Análise de funções econômicas para maximizar lucros

Técnicas matemáticas para análise de funções da economia

Técnicas matemáticas para Análise de funções da economia
(Prof. Rogério Orlandeli)

A viabilidade econômica de qualquer empreendimento deve passar
anteriormente por uma análise de investimentos e pela determinação da
capacidade produtiva ideal na busca de maximizar os lucros, dentre outros
objetivos. A determinação de tais níveis de produção não depende somente
de viabilidade técnica, já que estamos inseridos num mercado de livre
concorrência e fatores externos, como:
• Sazonalidade dos produtos;
• Períodos de safras e entressafras;
• Qualidade e custos dos concorrentes;
• Ciclo de vida dos produtos.
Esses elementos externos indicam a necessidade de análise de ofertas e
demandas do mercado, juntamente com fatores internos de produção na
busca pelo melhor aproveitamento das condições vigorantes, visando a
sobrevivência da empresa no mercado. Este texto abordará a necessidade de
identificar a quantidade de produtos, a serem produzidos, com relação a sua
respectiva demanda em função do seu preço de venda, dentre outros fatores.

DETERMINAÇÃO DA CAPACIDADE DE PRODUÇÃO IDEAL (maior lucro)

Métodos de Gestão – Matemática Aplicada
Prof. Rogério Orlandeli- E-mail: rorlandeli@hotmail.com


A capacidade produtiva ideal pode ser determinada pela maximização do lucro, que
podem ocorrer em duas situações diferentes, as chamadas demanda inelástica e elástica,
onde na inelástica o preço é constante e não varia em função da oferta e procura, já o
preço na demanda elástica possui variações. Saber que tipo de demanda possui cada
produto é essencial para a maximização do lucro em função da produtividade.

Demanda inelástica: o maior lucro corresponde ao total aproveitamento da capacidade
instalada, ou seja, produzir em capacidade total. Existe, porém, algumas limitações pela
lei de rendimentos decrescente que prega que além de um determinado nível de produção
os custos de produção podem aumentar inviabilizando a alta produção.

CAPACIDADE IDEAL COM PREÇOS FIXOS (Demanda inelástica)

Caso os preços e custos praticados sejam fixos a formação das funções matemáticas da
economia se torna fáceis, pois independem de fatores externo e, são dadas por:

Função Custos C(X)
C(X) = Cf +Cv(X);
Onde: Cf - Custo fixo ou custo independente da produção;
Cv- custo variável ou custo unitário por produto;
Nota: Cv(X) dependa da quantidade produzida.

Exemplo: Uma empresa possui um custo fixo de R$12,00 por dia e um custo unitário por
produto de R$3,00, sendo que a capacidade produtiva máxima é de 100 unidades diárias.

(Obs:- lembre-se que o custo total é formado pela soma do custo fixo e do custo
variável.)
Produção X Custo

350 C(X) = 12 + 3X
300
C(X) = Cf +Cv(X) 250
200
Custo

150
100
50
0
0 50 100 150
Produção


C(X) = 12 + 3X

X C(X) = 12 + 3X
0 12
10 42
20 72
50 162
100 312

Ou seja, dada uma quantidade produzida pode-se obter seu custo relacionado.

Função receita R(X)
R(X) = P(X)*X;
Onde: P(X) – Preço de venda unitário
X - A respectiva quantidade vendida.
Supondo, no exemplo anterior, P(X)= $ 10,00 e, uma quantidade vendida X=100 tem-se:
R(X) = 10*X; Receita
1200
R(100) = 10*100 = 1000;
R(X)= 10*X

1000
800
Vendas R(X)= 10*X
Receita

600

0 0 400

10 100 200

0
50 500 0 20 40 60 80 100 120
Produção
100 1000

Ou seja, dada uma quantidade vendida pode-se obter a arrecadação correspondente.

