Função logarítmica

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Função logarítmica

  1. 1. Marcela MonteiroFUNÇÃO LOGARÍTMICA
  2. 2. INTRODUÇÃOO conceito de logaritmo foi introduzido pelo matemáticoescocês John Napier (1550-1617) e aperfeiçoado peloinglês Henry Briggs (1561-1630). A descoberta dos logaritmosdeveu-se sobretudo à grande necessidade de simplificar oscálculos excessivamente trabalhosos para a época,principalmente na área da astronomia, entre outras. Atravésdos logaritmos, pode-se transformar as operações demultiplicação em soma, de divisão em subtração, entre outrastransformações possíveis, facilitando sobremaneira oscálculos. Na verdade, a idéia de logaritmo é muito simples, epode-se dizer que o nome logaritmo é uma nova denominaçãopara expoente, conforme veremos a seguir.
  3. 3. LOGARITMODados os números reais b (positivo e diferente de1), N (positivo) e x , que satisfaçam a relação bx =N, dizemos que x é o logaritmo de N na base b. Istoé expresso simbolicamente da seguinte forma:logbN = x. Neste caso, dizemos que b é a base dosistema de logaritmos, N é o logaritmando ouantilogaritmo e x é o logaritmo.
  4. 4. Exemplos:152 = 225, logo: log15225 = 263 = 216, logo: log6216 = 354 = 625, logo: log5625 = 470 = 1, logo: log71 = 0
  5. 5. NOTAS1) Quando a base do sistema de logaritmos é igual a10 , usamos a expressão logaritmo decimal e narepresentação simbólica escrevemos somente logNao invés de log10N. Assim é que quandoescrevemos logN = x , devemos concluir pelo quefoi exposto, que 10x = N.Ex: a) log100 = 2 porque 102 = 100. b) log1000 = 3 porque 103 = 1000
  6. 6. 2) Existe também um sistema de logaritmoschamado neperiano (em homenagem a JohnNapier - matemático escocês do século XVI,inventor dos logaritmos), cuja base é o númeroirracional e = 2,7183... e indicamos estelogaritmo pelo símbolo ln. Assim, logeM = ln M.Este sistema de logaritmos, também conhecidocomo sistema de logaritmos naturais, tem grandeaplicação no estudo de diversos fenômenos danatureza.Ex: a) ln e = 1 b) ln 7 = loge7
  7. 7. CONSEQÜÊNCIAS 1) logb1 = 0Ex: a) log21 = 0; b) log1ooo1 = 0;2) logbb = 1Ex: a) log1o10 = 1, b) log55 = 13) logaam = mEx: a) log225 = 5; b) log100010003 = 3
  8. 8. 4) alogab = bEx: a) 5log52 = 2; b)6log63 = 35) logab = logac ↔ b = cEx: a) log2x = log25 ↔ x= 5 b)log23= log2x ↔ x= 3
  9. 9. PROPRIEDADES OPERATÓRIAS1)logb(A.B) = logbA+ logbBEx: log20 =log(2.10) = log2 + log102) logb(A/B) = logbA – logbBEx: log0,02 = log(2/100) = log2 - log100
  10. 10. 3)logbAn = n.logbAEx: log5256 = 6.log5254) logba= logc a / logc bEx: a) log416 = log216 / log24 (2 = 4:2) b) log864 = log264 / log28 (2 = 6:3)
  11. 11. (UPE) Dados log 2 = 0,3010 e log 3 = 0,4771,então:a) log 14,4 = 1,1582 b) log 14,4 = 1,1882c) log 14,4 = 1,4781 d) log 14,4 = 1,3071e) log 14,4 = 1,1761(COVEST) Sejam a e b números reiaspositivos, tais que:log2a – 2log2b = 2 Determine o valor da razão √ a/ b²
  12. 12. (UNIRIO) O valor de 4log29 é:a) 81 b) 64 c) 48 d) 36 e) 9(PUC) se log 5 = x e log 3 = y, então log 375 é:a) y + 3x b) y + 5x c) y – x + 3 d) y – 3x + 3e) 3(y + x)(UNIFOR) Se log52 = a e log35 = b, o valordelog56 é:
