Exercícios de trigonometria

1. Exercícios de Trigonometria
1. A semi-circunferência de centro O tem raio 2 cm e AÔF = 40º
Determine a área do triângulo [ABC] arredondado
B
ao cm2 (em cálculos intermédios usa 2 c.d.)
F
A D O E C
2. Prove que:
1
a) 1 + tg2x =
cos 2 x
cos 2 
b) 1 –  sen
1  sen
cos  1  sen 2
c)  
1  sen cos  cos 
d)
1  cos x 1  cos x   tg 2 x
cos 2 x
3. Sem recorrer à calculadora, indique o valor de:
3     3  
a) sen π + sen b) sen + cos    c) tg + tg d) sen . cos
2 4  4 4 4 3 6
 3  1
4. Sabendo-se que sen   x   e x   , 2  , calcule o valor exato de
 2  3
 
cos   x   2 cos   x 
2 
5. Resolva em |R, as equações:
  x
a) sen (2x) = 1 b) cos  t= 0 c) 4 + 8sen   =0
 3  2
cos a 1 1 1 1 3
d)  =0 e) tg x  f) 
2 2 3 3 1  tg x 4
2
1
g) sen  x  - 1 = 0 h) sen =0 i) cos x + cos2 x = 0
x
 t   3 
j) 5 – 10 cos
 =0 k) sen x + cos x = 0 l) cos (2x) = sen x 
 3  4 
m) 3 cos  = 2 sen2  n) cos 2   2 sen  2
6. Resolva a condição 2 sen x + 1 > 0 no intervalo:
a)  0, 2  b)   ,  
PROF.: LIMA

2. Exercícios de Trigonometria
1
7. Resolva a condição | sen x | < no intervalo:
2
a)  0, 2  b)   ,  
8. Em um intervalo, sabe-se que a tangente é negativa e o co-seno é crescente. Nesse intervalo:
(A) O seno e o co-seno são negativos
(B) O co-seno é negativo e o seno é crescente
(C) O seno é negativo e crescente
(D) O seno é positivo e o co-seno é negativo
1
9. Sabendo-se que sen α = - , qual das afirmações é necessariamente verdadeira?
3
8
a) cos α = -
3
1
b) sen     = -
3
1
c) sen     = -
3
  1
d) cos    = -
2  3
10. Prove que a equação x = sen x tem, pelo menos, uma solução em [-1, 1]
11. Prove que existe pelo menos um número real x tal que sen x = x – 2
12. Relativamente à função f(x) = cos2x, prove que: f(x + π) = f(x), x 
13. A partir do gráfico da função f(x) = sen x, determine o gráfico da função g(x) = -3 + f(x – )
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3. Exercícios de Trigonometria
Soluções:
1. 8 cm2
3
3. a) -1; b) 2; c) 0; d)
4
1 2 8
4.
3
   5
5. a) x =  k , k  ; b) t = -  k , k  ; c) x = -  4k  x  4k , k  ;
4 6 3 3
3 5 
d) a =  2 k  a  2 k , k  ; e) x =  k , k  ;
4 4 3
 5 1 5
f) x =  k  x  k , k  ; g)  2k  x  2k , k  ;
6 6 6 6
1 
h) x = , k  0 i) x =  k  x    2k , k  ;
k 2
3
j) t = 1 + 6k  t  1  6k , k  ; k) x =  k , k  ;
4
 2 k   
l) x =    x  2 k , k  ; m)     2k , k  ; n)    2k , k 
12 3 4 3 2
 7   11   5    
6. a) x  0,  , 2  ; b) x    ,    ,
 6   6
    6   6 
  
    5 7   11   5       5 
7. a) x  0,    ,
 6  6 6     6 , 2  ;

b) x    ,      ,    ,  
 6   6 6  6 
8. C
9. C
10.
Sen x – x = 0
Sen (-1) 0
Sen (1) 0
Como a função é continua e o produto das imagens de -1 e 1 é inferior a zero; podemos aplicar o
corolário do Teorema de Bolzano e provar que existe pelo menos uma solução no intervalo pretendido.
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4. Exercícios de Trigonometria
11.
Como se vê na imagem é possível que sen x seja
igual a x – 2.
4
Mas se fizermos sen x – x + 2 = 0 e provarmos
que existe uma imagem negativa e outra positiva;
2
podemos aplicar o corolário do Teorema de
h x = x-2
Bolzano e sabendo que se trata de uma função
-5 5
gx = sin x contínua por se tratar de operações entre funções
contínuas (trigonométrica e polinomial);
-2
Assim:
lim sen x  x  2   
-4 x  
lim sen x  x  2   
x  
Como o produto das imagens é negativo, prova-
se que é verdadeiro.
12.
F(x + Π) = cos2 (x + Π) = cos2 x, porque como x + Π é um ângulo do 3º quadrante e nesse quadrante o
cosseno é negativo, mas como a função está ao quadrado fica positiva.
13.
4
2
q x = s inx
-5 5
rx = s in x-
-2
s x = -3+sin x-
-4
-6
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