O documento discute conceitos importantes de alfabetização matemática, incluindo o senso numérico, correspondência um-a-um, quantificação, registros e agrupamentos. O documento também resume uma leitura sobre como as crianças desenvolvem conceitos numéricos de acordo com a teoria de Piaget, incluindo as tarefas de conservação numérica.

1. TERCEIRO ENCONTRO
07 DE JUNHO DE 2014
ALFABETIZAÇÃO MATEMÁTICA

2. AGENDA DA MANHÃ
Leitura literária
Retomada do trabalho pessoal
Vídeo: A história dos números
A criança e o número
Vídeo: Jogo das tampinhas
Atividade prática

3. LEITURA LITERÁRIA

4. RESGATE DO TRABALHO PESSOAL

5. VÍDEO: “A HISTÓRIA DOS NÚMEROS”

7. LIVRO: A CRIANÇA E O NÚMERO
CAPÍTULO 1: A NATUREZA DO NÚMERO
CONSTANCE KAMII

8. “Piaget estabeleceu uma distinção fundamental entre
três tipos de conhecimento considerando suas fontes
básicas e seu modo de estruturação.”
(KAMII, 1988, p.14).

9. O conhecimento físico é o conhecimento dos
objetos da realidade externa, das propriedades
físicas e podem ser conhecidos pela
observação. Sua fonte é externa.

10. O conhecimento social é o conhecimento das
convenções sociais, construídas pelas pessoas.
Ele é arbitrário, não existe nenhuma razão física
e lógica para que ele exista. Para adquirir
conhecimento social é necessário a
interferência das pessoas. Sua fonte também é
externa.

11. O conhecimento lógico-matemático consiste
na coordenação das relações simples que as
crianças fazem entre os objetos. Sua fonte é
interna. O número por exemplo, é a relação
criada mentalmente por cada indivíduo.

12. Abstração Empírica: Envolve somente a observação
experimental. Se refere as propriedades dos objetos
(cor, tamanho, forma, etc). Tudo que se faz é focalizar
numa certa propriedade e ignorar as outras.
Abstração Reflexiva: Envolve a construção de
relações entre os objetos. As relações não existem na
realidade externa. É uma construção feita pela mente,
ao invés de representar apenas o que já existe nos
objetos.

13. “Assim, durante os estágios sensório-motor e
pré operacional a abstração reflexiva não pode
acontecer independentemente da empírica,
mais tarde, entretanto, ela poderá ocorrer sem
depender desta última.
Por exemplo, se a criança já construiu o número
(por abstração reflexiva), ela será capaz de
operar sobre os números e fazer 5+5 e 5x2 (por
abstração reflexiva.”
(KAMII, 1988, p. 18)

14. “[...] no âmbito da realidade psicológica da
criança, não é possível que um dos tipos de
abstração exista sem o outro. Por exemplo, a
criança não poderia construir a relação diferente
se não pudesse observar propriedades de
diferença entre os objetos.”
(KAMII, 1988, p. 17)

15. “A distinção entre os dois tipos de abstração pode
parecer pouco importante quando a criança está
aprendendo os pequenos números( até 10). Contudo,
quando ela prossegue em direção aos números
maiores tais como 999 e 1000, fica claro que é
impossível aprender cada número até o infinito
através da abstração empírica a partir de conjuntos
de objetos ou figuras! Os números são aprendidos
pela abstração reflexiva, à medida que a criança
constrói relações.”
(KAMII, 1988, p. 18-19)

16. De acordo com Piaget....
“O número é uma síntese de dois tipos de
relações que a criança elabora entre os objetos
(por abstração reflexiva). Uma é a ordem e a
outra é a inclusão hierárquica.”
(KAMII, 1988, p.19)

17. A ideia de ordem
Colocar objetos em ordem significa estabelecer
uma ordem mental para proceder à contagem,
sem que, necessariamente, os objetos estejam
organizados espacialmente para assegurar-se
que cada um não foi contado mais de uma vez.

