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1. OTÁVIO LUCIANO CAMARGO SALES DE MAGALHÃES 1
FACULDADE DA FUNDAÇÃO DE ENSINO DE MOCOCA
MOCOCA – SP
ÁLGEBRA LINEAR – 3º PERÍODO – CIÊNCIA DA
COMPUTAÇÃO
Prof. Mestre Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães
professor.otavio@yahoo.com.br
LISTA DE EXERCÍCIOS
Se uma matriz é definida por aij=i2
+3j, significa que para cada elemento da matriz vamos substituir i e j
pelos valores de linhas e colunas. Suponha que a matriz seja 3x3,
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
Substituindo os valores:
12
+ 3.1 12
+ 3.2 12
+ 3.3
22
+ 3.1 22
+ 3.2 22
+ 3.3
32
+ 3.1 32
+ 3.2 32
+ 3.3
=
4 7 10
7 10 13
12 15 18
1) Dado Seja A=(aij)x’3x3 a matriz definida por aij=3i+2j+3, encontre a matriz.
Substituindo os valores, temos
3.1 + 2.1 + 3 3.1 + 2.2 + 3 3.1 + 2.3 + 3
3.2 + 2.1 + 3 3.2 + 2.2 + 3 3.2 + 2.3 + 3
3.3 + 2.1 + 3 3.3 + 2.2 + 3 3.3 + 2.3 + 3
=
8 10 12
11 13 15
14 16 18
Seja a matriz m x n, a transposta At
é a matriz n x m, onde se invertem as linhas e as diagonais.
Por exemplo:
A=
−3 0
2
3
2 −
1
2
5
At
=
−3 2
0 −
1
2
2
3
5
D=
1 5
2 −1
5 0
−1 0
2 1
3 2
0 −2−5 3
Dt
=
1 2
5 −1
−1 2
5 0
0 −2
3 −5
0 12 3
2) Se A=
4 7 10
7 10 13
12 15 18
, ache a matriz transposta At
.
At
=
4 7 12
7 10 15
10 13 18
3) Seja A=(aij)3x3 a matriz assim definida
aij=
𝑖 + 𝑗, 𝑠𝑒 𝑖 = 𝑗
𝑖 − 𝑗, 𝑠𝑒 𝑖 ≠ 𝑗
a) Ache as matrizes A e At
.
A=
2 −1 −2
1 4 −1
2 1 6
At
=
2 1 2
−1 4 1
−2 −1 6

2. OTÁVIO LUCIANO CAMARGO SALES DE MAGALHÃES 2
b) Sendo p o produto dos elementos da diagonal principal e s o produto dos elementos da diagonal
secundária da matriz A calcule p-s.
p=2.4.6=48 s=-2.4.2=-16
p-s=48-(-16)=64
Duas matrizes são iguais quando todos os seus elementos são iguais
𝑥 + 𝑦 𝑧2
− 6𝑧
𝑥 − 𝑦 2𝑤 − 3
=
10 −5
6 5(𝑤 + 4)
Igualando os membros temos que:
x+y=10
x-y=6
z2
-6z=-5
2w-3=5(w+4)
Para achar x e y resolvemos o sistema
𝑥 + 𝑦 = 10
𝑥 − 𝑦 = 6
, pelo método da adição encontramos x=8 e y=2.
Para z2
-6z+5=0, achamos o Δ=36-4.1.5=16, z=5 ou z=1
E 2w-3=5(w+4), temos que 2w-5w=20+3, então 3w=23, w=23/3.
4) Ache os valores desconhecidos:
2𝑥
1
𝑧
𝑡2
𝑥 + 𝑦 2(𝑤 + 3) 𝑢
=
𝑦 𝑧 + 1 2𝑡 − 3
12 3𝑤 2𝑢
Igualando, temos
2x=y
x+y=12
1
𝑧
=z+1
2(w+3)=3w
t2
=2t-3
u=2u
Resolvendo as duas primeiras equações, ou seja:
2𝑥 = 𝑦
𝑥 + 𝑦 = 12
Por substituição temos que x+2x=12, ou seja 3x=12, x=4. Então y=2.4=8.
1
𝑧
=z+1
Multiplicando ‘em cruz’:
1=z2
+z
z2
+z-1=0
a=1, b=1, c=-1
∆=12
-4.1.(-1)=5
z=
−1± 5
2
, z pode ser
−1+ 5
2
, ou
−1− 5
2
.