Função Lucro L(X)
L(X) = R(X) - C(X).
L(X) = 10X – (12 + 3X)
L(X) = 10X – 12 - 3X
L(X) = 7X – 12



Supondo a função do exemplo anterior, para uma produção e venda de 100 unidades de
produtos, tem-se:

L(100) = R(100) - C(100)
800 Lucro
L(X) = 7X – 12
L(100) = 1000 – 312 = 688 700
600

Produção L(X) = 7X – 12 500

Lucro
400
0 -12 300
10 58 200

50 338 100
0
100 688 -100 0 50 100 150
Produção

Ou seja, dada uma quantidade produzida e vendida pode-se obter o lucro correspondente.
Análise gráfica das funções em conjunto.

X Cf = 12 C(X) = 12 + 3X R(X)= 10X L(X)= 7X – 12
0 12 12 0 -12
10 12 42 100 58
20 12 72 200 128
50 12 162 500 338
100 12 312 1000 688

Cf = 12
1200 Custo X Receita x Lucro C(X) = 12 + 3X
C(X) = 12 + 3X
R(X)= 10X
R(X)= 10X 1200
1000 L(X)= R(X) - C(X)
1000
800
800

600 600
$ valores

400
400
200

200 0
0 20 40 60 80 100 120
-200
0
Quantidade de produtos
0 20 40 60 80 100 120

A idéia de maior produção com maior lucro, no entanto, é limitada por diversas razoes
como comentado no exemplo abaixo.



Exemplo: observado na industria têxtil.
A implementação de um terceiro turno se torna inviável em função do custo, em virtude
de algumas causas:
• Leis trabalhistas (impedindo trabalhos de menores);
• Mão de obra noturna, além de mais cara, é menos produtiva com menor
qualidade;
• Funcionamento dos departamentos auxiliares é precário.

Exemplo: Análise de um conjunto de funções custo/receita/lucro na determinação da produção
ideal para maximizar o lucro de um produto com demanda inelástica.
Aqui temos uma empresa averiguando seus custos e lucros entre os turnos de produção, buscando
adicionar um Turno Extra. Onde se consegue uma produção de 60 unidades em dois turnos a um
custo variável de $ 0.70 por unidade e um custo fixo de $ 10,00 para qualquer quantidade
produzida; Um terceiro turno apresenta um custo unitário variável de $ 0.9 e uma produção de 27
unidades do produto, com um custo fixo de $14,00.
Se tivermos um preço de venda de $ 1,1 por unidade, é viável implementarmos o terceiro turno?
A resposta é encontrada na análise de custos e rendimentos da tabela abaixo, mais o gráfico
seguinte.
Prod(X) Cf= 10 Cv(X)=0.7*X C(X)= 10 + 0.7X R(X)= 1.1 * X L(X)=R - C Cm(X)= C(X)/X.
0 10 0 10 0 -10
10 10 7 17 11 -6 1,7
20 10 14 24 22 -2Turno 1 1,2
30 10 21 31 33 2 1,033333
40 10 28 38 44 6 0,95
50 10 35 45 55 10Turno 2 0,9
60 10 42 52 66 14 0,866667
9 14 50,1 64,1 75,9 11,8 7,122222
18 14 58,2 72,2 85,8 13,6Turno 3 4,011111
27 14 66,3 80,3 95,7 15,4 2,974074
nAnálise Conjunta dos custos e rendimentos do turno 3
Cv(X)=42+0.9*X C(X)= 14 + 0.9X R(X)= 66+1.1 * X



Análise Independente dos custos e rendimentos do turno 3
9 14 8,1 22,1 9,9 -12,2 2,455556
18 14 16,2 30,2 19,8 -10,4 1,677778
27 14 24,3 38,3 29,7 -8,6 1,418519

O gráfico mostra o comportamento de cada função econômica

Custos e rendimentos de produção Cf= 10
C(X)= 10 + 0.7X
R(X)= 1.1 * X
$120,00
L(X)=R - C
$100,00 Receita

$80,00
Custos totais

Custo
$60,00
$40,00
$20,00 Lucro
Cf
$0,00
1 2 3 4 5 6 7 8 9
-$20,00
Quantidades produzidas (em 10 unidades) entre os turnos.

