Fundamentos da Matemática

F UNDAMENTOS
DA
M ATEMÁTICA

1a Edição - 2008

SOMESB
S OCIEDADE M ANTENEDORA DE E DUCAÇÃO S UPERIOR DA B AHIA S/C LTDA .

G ERVÁSIO M ENESES DE O LIVEIRA
P RESIDENTE
S AMUEL S OARES
S UPERINTENDENTE A DMINISTRATIVO E F INANCEIRO
G ERMANO TABACOF
S UPERINTENDENTE DE E NSINO, P ESQUISA E E XTENSÃO
P EDRO DALTRO G USMÃO DA S ILVA
S UPERINTENDENTE DE D ESENVOLVIMENTO E P LANEJAMENTO ACADÊMICO

FTC-EAD
FACULDADE DE T ECNOLOGIA E C IÊNCIAS – E NSINO A D ISTÂNCIA

R EINALDO DE O LIVEIRA B ORBA
D IRETOR G ERAL
M ARCELO N ERY
D IRETOR ACADÊMICO
R OBERTO F REDERICO M ERHY
D IRETOR DE D ESENVOLVIMENTO E I NOVAÇÕES
M ÁRIO F RAGA
D IRETOR C OMERCIAL
J EAN C ARLO N ERONE
D IRETOR DE T ECNOLOGIA
A NDRÉ P ORTNOI
D IRETOR A DMINISTRATIVO E F INANCEIRO
R ONALDO C OSTA
G ERENTE DE D ESENVOLVIMENTO E I NOVAÇÕES
J ANE F REIRE
G ERENTE DE E NSINO
L UÍS C ARLOS N OGUEIRA A BBEHUSEN
G ERENTE DE S UPORTE T ECNOLÓGICO
O SMANE C HAVES
C OORD. DE T ELECOMUNICAÇÕES E H ARDWARE
J OÃO J ACOMEL
C OORD. DE P RODUÇÃO DE M ATERIAL D IDÁTICO

M ATERIAL D IDÁTICO
P RODUÇÃO ACADÊMICA P RODUÇÃO T ÉCNICA
J ANE F REIRE J OÃO J ACOMEL
G ERENTE DE E NSINO C OORDENAÇÃO
A NA PAULA A MORIM C ARLOS M AGNO B RITO A LMEIDA S ANTOS
S UPERVISÃO R EVISÃO DE T EXTO

F ERNANDA L ORDÊLO
A NA PAULA A NDRADE M ATOS M OREIRA
M ARIA VALESCA S ILVA PAULO H ENRIQUE R IBEIRO DO N ASCIMENTO
C OORDENADORES DE C URSO R EVISÃO DE C ONTEÚDO
M ARIA VALESCA S ILVA PAULO H ENRIQUE R IBEIRO DO N ASCIMENTO
C OORDENADOR DE C URSO R EVISÃO DE C ONTEÚDO
A DRIANO P EDREIRA C ATTAI
G ECIARA DA S ILVA C ARVALHO PAULO H ENRIQUE R IBEIRO DO N ASCIMENTO
AUTOR ( A ) E DIÇÃO EM LATEX 2ε
E QUIPE
A NDRÉ P IMENTA , A NTONIO F RANÇA F ILHO, A MANDA RODRIGUES , B RUNO B ENN DE LEMOS, C EFAS G OMES, C LÁUDER
F REDERICO F ILHO, F RANCISCO F RANÇA J ÚNIOR , H ERMÍNIO F ILHO, I SRAEL DANTAS, I VES A RAÚJO, J OHN C ASAIS, MARCIO
S ERAFIM , MARIUCHA S ILVEIRA P ONTE E RUBERVAL DA F ONSECA .

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Sumário

Bloco 1: Estudo das Funções e sua Aplicabilidade na Economia 6

Tema 1: O Estudo das Funções Econômicas 6
◦ ◦
1.1 O Estudo das Funções do 1 e 2 Graus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Funções do 1o Grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.1 Gráfico de uma Função Afim. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.2 Zeros ou Raízes de uma Função Afim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
o
1.3 Funções do 2 Grau (ou Quadráticas) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.1 Zeros da Função do 2o Grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.2 Gráfico de uma Função Quadrática. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4 Funções Custo, Receita e Lucro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4.1 Função Custo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4.2 Função Receita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5 Funções Oferta e Demanda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.6 Outras Funções Importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.6.1 Um Vínculo Orçamentário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.6.2 Funções de Depreciação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.6.3 Composição de Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.7 Funções Definidas por mais de uma Sentença . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.8 Funções de Duas Variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.8.1 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Tema 2: Estudos de Outras Funções Matemáticas e Suas Aplicações 32
2.1 Funções Exponenciais e suas Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2 Funções Exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2.1 Crescimento Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2.2 Decrescimento Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.3 Funções Logarítmicas e suas Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.3.1 Um Pouco de História . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.3.2 Propriedades Fundamentais dos Logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.4 Funções Logarítmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.4.1 Aplicações dos Logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.5 Funções Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.5.1 Características de Algumas Funções Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Bloco 2: O Estudo do Cálculo e suas Implicações Econômicas 44

Tema 3: Estudo do Cálculo Diferencial e suas aplicações 44
3.1 Noções Básicas de Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.1.1 Propriedades dos Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.2 Derivadas e suas Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.2.1 Regras de Derivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.3 Pontos de Máximos e Mínimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

Fundamentos da Matemática 3

3.4 Derivada da Função Composta (Regra da Cadeia) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.4.1 Notação de Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.4.2 Derivadas de Algumas Funções Elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.5 Taxas de Variação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.6 Taxa de Variação Percentual. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.7 Aproximação por Diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.8 Aproximação da Variação Percentual. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

Tema 4: Estudo do Cálculo Integral e Aplicações 55
4.1 Integral Indefinida e suas Propriedades Operatórias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.2 Regras de Integração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.2.1 Integração da Função Potência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
1
4.2.2 A Integral da Função f (x ) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
x
4.2.3 A Integral da Função f (x ) = e x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.2.4 A Integral do Produto de uma Constante por uma Função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.2.5 A Integral da Soma é a Soma das Integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.3 Integração por Substituição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.4 Integral por Partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.5 Área e Integral Definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.5.2 Área com Integral Definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.5.3 Área entre Duas Curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.6 Aplicações: O Excedente do Consumidor e do Produtor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.6.1 Lucro Líquido Excedente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.6.2 Excedente do Consumidor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.6.3 Excedente do Produtor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

Referências Bibliográficas 66

4 FTC EAD |

A PRESENTAÇÃO DA D ISCIPLINA

Prezados,

Sejam bem vindos! Neste impresso, dialogaremos sobre a disciplina Matemática. Ele foi conce-
bido e escrito com o objetivo de tratar, da melhor maneira possível, alguns aspectos da Matemática,
seus objetivos, utilidades e aplicabilidades necessárias aos estudantes dos cursos de Bacharelado
em Administração, Bacharelado em Ciências Contábeis, dentre outros. Certamente, sua organiza-
ção e abordagem possibilitam que o assunto seja interessante e facilitador da aprendizagem.

Com ênfase em aplicações e na solução de problemas do cotidiano, utilizaremos, principalmente,
os conteúdos do Cálculo Diferencial e Integral. No entanto, ressaltamos que alguns cuidados devem
ser tomados para se obter SUCESSO nessa disciplina:

1. Não transfira para o professor a responsabilidade de fazer com que você aprenda todos os
conteúdos programáticos. A Matemática se aprende lendo, refletindo e exercitando MUITO.

2. Refaça os exercícios resolvidos entendendo cada raciocínio utilizado no desenvolvimento para
encontrar a solução.

3. Resolva todos os exercícios complementares e propostos.

4. Aplique o conteúdo à sua vida diária e teste os conhecimentos em exercícios que o estimulam
a escrever a respeito da Matemática usando não apenas símbolos, mas também palavras.

5. Revise os conceitos básicos de vários assuntos vistos nas séries finais do ensino fundamental
e do ensino médio, como, por exemplo, o de números reais, equações e funções.

6. Utilize uma calculadora científica quando julgar necessário.

Portanto, longe de tornar este material uma coletânea de conteúdos organizados de uma maneira
que somente os técnicos possam interpretá-los, buscamos uma linguagem simples e objetiva que
possa lhe levar a compreensão dessa maravilhosa ferramenta que é a Matemática.