19. Crianças até quatro anos não adquiriram
essa organização mental ao contar.
Por exemplo: Pedirmos uma criança pequena
para contar oito objetos ela geralmente vai
contar oito. Agora, se pedirmos para ela nos
mostrar o oito ela vai apontar para o oitavo ou
último objeto que contou. Isso significa que para
ela os nomes dos números representam objetos
individuais de uma série.

21. A ideia de inclusão hierárquica
É perceber que a quantidade anterior está incluída na
posterior. Se pedirmos a uma criança que nos diga o total de
objetos de uma determinada coleção, é comum que, após a
contagem, ela nos aponte o último objeto, dando o nome do
numeral que designa a quantidade total de objetos. Ou seja,
se ela contou nove rodinhas e pedimos que nos mostre esse
total, ela apontará para a nona rodinha e não para a coleção
inteira. Isto quer dizer que ela não considera o nove como o
todo da coleção, e sim, como o nome que designa a última
rodinha da coleção.

23. INCLUSÃO DE CLASSES
INCLUSÃO HIERÁRQUICA

24. Tarefa
- A criança recebe seis cachorros em miniatura
e dois gatos do mesmo tamanho. Em seguida
faz-se a pergunta: - O que e que você vê?
Em seguida pergunta-se: -Existem mais
cachorros ou mais animais?
A resposta típica das crianças de quatro
anos é:
- “Mais cachorros”

25. “As crianças pequenas ouvem uma pergunta
diferente daquela que o adulto fez porque, uma
vez que elas seccionaram mentalmente o todo
(animais) em duas partes (gatos e cachorros), a
única coisa sobre a qual podem pensar são as
duas partes. Para elas, naquele momento, o
todo não existe mais. Elas conseguem pensar
sobre o todo, mas não quando estão pensando
sobre as partes.”
(KAMII, 1988, p.22)

26. “Entre sete e oito anos de idade, a maior parte
do pensamento das crianças se torna flexível o
bastante para ser reversível.”
(KAMII, 1988, p.23)

27. • É a habilidade de realizar mentalmente ações opostas
simultaneamente. Cortar o todo em duas partes e juntar
novamente.
• Isso só acontece quando a criança já alcançou o
conhecimento lógico-matemático, pois o pensamento se
torna bastante móvel e reversível.
• Por isso é importante que as crianças possam colocar
todos os tipos de objetos, eventos e ações dentro de todos
os tipos de relações, pois seu pensamento se tornará
móvel e um dos resultados dessa mobilidade é a estrutura
lógico-matemática do número.
Reversibilidade

28. “A teoria do número de Piaget também é
contrária ao pressuposto comum de que os
conceitos numéricos pode ser ensinados pela
transmissão social, como o conhecimento social
(convencional).”
(KAMII, 1988, p.23)

29. “As palavras um, dois, três, quatro são
exemplos de conhecimento social. Cada idioma
tem um conjunto de palavras diferente que
serve para o ato de contar. Contudo, a ideia
subjacente de número pertence ao
conhecimento lógico-matemático, o qual é
universal.”
(KAMII, 1988, p.25)

30. Embora haja consenso em todo o mundo que 2+3=5,
é um conhecimento que não dá para ser transmitido,
deve ser construído. Podemos ensinar as crianças a
decorar o resultado, mas não dá para ensinar-lhes as
relações que subjazem esta adição. Não é possível
ensinar número através de abstração empírica, só a
observação não basta! Para adquirir um conceito
numérico é preciso abstração reflexiva.
Não existe “um mundo dos números” em direção
a qual toda criança deve ser socializada.

31. “Qual é a natureza do número?”
“De que modo as pessoas chegaram a
conhecer o número?”
Piaget inventou a tarefa de conservação para
responder a estes tipos de perguntas.

32. Tarefa de Conservação
Com essa tarefa, Piaget, provou que o
número não é alguma coisa conhecida
inatamente. Ninguém nasce com o
conceito de número, também não é por
intuição ou observação.
MAS QUE TAREFA É ESSA?