2(w+3)=3w
2w-3w=-6
-w=-6
w=6
t2
=2t-3
t2
-2t+3=0
a=1, b=-2, c=3
∆=(-2)2
-4.1.3=4-12=-8

3. OTÁVIO LUCIANO CAMARGO SALES DE MAGALHÃES 3
Não pode existir t real para essa matriz, pois a raiz é negativa
Resolvendo a equação do 2º grau, as raízes serão
t=1- 2i ou t=1+ 2i
u=2u
u=0
Temos então os valores de cada uma das variáveis.
5) Calcule x, y e z para que a igualdade seja verdadeira:
𝑥 + 𝑦 𝑦2
2𝑧
3
5
=
2𝑥 𝑦
10 5
Mesmo procedimento
x+y=2x
y2
=y
2𝑧
3
=10
Obviamente não é necessário dizer que 5=5 (!)
Em y2
=y, encontramos dois valores possíveis para y, ou seja, y=0 ou y=1.
Se y=0, então x+0=2x, x=0.
Se y=1, então x+1=2x, -x=-1, x=1.
Já o z é valor único
2𝑧
3
=10
2z=30
z=15
6) Dadas as matrizes A=
2 5
−3 8
4 1
, B=
6 11
4 −1
−7 0
e C=
−4 10 1
0 −2 5
, ache 2A+3B+2Ct
.
Vamos primeiramente fazer Ct
=
−4 0
10 −2
1 5
2.
2 5
−3 8
4 1
+3.
6 11
4 −1
−7 0
+ 2.
−4 0
10 −2
1 5
=
2.2 + 3.6 + 2. (−4) 2.5 + 3.11 + 2.0
2. −3 + 3.4 + 2.10 2. −3 + 3.4 + 2.10
2.4 + 3. −7 + 2.1 2.4 + 3. −7 + 2.5
=
14 43
26 26
−15 −3
7) Dadas as matrizes A=
2 3
5 4
e B=
3 4
2 1
, calcule a matriz X, se X-I2=2A-Bt
.
X=2A-Bt
+I2=2
2 3
5 4
−
3 2
4 1
+
1 0
0 1
=
4 − 3 + 1 4 − 3 + 0
10 − 4 + 0 8 − 1 + 1
=
2 1
6 8
8) Calcule os produtos A.B e B.A

4. OTÁVIO LUCIANO CAMARGO SALES DE MAGALHÃES 4
a) A=
2 1
−1 3
e B=
5 −2
2 3
𝐴. 𝐵 =
12 −1
1 11
𝐵. 𝐴 =
12 −1
1 11
Essas duas matrizes são comutáveis, ou
seja A.B=B.A, o que nem sempre ocorre.
b) A=
2 0 1
−1 2 3
e B=
1 0
2 −2
3 −1
𝐴. 𝐵 =
5 −1
12 −7
𝐵. 𝐴 não é possível de ser calculado
c) A=
0 0 0
0 0 0
0 0 0
e B=
1 2 3
4 5 6
7 8 9
A.B=
0 0 0
0 0 0
0 0 0
e B.A=
0 0 0
0 0 0
0 0 0
. Todo produto pela matriz nula, no
caso
0 0 0
0 0 0
0 0 0
=O, é igual a O. Uma matriz quadrada A.O=O.A=O
d) A=
2 0 0
−3 0 0
−1 0 0
e B=
0 0 0
4 1 5
7 2 −3
A.B=
0 0 0
0 0 0
0 0 0
e B.A=
0 0 0
0 0 0
11 0 0
. Diferentemente dos números que
para que o produto seja igual a O, é necessário que um dos fatores seja 0 (Lei dos Produtos Nulos), nas
matrizes, duas matrizes não nula A≠O e B≠O, podemos ter A.B=O (sendo A e B matrizes, e O a matriz
nula). Em números, se a.b=0, ou a=0 ou b=0 necessariamente.
e) A=
1 4
2 3
e B=
1 0
0 1
𝐴. 𝐵 =
1 4
2 3
𝐵. 𝐴 =
1 4
2 3
. Temos que uma matriz quadrada
qualquer de ordem n, temos que A.In=In.A=A.
