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FÍSICA FUNDAMENTAL PARA ENGENHARIA
ESTÁTICA
Prof. Luciano Galdino
SUMÁRIO
Cálculo vetorial para aplicação em estática.................................................................. 02
Decomposição de vetores......................................................................................................... 03
Soma vetorial................................................................................................................................. 06
Força ................................................................................................................................................. 10
Força resultante........................................................................................................................... 10
Leis de Newton ............................................................................................................................. 12
Tipos de Força .............................................................................................................................. 13
Equilíbrio ........................................................................................................................................ 20
Equilíbrio de um ponto material......................................................................................... 20
Equilíbrio de um corpo extenso........................................................................................... 27
Momento de uma força............................................................................................................ 28
Condições de equilíbrio de um corpo extenso.............................................................. 30
2
Cálculo Vetorial para aplicação em Estática
Em Física, as grandezas podem ser classificadas de duas formas: grandezas
vetoriais e grandezas escalares. As grandezas vetoriais requerem um valor
numérico absoluto (módulo) acompanhado de sua orientação (direção e sentido)
e obedecem as definições matemáticas dos vetores. A direção indica se o vetor
está orientado horizontalmente, verticalmente ou inclinado com um ângulo a
partir de uma referência. Já o sentido especifica um pouco mais, isto é,
determina se o vetor está para a direita, para esquerda, para baixo ou para cima.
Também são utilizados como referência os pontos cardeais (norte, sul, leste,
oeste, nordeste, sudeste, noroeste e sudeste).
Exemplos:
1) Corpo em queda livre com velocidade de 10 m/s
2) Carro se deslocando com velocidade de 20 m/s
3) Força de 50 N sendo aplicada numa caixa.
As grandezas que não tem necessidade de especificar sua orientação são
chamadas de grandezas escalares. Por exemplo, quando aplicamos uma força
Módulo: 10 m/s
Direção: vertical
Sentido: de cima para baixo ou de norte para sul.
Módulo: 20 m/s
Direção: horizontal
Sentido: da esquerda para direita ou de oeste para leste
Módulo: 50 N
Direção: inclinada à 30º da horizontal.
Sentido: para cima à 30º da horizontal ou de sudoeste
para nordeste.
3
num corpo, essa força tem uma direção e um sentido, portanto força é uma
grandeza vetorial, mas para grandeza tempo fica estranho especificarmos uma
direção e um sentido, imagina falarmos 1h 30 min horizontalmente para a
direita, fica muito esquisito, portanto, tempo é uma grandeza escalar, pois não é
necessário indicar a direção e sentido.
A representação de uma grandeza vetorial é realizada através de uma “flecha”
em cima da letra que indica essa grandeza. Por exemplo:
⃗ = vetor força.
⃗ = vetor velocidade.
O quadro 1 indica a classificação de algumas grandezas físicas, isto é, se as
grandezas são vetoriais ou escalares.
Grandeza vetorial Grandeza escalar
Força ( ⃗) Tempo (t)
Velocidade ( ⃗) Potência (P)
Aceleração ( ⃗) Energia (E)
Torque ( ⃗⃗⃗ ) Frequência (f)
Pressão ( ⃗) Rotação (n)
Quadro 1: classificação de algumas grandezas físicas.
Decomposição de vetores
Em Física, o movimento ou a tendência de um movimento de um corpo
normalmente são representados com referência aos eixos x (horizontal) e y
(vertical). Como as grandezas vetoriais em Física estão sempre relacionadas a
um movimento ou a uma tendência de um movimento, quando um vetor
encontra-se inclinado é muito importante calcularmos as suas componentes (os
seus valores) nos eixos x e y. Esse cálculo é chamado de decomposição vetorial.
Na figura a seguir, observa-se um vetor força e suas componentes x e y.
4
Existem algumas relações matemáticas entre esses vetores, sendo que essas
relações são obtidas do triângulo retângulo formado no plano cartesiano:
Pelo Teorema de Pitágoras, temos:
Utilizando as relações trigonométricas seno e cosseno, obtemos:
Exemplos:
1) Um corpo é pendurado pelos cabos representados na figura a seguir.
Determine as componentes x e y da força no cabo 1, sabendo que o módulo
da força que atua nele é de 30 N.
5
Resolução: Fazendo um plano cartesiano para o vetor F1, que está na direção
do cabo 1 da figura, temos:
2) Uma caixa se desloca horizontalmente conforme figura a seguir. Sabendo
que para vencer o atrito a componente x deve ser de 80 N no mínimo,
determine a força (F) que deve ser aplicado na corda.
Montando o plano cartesiano e destacando um triângulo retângulo, temos:
𝐹1𝑦 𝐹1 𝑠𝑒𝑛𝛼
𝐹1𝑦 3 𝑠𝑒𝑛2 𝑜
𝑭 𝟏𝒚 𝟏𝟎 𝟐𝟔 𝑵
𝐹1𝑥 𝐹1 𝑐𝑜𝑠𝛼
𝐹1𝑥 3 𝑐𝑜𝑠2 𝑜
𝑭 𝟏𝒙 𝟐𝟖 𝟏𝟗 𝑵
6
Soma vetorial
Soma de vetores é diferente da soma algébrica que estamos acostumados, pois
os vetores, além do módulo, possuem direção e sentido e essas características
devem ser levadas em consideração. A forma mais simples de se somar vetores é
através da representação geométrica dessa soma. A regra é bastante simples,
basta juntar os vetores mantendo suas direções e sentidos e não importando a
ordem. Após esse procedimento, cria-se um vetor do ponto final do último vetor
associado ao ponto inicial do primeiro vetor associado. Esse vetor é o vetor
soma. Nota-se que sempre será formado um polígono e por esse motivo o
método de resolução é chamado de regra do polígono.
Exemplos:
1) Determine geometricamente a soma dos vetores a, b e c que estão a seguir:
Resolução:
1º passo: juntar os vetores mantendo suas direções e sentidos e em qualquer
ordem.
7
2º passo: Criar um vetor ligando o ponto final ao ponto inicial. Esse é o
resultado da soma vetorial.
Vetor soma
2) Somar os mesmos vetores, mas em ordem diferentes.
Existe outro método geométrico, chamado de regra do paralelogramo, que é
aplicado visando facilitar a resolução, mas ele só é utilizado quando a soma é
realizada com dois vetores.
A resolução é simples, basta juntar as origens dos dois vetores, traçar linhas
paralelas a ele e ligar a intersecção da origem dos vetores à intersecção das
linhas paralelas. Este segmento de reta é o vetor soma.
Exemplo: Somar os vetores a e b da figura a seguir.
1º passo: unir os vetores pela origem.
Vetor soma (ele é igual ao do primeiro
exemplo, provando que a ordem da soma não
interfere no resultado).
8
2º passo: traçar linhas paralelas aos vetores.
3º passo: ligar a origem à intersecção das linhas paralelas.
Observação: o método do paralelogramo é utilizado apenas na soma de dois
vetores, já o método do polígono pode ser utilizado para qualquer quantidade de
vetores.
Exemplo 2: Resolver o exercício anterior pelo método do polígono.
Percebe-se que o vetor soma é igual ao do
exercício anterior.
9
Vale ressaltar que quando os vetores estão numa mesma direção a soma vetorial
é resolvida como uma soma ou uma subtração comum, se eles estiverem num
mesmo sentido é só somar seus valores e se estiverem em sentidos opostos é só
subtrair o maior do menor.
Exemplo: Sendo |⃗⃗| 2 , |⃗⃗| 3 e |⃗| , determine o vetor soma nos casos
a seguir:
a)
| ⃗| 2 3
Direção: horizontal;
Sentido: da esquerda para direita
b)
Resolução:
| ⃗| 2 3 3
Direção: horizontal;
Sentido: da esquerda para direita
Soma
Vetor Soma
10
Força
Força é um agente físico que tende a proporcionar aceleração ou desaceleração
no corpo que está sendo submetido a essa força.
A força pode ser de contato ou de campo. Força de contato, como o próprio
nome diz, tem que ocorrer um contato físico entre os corpos, já a de campo é
quando a força age à distância (força gravitacional, elétrica, magnética...).
A unidade de medida no sistema internacional de unidades de medidas (SI) de
qualquer força é o newton (N) em homenagem ao grande físico Isaac Newton.
Outras unidades de medida de força muito utilizadas são o quilograma força
(kgf), a libra (lb) e a dina (dyn), e as suas relações com o newton são:
1N 0,102 kgf.
1N = 0,2248 lb
1N dyn.
O quilograma força (kgf) é uma unidade muito utilizada na engenharia como
unidade da grandeza força e é definido como o peso de um corpo de 1kg de
massa sujeito a aceleração da gravidade média na superfície da Terra, a qual
possui um valor aproximado de 9,8 m/s2
. Assim:
1kgf = 9,8 N.
O Instrumento de medição utilizado para medir força é o dinamômetro.
Força resultante
É a soma vetorial dos vetores forças que estão atuando num sistema, isto é, seria
uma força que, sozinha, produziria o mesmo efeito no sistema que todas as
forças reunidas.
Exemplos:
a) 1
11
b) 1
c) √ 1
d) √ 1 2 1
e) Quando temos mais de dois vetores, deve-se uni-los mantendo-se as suas
direções e sentidos, sendo a soma (força resultante) a distância da origem do
primeiro vetor à extremidade da seta do último vetor.
12
Leis de Newton
Em 1687 Isaac Newton publicou a sua grande obra Philosophiæ Naturalis
Principia Mathematica (Princípios Matemáticos da Filosofia Natural) onde,
entre outras coisas, estava o enunciado de suas três grandes leis sobre o
movimento dos corpos.
1ª Lei - Inércia: Todo corpo tende a manter o seu estado inicial de movimento a
não ser que uma força o obrigue a sair desse estado de movimento, isto é, um
corpo que está em repouso em relação a um referencial continuará em repouso
até uma força tirá-lo desse estado ou um corpo em movimento em relação a um
referencial só poderá mudar o seu movimento se uma força agir sobre ele.
Exemplos:
1. Freada de um veículo: quando um veículo freia o nosso corpo vai para
