1. O documento apresenta 20 questões de cálculo envolvendo limites, continuidade e derivadas. As questões abordam cálculo de limites, existência de limites laterais, interpretação de resultados, propriedades de funções contínuas e deriváveis. 2. Nas questões iniciais são apresentados cálculos de limites simples e limites envolvendo raízes e frações. As questões subsequentes abordam continuidade, existência de limites, interpretação física de resultados e propriedades de funções trigonométricas e expon

1. UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE
DMA - Departamento de Matem´atica
Disciplina: C´alculo I
Lista - Limites e continuidades; Derivada - 2014.1
Prof. Alex Victor
Quest˜ao 1. Calcule os limites:
(a) limx→1
3
√
x−1√
x−1
(b) limx→3
3
√
x− 3
√
3
x−3 (c)limx→8
√
2+ 3
√
x−2
x−8
(d)limx→1
4
√
x−1
5
√
x−1
(e)limx→1
x3
−4x+3
x5−2x+1 (f)limx→−2
x4
+2x3
−5x2
−12x−4
2x4+7x3+2x2−12x−8
Quest˜ao 2. Calcule os limites:
(a) limx→1
xm
−1
xn−1 , onde n, m s˜ao n´umeros inteiros.
(b) limx→a
xm
−am
xn−an , onde n, m s˜ao n´umeros inteiros.
(c) limx→a
x
√
x−a
√
a√
x−
√
a
, onde a > 0.
(d) limx→a
m
√
x− m
√
a
n
√
x− n
√
a
, onde m, n s˜ao n´umeros inteiros e se m ou n ´e par ent˜ao
a > 0.
Quest˜ao 3. Existe um n´umero a tal que
limx→−2
3x2
+ ax + a + 3
x2 + ax − 2
exista? Caso afirmativo, encontre a e o valor do limite.
Quest˜ao 4. Seja a fun¸c˜ao f(x) = [[x]] = (o maior n´umero inteiro que ´e
menor ou igual a x).
Considere agora a fun¸c˜ao g(x) = f(x) + f(−x) = [[x]] + [[−x]], mostre que
limx→2g(x) existe mas ´e diferente de g(2).
Quest˜ao 5. Calcule os limites laterais se existir:
(a) limh→0+
√
h2+4h+5−
√
5
h .
(b) limx→−2+
(x+3)|x+2|
x+2 .
(c) limx→−2−
(x+3)|x+2|
x+2 .

2. Quest˜ao 6. Na Teoria da Relatividade a F´ormula de Contra¸c˜ao de Lo-
rentz,
L = L0 1 −
v2
c2
expressa o comprimento L de um objeto como uma fun¸c˜ao de sua veloci-
dade v em rela¸c˜ao de um observador, onde L0 ´e o comprimento do objeto
no repouso e c ´e a velocidade da luz. Encontre limv→c−L e interprete o
resultado. Porque ´e necess´ario o limite a esquerda?
Quest˜ao 7. Prove que limx→0+
√
xesen(π
x )
= 0.
Quest˜ao 8. Demonstre que a fun¸c˜ao
f(x) =
x4
sen(1
x), se x = 0,
0, se x = 0.
´e cont´ınua em (−∞, ∞)
Quest˜ao 9. Encontre os valores de a e b que tornam f cont´ınua em (−∞, ∞)
f(x) =



x2
−4
x−2 , se x < 2,
ax2
− bx + 3, se 2 ≤ x < 3
2x − a + b, sex ≥ 3
Quest˜ao 10. A acelera¸c˜ao devida a gravidade G varia com a altitude em
rela¸c˜ao `a superf´ıcie terrestre. G ´e fun¸c˜ao de r (a distˆancia at´e ao centro
da terra) e, ´e dada por:
G(r) =
gMr
R3 , se r < R,
gM
r2 , se r ≥ R.
, onde R ´e o raio da Terra, M a massa da Terra e g a constante gravitaci-
onal. Verifique se G ´e cont´ınua.
Quest˜ao 11. Encontre as ass´ıntotas verticais e horizontais das fun¸c˜oes
abaixo:
(a) y = 1
x−1
(b) y = 2x2
+x−1
x2−1
(c) y = x+4
x+3
(d) y = x
x2−1
2

