UNIVERSIDADE FEDERAL DE RORAIMA 
PRÓ-REITORIA DE GRADUAÇÃO 
CENTRO DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIV...
2 
EDNELSON OLIVEIRA SANTOS 
FEDROS NURANI 
NELSON POERSCHKE 
SATURNO CÍCERO DE SOUZA 
MEDIDAS DE POSIÇÃO, DISPERSÃO, ASSI...
3 
SUMÁRIO 
I. EXERCÍCIOS – SÉRIE 01.................................................................................... 0...
4 
I. EXERCÍCIOS – SÉRIE 01 
Medidas de dispersão, assimetria e curtose. 
01. Dada a amostra: 2, 3, 4, 5, 7, 10, 12. 
a) Q...
5 
02. Para a série: 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9. 
a) Construir a distribuição simples de freqüên...
6 
e) Calcular o desvio padrão populacional. 
ߪ = √ߪଶ 
ߪ = √1,47 
ߪ = 1,21 
f) Calcular o coeficiente de variação. 
ܥ ∙ ܸ ...
7 
04. Num teste aplicado a 20 alunos, obteve-se a seguinte distribuição de pontos: 
Pontos 35 45 45 55 55 65 65 75 75 85 ...
8 
c) Determinar o desvio padrão. 
ߪ = √ߪଶ 
ߪ = √175 
ߪ = 13,23 
d) Calcular o coeficiente de variação. 
ܥ ∙ ܸ = ఙ 
௫̅ 
ܥ ...
9 
f) Calcular o coeficiente de curtose. 
ܭ = ொయିொభ 
ଶ(௉వబି௉భబ) 
xi Fi Fac ௡ 
35 45 1 1 
45 55 3 4 
55 65 8 12 
65 75 3 15...
10 
05. Abaixo temos a distribuição de freqüência dos pesos de uma amostra de 45 alunos: 
Pesos 
40 45 45 50 50 55 55 60 6...
11 
c) Qual é o valor do coeficiente de variação. 
ܵ = √ܵଶ 
ܵ = √45 
ܵ = 6,7 
ܥ ∙ ܸ = ௌ 
௫̅ 
ܥ ∙ ܸ = ଺,଻ 
ହଷ,ହ଴ = 0,1252 
...
12 
ܳ௜ = ݈ொ೔ + 
ቀ೔೙ 
ర ିΣ ௙ቁ∙௛ 
ிೂ೔ 
⇒ ࡽ૚ = 45 + (ଵଵ,ଶହିସ)∙ହ 
ଵ଴ ⇒ 45 + 3,63 = 48,63 
ܳ௜ = ݈ொ೔ + 
ቀ೔೙ 
ర ିΣ ௙ቁ∙௛ 
ிೂ೔ 
⇒ ࡽ...
13 
b) Variância 
c) Desvio padrão 
ܵ = √ܵଶ 
ܵ = √126 
ܵ = 11,22 
d) Coeficiente de variação 
ܥ ∙ ܸ = ௌ 
௫̅ 
ܥ ∙ ܸ = ଵଵ,ଶଶ...
14 
ܣ௦ = ௫̅ିெ௢ 
ௌ 
ܣ௦ = ହହ,ହ଴ିହ଺ 
ଵଵ,ଶଶ = −0,045 
ܣ௦ = −0,045 - A distribuição não é simétrica. É assimétrica negativa. 
f...
15 
07. A distribuição abaixo possui desvio padrão igual a 3,02. Determine o valor do 
coeficiente de variação. 
Classes 0...
16 
09. Um pesquisador da Rádio XY aborda 30 transeuntes ao acaso e pergunta-lhes a 
idade. O resultado é dado pela tabela...
17 
c) Calcule a média e o desvio padrão amostral. 
Classes xi Fi xiFi Fac xi 
2Fi 
ܵଶ = ଵ 
ଶ ∙ ܨ௜ − (ஊ୶౟∙୊౟)మ 
௡ିଵ ∙ ቂΣݔ௜...
18 
ଵ଴଴ ∙ ቂ217250000 − (ଵଷ଻଴଴଴)మ 
ଵ଴଴ ቃ ߪଶ = ଵ 
ଵ଴଴ ∙ ቂଶଵ଻ଶହ଴଴଴଴଴଴ି ଵ଼଻଺ଽ଴଴଴଴଴଴ 
ଵ଴଴ ቃ 
ߪଶ = ଵ 
ߪଶ = ଵ 
ଵ଴଴ ∙ ቂଶଽହ଺଴଴଴଴଴଴ ...
19 
ܭ = ொయିொభ 
ଶ(௉వబି௉భబ) ⇒ ܭ = ଵ଺଻଺,ସ଻ିଽ଼଴,଻଻ 
ଶ(ଶଶଶଶ,ଶଶି଺ଽଶ,ଷଵ) = ଺ଽସ,଻଴ 
ଶ∙ଵହଶଽ,ଽଵ = ଺ଽସ,଻଴ 
ଷ଴ହଽ,଼ଶ = 0,227 
ܭ = 0,227...
20 
13. Qual será a nota de um aluno que obteve escore de -1,5 em Apicultura experimental, 
considerando-se os dados do ex...
21 
II. EXERCÍCIOS – SÉRIE 02 
Medidas de posição, dispersão, assimetria e curtose. 
01. Dada a série: 1,2; 1,4; 1,5; 1,8 ...
22 
2. Baseado na seguinte distribuição, calcule: 
a) Média 
ݔ̅ = 
Σ ݔ݅ܨ݅ 
݊ 
= 
13384 
78 
ݔ̅ = 171,59 
b) Mediana 
n = 7...
23 
d) Coeficiente de assimetria 
Q1 e Q3 
ଵ௡ 
ସ = ଻଼ 
ସ = 19,5 ଷ௡ 
ସ = ଷ.଻଼ 
ସ = ଶଷସ 
ସ = 58,55 
ܳ௜ = ݈ொ೔ + 
ቀ೔೙ 
ర ିΣ ௙ቁ...
24 
4. Completar os dados que faltam para a seguinte distribuição. 
xi Fi Fac fi 
1 4 4 0,04 
2 8 12 0,08 
3 18 30 0,18 
4...
25 
6. Calcular o 1º quartil, o 7º decil e o 73º percentil da seguinte distribuição: 
Classes 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 Ʃ 
Fi 10...
26 
ܵଶ = ଵ 
ଶ ∙ ܨ௜ − (ஊ୶౟∙୊౟)మ 
௡ିଵ ∙ ቂΣݔ௜ 
௡ ቃ ⇒ ܵଶ = ଵ 
ଷଽ଴ିଵ ∙ ቂ1335937,5 − (ଶଵଷ଻ହ)మ 
ଷଽ଴ ቃ 
ܵଶ = ଵ 
ଷ଼ଽ ∙ ቂ1335937,5 −...
27 
9. Usando o processo abreviado, calcule a média e a variância amostral: 
xi 30000 30002 30004 30006 30008 30010 
Fi 10...
28 
ݔ̅= Ʃ୶୧୊୧ 
௡ ⇒ ݔ̅= ଷଵଷ଴଴ 
ଵ଴଴ ⇒ ݔ̅= 313 
ܯ݋ = ݈ + ୼భ 
୼భା୼మ 
∙ ℎ ⇒ ܯ݋ = 300 + ଻ 
଻ାଽ ∙ 50 ⇒ ܯ݋ = 300 + ଻ 
ଵ଺ ∙ 50 ⇒ ܯ݋...
29 
11. Cronometrando o tempo de várias provas de uma gincana automobilística, 
encontramos: 
Equipe 1: 
40 provas 
Tempo ...
30 
c) Qual a média aritmética referente às duas equipes consideradas em conjunto? 
Equipe 1: 
40 provas 
Tempo médio = 45...
31 
b) Construir o histograma e o polígono de freqüência. 
c) Construir o gráfico de freqüência acumulada.
32 
d) Calcular a média. 
Classes xi Fi xiFi 
1 4 2,5 14 35 
4 7 5,5 14 77 
7 10 8,5 11 93,5 
10 13 11,5 8 92 
13 16 14,5 ...
33 
ܲ௜ = ݈௉೔ + 
ቀ ೔೙ 
భబబିΣ ௙ቁ∙௛ 
ிು೔ 
⇒ ࡼ૝ૠ = 7 + 
ቀరళ .లబ 
భబబ ିଶ଼ቁ∙ଷ 
ଵଵ ⇒ 7 + 0,05 ⇒ ࡼ૝ૠ = 7,05 
i) Determinar a medid...
34 
n) Qual é o valor do coeficiente de variação? 
ܥ. ܸ = ௌ 
௫̅ ⇒ ܥ. ܸ = ସ,଺ଵ 
଼,ଶ ⇒ ܥ. ܸ = 0,56 ⇒ ܥ. ܸ = 56% 
o) A distri...
35 
r) Prepare um relatório para a descrição das rendas dessas famílias. 
O salário médio das famílias, que é de R$ 8200,0...
36 
III. EXERCÍCIOS – SÉRIE 03 
Para cada uma das questões abaixo, assinale a alternativa correta. 
1. A média aritmética ...
37 
6. Quando queremos verificar a questão de uma prova que apresentou maior número de 
erros, utilizamos: 
a) ( X ) moda....
38 
a) ( ) a moda é maior que a mediana e menor que a média. 
b) ( ) a moda é menor que a mediana e maior que a média. 
c)...
39 
14. Examinando a figura abaixo, podemos dizer: 
a) ( X ) O desvio padrão da distribuição A é maior que o da distribuiç...
40 
d) ( ) acima da média. 
18. Dada a figura abaixo, (polígono de freqüência), o primeiro quartil da distribuição 
será: ...
41 
c) ( ) assimetria. 
d) ( ) curtose. 
21. Uma empresa possui dois serventes recebendo salários de $ 2500,00 cada um, qu...
42 
24. Para a distribuição: 
A média será: 
ݔ̅ = Σ ௫ 
௡ ⇒ ݔ̅= (ହ.ଵ଻ହ)ା(ଵ଺.ଶଶହ)ା(ଶଵ.ଶ଻ହ)ା(ଶ଼.ଷଶହ)ା(ଵଽ.ଷ଻ହ)ା(଼.ସଶହ)ା(ଷ.ସ଻ହ)...
43 
a) ( ) 7,20. 
b) ( ) 5,50. 
c) ( X ) 6,60. 
d) ( ) 7,20. 
27. A média da distribuição: 
ݔ̅ = Σ ௫ 
௡ ⇒ ݔ̅= (ଵ.ଷ)ା(ଵ.ଽ)ା...
44 
Classes xi Fi xiFi xi 
2Fi 
1 3 2 0,2 0,4 0,8 
3 5 4 0,4 1,6 6,4 
5 7 6 0,4 2,4 14,4 
1 4,4 21,6 
ߪଶ = ଵ 
ଶ ∙ ܨ௜ − (ஊ୶...
45 
IV. EXERCÍCIOS – SÉRIE 04 
Teoria. 
1. Explique qual a utilizada das medidas de dispersão. Dê três exemplos. 
Possibil...
46 
A média é acrescida deste número e a variância permanecerá inalterada. 
7. O primeiro decil é igual ao décimo percenti...
47 
10. Quando é interessante o uso do processo abreviado para o cálculo da média e da 
variância? 
Quando a série for mui...