frente, pois ele tende a continuar o seu estado inicial de movimento
devido à inércia.
2. Aceleração de um veículo: quando um veículo acelera para sair da
condição de repouso, sentimos nosso corpo indo para trás, pois ele tende a
continuar no seu estado inicial que é o repouso.
2ª Lei - Princípio fundamental: a aceleração que um corpo adquire é
diretamente proporcional à força resultante e possui a mesma direção e o mesmo
sentido da força resultante, mas é inversamente proporcional à massa do corpo.
Matematicamente pode-se escrever:
⃗⃗⃗⃗=
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Assim:
⃗⃗⃗⃗⃗ = m. ⃗
13
Exemplo: Uma caixa de 20kg é puxada por um cabo de aço com uma força de
200 N, conforme figura. Determine a aceleração adquirida, sabendo que a força
de atrito é de 120 N.
Resolução:
2 2
3ª Lei - Ação e Reação: A toda força de ação que age num corpo existe uma
força de reação deste corpo de mesma intensidade, mesma direção, mas de
sentido oposto. Esse par de forças (ação e reação) fica evidente quando uma
mola fica submetida a uma força F, conforme figura a seguir:
Quando se alonga ou comprime-se uma mola, ela reage com uma força de
sentido oposto, denominado força elástica (Fel), tentando retornar à sua posição
de repouso.
Tipos de força
A seguir serão apresentadas algumas forças que aparecem com muita frequência
no estudo de estática.
Força peso (W): É a força de atração gravitacional que um determinado corpo
está submetido. Todo corpo que possui massa, automaticamente possui força
peso, sendo ela diretamente proporcional a aceleração da gravidade local e
𝑎
𝐹𝑅
𝑚
𝑎
2
𝒂 𝟒 𝒎/𝒔 𝟐
14
apontada no sentido do centro de massa do corpo celeste que o está atraindo, por
exemplo, um corpo de massa m sujeito a força gravitacional da Terra terá um
vetor força peso verticalmente para baixo (no sentido do centro da Terra) e
proporcional à aceleração da gravidade terrestre local, conforme figura a seguir.
A força resultante que age no corpo de massa m da figura é a força peso (W).
Como a aceleração proporcionada é a aceleração da gravidade (g) e sabendo que
a lei do princípio fundamental de Newton é dada por ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗, teremos:
⃗⃗⃗⃗ ⃗
A aceleração da gravidade na superfície da Terra possui o valor médio de
9,8m/s2
, mas vale destacar que quanto mais distante do centro da Terra, menor o
valor da aceleração da gravidade, sendo que esse valor começa a ficar difere de
9,8 m/ a grandes altitudes (a partir de 22 km). Alguns valores da aceleração da
gravidade estão destacados na tabela 1, considerando o raio médio da Terra de
6371 km e a massa de 5,97.1024
kg.
Altitude (km) Aceleração
gravitacional (m/s2
)
0 9,8
1 9,8
5 9,8
10 9,8
15 9,8
20 9,8
22 9,7
25 9,7
30 9,7
Tabela 1: Valores da aceleração da gravidade em função da altitude.
Força Elástica (Fel): É a força de reação que um corpo elástico executa quando
é alongado ou comprimido. A intensidade da força é proporcional à deformação
15
(x), isto é, se alongarmos uma mola com força F a sua deformação será x, se
aumentarmos a força para 2F sua deformação aumentará para 2x e assim
sucessivamente.
Outros fatores que estão relacionados com a força e a deformação são geometria
e o material do corpo elástico o qual é representado pela constante elástica da
mola (K).
A constante elástica é definida como a razão da força elástica (Fel) pela
deformação elástica (x).
⃗
⃗
Assim:
⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗
Reação Normal (N ou R): É uma força de reação que um corpo executa quando
recebe uma força, isto é, todo corpo que se apoia em uma superfície realiza uma
força na mesma e pela lei da ação e reação, essa superfície realiza uma força de
mesma intensidade, mesma direção, mas sentido oposto ao corpo. Esse vetor
força é chamado de reação normal e estará sempre formando um ângulo de 90°
com a superfície de apoio.
Exemplos:
Comprimento inicial
16
a)
b)
c)
Tração (T): É um esforço mecânico que os corpos ficam submetidos quando
estão sujeitos a forças que tendem a alongá-los. É comumente aplicado em
cabos, cordas, correntes, fios, linhas e outros. Quando tracionamos um cabo, por
exemplo, toda a extensão dele estará tracionada com a mesma intensidade. A
representação da tração é realizada da seguinte maneira.
Corpo apoiado num plano horizontal:
R = W
Corpo apoiado num plano inclinado:
R = Wy
𝑅 𝐴 𝑅 𝐵 𝑊
Viga apoiada em duas extremidades:
𝑅 𝐴
𝑊
𝑅 𝐴𝐵
𝑊
Força de atrito
17
Note que o corpo move-se devido à força de tração, mas ao mesmo tempo, a
força de atrito tenta frear o tambor, tracionando no sentido oposto, portanto, a
força de tração deve ser indicada nas duas extremidades do cabo e em sentidos
opostos.
Exemplos:
a) Corpo em repouso pendurado por um cabo de aço:
b) Dois corpos em repouso pendurados por cabos de aço:
c) Corpo em repouso pendurado por um sistema de cabos:
Tambor enrolando o cabo para
puxar a caixa
𝑻 𝑾
𝑻 𝟏 𝑾 𝑨
𝑻 𝟐 𝑾 𝑩 𝑻 𝟏
𝑻 𝟏 𝑾
Para calcular as trações 𝑇 e 𝑇3, devem-se
utilizar algumas técnicas que
serão apresentadas no próximo capítulo.
18
Exercícios Resolvidos
1) Determine o peso de um corpo que possui massa de 20 kg, sabendo que a
aceleração da gravidade é de 9,8 m/ .
Resolução:
W = m.g
W = 20.9,8
W = 196 N
2) Se o corpo do exercício anterior fosse para Lua, qual seria a sua massa e o
seu peso na superfície lunar sabendo que a aceleração da gravidade é de
1,6m/ ?
Resolução:
A massa não altera seu valor (m = 20 kg), pois massa é a quantidade de
matéria do corpo e na mudança de local essa propriedade do corpo não se
altera. Já o peso depende da aceleração da gravidade, assim:
W = m.g
W = 20.1,6
W = 32 N
3) Uma força de 200 N é aplicada sobre uma mola alongando-a conforme
figura. Sabendo que a mola possui constante elástica K = 1000 N/m,
determine a sua deformação elástica.
Resolução:
A força F aplicada na mola fará surgir uma força elástica no sentido
contrário de mesma intensidade (200N), assim:
19
Fel = K.x
200 = 1000.x
x= 0,2m
4) A placa superior de um estampo de corte de possui massa de 40 kg e está
sob uma mola de constante elástica K = 7200 N/m. Determine quanto a mola
deforma.
Resolução:
Primeiro deve-se calcular a força peso da base superior do estampo:
W = m.g
W = 40.9,8
W = 392 N
A força elástica possui a mesma intensidade da força peso (392 N), porém
de sentido aposto, assim:
Fel = K.x
392 = 7200.x
x = 0,054 m
20
Equilíbrio
Para um corpo adquirir a condição de equilíbrio em relação a um referencial ele
deve se encontrar em repouso (equilíbrio estático) ou em movimento retilíneo e
uniforme, isto é, com velocidade linear constante (equilíbrio dinâmico).
Em ambos os casos podemos dizer que a somatória das forças que atuam no
corpo é nula, pois a aceleração será nula nas duas situações.
Exemplos:
Equilíbrio de um ponto material
O estudo de equilíbrio é realizado em corpos considerados como ponto material
e corpos considerados como corpo extenso.
Um ponto material é um corpo que possui dimensões desprezíveis para aquele
determinado estudo e a única preocupação é verificar a condição de equilíbrio na
translação retilínea (movimento retilíneo).
Os cálculos relacionados ao equilíbrio de um ponto material devem obedecer as
seguintes condições:
A força resultante na vertical (eixo y) é dada por:
𝐹𝑦 𝑚 𝑎 𝑦;
Como o corpo está em equilíbrio, a aceleração será nula, assim:
𝐹𝑦 .
Carro em movimento retilíneo uniforme na horizontal, isto é,
sua aceleração horizontal é nula, assim:
𝐹𝑥 𝑚 𝑎 𝑥, então, 𝑭 𝒙 𝟎.
O carro não possui movimento vertical, portanto sua aceleração
vertical é nula, assim:
𝐹𝑦 𝑚 𝑎 𝑦, então, 𝑭 𝒚 𝟎.
21
1ª)
2ª)
Exercícios resolvidos
1) Calcule a tração que o cabo da figura está submetido para suportar um
pacote de 100 kg.
Resolução:
1º passo: Indicar as forças que atuam no pacote (diagrama de força):
2º passo: Aplicar as condições de equilíbrio:
As forças que estão agindo no pacote são verticais, assim:
Como temos vetores força em sentidos opostos, a resultante ( ) tem que
ser a subtração deles, portanto:
T – W = 0
T = W (este resultado é óbvio, pois para obter o equilíbrio, as duas forças
devem ter o mesmo valor). Como W = m.g, então:
T = m.g
T = 100.9,8
T = 980 N
22
2) Calcule a deformação elástica das molas de um carro de 1200 kg que se
encontra parado, sabendo que a constante elástica de cada mola é de
15000N/m.
Resolução:
Um carro é composto por quatro molas, assim, o diagrama de forças fica:
Portanto,
4.Fel – W= 0
4.Fel = W
Como Fel=Kx e W=mg, então:
4.K.x = m.g
4.15000.x = 1200.9,8
60000.x = 11760
x = 0,196 m = 19,6 cm
3) Na figura a seguir está representado um engradado de 150 kg suspenso pelos
cabos 1, 2 e 3. Qual o valor das trações que estes cabos estão submetidos?
Resolução:
1º passo: Montar o diagrama de forças do sistema:
23
Diagrama de forças que atuam no engradado
Nesse diagrama pode-se perceber que para o engradado estar em equilíbrio,
a força de tração (T1) deve ser igual a força peso (W).
1
1
1
1
Diagrama de forças que atuam entre os cabos
Nesse diagrama, como a tração T3 está inclinada, deve-se utilizar alguma
técnica matemática para calcular as trações não conhecidas, sabendo-se que
T1 =1470N.
2º passo: Escolher o método de resolução adequado: Existem dois métodos
possíveis de resolução, o da triangulação e o da decomposição vetorial:
Método da triangulação:
Para o corpo estar em equilíbrio a soma dos vetores deve ser nula, assim se
juntarmos os vetores, o ponto inicial do primeiro vetor coincide com a seta
do último vetor formando um triângulo:
24
Como T1=1470N então, por trigonometria:
1
3
3
1
Assim, como agora temos os valores de T1 e de T3, para calcular T2 pode ser
utilizando o teorema de Pitágoras ou trigonometria:
Método da decomposição vetorial:
Neste método, deve-se fazer a decomposição do vetor que está inclinado (no
caso o T3) e, como o sistema está em equilíbrio, a componente T3x deve ser
igual a T2 e a componente T3y deve ser igual a T1, portanto:
Da figura podemos extrair o seguinte triângulo:
0 1
2
1
2 0
2
40
40
1751,88
T
tg
T
T
T
tg
T N