  13. 13. (ITA) Aumentando 16 unidades a um número,seu logaritmo na base 3 aumenta de 2 unidades.Esse número é:
  14. 14. FUNÇÃO LOGARÍTIMICAConsidere a função y = ax , denominada função exponencial,onde a base a é um número positivo e diferente de 1, definidapara todo x real.Observe que nestas condições, ax é um número positivo, paratodo x Є R, onde R é o conjunto dos númerosreais.Denotando o conjunto dos números reais positivosporR+* , poderemos escrever a função exponencial comosegue:f: R ® R+* ; y = ax , 0 < a ≠ 1Esta função é bijetora, pois:a) é injetora, ou seja: elementos distintos possuem imagensdistintas.b) É sobrejetora, pois o conjunto imagem coincide com o seucontradomínio.
  15. 15. Vamos determinar a função inversa da função y =ax , onde 0 < a ≠ 1.Permutando x por y, vem:x = ay y = logaxPortanto, a função logarítmica éentão:f: R+* ® R ; y = logax , 0 < a ¹ 1.Mostramos a seguir,os gráficos das funções exponencial ( y = ax ) elogarítmica ( y = logax ), para os casos a > 1 e 0 <a ≠ 1. Observe que, sendo as funções, inversas, osseus gráficos são curvas simétricas em relação àbissetriz do primeiro e terceiro quadrantes, ou seja,simétricos em relação à reta y = x.
  16. 16. GRÁFICO
  17. 17. Para a > 1
  18. 18. Para 0 < a < 1
  19. 19. EQUAÇÕESEquações logarítmicas são quaisquer equações que tenham aincógnita (normalmente é x) dentro de um símbolo log.Para resolver este tipo de equação não existe um mecanismo geral.Uma regra que deve sempre ser seguida ao terminar a resoluçãode uma equação logarítmica, é a seguinte:Todas as soluções encontradas devem ser TESTADAS na equaçãoORIGINAL, a fim de verificar as condições de existência.As soluções que não satisfizerem as condições de existênciadevem ser DESCARTADAS!
  20. 20. a) log4(5x2 – 14x + 1) = log4(4x2 – 4x – 20)b) log(x – 2)(2x2 – 11x + 16) = 2c) 2(log2x)2 - 5 log2x + 2 = 0
  21. 21. (COVEST ) Considerando f(x) = 2x e g(x) = log2x, analiseas afirmações: I II 0 0 f(x + y) = f(x) . f(y) para quaisquer x, y reais. 1 1 f(x)y = f(xy) para quaisquer x, y reais. 2 2 g(xy) = g(x) + g(y) se x, y são reais positivos. 3 3 g(x/y) = g(x) – g(y) se x e y são reaispositivos. 4 4 g(f(x)) = x para todo x real.
  22. 22. Sejam as funções f(x) = x² – x – 2 e g(x) = ex,sendo e a base do sistema neperiano delogaritmos. Então, se f(g(x)) = 0, podemosafirmar que x é igual a:a) 0 b) e² c) e d) 1 e)ln2(UFRN) As soluções da equação 3x + 1 + 34 – x –36 = 0 são a e b, sendo a < b. Encontre o valor daexpressão:log3(a + b) + log3(b – a).
  23. 23. Indique quantos dígitos possuí o número 264(quando expresso no sistema de numeraçãodecimal). Use a aproximação: log 2 ≈ 0,30.Sejam p, k e m números reais maiores que 1. Se a eb são raízes da equação x² – px + km = 0, entãologkaa + logkbb + logkab + logkba é igual a:a) m b) p c) mp d) -mp e) m/p
  24. 24. INEQUAÇÕESa) log2x2 > log2(x + 2)b) log2 (x +5) > 4c) 3(log4x2) + 5(log4x) – 2 ≤ 0
  25. 25. Todos os dias Deus nos dá um momento em que é possível mudar tudo que nos deixa infelizes. Oinstante mágico é o momento que um SIM ou um NÃO pode mudar toda a nossa existência." (Paulo Coelho)

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