Estejam sempre atentos, pois acreditamos que devemos buscar entender todo o conteúdo e os
mecanismos que facilitam a compreensão de uma determinada teoria ou problema. Desta forma,
vocês aprenderão e sentirão cada vez mais prazer em estudar.

Prof. Profa . Geciara da Silva Carvalho e Prof. Jones Garcia da Mata.

BLOCO 01 Estudo das Funções e sua
Aplicabilidade na Economia

Apresentação

A formulação matemática de um problema proveniente de uma situação prática frequentemente origina
expressões que envolvem combinação de funções.

Considere os seguintes questionamentos:

• Como a alteração na demanda de certo produto afeta o preço do mesmo?

• Que efeitos têm os impostos sobre o preço e a quantidade para certo produto? Quem paga a conta? O
produtor ou o consumidor?

• Será possível, determinar a depreciação de um determinado bem?

• Como o Lucro de uma empresa está relacionado com seu nível de produção?

O uso do conceito e propriedades de algumas funções nos permite responder tais perguntas, pois elas
representam uma “fatia da matemática” que possibilita descrevê-las como ferramentas para o desenvolvimento
de modelos matemáticos de fenômenos do mundo real. Além disso, constitui-se o objeto fundamental do
Cálculo Diferencial e Integral e suas aplicações, objeto de estudo do Bloco 2. Nesta perspectiva, faremos uma
abordagem prática de tais conteúdos de modo que você possa compreender e apreender sobre os Modelos
econômicos e financeiros.

Neste bloco, trabalharemos, no tema I, o estudo das funções econômicas e, no tema 2, aplicações de
outras funções, tais como função exponencial e a logarítmica. Portanto, tais conceitos serão trabalhados de
forma contextualizada e, sempre que possível, faremos uma revisão dos conteúdos matemáticos envolvidos.

TEMA 01 O Estudo das Funções Econômicas

O Conceito de Função no Cotidiano

As funções surgem quando uma variável depende da outra, como, por exemplo, o custo C de se enviar uma
carta pelo correio depende do seu peso P . Embora não haja uma fórmula simples conectando o custo de envio
e o peso da carta, o correio a possui essa fórmula específica que permite calcular C quando é dado P . Assim:

1.1 Definição. Sejam x e y duas variáveis representativas de conjuntos de números. Diz-se que y é função
de x e escreve-se y = f (x ) se entre as duas variáveis existe uma correspondência unívoca, no sentido x → y .
A x chama-se variável independente e a y variável dependente.

Existem quatro maneiras de representar uma função:

• verbalmente: descrevendo-a com palavras

6 FTC EAD |

• numericamente: por meios de tabelas

• graficamente: visualização através de gráficos

• algebricamente: utilizando-se uma fórmula explícita

Segundo Duvall, o estudante só consegue efetivamente dominar o conceito de função quando este é capaz
de compreendê-lo ao menos em duas formas de representação e é capaz de passar de uma representação a
outra com desenvoltura.

Nos conteúdos a seguir, buscamos exemplos que contemplassem esta abordagem, primeiro porque o con-
teúdo matemático não deve ser comprometido e a precisão matemática garantida; segundo, fazer uso destes
conteúdos no cotidiano do aluno, é uma condição necessária para a aprendizagem dos mesmos e, por fim,
desenvolver significativamente uma metodologia que possibilite a compreensão conceitual, ou seja, a visual-
ização, experimentação numérica e gráfica e aplicada do objeto apreendido. No entanto, cabe ao estudante
considerar a abordagem a ser estuda como ponto de partida para outros estudos que lhe permita desenvolver
a capacidade de “tomar partes de descobertas”.

“Uma grande descoberta envolve a solução de um grande problema, mas há uma semente de
descoberta na solução de qualquer problema. Seu problema pode ser modesto; porém, se ele
desafiar sua curiosidade e fizer funcionar sua capacidade inventiva, e caso você o resolva sozinho,
então você poderá experimentar a tensão e o prazer do triunfo da descoberta".

George Polya

Portanto, trataremos especificamente no tema I de aplicações de funções econômicas de 1o e 2o graus,
a saber: Função Custo, Receita e Lucro, Função de Demanda e Oferta; Função Depreciação, dentre outras
aplicações. No entanto, de forma sucinta, destacaremos as propriedades de cada função a ser trabalhada,
tendo como foco a contextualização do conhecimento matemático a ser apreendido, favorecendo conexões
entre diversos conceitos matemáticos com a área dos negócios, da Economia e das Ciências Humanas.

1.1 O Estudo das Funções do 1◦ e 2◦ Graus

A qualquer conexão entre os elementos de dois conjuntos A e B damos o nome de "relação"de A em B .
Embora o estudo das relações entre conjuntos seja importante, vamos nos ater ao estudo de um tipo especial,
em que cada elemento de A tem como correspondente somente um elemento de B , o qual é denominado
função.

Uma evidência prática deste conceito pode ser compreendida através da situação a seguir.

Suponha que você necessite utilizar um táxi para deslocar-se até a sua unidade pedagógica. O preço a
pagar pela corrida de táxi depende da distância percorrida. A tarifa y a ser paga é composta de duas partes:
uma parte fixa denominada de bandeirada e uma variável, que depende do número x de quilômetros rodados.
Supondo que a bandeirada custe R $3, 00 e o quilômetro rodado R $0, 60. A tarifa de táxi é obtida através da
fórmula:
y = 0, 60 · x + 3.

Esta expressão matemática se constitui em um exemplo de função, particularmente, uma função do 1o grau.

Para seu melhor entendimento sobre funções, vamos relembrar alguns aspectos importantes.

1. Uma função f de A em B é uma relação em A × B que associa a cada variável x em A, um único y em B .


2. Uma das notações mais usadas para uma função f de A em B é:

f :A→B

3. O conjunto A é chamado de domínio da função.

4. O elemento y é chamado imagem de x por f e denota-se y = f (x ).

5. O conjunto B é o contradomínio da função.

1.2 Funções do 1o Grau

1.2 Definição. Uma função real do 1o grau ou afim, é qualquer função que pode ser escrita sob a forma
f (x ) = ax + b , com a um número real não nulo e b um real. Simbolicamente,

f : R → R; f (x ) = ax + b em que a, b ∈ Rea = 0 é função real afim.

Os exemplos a seguir facilitarão a compreensão dos conceitos que envolvem uma função de 1o grau.

Exemplo 1.1. Sejam os conjuntos A = {0, 1, 2} e B = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e a função f : A → B definida por
f (x ) = 2x + 1. Observe que
x f (x ) y ou f (x )
0 f (0) = 2 · 0 + 1 = 1 1
1 f (1) = 2 · 1 + 1 = 3 3
2 f (2) = 2 · 2 + 1 = 5 5

Numa função f : A → B ,

• Seu domínio é o conjunto A e é indicado por Dom(f ). No exemplo, note que Dom(f ) = {0, 1, 2}.

• A imagem de uma função f é um subconjunto de B que é indicado por ℑ(f ). No exemplo anterior,
ℑ(f ) = {1, 3, 5}.

• Seu contradomínio é o conjunto B . Nele, temos que ℑ(f ) ⊂ B .

No exemplo, verifica-se que:

• f (0) = 1, isto é, 1 é a imagem de 0 pela função f ;

• f (1) = 3, isto é, 3 é a imagem de 1 pela função f ;

• f (2) = 5, isto é, 5 é a imagem de 2 pela função f .

Exemplo 1.2. Seja f : R → R uma função definida por f (x ) = 3x − 5. Determine o valor real de x para que
se tenha f (x ) = 10, ou seja, sua imagem seja igual a 10, a partir desta função.

Solução: Veja como é fácil!

Observe que quando igualamos a imagem da função a 10, essa expressão se constitui numa equação de

1o grau. Para saber mais sobre isso consulte um livro qualquer das séries finais do ensino fundamental (8a
15
série). De fato, f (x ) = 3x − 5 e f (x ) = 10 ⇒ 3x − 5 = 10 ⇒ 3x = 15 ⇒ x = = 5.
3
Logo, para a imagem por f ser 10, o valor atribuído a x deve ser 5.

