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Exercícios resolvidos

exercicios de eletromag

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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
ELETRIZAÇÃO E FORÇA ELÉTRICA
1. Um corpo eletrizado positivamente apresenta a quantidade de carga de 480 Cµ . Calcule o
número de elétrons perdidos pelo corpo, inicialmente neutro. DADO: 19
1,6 10e −
= ⋅ C.
Resolução
6
6 19 15
480 480 10
480 10 1,6 10 3 10
Q C C Q n e
n n elétrons
µ −
− −
= = ⋅ = ⋅
⋅ = ⋅ = ⋅
2. Duas esferas idênticas de tamanhos desprezíveis, com cargas 3Q e Q, encontram-se no vácuo,
separadas de uma distância d. Sobre cada uma delas age uma força F , de interação
eletrostática. Colocam-se as duas esferas em contato até que atinjam o equilíbrio eletrostático.
Calcule a intensidade da força F que age sobre as duas esferas quando separadas de uma
distância d, em relação a intensidade de F .
Resolução:
* Antes do contato:
2
2 2
3 3Q Q Q
F k F k
d d
⋅
= =
* Após o contato:
2
' '
2 2
2 2 4Q Q Q
F k F k
d d
⋅
= =
De 1 e 2 tem-se
2
' '2
'
2
4
4 4
3 3 3
Q
k
F F Fd F
QF F
k
d
⋅
⋅
= = =
⋅
1
d
F F
3Q Q
d
'
F '
F
2Q 2Q
2
3. Considere dois pontos materiais A e B no vácuo, afastados de qualquer outro corpo. O ponto A
é fixo e possui carga elétrica positiva Q+ . O ponto B executa movimento circular e uniforme
com centro A e raio r, ele tem massa m e carga elétrica negativa –q. Desprezando-se as ações
gravitacionais, determine a velocidade de B. É dada a constante eletrostática K.
Resolução
Como o movimento é circular e uniforme, a força elétrica está voltada para o centro, decorrendo
que ela é uma força centrípeta:
Força elétrica = Força centrípeta
2
0 2
2
0 02
elet cp cp
Q q V
F k F m Q m
r r
Q q m V Q q
k V k
r r m r
⋅
= ⋅ = ⋅ = ⋅
⋅ ⋅ ⋅
⋅ = = ⋅
⋅
4. Nos vértices de um triângulo eqüilátero de 3m de lado, estão colocadas as cargas
7
1 2 4 10q q C−
= = ⋅ e 7
3 1,0 10q C−
= ⋅ . Calcule a intensidade da força resultante que atua em 3q .
O meio é o vácuo.
Resolução
7
1 2
7
3
9 2 2
0
4,0 10
1,0 10
9 10 /
q q C
q C
k N m C
−
−
= = ⋅
= ⋅
= ⋅ ⋅
7 7
9
13 23 2
4 10 1 10
9 10
3
F F
− −
⋅ ⋅ ⋅
= = ⋅
5
13 23 4 10F F N−
= = ⋅
2 2 2
13 23 13 232 cos60F F F F F= + + ⋅ ⋅ °
5
4 3 10F N−
= ⋅
23F
13F
3q
60º
3m 3m
3m
1q 2q
23F
13F
F
3q
60º
A
+Q
B
-q
r
v
eletF
CAMPO ELÉTRICO
1. Duas cargas puntiformes são fixadas nos pontos A e B distantes de um metro. Sendo a carga em
A, 6
10AQ C−
= e a carga em B, 6
4 10BQ C−
= ⋅ , determine um ponto P, onde o vetor campo
elétrico resultante seja nulo.
Resolução
2 2
6 6
2 2
2 2
(1 )
10 4.10
(1 ) 4
(1 )
A B
A B
E E
Q Q
k k
X X
X X
X X
− −
=
=
−
= − =
−
2 1
3 2 1 0
3
X X X m+ − = = (em relação ao ponto A sobre o segmento AB ),
OBS: 1X m= − não convém, pois significa que o ponto P estaria à esquerda de A, onde AE e
BE teriam mesma direção e sentidos iguais, não resultando um campo elétrico nulo.
2. A figura mostra duas partículas carregadas de intensidade q mas de sinais contrários, separadas
de uma distância d. Supondo-se que Z d , mostre que o campo elétrico deste dipolo elétrico,
em um ponto P , uma distância Z do ponto médio do dipolo e sobre o eixo que passa pelo centro
das partículas é dado pela expressão 3
0
1 1
2
F
Zπε
= .
Resolução
A intensidade E do campo elétrico em P é
( ) ( ) 2 2
0 ( ) 0 ( )
2 2
0 0
1 1
4 4
1 1
4 4
2 2
q q
E E E E
r r
q q
E
z d z d
πε πε
πε πε
+ −
+ −
= − = −
= −
− +
2 2
2
0
1 1
4 2 2
q d d
E
Z z zπε
− −
= − − +
1m
PBE AE
X 1-X
AQ BQ
A B
1
2
A grandes distâncias como esta, temos 1
2
d
z
Na equação 2 podemos então expandir as duas grandezas entre parênteses dessa equação pelo
teorema binomial:
21
(1 ) 1
2!
n n
y ny n y
−
+ = + + + − − − − −
Obtendo-se para essas grandezas:
2 2
1 1
2 (1!) 2 (1!)
d d
z z
+ + − − − − − − + − − − −
Logo, 2
0
1 1
4
q d d
E
z z zπε
= + + − − − − + + − − −
Os termos omitidos nas duas expressões da equação anterior envolvem d/z elevado a potências
progressivamente mais altas. Como / 1d z , as contribuições desses termos são progressivamente
menores e para aproximamos E a grandes distâncias, podemos desprezá-los. Assim, em nossa
aproximação podemos prescrever a equação anterior, como
2 3
0 0
2 1
4 2
q d qd
E
z z zπε πε
= =
O produto qd é a intensidade ρ de uma grandeza vetorial conhecida como o momento de dipolo
elétrico ρ do dipolo.