33. As tarefas de conservação são testes propostos
por Piaget, pelos quais se pode avaliar em qual
estágio de
desenvolvimento a criança está.
Na conservação numérica, mostram-se duas
filas iguais de botões, após se
aumenta a distância entre estes e pergunta-se:
as duas filas tem o mesmo número de botões?

35. • Quando uma criança vê dois conjuntos de quantidades iguais e diz que tem mais o
que ocupa mais espaço, ela ainda não vê os objetos numericamente e sim
espacialmente. Ela baseia seu julgamento no espaço, ou na percepção de
fronteiras.
• Quando a criança adquire a estrutura numérica, o espaço é irrelevante.
• Crianças pequenas não conservam o número antes dos 5 anos. Esse conceito
leva muitos anos.
• Através dessa tarefa Piaget provou que os conceitos numéricos não são
adquiridos através da linguagem.
• Quando a criança se encontra num nível de transição alto, a linguagem pode ser
instrumento útil que lhe permite pensar num nível mais complexo ainda.
• A estrutura numérica pode ser bem formada por volta dos 5, 6 anos, possibilitando
a conservação de números elementares, mas ela ainda não está suficientemente
estruturada antes dos 7 anos e meio, para permitir que elas entendam que todos
os números estão conectados pela operação “+1”.
Atenção! O ensino da tarefa de conservação é uma aplicação falsa da teoria de
Piaget.
Algumas observações sobre a tarefa de
conservação

36. Prova de conexidade

37. • Colocou-se 30 cubos de madeira de aproximadamente 1 cm de
aresta em fila, e 9 cubos amontoados que foram denominados de
arranjo A. Logo após, utilizando um copo descartável, foi despejado
cada cubo que estava disposto linearmente dentro do copo. Assim,
foi perguntado à criança se ao continuar a deixar os blocos
caírem no copo um a um, permaneceria o mesmo número de
blocos do arranjo A. Numa experiência realizada por uma
pesquisadora, ela obteve esse resultado:
• Em relação às respostas dos alunos, 80% admitiram que nunca terá
a mesma quantidade, ou seja, sempre tem menos e logo depois
passa a ter mais, 20% contaram o número de blocos do arranjo A e
responderam que haverá a mesma quantidade quando tiver apenas
nove cubos dentro do copo.

38. Só a partir dos sete anos e meio a oito anos se
torna óbvio para as crianças que deve haver
um momento em que as duas quantidades
são exatamente iguais. A criança se torna
capaz de deduzir a necessidade lógica de
passar pelo “mesmo número”, na tarefa
acima, quando ela constrói a estrutura lógico-
matemática de número que lhe permite
realizar esta dedução.

39. • A construção do número acontece gradualmente por partes, ao invés
de tudo de uma vez.
• A primeira parte vai até o 7. A segunda do 8 ao 15. E a terceira, do
15 até o 30.
• “O princípio do ensino pode ser baseado nessa estruturação
progressiva. Para a construção de grandes números é importante
facilitar o desenvolvimento dos mesmos processos cognitivos que
resultam na construção dos pequenos números. Se as crianças
constroem os pequenos números elementares ao colocarem todos
os tipos de coisas em todos os tipos de relações, elas devem
persistir ativamente na mesma espécie de pensamento para
completar a estruturação do resto da série.” (KAMII, 1988,p.31)
Considerações

40. VÍDEO: Jogo das tampinhas
E.M. Profª Dalva Borges

42. ATIVIDADE PRÁTICA

43. VAMOS JOGAR?

44. JOGO: “BATALHA”
MATERIAL: Cartas de um a dez de um baralho ou cartões
nos quais cada um apresenta a representação numérica ou
pictórica.
NÚMERO DE JOGADORES: 2.
REGRAS DO JOGO:
As cartas de um a dez do baralho são divididas por duas
crianças. Cada criança abre uma carta de seu monte e os
valores são comparados.Quem tiver o maior valor, fica com
as duas cartas. Em caso de empate, as crianças abrem uma
nova carta que é colocada por cima das anteriores e quem
tiver o maior número nesta nova rodada ganha as quatro
cartas. Ao final do jogo, ganha quem tiver o maior monte de
cartas.