Analisando o gráfico, tem-se:
Existe um decréscimo na lucratividade em função do aumento de custos variáveis e fixos,
provocado pela operação de terceiro turno na fábrica. Logo a implementação de um terceiro turno
não representaria vantagem monetária para a empresa, já que existiu um aumento de apenas 1,4
unidades monetárias no lucro..

Determinação das faixas de lucro e custo



Pode-se averiguar que as funções custo e receita cruzam-se em dois pontos representando
que nestas quantidades produtivas o lucro é nulo, nota-se também que nestes mesmos
quantidades produtivas a função lucro intercepta a função custo fixo. Com estas
informações podemos notar que a faixa de lucro positivo encontra-se entre a interseção
destas duas funções, local onde a receita é maior que os custos.

Funções da economia C(X)= 10 + 0.7X

R(x) R(X)= 1.1 * X

70 L(X)=R - C

60
50 C(x)
40
30
$

20
L(x)
10
0
-10 0 20 40 60 80
-20

Quantidade Produzida

OBS:1- Pela tabela e pelo gráfico pode-se averiguar que quando R(X) = C(X), tem-se X
entre 20 e 30, unidades produzida aproximadamente. Indicando que lucro só existe após a
fabricação de pelo menos 30 unidades do produto.
OBS:2- Para encontrar o número exato basta igualarmos as duas funções:
C(X)= 10 +0.7 * X e
R(X)= 1.1 * X e, isolarmos x.
(10 + 0.7 * X = 1.1 * X) ou (10 = 1.1 * X - 0.7 * X) ou (10 = 0.4 * X), logo X= 25
unidades. 70
C(X)= Cf + CV
R(X)= 0.7 * X
60

50

40

30

20

10

0
0 10 20 30 40 50 60 70

Na conclusão, identifica-se que:



• Qualquer produção e venda abaixo de 25 unidades do produto representará
prejuízo para a empresa.
• Nestas condições haverá lucro após 25 unidades produzidas.

CAPACIDADE IDEAL COM PREÇOS VARIÁVEIS (demanda elástica)

Por vezes, as empresas podem diminuir seus preços de venda para induzir um aumento na
demanda e, também a sua necessidade de produção. Isto quando existe capacidade ociosa
de produção, a questão é definir até quanto se pode reduzir o preço e aumentar a
produção mantendo um lucro aceitável.

A implementação da diminuição do preço de venda torna-se viável até certo ponto, em
virtude de algumas causas:
• Utilização da capacidade plena de produção, diminuindo o custo médio por
unidade produzida;
• Busca de maior parcela de mercado (Market share) frente aos concorrentes;
• Pode Aumentar o lucro máximo das empresas.

Exemplo 1:

Um analista quer identificar a sensibilidade do mercado em relação à variação ao preço
de venda de cerveja e constatou que as vendas semanais aumentaram de 100 para 150
garrafas quando o preço caiu 25%.
Se o preço de venda antigo era 4 reais, determine:
a- A equação da demanda de cerveja.
b- O preço a ser praticado para se vender 200 garrafas, segundo esta análise de mercado.
c- Quantas garrafas serão entregues a um preço zero?

Preço X vendas
Resolução: a- Montando a tabela representativa das vendas x preço;
4.5
4
3.5 Preço
3
Unidades Vendidas Preço (R$)
Preços

2.5
2
Métodos de Gestão – Matemática Aplicada 1.5
1
0.5
0
0 50 100 150 200
Vendas


“X” “P”
100 4
150 3

Calculando a taxa de variação TV ou b (mais conhecido como coeficiente angular)

∆y Variação Pr eço 3 −4 −1
b= = = = = −0.02
∆x VariaçãoVendas 150 −100 50

Encontrando a equação da reta: y(x)= ax + b
Y – Y0 = b(X – X0); Definindo (X0,Y0) = (Vendas, Preço) = (100, 4), tem-se:
Y – 4 = -0.02 (X – 100)
Y(X) = -0.02X + 6 -(Equação representativa da demanda em função do preço)

Preço X Demanda
x y(x)= -0.02X + 6 7
0 6 6
10 5.8 5
50 5 4
Preço

100 4 3
150 3 2
200 2 y(x)= -0.02X + 6
1
250 1
0
0 100 200 300
Demanda



De posse da equação da demanda pode-se a partir da quantidade que se queira vender,
determinar o preço a ser praticado, que por sua vez é limitado pelos custos de produção.
Tais custos entre outros fatores, ajuda a formação da opinião do produtor na quantidade
que ele irá ofertar no mercado na busca por maximizar seus lucros.