Logo: 3
0
1
2
E
z
ρ
πε
=
OBS: Adotamos como sentido de ρ o da extremidade negativa para a extremidade positiva do
dipolo.
3. A figura seguinte mostra um anel fino de raio R com uma densidade linear
de carga positiva uniforme λ ao redor da sua circunferência. Podemos
imaginar o anel feito de plástico ou de algum material isolante, de modo
que as cargas possam ser consideradas fixas. Qual o campo elétrico E no
ponto P, a uma distância Z do plano do anel ao longo do seu eixo central?
Resolução
Seja ds o comprimento (de arco) de qualquer elemento diferencial do anel. Como λ é a carga por
unidade de comprimento, o elemento possui uma intensidade de carga
dq dsλ= ⋅
Esta carga diferencial cria um campo elétrico diferencial dE no ponto P, que está a uma distância r
do elemento. Tratando o elemento como um carga pontual, podemos expressar a intensidade de dE
como
2 2
0 0
1 1
4 4
dq ds
dE
r r
λ
πε πε
= =
Da figura, podemos reescrever a equação anterior como
( )2 2
0
1
4
ds
dE
Z R
λ
πε
=
+
A figura nos mostra que dE forma um ângulo com o eixo central (que tomamos como sendo o eixo
Z) e possui componentes perpendiculares e paralelos a esse eixo.
As componentes perpendiculares se cancelam e não precisamos mais considerá-las. Restam apenas
as componentes paralelas. Todas elas possuem a mesma direção e sentido, portanto o campo
elétrico resultante em P é a soma delas.
A componente paralela de dE mostrada na figura, possui intensidade cosdE θ . A figura também
nos mostra que
( )
1/22 2
2
cos
Z
r Z R
θ = =
+
Logo:
( )
( )
3/22 2
0
2
3/22 2
00
cos
4
cos
4
R
Z
dE ds
Z R
Z
E dE ds
Z R
π
λ
θ
πε
λ
θ
πε
=
+
= =
+
( )
3/22 2
0
(2 )
4
Z R
E
Z R
λ π
πε
=
+
Como λ é a carga por comprimento do anel, o termo (2 )Rλ π é a carga total q do anel.
Então
( )
3/22 2
04
qZ
E
Z Rπε
=
+
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Exercícios resolvidos

  • 2. ELETRIZAÇÃO E FORÇA ELÉTRICA 1. Um corpo eletrizado positivamente apresenta a quantidade de carga de 480 Cµ . Calcule o número de elétrons perdidos pelo corpo, inicialmente neutro. DADO: 19 1,6 10e − = ⋅ C. Resolução 6 6 19 15 480 480 10 480 10 1,6 10 3 10 Q C C Q n e n n elétrons µ − − − = = ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ 2. Duas esferas idênticas de tamanhos desprezíveis, com cargas 3Q e Q, encontram-se no vácuo, separadas de uma distância d. Sobre cada uma delas age uma força F , de interação eletrostática. Colocam-se as duas esferas em contato até que atinjam o equilíbrio eletrostático. Calcule a intensidade da força F que age sobre as duas esferas quando separadas de uma distância d, em relação a intensidade de F . Resolução: * Antes do contato: 2 2 2 3 3Q Q Q F k F k d d ⋅ = = * Após o contato: 2 ' ' 2 2 2 2 4Q Q Q F k F k d d ⋅ = = De 1 e 2 tem-se 2 ' '2 ' 2 4 4 4 3 3 3 Q k F F Fd F QF F k d ⋅ ⋅ = = = ⋅ 1 d F F 3Q Q d ' F ' F 2Q 2Q 2
  • 3. 3. Considere dois pontos materiais A e B no vácuo, afastados de qualquer outro corpo. O ponto A é fixo e possui carga elétrica positiva Q+ . O ponto B executa movimento circular e uniforme com centro A e raio r, ele tem massa m e carga elétrica negativa –q. Desprezando-se as ações gravitacionais, determine a velocidade de B. É dada a constante eletrostática K. Resolução Como o movimento é circular e uniforme, a força elétrica está voltada para o centro, decorrendo que ela é uma força centrípeta: Força elétrica = Força centrípeta 2 0 2 2 0 02 elet cp cp Q q V F k F m Q m r r Q q m V Q q k V k r r m r ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = = ⋅ ⋅ 4. Nos vértices de um triângulo eqüilátero de 3m de lado, estão colocadas as cargas 7 1 2 4 10q q C− = = ⋅ e 7 3 1,0 10q C− = ⋅ . Calcule a intensidade da força resultante que atua em 3q . O meio é o vácuo. Resolução 7 1 2 7 3 9 2 2 0 4,0 10 1,0 10 9 10 / q q C q C k N m C − − = = ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ 7 7 9 13 23 2 4 10 1 10 9 10 3 F F − − ⋅ ⋅ ⋅ = = ⋅ 5 13 23 4 10F F N− = = ⋅ 2 2 2 13 23 13 232 cos60F F F F F= + + ⋅ ⋅ ° 5 4 3 10F N− = ⋅ 23F 13F 3q 60º 3m 3m 3m 1q 2q 23F 13F F 3q 60º A +Q B -q r v eletF