45. JOGO : “COBRE TUDO”
MATERIAL: dois dados e uma cartela ( com
representações pictóricas ou com números de 2 a 12)
para cada grupo.
NÚMERO DE JOGADORES: grupos de no máximo 4
jogadores
REGRAS DO JOGO:
. As crianças, em grupos de no máximo 4 alunos, jogam
os dados alternadamente. Cada vez que um aluno joga
os dados, coloca uma ficha na posição da cartela
correspondente ao total obtido nos dois dados.Ganha o
jogo quem preencher primeiro todas as posições da
cartela ( ou um número pré- determinado de posições.

47. AGENDA DA TARDE
Leitura literária
Vídeo:A matemática na Educação Infantil
Caderno 2 – conceitos importantes
Atividade prática
Escrita docente
Trabalho pessoal
Avaliação

48. LEITURA LITERÁRIA

50. VÍDEO: A MATEMÁTICA NA EDUCAÇÃO
INFANTIL<
http://www.acervodigital.unesp.br/
handle/123456789/347>

52. Caderno 2
Quantificação, registros e agrupamentos

53. O senso numérico é a capacidade que permite diferenciar,
sem contar, pequenas
quantidades de grandes quantidades; perceber onde há mais
e onde há menos,
assim como permite perceber quando há “tantos quantos”,
uma situação de
igualdade entre dois grupos. (p.6)

54. O senso numérico é a capacidade natural que
os seres
humanos e alguns animais possuem para
apropriar-se de quantidades. Ou seja, num
golpe de vista consegue-se indicar quantidades
pequenas, de um a cinco, mesmo
que estas se refiram a objetos ou seres que
podem estar em movimento, como animais
ou aves em um pasto. (p.6)

55. Correspondência-um-a-um é a relação que se
estabelece na comparação unidade
a unidade entre os elementos de duas coleções.
Nesta comparação, é possível
determinar se duas coleções têm a mesma
quantidade de objetos ou não e, então,
qual tem mais ou qual tem menos. (p.11)

56. Na sala de aula, diariamente, também fazemos uso auxiliar
da correspondência
um-a-um quando não há necessidade de realizar contagens.
Por exemplo: e se o(a)
professor(a) quer distribuir uma folha de desenho para cada
um de seus alunos, mas
ainda não verificou se todos estão presentes e não sabe
exatamente quanto material
tem? Neste caso, ele não precisa saber a quantidade de
alunos e nem de folhas,
basta entregar uma folha para cada aluno. (p.12)

57. A criança
na escola pode fazer registros de quantidades
sem conhecer os símbolos numéricos
que utilizamos atualmente. (p.12)

58. O agrupamento é uma forma de organização
que ao mesmo tempo em que favorece as contagens
proporciona o desenvolvimento
de sistemas de numeração. (p.14)

59. [...]quando as crianças tentam contar usando os
dedos das mãos, elas estão
descobrindo seu corpo como ferramenta para o
processo de contagem, como muitos
povos fizeram ou ainda o fazem. (p.15)

60. A contagem por agrupamento
representou um grande avanço, pois
permitiu ao ser humano superar a
correspondência um-a-um, tornando a
ação de contagem de grandes quantidades
mais rápida e eficiente. Ao invés de
controlar um grupo com muitas unidades,
ele
passou a ter o controle de muitos grupos
com poucas unidades. (p.15)

61. Agrupar é uma estratégia de contagem que organiza
o que é contado, ajudando
a não esquecer de contar nenhum objeto e evitando
que um mesmo objeto seja
contado mais de uma vez.

62. Contar e agrupar são ações que permitem controlar,
comparar e representar
quantidades. Daí a importância de propor atividades para os
alunos que exijam a
contagem de uma coleção de objetos por meio de seu
agrupamento em quantidades
menores.