3 1
3
1470
y
y
T T W
T N
 

25
E a resolução é igual ao do método da triangulação, assim, por
trigonometria:
3
3
3
3
Como agora temos os valores de T3 e de T3y, para calcular T3x pode ser
utilizando o teorema de Pitágoras ou trigonometria:
Como T2=T3x, então:
A pergunta que fica é: “Qual o melhor método?”. Bom isso depende da
aplicação, na situação do exemplo anterior, onde temos três vetores força e
um deles está inclinado, tanto faz o método, pois a resolução fica bem
parecida, mas quando temos dois vetores inclinados, o método da
triangulação é o mais simples, pois será resolvido apenas com a resolução
dos valores de cada vetor que forma o triângulo, enquanto que pelo método
da decomposição deve-se decompor os dois vetores inclinados. Agora,
quando temos mais de três vetores, o método da triangulação fica
impossível, pois não formará um triângulo e nesse caso deve-se aplicar o
método da decomposição.
30
3
3
3 0
3
40
40
1751,88
y
x
y
x
x
T
tg
T
T
T
tg
T N



2
1751,88T N
26
4) Determine a força que é aplicada na mola, de constante elástica
k=12000N/m, da figura a seguir e também o quanto ela está alongada,
sabendo que a carga que está suspensa é de 180 kg.
Resolução:
1º passo: Montar o diagrama de forças do sistema:
Diagrama de forças que atuam na carga
Nesse diagrama pode-se perceber que para a carga estar em equilíbrio, a
força de tração (T1) deve ser igual a força peso (W).
1
1
1
1
Diagrama de forças que atuam entre os cabos
27
Lembre-se que Fel representa a força elástica, isto é, a força que a mola está
submetida.
2º passo: Escolher o método de resolução:
O método que será utilizado nessa resolução é o da triangulação. Para o
corpo estar em equilíbrio a soma dos vetores deve ser nula, assim se
juntarmos os vetores, o ponto inicial do primeiro vetor deve coincidir com a
seta do último vetor formando um triângulo:
Como T1=1764 N então, por trigonometria:
Com isso, já calculamos a força que está atuando na mola. Agora falta
determinar o quanto a mola está alongada, e para isso basta utilizar a
seguinte equação:
Equilíbrio de um corpo Extenso
No equilíbrio de um corpo extenso, além de analisar a condição de equilíbrio
para o movimento retilíneo (translação retilínea), devemos também analisar o
equilíbrio na rotação que é definido através da grandeza momento de uma força
ou momento torçor ou simplesmente torque.
0 1
0
20
1764
20
4846,55
el
el
el
T
tg
F
F
tg
F N



.
4846,55 12000.
0,4
el
F k x
x
x m



28
Momento de uma Força
É a capacidade que uma força possui de rotacionar um determinado corpo.
Matematicamente é definido como o produto da intensidade de uma força pela
distância dessa força ao eixo de rotação, sendo que esse vetor força deve estar
perpendicular a uma linha que passe pelo eixo de rotação. Como o corpo pode
rotacionar nos sentidos horário e anti-horário, deve-se fazer uma distinção entre
eles, é usual considerar positivo quando o corpo tende a rotacionar no sentido
horário e negativo quando tende a rotacionar no sentido anti-horário, mas se
utilizar o inverso não terá problema o importante é fazer a distinção entre os
sentidos de rotação. Assim:
Exemplos: Determine o momento das forças nas situações indicadas nas figuras
a seguir:
1) Considere F1=80 N:
2) Considere F1=80 N:
3) Considere F1=100 N:
1
.
80.0,5
40
M F d
M
M Nm



1
.
80.0,5
40
M F d
M
M Nm



0M 
O momento neste caso é nulo,
pois da forma que esta força está
sendo aplicada, a chave não terá
a capacidade de rotação.
Negativo porque a chave tende a
rotacionar no sentido anti-horário.
29
4) Considere F1=120000 N:
5) Considere F1=150 N, F2=100 N e F3=200 N:
6) Considere F = 500 N:
Neste caso temos que lembrar que o vetor força deve ser perpendicular à
distância até uma linha que passa pelo centro de rotação, assim, para facilitar
o cálculo, podemos decompor o vetor F na sua componente no eixo y e
utilizar a distância horizontal até o eixo de rotação (50 cm ou 0,5 m):
O valor de Fy é dado por:
Assim o momento dessa força será:
0M 
O momento neste caso também
é nulo, pois da forma que esta
força está sendo aplicada, a
chave não terá a capacidade de
rotação.
1 2 3
1 2 3
.0,5 .0,2 .0,3
150.0,5 100.0,2 200.0,3
95 60
35
F F F
M M M M
M F F F
M
M
M Nm
  