  • 4. CAMPO ELÉTRICO 1. Duas cargas puntiformes são fixadas nos pontos A e B distantes de um metro. Sendo a carga em A, 6 10AQ C− = e a carga em B, 6 4 10BQ C− = ⋅ , determine um ponto P, onde o vetor campo elétrico resultante seja nulo. Resolução 2 2 6 6 2 2 2 2 (1 ) 10 4.10 (1 ) 4 (1 ) A B A B E E Q Q k k X X X X X X − − = = − = − = − 2 1 3 2 1 0 3 X X X m+ − = = (em relação ao ponto A sobre o segmento AB ), OBS: 1X m= − não convém, pois significa que o ponto P estaria à esquerda de A, onde AE e BE teriam mesma direção e sentidos iguais, não resultando um campo elétrico nulo. 2. A figura mostra duas partículas carregadas de intensidade q mas de sinais contrários, separadas de uma distância d. Supondo-se que Z d , mostre que o campo elétrico deste dipolo elétrico, em um ponto P , uma distância Z do ponto médio do dipolo e sobre o eixo que passa pelo centro das partículas é dado pela expressão 3 0 1 1 2 F Zπε = . Resolução A intensidade E do campo elétrico em P é ( ) ( ) 2 2 0 ( ) 0 ( ) 2 2 0 0 1 1 4 4 1 1 4 4 2 2 q q E E E E r r q q E z d z d πε πε πε πε + − + − = − = − = − − + 2 2 2 0 1 1 4 2 2 q d d E Z z zπε − − = − − + 1m PBE AE X 1-X AQ BQ A B 1 2
  • 5. A grandes distâncias como esta, temos 1 2 d z Na equação 2 podemos então expandir as duas grandezas entre parênteses dessa equação pelo teorema binomial: 21 (1 ) 1 2! n n y ny n y − + = + + + − − − − − Obtendo-se para essas grandezas: 2 2 1 1 2 (1!) 2 (1!) d d z z + + − − − − − − + − − − − Logo, 2 0 1 1 4 q d d E z z zπε = + + − − − − + + − − − Os termos omitidos nas duas expressões da equação anterior envolvem d/z elevado a potências progressivamente mais altas. Como / 1d z , as contribuições desses termos são progressivamente menores e para aproximamos E a grandes distâncias, podemos desprezá-los. Assim, em nossa aproximação podemos prescrever a equação anterior, como 2 3 0 0 2 1 4 2 q d qd E z z zπε πε = = O produto qd é a intensidade ρ de uma grandeza vetorial conhecida como o momento de dipolo elétrico ρ do dipolo. Logo: 3 0 1 2 E z ρ πε = OBS: Adotamos como sentido de ρ o da extremidade negativa para a extremidade positiva do dipolo. 3. A figura seguinte mostra um anel fino de raio R com uma densidade linear de carga positiva uniforme λ ao redor da sua circunferência. Podemos imaginar o anel feito de plástico ou de algum material isolante, de modo que as cargas possam ser consideradas fixas. Qual o campo elétrico E no ponto P, a uma distância Z do plano do anel ao longo do seu eixo central?
  • 6. Resolução Seja ds o comprimento (de arco) de qualquer elemento diferencial do anel. Como λ é a carga por unidade de comprimento, o elemento possui uma intensidade de carga dq dsλ= ⋅ Esta carga diferencial cria um campo elétrico diferencial dE no ponto P, que está a uma distância r do elemento. Tratando o elemento como um carga pontual, podemos expressar a intensidade de dE como 2 2 0 0 1 1 4 4 dq ds dE r r λ πε πε = = Da figura, podemos reescrever a equação anterior como ( )2 2 0 1 4 ds dE Z R λ πε = + A figura nos mostra que dE forma um ângulo com o eixo central (que tomamos como sendo o eixo Z) e possui componentes perpendiculares e paralelos a esse eixo. As componentes perpendiculares se cancelam e não precisamos mais considerá-las. Restam apenas as componentes paralelas. Todas elas possuem a mesma direção e sentido, portanto o campo elétrico resultante em P é a soma delas. A componente paralela de dE mostrada na figura, possui intensidade cosdE θ . A figura também nos mostra que ( ) 1/22 2 2 cos Z r Z R θ = = + Logo: ( ) ( ) 3/22 2 0 2 3/22 2 00 cos 4 cos 4 R Z dE ds Z R Z E dE ds Z R π λ θ πε λ θ πε = + = = + ( ) 3/22 2 0 (2 ) 4 Z R E Z R λ π πε = + Como λ é a carga por comprimento do anel, o termo (2 )Rλ π é a carga total q do anel. Então ( ) 3/22 2 04 qZ E Z Rπε = + (Anel Carregado)
  • 7. ! 4. A figura seguinte mostra um disco circular de plástico com raio R que possui uma carga superficial positiva de densidade uniforme σ na sua superfície superior. Qual o campo elétrico no ponto P, a uma distância Z do disco ao longo do seu eixo central? Resolução O disco será dividido em anéis planos concêntricos e depois calcular o campo elétrico no ponto P somando (ou seja, integrando) as contribuições de todos os anéis. A figura mostra um destes anéis, com raio r e espessura radial dr. Como σ é a carga por unidade de área, a carga sobre o anel é (2 ),dq dA rdrσ σ π= = Onde dA é a área diferencial do anel. A expressão para o campo elétrico dE em P devido ao nosso anel plano será: ( ) 3/22 2 0 2 4 Z rdr dE Z r σ π πε = + Logo: ( ) 3/22 2 0 2 4 Z dr dE Z r σ π ε = + Integrando na variável r de 0r = até r R= . Observe que Z permanece constante durante este processo, assim ( ) 3/2 2 2 0 0 (2 ) 4 R Z E dE Z r r dr σ ε − = = + Para resolvermos esta integral, podemos reescrevê-la na forma m X dX , fazendo 2 2 3 ( ); 2 X Z r m= + = − e (2 )dX r dr= . Para a integral reescrita temos 1 1 m m X X dX m + = + Então, 2 2 1/2 0 0 ( ) 14 2 R Z Z r E σ ε − + = − Substituindo os limites desta equação e reordenando, obtemos 2 2 0 1 2 Z E Z R σ ε = − + (disco carregado)