8 FTC EAD |

1.2.1 Gráfico de uma Função Afim

O gráfico de uma função de 1o grau (f (x ) = ax + b ) é uma reta.

A fim de compreender o esboço do gráfico desta função, recordaremos que:

Um fato bastante conhecido da geometria plana (axioma de Euclides) é que dois pontos são suficientes
para determinar uma reta. Portanto, para construir o gráfico de uma função afim f é suficiente termos as
coordenadas de dois de seus pontos. Estes pontos são pares ordenados da forma (x , f (x )).

Logo, para esboçarmos o gráfico de uma função afim f (x ) = 2x + 3, basta determinar as coordenadas de
dois pontos distintos e, em seguida, traçarmos a reta que passa por estes pontos. Para isso, escolheremos
dois valores quaisquer para x sem critério algum. Por exemplo, x = 1 e x = 2.

Em seguida, encontraremos a imagem para estes pontos. Sendo assim,

f (1) = 2 · 1 + 3 = 5
f (2) = 2 · 2 + 3 = 7

Desta forma, os pontos A(1, 5) e B (2, 7) pertencem ao gráfico da função f . Para esboçar o gráfico de f ,
devemos marcá-los no plano cartesiano e, em seguida, traçar a reta que passa por eles, conforme as figuras a
seguir.
y y
8 8
B B

6 6
A A

4 4

2 2

-2 2 x -2 2 x

Observe que no ponto em que a reta corta o eixo-x , a imagem é zero! Este ponto será importante para
traçarmos o gráfico desta função.

1.2.2 Zeros ou Raízes de uma Função Afim

Denomina-se zero ou raiz de uma função real f , a todo valor x ∈ Dom(f ) tal que f (x ) = 0.

Nota 1. • A abscissa do ponto de interseção do gráfico de uma função real f com o eixo-x é um zero
de f .

• O valor f (0) é a ordenada do ponto de interseção do gráfico da função f com o eixo-y .

b
Portanto, se f (x ) = ax + b , com a = 0, então f (x ) = 0 ⇒ ax + b = 0. Segue que, o zero de f é x = − .
a
Temos, ainda, que f (0) = a · (0) + b = b . Assim, o gráfico de uma função afim intercepta o eixo-y no ponto
(0, b ).


Nota 2. Na função f (x ) = ax + b , a é chamado de coeficiente angular, pois está relacionado com a
inclinação da reta, e b é chamado de coeficiente linear pois determina, no plano cartesiano, a ordenada
do ponto onde o gráfico da função afim corta o eixo-y .

A fim de esboçar, de maneira prática, o gráfico, marque, no plano cartesiano,

b
1. o ponto de interseção com o eixo-x (zero da função) − , 0 ;
a
2. o ponto de interseção com o eixo-y (coeficiente linear) (0, b ).

Exemplo 1.3. Construir o gráfico da função f (x ) = 2x + 3 utilizando os pontos de interseção do gráfico com
os eixos coordenados.

Solução: Calculemos, inicialmente, o zero da função
f. Graf(f )
3 3 4
f (x ) = 0 ⇒ 2x + 3 = 0 ⇒ x = Logo, A − , 0 é
−2.
2 B
o ponto em que o gráfico de f intercepta o eixo-x .
2
Agora, encontremos o valor f (0).
f (0) = 2 · 0 + 3 = 3. Logo, B (0, 3) é o ponto em que o
gráfico de f intercepta o eixo-y . -4 -2 A 2
Finalmente, marcando estes pontos, obtemos o gráfico
-2
de f conforme a figura ao lado.

Exemplo 1.4. Construir o gráfico da função afim f (x ) = −3x + 6.

Solução: Para encontrar o zero da função f , devemos resolver a equação f (x ) = 0. Segue que,

−3x + 6 = 0 ⇒ 3x = 6 ⇒ x = 2.

Desta forma, o gráfico da função f intercepta o eixo-x no ponto A(2, 0).
y
Determinemos, agora, o valor de f (x ) quando x = 0. Então,
B
6
f (0) = −3 · 0 + 6 = 6.

Portanto, o gráfico da função f intercepta o eixo-y no ponto 4
Graf(f )
B (0, 6).
2
Marcando estes dois pontos no plano cartesiano e traçando
uma reta que passa pelos pontos (0, 6) e (2, 0), obtemos o gráfico A
de f conforme a figura ao lado. 2 x

Note, respectivamente, que nas funções f (x ) = 2x + 6 e f (x ) = −3x + 9, temos:

1. a = 2 (a é positivo) e o gráfico da função é CRESCENTE;

2. a = −3 (a é negativo) e o gráfico da função é DECRESCENTE.

10 FTC EAD |

Em resumo, dada uma função afim f (x ) = ax + b , temos que:

Nota 3. 1. Se a > 0, então a função f é crescente e o seu gráfico é o de uma reta com inclinação
positiva e passa pelos pontos
b
− ,0 e (0, b ).
a

2. Se a < 0, então a função f é decrescente e o seu gráfico é o de uma reta com inclinação negativa
e passa pelos pontos
b
− ,0 e (0, b ).
a

Veja, portanto, que:

1. a função f (x ) = 2x + 6 é crescente (a = 2 > 0) e é um exemplo em que a reta possui inclinação positiva.

2. a função f (x ) = −3x + 9 é decrescente (a = −3 < 0) e é um exemplo em que a reta possui inclinação
negativa.

1.3 Funções do 2o Grau (ou Quadráticas)

1.3 Definição. Uma função real f , da forma f (x ) = ax 2 + bx + c , em que os coeficientes a, b e c são números
reais, com a = 0, é uma função quadrática ou do 2◦ grau.

São exemplos de quadráticas as funções:

• f (x ) = x 2 − 5x + 6

• f (x ) = x 2 − 4x

• f (x ) = x 2 − 9

1.3.1 Zeros da Função do 2o Grau

Ao igualarmos uma função f a 0, estamos interessados em descobrir, caso existam, os valores pertencentes
ao domínio de f os quais se associam ao valor 0. Estes valores são chamados de zeros ou raízes da função.

O processo algébrico a seguir, atribuído a Bhaskara, determina, caso existam, quem são os zeros de uma
função quadrática. Neste, devemos calcular, primeiramente, o valor do discriminante

∆ = b 2 − 4ac

e, caso ∆ ≥ 0, os zeros da função quadrática são calculados através das fórmulas:
√ √
−b + ∆ −b − ∆
x1 = e x2 =
2a 2a

É importante que você faça uma revisão sobre a teoria que envolve equações do 2o grau, ok? Isso facilitará
a compreensão de certos aspectos que envolvem este tipo de função.


1.3.2 Gráfico de uma Função Quadrática

O gráfico de uma função quadrática é uma parábola e, para construí-la, devem-se seguir os passos:

1. Verificar a sua concavidade:

• se a > 0, a concavidade da parábola é positiva ou voltada para cima;
• se a < 0, a concavidade da parábola é negativa ou voltada para baixo.

a<0

a>0

2. Determinar o ponto de interseção com o eixo-y , ou seja, (0, f (0)).
Para encontrar este ponto devemos calcular quem é a imagem para x = 0. Sendo assim, f (0) = a · 02 +
b · 0 + c = c . Logo, o ponto de interseção com o eixo-y tem coordenadas (0, c ).

3. Calcular o discriminante ∆ e, se

• ∆ > 0, a função quadrática então possui dois zeros reais e distintos e o seu gráfico interceptará o
eixo-x em dois pontos.
• ∆ = 0, a função quadrática então possui dois zeros reais e iguais e interceptará o eixo-x em apenas
um ponto.
• ∆ < 0, a função quadrática então não possui zeros e o seu gráfico, portanto, não interceptará ponto
algum sobre o eixo-x . Você é capaz de dizer o porquê desta afirmação?

4. Calcular as raízes da função.

5. Encontrar as coordenadas do vértice da parábola.
Elas são determinadas por
−b −∆
V ,
2a 4a

6. Marcar os pontos obtidos nos passos anteriores no plano cartesiano e atentar para a concavidade da
parábola.

Exemplo 1.5. Construir o gráfico da função f (x ) = x 2 − 5x + 6.

Solução: Seguiremos os passos descritos anteriormente.

1. Verificação da concavidade

Como a = 1, temos que a concavidade da parábola é voltada para cima.