Próximos SlideShares
Carregando em…5
×

Estatística, Medidas de dispersão e medidas de posição

21.892 visualizações

Publicada em

Estatística, Medidas de dispersão e medidas de posição

Publicada em: Engenharia
  • Seja o primeiro a comentar

Estatística, Medidas de dispersão e medidas de posição

  1. 1. UNIVERSIDADE FEDERAL DE RORAIMA PRÓ-REITORIA DE GRADUAÇÃO CENTRO DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL CURSO DE BACHARELADO EM ENGENHARIA CIVIL EDNELSON OLIVEIRA SANTOS FEDROS NURANI NELSON POERSCHKE SATURNO CÍCERO DE SOUZA MEDIDAS DE POSIÇÃO, DISPERSÃO, ASSIMETRIA E CURTOSE EXERCÍCIOS Boa Vista 2011
  2. 2. 2 EDNELSON OLIVEIRA SANTOS FEDROS NURANI NELSON POERSCHKE SATURNO CÍCERO DE SOUZA MEDIDAS DE POSIÇÃO, DISPERSÃO, ASSIMETRIA E CURTOSE EXERCÍCIOS 07 Out 2011 Trabalho apresentado como exigência da disciplina de Introdução à Estatística do Curso de Bacharelado em Engenharia Civil da Universidade Federal de Roraima. Prof.: Josué Gomes da Silva Boa Vista 2011
  3. 3. 3 SUMÁRIO I. EXERCÍCIOS – SÉRIE 01.................................................................................... 04 II. EXERCÍCIOS – SÉRIE 02.................................................................................... 21 II. EXERCÍCIOS – SÉRIE 03.................................................................................... 36 II. EXERCÍCIOS – SÉRIE 04.................................................................................... 45
  4. 4. 4 I. EXERCÍCIOS – SÉRIE 01 Medidas de dispersão, assimetria e curtose. 01. Dada a amostra: 2, 3, 4, 5, 7, 10, 12. a) Qual é a amplitude amostral? ܴ = ܺ௠௔௫ − ܺ௠௜௡ ⇒ ܴ = 12 − 2 ܴ = 10 b) Determine o desvio médio. ܦெ ஊ|௫೔ି௫̅|∙ி೔ ௡ = ܦெ ஊ|ௗ೔|∙ி೔ ௡ xi Fi xiFi |xi -ݔ̅|= |di| |di|.Fi ݔ̅ = Σ ௫೔ி೔ c) Calcule a variância. ܵଶ = ଵ ଶ ∙ ܨ௜ − (ஊ୶౟∙୊౟)మ ௡ିଵ ∙ ቂΣݔ௜ ௡ ቃ ௡ ⇒ ସଷ ଻ = 6,14 ܦெ ஊ|ௗ೔|∙ி೔ ௡ = ܦெ ଶଵ,ଵସ ଻ ܦெ = 3,02 2 1 2 |2 - 6,14| = 4,14 4,14 3 1 3 |3 – 6,14| = 3,14 3,14 4 1 4 |4 – 6,14| = 2,14 2,14 5 1 5 |5 – 6,14| = 1,14 1,14 7 1 7 |7 – 6,14| = 0,86 0,86 10 1 10 |10 – 6,14| = 3,86 3,86 12 1 12 |12 – 6,14| = 5,86 5,86 Ʃ 7 43 21,14 ଶ ∙ ܨ௜ ܵଶ = ଵ xi Fi xiFi ݔ௜ ଻ିଵ ∙ ቂ347 − (ସଷ)మ ଻ ቃ ܵଶ = ଵ ଺ ∙ ቂ347 − ଵ଼ସଽ ଻ ቃ ܵଶ = ଵ ଺ ∙ ቂଶସଶଽ ି ଵ଼ସଽ ଻ ቃ ⇒ ܵଶ = ଵ ଺ ∙ ቂହ଼଴ ଻ ቃ ܵଶ = ଵ ଺ ∙ 82,86 ܵଶ = 13,81 2 1 2 4 3 1 3 9 4 1 4 16 5 1 5 25 7 1 7 49 10 1 10 100 12 1 12 144 Ʃ 7 43 347
  5. 5. 5 02. Para a série: 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9. a) Construir a distribuição simples de freqüência. xi 5 6 7 8 9 Fi 3 4 6 3 2 b) Calcular a amplitude. ܴ = ܺ௠௔௫ − ܺ௠௜௡ ⇒ ܴ = 9 − 5 ܴ = 4 c) Determinar o desvio médio. ܦெ ஊ|௫೔ି௫̅|∙ி೔ ௡ = ܦெ ஊ|ௗ೔|∙ி೔ ௡ xi Fi xiFi |xi -ݔ̅|= |di| |di|.Fi d) Calcular a variância populacional. ߪଶ = ଵ ଶ ∙ ܨ௜ − (ஊ୶౟∙୊౟)మ ௡ ∙ ቂΣݔ௜ ௡ ቃ ݔ̅ = Σ ௫೔ி೔ ௡ ⇒ ଵଶଷ ଵ଼ = 6,83 ܦெ ஊ|ௗ೔|∙ி೔ ௡ = ܦெ ଵ଻,଺଼ ଵ଼ ܦெ = 0,98 5 3 15 |5 - 6,83| = 1,83 5,49 6 4 24 |6 – 6,83| = 0,83 3,32 7 6 42 |7 – 6,83| = 0,17 1,02 8 3 24 |8 – 6,83| = 1,17 3,51 9 2 18 |9 – 6,83| = 2,17 4,34 Ʃ 18 123 17,68 ଶ ∙ ܨ௜ ߪଶ = ଵ xi Fi xiFi ݔ௜ ଵ଼ ∙ ቂ867 − (ଵଶଷ)మ ଵ଼ ቃ ߪଶ = ଵ ଵ଼ ∙ ቂଵହ଺଴଺ି ଵହଵଶଽ ଵ଼ ቃ ⇒ ߪଶ = ଵ ଵ଼ ∙ ቂସ଻଻ ଵ଼ ቃ ߪଶ = ଵ ଵ଼ ∙ 26,5 ⇒ ߪଶ = 1,47 ߪଶ = 1,47 5 3 15 75 6 4 24 144 7 6 42 294 8 3 24 192 9 2 18 162 Ʃ 18 123 867
  6. 6. 6 e) Calcular o desvio padrão populacional. ߪ = √ߪଶ ߪ = √1,47 ߪ = 1,21 f) Calcular o coeficiente de variação. ܥ ∙ ܸ = ఙ ௫̅ ܥ ∙ ܸ = ଵ,ଶଵ ଺,଼ଷ = 0,177 ≅ 0,18 ܥ ∙ ܸ = 18% 03. Calcular pelo processo abreviado a variância amostral. Classes 2 4 4 6 6 8 8 10 10 12 Fi 3 5 8 6 3 ܵଶ (௭) = ଵ ଶ ∙ ܨ௜ − (ஊ୸౟∙୊౟)మ ௡ିଵ ∙ ቂΣݖ௜ ௡ ቃ ܵଶ xi Fi xi (PM) zi zi Fi zi 2Fi ଶହିଵ ∙ ቂ35 − (ଵ)మ ଶହ (௭) = ଵ ቃ ⇒ ܵଶ (௭) = ଵ ଶସ ∙ ቂ35 − ଵ ଶହ ቃ ܵଶ (௭) = ଵ ଶସ ∙ ቂ଼଻ହିଵ ଶହ ቃ ⇒ ܵଶ (௭) = ଵ ଶସ ∙ 34,96 = 1,46 ܵଶ (௫) = ℎଶ. ܵଶ (௭) ⇒ ܵଶ (௫) = 2ଶ. 1,46 = 5,84 ܵଶ (௫) = 5,84 x0 = 7 h = 2 ݖ௜ = ௫೔ି௫బ ௛ = ଷି଻ ଶ = ିସ ଶ = −2 2 4 3 3 -2 -6 12 4 6 5 5 -1 -5 5 6 8 8 7 0 0 0 8 10 6 9 1 6 6 10 12 3 11 2 6 12 Ʃ 25 1 35
  7. 7. 7 04. Num teste aplicado a 20 alunos, obteve-se a seguinte distribuição de pontos: Pontos 35 45 45 55 55 65 65 75 75 85 85 95 Fi 1 3 8 3 3 2 a) Calcular o desvio médio ܦெ ஊ|௫೔ି௫̅|∙ி೔ ௡ = ܦெ ஊ|ௗ೔|∙ி೔ ௡ xi xi(PM) Fi xiFi |xi -ݔ̅|= |di| |di|.Fi b) Determinar a variância populacional (processo breve). ߪଶ (௭) = ଵ ଶ ∙ ܨ௜ − (ஊ୸౟∙୊౟)మ ௡ ∙ ቂΣݖ௜ ௡ ቃ ߪଶ ଶ଴ ∙ ቂ40 − (ିଵ଴)మ ଶ଴ ቃ ⇒ ߪଶ (௭) = ଵ (௭) = ଵ ଶ଴ ∙ ቂ40 − ଵ଴଴ ଶ଴ ቃ ߪଶ (௭) = ଵ ଶ଴ ∙ ቂ଼଴଴ିଵ଴଴ ଶ଴ ቃ ⇒ ߪଶ (௭) = ଵ ଶ଴ ∙ 35 = 1,75 ߪଶ (௫) = ℎଶ. ߪଶ (௭) ⇒ ߪଶ (௫) = 10ଶ. 1,75 = 175 ߪଶ (௫) = 175 ݔ̅ = Σ ௫೔ி೔ ௡ ⇒ ଵଷ଴଴ ଶ଴ = 65 ܦெ ஊ|ௗ೔|∙ி೔ ௡ = ܦெ ଶଶ଴ ଶ଴ ܦெ = 11 35 45 40 1 40 |40-65|=25 25 45 55 50 3 150 |50-65|=15 45 55 65 60 8 480 |60-65|=5 40 65 75 70 3 210 |70-65|=5 15 75 85 80 3 240 |80-65|=15 45 85 95 90 2 180 |90-65|=25 50 Ʃ 20 1300 90 220 xi xi(PM) Fi zi zi Fi zi 2Fi x0 = 70 h = 10 ݖ௜ = ௫೔ି௫బ ௛ = ସ଴ି଻଴ ଵ଴ = ିଷ଴ ଵ଴ = −3 35 45 40 1 -3 -3 9 45 55 50 3 -2 -6 12 55 65 60 8 -1 -8 8 65 75 70 3 0 0 0 75 85 80 3 1 3 3 85 95 90 2 2 4 8 Ʃ 20 -10 40
  8. 8. 8 c) Determinar o desvio padrão. ߪ = √ߪଶ ߪ = √175 ߪ = 13,23 d) Calcular o coeficiente de variação. ܥ ∙ ܸ = ఙ ௫̅ ܥ ∙ ܸ = ଵଷ,ଶଷ ଺ହ = 0,177 ≅ 0,20 ܥ ∙ ܸ = 20% e) Determinar o coeficiente de assimetria. (1º coeficiente de Pearson). Pontos 35 45 45 55 55 65 65 75 75 85 85 95 Fi 1 3 8 3 3 2 ܯ݋ = ݈ + ୼భ ୼భା୼మ ∙ ℎ ܯ݋ = 55 + ହ ହାହ ∙ 10 ⇒ 55 + ହ ଵ଴ ∙ 10 ܯ݋ = 55 + 0,5 ∙ 10 ⇒ 55 + 5 = 60 Mo = 60 ݈ = 55 Δଵ = 5 Δଶ = 5 h = 10 ܣ௦ = ௫̅ିெ௢ ఙ ܣ௦ = ଺ହି଺଴ ଵଷ,ଶଷ = 0,38 ܣ௦ = 0,38