As propriedades mais importantes das operações entre matrizes (Soma e multiplicação por número) são:
Sendo A, B e C matrizes, 0 a matriz nula e a e b números reais.
A+B=B+A Comutatividade da Adição
(A+B)+C=A+(B+C) Associatividade da Adição
A+0=0+A=A Elemento Neutro da Adição
A+(-A)=0 Elemento Oposto da Adição
a.(b.A)=(ab).A Associatividade da Multiplicação por números
(a+b)A=aA+bA Distributividade da Multiplicação em relação à adição de números
a(A+B)=aA+bA Distributividade da Multiplicação em relação à adição de matrizes
1.A=A Elemento Neutro da Multiplicação por números
Veja as propriedades da Multiplicação de matrizes:
Dados A, B, C matrizes e n um número real:
(A.B).C=A.(B.C) Associatividade da Multiplicação
A.(B+C)=A.B+A.C Distributividade da Multiplicação à direita
(A+B).C=A.C+B.C Distributividade da Multiplicação à esquerda
n.(A.B)=(n.A).B=A.(n.B) Associatividade do número nas Multiplicações
Amxn.In=A Elemento Neutro da Multiplicação
9) Verdadeiro ou Falso?
( F ) Se existe A.B e existe B.A, então A.B=B.A.
Há vários exemplos que já fizemos.
Contra Exemplo:
( V )Existem A e B tais que A.B=B.A
São matrizes comutáveis. Se uma delas for a matriz identidade I2, I3, etc, a sentença é verdadeira.
Demonstração: basta mostrar um exemplo -
( F ) Se existe A.B, então existe B.A
O número de colunas da primeira precisa coincidir com o número de linhas da segunda; ou seja, apenas
em matrizes quadradas isso é possível.
Contra Exemplo:

5. OTÁVIO LUCIANO CAMARGO SALES DE MAGALHÃES 5
( V ) Se A.B existe e A é uma matriz nula, então A.B é uma matriz nula.
Toda multiplicação por zero resulta em zero. Veja o item ‘c’ do exercício 8 e tente compreender por qual
motivo a afirmação é verdadeira.
Demonstração: -
( F ) Se A.B é uma matriz nula, então ou A é nula ou B é nula.
Não necessariamente, como ocorrem com os números naturais.
Contra Exemplo:
10) Dada a matriz A=
2 7
−3 5
4 1
, verifique que A.I2=I3.A=A.
Basta fazer
2 7
−3 5
4 1
.
1 0
0 1
=
2 7
−3 5
4 1
e
1 0 0
0 1 0
0 0 1
.
2 7
−3 5
4 1
=
2 7
−3 5
4 1
.
Lembre-se que I3=
1 0 0
0 1 0
0 0 1
, a matriz identidade! Igualmente I2=
1 0
0 1
.
11) Calcule x, y e z para que se tenha:
2 −1 1
0 2 1
0 0 4
.
𝑥
𝑦
𝑧
=
7
−1
12
2𝑥 − 𝑦 + 𝑧
2𝑦 + 𝑧
4𝑧
=
7
−1
12
.
Temos um sistema de 3 equações com 3 variáveis
2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 7
2𝑦 + 𝑧 = −1
4𝑧 = 12
4z=12, então z=3
2y+3=-1 2y=-1-3 2y=-4 y=-2
2x-(-2)+3=7 2x=7-2-3 2x=2 x=1
Temos então x=1, y=-2 e z=3.
A expressão
2 −1 1
0 2 1
0 0 4
.
𝑥
𝑦
𝑧
=
7
−1
12
é a forma matricial do sistema
2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 7
2𝑦 + 𝑧 = −1
4𝑧 = 12
12) Dadas a matriz A=
2 0 3
0 0 1
−2 2 1
, calcule A2
, A3
e A4
.
Calculando no wxMaxima
A2
=matrix([-2,6,9],[-2,2,1],[-6,2,-3])=
−2 6 9
−2 2 1
−6 2 −3
A3
=matrix([-22,18,9],[-6,2,-3],[-6,-6,-19]) =
−22 18 9
−6 2 −3
−6 −6 −19

6. OTÁVIO LUCIANO CAMARGO SALES DE MAGALHÃES 6
A4
=matrix([-62,18,-39],[-6,-6,-19],[26,-38,-43])=
−62 18 −39
−6 −6 −19
26 −38 −43
A2
=A.A, A3
=A2
.A, etc...