  
  
 

0
0
0
cos30
.cos30
500.cos30
433,01
y
y
y
y
F
F
F F
F
F N




30
Condições de equilíbrio de um corpo extenso
Um corpo extenso para estar em equilíbrio deve obedecer as seguintes
condições:
1ª)
2ª)
3ª)
Lembre-se que o equilíbrio pode ser estático (repouso) ou dinâmico (movimento
retilíneo uniforme).
Estes conceitos são muito importantes para se projetar um mecanismo, pois é
necessário analisar os esforços que alguns pontos estratégicos do projeto estão
sujeitos para poder dimensioná-los.
Exercícios Resolvidos
1) Na figura a seguir a viga horizontal, homogênea e de massa 50 kg está presa
nas duas colunas por meio de parafusos dispostos nas duas extremidades.
Qual o esforço que cada parafuso está submetido?
Resolução:
1º passo: indicar as forças que estão atuando no sistema:
.
433,01.0,5
216,51
F y
F
F
M F d
M
M N



31
Observa-se que a força peso (W) está indicada no centro da viga, pois é no
centro de massa (ponto de equilíbrio) que podemos representar a força peso
de qualquer corpo, assim, fica indicado que todo peso do corpo está
concentrado no centro de massa, que neste caso é o centro geométrico.
O esforço que cada parafuso está submetido são as reações RA e RB, que
nada mais são do que as forças verticais que os parafusos devem fazer para
sustentar a força peso.
Percebe-se que nesse caso a força peso é distribuída igualmente para os
parafusos, assim:
2º passo: calcular a força peso:
3º passo: aplicar as condições de equilíbrio até conseguir calcular as
reações:
1ª)
Esta condição está atendida, pois não existem forças horizontais neste
sistema.
2ª)
Para aplicar esta condição será adotado que as forças para cima serão
negativas e a forças para baixo positivas, assim:
0A B
W R R  
Como RA=RB, então:
50.9,8
490
W mg
W
W N



32
0
490 2 0
490 2
245
,
245
A B
A
A
A
A B
W R R
R
R
R N
Assim
R R N
  
 


 
Nota-se que neste exemplo era só dividir o peso por dois que teríamos
encontrado o esforço em cada parafuso, mas foi apresentada a técnica de
resolução através das condições de equilíbrio para provar que se chega ao
mesmo resultado e também para já ir se acostumando com essa técnica que
será a utilizada para se resolver questões mais complexas.
2) Colocando-se uma carga homogênea de 20 kg a 1m do apoio da esquerda do
exemplo anterior, conforme figura a seguir, qual será a nova força que cada
parafuso estará sujeito?
Resolução:
1º passo: indicar as forças que estão atuando no sistema:
33
Nesse caso temos duas forças peso, uma da viga horizontal e a outra da
carga que está em cima da viga. Como a carga não está centralizada, então
os esforços que os parafusos estão submetidos são diferentes, isto é, as suas
reações RA e RB são diferentes.
2º passo: calcular as forças peso:
3º passo: aplicar as condições de equilíbrio até conseguir calcular as
reações:
1ª)
Esta condição está atendida, pois não existem forças horizontais neste
sistema.
2ª)
Para aplicar esta condição será adotado que as forças para cima serão
negativas e a forças para baixo positivas, assim:
1 2
0
196 490 0
686
A B
A B
A B
W W R R
R R
R R
   
   
 
Não é possível resolver essa equação, pois existem duas incógnitas, assim,
teremos que partir para a terceira condição de equilíbrio:
3ª)
Observação: Lembre-se que momento é o produto da força pela distância
até um eixo de rotação e que o momento é positivo para rotação tendendo
ao sentido horário e negativo para rotação tendendo ao sentido anti-horário.
Nesse caso será adotado como eixo de rotação o parafuso da esquerda, pois
assim eliminaremos a incógnita RA durante o cálculo por possuir distância
zero, portanto:
1 1
1
1
20.9,8
196
W m g
W
W N



2 2
2
2
50.9,8
490
W m g
W
W N



34
1 2
0
196.1 490.1,5 .0 .3 0
196 735 .3 0
931 .3
310,33
W W R RA B
A B
B
B
B
M M M M
R R
R
R
R N
   
   
  


Para determinar RA é só voltar na segunda condição de equilíbrio e resolver
a equação, assim:
686
310,33 686
375,67
A B
A
A
R R
R
R N
 
 

Observe que, por a carga está mais próxima do parafuso da esquerda, ele
terá que suportar uma força maior que o da direita.
3) Na figura abaixo encontra-se uma caixa de 600N sobre uma viga horizontal
homogênea de 200 N mantidos em equilíbrio por um cabo de aço na
extremidade direita e um pino na extremidade esquerda. Determine a tração
exercida no cabo e a força que o pino está submetido.
Resolução:
1º passo: indicar as forças que estão atuando no sistema:
35
Nesse caso temos duas forças peso, uma da viga horizontal e a outra da
carga que está em cima da viga, uma força de tração no cabo de aço e uma
força de reação no pino devido à ação das forças peso.
Não é necessário calcular as forças peso, pois os valores já foram
determinados no enunciado do exercício.
2º passo: aplicar as condições de equilíbrio:
1ª)
Esta condição está atendida, pois não existem forças horizontais neste
sistema.
2ª)
Para aplicar esta condição será adotado que as forças para cima serão
negativas e as forças para baixo positivas, assim:
1 2
0
200 600 0
800
W W T R
T R
T R
   
   
 
Não é possível resolver essa equação, pois existem duas incógnitas, assim,
teremos que partir para a terceira condição de equilíbrio:
3ª)
Observação: Nesse caso será adotado como eixo de rotação o eixo que
está à esquerda, pois assim eliminaremos a incógnita R durante o cálculo
por possuir distância zero, portanto:
36
1 2
0
200.2,5 600.3 .5 .0 0
500 1800 .5 0
2300 .5
460
W W T R
M M M M
T R
T
T
T N
   
   
  


Para determinar R é só voltar na segunda condição de equilíbrio e resolver
a equação, assim:
800
460 800
340
T R
R
R N
 
 

4) Na figura abaixo encontra-se uma caixa de 600N sobre uma viga horizontal
homogênea de 200 N mantidos em equilíbrio por um cabo de aço na
extremidade direita e um pino na extremidade esquerda. Determine a tração
exercida no cabo e a força que o pino está submetido.
Resolução:
Este exercício é muito parecido com o anterior, a única diferença é que o
cabo de aço encontra-se inclinado, assim, a resolução torna-se também
muito parecida.
1º passo: indicar as forças que estão atuando no sistema:
37
2º passo: aplicar as condições de equilíbrio:
1ª)
Neste caso, existem forças horizontais e para determinar a reação R, é
imprescindível calcular as suas componentes. Como as forças estão em
sentidos opostos, serão consideradas como positivas as forças que estão
apontadas para direita e negativas as forças que estão para a esquerda.
Portanto:
0x x
x x
R T
R T
 

Neste caso pode-se considerar também que, para estar em equilíbrio, as
forças que estão para direita devem ter a mesma intensidade das forças que
estão para esquerda, isto é:
x x
R T
2ª)
Para aplicar esta condição será adotado que as forças para cima serão
negativas e a forças para baixo positivas, assim:
1 2
0
200 600 0
800
y y
y y
y y
W W T R
T R
T R
   
   
 
Não é possível resolver essa equação, pois existem duas incógnitas, assim,
teremos que partir para a terceira condição de equilíbrio:
38
3ª)
Observação: Nesse caso será adotado como eixo de rotação o eixo que está
à esquerda, pois assim eliminaremos a incógnita Ry durante o cálculo por
possuir distância zero, portanto:
1 2
0
200.2,5 600.3 .5 .0 0
500 1800 .5 0
2300 .5
460
W W T Ry y
y y
y
y
y
M M M M
T R
T
T
T N
   
   
  


Para determinar Ry é só voltar na segunda condição de equilíbrio e resolver
a equação, assim:
800
460 800
340
y y
y
y
T R
R
R N
 
 

Para determinar o valor da tração do cabo (T) e sua componente Tx, deve-se
utilizar o triângulo formado entre T, Tx e Ty, assim:
Percebe-se que a tração no cabo é maior quando ele está inclinado do que
quando ele está na vertical (caso do exercício anterior), pois com ele
inclinado origina-se um força horizontal no sistema.
Para determinar Rx é só voltar na primeira condição de equilíbrio, assim:
548,21
x x
x
R T
R N


39
E para terminar, basta calcular a reação no pino (R) através do teorema de
Pitágoras:
2 2 2
2 2 2548,21 340
645,08
x y
R R R
R
R N
 
 

40
Referências Bibliográficas
RAMALHO, F.; CARDOSO, J; FERRARO, N & TOLEDO, P. Os Fundamentos da Física, 1. Moderna, São Paulo,
2000.
DOCA, R. H.; BISCUOLA, G. J. & VILLAS, N. Tópicos de Física, 1. Saraiva, São Paulo, 2001.
RESNICK, R.; HALLIDAY, D. & KRANE, K. Física 1. LTC, EUA, 2003.
MELCONIAN, S. Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais. Érica. São Paulo, 1999.