  9. 9. 9 f) Calcular o coeficiente de curtose. ܭ = ொయିொభ ଶ(௉వబି௉భబ) xi Fi Fac ௡ 35 45 1 1 45 55 3 4 55 65 8 12 65 75 3 15 75 85 3 18 85 95 2 20 Ʃ 20 ܳ௜ = ݈ொ೔ + ቀ೔೙ ర ିΣ ௙ቁ∙௛ ிೂ೔ ସ = ଶ଴ ସ = 5 ଷ௡ ସ = ଷ.ଶ଴ ସ = ଺଴ ସ = 15 ௜௡ ଵ଴଴ = ଵ଴∙ଶ଴ ଵ଴଴ = ଶ଴଴ ଵ଴଴ = 2 ௜௡ ଵ଴଴ = ଽ଴∙ଶ଴ ଵ଴଴ = ଵ଼଴଴ ଵ଴଴ = 18 ⇒ ࡽ૚ = 55 + (ହିସ)∙ଵ଴ ଼ ⇒ 55 + 1,25 = 56,25 ܳ௜ = ݈ொ೔ + ቀ೔೙ ర ିΣ ௙ቁ∙௛ ிೂ೔ ⇒ ࡽ૜ = 65 + (ଵହିଵଶ)∙ଵ଴ ଷ ⇒ 65 + 10 = 75,00 ܲ௜ = ݈௉೔ + ቀ ೔೙ భబబିΣ ௙ቁ∙௛ ிು೔ ⇒ ࡼ૚૙ = 45 + (ଶିଵ)∙ଵ଴ ଷ ⇒ 45 + 3,33 = 48,33 ܲ௜ = ݈௉೔ + ቀ ೔೙ భబబିΣ ௙ቁ∙௛ ிು೔ ⇒ ࡼૢ૙ = 75 + (ଵ଼ିଵହ)∙ଵ଴ ଷ ⇒ 75 + 10 = 85,00 ܭ = ொయିொభ ଶ(௉వబି௉భబ) ⇒ ܭ = ଻ହ,଴଴ିହ଺,ଶହ ଶ(଼ହ,଴଴ିସ଼,ଷଷ) = ଵ଼,଻ହ ଶ∙ଷ଺,଺଻ = ଵ଼,଻ହ ଻ଷ,ଷସ = 0,256 g) Determinar a amplitude semi-interqualítica. ܴ = ଽହିଷହ ସ ⇒ ܴ = ସ଴ ସ = 10
  10. 10. 10 05. Abaixo temos a distribuição de freqüência dos pesos de uma amostra de 45 alunos: Pesos 40 45 45 50 50 55 55 60 60 65 65 70 em kg Fi 4 10 15 8 5 3 a) Determinar a média pelo processo abreviado. Classes Fi xi(PM) Zi ZiFi b) Determinar a variância pelo processo abreviado. ܵଶ (௭) = ଵ ଶ ∙ ܨ௜ − (ஊ୸౟∙୊౟)మ ௡ିଵ ∙ ቂΣݖ௜ ௡ ቃ ܵଶ ସହିଵ ∙ ቂ81 − (ଽ)మ ସହ (௭) = ଵ ቃ ⇒ ܵଶ (௭) = ଵ ସସ ∙ ቂ81 − ଼ଵ ସହ ቃ ܵଶ (௭) = ଵ ସସ ∙ ቂଷ଺ସହି଼ଵ ସହ ቃ ⇒ ܵଶ (௭) = ଵ ସସ ∙ 79,2 = 1,80 ܵଶ (௫) = ℎଶ. ܵଶ (௭) ⇒ ܵଶ (௫) = 5ଶ ∙ 1,8 = 45 ܵଶ (௫) = 45 x0 = 57,5 h = 5 ݖ௜ = ௫೔ି௫బ ௛ = ସଶ,ହିହ଻,ହ ହ = ିସ ଶ = −3 ݖ̅= Σ ௭೔ி೔ ௡ = ିଷ଺ ସହ = - 0,80 ݔ̅ = ℎݖ̃+ ݔ଴ ⇒ 5(-0,80)+57,5 = 53,5 R: ݔ̅ = 53,50 40 45 4 42,5 -3 -12 45 50 10 47,5 -2 -20 50 55 15 52,5 -1 -15 55 60 8 57,5 0 0 60 65 5 62,5 1 5 65 70 3 67,5 2 6 Ʃ 45 -36 xi xi(PM) Fi zi zi Fi zi 2Fi x0 = 57,5 h = 5 ݖ௜ = ௫೔ି௫బ ௛ = ସଶ,ହିହଶ,ହ ହ = ିଵ଴ ହ = −2 40 45 42,5 4 -2 -8 16 45 50 47,5 10 -1 -10 10 50 55 52,5 15 0 0 0 55 60 57,5 8 1 8 8 60 65 62,5 5 2 10 20 65 70 67,5 3 3 9 27 Ʃ 45 9 81
  11. 11. 11 c) Qual é o valor do coeficiente de variação. ܵ = √ܵଶ ܵ = √45 ܵ = 6,7 ܥ ∙ ܸ = ௌ ௫̅ ܥ ∙ ܸ = ଺,଻ ହଷ,ହ଴ = 0,1252 ܥ ∙ ܸ = 12,52% d) A distribuição é simétrica? Pesos em kg 40 45 45 50 50 55 55 60 60 65 65 70 Fi 4 10 15 8 5 3 ܯ݋ = ݈ + ୼భ ୼భା୼మ ∙ ℎ ܯ݋ = 50 + ହ ହା଻ ∙ 5 ⇒ ܯ݋ = 50 + ହ ଵଶ ∙ 5 ܯ݋ = 50 + 0,42 ∙ 5 ܯ݋ = 50 + 2,08 = 52,08 ݈ = 50 Δଵ = 5 Δଶ = 7 h = 5 ܣ௦ = ௫̅ିெ௢ ௌ ܣ௦ = ହଷ,ହ଴ିହଶ,଴଼ ଺,଻ = 0,2119 ܣ௦ = 0,21 A distribuição não é simétrica. É assimétrica positiva. e) A distribuição é mesocúrtica? ܭ = ொయିொభ ଶ(௉వబି௉భబ) xi Fi Fac ௡ ସ = ସହ ସ = 11,25 ଷ௡ ସ = ଷ.ସହ ସ = ଵଷହ ସ = 33,75 ௜௡ ଵ଴଴ = ଵ଴∙ସହ ଵ଴଴ = ସହ଴ ଵ଴଴ = 4,5 ௜௡ ଵ଴଴ = ଽ଴∙ସହ ଵ଴଴ = ସ଴ହ଴ ଵ଴଴ = 40,5 40 45 4 4 45 50 10 14 50 55 15 29 55 60 8 37 60 65 5 42 65 70 3 45 Ʃ 45
  12. 12. 12 ܳ௜ = ݈ொ೔ + ቀ೔೙ ర ିΣ ௙ቁ∙௛ ிೂ೔ ⇒ ࡽ૚ = 45 + (ଵଵ,ଶହିସ)∙ହ ଵ଴ ⇒ 45 + 3,63 = 48,63 ܳ௜ = ݈ொ೔ + ቀ೔೙ ర ିΣ ௙ቁ∙௛ ிೂ೔ ⇒ ࡽ૜ = 55 + (ଷଷ,଻ହିଶଽ)∙ହ ଼ ⇒ 55 + 2,97 = 57,97 ܲ௜ = ݈௉೔ + ቀ ೔೙ భబబିΣ ௙ቁ∙௛ ிು೔ ⇒ ࡼ૚૙ = 45 + (ସ,ହିସ)∙ହ ଵ଴ ⇒ 45 + 0,25 = 45,25 ܲ௜ = ݈௉೔ + ቀ ೔೙ భబబିΣ ௙ቁ∙௛ ிು೔ ⇒ ࡼૢ૙ = 60 + (ସ଴,ହିଷ଻)∙ହ ହ ⇒ 60 + 3,5 = 63,50 ܭ = ொయିொభ ଶ(௉వబି௉భబ) ⇒ ܭ = ହ଻,ଽ଻ିସ଼,଺ଷ ଶ(଺ଷ,ହିସହ,ଶହ) = ଽ,ଷସ ଶ∙ଵ଼,ଶହ = ଽ,ଷସ ଷ଺,ହ = 0,256 - A distribuição não é mesocúrtica. É leptocúrtica. 06. Sendo: Classes 30 40 40 50 50 60 60 70 70 80 Fi 10 20 35 25 10 Calcular ݔ̅, S2, S, C.V, As e K a) Média xi Fi xi (PM) xiFi ݔ̅ = Σ ݔ݅ ܨ݅ ݊ ⇒ 5550 100 = 55,50 R: ݔ̅= 55,50 30 40 10 35 350 40 50 20 45 900 50 60 35 55 1925 60 70 25 65 1625 70 80 10 75 750 Ʃ 100 5550
  13. 13. 13 b) Variância c) Desvio padrão ܵ = √ܵଶ ܵ = √126 ܵ = 11,22 d) Coeficiente de variação ܥ ∙ ܸ = ௌ ௫̅ ܥ ∙ ܸ = ଵଵ,ଶଶ ହହ,ହ଴ = 0,2022 ܥ ∙ ܸ = 20% ଶ ∙ ܨ௜ ܵଶ = ଵ e) Assimetria Classes 30 40 40 50 50 60 60 70 70 80 Fi 10 20 35 25 10 ܯ݋ = ݈ + ୼భ ୼భା୼మ ∙ ℎ ܯ݋ = 50 + ଵହ ଵହାଵ଴ ∙ 10 ⇒ ܯ݋ = 50 + ଵହ ଶହ ∙ 10 ܯ݋ = 50 + 0,6 ∙ 10 ⇒ ܯ݋ = 50 + 6 = 56 Mo = 53,33 ݈ = 50 Δଵ = 15 Δଶ = 10 h = 10 xi Fi xi(PM) xiFi ݔ௜ ଵ଴଴ିଵ ∙ ቂ320500 − (ହହହ଴)మ ଵ଴଴ ቃ ܵଶ = ଵ ଽଽ ∙ ቂ320500 − ଷ଴଼଴ଶହ଴଴ ଵ଴଴ ቃ ܵଶ = ଵ ଽଽ ∙ ቂଷଶ଴ହ଴଴଴଴ ି ଷ଴଼଴ଶହ଴଴ ଵ଴଴ ቃ ܵଶ = ଵ ଽଽ ∙ ቂଵଶସ଻ହ଴଴ ଵ଴଴ ቃ ܵଶ = ଵ ଽଽ ∙ 12475 ܵଶ = 126,01 30 40 10 35 350 12250 40 50 20 45 900 40500 50 60 35 55 1925 105875 60 70 25 65 1625 105625 70 80 10 75 750 56250 Ʃ 100 5550 320500
  14. 14. 14 ܣ௦ = ௫̅ିெ௢ ௌ ܣ௦ = ହହ,ହ଴ିହ଺ ଵଵ,ଶଶ = −0,045 ܣ௦ = −0,045 - A distribuição não é simétrica. É assimétrica negativa. f) Curtose ܭ = ொయିொభ ଶ(௉వబି௉భబ) xi Fi Fac ௡ 30 40 10 10 40 50 20 30 50 60 35 65 60 70 25 90 70 80 10 100 ܳ௜ = ݈ொ೔ + ቀ೔೙ ర ିΣ ௙ቁ∙௛ ிೂ೔ ସ = ଵ଴଴ ସ = 25 ଷ௡ ସ = ଷ.ଵ଴଴ ସ = ଷ଴଴ ସ = 75 ௜௡ ଵ଴଴ = ଵ଴∙ଵ଴଴ ଵ଴଴ = ଵ଴଴଴ ଵ଴଴ = 10 ௜௡ ଵ଴଴ = ଽ଴∙ଵ଴଴ ଵ଴଴ = ଽ଴଴଴ ଵ଴଴ = 90 ⇒ ࡽ૚ = 40 + (ଶହିଵ଴)∙ଵ଴ ଶ଴ ⇒ 40 + 7,5 = 47,5 ܳ௜ = ݈ொ೔ + ቀ೔೙ ర ିΣ ௙ቁ∙௛ ிೂ೔ ⇒ ࡽ૜ = 55 + (଻ହି଺ହ)∙ଵ଴ ଶହ ⇒ 60 + 4 = 64 ܲ௜ = ݈௉೔ + ቀ ೔೙ భబబିΣ ௙ቁ∙௛ ிು೔ ⇒ ࡼ૚૙ = 30 + (ଵ଴ି଴)∙ଵ଴ ଵ଴ ⇒ 30 + 10 = 40 ܲ௜ = ݈௉೔ + ቀ ೔೙ భబబିΣ ௙ቁ∙௛ ிು೔ ⇒ ࡼૢ૙ = 60 + (ଽ଴ି଺ହ)∙ଵ଴ ଶହ ⇒ 60 + 10 = 70 ܭ = ொయିொభ ଶ(௉వబି௉భబ) ⇒ ܭ = ଺ସିସ଻,ହ ଶ(଻଴ିସ଴) = ଵ଺,ହ ଶ∙ଷ଴ = ଵ଺,ହ ଺଴ = 0,275 - A distribuição é platicúrtica. Ʃ 100
  15. 15. 15 07. A distribuição abaixo possui desvio padrão igual a 3,02. Determine o valor do coeficiente de variação. Classes 0 4 4 8 8 12 Ʃ xi(PM) 2 6 10 Fi 2 3 2 7 xiFi 4 18 20 42 ݔ̅ = Σ ݔ݅ ܨ݅ ݊ ⇒ 42 7 = 6 ܥ ∙ ܸ = ௌ ௫̅ ܥ ∙ ܸ = ଷ,଴ଶ ଺ = 0,5033 ܥ ∙ ܸ = 50% 08. Um fabricante de caixas de cartolina fabrica três tipos de caixa. Testa-se a resistência de cada caixa tomando-se uma amostra de 100 caixas e determinando-se a pressão necessária para romper cada caixa. São os seguintes os resultados dos testes: Tipos de caixa A B C Pressão média de ruptura (bária) 150 200 300 Desvio padrão das pressões (bária) 40 50 60 a) Que tipo de caixa apresenta a menor variação absoluta na pressão de ruptura?
