UNIVERSIDADE ESTADUAL DE SANTA CRUZDEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS               ENGENHARIA CIVIL          ...
2VICTOR MAGALHÃES SILVA (201210108)          LEI DE HOOKE               Relatório apresentado como parte dos              ...
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11As suas incertezas foram determinadas através das equações (4), (5) e (6).
12      Fazendo a substituição dos valores corretamente, encontraremos:                         13,511                   0...
13dos pontos e o mais próximo da origem. Essa reta será a relação P x ∆X, quecaracteriza a constante de deformação da mola...
14REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICASPIACENTINI, João J. [et. al]. Introdução ao laboratório de física. 3.ed. Florianópolis:Ed. UFS...
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  1. 1. UNIVERSIDADE ESTADUAL DE SANTA CRUZDEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS ENGENHARIA CIVIL LEI DE HOOKE VICTOR MAGALHÃES SILVA (201210108) ILHÉUS – BAHIA 2012
  2. 2. 2VICTOR MAGALHÃES SILVA (201210108) LEI DE HOOKE Relatório apresentado como parte dos critérios de avaliação da disciplina CET788 – FÍSICA EXPERIMENTAL I. Professor: José Rafael León. ILHÉUS – BAHIA 2012
  3. 3. 3 SUMÁRIO1 INTRODUÇÃO .................................................................................................. 42 OBJETIVOS ...................................................................................................... 63 MATERIAIS E MÉTODOS ................................................................................ 6 3.1 Materiais ................................................................................................................................. 6 3.2 Métodos .................................................................................................................................. 64 RESULTADOS E DISCUSSÃO ................................................................................................... 85 CONCLUSÃO ............................................................................................................................... 13REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ......................................................................... 14
  4. 4. 41 INTRODUÇÃO Em diversos problemas, percebe-se a necessidade de ajustar uma equaçãoteórica aos resultados de um experimento. Para isso, utiliza-se o ajuste linear, que éuma forma de prever os valores de uma variável dependente de outra, que por sua veznão depende da primeira. Então, a partir da equação de ajuste: y = ax + b Eq. 1tem-se que x é a variável independente e y a variável dependente (nesse caso, de x). Para calcular o ajuste, é necessário, primeiro, encontrar os valores doscoeficientes angular (a) e linear (b) da Eq. 1, onde a é a tangente do ângulo formadoentre a reta e o eixo das ordenadas e b indica onde a reta corta o eixo das abscissasno gráfico. Por serem grandezas (calculadas ou aferidas), esses coeficientes possuemincertezas associadas a elas ( e ). Esses valores podem ser calculados atravésdas seguintes equações: Eq. 2 Eq. 3 Eq. 4 Eq. 5 Eq. 6
  5. 5. 5 Graficamente, após os coeficientes e seus respectivos erros terem sidodevidamente representados, a reta de ajuste linear deverá passar entre a maiorquantidade de pontos possível. Um exemplo de necessidade do ajuste linear é a determinação dos valores dasvariáveis relacionadas à força elástica exercida sobre uma mola.Não são conhecidoscorpos perfeitamente rígidos, uma vez que todos os corpos experimentados até hojesofreram deformações relativamente consideráveis. Ao estudar as deformações demolas e as forças aplicadas, Robert Hooke (1635-1703) verificou que a deformação damola aumenta proporcionalmente à força. Daí, estabeleceu-se a seguinte lei (chamadaLei de Hooke): Fel = k.