Slides da disciplina de Análise de Algoritmos, ministrada pelo Prof. Marcelo H. Carvalho no curso de Pós-Graduação em Ciência da Computação, FACOM - UFMS.

1. An´alise de Algoritmos
Indução finita
– p. 1/20

2. Indução finita
Princ´ıpio da induc¸ ˜ao matem´atica:
Seja A um conjunto de números naturais tal que as
seguintes propriedades são válidas:
0 ∈ A, e
para cada natural n, se {0, 1, 2, . . . , n} ⊆ A
então n + 1 ∈ A.
Então A = N.
– p. 2/20

3. Indução finita
Na prática, o princípio da indução é usado para
provar afirmações do tipo “para todo natural n, a
propriedade P(n) é verdadeira”, onde P é uma
propriedade que depende de algum parâmetro
inteiro. A prova é feita da seguinte forma.
– p. 3/20

4. Indução finita
Seja A = {n : P é verdadeira para n}.
1. Base da indução: mostramos inicialmente que
0 ∈ A, ou seja, P é verdadeira para n = 0.
2. Hipótese de indução: assumimos que
{0, 1, 2, . . . , n} ⊆ A, ou seja, que P é verdadeira
para cada natural 0, 1, 2, . . . , n.
3. Passo da indução: mostramos que n + 1 ∈ A,
ou seja, que P é verdadeira para n + 1.
– p. 4/20

5. Indução finita
Pelo princípio da indução, A = N. Logo, P é
verdadeira para todo n.
– p. 5/20

6. Indução finita - em outras palavras
O princípio da indução finita pode também ser
descrito da seguinte forma:
“Se uma afirmação P, que envolve um parâmetro
inteiro n, é verdade para n = 0, e se para n ≥ 1, a
hipótese de que P é verdadeira para todo inteiro
≤ n implica que P é verdadeira para n + 1, então P
é verdadeira para todo natural n.
– p. 6/20

7. Indução finita - exemplos
Mostre que 1 + 2 + · · · + n = n(n+1)
2 , para todo n ≥ 1.
– p. 7/20

8. Indução finita - exemplos
Mostre que 1 + 2 + · · · + n = n(n+1)
2 , para todo n ≥ 1.
1. Base da indução: para n = 1 temos 1 = 1(1+1)
2 .
– p. 7/20

9. Indução finita - exemplos
Mostre que 1 + 2 + · · · + n = n(n+1)
2 , para todo n ≥ 1.
1. Base da indução: para n = 1 temos 1 = 1(1+1)
2 .
2. Hipótese de indução: assumimos que
1 + 2 + · · · + k = k(k+1)
2 , para todo k ≤ n.
– p. 7/20

10. Indução finita - exemplos
Mostre que 1 + 2 + · · · + n = n(n+1)
2 , para todo n ≥ 1.
3. Passo da indução:
– p. 8/20

11. Indução finita - exemplos
Mostre que 1 + 2 + · · · + n = n(n+1)
2 , para todo n ≥ 1.
3. Passo da indução:
1 + 2 + · · · + n + (n + 1) = (1 + 2 + · · · + n) + (n + 1)
=
n(n + 1)
2
+ (n + 1)
=
n(n + 1) + 2(n + 1)
2
=
(n + 1)(n + 2)
2
– p. 8/20

12. Indução finita - exemplos
Afirmação: o número de diagonais de um polígono
convexo P de n ≥ 3 lados é d = n(n−3)
2 .
– p. 9/20

13. Indução finita - exemplos
Afirmação: o número de diagonais de um polígono
convexo P de n ≥ 3 lados é d = n(n−3)
2 .
Prova: Por indução em n. A afirmação é
claramente verdadeira para n = 3.
– p. 9/20

14. Indução finita - exemplos
Afirmação: o número de diagonais de um polígono
convexo P de n ≥ 3 lados é d = n(n−3)
2 .
Prova: Por indução em n. A afirmação é
claramente verdadeira para n = 3.
Sejam v1, v2, . . . , vn os vértices de P, enumerados
em uma ordem cíclica.
– p. 9/20

15. Indução finita - exemplos
Afirmação: o número de diagonais de um polígono
convexo P de n ≥ 3 lados é d = n(n−3)
2 .
Prova: Por indução em n. A afirmação é
claramente verdadeira para n = 3.
Sejam v1, v2, . . . , vn os vértices de P, enumerados
em uma ordem cíclica. Considere o polígono P
de n − 1 lados formado pelos vértices
v1, v2, . . . , vn−1. Note que P é convexo.
– p. 9/20