  16. 16. 16 09. Um pesquisador da Rádio XY aborda 30 transeuntes ao acaso e pergunta-lhes a idade. O resultado é dado pela tabela. 35 26 39 25 39 22 42 40 39 22 21 40 16 32 39 21 28 39 18 37 23 14 27 44 30 32 21 15 26 43 a) Resuma as informações sob forma de uma distribuição de freqüência. Dado: log 30 = 1,48. Classes xi Fi 14 19 16,5 4 19 24 21,5 6 24 29 26,5 5 29 34 31,5 3 34 39 36,5 2 39 44 41,5 10 Ʃ a) Apresente os dados na forma de um histograma.
  17. 17. 17 c) Calcule a média e o desvio padrão amostral. Classes xi Fi xiFi Fac xi 2Fi ܵଶ = ଵ ଶ ∙ ܨ௜ − (ஊ୶౟∙୊౟)మ ௡ିଵ ∙ ቂΣݔ௜ ௡ ቃ ⇒ ܵଶ = ଵ ଷ଴ିଵ ∙ ቂ30237,5 − (ଽଵ଴)మ ଷ଴ ቃ ܵଶ = ଵ ଶଽ ∙ ቂ30237,5 − ଼ଶ଼ଵ଴଴ ଷ଴ ቃ ⇒ ܵଶ = ଵ ଶଽ ∙ ቂଽ଴଻ଵଶହ ି ଼ଶ଼ଵ଴଴ ଷ଴ ቃ ⇒ ܵଶ = ଵ ଶଽ ∙ ቂ଻ଽ଴ଶହ ଷ଴ ቃ ⇒ ܵ2 = 1 29 ∙ 2634,17 ⇒ ܵ2 = 90,83 ܵ = √ܵଶ ܵ = √90,83 ܵ = 9,53 10. É dada a distribuição dos salários semanais de 100 funcionários: Salários por semana (1.000$) 0,5 1,0 1,0 1,5 1,5 2,0 2,0 2,5 2,5 3,0 Nº de empregados 26 43 17 9 5 a) Calcule a variância populacional. ߪଶ = ଵ ଶ ∙ ܨ௜ − (ஊ୶౟∙୊౟)మ ௡ ∙ ቂΣݔ௜ ௡ ቃ ݔ̅ = Σ ݔ݅ܨ݅ ݊ = 910 30 ݔ̅ = 30,33 14 19 16,5 4 66 4 1089 19 24 21,5 6 129 10 2773,5 24 29 26,5 5 132,5 15 3511,25 29 34 31,5 3 94,5 18 2976,75 34 39 36,5 2 73 20 2664,5 39 44 41,5 10 415 30 17222,5 Ʃ 30 910 30237,5 ଶ ∙ ܨ௜ xi xi(PM) Fi xiFi ݔ௜ 500 1000 750 26 19500 14625000 1000 1500 1250 43 53750 67187500 1500 2000 1750 17 29750 52062500 2000 2500 2250 9 20250 45562500 2500 3000 2750 5 13750 37812500 Ʃ 100 137000 217250000
  18. 18. 18 ଵ଴଴ ∙ ቂ217250000 − (ଵଷ଻଴଴଴)మ ଵ଴଴ ቃ ߪଶ = ଵ ଵ଴଴ ∙ ቂଶଵ଻ଶହ଴଴଴଴଴଴ି ଵ଼଻଺ଽ଴଴଴଴଴଴ ଵ଴଴ ቃ ߪଶ = ଵ ߪଶ = ଵ ଵ଴଴ ∙ ቂଶଽହ଺଴଴଴଴଴଴ ଵ଴଴ ቃ ⇒ ߪଶ = ଵ ଵ଴଴ ∙ 29560000 ⇒ ߪଶ = 295600 ߪଶ = 295600 b) A distribuição á assimétrica? ܣ௦ = ௫̅ିெ௢ ఙ ܣ௦ = ଵଷ଻଴ିଵଵଽ଻,଺଻ ହସଷ,଺ଽ = 0,317 ܣ௦ = 0,32 - Sim, a distribuição é assimétrica positiva. c) A distribuição á leptocúrtica? ܳ௜ = ݈ொ೔ + ቀ೔೙ ర ିΣ ௙ቁ∙௛ ிೂ೔ ⇒ ࡽ૚ = 500 + (ଶହି଴)∙ହ଴଴ ଶ଺ ⇒ 500 + 480,77 = 980,77 ܳ௜ = ݈ொ೔ + ቀ೔೙ ర ିΣ ௙ቁ∙௛ ிೂ೔ ⇒ ࡽ૜ = 1500 + (଻ହି଺ଽ)∙ହ଴଴ ଵ଻ ⇒ 1500 + 176,47 = 1676,47 ܲ௜ = ݈௉೔ + ቀ ೔೙ భబబିΣ ௙ቁ∙௛ ிು೔ ⇒ ࡼ૚૙ = 500 + (ଵ଴ି଴)∙ହ଴଴ ଶ଺ ⇒ 500 + 192,31 = 692,31 ܲ௜ = ݈௉೔ + ቀ ೔೙ భబబିΣ ௙ቁ∙௛ ிು೔ ⇒ ࡼૢ૙ = 2000 + (ଽ଴ି଼଺)∙ହ଴଴ ଽ ⇒ 2000 + 222,22 = 2222,22 ߪ = √ߪଶ ߪ = √295600 ߪ = 543,69 ݔ̅ = Σ ௫೔ி೔ ௡ ݔ̅ = ଵଷ଻଴଴଴ ଵ଴଴ = 1370 ݔ̅ = 1370 ܯ݋ = ݈ + ୼భ ୼భା୼మ ∙ ℎ ܯ݋ = 1000 + ଵ଻ ଵ଻ାଶ଺ ∙ 500 ⇒ 1000 + ଵ଻ ସଷ ∙ 500 ܯ݋ = 1000 + 0,4 ∙ 500 ⇒ 1000 + 200 = 1197,67 xi Fi Fac ௡ ସ = ଵ଴଴ ସ = 25 ଷ௡ ସ = ଷ.ଵ଴଴ ସ = ଷ଴଴ ସ = 75 ௜௡ ଵ଴଴ = ଵ଴∙ଵ଴଴ ଵ଴଴ = ଵ଴଴଴ ଵ଴଴ = 10 ௜௡ ଵ଴଴ = ଽ଴∙ଵ଴଴ ଵ଴଴ = ଽ଴଴଴ ଵ଴଴ = 90 500 1000 26 26 1000 1500 43 69 1500 2000 17 86 2000 2500 9 95 2500 3000 5 100 Ʃ 100
  19. 19. 19 ܭ = ொయିொభ ଶ(௉వబି௉భబ) ⇒ ܭ = ଵ଺଻଺,ସ଻ିଽ଼଴,଻଻ ଶ(ଶଶଶଶ,ଶଶି଺ଽଶ,ଷଵ) = ଺ଽସ,଻଴ ଶ∙ଵହଶଽ,ଽଵ = ଺ଽସ,଻଴ ଷ଴ହଽ,଼ଶ = 0,227 ܭ = 0,227 - Sim, a distribuição é leptocúrtica. 11. As notas finais de um aluno nas disciplinas “Apicultura experimental” e “Cotonicultura aplicada” foram, respectivamente, 7,8 e 7,3. Sabe-se que na primeira disciplina o desvio padrão foi 0,8, com média 8,0; e que na outra tivemos média 7,5, com desvio padrão de 1,0. Em que disciplina ele obteve pior classificação relativa? ݖ௜ = ௫೔ି௫̅ ௦ ݖ௜(௔௣௜௖௨௟௧௨௥௔) = ଻,଼ ି଼,଴ ଴,଼ = ି଴,ଶ ଴,଼ ⇒ ݖ = −0,25 ݖ௜(௖௢௧௢௡௜௖௨௟௧௨௥௔) = ଻,ଷ ି଻,ହ ଵ,଴ = ି଴,ଶ ଵ,଴ ⇒ ݖ = −0,20 Em apicultura. 12. Uma mesmo teste de aptidão foi aplicado foi aplicado a dois grupos de funcionários, A e B. A média do conjunto A foi 75, com desvio padrão de 16, e a média do grupo B foi 69, com variância 64. Quem obteve melhor posição relativa: um empregado do grupo A, que obteve 85 pontos, ou um funcionário do grupo B, que alcançou 80 pontos. ܵ = √ܵଶ ܵ = √64 ܵ = 8 ݖ௜ = ௫೔ି௫̅ ௦ ݖ௜(௙௨௡௖௜௢௡á௥௜௢ ீ௥௨௣௢ ஺) = ଼ହ ି଻ହ ଵ଺ = ି଴,ଶ ଴,଼ ⇒ ݖ = 0,625 ݖ௜(௙௨௡௖௜௢௡á௥௜௢ ௚௥௨௣௢ ஻) = ଼଴ ି଺ଽ ଼ = ଵଵ ଼ ⇒ ݖ = 1,375 O funcionário do grupo B.