Δx Eq. 7onde Fel é a força elástica, k é a constante elástica da mola e x a deformação dela. Relacionando a Eq. 7 com a Eq. 1, pode-se dizer, teoricamente, que Fel = y, k =a, Δx = x e b = 0. Além dessas equações citadas, usaremos também equações já vistas emrelatórios anteriores: Cálculo da Média: Como sabemos da existência das incertezas associadas, para cada medidaobtida, é preciso conhecer o quanto ela se afasta da média calculada na eq.(8). Paraisso, consideramos o cálculo do Desvio Padrão, através da eq. (9), a seguir: Em seguida, faz-se necessário calcular o Desvio Padrão do Valor Médio, atravésda eq. (10): Se estabelece ainda a Incerteza Padrão, isto é, a Incerteza da Média, com ocálculo da eq. (11): Eq. 11 Por fim, para calcular a Propagação da Incerteza das medidas obtidasindiretamente, é necessário utilizar a fórmula:
  6. 6. 62 OBJETIVOS Calcular a Propagação da Incerteza para os coeficientes linear e angular. Aprender a ajustar os pontos numa reta, construindo um gráfico através dos coeficientes citados. Encontrar a equação linear da forma y = ax + b.3 MATERIAIS E MÉTODOS3.1 Materiais Objetos de Metal; Suporte Universal; Haste Vertical Graduada; Fita Métrica; Mola; Balança digital.3.2 Métodos Com a balança, aferiu-se a massa dos pesos, através de combinações entreeles. Aferimos a massa de um peso grande, um peso médio, em seguida, de outropeso grande (cuja massa foi igual a massa do primeiro), um pequeno com um médio,de dois grandes, de um pequeno com um grande e de todos os quatro pesos juntos.Em seguida, com a régua (haste vertical, vide figura 1), mediu-se o comprimento damola em equilíbrio, esta presa ao suporte, e, após esse procedimento, foi colocada aprimeira combinação de peso pendurado na mola para medir o novo comprimento damola. Esse procedimento foi repetido cinco vezes para cada combinação aferida na
  7. 7. 7balança, visto que o grupo de alunos possuía cinco membros e cada aluno deveriarealizar a medida. A régua (Figura 1) possui uma incerteza instrumental (desvio sistemático),representada por , é obtida através da divisão da menor medida realizada peloinstrumento utilizado, neste caso, 1 mm (ou ), por 2: Figura 1 – Modelo de haste vertical utilizada em laboratório. Já a balança apresenta incerteza instrumental, representada por , é obtidaatravés da divisão da menor medida realizada pelo instrumento utilizado, neste caso,0,1 g (ou ), por 2: .
  8. 8. 8 4 RESULTADOS E DISCUSSÃO Ao medir o comprimento inicial da mola (sem as massas), na haste vertical,encontramos 269mm, ou 0,269m (posição de equilíbrio da mola). Relacionando a suaincerteza, pode-se expressar . Os comprimentos aferidos (com asmassas dependuradas) e a incerteza instrumental estão expressos na Tabela 1 abaixo,onde é a variação do deslocamento da mola com os objetos, sendo . Cada medição foi repetida cinco vezes. Tabela 1 – Medidas de Comprimento e Incerteza Instrumental 0,281 0,298 0,281 0,298 0,281 0,298 0,280 0,298 0,281 0,298 0,271 0,313 0,272 0,313 0,272 0,313 0,271 0,313 0,271 0,313 0,281 0,296 0,281 0,296 0,281 0,295 0,280 0,296 0,281 0,295
  9. 9. 9 0,278 0,278 0,279 0,278 0,278Para determinar as médias e suas incertezas, foram aplicadas as equações de acordocom as medidas obtidas. Assim, para a média do comprimento e a sua incerteza, bemcomo a média da massa e sua incerteza, foi aplicada a equação (8), seguida dasequações (9), (10), (11) e (12). Abaixo segue a tabela com as médias: Tabela 2 – Medidas de Comprimento Médios e Peso (g = 9,8 m/s²) 0,2808 0,0118 0,0238 0,2332 0,2714 0,0024 0,0104 0,1019 0,2808 0,0118 0,0238 0,2332 0,2782 0,0092 0,0203 0,1989 0,2980 0,0290 0,0476 0,4665 0,3130 0,0440 0,0679 0,6654 0,2956 0,0266 0,0441 0,4322 Para construir o gráfico Fel x ∆x, são necessários valores de Fel já obtidos e encontrar os valores médios do ∆x dos 5 alunos para cada peso. Esses valores estão citados na tabela 2, apresentada anteriormente.
