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  1. 1. LOGARITMOSLOGARITMOS DEFINIÇÃODEFINIÇÃO PROPRIEDADESPROPRIEDADES FUNÇÃOFUNÇÃO LOGARÍTMICALOGARÍTMICA
  2. 2. DEFINIÇÃODEFINIÇÃO bxba a x log=⇔= sendo b>0 , a>0 e a≠1 OU SEJA PODEMOS VER CLARAMENTE QUE LOGARITMO É O MESMO QUE EXPOENTE.
  3. 3. DEFINIÇÃODEFINIÇÃO :obtemosbxigualdadeNa alog= a= base do logaritmo b= logaritmando ou antilogaritmo x= logaritmo
  4. 4. DEFINIÇÃODEFINIÇÃO 101log 16216log 322532log 0 5 2 4 5 2 == == == 5pois3) 4pois2) pois1) :Exemplos
  5. 5. Consequências daConsequências da definiçãodefinição  SendoSendo b>0 ,a>0b>0 ,a>0 ee aa≠≠11 e m um número reale m um número real qualquer, temos aqualquer, temos a seguir algumasseguir algumas consequências daconsequências da definição dedefinição de logaritmo:logaritmo:
  6. 6. Consequências daConsequências da definiçãodefinição 01log =a 1log =aa mam a =log ba ba =log cbcb aa =⇔= loglog
  7. 7. Propriedades dosPropriedades dos LogaritmosLogaritmos yxyx aaa loglog).(log += yx y x aaa logloglog −=      xmx a m a log.log =
  8. 8. Propriedades dosPropriedades dos LogaritmosLogaritmos x n m xx a n m a n m a log.loglog == n m n m xx =
  9. 9. CologaritmoCologaritmo  Chamamos deChamamos de cologaritmocologaritmo de um número positivode um número positivo bb numanuma basebase aa ((a>0, aa>0, a≠≠11) e indicamos) e indicamos cologcologaa bb o logaritmo inversoo logaritmo inverso desse númerodesse número bb na basena base aa b b aa 1 logcolog =
  10. 10. CologaritmoCologaritmo  Desenvolvendo a propriedadeDesenvolvendo a propriedade da divisão entre osda divisão entre os logaritmandos chegamoslogaritmandos chegamos também a seguinte igualdadetambém a seguinte igualdade bb aa logcolog −=
  11. 11. Mudança de baseMudança de base  Como as propriedadesComo as propriedades logarítmicas só valem paralogarítmicas só valem para logaritmos numa mesma base, élogaritmos numa mesma base, é necessário fazer, antes, anecessário fazer, antes, a conversão dos logaritmos deconversão dos logaritmos de bases diferentes para uma únicabases diferentes para uma única base conveniente.base conveniente. a x x b b a log log log =
  12. 12. LOGARITMOLOGARITMO NATURALNATURAL  O logaritmo natural é o O logaritmo natural é o logaritmologaritmo de de base base ee, onde e é um , onde e é um número irracionalnúmero irracional  aproximadamente igual a aproximadamente igual a 2,718281828459045... (chamado 2,718281828459045... (chamado  Número de EulerNúmero de Euler). É, portanto, a ). É, portanto, a  função inversafunção inversa da  da função exponencialfunção exponencial..  lnlnee aa == ln aln a (log natural ou(log natural ou neperiano)neperiano)
  13. 13. FUNÇÃO LOGARÍTMICA  A funçãoA função f:IRf:IR++IRIR definidadefinida porpor f(x)=logf(x)=logaaxx, com, com aa≠≠11 ee a>0a>0, é, é chamadachamada funçãofunção logarítmica de base alogarítmica de base a. O. O domíniodomínio dessa função é odessa função é o conjuntoconjunto IRIR++ (reais positivos,(reais positivos, maiores que zero) e omaiores que zero) e o contradomíniocontradomínio éé IRIR (reais).(reais).
  14. 14. FUNÇÃO LOGARÍTMICA  f(x)=logf(x)=logaaxx  Temos 2 casos a considerar:Temos 2 casos a considerar:  quando a>1;quando a>1;  quando 0<a<1.quando 0<a<1.
  15. 15. GRÁFICO CARTESIANO DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA  Y = logY = log22 xx a>1a>1 CrescenteCrescente
  16. 16. GRÁFICO CARTESIANO DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA  Y = logY = log(1/2)(1/2) xx 0<a<10<a<1 DecrescenteDecrescente
  17. 17. CaracterísticasCaracterísticas GráficasGráficas  o gráficoo gráfico nuncanunca intercepta ointercepta o eixo vertical;eixo vertical;  o gráfico corta o eixo horizontalo gráfico corta o eixo horizontal no ponto (1,0). A raiz da função éno ponto (1,0). A raiz da função é x = 1;x = 1;  yy assume todos os valores reais,assume todos os valores reais, portanto o conjunto imagem éportanto o conjunto imagem é Im=IR.Im=IR.
  18. 18. EQUAÇÕESEQUAÇÕES LOGARÍTMICASLOGARÍTMICAS  Chamamos de equaçõesChamamos de equações logarítmicas toda equação quelogarítmicas toda equação que envolve logaritmos com aenvolve logaritmos com a incógnitaincógnita aparecendo noaparecendo no logaritmandologaritmando, na, na basebase ou emou em ambosambos..
  19. 19. EQUAÇÕESEQUAÇÕES LOGARÍTMICASLOGARÍTMICAS  Exemplos:Exemplos:  loglog33x =5x =5 (a solução é x=243)(a solução é x=243)  log(xlog(x22 -1) = log 3-1) = log 3 (as soluções(as soluções são x’ = -2 e x’’= 2)são x’ = -2 e x’’= 2)  loglog22(x+3) + log(x+3) + log22(x-3) = log(x-3) = log2277 (a solução é x=4)(a solução é x=4)  loglogx+1x+1(x(x22 - x) = 2- x) = 2 (a solução é x=-(a solução é x=- 1/3)1/3)
  20. 20. EQUAÇÕESEQUAÇÕES LOGARÍTMICASLOGARÍTMICAS  loglog33(x+5) = 2(x+5) = 2 condição de existência: x+5>0condição de existência: x+5>0 => x>-5=> x>-5 loglog33(x+5) = 2(x+5) = 2 x+5 = 3x+5 = 322 x=9-5 => x=4x=9-5 => x=4 S={4}.S={4}.
  21. 21. EQUAÇÕESEQUAÇÕES LOGARÍTMICASLOGARÍTMICAS  log2(log4 x) = 1log2(log4 x) = 1  Resolução: condição de existência:Resolução: condição de existência: x>0x>0 ee loglog44x>0x>0  loglog22(log(log44 x) = 1x) = 1; sabemos que; sabemos que 1 = log1 = log22(2)(2), então, então  loglog22(log(log44x) = logx) = log22(2) => log(2) => log44x = 2x = 2  => 4=> 422 = x => x = 16= x => x = 16  ComoComo x=16x=16 satisfaz as condições desatisfaz as condições de existência, então o conjunto solução éexistência, então o conjunto solução é
  22. 22. INEQUAÇÕESINEQUAÇÕES LOGARÍTMICASLOGARÍTMICAS  Chamamos de inequações logarítmicas toda inequação que envolve logaritmos com a incógnita aparecendo no logaritmando, na base ou em ambos.

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