  20. 20. 20 13. Qual será a nota de um aluno que obteve escore de -1,5 em Apicultura experimental, considerando-se os dados do exercício 11. −1,5 = ௫ ି ଼,଴ ଴,଼ ݔ − 8,0 = 0,8 . −1,5 ⇒ ݔ = −1,2 + 8,0 ⇒ ݔ = 6,8 Nota do aluno = 6,8
  21. 21. 21 II. EXERCÍCIOS – SÉRIE 02 Medidas de posição, dispersão, assimetria e curtose. 01. Dada a série: 1,2; 1,4; 1,5; 1,8 e 2, calcular a média e o desvio padrão populacional. ݔ̅= Σ ௫೔ி೔ ଶ ∙ ܨ௜ − (ஊ୶౟∙୊౟)మ ௡ ⇒ ସଷ ଻ ߪଶ = ଵ ௡ ∙ ቂΣݔ௜ ௡ ቃ xi Fi xiFi ݔ௜ ݔ̅= ଻,ଽ ହ ⇒ ݔ̅ = 1,58 ହ ∙ ቂ12,89 − (଻,ଽ)మ ହ ቃ ߪଶ = ଵ ହ ∙ ቂ଺ସ,ସହି ଺ଶ,ସଵ ହ ቃ ߪଶ = ଵ ߪଶ = ଵ ହ ∙ ቂଶ,଴ସ ହ ቃ ⇒ ߪଶ = ଵ ହ ∙ 0,408 ⇒ ߪଶ = 0,082 ߪ = √ߪଶ ߪ = √0,082 ߪ = 0,286 ଶ ∙ ܨ௜ 1,2 1 1,2 1,44 1,4 1 1,4 1,96 1,5 1 1,5 2,25 1,8 1 1,8 3,24 2 1 2,0 4 Ʃ 5 7,9 12,89
  22. 22. 22 2. Baseado na seguinte distribuição, calcule: a) Média ݔ̅ = Σ ݔ݅ܨ݅ ݊ = 13384 78 ݔ̅ = 171,59 b) Mediana n = 78 (par) ⇒ ଻଼ ଶ = 39 ݔ෤ = ݈ெ஽ + ቀ೙ మିΣ ௙ቁ.௛ ிಾವ ⇒ ݔ෤ = 168 + (ଷଽିଵ଼).ସ ଶଶ ݔ෤ = 168 + ଶଵ.ସ ଶଶ ⇒ ݔ෤ = 168 + ଼ସ ଶଶ ⇒ ݔ෤ = 168 + 3,82 ݔ෤ = 171,82 c) Moda ܯ݋ = ݈ + ୼భ ୼భା୼మ ∙ ℎ ܯ݋ = 172 + 3 3ାଵହ ∙ 4 ⇒ 172 + 3 18 ∙ 4 ܯ݋ = 172 + 0,17 ∙ 4 ܯ݋ = 172 + 0,67 = 172,67 ܯ݋ = 172,67 d) Desvio médio amostral ܦெ = ஊ|ௗ೔|∙ி೔ ௡ ⇒ ܦெ = ଷଵଵ,ଵ଼ ଻଼ ܦெ = 3,99 Altura Frequência 160 164 5 164 168 13 168 172 22 172 176 25 176 180 10 180 184 3 Ʃ Altura xi Fi xiFi Fac |xi -ݔ̅|= |di| |di|.Fi 160 164 162 5 810 5 |162-171,59| = 9,59 47,95 164 168 166 13 2158 18 |166-171,59| = 5,59 72,67 168 172 170 22 3740 40 |170-171,59| = 1,59 34,98 172 176 174 25 4350 65 |174-171,59| = 2,41 60,25 176 180 178 10 1780 75 |178-171,59| = 6,41 64,10 180 184 182 3 546 78 |182-171,59| = 10,41 31,23 Ʃ 78 13384 311,18
  23. 23. 23 d) Coeficiente de assimetria Q1 e Q3 ଵ௡ ସ = ଻଼ ସ = 19,5 ଷ௡ ସ = ଷ.଻଼ ସ = ଶଷସ ସ = 58,55 ܳ௜ = ݈ொ೔ + ቀ೔೙ ర ିΣ ௙ቁ∙௛ ிೂ೔ ⇒ ࡽ૚ = 168 + (ଵଽ,ହିଵ଼)∙ସ ଶଶ ⇒ 168 + 0,27 = 168,27 ܳ௜ = ݈ொ೔ + ቀ೔೙ ర ିΣ ௙ቁ∙௛ ிೂ೔ ⇒ ࡽ૜ = 172 + (ହ଼,ହହିସ଴)∙ସ ଶହ ⇒ 172 + 2,97 = 174,97 ܣ௦ = ொయାொభିଶ௫෤ ொయିொభ ܣ௦ = ଵ଻ସ,ଽ଻ ା ଵ଺଼,ଶ଻ ି ଶ . ଵ଻ଵ,଼ଶ ଵ଻ସ,ଽ଻ ି ଵ଺଼,ଶ଻ ⇒ ܣ௦ = ଷସଷ,ଶସିଷସଷ,଺ସ ଺,଻ ⇒ ܣ௦ = ି଴,ସ ଺,଻ ܣ௦ = −0,060 3. Num fim de semana, o supermercado X vendeu as seguintes quantidades de carne. Altura Preço ($ por kg) Quantidade (kg) xiFi Boi 35 1000 35000 Porco 38 450 17100 Galinha 39 600 23400 Peru 45 350 15750 Peixe 28 250 7000 Ʃ 185 2650 98250 a) Qual foi o preço médio. ݔ̅ = Σ ݔ݅ ܨ݅ ݊ = 98250 2650 ݔ̅ = 37,08 b) Qual foi a quantidade média. ݔ̅ = Σ ݔ݅ܨ݅ ݊ = 98250 185 ݔ̅ = 531,08
  24. 24. 24 4. Completar os dados que faltam para a seguinte distribuição. xi Fi Fac fi 1 4 4 0,04 2 8 12 0,08 3 18 30 0,18 4 27 57 0,27 5 15 72 0,15 6 11 83 0,11 7 10 93 0,10 8 7 100 0,07 Ʃ 100 1 5. Encontrar a freqüência correspondente à terceira classe da distribuição abaixo, sabendo que a média é igual a 11,50. xi 5 8 13 18 25 Fi 4 5 7 3 1 ݔ̅ = Σ ݔ݅ ܨ݅ ݊ ⇒ 11,50 = (5∙4)+(8∙5)+(13.3)+(18∙3)+(25∙1) 16 ⇒ 11,50 = ଶ଴ାସ଴ା(ଵଷ.ி௜)ାହସାଶହ ௡ ⇒ 11,50 = ଵ଻଼ ଵ଺ ⇒ 11,50 ≠ 11,16 ݔ̅ = Σ ݔ݅ ܨ݅ ݊ ⇒ 11,50 = (5∙4)+(8∙5)+(13.5)+(18∙3)+(25∙1) 18 11,50 = ଶ଴ସ ଵ଼ ⇒ 11,50 ≠ 11,33 ݔ̅ = Σ ݔ݅ ܨ݅ ݊ ⇒ 11,50 = (5∙4)+(8∙5)+(13.7)+(18∙3)+(25∙1) 20 11,50 = ଶଷ଴ ଶ଴ ⇒ 11,50 = 11,50
  25. 25. 25 6. Calcular o 1º quartil, o 7º decil e o 73º percentil da seguinte distribuição: Classes 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 Ʃ Fi 10 12 12 10 6 50 Fac 10 22 34 44 50 ܳ௜ = ݈ொ೔ + ቀ೔೙ ర ିΣ ௙ቁ∙௛ ிೂ೔ ⇒ ࡽ૚ = ݈ொ೔ + ቀఱబ ర ିΣ ௙ቁ∙ଵ ிೂ೔ ⇒ ࡽ૚ = 1 + (ଵଶ,ହିଵ଴)∙ଵ ଵଶ ⇒ ࡽ૚ = 1 + (ଶ .ହ)∙ଵ ଵଶ ࡽ૚ = 1 + 0,21 ⇒ ࡽ૚ = 1,21 ܦ௜ = ݈஽೔ + ቀ೔೙ భబିΣ ௙ቁ∙௛ ிವ೔ ⇒ ࡰૠ = ݈஽೔ + ቀళ .ఱబ భబ ିΣ ௙ቁ∙௛ ிವ೔ ⇒ ࡰૠ = 3 + (ଷହିଷସ)∙ଵ ଵ଴ ⇒ ࡰૠ = 3 + ଵ∙ଵ ଵ଴ ࡰૠ = 3 + 0,1 ⇒ ࡰૠ = 3,1 ܲ௜ = ݈௉೔ + ቀ ೔೙ భబబିΣ ௙ቁ∙௛ ிು೔ ܲ௜ = ݈௉೔ + ቀళయ .ఱబ భబబ ିΣ ௙ቁ∙௛ ிು೔ ⇒ ࡼૠ૜ = 3 + (ଷ଺,ହିଷସ)∙ଵ ଵ଴ ⇒ ࡼૠ૜ = 3 + (ଶ,ହ)∙ଵ ଵ଴ ࡼૠ૜ = 3 + 0,25 ⇒ ࡼૠ૜ = 3,25 7. Obter a moda e a variância para a seguinte distribuição amostral: Classes 0 25 25 50 50 75 75 100 100 125 Ʃ xi 12,5 37,5 62,5 87,5 112,5 Fi 20 140 180 40 10 390 xiFi 250 5250 11250 3500 1125 21375 x2.Fi 3125 196875 703125 306250 126562,5 1335937,5 ܯ݋ = ݈ + ୼భ ୼భା୼మ ∙ ℎ ⇒ ܯ݋ = 50 + ସ଴ ସ଴ାଵସ଴ ∙ 25 ⇒ ܯ݋ = 50 + ସ଴ ଵ଼଴ ∙ 25 ܯ݋ = 50 + 0,22 ∙ 25 ⇒ ܯ݋ = 50 + 5,56 ⇒ ܯ݋ = 55,56
  26. 26. 26 ܵଶ = ଵ ଶ ∙ ܨ௜ − (ஊ୶౟∙୊౟)మ ௡ିଵ ∙ ቂΣݔ௜ ௡ ቃ ⇒ ܵଶ = ଵ ଷଽ଴ିଵ ∙ ቂ1335937,5 − (ଶଵଷ଻ହ)మ ଷଽ଴ ቃ ܵଶ = ଵ ଷ଼ଽ ∙ ቂ1335937,5 − ସହ଺଼ଽ଴଺ଶହ ଷଽ଴ ቃ ⇒ ܵଶ = ଵ ଷ଼ଽ ∙ ቂହଶଵ଴ଵହ଺ଶହ ି ସହ଺଼ଽ଴଺ଶହ ଷଽ଴ ቃ ܵଶ = ଵ ଷ଼ଽ ∙ ቂ଺ସଵଶହ଴଴଴ ଷଽ଴ ቃ ⇒ ܵଶ = ଵ ଷ଼ଽ ∙ 164423,08 ܵ2 = 422,68 8. Lançado um dado 50 vezes, obteve-se a seguinte distribuição, calcular a variância populacional e o desvio padrão. xi Fi xiFi xi 2Fi 1 6 6 6 2 11 22 44 3 6 18 54 4 7 28 112 5 9 45 225 6 11 66 396 Ʃ 50 185 837 ߪଶ = ଵ ଶ ∙ ܨ௜ − (ஊ୶౟∙୊౟)మ ௡ ∙ ቂΣݔ௜ ௡ ቃ ହ଴ ∙ ቂ837 − (ଵ଼ହ)మ ହ଴ ቃ ߪଶ = ଵ ହ ∙ ቂସଵ଼ହ଴ି ଷସଶଶହ ହ଴ ቃ ߪଶ = ଵ ߪଶ = ଵ ହ଴ ∙ ቂ଻଺ଶହ ହ଴ ቃ ⇒ ߪଶ = ଵ ହ଴ ∙ 152,50 ߪଶ = 3,05 ߪ = √ߪଶ ߪ = ඥ3,05 ߪ = 1,75
