Eletricidade Básica: Conceitos Fundamentais de Corrente, Tensão e Bipolos

UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA – UNESP
FACULDADE DE ENGENHARIA DE ILHA SOLTEIRA – FEIS
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA – DEE
ELETRICIDADE BÁSICA
(ELETRÔNICA 1)
Versão 1.1
Professor: Cláudio Kitano
email: kitano@dee.feis.unesp.br
Ilha Solteira - 2009
ELETRICIDADE BÁSICA
O objetivo desta apostila é apresentar ao aluno de Eletrônica 1, de forma rápida, noções
gerais sobre circuitos elétricos operando em corrente alternada. Primeiramente, trata-se do
regime permanente senoidal segundo uma abordagem no domínio do tempo. Na seqüência, são
definidos os conceitos de valores médio e eficaz de grandezas instantâneas, e o cálculo da
potência média. Será assumido que o aluno ainda não tenha tido qualquer envolvimento com
eletricidade, de forma que a introdução de alguns conceitos fundamentais como carga, corrente,
tensão e bipolos elétricos, será incluída. Não se pretende aprofundar excessivamente no estudo
de técnicas como a representação fasorial ou a transformada de Laplace, as quais não são
obrigatoriamente necessárias em Eletrônica 1, e que deverão ser detalhadas nos cursos de
Circuitos Elétricos.
01 – Conceitos Fundamentais
Nesta seção, apresentam-se alguns conceitos fundamentais de eletricidade, os quais são
necessários à solução de circuitos elétricos simples.
1.1 – Carga Elétrica e Corrente de Condução
As cargas elétricas são medidas em coulomb (C), e podem ser positivas ou negativas. A
carga elétrica mínima (ou carga elementar) corresponde à carga do elétron e = -1,602 x 10-19
C.
Um deslocamento de cargas elétricas através de uma seção transversal, como representado na
Fig. 1.1, constitui uma corrente elétrica.
Figura 1.1 – Corrente elétrica constituída pelo fluxo de cargas positivas.
Supondo-se o caso de N cargas elementares positivas, calcula-se a corrente elétrica como:
dt
dq
t
i 
)
( (1.1)
sendo e
N
q  (1.2)
onde dq é a soma das cargas elétricas que atravessam a superfície dada, no intervalo de tempo dt
e num sentido pré-fixado, sendo que esta superfície é chamada de superfície de medição. A
corrente elétrica é medida em C/s, ou então, em ampére (A).
A corrente elétrica num metal, é causada pelo fluxo de elétrons e é conhecida como
corrente de condução. Além desta, existem também as correntes de convecção, de difusão e de
deslocamento, as quais serão estudas nos cursos de Eletromagnetismo.