  • 8. " OBS: Se fizermos R → ∞ mantendo Z finito, o segundo termo entre parênteses da equação anterior tende a zero e esta equação se reduz a 02 E σ ε = Este é o campo elétrico produzido por uma placa infinita com carga uniformemente distribuída sobre um dos lados de um isolante. FLUXO DE UM CAMPO ELÉTRICO – A LEI DE GAUSS 1. Um campo elétrico não-uniforme dado por ˆ ˆ3,0 4,0E xi j= + atravessa o cubo gaussiano mostrado na figura seguinte. (E é dado em Newtons por Coulomb e x em metros.) Qual o fluxo elétrico através da face direita, da face esquerda e da face superior? Resolução FACE DIREITA: um vetor área A é sempre perpendicular à sua superfície e sempre aponta para fora da superfície gaussiano. Assim, o vetor dA para a face direita do cubo deve apontar no sentido positivo de x. Então, em notação com o vetor unitário, ˆdA dAi= . Então 2 2 2 ˆ ˆ ˆ(3,0 4,0 ) ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ(3,0 )( ) (4,0)( ) ) (3,0 0) 3,0 3,0 (3,0) 9,0 1 9,0 4,0 9,0(4,0) 36 / d d d d E dA xi j dAi x dA i i dA j i xdA xdA dA A A A m m N m C Φ = ⋅ = + ⋅ = ⋅ + ⋅ = + = = = Φ = = = = Φ == Φ == ⋅ FACE ESQUERDA: O vetor de área diferencial dA aponta no sentido negativo do eixo x, portanto ˆdA dAi= − . Na face esquerda, 1,0x m= . Usando o mesmo procedimento da face direita, teremos 2 12 /e N m CΦ = − ⋅
  • 9. # FACE SUPERIOR: O vetor de área diferencial dA aponta no sentido positivo do eixo y, logo ˆdA dAj= . O fluxo Φ através da superfície superior é então 2 2 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ(3,0 4,0 ) ( ) (3 )(1 ) (4,0)( ) (0 4,0 ) 4,0 4 4(4 ) 16 / 16 / s s xi j dAj x A i j dA j j dA dA A m N m C N m C Φ = + ⋅ = ⋅ + ⋅ + = = = Φ = ⋅ = ⋅ 2. A figura seguinte mostra uma seção de uma barra cilíndrica de plástico infinitamente longa, com uma densidade linear de carga positiva uniforme λ . Determine uma expressão para a intensidade do campo elétrico E a uma distância r do eixo da barra. Resolução Escolhemos uma superfície gaussiana cilíndrica fechada, composta de um cilindro circular de raio r e comprimento h, coaxial com a barra e duas tampas nas suas extremidades como partes da superfície. Em todos os pontos da parte cilíndrica da superfície gaussiana, E de ter a mesma intensidade E e deve estar dirigida radialmente para fora ( para uma barra positivamente carregada). O fluxo de E através desta superfície cilíndrica é então cosEA θΦ = (2 )cos0º (2 )E rh E rhπ πΦ = = Não há fluxo através das bases do cilindro, pois E , sendo dirigido radialmente, é paralelo às bases do cilindro em todos os pontos. A carga envolta pela superfície é hλ , então a Lei de Gauss, 0 ,envqε Φ = se reduz a 0 (2 )E rh hε π λ= Então 02 E r λ πε = (linha de carga)
  • 10. $ POTENCIAL ELÉTRICO 1. A figura seguinte mostra dois pontos i e f em um campo elétrico uniforme E . Determine a diferença de potencial f iV V− movendo a carga de teste positiva 0q de i até f ao longo da trajetória icf mostrada na figura. Resolução Linha ic : em todos os pontos ao longo da linha ic , o deslocamento ds da carga de teste é perpendicular a E . Assim, o ângulo θ entre E e ds é 90º e o produto escalar E ds⋅ é zero. A equação c c i i V V E ds− = − ⋅ Nos diz então que os pontos i e c estão no mesmo potencial: 0c iV V− = Para a Linha cf, temos 45ºθ = e da equação , (cos45º) (cos45º) ; (cos45º) 45º 45º ( ) f f f i f i i c f f i c f f f i c c f i f i V V E ds V V E ds V V E ds V V E ds ds cf d d cf V V E sen sen V V Ed resposta − = − ⋅ − = − ⋅ − = − − = − = = − = − − = −
  • 11. $$ CAPACITÂNCIA 1. Um capacitor 1C de 3,55 Fµ é carregado até que seus terminais fiquem à diferença de potencial 0 6,30V V= . A bateria utilizada para carregar o capacitor é então removida e o capacitor é ligado, como na figura, a um capacitor 2C descarregado, com 2 8,95C Fµ= . Depois que a chave S é fechada, a carga escoa de 1C para 2C até que o equilíbrio seja atingido, com ambos os capacitores à mesma diferença de potencial V. (a) Qual é esta diferença de potencial comum? (b) Qual a energia armazenada no campo elétrico, antes e depois de fecharmos a chave S na figura. Resolução (a) A carga original 0q está agora dividida entre os dois capacitores ou 0 1 2q q q= + Aplicando a relação q CV= a cada termo obtemos 1 0 1 2CV CV C V= + Ou 1 0 1 2 (6,30 )(3,55 ) 1,79 3,55 8,95 C V F V V V C C F F µ µ µ = = = + + (b) A energia armazenada inicialmente é 2 6 2 1 0 1 1 (3,55 10 )(6,30 ) 2 2 70,5 i i U CV F V U jµ − = = ⋅ = A energia final é 2 2 1 2 2 6 6 2 1 2 1 1 2 2 1 1 ( ) (3,55 10 8,95 10 )(1,79) 2 2 20 f f f U C V C V U C C V F F U jµ − − = + = + = ⋅ + ⋅ = C1 C2 q0 S