  27. 27. 27 9. Usando o processo abreviado, calcule a média e a variância amostral: xi 30000 30002 30004 30006 30008 30010 Fi 10 12 14 10 4 2 Fac 10 22 36 46 50 52 xi Fi zi ziFi zi 2Fi ܵଶ (௭) = ଵ ଶ ∙ ܨ௜ − (ஊ୸౟∙୊౟)మ ௡ିଵ ∙ ቂΣݖ௜ ௡ ቃ ܵଶ ହଶିଵ ∙ ቂ164 − (ି଺଴)మ ହଶ ቃ ⇒ ܵଶ (௭) = ଵ x0 = 30006 h = 2 ݖ௜ = ௫೔ି௫బ (௭) = ଵ ହଵ ∙ ቂ164 − ଷ଺଴଴ ହଶ ቃ ܵଶ (௭) = ଵ ହଵ ∙ ቂ଼ହଶ଼ିଷ଺଴଴ ହଶ ቃ ⇒ ܵଶ (௭) = ଵ ହଵ ∙ 94,769 = 1,86 ܵଶ (௫) = ℎଶ. ܵଶ (௭) ⇒ ܵଶ (௫) = 2ଶ. 1,86 = 7,43 ܵଶ (௫) = 7,43 10. Estudar a distribuição abaixo com respeito à assimetria e à curtose. xi 150 200 200 250 250 300 300 350 350 400 400 450 450 500 Fi 5 16 21 28 19 8 3 Classes xi Fi xiFi xi 2Fi 150 200 175 5 875 153125 200 250 225 16 3600 810000 250 300 275 21 5775 1588125 300 350 325 28 9100 2957500 350 400 375 19 7125 2671875 400 450 425 8 3400 1445000 450 500 475 3 1425 676875 Ʃ 100 31300 10302500 ௛ = ଷ଴଴଴଴ିଷ଴଴଴଺ ଶ = ି଺ ଶ = −3 ݖ̅= Σ ௭೔ி೔ ௡ = ି଺଴ ହଶ = -1,15 ݔ̅ = ℎݖത + ݔ0 ⇒ 2(-1,153)+30006 = 30003,69 R: ݔ̅= 30003,69 30000 10 -3 -30 90 30002 12 -2 -24 48 30004 14 -1 -14 14 30006 10 0 0 0 30008 4 1 4 4 30010 2 2 8 8 Ʃ 52 -60 164
  28. 28. 28 ݔ̅= Ʃ୶୧୊୧ ௡ ⇒ ݔ̅= ଷଵଷ଴଴ ଵ଴଴ ⇒ ݔ̅= 313 ܯ݋ = ݈ + ୼భ ୼భା୼మ ∙ ℎ ⇒ ܯ݋ = 300 + ଻ ଻ାଽ ∙ 50 ⇒ ܯ݋ = 300 + ଻ ଵ଺ ∙ 50 ⇒ ܯ݋ = 321,88 ܵଶ = ଵ ଶ ∙ ܨ௜ − (ஊ୶౟∙୊౟)మ ௡ିଵ ∙ ቂΣݔ௜ ௡ ଵ଴଴ିଵ ∙ ቂ10302500 − (ଷଵଷ଴଴)మ ଵ଴଴ ቃ ⇒ ܵଶ = ଵ ቃ ܵଶ = ଵ ଽଽ ∙ ቂ10302500 − ଽ଻ଽ଺ଽ଴଴଴଴ ଵ଴଴ ቃ ⇒ ܵଶ = ଵ ଽଽ ∙ ቂଵ଴ଷ଴ଶହ଴଴଴଴ ି ଽ଻ଽ଺ଽ଴଴଴଴ ଵ଴଴ ቃ ܵଶ = ଵ ଽଽ ∙ ቂହ଴ହ଺଴଴଴ ଵ଴଴ ቃ ⇒ ܵଶ = ଵ ଽଽ ∙ 505600 ⇒ ܵଶ = 5107,07 ܵ = √ܵଶ ⇒ ܵ = ඥ5107,07 ⇒ ܵ = 71,46 ܣ௦ = ௫̅ିெ௢ ௌ ⇒ ܣ௦ = ଷଵଷିଷଶଵ,଼଼ ଻ଵ,ସ଺ ⇒ ܣ௦ = 0,12 Classes xi Fi Fac ௡ ସ = ଵ଴଴ ସ = 25 ଷ௡ ସ = ଷ.ଵ଴଴ ସ = ଷ଴଴ ସ = 75 ௜௡ ଵ଴଴ = ଵ଴∙ଵ଴଴ ଵ଴଴ = ଵ଴଴଴ ଵ଴଴ = 10 ௜௡ ଵ଴଴ = ଽ଴∙ଵ଴଴ ଵ଴଴ = ଽ଴଴଴ ଵ଴଴ = 90 150 200 175 5 5 200 250 225 16 21 250 300 275 21 42 300 350 325 28 70 350 400 375 19 89 400 450 425 8 97 450 500 475 3 100 Ʃ 100 ܳ௜ = ݈ொ೔ + ቀ೔೙ ర ିΣ ௙ቁ∙௛ ிೂ೔ ⇒ ࡽ૚ = 250 + (ଶହିଶଵ)∙ହ଴ ଶଵ ⇒ 250 + 9,52 = 259,52 ܳ௜ = ݈ொ೔ + ቀ೔೙ ర ିΣ ௙ቁ∙௛ ிೂ೔ ⇒ ࡽ૜ = 350 + (଻ହି଻଴)∙ହ଴ ଵଽ ⇒ 350 + 13,16 = 363,16 ܲ௜ = ݈௉೔ + ቀ ೔೙ భబబିΣ ௙ቁ∙௛ ிು೔ ⇒ ࡼ૚૙ = 200 + (ଵ଴ିହ)∙ହ଴ ଵ଺ ⇒ 200 + 15,62 = 215,62 ܲ௜ = ݈௉೔ + ቀ ೔೙ భబబିΣ ௙ቁ∙௛ ிು೔ ⇒ ࡼૢ૙ = 400 + (ଽ଴ି଼ଽ)∙ହ଴ ଼ ⇒ 400 + 6,25 = 406,25 ܭ = ொయିொభ ଶ(௉వబି௉భబ) ⇒ ܭ = ଷ଺ଷ,ଵ଺ିଶହଽ,ହଶ ଶ(ସ଴଺,ଶହିଶଵହ,଺ଶ) = ଵ଴ଷ,଺ସ ଶ∙ଵଽ଴,଺ଷ = ଵ଴ଷ,଺ସ଴ ଷ଼ଵ,ଶ଺ ⇒ ܭ = 0,2718 A distribuição é assimétrica negativa e platicúrtica.
  29. 29. 29 11. Cronometrando o tempo de várias provas de uma gincana automobilística, encontramos: Equipe 1: 40 provas Tempo médio = 45 s Variância = 400 s2 Equipe 2: Tempo: 20 40 50 80 Nº provas: 10 15 30 5 a) Qual o coeficiente de variação relativo à equipe 1? ܥ. ܸ = ௌ ௫̅ ⇒ ܥ. ܸ = ଶ଴ ସହ ⇒ ܥ. ܸ = 0,44 ⇒ ܥ. ܸ = 44% b) Qual a média da equipe 2? Tempo Fi xiFi 20 10 200 40 15 600 50 30 1500 80 5 400 Ʃ 60 2700 ݔ̅= Ʃ୶୧୊୧ ௡ ⇒ ݔ̅= ଶ଻଴଴ ଺଴ ⇒ ݔ̅= 45 c) Qual o desvio padrão referente à equipe 2? Tempo Fi xiFi xi 2Fi 20 10 200 4000 40 15 600 24000 50 30 1500 75000 80 5 400 32000 Ʃ 60 2700 135000 ܵଶ = ଵ ଶ ∙ ܨ௜ − (ஊ୶౟∙୊౟)మ ௡ିଵ ∙ ቂΣݔ௜ ௡ ቃ ⇒ ܵଶ = ଵ ଺଴ିଵ ∙ ቂ135000 − (ଶ଻଴଴)మ ଺଴ ቃ ܵଶ = ଵ ହଽ ∙ ቂ135000 − ଻ଶଽ଴଴଴଴ ଺଴ ቃ ⇒ ܵଶ = ଵ ହଽ ∙ ቂ଼ଵ଴଴଴଴଴ ି ଻ଶଽ଴଴଴଴ ଺଴ ቃ ܵଶ = ଵ ହଽ ∙ ቂ଼ଵ଴଴଴଴ ଺଴ ቃ ⇒ ܵଶ = ଵ ହଽ ∙ 13500 ⇒ ܵଶ = 228,81 ܵ = √ܵଶ ⇒ ܵ = √228,81 ⇒ ܵ = 15,13
  30. 30. 30 c) Qual a média aritmética referente às duas equipes consideradas em conjunto? Equipe 1: 40 provas Tempo médio = 45 s Equipe 1: 60 provas Tempo médio = 45 s ݔ̅ீ = ௡భ௫̅భା௡మ௫̅మ ௡భା௡మ ⇒ ݔ̅ீ = ସ଴.ସହା଺଴.ସହ ସ଴ା଺଴ ⇒ ݔ̅ீ = ଵ଼଴଴ାଶ଻଴଴ ଵ଴଴ ⇒ ݔ̅ீ = ସହ଴଴ ଵ଴଴ ⇒ ݔ̅ீ = 45 c) Qual a equipe que apresentou resultados mais homogêneos? Equipe 1 ܥ. ܸ = ௌ ௫̅ ⇒ ܥ. ܸ = ଶ଴ ସହ ⇒ ܥ. ܸ = 0,44 ⇒ ܥ. ܸ = 44% Equipe 2 ܥ. ܸ = ௌ ௫̅ ⇒ ܥ. ܸ = ଵହ,ଵଷ ସହ ⇒ ܥ. ܸ = 0,33 ⇒ ܥ. ܸ = 33% A equipe 2, pois possui o menor coeficiente de variação. 12. Dada a amostra de 60 rendas (em milhares) de dada região geográfica: 10 7 8 5 4 3 2 9 9 6 3 15 1 13 14 4 3 6 6 8 10 11 12 13 14 2 15 5 4 10 8 9 5 3 2 3 3 4 4 4 5 6 7 8 9 1 12 13 14 16 a) Agrupar os elementos em classes. Sendo K = 6 e h = 3. Classes xi Fi Fac Zi ZiFi Zi2Fi |di|Fi 1 4 2,5 14 14 -2 -28 -28 79,8 4 7 5,5 14 28 -1 -14 -14 37,8 7 10 8,5 11 39 0 0 0 3,3 10 13 11,5 8 47 1 8 8 26,4 13 16 14,5 11 58 2 22 22 69,3 16 19 17,5 2 60 3 6 6 18,6 Ʃ 60 -6 140 235,2
  31. 31. 31 b) Construir o histograma e o polígono de freqüência. c) Construir o gráfico de freqüência acumulada.