63. A necessidade de controlar as quantidades,
principalmente quando estas foram
aumentando, levou boa parte da humanidade,
no transcorrer da história, a elaborar
diferentes estratégias para organizar e registrar
a variação destas quantidades. “Há
indícios de que algumas dessas representações
são, inclusive, anteriores ao desenvolvimento
da escrita.” (DIAS e MORETTI, 2011, p. 20)

64. Para a metodologia de pesquisa denominada
habituação (Dehaene, 2011)
Os resultados desses estudos mostraram que mesmo
antes de
5 meses os bebês são sensíveis a alterações de
densidade e de comprimento; e que
com poucos dias de nascidos os bebês apresentam uma
sensibilidade quantitativa,
sendo capazes de discriminar quantidades pequenas
como 1 objeto de 2 objetos, 1
objeto de 3 objetos e 2 objetos de 3 objetos. (p.20)

65. Esses resultados nos levam a concluir
que desde a mais tenra idade somos capazes de discriminar
quantidades pequenas
através de uma discriminação visual que nos habilita a
detectar até três elementos
mesmo sem realizar qualquer tipo de contagem. (p.20)

66. POR EXEMPLO:
o fato dos bebês perceberem que um conjunto
com dois objetos é diferente de um
conjunto com três objetos não significa que
eles saibam o que as quantidades dois
e três significam, nem que uma quantidade é
maior que a outra e nem tampouco o
quanto uma quantidade é maior que a outra.
(p.20)

67. Assim, se por um lado possuímos um aparato
biológico que nos habilita a prestar
atenção à numerosidade, por outro lado, é
inquestionável o papel desempenhado
pelas experiências sociais na construção do
conhecimento matemático, uma
vez que os números estão em toda parte, nos
rodeando e fazendo parte de nossas
vidas desde cedo e nos mais variados contextos,
como tratado adiante, nos levando
à conclusão de que a matemática é para qualquer
um.

68. [...]o sentido
numérico é tanto de natureza inata como adquirida.
Seu caráter inato ilustra que
nascemos para a matemática e seu caráter adquirido
ilustra o papel desempenhado
pelas experiências sociais (formais e informais) com
os números. (p.20)

69. Da mesma forma que precisamos ser letrados e
assim nos engajarmos em práticas
sociais que envolvem a escrita, também é
necessário ser numeralizado (Nunes,
& Bryant, 1997) para que possamos lidar e
responder às demandas do cotidiano
que envolvem a matemática. Mas, o que é ser
numeralizado? De onde vem este
conhecimento? Qual o papel da escola em tornar o
indivíduo numeralizado? (p.21)

70. Ser numeralizado significa ter familiaridade com
o mundo dos números, empregar
diferentes instrumentos e formas de
representação, compreender as regras
que regem os conceitos matemáticos
imbricados nessas situações. (p.21)

71. O sentido de número, ou sentido numérico, pode ser
entendido como uma
habilidade que permite que o indivíduo lide de forma
bem sucedida e flexível com
os vários recursos e situações do cotidiano que
envolvem a matemática. (p.21-22)

72. PRINCIPAIS INDICADORES DE SENTIDO
NUMÉRICO
- Realizar cálculo mental flexível.
- Realizar estimativas e usar pontos de referência.
- Fazer julgamentos quantitativos e inferências.
- Estabelecer relações matemáticas.
- Usar e reconhecer que um instrumento ou um suporte de
representação pode
ser mais útil ou apropriado que outro. (p.22)

73. Incentivar os alunos a falar, a escrever e a
contextualizar sobre o número no
seu cotidiano é uma de nossas tarefas, como
alfabetizadores. Isso exige clareza e
objetividade para iniciar nosso trabalho
pedagógico com atividades que permitam
identificar aquilo que a criança já sabe. (p.33)

74. [...]quando a criança diz, por exemplo, o número
da camiseta do seu jogador de
futebol preferido, a sua idade, o seu peso, o
número do seu calçado, o preço de um
produto da mercearia ou do supermercado, do
valor da passagem do ônibus e até
mesmo quando enuncia sequências numéricas
diversas, ela já estabelece contato
com números, mesmo que seja de modo
informal. (p.34)