  • 12. $ 2. A figura seguinte mostra uma chapa dielétrica de espessura b e constante dielétrica k e introduzida entre as armaduras de um capacitor plano de área A e separação d. Antes da introdução do dielétrico, aplicou-se uma diferença de potencial 0V entre as armaduras do capacitor. A bateria foi então desligada e o dielétrico introduzido. Suponha que 2 0115 ; 1,24 ; 0,78 , 2,61; 85,5eA cm d cm b cm k V V= = = = = (a) Calcule a capacitância 0C antes da introdução do dielétrico. (b) Qual a carga livre que aparece nas placas? (c) Calcule a intensidade do campo no interior do dielétrico. (d) Calcule a intensidade do campo no interior do dielétrico (e) Calcule a diferença de potencial entre as armaduras. (f) Calcule o valor da capacitância após a introdução do dielétrico. Resolução (a) 12 4 2 120 0 02 (8,85 10 / ).(115 10 ) 8,2 10 1,24 10 A F m m C C F d m ε − − − − × × = = = × × (b) Para a carga livre nas placas 12 10 0 0 (8,21 10 )(85,5 ) 7,02 10q C V F V C− − = = × = × (c) Aplicando a Lei de Gauss: 0 ek E dA qε ⋅ = 10 0 12 4 2 0 0 7,02 10 (8,85 10 / )(115 10 ) 6.900 / 6,90 / q C E A F m m E V m kV m ε − − − × = = × × = = (d) Aplicando a equação 0 ek E dA qε ⋅ = 0 0 0 0 , 6,90 / 2,64 / 2,61 e e e e k E dA q k EA q Eq kV m E kv m k A k ε ε ε ⋅ = − − = − = = = =
  • 13. $ (e) 0 (( ) ) (6.900 / )(0,012 0,0078 ) (2,640 / )(0,0078 ) 52,3 V E ds E d b Eb V V m m m V m m V V − + = = − + = − + = (f) 10 117,02 10 1,34 10 13,4 52,3 q C C F pF V V − −× = = = × = DENSIDADE DE CORRENTE 1. Um fio de alumínio, cujo diâmetro é de 25mm, é soldado à extremidade de um fio de cobre cujo diâmetro é de 1,8mm. No fio resultante, circula uma corrente constante de 1,3 ampéres. Qual a densidade de corrente em cada caso? * Para o alumínio: i j A = 2 3 2 6 21 ( / 4)(2,5 10 ) 4,91 10 4 A d mπ π − − = = × = × Logo: 5 2 6 2 1,3 2,6 10 / 4,91 10 A j A m m− = = × × * Para cobre: 6 2 2,54 10A m− = × 5 2 6 2 1,3 5,1 10 / 2,54 10 i A j A m A m− = = = × × CIRCUITOS DE CORRENTE CONTÍNUA 1. Dada a rede elétrica seguinte, calcular: (a) E1; (b) E2; (c) A tensão entre A e B. 1r 1i 2i 2A 3A 2r 0,5Ω 0,5Ω 5,5Ω 1R 3R 2R 1E 3E 4,5V 2E 3,5Ω 1,0Ω BA 3i 3r α β 0,5Ω
  • 14. $ Resolução (a) A rede apresentada possui n = 2 nós (A e B). Portanto, aplicando-se a 1º Lei de Kirchhoff para (n = 1)nós (= 2-1) =1 nó, tem-se: 1 2 3i i i+ = (Nó A) 3 33 2 , 5i i A+ = = (b) Aplicando-se a 2ª Lei de Kirchhoff na malha alfa ( )α , no sentido do percurso adotado: 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 0 0,5 5 4,5 1 5 5,5 3 0,5 3 0 30 r i E r i R i E r i E E V ⋅ + + ⋅ + ⋅ − + ⋅ = ⋅ + + ⋅ + ⋅ − + ⋅ = = (c) Identicamente para a malha beta ( )β : 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 0 0,5 5 4,5 1 5 3,5 2 0,5 2 0 20 r i E R i R i E r i E E V ⋅ + + ⋅ + ⋅ − + ⋅ = ⋅ + + ⋅ + ⋅ − + ⋅ = = (d) Aplicando-se a Lei de Ohm generalizada no ramo central AB tem-se: 3 3 3 3( ) 0 5(0,5 1) 4,5 12 AB A B AB AB AB U V V i resistencias fcems fems U i r R E U U V = − = ⋅ + − = ⋅ + + − = + + = CIRCUITOS RC 1. Um resistor 6,2R M= Ω e um capacitor 2,4C Fµ= são ligados em série juntamente com uma bateria de 12V, de resistência interna desprezível. (a) Qual é a constante de tempo capacitiva deste circuito? (b) Em que instante depois de a bateria ser ligada a diferença de potencial nos terminais do capacitor é 5,6V? Resolução: (a) 6 6 (6,2 10 )(2,4 10 ) 15c cRC F sτ τ − = × Ω × = (b) 1 ,c c Vq V c ε ε = = − tirando o valor t, e usando , ln 1 c c c V RC tτ τ ε = = − − 5,6 (15 )ln 1 9,4 12 V t t s V = − Ω − =
  • 15. $ O CAMPO MAGNÉTICO CAMPO MAGNÉTICO DE UMA ESPIRA CIRCULAR 1. Duas espiras circulares, concêntricas e coplanares, de raios 4 mπ e 5 mπ , são percorridas por correntes de intensidades 2A e 5A, conforme a figura. Calcular a intensidade do vetor indução magnética no centro das espiras, sendo 7 4 10 /T m Aµ π − = ⋅ ⋅ e caracterize o vetor indução magnética criado por cada espira no centro Resolução 1 1 2 24 , 2 , 5 , 5R m i A R m i Aπ π= = = = Aplicando-se a regra da mão direita, vê-se que a corrente 1i , cria no centro das espiras um vetor indução magnética perpendicular ao plano da espira, com o sentido do plano para o observador, de intensidade 7 1 1 1 7 1 4 10 2 2 2 4 10 i B R B T µ π π − − ⋅ ⋅ ⋅ = = ⋅ = A segunda espira cria, no centro das espiras, um vetor indução magnética perpendicular ao plano da espira com o sentido do observador para o plano, de intensidade 7 72 2 2 2 4 10 5 2 10 2 2 5 i B B T R µ π π − −⋅ ⋅ ⋅ = = = ⋅ ⋅ O vetor indução magnética resultante, no centro será perpendicular ao plano das espiras, “entrando” no plano (do observador para o plano) pois a intensidade de 2B , é maior que a de 1B . 1 2B B B= + ou 7 7 7 2 1 2 10 10 10B B B B T− − − = − = ⋅ − = I2 = 5A O R1 R2 i1 = 2A 2A 1B 5A 2B