Função Oferta
A função oferta demonstra a relação da quantidade oferecida pelo fabricante de um
determinado produto em função do preço de mercado praticado.

Exemplo: A tabela abaixo representa a opinião do produtor na quantidade que ele irá
ofertar no mercado em função do preço. Oferta X Preço
Preço

120

100

X-Oferta P-Oferta 80
Preço

8 80 60

40
10 100 20

0
0 2 4 6
Oferta 8 10 12

Que neste caso gera a seguinte equação.

∆y Variação Pr eço 100 − 80 20
b= = = = = 10
∆x VariaçãoOferta 10 − 8 2

Y – Y0 = b(X – X0); Definindo (X0,Y0) = (Oferta, Preço) = (8, 80), tem-se:
Y – 80 = 10 (X – 8) ou Y(X) = 10X -80 + 80 =10X
Y(X) = 10X -(Equação representativa da oferta em função do preço)
Repetindo os procedimentos para tabela representativa da demanda deste produto, tem-
Demanda X Preço
se: 120
P-Demanda
100
X-Demanda P-Demanda 80
10 100
Preço

60
100 10
40

20

0
0 50 100 150
De manda




∆y Variação Pr eço 100 −10 90
b= = = = = −1
∆x VariaçãoVendas 10 −100 − 90

Y – Y0 = b(X – X0); Definindo (X0,Y0) = (Vendas, Preço) = (10, 100), tem-se:
Y – 100 = -1 (X – 10)
Y(X) = -1X + 110 -(Equação representativa da demanda em função do preço)
Os gráficos Abaixo representam as duas funções.
Oferta X Preço Demanda X Preço
P-Demanda
P-oferta

600 120

500 100
400 80
Preço

Preço

300 60
200 40

100 20
0 0
0 10 20 30 40 50 60 0 20 40 60 80 100 120
Oferta Dem anda

Y(x)=10XY(x)=-1X + 110X-ofertaP- Oferta X Demanda P-oferta
ofertaP- P-Demanda

Demanda00110101001002020090505 600

0060 500
400
$ Preços

300
200
100
0
0 10 20 30 40 50 60
Quant. de produto

O cruzamento da oferta com a demanda gera o ponto de equilíbrio E=(XE,YE), onde:
XE :- Quantidade ideal aceita pelo mercado a um Preço YE, para que não sobre nem falte
produto no mercado, chamado de equilíbrio de mercado entre consumidores e
fornecedores.
Exemplo: Análise de um conjunto de funções custo/receita/lucro na determinação da
produção ideal para maximizar o lucro de um produto com demanda elástica.



Aqui temos uma empresa averiguando seus custos e lucros entre os volumes de produção,
buscando aumentar sua produção abaixando o preço de venda. Atualmente tem-se uma
produção de 60 unidades para suprir a demanda, a um custo unitário de $ 0.70 por
unidade e um preço de venda de $ 1,1 por unidade. Sabe-se que a cada $ 0.10, de
diminuição no preço, corresponde a um aumento de 10 unidades de produtos
demandados. Conhecendo esta realidade compensa a empresa aumentar sua produção que
é limitada em 100 unidades?
A resposta é encontrada na análise de custos e rendimentos da tabela abaixo, mais os
gráficos seguintes.