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  • 1. FÍSICA FUNDAMENTAL PARA ENGENHARIA ESTÁTICA Prof. Luciano Galdino
  • 2. SUMÁRIO Cálculo vetorial para aplicação em estática.................................................................. 02 Decomposição de vetores......................................................................................................... 03 Soma vetorial................................................................................................................................. 06 Força ................................................................................................................................................. 10 Força resultante........................................................................................................................... 10 Leis de Newton ............................................................................................................................. 12 Tipos de Força .............................................................................................................................. 13 Equilíbrio ........................................................................................................................................ 20 Equilíbrio de um ponto material......................................................................................... 20 Equilíbrio de um corpo extenso........................................................................................... 27 Momento de uma força............................................................................................................ 28 Condições de equilíbrio de um corpo extenso.............................................................. 30
  • 3. 2 Cálculo Vetorial para aplicação em Estática Em Física, as grandezas podem ser classificadas de duas formas: grandezas vetoriais e grandezas escalares. As grandezas vetoriais requerem um valor numérico absoluto (módulo) acompanhado de sua orientação (direção e sentido) e obedecem as definições matemáticas dos vetores. A direção indica se o vetor está orientado horizontalmente, verticalmente ou inclinado com um ângulo a partir de uma referência. Já o sentido especifica um pouco mais, isto é, determina se o vetor está para a direita, para esquerda, para baixo ou para cima. Também são utilizados como referência os pontos cardeais (norte, sul, leste, oeste, nordeste, sudeste, noroeste e sudeste). Exemplos: 1) Corpo em queda livre com velocidade de 10 m/s 2) Carro se deslocando com velocidade de 20 m/s 3) Força de 50 N sendo aplicada numa caixa. As grandezas que não tem necessidade de especificar sua orientação são chamadas de grandezas escalares. Por exemplo, quando aplicamos uma força Módulo: 10 m/s Direção: vertical Sentido: de cima para baixo ou de norte para sul. Módulo: 20 m/s Direção: horizontal Sentido: da esquerda para direita ou de oeste para leste Módulo: 50 N Direção: inclinada à 30º da horizontal. Sentido: para cima à 30º da horizontal ou de sudoeste para nordeste.
  • 4. 3 num corpo, essa força tem uma direção e um sentido, portanto força é uma grandeza vetorial, mas para grandeza tempo fica estranho especificarmos uma direção e um sentido, imagina falarmos 1h 30 min horizontalmente para a direita, fica muito esquisito, portanto, tempo é uma grandeza escalar, pois não é necessário indicar a direção e sentido. A representação de uma grandeza vetorial é realizada através de uma “flecha” em cima da letra que indica essa grandeza. Por exemplo: ⃗ = vetor força. ⃗ = vetor velocidade. O quadro 1 indica a classificação de algumas grandezas físicas, isto é, se as grandezas são vetoriais ou escalares. Grandeza vetorial Grandeza escalar Força ( ⃗) Tempo (t) Velocidade ( ⃗) Potência (P) Aceleração ( ⃗) Energia (E) Torque ( ⃗⃗⃗ ) Frequência (f) Pressão ( ⃗) Rotação (n) Quadro 1: classificação de algumas grandezas físicas. Decomposição de vetores Em Física, o movimento ou a tendência de um movimento de um corpo normalmente são representados com referência aos eixos x (horizontal) e y (vertical). Como as grandezas vetoriais em Física estão sempre relacionadas a um movimento ou a uma tendência de um movimento, quando um vetor encontra-se inclinado é muito importante calcularmos as suas componentes (os seus valores) nos eixos x e y. Esse cálculo é chamado de decomposição vetorial. Na figura a seguir, observa-se um vetor força e suas componentes x e y.
  • 5. 4 Existem algumas relações matemáticas entre esses vetores, sendo que essas relações são obtidas do triângulo retângulo formado no plano cartesiano: Pelo Teorema de Pitágoras, temos: Utilizando as relações trigonométricas seno e cosseno, obtemos: Exemplos: 1) Um corpo é pendurado pelos cabos representados na figura a seguir. Determine as componentes x e y da força no cabo 1, sabendo que o módulo da força que atua nele é de 30 N.
  • 6. 5 Resolução: Fazendo um plano cartesiano para o vetor F1, que está na direção do cabo 1 da figura, temos: 2) Uma caixa se desloca horizontalmente conforme figura a seguir. Sabendo que para vencer o atrito a componente x deve ser de 80 N no mínimo, determine a força (F) que deve ser aplicado na corda. Montando o plano cartesiano e destacando um triângulo retângulo, temos: 𝐹1𝑦 𝐹1 𝑠𝑒𝑛𝛼 𝐹1𝑦 3 𝑠𝑒𝑛2 𝑜 𝑭 𝟏𝒚 𝟏𝟎 𝟐𝟔 𝑵 𝐹1𝑥 𝐹1 𝑐𝑜𝑠𝛼 𝐹1𝑥 3 𝑐𝑜𝑠2 𝑜 𝑭 𝟏𝒙 𝟐𝟖 𝟏𝟗 𝑵
  • 7. 6 Soma vetorial Soma de vetores é diferente da soma algébrica que estamos acostumados, pois os vetores, além do módulo, possuem direção e sentido e essas características devem ser levadas em consideração. A forma mais simples de se somar vetores é através da representação geométrica dessa soma. A regra é bastante simples, basta juntar os vetores mantendo suas direções e sentidos e não importando a ordem. Após esse procedimento, cria-se um vetor do ponto final do último vetor associado ao ponto inicial do primeiro vetor associado. Esse vetor é o vetor soma. Nota-se que sempre será formado um polígono e por esse motivo o método de resolução é chamado de regra do polígono. Exemplos: 1) Determine geometricamente a soma dos vetores a, b e c que estão a seguir: Resolução: 1º passo: juntar os vetores mantendo suas direções e sentidos e em qualquer ordem.
  • 8. 7 2º passo: Criar um vetor ligando o ponto final ao ponto inicial. Esse é o resultado da soma vetorial. Vetor soma 2) Somar os mesmos vetores, mas em ordem diferentes. Existe outro método geométrico, chamado de regra do paralelogramo, que é aplicado visando facilitar a resolução, mas ele só é utilizado quando a soma é realizada com dois vetores. A resolução é simples, basta juntar as origens dos dois vetores, traçar linhas paralelas a ele e ligar a intersecção da origem dos vetores à intersecção das linhas paralelas. Este segmento de reta é o vetor soma. Exemplo: Somar os vetores a e b da figura a seguir. 1º passo: unir os vetores pela origem. Vetor soma (ele é igual ao do primeiro exemplo, provando que a ordem da soma não interfere no resultado).
  • 9. 8 2º passo: traçar linhas paralelas aos vetores. 3º passo: ligar a origem à intersecção das linhas paralelas. Observação: o método do paralelogramo é utilizado apenas na soma de dois vetores, já o método do polígono pode ser utilizado para qualquer quantidade de vetores. Exemplo 2: Resolver o exercício anterior pelo método do polígono. Percebe-se que o vetor soma é igual ao do exercício anterior.
  • 10. 9 Vale ressaltar que quando os vetores estão numa mesma direção a soma vetorial é resolvida como uma soma ou uma subtração comum, se eles estiverem num mesmo sentido é só somar seus valores e se estiverem em sentidos opostos é só subtrair o maior do menor. Exemplo: Sendo |⃗⃗| 2 , |⃗⃗| 3 e |⃗| , determine o vetor soma nos casos a seguir: a) | ⃗| 2 3 Direção: horizontal; Sentido: da esquerda para direita b) Resolução: | ⃗| 2 3 3 Direção: horizontal; Sentido: da esquerda para direita Soma Vetor Soma
