Trigonometria exercícios resolvidos e teoria

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Trigonometria exercícios resolvidos e teoria

  1. 1. Triângulo de Pitágoras Pitágoras (850 a 507 a.C.) nasceu na ilha de Samos, na Grécia. Pitágoras, como ponto central dos seus ensinamentos, tinha uma visão daharmonia do universo, que se baseava nos números e nas fórmulas dematemática abstracta. Assim, Pitágoras desejava encontrar a "harmoniamatemática" em todas as coisas. Por exemplo, ele descobriu que a soma de todosos ângulos de um triângulo era sempre igual à soma de dois ângulos retos. Finalmente, sabias que o conhecido Teorema de Pitágoras já tinha sidodescoberto? É verdade! No entanto, ele foi a primeira pessoa que a conseguiuprovar matematicamente. Pitágoras descobriu uma propriedade importante para o triângulo retângulo(triângulo que contém um ângulo de 90º). Antes de mais, vamos dar nomes aos lados de um triângulo retângulo:catetos são os dois lados adjacentes ao ângulo de 90º e hipotenusa é o ladooposto a esse mesmo ângulo. c = hipotenusa a = cateto b = cateto Teorema de Pitágoras: num triângulo retângulo, o quadrado dahipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. c² = a² + b² Vamos agora demonstrar o Teorema de Pitágoras. O que se pretende demonstrar é que: dado um triângulo retângulo de catetos ae b e hipotenusa c (HIPÓTESE) temos c² = a² + b². Consideremos um quadrado de lado a + b. O quadrilátero [ABCD] que se obtém unindo os pontos A, B, C e D é umquadrado, já que: • os lados são todos iguais a c pois, como se pode ver, eles são as hipotenusas de triângulos retângulos iguais (os 4 triângulos que se obtêm ao fazermos esta decomposição são iguais pelo caso LAL).
  2. 2. • os ângulos são todos retos. Observando a figura seguinte podemos chegar a essa conclusão, visto que os ângulos 1 e 2 são complementares. Os ângulos 1 e 3 têm a mesma amplitude, visto que entre ângulos geometricamente iguais a lados iguais opõem-se ângulos iguais. Logo, o ângulo 4 mede 90º. Façamos agora outra decomposição do quadrado de lado a + b. Nestadecomposição obtemos também 4 triângulos retângulos de catetos a e b ehipotenusa c. Se retirarmos o que é igual às duas decomposições que fizemos do quadrado delado a + b, obtemos: As áreas destas duas figuras têm de ser iguais, já que, elas resultam dedecomposições do mesmo quadrado, ao qual foram retiradas partes iguais. Logo, c² = a² + b², como queríamos demonstrar. Repara no seguinte exemplo:
  3. 3. Como podes ver, o quadrado do cateto mede 3 somado com o quadrado docateto que mede 4 é igual ao quadrado da hipotenusa que mede 5: 3² + 4² = 5² Nunca te esqueças que o Teorema de Pitágoras só é aplicado ao triânguloretângulo. No espaço, o Teorema de Pitágoras diz que o quadrado da medida dadiagonal de um paralelepípedo retângulo é igual à soma dos quadrados das trêsdimensões das arestas.
  4. 4. Razões Trigonométricas de um Triângulo Retângulo Os primeiros geómetras sabiam que o ângulo reto era um dos conceitosbásicos da geometria. Euclides sabia-o também e na sua obra Elementos deu aseguinte definição: "Quando uma linha reta traçada sobre outra linha reta determina ângulosadjacentes iguais entre si, cada um dos ângulos diz-se reto, e a linha reta diz-seperpendicular aquela que intersecta". Com base na seguinte figura, Pelo Teorema de Pitágoras temos que , donde . Ora, e e, portanto, sen² α + cos² α = 1 Fórmula Fundamental da Trigonometria Dividindo a fórmula fundamental por cos²α e sabendo quetemos que . Analogamente, dividindo por sen²α e dado quevem que . Estas fórmulas são consideradas fórmulas básicas da trigonometria epermitem deduzir, sem recorrer ao auxílio de tabelas ou de máquinas decalcular, os valores exactos de todas as razões trigonométricas de um ângulo,desde que se conheça uma delas.
  5. 5. Exemplo: Supor que . . Então, Círculo Trigonométrico Círculo Trigonométrico é um círculo de centro na origem do referencial e raioigual à unidade, ao qual se encontra associado um referencial ortonormado xOy.Consideremos sobre o círculo trigonométrico de centro O, os pontos A e Bescolhidos como a figura indica. Se aos pontos A e B fizermos corresponder as semi-retas OA e OB, o par(OA,OB) define um ângulo.