13) Calcule x e y para que A e B comutem A=
1 3
−2 2
e B=
4 𝑥
𝑦 3
.
Temos que ter A.B=B.A, portanto
4 + 3𝑦 𝑥 + 9
−8 + 2𝑦 −2𝑥 + 6
=
4 − 2𝑥 12 + 2𝑥
𝑦 − 6 3𝑦 + 6
Igualando
4+3y=4-2x 2x+3y=0
-8+2y=y-6 y=2
x+9=12+2x -x=3 x=-3
-2x+6=3y+6 -2x-3y=0 2x+3y=0 (igual a 1ª equação)
Veja que esse sistema tem 4 equações e poderia ser impossível, porém, encontramos x=-3 e y=2
Então verificamos 2x+3y=0, ou seja 2.(-3)+3.2=0
Faça A.B e B.A e iguale os termos.
14) Dada a matriz A=
−1 0
0 1
, calcule A2
, A3
, A100
e A101
.
Calculando A2
=
1 0
0 1
, A3
=
−1 0
0 1
, notamos que para Apar
=
1 0
0 1
, Aímpar
=
−1 0
0 1
. Então A100
=
1 0
0 1
,
A101
=
−1 0
0 1
.
15) Verifique que a matriz A=
1 2
0 0
é não invertível.
Vamos mostrar que
1 2
0 0
.
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
=
1 0
0 1
𝑎 + 2𝑐 𝑏 + 2𝑑
0 0
=
1 0
0 1
Como é impossível termos 0=1, veja em a22, a matriz não é invertível.
Ou seja, você tentará calcular a Matriz Inversa (relembre aulas passadas), e verificará que não é possível,
por um motivo que vai aparecer durante a resolução.
Há uma propriedade importante para ser lembrada e formalizada:
A.A-1
=A-1
.A=In Elemento Inverso da Multiplicação

7. OTÁVIO LUCIANO CAMARGO SALES DE MAGALHÃES 7
16) Verifique que (A.B)-1
=B-1
.A-1
Multiplicando ambos os membros por A.B, temos que (A.B)-1
.A.B=(B-1
.A-1
).A.B.
O primeiro membro é igual a In, a matriz identidade.
Como vale a associativa (B-1
.A-1
).A.B=B-1
.(A-1
.A).B=B-1
.In.B=B-1
.B=In.
Demonstrado!
Resolução do exercício 16
(A.B)-1
=B-1
.A-1
, vamos multiplicar por A.B nos dois membros
(A.B)-1
.A.B=B-1
.A-1
.A.B, mas (A.B)-1
.A.B=In, e também A-1
.A=In, pela propriedade Elemento Inverso, então
In=B-1
.In.B
In
=
In.In
In=In CQD.
17) Diz que uma matriz quadrada A de ordem n é idempotente se A2
=A. Mostrar que a matriz A=
−2 2
−3 3
é
idempotente. (trecho em azul omisso no original).
Basta calcular A2
=
−2 2
−3 3
Matriz Simétrica – é a matriz quadrada onde A=At
1 −1 4
−1 3 5
4 5 −2
Matriz Anti-Simétrica – é a matriz quadrada onde A=-At
1 −1 −4
1 3 5
4 −5 −2
18) Determinar x, y e z de modo que a matriz A=
0 −4 2
𝑥 0 1 − 𝑧
𝑦 2𝑦 0
é anti-simétrica.
Pela definição de matriz anti-simétrica
y=-2
x=-(-4) x=4
2y=1-z 2.(-2)=1-z -4=1-z z=1+4 z=5
19) Resolva as equações matriciais:
a)
3 4
2 3
.X=
−1
−1
3 4
2 3
.
𝑎
𝑏
=
−1
−1
3𝑎 + 4𝑏
2𝑎 + 3𝑏
=
−1
−1
3𝑎 + 4𝑏 = −1
2𝑎 + 3𝑏 = −1
2𝑎 + 4𝑏 = −1 × −3
2𝑎 + 3𝑏 = −1 × 4
−9𝑎 − 12𝑏 = 3
8𝑎 + 12𝑏 = −4
-a=-1 a=1
2.1+4b=-1 2+4b=-1 4b=-1 b=-1/4