  10. 10. 10 Gráfico 1 – Força Elástica x Deformação 0 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 -0.1 -0.2 -0.3 -0.4 -0.5 -0.6 -0.7No gráfico, o eixo y corresponde a Força Elástica, enquanto que o eixo xcorresponde a deformação da mola. O gráfico apresentou apenas 6 pontos, poisaconteceu de a massa de 2 objetos serem iguais, consequentemente o pesodeles também foi igual. Podemos perceber também que os pontos seguem umacerta linearidade, ou seja, eles tendem a uma reta. Para encontrar essa reta, foinecessário o uso do método dos mínimos quadrados, cuja equação foiapresentada ainda na introdução.Utilizando o método dos mínimos quadrados expresso nas equações (2) e (3),foram encontrados os valores dos coeficientes a e b. Esse método é de extremaimportância, pois nos permite calcular os valores dos coeficientes angulares elineares.
  11. 11. 11As suas incertezas foram determinadas através das equações (4), (5) e (6).
  12. 12. 12 Fazendo a substituição dos valores corretamente, encontraremos: 13,511 0,073 Desta forma, podemos finalmente explicitar a equação da reta, ou seja, aequação do ajuste linear: Obs.: o coeficiente angular (a) é negativo pois a força elástica está no sentido oposto ao peso . Gráfico 2 – Força Elástica x Deformação 0 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 -0.1 -0.2 -0.3 -0.4 -0.5 -0.6 -0.7 -0.8 O valor do coeficiente angular , também pode ser interpretado comoo valor da constante elástica da mola, isto é, o valor que o peso varia,proporcionalmente em função do deslocamento . Assim, pode-se perceber que a Leide Hooke comporta-se como uma equação de reta, por isso, pode-se considerar,graficamente, a Fel, que, nesse experimento, é o peso, como uma reta. Nesse caso, asvariáveis a e b da equação da reta podem ser substituídas pelas variáveis k e x da Leide Hooke e, com essa substituição, as Eq. 2, 3, 5 e 6 também se aplicam a k e x. Portanto, pode-se considerar o valor encontrado de a como sendo a constanteelástica k da mola. Com os dados obtidos, pode-se construir um gráfico, sendo seus pontos paresordenados de deformação da mola e peso (∆x;P). Utilizando o método de ajuste linearatravés dos mínimos quadrados, pode-se traçar uma reta que passa pela maior parte
  13. 13. 13dos pontos e o mais próximo da origem. Essa reta será a relação P x ∆X, quecaracteriza a constante de deformação da mola (dada por N/m). Vale ressaltar ainda que, o valor encontrado de b = -0,073, na prática, seria iguala zero, pois quando a mola está vazia, ou seja, sem nenhum objeto de metalexercendo a força peso sobre ela, o deslocamento inicial é zero. Assim, podemospensar também que quando o deslocamento é igual a zero, o peso também será iguala zero. Essa discrepância nos valores serve para mostrar a importância do uso dométodo dos mínimos quadrados, visto que eles servem pra calcular uma tendência aum comportamento de valores. Logo a equação encontrada mostrará numa reta ocomportamento dos valores, para que através de uma equação linear esse gráfico sejademonstrado matematicamente. 5 CONCLUSÃO A Lei de Hooke estuda o exercício de uma força elástica sobre uma mola,durante o deslocamento da mesma. Na posição de equilíbrio, o peso de um corpodependurado verticalmente em uma mola equivale à força elástica da mola. Dessaforma, percebe-se a importância desta lei, visto que ela explica o comportamento damola em relação à força que é exercida sobre ela. Vale lembrar ainda que o método dos mínimos quadrados é fundamental, pois omesmo possibilitou encontrar uma equação que explicasse a tendência da variação dodeslocamento da mola em função do peso. Ao representar graficamente, os valoresirão fornecer uma reta que representa o ajuste linear.
  14. 14. 14REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICASPIACENTINI, João J. [et. al]. Introdução ao laboratório de física. 3.ed. Florianópolis:Ed. UFSC, 2008. 124p.YOUNG, Hugh D.; FREEDMAN, Roger A. Física I: mecânica. 12.ed. São Paulo:Pearson, 2008. 401p.HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. (org.); BIASI, R. S. (tradução e revisãotécnica). Fundamentos da física, volume 1: mecânica. 8ª ed. LTC – Livros Técnicos eCientíficos Editora S.A., Rio de Janeiro: 2008

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