16. Indução finita - exemplos
Seja d o número de diagonais de P .
– p. 10/20

17. Indução finita - exemplos
Seja d o número de diagonais de P .
Por hipótese de indução,
d =
(n − 1)(n − 4)
2
.
– p. 10/20

18. Indução finita - exemplos
Seja d o número de diagonais de P .
Por hipótese de indução,
d =
(n − 1)(n − 4)
2
.
Mas, d = d + (n − 2).
– p. 10/20

19. Indução finita - exemplos
Seja d o número de diagonais de P .
Por hipótese de indução,
d =
(n − 1)(n − 4)
2
.
Mas, d = d + (n − 2). Logo,
d =
(n − 1)(n − 4)
2
+ (n − 2) =
n(n − 3)
2
.
– p. 10/20

20. Indução finita - exemplos
Proposição: Seja G uma árvore com v ≥ 1 vértices
e a arestas então a = v − 1.
– p. 11/20

21. Indução finita - exemplos
Proposição: Seja G uma árvore com v ≥ 1 vértices
e a arestas então a = v − 1.
Prova: Por indução em a.
– p. 11/20

22. Indução finita - exemplos
Proposição: Seja G uma árvore com v ≥ 1 vértices
e a arestas então a = v − 1.
Prova: Por indução em a. Se a = 0 então v = 1,
pois v ≥ 1 e G é conexo. Logo, a = v − 1 neste
caso.
– p. 11/20

23. Indução finita - exemplos
Proposição: Seja G uma árvore com v ≥ 1 vértices
e a arestas então a = v − 1.
Prova: Por indução em a. Se a = 0 então v = 1,
pois v ≥ 1 e G é conexo. Logo, a = v − 1 neste
caso.
Suponha que a ≥ 1. Seja e uma aresta de G.
Como G é uma árvore, o grafo G − e é formado por
exatamente duas componentes, digamos G1 e G2.
Além disso, G1 e G2 são árvores.
– p. 11/20

24. Indução finita - exemplos
Sejam v1 e a1 o número de vértices e arestas de
G1. Defina v2 e a2 similarmente para G2.
– p. 12/20

25. Indução finita - exemplos
Sejam v1 e a1 o número de vértices e arestas de
G1. Defina v2 e a2 similarmente para G2.
Claramente, a1 < a e a2 < a. Por hipótese de
indução, a1 = v1 − 1 e a2 = v2 − 1.
– p. 12/20

26. Indução finita - exemplos
Sejam v1 e a1 o número de vértices e arestas de
G1. Defina v2 e a2 similarmente para G2.
Claramente, a1 < a e a2 < a. Por hipótese de
indução, a1 = v1 − 1 e a2 = v2 − 1.
Mas a = a1 + a2 + 1 e v = v1 + v2.
– p. 12/20

27. Indução finita - exemplos
Sejam v1 e a1 o número de vértices e arestas de
G1. Defina v2 e a2 similarmente para G2.
Claramente, a1 < a e a2 < a. Por hipótese de
indução, a1 = v1 − 1 e a2 = v2 − 1.
Mas a = a1 + a2 + 1 e v = v1 + v2. Logo,
a = (v1 − 1) + (v2 − 1) + 1 = v − 1.
– p. 12/20

28. Indução finita - cuidados
Ao utilizarmos a indução finita devemos estar
atentos aos seguintes detalhes:
– p. 13/20

29. Indução finita - cuidados
Ao utilizarmos a indução finita devemos estar
atentos aos seguintes detalhes:
Base da indução
– p. 13/20

30. Indução finita - cuidados
Ao utilizarmos a indução finita devemos estar
atentos aos seguintes detalhes:
Base da indução
Aplicação da hipótese de indução
– p. 13/20

31. Indução finita - exercícios
Provar as seguintes afirmações:
1. 1 + 3 + 5 + · · · + (2n − 1) = n2, ∀n ≥ 1.
2. 1 + 2 + 22 + · · · + 2n = 2n+1 − 1, ∀n ≥ 0.
3. a1 + a1.r + a1.r2 + · · · + a1.rn−1 =
a1.(rn
−1)
r−1 , ∀n ≥ 1.
4. 1
2 + 1
4 + 1
8 + · · · + 1
2n < 1, para n ≥ 1.
5. 12 + 22 + · · · + n2 =
n(n+1)(2n+1)
6 , ∀n ≥ 1.
6. Para qualquer inteiro n, o número 22n − 1 é divisível por
3.
7. A soma dos ângulos internos de um polígono convexo
com n lados é S = (n − 2)180o.
– p. 14/20