2. Determinar o ponto (0, c ) de interseção com o eixo das ordenadas.

f (0) = 02 − 5 · 0 + 6 = 6. Logo, (0, 6) é este ponto.

12 FTC EAD |

3. Calcular o discriminante ∆ e, caso existam, os zeros da função.

Para isso, basta resolver a equação f (x ) = 0, ou seja,

x 2 − 5x + 6 = 0

Como a = 1, b = −5 e c = 6, temos que

∆ = (−5)2 − 4 · 1 · 6 = 25 − 24 = 1

Isto significa que a função quadrática f possui dois zeros reais e distintos.

Para determiná-los, utilizemos a fórmula de Bhaskara.
√ √ √ √
−b + ∆ −(−5) + 1 5+1 −b − ∆ −(−5) − 1 5−1
x1 = = = = 3 e x2 = = = = 2.
2a 2·1 2 2a 2·1 2

−b −∆
Como V , , temos
2a 4a

−b −(−5) 5 −∆ −1 1
xV = = = e yV = = =−
2a 2·1 2 4a 4·1 4

5 1
Portanto, V ,− .
2 4

O gráfico da função é, portanto:

6

f
3

1 2 V 3 4

Exemplo 1.6. Construir o gráfico da função f (x ) = −x 2 + 5x − 6.

Solução: Vamos acompanhar os passos descritos para a construção do gráfico de uma função
quadrática.

1. Verificação da concavidade

Como a = −1, temos que a concavidade da parábola é voltada para baixo.

2. Determinar o ponto (0, c ) de interseção com o eixo das ordenadas.

f (0) = −02 + 5 · 0 − 6 = −6. Logo, (0, −6) é este ponto.

3. Calcular o discriminante ∆ e, caso existam, os zeros da função.


Para isso, basta resolver a equação f (x ) = 0, ou seja,

−x 2 + 5x − 6 = 0

Como a = −1, b = 5 e c = −6, temos que

∆ = 52 − 4 · (−1) · (−6) = 25 − 24 = 1

Isto significa que a função quadrática f possui dois zeros reais e distintos.

Para determiná-los, utilizemos a fórmula de Bhaskara.
√ √ √ √
−b + ∆ −5 + 1 −5 + 1 −b − ∆ −5 − 1 −5 − 1
x1 = = = = 2 e x2 = = = = 3.
2a 2 · (−1) −2 2a 2 · (−1) −2

−b −∆
Como V , , temos
2a 4a
−b −5 5 −∆ −1 1
xV = = = e yV = = =
2a 2 · (−1) 2 4a 4 · (−1) 4

5 1
Portanto, V , .
2 4

O gráfico da função é, portanto:
V

-1 -1 1 2 3 4
-2 f
-3
-4
-5
-6
-7

Veremos, no exemplo a seguir, que se ∆ = 0, então a função quadrática tem dois zeros reais e iguais, isto
é, a função corta o eixo-x em apenas um ponto.

Exemplo 1.7. Construir o gráfico da função f (x ) = x 2 − 2x + 1.

1. Verificação da concavidade.
Como a = 1, a concavidade da parábola é voltada para cima.

2. Determinar o ponto de interseção do gráfico da parábola com o eixo-y .

f (0) = 1 · 02 − 2 · 0 + 1 = 1.

Logo, o ponto procurado é (0, 1).

3. Calcular os zeros da função.
Para isso, resolvemos a equação quadrática x 2 − 2x + 1 = 0:
Como a = 1, b = −2 e c = 1, temos que

∆ = b 2 − 4ac = (−2)2 − 4 · 1 · 1 = 4 − 4 = 0.

14 FTC EAD |

Observe, aqui, a função quadrática tem dois zeros reais e iguais.
Os zeros da função:
√ √ √ √
−b + ∆ −(−2) + 0 2 −b − ∆ −(−2) − 0 2
x1 = = = = 1 e x2 = = = =1
2a 2·1 2 2a 2·1 2

4. As coordenadas do vértice da parábola:

−b −(−2) 2 −∆ −0
xV = = = = 1 e yV = = =0
2a 2·1 2 4a 4·1
Portanto, V (1, 0).

O esboço do gráfico da função é:

4

3

2

1
V
-1 1 2 3

Exemplo 1.8. Construir o gráfico da função f (x ) = −x 2 + 2x − 1.

Solução: Temos que ∆ = b 2 − 4ac = 22 − 4 · (−1) · (−1) = 4 − 4 = 0, ou seja, a função quadrática tem
dois zeros reais e iguais. Analogamente à função anterior, obtemos que os zeros da função são x1 = x2 = 1

e o vértice V (1, 0).

O esboço do gráfico da função f é:

1
V
-1 1 2 3
-1

-2

-3

-4

Exemplo 1.9. Construir o gráfico da função f (x ) = 2x 2 + x + 3.

Solução:

1. Verificação da concavidade.

Como a = 2, a concavidade da parábola é voltada para cima.

2. Determinar o ponto de interseção do gráfico da parábola com o eixo-y .

f (0) = 2 · 02 + 1 · 0 + 3 = 3.


Logo, o ponto procurado é (0, 3).

3. Calcular os zeros da função.

Para isso, resolvemos a equação quadrática 2x 2 + x + 3 = 0:

Como a = 2, b = 1 e c = 3, temos que

∆ = b 2 − 4ac = 12 − 4 cdot 2 · 3 = 1 − 24 = −23.

Observe, aqui, que a função quadrática não possui zeros reais.

4. As coordenadas do vértice da parábola:

−b −1 −1 −∆ −(−23) 23
xV = = = e yV = = =
2a 2·2 4 4a 4·2 8

−1 23
Portanto, V , .
4 8


23
V 8

1
−4

Observe que o gráfico da função não corta o eixo-x .

Exemplo 1.10. Construir o gráfico da função f (x ) = −2x 2 − x − 3.

Solução: Analogamente ao exemplo anterior, temos que ∆ = −23 e, portanto, a função não possui zeros
reais. Como f (0) = −3, o ponto (0, −3) e o de interseção como o eixo das ordenadas. Como a = −2, temos
−1 −23
que a parábola tem concavidade voltada para baixo. As coordenadas do vértice são V , .
4 8
1
−4

− 23
8

V

Observe que o gráfico da função não intercepta o eixo-x .

16 FTC EAD |

1.4 Funções Custo, Receita e Lucro

1.4.1 Função Custo

1.4 Definição. Uma função C que associa a produção de uma quantidade q de algum bem ao custo total é
chamada de função custo.

Para refletir

Que tipo de função você espera que seja C (q )?

Nota 4. Quanto maior for a quantidade de bens produzidos, maior será o custo. Sendo assim, C (q ) é
uma função definida para valores não negativos de q , não somente para inteiros.

Suponha que você seja dono de uma grande companhia que fabrica cadernos escolares. A fábrica e o
maquinário necessários para começar a produção são custos fixos, pois tais custos existem ainda que nenhum
caderno seja produzido. Os custos de trabalho e matéria prima são variáveis, pois tais quantias dependem da
quantidade de cadernos feitos.

Imagine que em um determinado momento, os custos fixos de sua fábrica sejam de R $36.000, 00 e os custos
variáveis de R $3, 00 por caderno. Então

Custo total para a companhia = Custo fixo + Custo variável
= 36.000 + 3, 0 · q ,

em que q representa o número de cadernos produzidos. Assim,

C (q ) = 36.000 + 3, 0 · q .

Esta é uma função afim e seu gráfico é o de uma reta com inclinação 3, 0 e intercepto vertical 36.000.

C (q )
milhares

36.000

q (quantidade)

Em resumo, os custos de produção podem ser divididos em duas partes:

1. Custos fixos CF , que existem ainda que nada seja produzido. São representados pelo intercepto vertical.

2. Custos variáveis CV (q ), que varia dependendo de quantas unidades são produzidas.

3. Custos totais CT (q ) que é a soma dos custos fixos e dos variáveis, isto é, Ct (q ) = CF + CV (q ).


1.4.2 Função Receita

1.5 Definição. Uma função R que associa a venda de uma quantidade q de algum bem ao valor total monetário
recebido por uma firma é chamada de função receita.

Suponha que a fábrica de cadernos venda cada um por R $12, 00, a receita por 100 cadernos é 12 · 100 =
1.200.