Embora a corrente num fio condutor (por exemplo) corresponda a um deslocamento de
elétrons, por convenção, o fluxo de corrente elétrica é estabelecido pelo movimento das cargas
positivas. Assim, no caso da Fig.1.1, onde só existe movimento de cargas positivas, a corrente
elétrica acontece da esquerda para a direita. Por outro lado, no caso mostrado na Fig.1.2, onde as
partículas são elétrons, o fluxo de corrente acontece da direita para a esquerda. Esta convenção
existe por motivos meramente históricos.
Figura 1.2 – Corrente elétrica convencional, quando as cargas são constituídas por elétrons.
1.2 – Amperímetros
Os amperímetros são instrumentos usados para medir correntes elétricas e podem ser
analógicos ou digitais. Na Fig. 1.3 ilustra-se um amperímetro inserido num circuito. O
instrumento deve estar em série com a corrente que quer medir, ou seja, ela deve atravessá-lo
completamente. Seus terminais são marcados com sinais (+) e (-). O deslocamento de elétrons
segue do terminal negativo para o positivo, causando deflexão positiva de seu indicador.
Figura 1.3 – Amperímetro inserido num circuito.
O amperímetro conta o número de elétrons que atravessam a seção transversal de
medição por unidade de tempo. Na Fig. 1.4 a) apresenta-se uma foto de um amperímetro
analógico, enquanto que na Fig. 1.4 b), tem-se uma foto de um amperímetro digital. O
funcionamento do amperímetro será estudado na disciplina Medidas Elétricas. Amperímetros
digitais serão vistos no laboratório de Eletrônica 1.
(a) (b)
Figura 1.4 – Amperímetros. a) Analógico. b) Digital.
Quando a corrente i=dq/dt é constante, então, i ≠ i(t), e a corrente é chamada de corrente
contínua (C.C.). Por outro lado, quando i = i(t), ou seja, é variável no tempo, é denominada de
corrente alternada (C.A.). Existem amperímetros para medir correntes contínua e alternada.
1.3 – Bipolos Passivos
Um dispositivo elétrico com dois terminais acessíveis e pelo qual se possa fazer circular
uma corrente elétrica, de modo que a corrente que entra num dos terminais seja, em qualquer
instante, igual à corrente que flui do outro lado, é um bipolo elétrico. Na Fig.1.5., tem-se o
diagrama de um bipolo.
Figura 1.5 – Diagrama geral de um bipolo elétrico.
Existe uma tensão elétrica entre os terminais do bipolo, v(t), a qual é medida em volts
(V), e que será melhor discutida a seguir. Em geral, os bipolos são recíprocos (seus terminais são
intercambiáveis), mas existe a necessidade de marcá-los com sinais (+) e (-). Na Fig.1.5, utiliza-
se a convenção de receptor (a ser justificada adiante). Aconselha-se ao aluno, memorizar a
convenção de sinais para corrente e tensão mostrada na figura.
1.4 - Tensão Elétrica, Energia e Potência
A passagem de corrente através dos bipolos é sempre acompanhada de fenômenos
energéticos: desprendimento de calor, transformação de energia elétrica em magnética ou vice-
versa, etc.
No caso onde o bipolo é ativado por uma corrente elétrica i(t), que circula durante um
instante de tempo dt, a carga correspondente que atravessa a seção transversal de medição será
dt
t
i
dq )
(
 (1.3)
Segundo o Eletromagnetismo, a passagem desta carga põe em jogo uma energia dW, dada por:
dq
t
v
dW )
(
 (1.4)
medida em joules (J). A grandeza v(t) é chamada de tensão elétrica ou diferença de potencial
entre os terminais do bipolo. Em geral, v(t) é uma função do tempo.
A tensão elétrica é medida por meio do voltímetro, um instrumento indicador que possui
dois terminais demarcados por (+) e (-), como esquematizado na Fig. 1.6. O voltímetro é inserido
em paralelo com o bipolo no qual se quer medir a tensão. Na figura, o bipolo é uma lâmpada. Se
a indicação do voltímetro for positiva, num dado instante, é porque o terminal (+) está à um
potencial maior que a do terminal (-). Portanto, o terminal (+) do bipolo é aquele que deve ser
ligado ao terminal (+) do voltímetro a fim de produzir uma deflexão positiva.

Figura 1.6 – Voltímetro inserido num circuito elétrico.
Como no caso dos amperímetros, os voltímetros também podem ser analógicos ou
digitais, como os mostrados na Fig.1.7, e existem voltímetros para medir grandezas contínuas e
alternadas. Isto será melhor discutido no laboratório de Eletrônica 1.
(a) (b)
Figura 1.7 – Voltímetros. a) Analógico. b) Digital.
Segundo o Eletromagnetismo, a potência instantânea, p(t), fornecida (ou recebida) por
um bipolo elétrico relaciona-se com a energia envolvida, dW, por:
dt
t
p
dW )
(
 (1.5)
e assim, com o auxílio de (1.3) e (1.4), mostra-se que
).
(
)
(
)
( t
i
t
v
t
p  (1.6)
sendo esta potência medida em watt (W). Portanto, a potência instantânea fornecida (ou
recebida) por um bipolo, é igual ao produto da tensão entre seus terminais pela corrente que o
atravessa.
1.5 – Alguns Tipos de Bipolos Receptores
Neste item são estudados os principais tipos de bipolos receptores: o resistor, o indutor e
o capacitor.
a) Resistor
O símbolo de um resistor está desenhado na Fig. 1.8. Um resistor é um bipolo no qual a
relação entre v(t) e i(t) é linear, ou seja:
)
(
)
( t
i
R
t
v  (1.7 a)
ou então por seu dual
)
(
)
( t
v
G
t
i  (1.7 b)
onde R é a resistência, medida em ohms (), e G =1/R é a condutância, medida em mho (℧ ou
ohm escrito de trás para frente). Estas relações são conhecidas como lei de Ohm.
Figura 1.8 – Símbolo do resistor.
Resistores são introduzidos em circuitos elétricos para limitar correntes elétricas ou
causarem quedas de tensão. Isto é obtido às custas de conversão irreversível de energia elétrica
em energia térmica, ou seja, de dissipação de potência elétrica em calor.
O fluxo de elétrons num dado material (um condutor metálico, ou um material resistivo)
não é exatamente suave ou bem comportado como mostrado na Fig. 1.2. De fato, na trajetória de
um elétron ocorrem inúmeras colisões com os átomos fixos do meio material. A trajetória é,
portanto, composta por um zigue-zague, como esquematizado na Fig.1.9. Esta dificuldade que a
rede atômica impõe ao elétron em se movimentar é denomidada, no Eletromagnetismo, de
resistividade elétrica. Na Fig.1.9 a), os átomos da rede estão mais espaçados que os da Fig.1.9 b)
e, portanto, sua resistividade é menor. Como, em geral, o número de elétrons que constitui uma
corrente elétrica é extremamente elevado, na média, o efeito do zigue-zague microscópico não é
percebido macroscopicamente, e esta tem uma aparência de um fluxo suave. Contudo, o
resultado da colisões é perceptível, através da geração de calor (mesmo num bom condutor).
(a) (b)
Figura 1.9 – Colisões eletrônicas com a rede atômica. a) Material com menor resistividade. b) Material com maior
resistividade.
Assim, aplicando-se (1.7 a-b) a (1.6), conclui-se que a potência instantânea consumida na
resistência elétrica será:
)
(
)
(
)
( 2
2
t
v
G
t
i
R
t
p 
 (1.8)