  • 16. $ CAMPO MAGNÉTICO EM TORNO DE UM CONDUTOR RETO 1. Dois fios longos, retos e paralelos, situados no vácuo, são percorridos por correntes contrárias, com intensidade 2A e 4A, e separadas entre si de 0,20m. Calcule a intensidade do vetor indução magnética resultante no ponto P, indicado na figura. DADO: 7 4 10 /T m Aµ µ − = ⋅ ⋅ Resolução O fio 1, cria em P, um vetor campo magnético entrando no plano do papel, de intensidade: 7 61 1 1 1 4 10 2 4 10 2 2 0,1 i B B T d µ π π π − −⋅ ⋅ ⋅ = = = ⋅ ⋅ O fio 2 também cria, em P, um vetor indução magnética “entrando” no plano do papel, de intensidade: 7 62 2 2 2 4 10 4 8 10 2 2 0,1 i B B T d µ π π π − −⋅ ⋅ ⋅ = = = ⋅ ⋅ Portanto, a intensidade do vetor indução magnética resultante será: 6 6 5 1 2 4 10 8 10 1,2 10B B B B B T− − − = + = ⋅ + ⋅ = ⋅ 10 cm 10 cm P 1i 2A 2 4i A= 1i 1B 1 10d cm= P 2i2B P 2 10d cm=
  • 17. $! FORÇA SOBRE UMA CARGA MÓVEL EM UM CAMPO MAGNÉTICO UNIFORME 1. Uma carga 2q Cµ= , com velocidade 10 /v m s= , penetra numa região onde atua um CMU de intensidade 10B T= , conforme a figura. Os vetores v e B formam um ângulo de 30º e estão contidos no plano (XZ). Determine o módulo, a direção e sentido da força magnética. Resolução (a) A intensidade da força magnética é: 6 4 2 10 10 10 30º 10 MAG MAG MAG F q V B sen F sen F N θ − − = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = (b) A direção da força magnética é perpendicular ao plano formado por v e B (plano XZ). (c) O sentido é determinado pela regra da mão esquerda FORÇA SOBRE UM CONDUTOR RETO EM UM CAMPO MAGNÉTICO UNIFORME 1. Um condutor na forma retangular, de dimensões 10cm e 20cm (ver figura) está totalmente imerso em um campo magnético uniforme de intensidade 0,5B T= . Calcule a intensidade da força que atua em cada ramo do condutor e o momento de rotação a que ele fica submetido, quando a intensidade da corrente for de 2A. θ q Y X Z V B θ Y X Z V MAGF
  • 18. $" Resolução Aplicando-se a regra da mão esquerda para determinar o sentido da força magnética, em cada ramo, tem-se: nos ramos AB e CD, as forças magnéticas têm intensidades nulas, pois as direções das correntes são paralelas às de B ; Nos ramos AD e BC, o ângulo entre B e i é igual a 90º, então 90º 0,5 2 0,2 0,2MAGF B i sen B i sen Nθ= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = Pode-se ver, através da figura, que o condutor fica sujeito a um BINÁRIO DE FORÇAS. MAGM F d= ⋅ , onde 0,1d AB m= = 2 0,2 0,1 2 10M M N m− = ⋅ = ⋅ ⋅ B D C i i 10 cmA B 20cm B D C i i A B MAGF MAGF 0,2m i i i
  • 19. $# FORÇA ENTRE DUAS CORRENTES PARALELAS 1. Dois fios longos, retos e paralelos, situados no vácuo, são percorridos por correntes contrárias, de intensidade 1 2i A= e 2 4i A= . A distância entre os fios é de 0,1m. (a) Os fios se atraem ou se repelem? (b) Com que força, para cada metro de comprimento do fio? (c) O que ocorrera se inverter o sentido da corrente 2i ? Resolução (a) Como as correntes têm sentido opostos, há repulsão. (b) A intensidade da força para cada metro do fio é: 7 50 1 2 4 10 2 4 1 1,6 10 2 2 0,1 MAG MAG i i F F N d µ π π π − −⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = = = = ⋅ ⋅ (c) Invertendo o sentido da corrente 2i , têm-se ambas as correntes no mesmo sentido, ocasionando atração entre os fios. INDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA * Força eletromagnética induzida - ( )femi Ω 1. Um condutor retilíneo e horizontal, C, de resistividade 6 1,6 10 cmρ − = ⋅ Ω⋅ , área 2 0,2A cm= de secção transversal constante e comprimento 10cm= , move-se sem atrito sobre dois condutores paralelos e horizontais, ' A e ' B , de resistência elétrica desprezível, interligados por um amperímetro ideal. O conjunto está imerso num campo magnético uniforme e vertical, de intensidade 5 10B T− = . O condutor C tem velocidade constante 8 /V m s= . Determine: (a) A femi ; (b) A intensidade da corrente no amperímetro; (c) O peso do corpo suspenso, conforme a figura, que mantém a velocidade constante.