Tabela da demanda Grafico da demanda Preço

Preç 1.2
Demanda o 1
60 1.1
70 1 0.8
Preço

80 0.9 0.6
90 0.8
0.4
100 0.7
0.2

0
0 50 100 150
Quan. Produzidas

Usando a Regressão linear pelo Excel pode-se encontra a equação da reta da demanda,
onde:
Preço (P(x)) = ponto onde a reta intercepta o eixo do preço (interseção) + (coeficiente de
inclinação da reta ou variação individual do preço (Coeficiente X)) x (Quantidade de
produtos analisada (X)).
Resumindo: P(x) = (interseção) + (Coeficiente X) * X, chegando-se a uma equação da
reta P(X) = a + bX;

Do exemplo a equação da demanda será: P(X) = 1.7 - 0.01X
Análise de custos e rendimentos a partir de diminuição do preço de venda

Do exemplo: diminuindo o preço, em $ 0.10, teremos uma nova planilha de custos.



QuantP.
(X) Cf Cv(X)=0.7*X C(X)= Cf + CV R(X)= 1.0 * X L(X)=R - C
10 10 7 17 10 -7
20 10 14 24 20 -4
30 10 21 31 30 -1
40 10 28 38 40 2
50 10 35 45 50 5
60 10 42 52 60 8
70 10 49 59 70 11

80
70
60
50
Cf= 10
40
C(X)= Cf + CV
30
R(X)= 1.0 * X
20
L(X)=R - C
10
0
-10 0 20 40 60 80

-20

QuantP.
10 10 7 17 9 -8
20 10 14 24 18 -6
30 10 21 31 27 -4
40 10 28 38 36 -2
50 10 35 45 45 0
60 10 42 52 54 2
70 10 49 59 63 4
80 10 56 66 72 6

QuantP.
10 10 7 17 8 -9
20 10 14 24 16 -8
30 10 21 31 24 -7
40 10 28 38 32 -6
50 10 35 45 40 -5
60 10 42 52 48 -4



70 10 49 59 56 -3
80 10 56 66 64 -2
90 10 63 73 72 -1
QuantP.
10 10 7 17 7 -10
20 10 14 24 14 -10
30 10 21 31 21 -10
40 10 28 38 28 -10
50 10 35 45 35 -10
60 10 42 52 42 -10
70 10 49 59 49 -10
80 10 56 66 56 -10
90 10 63 73 63 -10
100 10 70 80 70 -10
Analisando as planilhas de custos pode-se observar que qualquer aumento de produção
necessário para suprir uma demanda acrescida por diminuição de preços é inviável,
diminuindo seu lucro total.

Todo esta trabalho de cálculos em planilhas para buscar a quantidade ideal a ser
produzida para maximizar a receita e o lucro pode ser suavizado usando técnicas
matemáticas, basta obtermos as funções:
C(X) = Cf +Cv(X) (a equação que representa o custo total de produção)
P(X) = a + bX; (a equação que representa o preço da demanda)
R(X) = P(X)*X; (a equação que representa a receita em função do preço da demanda)
L(X) = R(X) - C(X); (a equação que representa o lucro total da produção)

A partir do exemplo podemos definir todas:
C(X) = 10 +0.7X (a equação que representa o custo total de produção)
P(X) = 1.7 + 0.01X; (a equação que representa o preço da demanda)
R(X) = P(X)*X = (1.7 + 0.01X) * X = 1.7X + 0.01X2;
L(X) = R(X) - C(X) = 1.7X + 0.01X2 – (10 +0.7X) = 0.01X2 + X – 10



Montando a tabela para análise de custos e rendimentos, utilizando as funções obtidas do
exemplo com preço de venda em $ 1,10, tem-se:
QuantP. Cf= Cv(X)= C(X)= R(X)= L(X)=
(X) 10 0.7 * X 10 + 0.7X 1.7X+ 0.01X2 0.01X2 + X - 10
10 10 7 17 16 -1
20 10 14 24 30 6
30 10 21 31 42 11
40 10 28 38 52 14
50 10 35 45 60 15
60 10 42 52 66 14
70 10 49 59 70 11
80 10 56 66 72 6
90 10 63 73 72 -1
100 10 70 80 70 -10
170 10 119 129 0 -129
Cf= 10
C(X)= 10+0.7*X Lucro X Receita X Custo
90
R(X)
L=R - C C(X)
80
70
R(X)
60
50
Rendimentos

40
30
20
Cf
10
0
-10 0 20 40 60 80 L(X) 100 120
-20
Quantidade

Ao analisar o gráfico em conjunto das funções podemos verificar que nos pontos (X=10 e
X=90) em que a curva de R(X) interceptar a curva de C(X) o lucro correspondente é zero,
ou seja, a curva de L(X) cruza o eixo x, significando que o lucro nestes níveis de
produção é nulo.