Em resumo, a energia recebida por um resistor é convertida de forma irreversível em
calor, ou seja, é dissipada termicamente. Conforme revela (1.5), integrando-se (1.8), pode-se
calcular a energia dissipada no resistor no intervalo de tempo entre 0 e t:

 

t
t
dt
t
v
G
dt
t
i
R
t
W
0
2
0
2
)
(
)
(
)
( (1.9)
b) Indutor
O símbolo de um indutor, segundo a convenção de receptor, está mostrada na Fig. 1.10.
Figura 1.10 – Símbolo do indutor.
Na prática, indutores são normalmente obtidos a partir de enrolamentos (bobinas ou
solenóides), como os mostrados nas Figs. 1.11 a) e b). Estes dispositivos são usados para
armazenar energia magnética em seu campo de força [as linhas em vermelho mostradas na
Fig.1.11 b)]. Este é um processo não dissipativo, e o dispositivo pode operar num circuito ora
armazenando energia, ora devolvendo esta energia, de forma cíclica ou repetitiva.
(a) (b)
Figura 1.11 – Indutor na prática. a) Bobina. b) Linhas de campo magnético.
Num indutor, a relação entre v(t) e i(t) é dada por:
dt
t
di
L
t
v
)
(
)
(  (1.10)
ou então, por se dual

 dt
t
v
L
t
i )
(
1
)
( (1.11)
onde L é a indutância, medida em henry (H). A relação (1.10) informa que a tensão no indutor é
proporcional à taxa de variação da corrente no tempo. Assim, se a corrente for contínua, i(t) é
constante, e a tensão entre seus terminais é nula. Portanto, em CC., em indutor se comporta como
um simples trecho de fio condutor sem resistência elétrica (um curto-circuito).
Aplicando-se (1.10) em (1.6), conclui-se que a potência instantânea recebida pelo indutor
é
dt
t
i
d
L
dt
t
di
L
t
i
t
p
2
)]
(
[
2
1
)
(
)
(
)
( 
 (1.12)
Enquanto que, integrando-se (1.5), obtém-se a energia armazenada entre 0 e t:
)
(
2
1
)]
(
[
2
1
)]
(
[
2
1
)
(
)
( 2
0 0 0
2
2
t
i
L
t
i
d
L
dt
dt
t
i
d
L
dt
t
p
t
W
t t t



    (1.13)
onde considerou-se que não há corrente circulando no indutor em t=0.
Na Fig. 1.12 a), é mostrado que a circulação de corrente elétrica por uma indutância
causa o aparecimento de um fluxo magnético , medido em weber (Wb). Isto será detalhado nos
cursos de Eletromagnetismo mas, por hora, é interessante observar que um indutor percorrido
por uma corrente elétrica se comporta como um imã permanente, mostrado na Fig.1.12 b). Nota-
se que o padrão de linhas de força magnética são muito semelhantes.
(a) (b)
Figura 1.12 – Linhas de fluxo magnético. a) Num indutor. b) Num imã permanente.
Matematicamente, define-se o fluxo magnético concatenado com o indutor, pela corrente
i(t), como
)
(
)
( t
i
L
t 
 (1.14)
e assim, aplicando-se (1.13) obtém-se a energia armazenada
L
t
t
W
)
(
2
1
)
(
2

 (1.15)
c) Capacitor
O símbolo de um capacitor, segundo a convenção de bipolo receptor, é mostrado na Fig.
1.13.