  • 11. 10 Força Força é um agente físico que tende a proporcionar aceleração ou desaceleração no corpo que está sendo submetido a essa força. A força pode ser de contato ou de campo. Força de contato, como o próprio nome diz, tem que ocorrer um contato físico entre os corpos, já a de campo é quando a força age à distância (força gravitacional, elétrica, magnética...). A unidade de medida no sistema internacional de unidades de medidas (SI) de qualquer força é o newton (N) em homenagem ao grande físico Isaac Newton. Outras unidades de medida de força muito utilizadas são o quilograma força (kgf), a libra (lb) e a dina (dyn), e as suas relações com o newton são: 1N 0,102 kgf. 1N = 0,2248 lb 1N dyn. O quilograma força (kgf) é uma unidade muito utilizada na engenharia como unidade da grandeza força e é definido como o peso de um corpo de 1kg de massa sujeito a aceleração da gravidade média na superfície da Terra, a qual possui um valor aproximado de 9,8 m/s2 . Assim: 1kgf = 9,8 N. O Instrumento de medição utilizado para medir força é o dinamômetro. Força resultante É a soma vetorial dos vetores forças que estão atuando num sistema, isto é, seria uma força que, sozinha, produziria o mesmo efeito no sistema que todas as forças reunidas. Exemplos: a) 1
  • 12. 11 b) 1 c) √ 1 d) √ 1 2 1 e) Quando temos mais de dois vetores, deve-se uni-los mantendo-se as suas direções e sentidos, sendo a soma (força resultante) a distância da origem do primeiro vetor à extremidade da seta do último vetor.
  • 13. 12 Leis de Newton Em 1687 Isaac Newton publicou a sua grande obra Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica (Princípios Matemáticos da Filosofia Natural) onde, entre outras coisas, estava o enunciado de suas três grandes leis sobre o movimento dos corpos. 1ª Lei - Inércia: Todo corpo tende a manter o seu estado inicial de movimento a não ser que uma força o obrigue a sair desse estado de movimento, isto é, um corpo que está em repouso em relação a um referencial continuará em repouso até uma força tirá-lo desse estado ou um corpo em movimento em relação a um referencial só poderá mudar o seu movimento se uma força agir sobre ele. Exemplos: 1. Freada de um veículo: quando um veículo freia o nosso corpo vai para frente, pois ele tende a continuar o seu estado inicial de movimento devido à inércia. 2. Aceleração de um veículo: quando um veículo acelera para sair da condição de repouso, sentimos nosso corpo indo para trás, pois ele tende a continuar no seu estado inicial que é o repouso. 2ª Lei - Princípio fundamental: a aceleração que um corpo adquire é diretamente proporcional à força resultante e possui a mesma direção e o mesmo sentido da força resultante, mas é inversamente proporcional à massa do corpo. Matematicamente pode-se escrever: ⃗⃗⃗⃗= ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Assim: ⃗⃗⃗⃗⃗ = m. ⃗
  • 14. 13 Exemplo: Uma caixa de 20kg é puxada por um cabo de aço com uma força de 200 N, conforme figura. Determine a aceleração adquirida, sabendo que a força de atrito é de 120 N. Resolução: 2 2 3ª Lei - Ação e Reação: A toda força de ação que age num corpo existe uma força de reação deste corpo de mesma intensidade, mesma direção, mas de sentido oposto. Esse par de forças (ação e reação) fica evidente quando uma mola fica submetida a uma força F, conforme figura a seguir: Quando se alonga ou comprime-se uma mola, ela reage com uma força de sentido oposto, denominado força elástica (Fel), tentando retornar à sua posição de repouso. Tipos de força A seguir serão apresentadas algumas forças que aparecem com muita frequência no estudo de estática. Força peso (W): É a força de atração gravitacional que um determinado corpo está submetido. Todo corpo que possui massa, automaticamente possui força peso, sendo ela diretamente proporcional a aceleração da gravidade local e 𝑎 𝐹𝑅 𝑚 𝑎 2 𝒂 𝟒 𝒎/𝒔 𝟐
  • 15. 14 apontada no sentido do centro de massa do corpo celeste que o está atraindo, por exemplo, um corpo de massa m sujeito a força gravitacional da Terra terá um vetor força peso verticalmente para baixo (no sentido do centro da Terra) e proporcional à aceleração da gravidade terrestre local, conforme figura a seguir. A força resultante que age no corpo de massa m da figura é a força peso (W). Como a aceleração proporcionada é a aceleração da gravidade (g) e sabendo que a lei do princípio fundamental de Newton é dada por ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗, teremos: ⃗⃗⃗⃗ ⃗ A aceleração da gravidade na superfície da Terra possui o valor médio de 9,8m/s2 , mas vale destacar que quanto mais distante do centro da Terra, menor o valor da aceleração da gravidade, sendo que esse valor começa a ficar difere de 9,8 m/ a grandes altitudes (a partir de 22 km). Alguns valores da aceleração da gravidade estão destacados na tabela 1, considerando o raio médio da Terra de 6371 km e a massa de 5,97.1024 kg. Altitude (km) Aceleração gravitacional (m/s2 ) 0 9,8 1 9,8 5 9,8 10 9,8 15 9,8 20 9,8 22 9,7 25 9,7 30 9,7 Tabela 1: Valores da aceleração da gravidade em função da altitude. Força Elástica (Fel): É a força de reação que um corpo elástico executa quando é alongado ou comprimido. A intensidade da força é proporcional à deformação
  • 16. 15 (x), isto é, se alongarmos uma mola com força F a sua deformação será x, se aumentarmos a força para 2F sua deformação aumentará para 2x e assim sucessivamente. Outros fatores que estão relacionados com a força e a deformação são geometria e o material do corpo elástico o qual é representado pela constante elástica da mola (K). A constante elástica é definida como a razão da força elástica (Fel) pela deformação elástica (x). ⃗ ⃗ Assim: ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ Reação Normal (N ou R): É uma força de reação que um corpo executa quando recebe uma força, isto é, todo corpo que se apoia em uma superfície realiza uma força na mesma e pela lei da ação e reação, essa superfície realiza uma força de mesma intensidade, mesma direção, mas sentido oposto ao corpo. Esse vetor força é chamado de reação normal e estará sempre formando um ângulo de 90° com a superfície de apoio. Exemplos: Comprimento inicial
  • 17. 16 a) b) c) Tração (T): É um esforço mecânico que os corpos ficam submetidos quando estão sujeitos a forças que tendem a alongá-los. É comumente aplicado em cabos, cordas, correntes, fios, linhas e outros. Quando tracionamos um cabo, por exemplo, toda a extensão dele estará tracionada com a mesma intensidade. A representação da tração é realizada da seguinte maneira. Corpo apoiado num plano horizontal: R = W Corpo apoiado num plano inclinado: R = Wy 𝑅 𝐴 𝑅 𝐵 𝑊 Viga apoiada em duas extremidades: 𝑅 𝐴 𝑊 𝑅 𝐴𝐵 𝑊 Força de atrito
  • 18. 17 Note que o corpo move-se devido à força de tração, mas ao mesmo tempo, a força de atrito tenta frear o tambor, tracionando no sentido oposto, portanto, a força de tração deve ser indicada nas duas extremidades do cabo e em sentidos opostos. Exemplos: a) Corpo em repouso pendurado por um cabo de aço: b) Dois corpos em repouso pendurados por cabos de aço: c) Corpo em repouso pendurado por um sistema de cabos: Tambor enrolando o cabo para puxar a caixa 𝑻 𝑾 𝑻 𝟏 𝑾 𝑨 𝑻 𝟐 𝑾 𝑩 𝑻 𝟏 𝑻 𝟏 𝑾 Para calcular as trações 𝑇 e 𝑇3, devem-se utilizar algumas técnicas que serão apresentadas no próximo capítulo.
  • 19. 18 Exercícios Resolvidos 1) Determine o peso de um corpo que possui massa de 20 kg, sabendo que a aceleração da gravidade é de 9,8 m/ . Resolução: W = m.g W = 20.9,8 W = 196 N 2) Se o corpo do exercício anterior fosse para Lua, qual seria a sua massa e o seu peso na superfície lunar sabendo que a aceleração da gravidade é de 1,6m/ ? Resolução: A massa não altera seu valor (m = 20 kg), pois massa é a quantidade de matéria do corpo e na mudança de local essa propriedade do corpo não se altera. Já o peso depende da aceleração da gravidade, assim: W = m.g W = 20.1,6 W = 32 N 3) Uma força de 200 N é aplicada sobre uma mola alongando-a conforme figura. Sabendo que a mola possui constante elástica K = 1000 N/m, determine a sua deformação elástica. Resolução: A força F aplicada na mola fará surgir uma força elástica no sentido contrário de mesma intensidade (200N), assim:
  • 20. 19 Fel = K.x 200 = 1000.x x= 0,2m 4) A placa superior de um estampo de corte de possui massa de 40 kg e está sob uma mola de constante elástica K = 7200 N/m. Determine quanto a mola deforma. Resolução: Primeiro deve-se calcular a força peso da base superior do estampo: W = m.g W = 40.9,8 W = 392 N A força elástica possui a mesma intensidade da força peso (392 N), porém de sentido aposto, assim: Fel = K.x 392 = 7200.x x = 0,054 m
