Apresentação feita por alunos do 2º semestre de Sistemas de Informações da Faculdade de Juazeiro do Norte (FJN) na disciplina de Matemática Discreta II.

1. ARITMÉTICA MODULAR
Um novo contexto para operações
básicas

2. EQUIPE
 Wesley Siebra
 Maurício Neto
 Joéliton Araújo
 Ellison Alencar
 Paulo Dayvson

3. A OPERAÇÃO (A mod B)
 11 (mod 3) = 2
 - 37 (mod 5) = 3
5 (mod 7) = 5

4. CONGRUÊNCIA

5. EXEMPLO
Verificar se 14 e 22 são congruentes no módulo
6:

6. O QUE É ARITMÉTICA?
É o estudo das operações básicas:
 Adição;
 Subtração;
 Multiplicação ;
 Divisão.

7. CONTEXTO
Esta visão mais simplista da aritmética é
normalmente estudada no contexto dos
conjuntos Z (inteiros) e Q (naturais).

8. UM NOVO CONTEXTO
O novo contexto que iremos trabalhar é o
conjunto Zn .
Dado um número inteiro n>1, então:

9. UM NOVO CONTEXTO
Como todo número inteiro produz um
resto ao ser dividido por n, Zn tem
em si um representante para cada
número inteiro.

10. UMA NOVA VISÃO

11. ADIÇÃO MODULAR

12. EXEMPLOS
= (5 + 5) mod 10
= 10 mod 10 = 0

13. EXEMPLOS
Ainda com n = 10
= (9 + 9) mod 10
= 18 mod 10 = 8

14. SUBTRAÇÃO MODULAR
Exemplo: (Com n = 10)
= (8 - 5) mod 10
= 3 mod 10 = 3

15. PRIMOS ENTRE SI
Dois números inteiros quaisquer são
primos entre si quando:
mdc(a,b) = 1

16. INVERSO MODULAR

17. EXPLORANDO ALGUNS INVERSOS (mod n) ,
COM n = 9
0 1 2 3 4 5 6 7 8
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
2 0 2 4 6 8 1 3 5 7
3 0 3 6 0 3 6 0 3 6
4 0 4 8 3 7 2 6 1 5
5 0 5 1 6 2 7 3 8 4
6 0 6 3 0 6 3 0 6 3
7 0 7 5 3 1 8 6 4 2
8 0 8 7 6 5 4 3 2 1

18. NOTA-SE QUE...
 Os números invertíveis foram:
 1, 2, 4, 5, 7 e 8 (primos entre si com 9)
Os não-invertíveis foram:
 0, 3 e 6. (Não são primos entre si com 9)

19. DIVISÃO MODULAR
 Onde b-1 é o inverso modular de a.

20. EXEMPLO

21. APLICAÇÕES
 Cálculos envolvendo datas, períodos e
ciclos de tempo e outros;
 Identificação (CPF, CNPJ, ISBN,ISSN);
 Criptografia;
 Geração de números pseudo-
aleatórios;
 Endereçamento de memória;
 Código de barras; etc.

22. PROBLEMA PRÁTICO!

23. SOLUÇÃO...
Como 118 mod 8 = 6,
então a estará no fio G.

24. EXERCÍCIOS

25. FIM!