Figura 1.13 – Símbolo do capacitor.
Uma forma simples de se implementar um capacitor é usando um par de placas paralelas,
energizadas com cargas elétricas de sinais opostos, como ilustrado na Fig.1.14 a). Estes
dispositivos são usados para armazenar energia elétrica em seu campo de força, como mostrado
na Fig.1.14 b). Este processo é não dissipativo e reversível, ou seja, sob certas circunstâncias, o
capacitor pode devolver a energia armazenada ao circuito.
(a) (b)
Figura 1.14 – Capacitor prático. a) Placas paralelas. b) Linhas de campo elétrico.
Num capacitor, a relação entre v(t) e i(t) é dada por:
dt
t
dv
C
t
i
)
(
)
(  (1.16)
ou então, por se dual

 dt
t
i
C
t
v )
(
1
)
( (1.17)
onde C é a capacitância, medida em farad (F). A relação (1.16) informa que só há circulação de
corrente no capacitor se a tensão entre seus terminais for variável no tempo. Caso contrário, o
capacitor se comporta como um circuito aberto, impedindo a passagem da corrente. A corrente
que circula através de um capacitor é constituída por movimento de dipolos elétricos (no caso de
serem preenchidos por materiais dielétricos), ou, por corrente de deslocamento (em particular,
quando existe vácuo entre as placas), fenômenos que serão estudados no Curso de
Eletromagnetismo.
A potência recebida pelo capacitor é obtida a partir de (1.6) e (1.16):
dt
t
v
d
C
dt
t
dv
C
t
v
t
i
t
v
t
p
2
)]
(
[
2
1
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( 

 (1.18)
enquanto a energia armazenada entre 0 e t, é obtida a partir da integral de (1.5):

 


t
t
t
v
C
dt
dt
t
v
d
C
dt
t
p
t
W
0
2
2
0
)
(
2
1
)]
(
[
2
1
)
(
)
( (1.19)
onde considerou-se que não há tensão no capacitor em t=0.
Segundo o Eletromagnetismo, existe uma relação entre a carga elétrica armazenada no
capacitor, q(t), e sua tensão v(t):
)
(
)
( t
v
C
t
q  (1.20)
e assim, com o auxílio de (1.20), a energia armazenada (1.19) também pode ser calculada através
de
C
t
q
t
W
)
(
2
1
)
(
2
 (1.21)
1.6 – Bipolos Geradores
Os bipolos R, L e C são dispositivos passivos, pois não são capazes de gerar suas próprias
tensões ou correntes (excluindo-se os casos dos capacitores previamente carregados, ou os
indutores com correntes iniciais não nulas, que serão estudados no curso de Circuitos Elétricos).
Bipolos geradores são capazes de fornecer energia aos circuitos (excitam as redes elétricas),
causando o aparecimento de tensões e correntes.
a) Geradores de tensão
Um gerador de tensão é um bipolo que tem a capacidade de manter a tensão entre seus
terminais, sempre idêntica e igual a uma função do tipo:
. arbitrária no tempo (Fig.1.15 a);
. senoidal (Fig. 1.15 b);
. constante (Fig. 1.15 c).
(a) (b) (c)
Figura 1.15 – Tipos de geradores de tensão. a) Tensão arbitrária. b) Tensão senoidal. c) Tensão constante.
b) Geradores de corrente
Um gerador de corrente é um bipolo que tem a propriedade de fornecer em seus terminais
uma corrente constantemente igual a uma função do tipo:
+
-
+
-
+
-