Representando o preço por p e a quantidade vendida por q , temos

Receita = Preço · Quantidade
.
R (q ) = p·q

Portanto, R (q ) = 12q .

Nota 5. Utilizaremos as letras q ou x para indicar a quantidade de um determinado produto.

Se o preço não depender da quantidade vendida, o gráfico da receita em função da quantidade de um
determinado produto é uma reta que passa pela origem.

R

q

Considerando a função receita anterior, que o custo de produção de cada caderno é de R $3, 00 e que o
custo fixo é de 36.000, para que valores de q a fábrica ganha dinheiro, ou seja, tem lucro?

A fábrica ganha dinheiro sempre que a receita é maior que os custos (R (q ) ≥ C (q )), de modo que queremos
achar os valores de q para os quais o gráfico de R (q ) está acima do gráfico de C (q ).

Observe que o gráfico R (q ) está acima do gráfico de C (q ), quando q ≥ QN .

Recei ta

C usto

qN q

Observando o gráfico acima, verifique que o gráfico de R (q ) está acima do gráfico de C (q ) para todos os

18 FTC EAD |

valores de q maiores que qN , onde os gráﬁcos de R (q ) e C (q ) se cruzam. Em outras palavras, as imagens da
função R (q ) são maiores que as imagens da função C (q ) quando os valores de q são maiores que qN .

No ponto N (qN , R (qN )) ou N (qN , C (qN )), chamado ponto de nivelamento, a receita é igual ao custo. Assim,
para obtermos qN (quantidade de nivelamento), ou seja, a quantidade de produto em que a receita é igual ao
custo, basta:

R (q ) = C (q ) ⇒ 12q = 36.000 + 3q ⇒ 9q = 36.000 ⇒ q = 4.000

Portanto, qN = 4.000 cadernos.

Assim, a fábrica terá lucro se produzir e vender mais que 4.000 cadernos. Perderá dinheiro se produzir e
vender menos que 4.000 cadernos.

R$
Receita

Custo
48.000

36.000

4.000 q

Contextualizando o Saber

Problema 1. O dono de um restaurante vende, em média, 300 refeições por dia a R $5, 00 a refeição, que tem
um preço de custo de R $3, 00. Ele observou que, a cada R $0, 20 que ele oferece de desconto no preço da
refeição, sua venda aumenta em 40 refeições. A que preço ele deve oferecer a refeição para que seu lucro seja
máximo?

Solução: Podemos extrair deste problema que

p = 5 → x = 300 ⇒ (5; 300)
p = 4, 8 → x = 340 ⇒ (4, 8; 340)

Considerando p (x ) = ax + b , temos que:

5 = 300a + b
4, 8 = 340a + b

Resolvendo este sistema linear, encontramos a = −0, 005 e b = 6, 5.

A função que representa o valor do preço em decorrência da quantidade de refeição vendida é:

p (x ) = −0, 005x + 6, 5.


Sabendo que R (x ) = p (x ) · x , temos que:

R (x ) = (−0, 005x + 6, 5) · x = −0, 005x 2 + 6, 5x .

Considerando que o custo total, nesse problema, está diretamente relacionado com o custo variável,

encontramos a função custo fazendo:
C (x ) = Cu · x = 3x .

Logo, a função lucro é obtida como segue abaixo:

L(x ) = R (x ) − C (x ) = −0, 005x 2 + 6, 5x − 3x = −0, 005x 2 + 3, 5x

Voltemos à pergunta: A que preço ele deve oferecer a refeição para que seu lucro seja máximo?

Perguntamos ainda: que “ferramenta matemática” podemos utilizar para, enfim, respondermos esta

questão?

O vértice da parábola é a ferramenta procurada, pois através dele determinarmos os pontos de máximo

ou de mínimo. Neste caso, como a < 0 na função lucro acima, temos que esta admite ponto de máximo.

Logo,
−b −3, 5
x= = = 350
2a 2 · (−0, 005)

Portanto, a quantidade que maximiza o lucro é x = 350 e, para obtermos o preço que maximiza o lucro,

basta substituir x por 350 na função preço:

p = −0, 005 · 350 + 6, 5 = 4, 75.

Exemplo 1.11. O custo fixo mensal de uma empresa é R $5.000, 00, o custo variável por unidade produzida é
R $30, 00 e o preço de venda é R $40, 00.

(a) Qual a quantidade que deve ser vendida por mês para dar um lucro líquido de R $2.000, 00 mensal,
sabendo-se que o imposto de renda é igual a 35% do lucro?

(b) Qual a quantidade produzida que apresenta nem lucro e nem prejuízo?

Solução:

(a) Temos que o custo total é encontrado por

C (x ) = CF + Cu · x ,

em que CF é o custo fixo e Cu é o custo unitário. Assim,

C (x ) = 5.000 + 30x .

A receita é encontrada por
R (x ) = p · x ,

20 FTC EAD |

Em que p é o preço de venda e x é a quantidade. Assim,

R (x ) = 40 · x .

O lucro total é dado por

LT (x ) = R (x ) − C (x ) = 40x − (5.000 + 30x ) = 10x − 5.000.

O lucro líquido é obtido por
LL (x ) = LT (x ) − I (x ).

Em que I (x ) = 0, 35 · LT (x ). Daí, segue que

LL (x ) = LT (x ) − 0, 35LT (x ) = 0, 65LT = 0, 65(10x − 5.000) = 6, 5x − 3.250.

Como LL (x ) = 2.000, temos 6, 5x − 3.250 = 2.000. Resolvendo esta equação, em x , temos:

5.250
6, 5x = 2.000 + 3.250 ⇒ x = ⇒ x ≈ 807, 7.
6, 5

(b) Neste caso, temos R (x ) = C (x ) ⇒ LL (x ) = 0 ⇒ 6, 5x − 3.250 = 0 ⇒ x = 500.

Exemplo 1.12. Sejam RT (q ) = −q 2 + 10q e CT (q ) = q + 8, com 0 ≤ q ≤ 10, as funções receita total e custo
total, respectivamente.

(a) Determine os pontos de nivelamento.

(b) Construa, no mesmo plano cartesiano, os gráﬁcos das funções RT e CT destacando os pontos de nivela-
mento.

(c) Determinando a função lucro e construindo seu gráﬁco, para quais valores de q temos: lucro máximo,
lucro, prejuízo e nenhum lucro?

(d) Qual a quantidade produzida, que produz a maior receita?

Solução:

(a) Para determinar o ponto de nivelamento devemos fazer RT (q ) = CT (q ), logo

−q 2 + 10q = q + 8 ⇒ q 2 − 9q + 8 = 0.

Resolvendo esta equação de 2o grau, obtemos qN1 = 1 e qN2 = 8.

(b) Vamos analisar, primeiramente, a função receita RT (q ) = −q 2 + 10q , que é quadrática.

Sendo a = −1, então a concavidade é voltada para baixo;

Seu discriminante é ∆ = (−10)2 − 4 · 1 · 0 = 100;


Suas raízes são assim determinadas:
√
−10 ± 100
q= ⇒ q = 0 ou q = 10.
2 · (−1)

−10 100
O vértice V tem coordenadas xV = − = 5 e yV = − = 25. Assim V (5, 25).
2 · (−1) 4 · (−1)
Como c = 0, a parábola corta o eixo vertical em P (0, 0).
R
V
25

5 10 q
Para a função custo CT (q ) = q + 8, vamos determinar dois pontos do seu gráfico por se tratar uma reta.

Para tanto, temos:

O zero é obtido fazendo CT (q ) = 0, ou seja, q + 8 = 0 implicando em q = −8. Logo, o ponto é

(−8, 0);

Como o coeficiente linear é 8, isto é, seu gráfico corta o eixo vertical em P (0, 8).

C
18

10 q
Como não existe quantidade negativa, iremos considerar a parte positiva do eixo das abscissas. Além

disso, temos 0 ≤ q ≤ 10.

Abaixo, o esboço gráfico das funções num mesmo plano cartesiano, em que, 0 ≤ q ≤ 10.

R$

25

18
16

9

1 5 8 10 q

22 FTC EAD |

Observe que CT (0) = 0 + 8 = 8 e CT (10) = 10 + 8 = 18.