  32. 32. 32 d) Calcular a média. Classes xi Fi xiFi 1 4 2,5 14 35 4 7 5,5 14 77 7 10 8,5 11 93,5 10 13 11,5 8 92 13 16 14,5 11 159,5 16 19 17,5 2 35 Ʃ 60 492 ݔ̅= Ʃ୶୧୊୧ ௡ ⇒ ݔ̅= ସଽଶ ଺଴ ⇒ ݔ̅= 8,2 e) Calcular a mediana. Classes xi Fi Fac 1 4 2,5 14 14 4 7 5,5 14 28 7 10 8,5 11 39 10 13 11,5 8 47 13 16 14,5 11 58 16 19 17,5 2 60 Ʃ 60 n = 60 ௡ ଶ ⇒ ଺଴ ଶ = 30 ݔ෤ = ݈ெ஽ + ቀ೙ మିΣ ௙ቁ.௛ ிಾವ = ݔ෤ = 7 + (ଷ଴ିଶ଼).ଷ ଵଵ ⇒ 7 + (ଶ).ଷ ଵଵ ⇒ 7 + ଺ ଵଵ ⇒ 7 + 0,55 ⇒ ݔ෥ = 7,55 f) Determinar o 3º quartil. ܳ௜ = ݈ொ೔ + ቀ೔೙ ర ିΣ ௙ቁ∙௛ ிೂ೔ ⇒ ࡽ૚ = 4 + ቀలబ ర ିଵସቁ∙ଷ ଵସ ⇒ 4 + 0,21 ⇒ ࡽ૜ = 4,21 ܳ௜ = ݈ொ೔ + ቀ೔೙ ర ିΣ ௙ቁ∙௛ ிೂ೔ ⇒ ࡽ૜ = 10 + ቀయ .లబ ర ିଷଽቁ∙ଷ ଼ ⇒ 10 + 2,25 ⇒ ࡽ૜ = 12,25 g) Calcular o 4º decil. ܦ௜ = ݈஽೔ + ቀ೔೙ భబିΣ ௙ቁ∙௛ ிವ೔ ⇒ ࡰ૝ = 4 + ቀర .లబ భబ ିଵସቁ∙ଷ ଵସ ⇒ 4 + 2,14 ⇒ ࡰ૝ = 6,14 h) Calcular o 47º percentil.
  33. 33. 33 ܲ௜ = ݈௉೔ + ቀ ೔೙ భబబିΣ ௙ቁ∙௛ ிು೔ ⇒ ࡼ૝ૠ = 7 + ቀరళ .లబ భబబ ିଶ଼ቁ∙ଷ ଵଵ ⇒ 7 + 0,05 ⇒ ࡼ૝ૠ = 7,05 i) Determinar a medida que deixa 25% das rendas. ܲ௜ = ݈௉೔ + ቀ ೔೙ భబబିΣ ௙ቁ∙௛ ிು೔ ⇒ ࡼ૛૞ = 4 + ቀమఱ .లబ భబబ ିଵସቁ∙ଷ ଵସ ⇒ 4 + 0,21 ⇒ ࡼ૛૞ = 4,21 j) Calcular o desvio médio. Classes xi Fi |xi -ݔ̅|= |di| |di|Fi 1 4 2,5 14 |2,5-8,2|=|5,7| 79,8 4 7 5,5 14 |5,5-8,2|=|2,7| 37,8 7 10 8,5 11 |8,5-8,2|=|0,3| 3,3 10 13 11,5 8 |11,5-8,2|=|3,3| 26,4 13 16 14,5 11 |14,5-8,2|=|6,3| 69,3 16 19 17,5 2 |17,5-8,2|=|9,3| 18,6 Ʃ 60 235,2 ܦெ ஊ|ௗ೔|∙ி೔ ௡ ⇒ ܦெ ଶଷହ,ଶ ଺଴ ⇒ ܦெ = 3,92 l) Calcular variância. Classes xi Fi Zi ZiFi Zi2Fi 1 4 2,5 14 -2 -28 -28 4 7 5,5 14 -1 -14 -14 7 10 8,5 11 0 0 0 10 13 11,5 8 1 8 8 13 16 14,5 11 2 22 22 16 19 17,5 2 3 6 6 Ʃ 60 -6 140 ܵଶ (௭) = ଵ ଶ ∙ ܨ௜ − (ஊ୸౟∙୊౟)మ ௡ିଵ ∙ ቂΣݖ௜ ௡ ቃ ⇒ ܵଶ ଺଴ିଵ ∙ ቂ140 − (ି଺)మ ଺଴ (௭) = ଵ ቃ ܵଶ (௭) = ଵ ହଽ ∙ ቂ140 − ଷ଺ ଺଴ቃ ⇒ ܵଶ (௭) = ଵ ହଽ ∙ ቂ଼ସ଴଴ିଷ଺ ଺଴ ቃ ⇒ ܵଶ (௭) = ଵ ହଽ ∙ 139,4 = 2,36 ܵଶ (௫) = ℎଶ. ܵଶ (௭) ⇒ ܵଶ (௫) = 3ଶ. 2,36 ⇒ ܵଶ (௫) = 21,24 m) Determinar o desvio padrão. ܵ = √ܵଶ ⇒ ܵ = √21,24 ⇒ ܵ = 4,61
  34. 34. 34 n) Qual é o valor do coeficiente de variação? ܥ. ܸ = ௌ ௫̅ ⇒ ܥ. ܸ = ସ,଺ଵ ଼,ଶ ⇒ ܥ. ܸ = 0,56 ⇒ ܥ. ܸ = 56% o) A distribuição é simétrica? ܣ௦ = ொయାொభି ଶ௫෤ ொయିொభ ⇒ ܣ௦ = ଵଶ,ଶହାସ,ଶଵିଶ.଻,ହହ ଵଶ,ଶହିସ,ଶଵ ⇒ ܣ௦ = ଵ,ଷ଺ ଼,଴ସ ⇒ ܣ௦ = 0,169 Não é simétrica. p) A distribuição é mesocúrtica? ܲ௜ = ݈௉೔ + ቀ ೔೙ భబబିΣ ௙ቁ∙௛ ிು೔ ⇒ ࡼ૚૙ = 1 + ቀభబ .లబ భబబ ି଴ቁ∙ଷ ଵସ ⇒ 1 + 1,29 ⇒ ࡼ૚૙ = 2,29 ܲ௜ = ݈௉೔ + ቀ ೔೙ భబబିΣ ௙ቁ∙௛ ிು೔ ⇒ ࡼૢ૙ = 13 + ቀవబ .లబ భబబ ିସ଻ቁ∙ଷ ଵଵ ⇒ 13 + 1,91 ⇒ ࡼૢ૙ = 14,91 ܭ = ொయିொభ ଶ(௉వబି௉భబ) ⇒ ܭ = ଵଶ,ଶହିସ,ଶଵ ଶ(ଵସ,ଽଵିଶ,ଶଽ) ⇒ ܭ = ଼,଴ସ ଶ∙ଵଶ,଺ଶ ⇒ ܭ = ଼,଴ସ ଶହ,ଶସ ⇒ ܭ = 0,3185 Não é mesocúrtica. q) Usando o gráfico de freqüência acumulada, represente o 1º quartil, o 7º decil e o 80º percentil. Classes xi Fi Fac 1 4 2,5 14 14 4 7 5,5 14 28 7 10 8,5 11 39 10 13 11,5 8 47 13 16 14,5 11 58 16 19 17,5 2 60 Ʃ 60 ܳ௜ = ݈ொ೔ + ቀ೔೙ ర ିΣ ௙ቁ∙௛ ிೂ೔ ⇒ ࡽ૚ = 4 + ቀలబ ర ିଵସቁ∙ଷ ଵସ ⇒ 4 + 0,21 ⇒ ࡽ૚ = 4,21 ܦ௜ = ݈஽೔ + ቀ೔೙ భబିΣ ௙ቁ∙௛ ிವ೔ ⇒ ࡰૠ = 10 + ቀళ.లబ భబ ିଷଽቁ∙ଷ ଼ ⇒ 10 + 1,25 ⇒ ࡰૠ = 11,25 ܲ௜ = ݈௉೔ + ቀ ೔೙ భబబିΣ ௙ቁ∙௛ ிು೔ ⇒ ࡼૡ૙ = 13 + ቀఴబ .లబ భబబ ିସ଻ቁ∙ଷ ଵଵ ⇒ 13 + 0,27 ⇒ ࡼૡ૙ = 13,27
  35. 35. 35 r) Prepare um relatório para a descrição das rendas dessas famílias. O salário médio das famílias, que é de R$ 8200,00, está acima do centro da distribuição, conforme mostra a mediana, que é de R$ 7550,00. Neste caso, isso foi causado por alguns valores grandes que sensibilizam mais a média e menos a mediana. Isso demonstra que a distribuição não é simétrica e mais tarde será abordado na análise da simetria. O desvio médio mostra que a dispersão em torno da média é de R$ 3920,00. A variância e o desvio padrão, valores sempre positivos, indicam que a distância entre os valores medidos e a média foi de R$ 4611,00. Os cálculos chegaram a um coeficiente de variação, desvio padrão dividido pela média, de 56%. A distribuição é assimétrica, pois os quartis não estão equidistantes, e positiva, pois a moda encontra-se à esquerda da mediana. O valor da curtose, 0,3185, mostra que há um achatamento na curva de distribuição, tornando-a platicúrtica.
  36. 36. 36 III. EXERCÍCIOS – SÉRIE 03 Para cada uma das questões abaixo, assinale a alternativa correta. 1. A média aritmética é a razão entre: a) ( ) o número de valores e o somatório deles. b) ( X ) o somatório dos valores e o número deles. c) ( ) os valores extremos. d) ( ) os dois valores centrais. 2. Na série 60, 90, 80, 60, 50, a moda será: a) ( ) 50. b) ( X ) 60. c) ( ) 66. d) ( ) 90. 3. A medida que tem o mesmo número de valores abaixo e acima dela é: a) ( ) a moda. b) ( ) a média. c) ( X ) a mediana. d) ( ) o lugar mediano. 4. A soma dos desvios entre cada valor e a média é: a) ( ) positiva. b) ( ) negativa. c) ( ) diferente de zero. d) ( X ) zero. 5. Na série, 60, 50, 70, 80, 90 o valor 70 será a: a) ( ) média e a moda. b) ( X ) a média e a mediana. c) ( ) a mediana e a moda. d) ( ) a média, a mediana e a moda.
  37. 37. 37 6. Quando queremos verificar a questão de uma prova que apresentou maior número de erros, utilizamos: a) ( X ) moda. b) ( ) média. c) ( ) mediana. d) ( ) qualquer uma das anteriores. 7. Dado o histograma abaixo, no interior de cujos retângulos foram anotadas as freqüências absolutas, então a mediana é: ݔ෤ = 6 + (ହ଴ିଷହ).ଶ ଷ଴ ⇒ 6 + (ଵହ).ଶ ଷ଴ ⇒ 6 + ଷ଴ ଷ଴ ⇒ 6 + 1,0 = 7,0 a) ( ) 6,5. b) ( ) 8,0. c) ( ) 7,5. d) ( X ) 7,0. 8. Na série, 15, 20, 30, 40, 50, há abaixo da mediana: a) ( ) 3 valores. b) ( X ) 2 valores. c) ( ) 3,5 valores. d) ( ) 4 valores. 9. Dada a figura abaixo, podemos afirmar que:
  38. 38. 38 a) ( ) a moda é maior que a mediana e menor que a média. b) ( ) a moda é menor que a mediana e maior que a média. c) ( ) a moda é menor que a mediana e esta é maior que a média. d) ( X ) a mediana é maior que a média e menor que a moda. 10. O coeficiente de variação é uma medida que expressa a razão entre: a) ( X ) desvio padrão e média. b) ( ) média e desvio padrão. c) ( ) amplitude semi-interquartílica e mediana. d) ( ) desvio padrão e moda. 11. O cálculo da variância supõe o conhecimento da: a) ( X ) média. b) ( ) mediana. c) ( ) ponto médio. d) ( ) moda. 12. Numa distribuição de valores iguais, o desvio padrão é: a) ( ) negativo. b) ( ) positivo. c) ( ) a unidade. d) ( X ) zero. 13. Na série, 10, 20, 40, 50, 70 80 a mediana será: n = 06 (par) ௡ ଶ ⇒ ଺ ଶ = ૜º ⇒ ૝૙ e ௡ ଶ + 1 ⇒ ଺ ଶ + 1 = ૝º ⇒ ૞૙ ݔ෤ = ସ଴ାହ଴ ଶ ⇒ ݔ෤ = ଽ଴ ଶ ⇒ ݔ෥ = 45 a) ( ) 30. b) ( ) 35. c) ( ) 40. d) ( X ) 45.