. arbitrária no tempo (Fig. 1.16 a);
. constante (Fig. 1.16 b).
Figura 1.16 – Tipos de geradores de tensão. a) Tensão arbitrária. b) Tensão constante.
Em geral, as fontes de correntes senoidais também são representadas pela simbologia da
Fig.1.16 a).
Uma vez apresentados os principais tipos de bipolos lineares que interessam ao curso de
Eletrônica 1, passa-se a estudar o comportamento desses bipolos em circuitos elétricos.
02 – Fundamentos de Circuitos Elétricos
Uma associação qualquer de bipolos, interligados por condutores perfeitos, é chamada de
rede de bipolos.
2.1 Leis de Kirchhoff
a) Primeira Lei de Kirchhoff – Lei das correntes (LKC) ou dos nós
Os pontos em que convergem os terminais dos bipolos das redes são chamados de nós,
como o representado na Fig. 2.1. Como num nó de uma rede de bipolos não há criação ou
destruição de carga elétrica, segue que: “a soma algébrica das correntes que convergem num dos
nós de uma rede é igual a zero”. Se as correntes forem variáveis no tempo, a LKC é válida em
cada instante.
Figura 2.1 – Nó de uma rede elétrica.
Na figura, adota-se, arbitrariamente, a convenção de que corrente entrando no nó é
positiva, e que a corrente saindo do nó é negativa. Obtém-se então
0
)
(
)
(
)
(
)
( 4
3
2
1 


 t
i
t
i
t
i
t
i (2.1)
Se a convenção adotada fosse oposta, bastaria inverter cada sinal algébrico em (2.1).
Porém, nota-se que isto seria indiferente, pois a soma é identicamente nula. Assim, fica a critério
do aluno especificar a sua própria convenção.
a) Segunda Lei de Kirchhoff – Lei das tensões (LKT) ou dos ramos
Os bipolos são designados como ramos da rede. Uma malha é um subconjunto de bipolos
de rede, interligados de modo a constituir uma trajetória fechada, como aquela mostrada na Fig.
2.2. A LKT afirma que: “a soma algébrica das tensões medidas ordenadamente ao longo da
malha, em um instante qualquer, é nula”.
Figura 2.2 – Malha de uma rede elétrica.
Adotando-se, arbitrariamente, a convenção de que tensões positivas são aquelas que
percorrem a malha no sentido horário, obtém-se
0
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( 5
4
3
2
1 



 t
v
t
v
t
v
t
v
t
v (2.2)
Aqui também, a convenção (sentido horário ou anti-horário) adotada para especificar o
sinal algébrico das tensões é indiferente, uma vez que a soma é identicamente nula.
Exemplo 2.1: Calcular todas as correntes e tensões no circuito da Fig.2.3.
Figura 2.3 – Circuito elétrico do Exemplo 2.1.
Solução: As tensões e correntes sobre os bipolos mostrados na figura têm orientações de acordo
com as estabelecidas nas Figs. 1.8 e 1.15 c). Como todas os elementos da rede estão em paralelo,
as tensões são as mesmas:
12
3
2
1 

 v
v
v V
Aplicando-se a LKC ao nó mostrado na figura, obtém-se

0
3
2
1 

 i
i
i  3
2
1 i
i
i 

Num resistor, aplica-se a lei de Ohm (1.7 a), e assim, i2 e i3 valem
6
2
12
2
2
2 


R
v
i A, 3
4
12
3
3
3 


R
v
i A
Portanto,
9
3
2
1 

 i
i
i A
Exemplo 2.2: Supor que não se saiba, em princípio, qual o sentido da corrente i2, de forma que
ele é arbitrado como mostrado na Fig. 2.4. Resolver novamente o circuito.
Solução: Não importa o sentido exato da corrente ou da tensão arbitrados num circuito. No final
da análise, se o sentido foi trocado, a própria formulação o revelará. O importante é manter a
convenção de tensão e corrente definidas para cada dipolo das seções 1.5 e 1.6. No caso do
resistor, é aquela identificada na Fig.1.8. Assim, se i2 inverter de sentido, v2 também o fará.
Procedendo desta forma, aplicam-se (atenção para o sinal de v2):
12
3
2
1 


 v
v
v V
Devido a LKC, tem-se
0
3
2
1 

 i
i
i  3
2
1 i
i
i 


As correntes nos resistores são:
6
2
12
2
2
2 




R
v
i A, 3
4
12
3
3
3 


R
v
i A
E por fim,
9
3
)
6
(
3
2
1 






 i
i
i A
Como se observa, a própria formulação revelou que a corrente i2 foi arbitrada no sentido
oposto, resultando num valor negativo.
Não parece de bom sensor cometer um “erro” no sentido de i2 como aconteceu neste
exemplo simples. Contudo, em redes mais complexas, as vezes, torna-se impossível saber a
princípio, os sentidos corretos das tensões e correntes. Nestes casos, o que foi discutido no
exemplo pode seu útil.
Exemplo 2.3: Resolver o circuito mostrado na Fig.2.5.
Solução: Todas as correntes e tensões arbitradas na figura obedecem à convenção de bipolos
definidas nas Figs. 1.8 e 1.15 c). Como todos os elementos estão em série, segue que só existe
uma corrente global:
i
i
i
i 