(c) Sabemos que LT (q ) = RT (q ) − CT (q ) = −q 2 + 10q − (q + 8) = −q 2 + 9q − 8. Portanto, a função lucro

(Lt (q )) é quadrática e seu gráfico é uma parábola com concavidade voltada para baixo, pois a = −1.
R$

• O discriminante é ∆ = (9)2 − 4 · (−1) · (−8) = 49 e suas
raízes são q = 1 e q = 8.
9 25
• O seu vértice tem coordenadas V, .
2 2
• Como c = −8, a parábola corta o eixo vertical em
1 9 8 q
P (0, −8). 2
• O esboço do gráfico da função lucro total está ao lado.

Os zeros da função lucro são os pontos de nivelamento. De fato, LT (x ) = 0 implica RT (x ) = CT (x ).

Conforme a figura acima, podemos perceber que a função lucro é positiva, ou seja, teremos lucro,

no intervalo (1, 8); prejuízo (LT (x ) < 0): 0 < q < 1 ou 8 < q < 10. Não se tem lucro e nem prejuízo

quando q = 1 ou q = 8.
25
O lucro máximo é determinado pela ordenada do vértice da parábola, ou seja, Lmax = yV =
2
(d) A quantidade produzida que determina a maior receita é o xV da função receita, ou seja, q = 5.

Confirme este resultado no item (b).

1.5 Funções Oferta e Demanda

A quantidade q de um produto ou bem que é manufaturado e vendido depende de seu preço p . Usualmente,
se assume que quando o preço sobe, os produtos têm disposição para fornecer mais do produto e a demanda
(procura) do consumidor cai. Como os produtores e consumidores têm reações diferentes à variação do preço,
há duas funções ligando p e q . Estas funções podem ser representadas por qualquer curva. Criteriosamente
trabalharemos com funções do primeiro e do segundo grau.
A função oferta relaciona o preço e quantidade do ponto de vista do pro- p (q )
dutor, ou seja, quanto mais interessante (alto) o valor da mercadoria, maior
Oferta
será a sua disponibilidade por parte dos produtores no mercado. Enquanto
que a função demanda relaciona o preço e a quantidade do ponto de vista do
consumidor, ou seja, quanto mais interessante (baixo) o valor da mercadoria
maior será a sua procura pelos consumidores no mercado. Assim, as funções Demanda
de oferta e demanda são, respectivamente, crescentes e decrescentes, como
mostra a figura ao lado. q

Para pensar

A figura ao lado mostra as curvas de oferta e demanda para um dado produto.


(a) Qual é o preço de equilíbrio para esse produto? A
p (q )
este preço, que quantidade será produzida?
50
(b) Escolha um preço acima do preço de equilíbrio, Oferta
por exemplo, p = 12. A este preço, quantos 40
itens os fornecedores estarão dispostos a pro-
30
duzir? Quantos itens os consumidores quererão
comprar? Use suas respostas a estas pergun- 20
tas para explicar porque, se os preços estiverem
acima do preço de equilíbrio, o mercado tende 10
Demanda
a empurrar os preços para baixo (em direção ao
equilíbrio). 3000 6000 q

(c) Agora escolha um preço abaixo do preço de equilíbrio, por exemplo, p = 8. A este preço, quantos itens os
fornecedores estarão dispostos a fornecer? Quantos itens os consumidores quererão comprar? Use suas
respostas a estas perguntas para explicar porque, se os preços estiverem abaixo do preço de equilíbrio,
o mercado tende a empurrar os preços para cima (em direção ao equilíbrio).

Nota 6. No Ambiente Virtual de Aprendizagem existe uma espaço para discussão coletiva, chamado
Fórum da Disciplina. Acesse e poste a resolução desta questão.

Situação Problema

Suponha que as curvas de demanda e oferta para um produto são, respectivamente, p = 100 − 0, 5x e
p = 10 + 0, 5x .

(a) Qual o ponto de equilíbrio de mercado?

(b) Se o governo cobrar, junto ao produtor, um imposto de R $3, 00, que efeitos têm os impostos sobre o preço
e a quantidade para este produto? Quem paga a conta? O produtor ou o consumidor?

A oferta de um bem, num certo intervalo de tempo, é a quantidade do bem que os vendedores desejam
oferecer no mercado e a demanda de um bem, num certo intervalo de tempo, é a quantidade do bem que os
consumidores pretendem adquirir no mercado.

O preço do bem deﬁne a oferta ou escassez de um produto no mercado, pois se o preço na análise do pro-
dutor é baixo, o mesmo não disponibiliza-o no mercado, para que a procura do produto (ausência no mercado)
gere aumento no preço. Claro que, quanto mais alto o preço estiver, mas dispostos os produtores estarão a
colocar sua mercadoria para circular no mercado. No entanto, o consumidor não compra. Para equilibrar este
impasse, o governo estabelece um ponto de equilíbrio, a ﬁm de se garantir o produto no mercado a um preço
que o consumidor possa adquiri-lo.

Portanto, é preciso saber que o preço este diretamente ligado a escassez ou a oferta de um bem no mer-
cado.

Como encontraremos o ponto de equilíbrio?

A resposta é simples. Basta igualar a função oferta à função demanda.

Sendo assim, 100 − 0, 5x = 10 + 0, 5x ⇒ x = 90.

Fazendo a substituição de x por 90 em uma das equações (isso se deve ao fato, de para x = 90, ambas as
equações são equivalentes. Daí,
p = 10 + 0, 5 · 90 = 55

24 FTC EAD |

Logo, o ponto de equilíbrio, é (90, 55), ou seja, o preço de mercado para o produto é 55 reais e a quantidade
que o consumidor estará disposto a comprar é de 90 unidades do produto.

Se o governo cobrar, junto ao produtor, um imposto de R $3, 00, que efeitos têm os impostos sobre o preço
e a quantidade para este produto? Quem paga a conta? O produtor ou o consumidor?

Como o imposto é acrescido na função oferta, devemos acrescer 3, ou seja, p = 10 + 0, 5x + 3 = 13 + 0, 5x .
Em virtude da cobrança do imposto, precisamos estabelecer um novo ponto de equilíbrio, a saber: x = 87, que
é a solução da equação 100 − 0, 5x = 13 + 0, 5x .

Atenção: Para encontrar este novo ponto de equilíbrio igualamos a nova oferta à função demanda.

Para o novo ponto de equilíbrio, x = 87 representa a quantidade de equilíbrio e, o novo preço de equilíbrio
é:
p = 10 + 0, 5 · 87 = 56, 5.

Como podemos perceber, o imposto sobre o produtor resultou no aumento do preço do produto, o consum-
idor pagou R $1, 5 a mais. Sendo assim, o consumidor sempre paga a conta e, neste caso, assume parte do
imposto que deveria ser aplicado sobre o produtor que repassa, através do aumento do preço do produto, para
o consumidor. Pode?

1.6 Outras Funções Importantes

1.6.1 Um Vínculo Orçamentário

Um debate constante envolve a alocação entre defesa e programas sociais. Em geral, quanto mais é gasto
com a defesa, menos fica disponível para programas sociais e vice-versa. Simplifiquemos o exemplo para
armas e manteiga. Assumido que um orçamento constante é afim, mostraremos que a relação entre o número
de armas e a quantidade de manteiga é afim. Suponha que existem R $12.000, 00 para serem gastos e que
devem ser divididos entres armas, custando R $400, 00, e manteiga, custando R $2.000, 00 a tonelada. Suponha,
também, que o número de armas comprado é g e que o número de toneladas de manteiga é b . Então a quantia
gasta com armas é R $4.000, 00 a quantia gasta com manteiga é R $2.000 · b .

Supondo que todo o dinheiro é gasto,
quantia gasta com armas + quantia gasta com manteiga = 12.000,
ou
400g + 2.000b = 12.000.
Dividindo por 400, obtemos
g + 5b = 30

A equação é o vínculo orçamentário. Seu gráfico é uma reta, pois é afim. Observe:
b

6

30 g

Como o número de armas compradas determina a quantidade de manteiga comprada (porque todo o din-
heiro não gasto com armas vai para manteiga), b é função de g . Logo,
g = 30 − 5b ,


que é uma formula explícita para g em termos de b . Do mesmo modo,
30 − g
g + 5b = 30 ⇒ 5b = 30 − g ⇒ b = ou b = 6 − 0, 2g ,
5
que explicita b como função de g .