  • 21. 20 Equilíbrio Para um corpo adquirir a condição de equilíbrio em relação a um referencial ele deve se encontrar em repouso (equilíbrio estático) ou em movimento retilíneo e uniforme, isto é, com velocidade linear constante (equilíbrio dinâmico). Em ambos os casos podemos dizer que a somatória das forças que atuam no corpo é nula, pois a aceleração será nula nas duas situações. Exemplos: Equilíbrio de um ponto material O estudo de equilíbrio é realizado em corpos considerados como ponto material e corpos considerados como corpo extenso. Um ponto material é um corpo que possui dimensões desprezíveis para aquele determinado estudo e a única preocupação é verificar a condição de equilíbrio na translação retilínea (movimento retilíneo). Os cálculos relacionados ao equilíbrio de um ponto material devem obedecer as seguintes condições: A força resultante na vertical (eixo y) é dada por: 𝐹𝑦 𝑚 𝑎 𝑦; Como o corpo está em equilíbrio, a aceleração será nula, assim: 𝐹𝑦 . Carro em movimento retilíneo uniforme na horizontal, isto é, sua aceleração horizontal é nula, assim: 𝐹𝑥 𝑚 𝑎 𝑥, então, 𝑭 𝒙 𝟎. O carro não possui movimento vertical, portanto sua aceleração vertical é nula, assim: 𝐹𝑦 𝑚 𝑎 𝑦, então, 𝑭 𝒚 𝟎.
  • 22. 21 1ª) 2ª) Exercícios resolvidos 1) Calcule a tração que o cabo da figura está submetido para suportar um pacote de 100 kg. Resolução: 1º passo: Indicar as forças que atuam no pacote (diagrama de força): 2º passo: Aplicar as condições de equilíbrio: As forças que estão agindo no pacote são verticais, assim: Como temos vetores força em sentidos opostos, a resultante ( ) tem que ser a subtração deles, portanto: T – W = 0 T = W (este resultado é óbvio, pois para obter o equilíbrio, as duas forças devem ter o mesmo valor). Como W = m.g, então: T = m.g T = 100.9,8 T = 980 N
  • 23. 22 2) Calcule a deformação elástica das molas de um carro de 1200 kg que se encontra parado, sabendo que a constante elástica de cada mola é de 15000N/m. Resolução: Um carro é composto por quatro molas, assim, o diagrama de forças fica: Portanto, 4.Fel – W= 0 4.Fel = W Como Fel=Kx e W=mg, então: 4.K.x = m.g 4.15000.x = 1200.9,8 60000.x = 11760 x = 0,196 m = 19,6 cm 3) Na figura a seguir está representado um engradado de 150 kg suspenso pelos cabos 1, 2 e 3. Qual o valor das trações que estes cabos estão submetidos? Resolução: 1º passo: Montar o diagrama de forças do sistema:
  • 24. 23 Diagrama de forças que atuam no engradado Nesse diagrama pode-se perceber que para o engradado estar em equilíbrio, a força de tração (T1) deve ser igual a força peso (W). 1 1 1 1 Diagrama de forças que atuam entre os cabos Nesse diagrama, como a tração T3 está inclinada, deve-se utilizar alguma técnica matemática para calcular as trações não conhecidas, sabendo-se que T1 =1470N. 2º passo: Escolher o método de resolução adequado: Existem dois métodos possíveis de resolução, o da triangulação e o da decomposição vetorial: Método da triangulação: Para o corpo estar em equilíbrio a soma dos vetores deve ser nula, assim se juntarmos os vetores, o ponto inicial do primeiro vetor coincide com a seta do último vetor formando um triângulo:
  • 25. 24 Como T1=1470N então, por trigonometria: 1 3 3 1 Assim, como agora temos os valores de T1 e de T3, para calcular T2 pode ser utilizando o teorema de Pitágoras ou trigonometria: Método da decomposição vetorial: Neste método, deve-se fazer a decomposição do vetor que está inclinado (no caso o T3) e, como o sistema está em equilíbrio, a componente T3x deve ser igual a T2 e a componente T3y deve ser igual a T1, portanto: Da figura podemos extrair o seguinte triângulo: 0 1 2 1 2 0 2 40 40 1751,88 T tg T T T tg T N    3 1 3 1470 y y T T W T N   
  • 26. 25 E a resolução é igual ao do método da triangulação, assim, por trigonometria: 3 3 3 3 Como agora temos os valores de T3 e de T3y, para calcular T3x pode ser utilizando o teorema de Pitágoras ou trigonometria: Como T2=T3x, então: A pergunta que fica é: “Qual o melhor método?”. Bom isso depende da aplicação, na situação do exemplo anterior, onde temos três vetores força e um deles está inclinado, tanto faz o método, pois a resolução fica bem parecida, mas quando temos dois vetores inclinados, o método da triangulação é o mais simples, pois será resolvido apenas com a resolução dos valores de cada vetor que forma o triângulo, enquanto que pelo método da decomposição deve-se decompor os dois vetores inclinados. Agora, quando temos mais de três vetores, o método da triangulação fica impossível, pois não formará um triângulo e nesse caso deve-se aplicar o método da decomposição. 30 3 3 3 0 3 40 40 1751,88 y x y x x T tg T T T tg T N    2 1751,88T N
  • 27. 26 4) Determine a força que é aplicada na mola, de constante elástica k=12000N/m, da figura a seguir e também o quanto ela está alongada, sabendo que a carga que está suspensa é de 180 kg. Resolução: 1º passo: Montar o diagrama de forças do sistema: Diagrama de forças que atuam na carga Nesse diagrama pode-se perceber que para a carga estar em equilíbrio, a força de tração (T1) deve ser igual a força peso (W). 1 1 1 1 Diagrama de forças que atuam entre os cabos
  • 28. 27 Lembre-se que Fel representa a força elástica, isto é, a força que a mola está submetida. 2º passo: Escolher o método de resolução: O método que será utilizado nessa resolução é o da triangulação. Para o corpo estar em equilíbrio a soma dos vetores deve ser nula, assim se juntarmos os vetores, o ponto inicial do primeiro vetor deve coincidir com a seta do último vetor formando um triângulo: Como T1=1764 N então, por trigonometria: Com isso, já calculamos a força que está atuando na mola. Agora falta determinar o quanto a mola está alongada, e para isso basta utilizar a seguinte equação: Equilíbrio de um corpo Extenso No equilíbrio de um corpo extenso, além de analisar a condição de equilíbrio para o movimento retilíneo (translação retilínea), devemos também analisar o equilíbrio na rotação que é definido através da grandeza momento de uma força ou momento torçor ou simplesmente torque. 0 1 0 20 1764 20 4846,55 el el el T tg F F tg F N    . 4846,55 12000. 0,4 el F k x x x m   
  • 29. 28 Momento de uma Força É a capacidade que uma força possui de rotacionar um determinado corpo. Matematicamente é definido como o produto da intensidade de uma força pela distância dessa força ao eixo de rotação, sendo que esse vetor força deve estar perpendicular a uma linha que passe pelo eixo de rotação. Como o corpo pode rotacionar nos sentidos horário e anti-horário, deve-se fazer uma distinção entre eles, é usual considerar positivo quando o corpo tende a rotacionar no sentido horário e negativo quando tende a rotacionar no sentido anti-horário, mas se utilizar o inverso não terá problema o importante é fazer a distinção entre os sentidos de rotação. Assim: Exemplos: Determine o momento das forças nas situações indicadas nas figuras a seguir: 1) Considere F1=80 N: 2) Considere F1=80 N: 3) Considere F1=100 N: 1 . 80.0,5 40 M F d M M Nm    1 . 80.0,5 40 M F d M M Nm    0M  O momento neste caso é nulo, pois da forma que esta força está sendo aplicada, a chave não terá a capacidade de rotação. Negativo porque a chave tende a rotacionar no sentido anti-horário.
  • 30. 29 4) Considere F1=120000 N: 5) Considere F1=150 N, F2=100 N e F3=200 N: 6) Considere F = 500 N: Neste caso temos que lembrar que o vetor força deve ser perpendicular à distância até uma linha que passa pelo centro de rotação, assim, para facilitar o cálculo, podemos decompor o vetor F na sua componente no eixo y e utilizar a distância horizontal até o eixo de rotação (50 cm ou 0,5 m): O valor de Fy é dado por: Assim o momento dessa força será: 0M  O momento neste caso também é nulo, pois da forma que esta força está sendo aplicada, a chave não terá a capacidade de rotação. 1 2 3 1 2 3 .0,5 .0,2 .0,3 150.0,5 100.0,2 200.0,3 95 60 35 F F F M M M M M F F F M M M Nm             0 0 0 cos30 .cos30 500.cos30 433,01 y y y y F F F F F F N    
