Trigonometria no Triângulo Retângulo (Eletrotécnica)

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Sugestão de aula de Matemática para o Ensino Médio Integrado da Fundação de Apoio à Escola Técnica. Produzido pela Diretoria de Desenvolvimento da Educação Básica e Técnica/FAETEC.

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  • vc poderia disponibilizar esta apresentação para dowload. Estou fazendo um artigo sobre aplicações da trigonometria e essa aplicação está atrativa.
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Trigonometria no Triângulo Retângulo (Eletrotécnica)

  1. 1. Autoras: Fernanda Souza Katia Dutra
  2. 2. Vamos Começar? A trigonometria é utilizada em várias áreas, como na engenharia civil, naval, elétrica, agronômica e na astronomia como também no dia a dia de profissionais como costureiras, eletricistas, mestres de obras etc. Por isso, nesta aula, estudaremos a trigonometria do triângulo retângulo, pois ela nos permitirá realizar facilmente cálculos como: - altura de um prédio através de sua sombra; - distância a ser percorrida em uma pista circular de atletismo; - largura de rios, montanhas etc. No curso de eletrotécnica estuda-se muito eletricidade. Logo, você terá de lidar com potências elétricas, não é mesmo? Mas, então, qual será a relação entre eletricidade, potência e trigonometria?
  3. 3. Já aconteceu de você estar assistindo a sua TV e, quando é ligado um motor elétrico (liquidificador, secador de cabelo ) a TV ficar com ruídos na imagem? Pois é, esta é uma amostra das interferências que acontecem quando a rede elétrica recebe cargas muito elevadas. É aí que entra a trigonometria. Então, vamos ver esta aula para entender melhor como isso funciona.
  4. 4. Fique por dentro As funções trigonométricas básicas são relações entre as medidas dos lados do triângulo retângulo e seus ângulos. As três funções mais importantes da trigonometria são: , e .
  5. 5. Observe que os triângulos retângulos na figura possuem os lados . B 5 N  5 Q 10 12 9 6  C 8 P 4 M 4 A O Teorema de Tales nos garante que os triângulos formados são semelhantes: ABC ~ MNC ~ PQC
  6. 6. Podemos então, estabelecer três importantes razões: 1. Razão entre a medida do cateto oposto ao ângulo α e a medida da hipotenusa PQ = _6 = 3 QC 10 5 MN = _9 = 3 NC 15 5 15 10 6 9 As razões encontradas são AB = 12 = 3 BC 20 5 constantes 3 20 5 12 e são chamadas de seno de α
  7. 7. O Teorema de Tales nos garante que, para um triângulo retângulo qualquer, sendo C um ângulo agudo de medida α, podemos escrever: B B1  A A1 C Em todo triângulo retângulo, o seno de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto oposto a esse ângulo e a medida da hipotenusa. sen= cateto oposto a  hipotenusa = A1 B1 B1 C AB = BC
  8. 8. 2. Razão entre a medida do cateto adjacente ao ângulo α e a medida da hipotenusa CP = _8 = 4 QC 10 5 CM = 12 = 4 NC 15 5 10 8 15 12 As razões encontradas são CA = 16 = 4 BC 20 5 constantes 4 20 5 e são chamadas de 16 cosseno de α
  9. 9. Em todo triângulo retângulo, o cosseno de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto adjacente a esse ângulo e a medida da hipotenusa. A B C
  10. 10. 3. Razão entre a medida do cateto oposto e a medida do cateto adjacente ao ângulo α. QP = 6 PC 8 =3 4 NM = 12 MC 15 =3 4 6 12 8 15 As razões encontradas são constantes 3 BA = 12 = 3 AC 16 4 12 16 4 e são chamadas de tangente de α
  11. 11. Em todo triângulo retângulo, a tangente de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto oposto e a medida cateto adjacente a esse ângulo. A B C
  12. 12. Podemos verificar que, dada as definições de seno e cosseno de um ângulo, podemos também escrever a relação da tangente como:
  13. 13. Alguns ângulos, por aparecerem com muita frequência nos problemas de trigonometria são chamados de ângulos notáveis. São eles: 30 , 45 e 60 . Para facilitar a consulta, colocaremos os valores das razões trigonométricas desses ângulos em uma tabela. α 30° 45° 60° sen α 1 _ 2 2 _ 2 3 _ 2 cos α tg α 3 _ 2 2 _ 2 1 1 _ 2
  14. 14. Esses valores da tabela são obtidos a partir das relações trigonométricas dos triângulos retângulos obtidos pela diagonal do quadrado (45°) ... 45° l l 45° l
  15. 15. ... e pela divisão do triângulo equilátero (30° e 60°), como você pode conferir na figura a seguir: A 30° 30° l l h 60° B 60° H l C 2 Depois, é só aplicar as razões trigonométricas nos catetos e hipotenusa para obter os valores da tabela. Experimente!
  16. 16. Assista ao vídeo explicativo com problemas práticos, envolvendo a trigonometria e suas soluções. https://www.youtube.com/watch?v=HkTlT5oN8g8
  17. 17. Os problemas em trigonometria também podem envolver outros ângulos. E, para isso, podemos consultar uma tabela trigonométrica ou utilizar uma calculadora científica. Também usamos as tabelas e calculadoras para fazer o caminho inverso: dado o valor do cosseno ou seno, qual o valor do ângulo? Na calculadora, isso se faz com as teclas das funções inversas arcsen (ou sin-¹), arccos (ou cos-¹) e arctg (tan-¹).