Como tais funções são aﬁns, o gráﬁco do vínculo orçamentário é uma reta, como já foi visto.

1.6.2 Funções de Depreciação

A função de depreciação D (t ) fornece o valor de um produto ou bem que deprecia, linearmente, em função
do tempo t , desde que o produto foi comprada.

Será representado por
D (t ) = vi + m · t ,

em que

vi é o valor do bem quando novo;

vf é o valor do bem após t anos.
vf − vi
m é a inclinação dada pela fórmula m = .
tf − ti
Exemplo 1.13. Suponha que a fábrica de cadernos tem uma máquina que custa R $18.000, 00. Os gerentes
da empresa planejam conservar a máquina por dez anos e, então, vendê-la por R $2.500, 00. Dizemos, neste
caso, que o valor da máquina se deprecia de R $18.000, 00 hoje a um valor de revenda de R $2.500, 00 reais em
dez anos.

Solução: O valor da máquina nova é R $18.000, 00 e t = 0, pois a máquina nunca foi usada. Neste caso,

vI = 18.000 e D (0) = 18.000 + ·0 = 18.000.

Quando t = 10 e vf = 2.500. Logo,

2.500 − 18.000 −15.500
m= = = −1.550.
10 − 0 10

A inclinação nos diz que o valor da máquina é decrescente a uma taxa de R $1.550 por ano.

R$
18.000

2.500
12

10 q

1.6.3 Composição de Funções

Observe a situação abaixo.

26 FTC EAD |

Uma loja de eletrodomésticos recebe, através de um banco, as prestações dos produtos vendidos em
crediário. No mês de outubro, a loja fará a seguinte promoção: o cliente que pagar a prestação na primeira
quinzena do mês terá um desconto sobre o valor x da prestação. O cliente pagará apenas o valor f (x ), dado
pela função: f (x ) = 0, 8x .

O banco que faz a intermediação desse dinheiro cobra da loja uma taxa de serviços. Para cada quantia de
t reais recebidos, o banco transfere para conta da loja a quantia g (t ) = 0, 95t .

Entenda bem o esquema:

Banco

f (x ) = t

f g
Cliente Loja

x g (t )

A prestação do mês de outubro de um cliente é de 150 reais. Se esse cliente pagá-la na primeira quinzena
do mês, quanto pagará?

A resposta para essa questão é dada pela função f (x ) = 0, 8x . O cliente vai pagar f (150) = 0, 8 · 150 = 120
reais

Que parcela desse dinheiro será transferida pelo banco para a conta da loja?

A resposta é dada pela função g (t ) = 0, 95 · t . Como o banco terá recebido t = 120 reais do cliente, a loja
receberá do banco:
g (120) = 0, 95 · 120 = 114reais

A prestação de um cliente para o mês de outubro é de x reais. Se esse cliente pagá-la na primeira quinzena
de outubro, terá o desconto oferecido pela loja. Qual a função que dá o valor recebido pela loja em função de
x , sabendo que esse cliente pagará a prestação na primeira quinzena?

Banco

0, 8 · x

f g
Cliente Loja

x 0, 9 · 0, 8 · x
h

A função h é que expressa o valor recebido pela loja em função de x , ou seja,

h(x ) = 0, 95 · 0, 8x = 0, 76x .

A função h é chamada de função composta de g com f .

Sejam A, B e C conjuntos e sejam as funções f : A → B e g : B → C . A função h : A → C tal que
h(x ) = g (f (x )) é chamada de função composta de g com f . Indicaremos essa composição por g ◦ f , lê-se g
composta com f .


Em diagramas, temos:

B

f (x )

f g
A C

x g (f (x ))
h =g ◦f

Para Fichar

Pesquisadores ambientalistas estimam que em certa cidade a concentração de monóxido de carbono no
ar será dada pela função C (n) = 0, 37n + 3, 9 partes por milhão (p .p .m) de monóxido de carbono, quando sua
população for de n mil habitantes. Um estudo demográfico indica que a população da cidade é dada pela
função n(t ) = 0, 67t 2 + 12, 9 mil habitantes, onde t é dado em anos.

(a) Determine a função que nos dá a concentração de monóxido de carbono no ar em função do tempo t .

(b) Daqui a quanto tempo teremos uma concentração de 13,87 p.p.m de monóxido de carbono no ar dessa
cidade?

(a) Temos que
C (n(t )) = 0, 37(0, 67t 2 + 12, 9) + 3, 9 = 0, 2479t 2 + 8, 6730p.p.m.

(b) Nesse caso,
√
C (n(t )) = 13, 87 ⇒ 0, 2479t 2+8, 6730 = 13, 87 ⇒ 0, 2479t 2 = 5, 197 ⇒ t 2 ⊥ 20, 96 ⇒ t ⊥ 20, 96 ⇒ t ∼ 4, 58 anos
=

ou seja, daqui a aproximadamente 4 anos e 7 meses.

1.7 Funções Definidas por mais de uma Sentença

Consideremos a seguinte situação:

Um elevador é construído mediante as seguintes especificações:

• Para carga de massa menor ou igual a 1.000kg , são usados cabos de aço de 20mm de diâmetro.
x
• Para carga de massa xkg , em que x > 100, são usados cabos de aço de mm de diâmetro.
50

A função seguinte mostra o diâmetro f (x ) de cada cabo, em função da massa x , f (x ) em mm e x em kg :
´
20 , se 0 ≤ x ≤ 1.000
f (x ) = x
, se x > 1.000
50

Esta função é um exemplo de função definida por sentenças, neste caso, duas sentenças, são elas:

28 FTC EAD |

1. f (x ) = 20, se 0 ≤ x ≤ 1.000;
x
2. , se x > 1.000.
50

Constrói-se o gráﬁco de uma função com várias sentenças a partir de cada sentença, respeitando as
condições de existência, num mesmo sistema de coordenadas.

O gráﬁco está exibido a seguir.

y

50

20

x
1000

1.8 Funções de Duas Variáveis

Uma loja vende dois produtos, o primeiro a $600, 00 a unidade e o segundo a $800, 00 a unidade. Considere
x e y as quantidades vendidas do primeiro e do segundo, respectivamente:

(a) Determine a função receita:

(b) Qual o valor da receita se forem vendidos 7 unidades do primeiro produto e 13 do segundo:

(c) Quais as quantidades do primeiro produto e quais as quantidades do segundo produto a loja precisa
vender para ter uma receita de $12.000, 00.

Solução: (a) A função receita é dada por R (x , y ) = 600x + 800 · y .

(b) R (7, 13) = 600 · 7 + 800 · 13 = 14.600, 00 unidades monetárias.
3
(c) R (x , y ) = 12.000 ⇒ 600x + 800y = 12.000 ⇒ 800y = −600x + 12.000 ⇒ y = − x + 20
4
y

20

80 x
3

1.8.1 Exercícios Propostos

EP 1.1. Uma fábrica de equipamento Eletrônico estima que o custo variável por unidade de produção de x
calculadoras por dia é dado por:


• Matéria-prima: R $8, 00 por unidade.

• Mão de obra: R $7, 00 por unidade.

Sabendo que cada calculadora é vendida por R $30, 00 e o custo fixo mensal é de R $3.000, 00, podemos
afirmar que a quantidade de calculadoras que deve ser vendida por mês para dar um lucro líquido de no
mínimo R $4.000, 00 por mês, sabendo-se que o imposto de renda é igual a 20% do lucro, é?

(a) 50 (b) 51 (c) 52 (d) 54

EP 1.2. Uma loja vende dois produtos, o primeiro a R $500, 00 a unidade e o segundo a R $600, 00 a unidade.
Considere x e y as quantidades vendidas do primeiro e do segundo respectivamente. Qual das alternativas
abaixo responde as seguintes perguntas:

(I) Qual o valor da receita se for vendidos 10 unidades do primeiro produto e 15 do segundo.

(II) Qual expressão representa a quantidade do primeiro produto e do segundo produto que a loja precisa
vender para ter uma receita de R $300.000, 00.