  • 31. 30 Condições de equilíbrio de um corpo extenso Um corpo extenso para estar em equilíbrio deve obedecer as seguintes condições: 1ª) 2ª) 3ª) Lembre-se que o equilíbrio pode ser estático (repouso) ou dinâmico (movimento retilíneo uniforme). Estes conceitos são muito importantes para se projetar um mecanismo, pois é necessário analisar os esforços que alguns pontos estratégicos do projeto estão sujeitos para poder dimensioná-los. Exercícios Resolvidos 1) Na figura a seguir a viga horizontal, homogênea e de massa 50 kg está presa nas duas colunas por meio de parafusos dispostos nas duas extremidades. Qual o esforço que cada parafuso está submetido? Resolução: 1º passo: indicar as forças que estão atuando no sistema: . 433,01.0,5 216,51 F y F F M F d M M N   
  • 32. 31 Observa-se que a força peso (W) está indicada no centro da viga, pois é no centro de massa (ponto de equilíbrio) que podemos representar a força peso de qualquer corpo, assim, fica indicado que todo peso do corpo está concentrado no centro de massa, que neste caso é o centro geométrico. O esforço que cada parafuso está submetido são as reações RA e RB, que nada mais são do que as forças verticais que os parafusos devem fazer para sustentar a força peso. Percebe-se que nesse caso a força peso é distribuída igualmente para os parafusos, assim: 2º passo: calcular a força peso: 3º passo: aplicar as condições de equilíbrio até conseguir calcular as reações: 1ª) Esta condição está atendida, pois não existem forças horizontais neste sistema. 2ª) Para aplicar esta condição será adotado que as forças para cima serão negativas e a forças para baixo positivas, assim: 0A B W R R   Como RA=RB, então: 50.9,8 490 W mg W W N   
  • 33. 32 0 490 2 0 490 2 245 , 245 A B A A A A B W R R R R R N Assim R R N          Nota-se que neste exemplo era só dividir o peso por dois que teríamos encontrado o esforço em cada parafuso, mas foi apresentada a técnica de resolução através das condições de equilíbrio para provar que se chega ao mesmo resultado e também para já ir se acostumando com essa técnica que será a utilizada para se resolver questões mais complexas. 2) Colocando-se uma carga homogênea de 20 kg a 1m do apoio da esquerda do exemplo anterior, conforme figura a seguir, qual será a nova força que cada parafuso estará sujeito? Resolução: 1º passo: indicar as forças que estão atuando no sistema:
  • 34. 33 Nesse caso temos duas forças peso, uma da viga horizontal e a outra da carga que está em cima da viga. Como a carga não está centralizada, então os esforços que os parafusos estão submetidos são diferentes, isto é, as suas reações RA e RB são diferentes. 2º passo: calcular as forças peso: 3º passo: aplicar as condições de equilíbrio até conseguir calcular as reações: 1ª) Esta condição está atendida, pois não existem forças horizontais neste sistema. 2ª) Para aplicar esta condição será adotado que as forças para cima serão negativas e a forças para baixo positivas, assim: 1 2 0 196 490 0 686 A B A B A B W W R R R R R R           Não é possível resolver essa equação, pois existem duas incógnitas, assim, teremos que partir para a terceira condição de equilíbrio: 3ª) Observação: Lembre-se que momento é o produto da força pela distância até um eixo de rotação e que o momento é positivo para rotação tendendo ao sentido horário e negativo para rotação tendendo ao sentido anti-horário. Nesse caso será adotado como eixo de rotação o parafuso da esquerda, pois assim eliminaremos a incógnita RA durante o cálculo por possuir distância zero, portanto: 1 1 1 1 20.9,8 196 W m g W W N    2 2 2 2 50.9,8 490 W m g W W N   
  • 35. 34 1 2 0 196.1 490.1,5 .0 .3 0 196 735 .3 0 931 .3 310,33 W W R RA B A B B B B M M M M R R R R R N              Para determinar RA é só voltar na segunda condição de equilíbrio e resolver a equação, assim: 686 310,33 686 375,67 A B A A R R R R N      Observe que, por a carga está mais próxima do parafuso da esquerda, ele terá que suportar uma força maior que o da direita. 3) Na figura abaixo encontra-se uma caixa de 600N sobre uma viga horizontal homogênea de 200 N mantidos em equilíbrio por um cabo de aço na extremidade direita e um pino na extremidade esquerda. Determine a tração exercida no cabo e a força que o pino está submetido. Resolução: 1º passo: indicar as forças que estão atuando no sistema:
  • 36. 35 Nesse caso temos duas forças peso, uma da viga horizontal e a outra da carga que está em cima da viga, uma força de tração no cabo de aço e uma força de reação no pino devido à ação das forças peso. Não é necessário calcular as forças peso, pois os valores já foram determinados no enunciado do exercício. 2º passo: aplicar as condições de equilíbrio: 1ª) Esta condição está atendida, pois não existem forças horizontais neste sistema. 2ª) Para aplicar esta condição será adotado que as forças para cima serão negativas e as forças para baixo positivas, assim: 1 2 0 200 600 0 800 W W T R T R T R           Não é possível resolver essa equação, pois existem duas incógnitas, assim, teremos que partir para a terceira condição de equilíbrio: 3ª) Observação: Nesse caso será adotado como eixo de rotação o eixo que está à esquerda, pois assim eliminaremos a incógnita R durante o cálculo por possuir distância zero, portanto:
  • 37. 36 1 2 0 200.2,5 600.3 .5 .0 0 500 1800 .5 0 2300 .5 460 W W T R M M M M T R T T T N              Para determinar R é só voltar na segunda condição de equilíbrio e resolver a equação, assim: 800 460 800 340 T R R R N      4) Na figura abaixo encontra-se uma caixa de 600N sobre uma viga horizontal homogênea de 200 N mantidos em equilíbrio por um cabo de aço na extremidade direita e um pino na extremidade esquerda. Determine a tração exercida no cabo e a força que o pino está submetido. Resolução: Este exercício é muito parecido com o anterior, a única diferença é que o cabo de aço encontra-se inclinado, assim, a resolução torna-se também muito parecida. 1º passo: indicar as forças que estão atuando no sistema:
  • 38. 37 2º passo: aplicar as condições de equilíbrio: 1ª) Neste caso, existem forças horizontais e para determinar a reação R, é imprescindível calcular as suas componentes. Como as forças estão em sentidos opostos, serão consideradas como positivas as forças que estão apontadas para direita e negativas as forças que estão para a esquerda. Portanto: 0x x x x R T R T    Neste caso pode-se considerar também que, para estar em equilíbrio, as forças que estão para direita devem ter a mesma intensidade das forças que estão para esquerda, isto é: x x R T 2ª) Para aplicar esta condição será adotado que as forças para cima serão negativas e a forças para baixo positivas, assim: 1 2 0 200 600 0 800 y y y y y y W W T R T R T R           Não é possível resolver essa equação, pois existem duas incógnitas, assim, teremos que partir para a terceira condição de equilíbrio:
  • 39. 38 3ª) Observação: Nesse caso será adotado como eixo de rotação o eixo que está à esquerda, pois assim eliminaremos a incógnita Ry durante o cálculo por possuir distância zero, portanto: 1 2 0 200.2,5 600.3 .5 .0 0 500 1800 .5 0 2300 .5 460 W W T Ry y y y y y y M M M M T R T T T N              Para determinar Ry é só voltar na segunda condição de equilíbrio e resolver a equação, assim: 800 460 800 340 y y y y T R R R N      Para determinar o valor da tração do cabo (T) e sua componente Tx, deve-se utilizar o triângulo formado entre T, Tx e Ty, assim: Percebe-se que a tração no cabo é maior quando ele está inclinado do que quando ele está na vertical (caso do exercício anterior), pois com ele inclinado origina-se um força horizontal no sistema. Para determinar Rx é só voltar na primeira condição de equilíbrio, assim: 548,21 x x x R T R N  
  • 40. 39 E para terminar, basta calcular a reação no pino (R) através do teorema de Pitágoras: 2 2 2 2 2 2548,21 340 645,08 x y R R R R R N     
  • 41. 40 Referências Bibliográficas RAMALHO, F.; CARDOSO, J; FERRARO, N & TOLEDO, P. Os Fundamentos da Física, 1. Moderna, São Paulo, 2000. DOCA, R. H.; BISCUOLA, G. J. & VILLAS, N. Tópicos de Física, 1. Saraiva, São Paulo, 2001. RESNICK, R.; HALLIDAY, D. & KRANE, K. Física 1. LTC, EUA, 2003. MELCONIAN, S. Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais. Érica. São Paulo, 1999.