  6. 6. O ponto O é o vértice do ângulo e as semi-retas OA e OB são, respectivamente, olado origem e o lado extremidade. Há dois sentidos de percurso num círculo: Ângulo positivo (ou direto) é o ângulo gerado no sentido contrário ao dosponteiros do relógio. Ângulo negativo (ou indireto) é o ângulo gerado no sentido dos ponteiros dorelógio.A um ângulo pode associar-se uma amplitude em sentidos chamando-se entãoângulo orientado.
  7. 7. LINHAS TRIGONOMÉTRICAS P é o ponto de intersecção do lado extremidade do ângulo com o arco que limitao círculo trigonométrico. O seno de α é a ordenada do ponto P. O co-seno de α é a abcissa do ponto P. C é o ponto de intersecção do lado extremidade do ângulo com o eixo dastangentes. A tangente de α é a ordenada do ponto C. D é o ponto de intersecção do lado extremidade do ângulo com o eixo das co-tangentes. A co-tangente de α é a abcissa do ponto C. Enquadramento de seno e do co-seno O sinal de uma razão trigonométrica depende exclusivamente do sinal dascoordenadas do ponto associado ao círculo trigonométrico. Para todo o α,
  8. 8. Para todo o α, Redução ao 1º quadrante Observando atentamente no círculo trigonométrico cada uma das situações emcausa, é possível concluirmos algumas relações importantes entre as relaçõestrigonométricas de certos ângulos.Ângulos do 1ª QuadranteÂngulos Complementares: α e 90°- αOs pontos P e Q do círculo trigonométrico, respectivamente associados a α e a90-α, são simétricos em relação à reta de equação y = x. Daí resulta que a abcissa de um é a ordenada do outro e reciprocamente, istoé,
  9. 9. Ângulos do 2º QuadranteÂngulos que diferem de 90°: α e 90° + αA abcissa de Q é simétrica da ordenada de P, e a ordenada de Q é igual à abcissade P, isto é, Ângulos Suplementares: α e 180° - α Os pontos P e Q do círculo trigonométrico, respectivamente associados a α e180°- α, são simétricos em relação ao eixo das ordenadas. Daí resulta que asordenadas de P e Q são iguais e as suas abcissas são simétricas, isto é,Ângulos do 3º QuadranteÂngulos que diferem de 180º: α e 180° + α
  10. 10. Os pontos P e Q do círculo trigonométrico, respectivamente associados a α e a180° + α, são simétricos em relação a O. Daí resulta que as suas ordenadas e as suas abcissas são simétricas, isto é,Ângulos que somados valem 270º: α e 270º - αÂngulos do 4º QuadranteÂngulos que diferem de 270º: α e 270º + α
  11. 11. Ângulos Simétricos: α e −α Os pontos P e Q do círculo trigonométrico, respectivamente associados α e−α, são simétricos em relação ao eixo das abcissas. Daí resulta que as abcissas de P e Q são iguais e as suas ordenadas sãosimétricas, isto é, OBS.: As relações que acabamos de estudar são válidas qualquer que seja aamplitude α do ângulo (em graus ou radianos). Valores de algumas razões trigonométricas: 1 0 ° 0° ° 30° ° 45° ° 60° ° 90° sen 0 1 cos tg 0 1 ∞ cotg ∞ 1 0
  12. 12. Fórmulas TrigonométricasFórmula FundamentalFórmulas SecundáriasFórmulas de AdiçãoFórmulas de DuplicaçãoFórmulas de BissecçãoFórmulas de Transformação
  13. 13. OBS.: As fórmulas anteriores não são válidas se os denominadores tomaremvalores nulos.
  14. 14. Problemas Resolvidos Nesta página são apresentados alguns problemas relacionados com o triânguloretângulo. Para os resolver aplica os teus conhecimentos de trigonometria.1. Uma cegonha tem o ninho num poste de alta tensão com20 metros de altura (onde foi colocada uma placa especialpara a cegonha não correr nenhum risco). Vê um alimentono chão e voa em direcção a ele numa inclinação de 35º. Qual a extensão do voo da ave? Solução: 1. Uma vez que nos é dado o ângulo de 35º e a medida do cateto adjacente a esse ângulo e se pretende a medida da hipotenusa, o melhor é calcular o cos 35º. Sabemos que A extensão do voo da ave é de aproximadamente 24,4 metros. 2. Qual o ângulo de elevação da Lua quando numa noite de lua cheia, a uma certa hora, a sombra de uma pessoa com 1,80 m mede 3 metros?Solução: 2. O melhor é calcular o valor da tg α, uma vez que nos é dada a medida docateto adjacente e a medida do cateto oposto. O ângulo é de aproximadamente 31°.