  39. 39. 39 14. Examinando a figura abaixo, podemos dizer: a) ( X ) O desvio padrão da distribuição A é maior que o da distribuição B, e as médias são iguais. b) ( ) O desvio padrão de A é menor que o de B e ás médias são diferentes. c) ( ) O desvio padrão de A é igual ao de B, independentemente do valor da média. d) ( ) As distribuições possuem o mesmo coeficiente de variação. 15. Realizou-se uma prova de matemática para duas turmas, o resultado foi o seguinte: Turma A: ݔ̅ = 5 e ߪ = 2,5 Turma B: ݔ̅ = 4 e ߪ = 2 Com esses resultados podemos afirmar que: a) ( ) A turma B apresentou maior dispersão absoluta. b) ( ) A dispersão relativa é igual à dispersão absoluta. c) ( ) Tanto a dispersão absoluta quanto a relativa são maiores para a turma B. d) ( X ) A dispersão absoluta de A é maior que a de B, mas em termos relativos as duas turmas não diferem quanto ao grau de dispersão das notas. 16. O desvio padrão de um conjunto de dados é 9. A variância será: a) ( ) 3. b) ( ) 18. c) ( ) 36. d) ( X ) 81. 17. 50% dos dados da distribuição situam-se: a) ( ) abaixo da média. b) ( X ) acima da mediana. c) ( ) abaixo da moda.
  40. 40. 40 d) ( ) acima da média. 18. Dada a figura abaixo, (polígono de freqüência), o primeiro quartil da distribuição será: ܳ௜ = ݈ொ೔ + ቀ೔೙ ర ିΣ ௙ቁ∙௛ ிೂ೔ ⇒ ࡽ૚ = 4 + ቀమబ ర ି ଷቁ∙ଶ ସ ⇒ 4 + 1,0 ⇒ ࡽ૚ = 5,0 a) ( X ) 5,0. b) ( ) 5,5. c) ( ) 4,8. d) ( ) 3,0. 19. Os coeficientes de variação dos resultados abaixo são: Estatística: ݔ̅ = 80 e ܵ = 16 História: ݔ̅ = 20 e ܵ = 5 ܥ. ܸா = ௌ ௫̅ ⇒ ܥ. ܸ = ଵ଺ ଼଴ ⇒ ܥ. ܸ = 0,2 ⇒ ܥ. ܸ = 20% ܥ. ܸு = ௌ ௫̅ ⇒ ܥ. ܸ = ହ ଶ଴ ⇒ ܥ. ܸ = 0,25 ⇒ ܥ. ܸ = 25% a) ( ) 16% e 40%. b) ( X ) 20% e 25%. c) ( ) 50% e 40%. d) ( ) 80% e 40%. 20. Média, mediana e moda, são medidas de: a) ( ) dispersão. b) ( X ) posição.
  41. 41. 41 c) ( ) assimetria. d) ( ) curtose. 21. Uma empresa possui dois serventes recebendo salários de $ 2500,00 cada um, quatro escriturários recebendo $ 6000,00 cada um, um chefe de escritório com salário de $ 10000,00 e três técnicos recebendo $22000,00 cada um.: A média desses salários é: ݔ̅= Σ ௫ ௡ ⇒ ݔ̅= (ଶ,ହ.ଶ)ା(଺,଴.ସ)ାଵ଴ା(ଶଶ.ଷ) ଵ଴ ⇒ ݔ̅= ଵ଴ହ ଵ଴ ⇒ ݔ̅ =10500,00 a) ( ) 1050,00. b) ( ) 5050,00. c) ( ) 26250,00. d) ( X ) n.r.a. 22. O valor dominante de uma distribuição de freqüência chama-se: a) ( ) mediana. b) ( ) média. c) ( X ) moda. d) ( ) 1º quartil. 23. Na distribuição abaixo: A moda é: ܯ݋ = ݈ + ୼భ ୼భା୼మ ∙ ℎ ⇒ ܯ݋ = 50 + ଵହ ଵହାଵ଴ ∙ 10 ⇒ ܯ݋ = 50 + 0,6 ∙ 10 ⇒ ܯ݋ = 56 a) ( ) 50,6. b) ( ) 55. c) ( ) 50. d) ( X ) 56
  42. 42. 42 24. Para a distribuição: A média será: ݔ̅ = Σ ௫ ௡ ⇒ ݔ̅= (ହ.ଵ଻ହ)ା(ଵ଺.ଶଶହ)ା(ଶଵ.ଶ଻ହ)ା(ଶ଼.ଷଶହ)ା(ଵଽ.ଷ଻ହ)ା(଼.ସଶହ)ା(ଷ.ସ଻ହ) ଵ଴଴ ݔ̅ = ଷଵଷ଴଴ ଵ଴଴ ⇒ ݔ̅ 313 a) ( ) 350. b) ( X ) 314. c) ( ) 324,76. d) ( ) 323,80 25. O valor da medida que deixa 45% dos elementos da distribuição: ܲ௜ = ݈௉೔ + ቀ ೔೙ భబబିΣ ௙ቁ∙௛ ிು೔ ⇒ ࡼ૝૞ = 40 + ቀరఱ .భబబబ భబబ ିଷ଴଴ቁ∙ଵ଴ ଶହ଴ ⇒ 40 + 6 ⇒ ࡼ૝૞ = 46 a) ( X ) 46. b) ( ) 50. c) ( ) 49,6. d) ( ) 63 26. O 5º decil da distribuição: ܲ௜ = ݈௉೔ + ቀ ೔೙ భబబିΣ ௙ቁ∙௛ ிು೔ ⇒ ࡰ૞ = 6 + ቀఱ .యబ భబ ିଵଶቁ∙ଶ ଵ଴ ⇒ 6 + 0,60 ⇒ ࡰ૞ = 6,60
  43. 43. 43 a) ( ) 7,20. b) ( ) 5,50. c) ( X ) 6,60. d) ( ) 7,20. 27. A média da distribuição: ݔ̅ = Σ ௫ ௡ ⇒ ݔ̅= (ଵ.ଷ)ା(ଵ.ଽ)ା(ଷ.ଵହ) ହ ⇒ ݔ̅= ହ଻ ହ ⇒ ݔ̅= 11,4 a) ( ) 12,0. b) ( ) 8,50. c) ( ) 10,83. d) ( X ) 11,40. 28. O desvio médio da distribuição: ݔ̅= Σ ௫೔ி೔ ௡ ⇒ ଺଴଴ ହ = 120 ܦெ = ஊ|ௗ೔|∙ி೔ ௡ ⇒ ܦெ = ଼଴ ହ ⇒ ܦெ = 16 a) ( ) 12. b) ( ) 14. c) ( X ) 16. d) ( ) 18. 29. A variância da distribuição:
  44. 44. 44 Classes xi Fi xiFi xi 2Fi 1 3 2 0,2 0,4 0,8 3 5 4 0,4 1,6 6,4 5 7 6 0,4 2,4 14,4 1 4,4 21,6 ߪଶ = ଵ ଶ ∙ ܨ௜ − (ஊ୶౟∙୊౟)మ ௡ ∙ ቂΣݔ௜ ௡ ቃ ⇒ ߪଶ = ଵ ଵ ∙ ቂ21,6 − (ସ,ସ)మ ଵ ቃ ߪଶ = ଵ ଵ ∙ ቂ21,6 − ଵଽ,ଷ଺ ଵ ቃ ⇒ ߪଶ = ଵ ଵ ∙ 2,24 ⇒ ߪଶ = 2,24 a) ( X ) 2,24. b) ( ) 2,8. c) ( ) 2,5. d) ( ) 4. 30. A média de uma série de valores iguais a uma constante é: a) ( ) zero. b) ( X ) o valor da constante. c) ( ) a unidade. d) ( ) não é possível calcular o desvio padrão.
  45. 45. 45 IV. EXERCÍCIOS – SÉRIE 04 Teoria. 1. Explique qual a utilizada das medidas de dispersão. Dê três exemplos. Possibilitam representar um conjunto de dados relativos à observação de determinado fenômeno de forma resumida, e representam os fenômenos pelos seus valores médios em torno dos quais tendem a concentrar-se os dados. Ex: 2. O que são medidas de dispersão? São medidas que servem para verificar a representatividade das medidas de posição, pois é comum encontrar-se séries que, apesar de terem a mesma média, são compostas de maneira distinta. 3. Fale sobre as medidas de curtose. Entende-se por curtose o grau de achatamento de uma distribuição. Com referência ao grau de achatamento, podemos ter: curva leptocúrtica, curva mesocúrtica e curva platicúrtica. 4. Se multiplicarmos todos os elementos de uma série por uma constante, que acontecerá com a média? E com a variância da série? A média também é multiplicada pela mesma constante. A variância será multiplicada pelo quadrado dessa constante. 5. Quanto vale Ʃ(ݔ݅ − ݔ̅)? Em estatística, Ʃ(ݔ݅ − ݔ̅) = 0. 6. Se somarmos a todos os elementos de uma série um número, o que acontecerá com a média e a variância da série.
  46. 46. 46 A média é acrescida deste número e a variância permanecerá inalterada. 7. O primeiro decil é igual ao décimo percentil? Explique. Sim. O 1º decil é ଵ ଵ଴ e o 10º percentil é ଵ଴ ଵ଴଴; e ଵ ଵ଴ = ଵ଴ ଵ଴଴. 8. Para analisar os dados de uma folha de pagamentos, quais as medidas que você utilizaria para: a) Descobrir o salário mais freqüente. Moda b) Descobrir o salário que divide o pagamento em partes iguais? Mediana c) Descobrir a dispersão absoluta em torno da média. Desvio médio d) Descobrir o grau de dispersão relativo. Desvio padrão 9. Numa distribuição, teremos sempre a mediana como sendo a média aritmética entre o 1º e o 3º quartis? Não. Vejamos o seguinte exemplo: Foram calculadas as seguintes medidas para notas dos alunos em duas disciplinas: Estatística: Q1 = 3,0; Q3 = 6,5; ݔ̅ = 5 Matemática: Q1 = 2,0; Q3 = 7,0; ݔ̅ = 5 Estat.: ொయାொభ ଶ ⇒ ଺,ହାଷ ଶ ⇒ ଽ,ହ ଶ = 4,75 Mat.: ொయାொభ ଶ ⇒ ଻ାଶ ଶ ⇒ ଽ ଶ = 4,5 Observa-se que em nenhum dos casos a média aritmética entre os dois quartis é igual à mediana.
  47. 47. 47 10. Quando é interessante o uso do processo abreviado para o cálculo da média e da variância? Quando a série for muito extensa, os valores de X forem muito grandes e a amplitude entre tais valores for constante.

×