Ao analisar visualmente as curvas de R(X) e L(X), percebemos que elas atingem um
máximo valor em “X=80 e X=50” respectivamente, ou seja, nestes pontos as duas
funções obtém seus maiores resultados. Estes valores podem ser encontrados pela
analogia de suas equações, que são equações de segundo grau com concavidade voltada
para baixo. Como tais funções apresentam gráficos simétricos, pode-se encontras as
raízes da equação "X1 e X2" (Pontos que interceptam o eixo x) e encontram um ponto
médio "X m = (X1 + X2)/2" no qual a função alcançará seu máximo.

Encontrando “X1 e X2 e Xm” das funções do exemplo, onde:
R(X) = 1.7X - 0.01X2, sendo a = -0.01, b = 1.7 e c = 0
L(X) = -0.01X2 + X – 10 sendo a = -0.01, b = 1 e c = -10

Substituindo nas equações abaixo tem-se:
2 2
X1=
−b+ b − 4ac X2=
−b− b − 4ac
2a 2a
Para receita R(X), X1= 0 e X2= 170 (Pode-se verificar na planilha)
X1 + X 2 0 +170
Logo Xm = = = 85 é ponto de máximo de R(X), ou seja, para se
2 2
conseguir a receita máxima é necessário produzir 85 unidades de produto, mas nem
sempre receita máxima significa lucro máximo.

Para Lucro L(X), X1= 11.5 e X2= 100 (Pode-se verificar na planilha e pelo gráfico)
X 1 + X 2 11.5 +100
Logo Xm = = = 55.25 é ponto de máximo de L(X), ou seja, para
2 2
se conseguir a lucro máximo é necessário produzir 55.25 unidades de produto.

Tal estudo se justifica porque os níveis de produção para alcançar a receita máxima nem
sempre podem significar lucro máximo.



Para fins de comparação montou-se a tabela abaixo que representa os cálculos sem a
utilização das funções da economia do exemplo, com um preço de venda de $ 1.10 e um
custo unitário de 0.7.

QuantP.
(X) Cf= 10 Cv(X)=0.7*X C(X)= Cf + CV R(X)= 1.1 * X L(X)=R - C
10 10 7 17 11 -6
20 10 14 24 22 -2
30 10 21 31 33 2
40 10 28 38 44 6
50 10 35 45 55 10
60 10 42 52 66 14

70

60

50

40 C(X)= Cf + CV
30 R(X)= 0.7 * X

20

10

0
0 20 40 60 80

Pode-se observar que existe grande semelhança nos valores encontrados nas duas formas
de análise, cada uma com suas vantagens e desvantagens.

Exercícios de técnicas matemáticas para Análise de funções da economia


(Prof. Rogério Orlandeli)
Exercício 1 :- Capacidade ideal de produção com preços fixos (Demanda inelástica)
Uma empresa esta averiguando seus custos e lucros entre os turnos de produção,
buscando adicionar um Turno Extra. Atualmente consegue-se uma produção de 60
unidades em dois turnos a um custo variável de $ 0.80 por unidade e um custo fixo de $
11.00, por turno. Verificou-se que um terceiro turno apresenta um custo unitário variável
de $ 1.00 e uma produção de 29 unidades.
A um preço de venda de $ 1,10 por unidade, é viável implementarmos o terceiro turno?
Comente sua resposta.
Para tal análise, Preencha a tabela;
QuantP.
(X) Cf= 110 Cv(X)=0.8*X C(X)= Cf + Cv R(X)= 1.1*X L(X)=R - C
10 11 8
20 11 16 Turno 1
30 11 24
40 11 32
50 11 40 Turno 2
60 11 48
70 11 70 Cv(X)=1.0*X
80 11 80 Turno 3
89 11 89
A partir dos valores da tabela montou-se o gráfico,