32. Indução finita - exercícios
8. O número de vértices V , arestas E e faces F de um
mapa planar conexo satisfazem a equação:
V − E + F = 2.
9. Um número (em sua representação decimal) é múltiplo
de 3 se e somente se a soma de seus dígitos é múltiplo
de 3.
10. Considere n ≥ 3 retas em posições gerais no plano (ou
seja, quaisquer duas retas se cruzam e quaisquer três
retas se cruzam em pontos distintos). Prove que pelo
menos uma região que elas formam é um triângulo.
– p. 15/20

33. Indução finita - exercícios
11. Considere n ≥ 3 retas em posições gerais no plano.
Prove que elas formam pelo menos n − 2 triângulos.
12. Considere o conjunto S = {1, 2, . . . , 2n} dos 2n
primeiros números naturais. Mostre que qualquer
subconjunto de S com n + 1 elementos contém dois
elementos um dos quais é múltiplo do outro.
13. É possível colorir as regiões formadas por qualquer
número de retas no plano com apenas duas cores de
tal forma que regiões vizinhas recebam cores distintas.
– p. 16/20

34. An´alise de Algoritmos
Princípio da casa do pombo
– p. 17/20

35. Princípio da casa do pombo
Princ´ıpio da casa do pombo:
Se A e B são conjuntos finitos com |A| > |B|,
então não existe função bijetora de A para B.
Em outras palavras, se tentarmos associar
elementos de A (os “pombos”) com elementos de
B (suas “casas”), mais cedo ou mais tarde teremos
que colocar mais de um pombo em alguma casa.
– p. 18/20

36. Princípio da casa do pombo - Exercícios
1. Quantas pessoas são necessárias para se ter certeza
que pelo menos duas delas fazem aniversário no
mesmo mês?
– p. 19/20

37. Princípio da casa do pombo - Exercícios
1. Quantas pessoas são necessárias para se ter certeza
que pelo menos duas delas fazem aniversário no
mesmo mês?
2. Quantas cartas precisam ser tiradas de um baralho
convencional de 52 cartas para garantir que duas delas
serão do mesmo naipe?
– p. 19/20

38. Princípio da casa do pombo - Exercícios
1. Quantas pessoas são necessárias para se ter certeza
que pelo menos duas delas fazem aniversário no
mesmo mês?
2. Quantas cartas precisam ser tiradas de um baralho
convencional de 52 cartas para garantir que duas delas
serão do mesmo naipe?
3. Mostre que em qualquer grupo de n ≥ 2 pessoas
existem 2 pessoas com o mesmo número de amigos no
grupo.
– p. 19/20

39. Princípio da casa do pombo - Exercícios
1. Quantas pessoas são necessárias para se ter certeza
que pelo menos duas delas fazem aniversário no
mesmo mês?
2. Quantas cartas precisam ser tiradas de um baralho
convencional de 52 cartas para garantir que duas delas
serão do mesmo naipe?
3. Mostre que em qualquer grupo de n ≥ 2 pessoas
existem 2 pessoas com o mesmo número de amigos no
grupo.
4. Seja P = {p1, p2, p3, p4, p5} um conjunto de pontos
distintos no plano, com coordenadas inteiras positivas.
Mostre que algum par tem um ponto médio que tem
coordenadas inteiras.
– p. 19/20

40. Princípio da casa do pombo - Exercícios
5. Suponha que façamos 50 disparos em um alvo
quadrado de 70cm de lado. Se todos os disparos
atingem o alvo, mostre que existem dois disparos cuja
distância é no máximo 15cm.
6. Mostre que existe uma potência de 3 que termina com
001.
7. Dado um conjunto A ⊂ {1, 2, . . . , 100} de 10 inteiros,
mostre que existem dois subconjuntos disjuntos não
vazios de A com a mesma soma de seus membros.
8. Há 25 garotos e 25 garotas sentados em torno de uma
mesa redonda de 50 lugares. Mostre que existe uma
pessoa cujos dois vizinhos são garotas.
– p. 20/20