5x
(a) R $14.000; y = 500 −
6
5x
(b) R $15.000; y = 500 +
6
5x
(c) R $14.000; y = 500 +
6
5x
(d) R $15.000; y = 500 −
6

EP 1.3. Uma caixa aberta em cima tem um volume de 10m3 . O comprimento da base é o dobro da largura.
O material da base custa R $10, 00 por metro quadrado, ao passo que o material das laterais custa R $6, 00 por
metro quadrado. A expressão que representa o custo total em função da largura da caixa é:

180
(a) C (l ) = 20l 2 + ,l >0
l

(b) C (l ) = 20l 2 + 36l , l > 0

180
(c) C (l ) = 20l + ,l >0
l
180
(d) C (l ) = 20l 2 + ,l >0
l2

EP 1.4. Para produzir um determinado produto, uma firma gasta R $1, 20 por unidade. Além disso, há
uma despesa fixa de R $4.000, 00, independente da quantidade produzida. O preço de venda é de R $2, 00 por
unidade. Qual é o mínimo de unidades, a partir de qual a firma começa a ter lucro?

(a) R $1.800, 00 (b) R $2.500, 00 (c) R $3.600, 00 (d) R $5.000, 00

EP 1.5. Admita que o Sr. Cardoso seja um empresário que se dedica exclusivamente à produção de leite e
que

30 FTC EAD |

Preço da caixa de leite Quantidade de caixas de leite oferecidas
10 1
40 5
70 9
100 13
130 17
160 21

Admita, também, que a caixa de leite, comprada pelo Sr. Cardoso, possui a função demanda p = 102, 5 −
2, 5x . Marque a alternativa que determina o ponto de equilíbrio.

(a) (77, 5; 10) (b) (10; 77, 5) (c) (10; 25) (d) (25; 10)

Gabarito
1.1. (d) 1.2. (a) 1.3. (a) 1.4. (d) 1.5. (b)


Estudos de Outras Funções
TEMA 02
Matemáticas e Suas Aplicações

Apresentação

Neste tema, nosso objeto de estudo será a aplicação de funções exponenciais, logarítmicas, trigonométricas
na área de Ciências Sociais.

2.1 Funções Exponenciais e suas Aplicações

Você já parou para pensar como tem sido crescente o aumento da internet neste últimos anos?

Observamos que não se espera uma interrupção de crescimento entre,
aproximadamente, 15 a 20 anos, ou melhor, não se conhecem, neste mo-
mento, barreiras científicas ou tecnológicas que impossibilitem a continuação
do processo de evolução tecnológica exponencial da área de informática ou
de telecomunicações... Desta forma, não está descartada a possibilidade de
uma nova melhora da ordem de 1.000 vezes, nos próximos 15 a 20 anos, na
capacidade de processamento de computadores.

..., não estão descartadas velocidades de 25 T bps (25 trilhões de bits por segundo) num futuro não muito
distante. Estes ganhos, se concretizados, mais uma vez mudarão completamente o perfil global da área em
direções que são absolutamente imprevisíveis neste momento. Como será o mundo em que cada mesa terá
um computador que hoje valeria US $2.000.000, 00, comunicando-se com velocidades um milhão de vezes
maiores do que as atuais? Que “software” rodará em tal ambiente?
Texto retirado em
http://www.ime.usp.br/∼is/abc/abc/node17.html
com acesso efetuado em 23 de Maio de 2008.

Ao resolver problemas de juros compostos, usando logaritmos e funções exponenciais, você percebe que
tais conteúdos têm sentido em sua vida presente e futura. Vejamos:

“O juro composto é a maior invenção da humanidade, porque permite uma confiável e sistemática
acumulação de riqueza".

Albert Einstein

Suponha que seja investido um capital C , a uma taxa de juros i . O montante M será:

M = C + C · i ⇒ M = C (1 + i ).

Você sabia que se os pais guardam e investem R $10, 00 por dia desde o nascimento de seu filho, quando
este completar 18 anos, terá R $150.000, 00 acumulados a juros compostos, supondo que a taxa de retorno
anual seja de 12%. Em 33 anos, se mantido o mesmo plano com a mesma razão de investimento, ele já terá
R $1milho e , em65anos , R 2,35 milhões.

32 FTC EAD |

Exemplo 2.1. Foram investidos R $1.000, 00 a uma taxa de juros de 2% ao mês. Qual o montante após o
primeiro mês?

Solução: M = C · (1 + i ) = 1.000 · (1 + 0, 02) = 1.000 · 1, 02 = 1.020.

Exemplo 2.2. Qual o montante deste capital se o período do investimento for de dois meses, supondo o
regime de capitalização composto, isto é, os juros incidem tanto sobre o capital com sobre os juros acumulados?

Solução: Observe o seguinte comportamento:

1◦ mês M1 = C · (1 + i )
2◦ mês M2 = C · (1 + i )(1 + i ) = C · (1 + i )2
3◦ mês M3 = C · (1 + i )(1 + i )(1 + i ) = C · (1 + i )3
.
. .
.
. .
n◦ mês Mn = C · (1 + i )(1 + i ) · . . . · (1 + i ) = C · (1 + i )n
ßÞ
n

Sendo assim, se investirmos um capital C por um período n a uma taxa de juros i , teremos um montante

M = C · (1 + i )n ao ﬁm do período.

Portanto, para o segundo mês, teremos:

M = 1.000 · (1 + 0, 02)2 = 1.000 · (1, 02)2 = 1.000 · 1, 0404 = 1.040, 40,

ou seja, um montante de 1.040, 40 reais.

Podemos notar que o montante é uma função exponencial crescente que depende do período n, pois, neste
caso, C é uma constante, (i + 1) = a > 1 e n é a variável independente que está fazendo o papel da variável
x . É por esta razão que dizemos que o montante na capitalização composta cresce exponencialmente. Temos,
então, que o montante é uma função exponencial M (n) = C · (1 + i )n , em que (1 + i ) > 0 e C é uma constante.

Antes de continuarmos abordagem do conteúdo, faremos uma revisão das características principais das
funções exponenciais.

2.2 Funções Exponenciais

Uma função f : R → R, tal que f (x ) = ax , em que a ∈ R, com a > 0 e a = 1 é dita uma função exponencial.

Exemplo 2.3. Construir o gráﬁco da função f (x ) = 2x .


Solução: y

x y = f (x ) = 2x (x , y ) ∈ Graf(f ) 5
1 2 1 1
x = −2 f (−2) = 2−2 = = −2,
2 4 4 4
1 1 1 1
x = −1 f (−1) = 2−1 = = −1,
2 2 2 3 f (x ) = 2x
x =0 f (0) = 20 = 1 (0, 1)
x =1 f (1) = 21 = 2 (1, 2) 2
x =2 f (2) = 22 = 4 (2, 4)
1
Marcando estes pontos no plano cartesiano, podemos
esboçar o gráfico da função crescente f (x ) = 2x como x
-4 -3 -2 -1 1 2 3
na figura ao lado.

x
1
Exemplo 2.4. Construir o gráfico da função f (x ) = .
2

Solução: x y
1
f (x ) = 2
x
1
x y = f (x ) = (x , y ) ∈ Graf(f ) 5
2
−2
1
x = −2 f (−2) = = 22 = 4 (−2, 4) 4
2
−1
1
x = −1 f (−1) = =2 (−1, 2)
2 3
x =0 f (0) = 20 = 1 (0, 1)
x =1 f (1) = 21 = 2 (1, 2) 2

x =2 f (2) = 22 = 4 (2, 4)
1
Marcando estes pontos no plano cartesiano, podemos
esboçar o gráfico da função decrescente f (x ) = 2x -3 -2 -1 1 2 3 4x
como na figura ao lado.

De modo geral, dada uma função exponencial f (x ) = ax , temos:

• Se 0 < a < 1, então a função será decrescente;

• Se a > 1, então a função será crescente.

• Se x = 0, então f (0) = a0 = 1. Logo, (0, 1) ∈ Graf(f ), isto é, uma função exponencial, f (x ) = ax , passará
sempre pelo ponto (0, 1).

y

Veremos, oportunamente, a definição do número ir-
racional e , que será bastante utilizado nesta seção.
Obtido por Euler e, por isso, denotado pela letra e . Seu f (x ) = e x
valor é, aproximadamente, 2, 7182818284.
Como e > 1, temos que o gráfico da função f (x ) = e x é
1
crescente.
x

34 FTC EAD |

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