 3
2
1
Aplicando-se a LKT à malha, no sentido mostrado na figura, obtém-se
0
3
2
1 

 v
v
v
De imediato, observa-se que
12
1 
v V
enquanto as tensões nos resistores obedecem a (1.7 a)
i
i
R
i
R
v 2
2
2
2
2 

 , i
i
R
i
R
v 4
3
3
3
3 


Assim, a soma das tensões na malha conduz a
0
4
2
12 

 i
i  2

i A
Portanto, v2= 4 A e v3= 8 A, concluindo-se o exemplo.
Exemplo 2.4: Supor que não se saiba, em princípio, qual o sentido da tensão v3, de forma que ele
é arbitrado como mostrado na Fig. 2.6. Resolver novamente o circuito.
Solução: O importante é manter a convenção estabelecida na Fig. 1.8. Assim, se v3 se inverter, i3
também o fará. A solução repete os passos do exemplo anterior, tomando-se o cuidado com os
sinais algébricos:
i
i
i
i 


 3
2
1

0
3
2
1 

 v
v
v
12
1 
v V, i
i
R
i
R
v 2
2
2
2
2 

 , i
i
R
i
R
v 4
)
(
3
3
3
3 




0
)
4
(
2
12 


 i
i  2

i A
Portanto, v2= 4 A e v3= -8 A.
Como se observa, a própria formulação revela que o sentido arbitrado para v3 estava
invertido.
Exemplo 2.5: Resolver o circuito mostrado na Fig.2.7, considerando-se que se opera em regime
estacionário.
Figura 2.7 - Circuito elétrico do Exemplo 2.4.
Solução: Num circuito de corrente contínua operando em regime estacionário, todas as tensões e
correntes não variam no tempo. Assim, de acordo com (1.10), não existe queda de tensão entre
os terminais do indutor, e ele se comporta como um curto-circuito. De acordo com (1.16), não
existe corrente circulando pelo capacitor, o qual se comporta como um circuito aberto. Portanto,
em regime, o circuito da Fig.2.7 torna-se idêntico ao da Fig.2.5. Consequentemente,
2
3
2
1 

 i
i
i A
12
1 
v V, 4
2 
v V e 8
3 
v V.
Exemplo 2.6: Calcular i(t) e vC(t) após a chave SW, mostrada no circuito da Fig.2.8, alimentar o
circuito RC série com a fonte E. Supor que o capacitor está descarregado em t  0.
Figura 2.8 – Circuito RC série alimentado por uma fonte de tensão DC.
Solução: No Exemplo 2.5, considerou-se que o circuito alimentado pela fonte CC. estava em
regime estacionário, ou seja, que o mesmo havia sido ligado e que decorrera tempo suficiente
para que a corrente e a tensão não mais variassem no tempo. No presente exemplo, se está
interessado no comportamento do circuito da Fig.2.8, desde o instante em que ele é ligado até o
momento em que entra em regime. Isto é chamado de comportamento transitório. Obviamente,
em regime, o capacitor C da Fig.2.8 não permitirá a passagem de corrente, de forma que i(t)=0, o
que causa )
(
)
( t
i
R
t
v  =0, e daí, E
t
vC 
)
( . Ou seja, em regime, não haverá circulação de
corrente no circuito e a tensão sobre o capacitor será igual a E.
Após a chave SW conectar a fonte E ao sistema, pode-se considerar que a tensão que
alimenta o circuito RC série, aqui denominada de e(t), tem a forma mostrada na figura abaixo.
Para t  0 tem-se:
E
t
e 
)
(
A partir de (1.1) e (1.7 a), vem
dt
t
dq
R
t
i
R
t
vR
)
(
)
(
)
( 

e, de (1.20)
C
t
q
t
vC
)
(
)
( 
Aplicando-se a LKT à malha da Fig.2.8, tem-se
0






C
q
dt
dq
R
E
v
v
E C
R
Esta equação pode ser reorganizada como
dt
q
dq
RC
dt
CE 
  dt
q
CE
dq
RC )
( 


e daí, realiza-se a integração

 

t
q
q
dt
q
CE
dq
RC
0
0
onde q0 é a carga inicial do capacitor (q0=0 em t=0).
Fazendo-se uma mudança de variáveis, tal que u=CE-q e du=-dq, esta integral se
converte em
t
u
du
RC
q