  • 20. Resolução: (a) 5 1 6 10 10 1 8 10e B V e e V− − − = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ (b) 6 5 6 5 10 1,6 10 8 10 0,2 8 10 0,1 8 10 R R R A U e U Ri i i A R R ρ − − − − = = ⋅ ⋅ = ⋅ Ω ⋅ = = = = = ⋅ (c) Para que a velocidade seja constante, 0RF = ou seja: 5 1 7 7 10 0,1 10 10 10 MAGF T B i T T T N P T Peso N − − − − = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = = = = LEI DE FARADAY 1. A figura mostra uma espira condutora formada por um semicírculo de raio 0,20r m= e três segmentos retos, o semicírculo está localizado em um campo magnético uniforme B que estar orientado para fora da página. A intensidade do campo é dada por A ' A ' B B Corpo suspenso MAGF T
  • 21. $ 2 4,0 2,0 3,0B t t= + + , com B em teslas e t em segundos. Uma bateria ideal com 2,0bat V= está ligada à espira. A resistência da espira é de 2,0Ω . (a) Qual a intensidade e o sentido da indfem induzida ao redor da espira pelo campo B em 10t s= . (b) Qual a corrente na espira em 10t s= Resolução ( )B ind d d BA dB A dt dt dt Φ = = = 2 2 r A π = [ ] 2 2 2 2 (4,0 2,0 3,0) 2 (0,20 ) (8,0 2,0) 8,0(10) 2,0 2 2 10 5,2 ind ind ind r d t t dt r m t em t s V π π π = + + = + = + = ≈ (b) 5,152 2,0 1,6 2 res ind bat V i i A R R − − = = = ≈ Ω CIRCUITOS RL 1. Um solenóide possui uma indutância de 53mH e uma resistência de 0,37Ω . Se ele for ligado a uma bateria, quanto tempo levará para que a corrente alcance metade do seu valor final de equilíbrio? / 2r bat
  • 22. Resolução A equação 1 L t i e R τε − = − (subida da corrente) Nós mostra que a corrente i aumenta exponencialmente de zero até o seu valor final de equilíbrio / R. Seja 0t o tempo que a corrente i leva para alcançar metade do seu valor de equilíbrio, então, a equação anterior nos dá 0 /1 1 2 Lt e R R τ− = − Explicitamos 0t cancelando R , isolando A exponencial e tomando o logaritmo natural de cada lado. Encontramos 3 0 0 53 10 ln 2 ln 2 ln 2 0,37 0,10 L L H t R t s τ − × = = = Ω = 2. Uma bobina tem uma indutância de 53mH e uma resistência de 0,35Ω . a. Se uma fem de 12V for aplicada entre as extremidades da bobina, quanta energia é armazenada no campo magnético depois de a corrente atingir o seu valor de equilíbrio? b. Após quantas constantes de tempo, metade desta energia de equilíbrio estará armazenada no campo magnético? Resolução (a) A corrente máxima é 12 34,3 0,35 m V i A R = = = A energia armazenada será: 2 2 3 21 1 1 (53 10 ) (34,3 ) 2 2 2 31 B B m B U Li U Li H A U j − = = = ⋅ ⋅ = (b) Queremos saber em que instante t a relação 1 2 B BU U ∞= ( ) 2 2 / 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 Lt Li Li i i e R R τ ∞ ∞ − = = − = ⋅ Cancelando / R teremos / 1 1 2 Lt e τ− = −
  • 23. Então: ln 0,293 1,2 L L t t τ τ = − ≈ Portanto: A energia armazenada atinge a metade do seu valor máximo depois de decorridos 1,2 constante de tempo. CORRENTE ALTERNADA 1. Um resistor cuja resistência vale 50Ω é percorrido por uma corrente alternada que obedece a função: 8 2 120i sen tπ= ⋅ ⋅ (unidades do SI) Determine: (a) A freqüência da corrente alternada; (b) A máxima intensidade de corrente; (c) O valor eficaz da corrente alternada; (d) O valor eficaz da ddp aplicada nos terminais do registro; (e) A potência dissipada pelo resistor. Resolução Comparando com MAXi i sen tω= ⋅ , temos: (a) 2 120 / 2rad s f T π ω π ω π= = = (pulsação da corrente) 120 / 2 60 rad s f f Hz ω π π= = = (b) 8 2MAXi A= (c) 8 2 8 2 2 MAX ef ef ef i A i i i A= = = (d) 50 8 400ef ef ef efU R i U A U V= ⋅ = Ω⋅ = (e) 2 400 8 3200 ef ef ef ef ef ef U P U i R i R P U i P V A P W = ⋅ = ⋅ = = ⋅ = ⋅ = P = Potência média dissipada
  • 24. CARGA PURAMENTE RESISTIVA 1. Na figura seguinte, a resistência R é de 200Ω e o dispositivo de fem alternada senoidal opera a uma amplitude 36m V= e uma freqüência 60,0df Hz= . (a) Qual a diferença de potencial ( )RV t entre os terminais da resistência em função do tempo t, e qual é a amplitude RV de ( )RV t ? (b) Qual a corrente ( )Ri t na resistência e qual a amplitude RI de ( )Ri t ? Resolução: (a) ( ) ( ) 36,0R R mV t t V V= = = Cálculo de ( ): ( ) ( ) 2 2 (60 ) 120 (36,0 ) (120 ) R R m d d d R m d R V t V t t sen t f Hz V sen t V V sen t ω ω π π π ω π = = = = = = = (b) ( ) 1 36,0 0,180 200 ( ) (0,180 ) (120 ) R R d R R R R R R R d R d r i I sen t I sen t V V I I I A R i I sen t I sen t i A sen t ω φ ω ω φ ω π = − = = = = Ω = − = = CARGA PURAMENTE CAPACITIVA 1. Na figura seguinte, a capacitância C é de 150 Fµ e o dispositivo de fem alternada senoidal opera a uma amplitude 36,0m V= e a uma freqüência 60,0df Hz= . (a) Qual a diferença de potencial ( )CV t entre os terminais do capacitor e qual a amplitude CV de ( )CV t ? (b) Qual a corrente ( )ci t no circuito em função do tempo e qual a amplitude CI de ( )CI t ?
