura. HOMEM VITRUVIANO - LEONARDO DA VINCI

PROPORÇÃO ÁUREA
HOMEM VITRUVIANO
• O re-descobrimento das proporções matemáticas do corpo humano no
século XV foi considerado uma das grandes realizações que conduzem ao
Renascimento Italiano.
• O desenho foi considerado como um símbolo da simetria básica do corpo
humano e, por extensão, para o universo como um todo.
• É interessante observar que a área total do círculo é idêntica à área total do
quadrado (quadratura do círculo) que pode ser considerado um algoritmo
matemático para calcular o valor do número irracional PHI.

PROPORÇÃO ÁUREA
ARTES
O NASCIMENTO DE VÊNUS - BOTTICELLI

PROPORÇÃO ÁUREA
ARTES
O SACRAMENTO DA ÚLTIMA CEIA - SALVADOR DALÍ

PROPORÇÃO ÁUREA
ARTES
• Na história da arte renascentista, a perfeição da beleza nos quadros foi
bastante explorada. Vários pintores e escultores lançaram mão das
possibilidades que a proporção lhes dava para retratar a realidade com mais
perfeição.
• As proporções podem ser encontradas na maioria das pinturas em que a
anatomia tenha sido respeitada (característica inerente ao ser humano).

PROPORÇÃO ÁUREA
ARTES
• A Mona Lisa (Leonardo da Vinci) tem a proporção áurea nas relações entre o
tronco e a cabeça, bem como nos elementos da face.

PROPORÇÃO ÁUREA
MÚSICA
• O número de ouro está presente em diversas obras de compositores
clássicos: sinfonia n.º 5, de Ludwig van Beethoven.

PROPORÇÃO ÁUREA
LITERATURA
• Nos clássicos Ilíada (Homero) e Eneida (Virgílio), a proporção se apresenta
na razão entres as estrofes maiores e menores.
• No trecho da chegada às Índias no “Os Lusíadas” (Camões).
• Matila Ghyka em seu livro "O Número de Ouro”, demonstrou a existência da
proporção áurea em textos escritos por Victor Hugo, Shakespeare, Paul
Valéry, Pierre Louys, entre outros. Ghyka relacionou as estrofes de acordo
com o ritmo da leitura (Ritmo Prosodico).

PROPORÇÃO ÁUREA
CINEMA
• O diretor russo Sergei Eisenstein se utilizou do número PHI no ﬁlme O
Encouraçado Potemkin para marcar os inícios de cenas importantes da
trama, medindo a razão pelo tamanho das ﬁtas de película.

PROPORÇÃO ÁUREA
DISPOSIÇÃO DO CONTEÚDO
DIVISÃO DA ÁREA PARA ENFOQUE NO CONTEÚDO MAIS IMPORTANTE

PROPORÇÃO ÁUREA
ORDEM DE LEITURA
OCIDENTAL

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