75. Embora a criança já tenha essa vivência que lhe
permite uma maior aproximação
com o número, é na escola que ela começa a
apropriar-se do conceito de número
de modo formal e sistemático. (p.34)

76. [...]o sentido de número é
uma forma de pensar matematicamente e não
um conceito ou assunto do currículo
a ser ensinado. (p.53)

77. [...]a aquisição de um sentido não se restringe
apenas
ao contexto escolar, pois se desenvolve a partir
de situações matemáticas fora do
contexto escolar. No entanto, a escola pode e
deve tornar-se um ambiente capaz de
contribuir de forma expressiva com o
desenvolvimento de um sentido numérico.(p.53)

78. [...]entende-se como “numerado” quem, além da
aquisição da linguagem
matemática, engaja-se com autonomia em
situações que envolvam o domínio de
dados quantitativos, quantificáveis e, sobretudo,
compreende as diversas funções e
usos dos códigos numéricos em diferentes
contextos. (p.58)

79. [...] a estimativa é um recurso para lidar
com quantidades maiores e permitir uma
resposta aproximada. Baseando-se na
comparação entre duas coleções em que a
quantidade de elementos de uma delas
é conhecida pode-se levantar uma hipótese (ou
estimar) a quantidade de elementos
da outra coleção. (p.65)

80. A estimativa além de possibilitar um tipo de
aprendizagem que favorece uma
relação pessoal com um novo conhecimento
matemático, permite que a criança
faça descobertas e vivencie situações coletivas
em que deve considerar a solução do
outro. (p.66)

81. As práticas de contagem devem estar presentes
nas aulas de matemática, preferencialmente
do primeiro ao quinto ano, cabendo ao
professor fazer as adequações
em relação à grandeza numérica envolvida e as
atividades propostas. Tal adequação
deve considerar os saberes já construídos pelos
alunos de modo a garantir conhecimentos
básicos que auxiliem na compreensão do
conceito de número. (p.68)

82. ATIVIDADE PRÁTICA

83. Preencha as lacunas com números que vocês considerem combinar com o que o texto
comunica:
“Na ______semana de abril, numa ______ feira, cerca de ______ pessoas
participaram da reunião de Associação de Pais e Mestres da escola. Na reunião ______ itens
foram discutidos, enquanto os presentes consumiam ______ salgadinhos e _______ garrafas
de refrigerante. O ponto principal da reunião foi a organização das festas juninas de
_________.
Falaram ______ pais que fizeram propostas e decidiram que a festa será realizada
no dia ______ de junho. Depois de ______ dias do início das aulas, e a ______ dias do início
das férias de julho. Espera-se a participação na festa de cerca de _______ pessoas entre pais,
alunos, familiares e amigos. Foram previstas ______ barracas de diversão e ______ barracas
de comes e bebes. O ponto alto da festa vai ser a quadrilha com ______ alunos participantes,
bem mais do que os ______ do ano passado. Pretende-se que seja uma festa muito bem
organizada, pois coincidirá com o _____ aniversário da escola. O coordenador da reunião fez
uma arrecadação entre os presentes obtendo ______ reais para iniciar os preparativos. Serão
necessários ainda ______ reais para montar tudo, comprar os comes, enfeitar, etc. Cobrando
______ por convite, esperam arrecadar um total de _____ reais que descontados dos gastos,
devem dar um lucro de ______ reais que vão para a caixinha da formatura.”
Atividade retirada do livro didático Matemática hoje é feita assim,
editora FTD, 2000, de autoria de Antonio José Lopes Bigode.

84. ESCRITA DOCENTE:
Dos conceitos trabalhados hoje (sentido numérico e
seus indicadores, estratégias de contagem,
numeralização) qual você acharia necessário mudar a
abordagem na sua prática. Exemplifique.

85. TRABALHO PESSOAL
- Escolher, dentre as atividades apresentadas,
uma para realizar com a sua turma que trabalhe
com os conceitos aqui trabalhados (sentido
numérico, conceito de número) e apresentar
seguindo o roteiro do trabalho anterior.
-Leitura do Caderno 3. -

86. AVALIAÇÃO