  • 25. Resolução (a) ( )( ) 36,0 ( ) ( ) 2 2 (60,0 ) 120 (36,0 ) (120 ) C t C m C m C m d d d C V t e V V V V t t sen t f Hz V V sen t ω ω π π π π = = = = = = ⋅ = = = = ⋅ (b) 6 1 1 2 (2 ) (60,0 )(150 10 ) 177 36,0 0,203 177 ( / 2) (0,203 ) (120 / 2) C d C C C C C C C C d C X f C Hz F X V V I I I A X I I sen t I A sen t π π ω π π π − = = ⋅ ⋅ ⋅ = Ω = = = Ω = ⋅ + = + CARGA PURAMENTE INDUTIVA 1. Na figura a seguir, a indutância L vale 230mH e o dispositivo de fem alternada senoidal opera a uma amplitude 36,0m V= e a uma freqüência 60,0df Hz= . (a) Qual a diferença de potencial ( )LV t entre os terminais do indutor e qual a amplitude LV de ( )LV t ? (b) Qual a corrente ( )Li t no circuito em função do tempo e qual a amplitude LI de ' ( )LI t ? Resolução (a) ( ) ( ) 36,0 ( ) ( ) 2 120 : (36,0 ) (120 ) L L m L m L m d d d L V t t e V V V V t t sen t f Logo V V sen t ω ω π π π = = = = = = ⋅ = = = ⋅
  • 26. (b) 3 2 (2 )(60,0 )(230 10 ) 36,0 86,7 0,415 86,7 ( / 2) (0,415 ) (120 / 2) L d L L L L L L L d L X f L Hz H V V X I I A X I I sen t i A sen t π π ω π π π − = = × = Ω = = = Ω = ⋅ − = − O CIRCUITO RLC EM SÉRIE 1. Um circuito RLC em série, excitado por uma fem 120rms V= a uma freqüência 60,0df Hz= , contém uma resistência 200R = Ω , uma indutância com 800LX = Ω e uma capacitância com 150CX = Ω . (a) Qual o fator de potência cosφ e qual a constante de fase φ do circuito? (b) Qual a taxa média MEDP com que se dissipa energia na resistência? Resolução (a) 2 2 2 2 ( ) (200 ) (80 150 ) 211,90 200 cos cos 0,944 211,90 cos0,944 19,3º 19,3º L CZ R X X Z R Z arc φ φ φ φ = + − = Ω + Ω − Ω = Ω Ω = = ≈ Ω = = ± = ± Tanto 19,3º+ quando 19,3º− possuem um cosseno de 0,944. Para determinamos qual sinal é o correto, temos que considerar se a corrente está adiantada ou atrasada em relação à fem aplicada. Como C LX X> , este circulo é principalmente capacitivo, com a corrente adiantada em relação fem. Assim, φ tem que ser negativa: 19,3ºφ = − A equação: L CX X tg R φ − = nos dá a resposta completa, com o sinal negativo.
  • 27. ! (b) 2 2 (120 ) (0,9438) cos 211,90 64,1 rms MED MED V P Z P W φ= = Ω = TRANSFORMADOR 1. Um transformador em um poste de uma concessionária de energia opera com 8,5PV kV= no enrolamento primário e fornece a energia a um certo número de casas próximas com 120SV V= ; sendo estas duas tensões em valores eficazes. Suponha um transformador abaixador ideal, uma carga puramente resistiva e um fator de potência igual à unidade. (a) Qual razão entre o número de voltas /P SN N do transformador? (b) A taxa média de consumo de energia (ou dissipação) nas casas servidas pelo transformador é de 78kW. Quais as correntes eficazes no primário e no secundário do transformador? (c) Qual a carga resistiva SR no circuito secundário? Qual a carga resistiva correspondente PR no circuito primário? Resolução (a) S S P P V N V N = ou 3 8,5 10 7,083 71 120 71 P P S S P S N V V N V V N N × = = = ≈ ≈ (b) 3 3 78 10 9,176 8,5 10 9,2 MED P P P P W I A V V I A × = = × ≈ 3 78 10 650 650 120 MED S S S P W I A I A V V × = = = = (c) 3 120 0,1846 0,18 650 8,5 10 926 930 9,176 S S S S p p p p V V R R I A V V R R I A = = = Ω ≈ Ω × = = = Ω ≈ Ω