  18. 18. Tabela de seno, cosseno e tangente:
  19. 19. Outras relações entre seno e cosseno: O seno de um ângulo agudo é igual ao cosseno do complemento desse ângulo e vice-versa. Essas propriedades podem ser facilmente verificadas no triângulo retângulo. Experimente!
  20. 20. E a relação entre eletricidade, potência e trigonometria sobre a qual falamos anteriormente, como fica? A trigonometria está na base do estudo teórico da eletricidade e um exemplo disso é o fator de potência. Mas... O que é fator de potência?
  21. 21. Nas instalações elétricas, é considerado bom um fator de potência maior ou igual a 0,85 ou 85% porque, quanto menor o fator de potência, maior a corrente. Se o fator de potência não for adequado, haverá perdas por aquecimento e desgaste nas instalações. Matematicamente, o fator de potência é a relação entre a potência real e a potência aparente e é o valor do cos α no triângulo retângulo.
  22. 22. Análise prática do fator de potência (cos α) Nos sistemas em que o cos α é reduzido a baixos valores, a corrente nos condutores não é toda aproveitada como seria desejável. Vejamos um caso concreto: Imaginemos duas fábricas consumindo a mesma potência de 400 kW a uma tensão de 5 KV (quilo volt= 1000volts) mas com fatores de potência distintos: cos α na fábrica 1 = 1 e cos α na fábrica 2 = 0,5. Ao fim de igual tempo de funcionamento, os dois sistemas terão consumido a mesma energia. Calculemos as correntes utilizadas por cada um: P = U.I . cos α Onde: P= potência U= tensão I = corrente elétrica cos α = fator de potência Fábrica 1 : I1 = P1 / (U1 . cos α 1) = 400 / (5x 1) = 80 A Fábrica 2 : I2 = P2 / (U2 . cos α 2) = 400 / (5x 0,5) =160 A
  23. 23. A segunda instalação, para a mesma potência, necessita do dobro da intensidade de corrente da primeira. Viu só que prejuízo? Isso traz consequências tanto para produtores como para consumidores. Dessa forma, produtores e distribuidores de energia terão que dispor de alternadores com potências mais elevadas para poderem fornecer a corrente, o que provocará um dimensionamento de toda a aparelhagem, linhas de transporte e distribuição para maiores intensidades. Logo, em relação aos sistemas, é melhor dispor-se de um elevado fator de potência porque, se isso não ocorrer, terá que ser superdimensionada a aparelhagem de proteção, o que resultará em maiores custos.
  24. 24. Veja outro exemplo O gráfico a seguir representa a tensão U (volts) aplicada a um resistor versus a corrente i (ampères) obtida. Calcule o valor da resistência: Solução: θ A resistência será dada pela tangente do ângulo formado entre o eixo da corrente e a reta do gráfico, ângulo θ na figura anterior.
  25. 25. Acompanhe outro exemplo. Em um campo magnético B de intensidade 10²T (tesla), uma partícula q com carga 0,0002 C (coulomb) é lançada com 6 velocidade de 2.10 m/s, em uma direção que forma um ângulo de 30° com a direção do campo magnético, conforme indica a figura: Qual a intensidade da força magnética que age sobre a partícula? Para calcularmos a força magnética que age sobre esta partícula, devemos usar a equação do campo magnético generalizado para direções arbitrárias de "lançamento". Ou seja:
  26. 26. Navegando ... Assista à animação abaixo e veja como a trigonometria está em vários campos e atividades. http://rived.mec.gov.br/atividades/matematica/mundo_trigonometria/index.html Veja um vídeo sobre corrente elétrica em: https://www.youtube.com/watch?v=tZLnsyPuohs Entenda mais sobre potência e energia potencial em: https://www.youtube.com/watch?v=XU2n8Dl_MC8
  27. 27. Agora é sua vez! -14 1. Em um campo magnético de intensidade B= 100T, uma partícula com carga q= 2.10 é lançada 5 com velocidade v= 2.10 (em m/s), em uma direção que forma um ângulo de 30° com a direção do campo magnético. Qual a intensidade da força que atua sobre a partícula? Use a equação da intensidade da força magnética.
  28. 28. 2. Em um circuito RL, (circuito constituído por uma bobina real), temos o triângulo das tensões e o triângulo das impedâncias como nas figuras a seguir: Determine, os valores de cosφ e senφ em função de Z, R e XL. Lembrete: U = tensão em volts; XL = reatância indutiva em Ohms; R = resistência em Ohms, Z= é a impedância (U/I) também em ohms
  29. 29. Confira suas respostas! Então? Como foi o seu desempenho? -7 1. F= 2x10 N 2. cosφ = R/Z e senφ = XL /Z
  30. 30. Referências Bibliográficas 1. GIOVANNI JÚNIOR, José Ruy e CASTRUCCI Benedicto . A Conquista da Matemática, 9º ano. São Paulo: FTD, 2009. 2. SMOLE, Katia, ,KIYUKAWA, Rokusaburo. Matemática, vol. 1. São Paulo: Editora Saraiva, 1998. 3. SILVEIRA, Ênio e MARQUES, Cláudio. Matemática vol. 1. São Paulo: Moderna, 1995. 4. Site: http://www.sofisica.com.br/conteudos/exercicios/inducao.php , acessado em 11/10/201, 16:00.

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