120

100

80
Cf= 10
60 C(X)
R(X)= 1.1*X
40

20

0
0 20 40 60 80 100

Onde você deve:
1. Descrever o que são seus eixos;
2. Demarcar as funções nele representado;



3. Demarcar no gráfico o ponto onde o lucro é nulo;
4. Demarcar, a faixa de lucro;
5. Com que produção obtém-se o lucro máximo;

Exercício 2 :- Um analista quer identificar a sensibilidade do mercado em relação à
variação ao preço de venda de sorvete em casquinha e, constatou que as vendas semanais
aumentaram de 500 para 750 casquinhas quando o preço caiu 25%.
Se o preço de venda antigo era 2 reais, determine:
a- A equação da demanda de cerveja.
b- O preço a ser praticado para se vender 200 garrafas, segundo esta análise de mercado.
c- Quantas garrafas serão entregues a um preço zero?

Exercício 3 :- Capacidade ideal de produção com preços variáveis (Demanda elástica)
Uma empresa esta averiguando seus custos e lucros entre os volumes de produção, buscando
aumentar sua produção abaixando o preço de venda. Atualmente tem-se uma produção de 80
unidades para suprir a demanda a um custo unitário de $ 0.70 por unidade, o custo fixo é de $
50,00 e o preço de venda de $ 1,30 por unidade. Sabe-se que cada $ 0.10, de diminuição no preço,
corresponde a um aumento de 10 unidades de produtos demandados.
Conhecendo esta realidade, compensa a empresa aumentar sua produção que é limitada em 120
unidades? Comente sua resposta, onde:
• A relação do preço e demanda é expresso pela tabela abaixo (completar a tabela). Que da
origem a equação da demanda P(X) = 2.1 – 0.01X.

Preço x demanda Preço
Demanda Preço 1.4
80 1.3 1.2
90 1
100 0.8
110 0.6
120 0.4
0.2

a- Descobrir as funções: 0
0 20 40 60 80 100 120 140
1. C(X) = Cf +Cv(X);
2. R(X) = P(X)*X;
3. L(X) = R(X) - C(X).



Dada a função da demanda P(X) = 2.1 – 0.01X.

b- Montar a tabela de análise abaixo, montar o gráfico da função receita e da função lucro e
determinar as quantidades ideais de produtos para maximizá-las.

Quant.(X) C(X)= R(X)= L(X)=
50
60
70
80
90
100
110
120

4- Encontre o ponto de equilíbrio entre a oferta (O) e a demanda (D) e esboce o ponto
graficamente.

a- O: p= x + 2 Onde: p – preço praticado pelo mercado, é a variável dependente.
D: p= -3x +10 x – quantidade de produtos ofertados ou demandados

b- O: p= x + 1 Onde: p – preço praticado pelo mercado, é a variável dependente.
D: p= -2x +8 x – quantidade de produtos ofertados ou demandados

Referências Bibliográficas

FOINA, Paulo R. Planejamento e Gestão, Atlas 2001.



MOTTA, Sá. et al. Manual da administração da produção, Getulio Vargas.

CHASE, Richard B. Administração da Produção para vantagem competitiva, Mc
Graw Hill 2006.

PALADINI, Edson P. Gestão da Qualidade Teoria e Casos, Campus.

WEBSTER, Allen L. Estatística Aplicada à administração e Economia, Mc Graw Hill
2006.

COELHO, Flávio U. Curso Básico de Cálculo, Saraiva 2005.

MEDEIROS, Matemática para os cursos de Administração, Economia e Ciências
Contábeis, Atlas.

BRUNI, Adriano L. Estatística Aplicada À Gestão Empresarial, Atlas.


Análise de funções econômicas para maximizar lucros

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