Este documento discute uma questão sobre conjuntos finitos. A questão pergunta se um conjunto X é finito, se uma função f de X para X nunca mapeia um subconjunto próprio Y de X de volta para dentro de Y. A solução mostra que se X for infinito, sempre será possível achar um Y tal que f(Y) está contido em Y, portanto X deve ser finito.

1. QUESTÕES PUC-RIO - CONJUNTO FINITO
Claudio Buffara – Rio de Janeiro

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PUC-RIO e suas soluções.
Introdução

3. DÚVIDA
Alguma ajuda na questão abaixo?
Seja f: X --> X uma função tal que se Y é um subconjunto próprio não vazio de
X,
f(Y) não está contida em Y, qualquer que seja Y.
Mostre que X é finito. ( Claro, a recíproca é verdadeira; se X é finito então é
possível achar f satisfazendo o enunciado, por exemplo uma função que leve
x_i em x_i+1 (i < n) e x_n em x_1, supondo X com n elementos).

4. SOLUÇÃO
Suponhamos que X seja infinito.
Tome x_1 em X. Sejam x_2 = f(x_1), x_3 = f(x_2), etc...
Se, para algum k, x_k = x_1, então tome Y = {x_1, x_2, ..., x_(k-1)}.
Este Y será tal que f(Y) = Y.

5. Por outro lado, se todos os x_i forem distintos, tome Y = {x_2, x_3, ...}
Neste caso, Y será um subconjunto próprio de X (já que não contém x_1) e
teremos f(Y) = Y - {x_2}, o qual está contido em Y.
Ou seja, se X for infinito, então sempre irá existir um subconjunto próprio Y de
X com f(Y) contido em Y.
Confira a discussão completa em:
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.200409/msg00121.html