3. Quest˜ao 12. Calcule os seguintes limites:
(a) limx→−∞(1
3)x
(b) limx→13
4x5−2x3+2x
2x3−x+1
(c) limx→π
6
2senx
(d) limx→0+ ln 2x
Quest˜ao 13. Mostre que:
(a) limx→0(1 + 3x)
4
x = e12
(b) limx→0(1 + 2x)
1
x = e2
(c) limx→0(1 + 4x
7 )
1
x = e
4
7
(d) limx→0(1 + x
π )
1
x = e
1
π
(e) limx→0(1 − x)
1
x = e−1
Quest˜ao 14. Calcule os seguintes limites:
(a) limn→∞(1 + 1
n)n+2
(b) limn→∞(1 + 3
n)n
(c) limx→∞( x
1+x)x
(d) limx→∞(1 + 5
x)x+1
(e) limx→π(1 + senx)
1
senx
Quest˜ao 15. Determine o limite das fun¸c˜oes trigonom´etricas, se existirem:
(a) limθ→0( θ
cos θ)
(b) limx→π
2
cos x
x−π
2
(c) limx→π(senx−senπ
x−π )
(d) limt→0
sen(3t)
2t
(e) limx→0
sen(2x)
sen(3x)
(f) limx→0
tan2
(x)
x
(g) limx→π−
sen(t)
t−π
Quest˜ao 16. Prove que a equa¸c˜ao tem pelo menos uma raiz real
√
x − 5 =
1
x + 3
.
3

4. Quest˜ao 17. Existe um n´umero que ´e exatamente um a mais que seu
cubo?
Quest˜ao 18. Encontre limx→∞f(x) se
4x − 1
x
< f(x) <
4x2
+ 3x
x2
para todo x > 5.
Quest˜ao 19. Seja f(x) = 3
√
x.
(a) Se a = 0, encontre f (a)
(b) Mostre que f (0) n˜ao existe.
Quest˜ao 20. Encontre uma fun¸c˜ao f e um n´umero a tais que
limh→0
(2 + h)6
− 64
h
= f (a).
Quest˜ao 21. Uma fun¸c˜ao f ´e dita par se f(−x) = f(x) para todo x e dita
´ımpar se f(−x) = −f(x) para todo x. Use a defini¸c˜ao de derivada para
Mostrar que;
(a) A derivada de uma fun¸c˜ao par ´e um fun¸c˜ao ´ımpar.
(b) A derivada de uma fun¸c˜ao ´ımpar ´e uma fun¸c˜ao par.
Respostas e algumas sugest˜oes:
Quest˜ao 1
(a) 2
3
(b) 1
3 3
√
9
(c) 1
48
(d) 5
4
(e) − 1
3
(f) 7
8
Quest˜ao 2
(a) m
n (b) m
n am−n
(c) 3a (d) n·
mn
√
an−m
m
Quest˜ao 3
a = 15 e o limite ´e igual a −1.
4

5. Quest˜ao 4
Lembre-se que o limite existe se, e somente se, os limites laterais existem
e s˜ao iguais.
Quest˜ao 5
(a) 2√
5
(b) 1
(c) − 1
Quest˜ao 6 L = 0.
Quest˜ao 7
Lembre-se que −1 ≤ senx ≤ 1, para todo x, e use o Teorema do Confronto.
Quest˜ao 8
Note que a fun¸c˜ao f ´e cont´ınua para todo x = 0 (porque?). Depois analise
a continudade em x = 0.
Quest˜ao 9
a = b = 1
2
Quest˜ao 10
G ´e cont´ınua.
Quest˜ao 11
(a) horizontal: y = 0 vertical: x = 1
(b) horizontal: y = 2 vertical: x = 1
(c) horizontal: y = 1 vertical: x = −3
Quest˜ao 12
(a) + ∞
(b) 6
(c)
√
2
(d) − ∞
Quest˜ao 14
(a) e
(b) e3
(c) e−1
5

6. (d) e5
(e) e
Quest˜ao 15
(a) 0
(b) 1
(c) − 1
(d) 3
2
(e) 2
3
(f) 0
(g) − 1
Quest˜ao 16
Use o Teorema do Valor Intermedi´ario.
Quest˜ao 17
Comece chamando o n´umero desconhecido de x, e tente interpretar a
quest˜ao como uma equa¸c˜ao envolvendo x.
Quest˜ao 18
Use o Teorema do Confronto.
Quest˜ao 19
f (a) = 1
3a
2
3
, a = 0.
Quest˜ao 20
Compare com a defini¸c˜ao de derivada.
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