  15. 15. 3. Determina a altura do Padrão dos Descobrimentos atendendo aos dados α = 2º β= 39º Distância do Padrão P ao aparelho T = 60 m.Solução: 3. Como a altura do padrão dos descobrimentos é a soma da altura a com aaltura b, então determinemos esses valores. 4. De acordo com os dados da figura ao lado e sabendo que o escadote fechado tem 2 m de altura, determine a distância entre a lâmpada e o topo do escadote.Solução: 4. Determinemos a altura do escadote aberto Logo, a distância entre a lâmpada e o topo do escadote é, aproximadamente, 70 cm.
  16. 16. 5. O Eduardo e a Maria resolveram ir ao jardim Zoológico e combinaramencontrar-se junto aos répteis às 15 horas. Por acaso, chegaram ambos antes dahora marcada e foram dando umas voltas para fazer tempo. A Maria foi primeiroaos pássaros, passou pelo café, pelas girafas a pelos macacos antes de chegar aosrépteis. O Eduardo foi direito aos leões, passou pelas girafas e seguiu para osrépteis. Qual dos dois andou mais?Solução: 5. A Maria andou 250+450+60 =760 até aos macacos.Dos macacos aos répteis andou x e x²=60²+130²donde x=143,2. Logo, a Maria andou 760+143,2=903,2. O Eduardo andou y até chegar aos leões. Ora, y²=250²+ 250²donde y=353,5. Depois andou z até chegar às girafas, sendo z²=(250+335)²+300²donde z=657,4. Logo, o Eduardo andou 353,5+657,4+130=1140,9 até chegar aos répteis. Como vês foi o Eduardo quem andou mais
  17. 17. 6. Em casa do Timóteo há uma sala retangular quetem o chão coberto de quadrados de lado 10 cm. Umdos lados contém 93 quadrados e o outro 231. Timóteotraça uma linha reta unindo os dois cantos opostos. Quantos quadrados mede essa linha?Solução: 6. Consideremos a linha reta de um cantoao outro. Pelo Teorema de Pitágoras vem que a²=930²+2310² e portanto, a=2490,1807167. Diz se são verdadeirasou falsas cada uma das afirmações: a) Num triângulo retângulo a soma dos catetos é igual à hipotenusa. b) Num triângulo retângulo a soma dos catetos é igual à hipotenusa aoquadrado. c) Num triângulo retângulo a soma do quadrado dos catetos é igual àhipotenusa ao quadrado. d) Num triângulo retângulo é sempre verificável o Teorema de Pitágoras.Solução: 7. a) Falsa b) Falsa c) Falsa d) Verdadeira8. "Num triângulo retângulo a hipotenusa é sempre o maior dos lados". Diz se esta afirmação é verdadeira ou falsa e apresenta argumentos que avalidem ou a refutem.Solução: 8. A afirmação é verdadeira.9. O triângulo [ABC] é um triângulo retângulo e [BC] é perpendicular a [AC].Completa as seguintes igualdades: a) [AB]² + ...... = [AC]² Solução: 9. b) [AB]² = ...... + ...... c) [DC]² + ...... = ...... a) [AB]² + [BC]² = [AC]² b) [AB]² = [AD]² + [DB]² c) [DC]² + [BD]² = [BC]²
  18. 18. 10. Resolve a seguinte equação trigonométrica:a)b)c) Solução: 10. a) com K∈ Z. b) com K∈ Z. c) Como Então
  19. 19. 11. Recorrendo ao círculo trigonométrico exprime em função de sen b e cos b aseguinte expressão:11.Comoentão,12. Prova que, para todo o a e b, se tem:12. Pela fórmula fundamental da trigonometria, temos queeEntão 13. Verifica se a bengala da figuracabe dentro da caixa.13. A diagonal da base da caixa mede 85cm, pois pelo teorema de Pitágoras x² = 75² + 40² x² = 7225 x = 85Logo a bengala cabe na caixa.
  20. 20. 14. Uma aranha encontra-se no canto superior A de umsalão retangular, com 20 m de comprimento, 15 m delargura e 10 m de altura. Olhando ao longe, depara-se-lheum petisco apetitoso no canto mais longínquo do salão,em G. Qual o comprimento de fio de teia mínimo que a aranhaterá de tecer para conseguir atingir o tão desejadoalmoço? Para responder, precisas de saber o Teorema de Pitágoras no espaço. Será que és capaz de orientar a aranha até ao seu petisco?14. O caminho mais curto é o segmento [AG], que é a hipotenusa do triângulo retângulointerno no salão O segmento [EG] é a diagonal da base, então [EG]² = 15² + 20² [EG]² = 225 + 400 = 625 [EG] = 25 Então [AG]² = 10² + 25² = 725 [AG] = 27 O caminho mais curto entre a aranha e o petisco é de 27m.

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