 
0
cuja solução é conhecida do Cálculo:
t
u
RC
q

 0
ln  t
q
CE
RC
q


 0
)
ln(  t
CE
q
CE
RC 


)
(
ln

A partir daí, é possível extrair o valor da carga
elétrica:
)
1
(
)
( / RC
t
e
CE
t
q 


O comportamento da tensão no capacitor com o
tempo será então:
)
1
(
)
(
)
( / RC
t
C e
E
C
t
q
t
v 



cujo gráfico está desenhado ao lado.
Assim que a chave SW conecta E à RC, a tensão no capacitor cresce exponencialmente,
tendendo ao valor E no limite. Este é o valor que havia sido previsto para a operação em regime
estacionário. A rapidez com que o transitório acontece depende dos valores de E, R e C.
Pode-se também calcular a corrente elétrica
RC
t
RC
t
e
R
E
e
RC
CE
dt
t
dq
t
i /
/
)
(
)
( 




e daí, a queda de tensão no resistor
RC
t
R e
E
t
Ri
t
v /
)
(
)
( 


cujo gráfico é mostrado ao lado.
Observa-se que vR(t) e i(i) são proporcionais entre si, e assim, a corrente no circuito cessa
após o transitório, tendendo a zero no limite.
Em resumo, capacitor se carrega, e tende à vC(t) = E em t =  (no regime estacionário).
Também está mostrado, que a tensão no resistor tende a zero à medida que o capacitor vai se
carregando. Em t = , a corrente i(t) tende à zero e vR(t)=0.
Exemplo 2.7: Partindo-se do ponto em que o circuito atingiu o regime no Exemplo 2.6, resolver
o problema quando a chave SW da Fig. 2.8 muda de posição, aterrando o circuito RC série,
como mostrado na Fig.2.9.
Figura 2.9 – Circuito RC série com capacitor previamente carregado.
Solução: Será criada uma nova origem para o tempo neste novo exemplo. Assim, t=0
corresponderá ao instante em que a chave SW aterrar o par RC, o qual havia atingido o regime
estacionário no exemplo anterior.
Considere-se que o capacitor esteja carregado com uma carga inicial q=q0 em t=0. No
Exemplo 2.6, deduziu-se que )
1
(
)
( / RC
t
e
CE
t
q 

 , de forma que em t= ocorre q=CE, naquele
caso. No presente caso (usando-se uma nova origem para o tempo), tem-se então q0=CE em t=0.
Aplicando-se a LKT,
0
)
(
)
( 
 t
v
t
v C
R
e, usando-se (1.1), (1.7 a) e (1.20), resulta que
0




C
q
dt
dq
R
C
q
i
R
Esta equação pode ser reorganizada como
dt
q
dq
RC 
   


q
q
t
dt
q
dq
RC
0 0
 t
q
q
RC
q
RC
q
q




0
ln
ln
0
 RC
t
e
q
q /
0


Portanto, a carga elétrica no capacitor varia
como
RC
t
e
q
t
q /
0
)
( 

enquanto sua tensão será
RC
t
RC
t
C Ee
e
C
q
C
t
q
t
v /
/
0
)
(
)
( 




cujo gráfico está desenhado ao lado.
A corrente elétrica no circuito varia conforme
RC
t
RC
t
e
R
E
e
RC
q
dt
t
dq
t
i /
/
)
(
)
( 






cujo gráfico está desenhado ao lado. A tensão
no resistor será
)
(
)
(
)
( /
t
v
e
E
t
Ri
t
v C
RC
t
R 



 
Como se percebe, o capacitor, inicialmente carregado com carga q0=CE, inverte sua
corrente original em t=0-
, e se descarrega sobre o resistor, dissipando sua energia. A rapidez
deste transitório depende dos valores de E, R e C.

Este constitui um exemplo de solução de circuitos elétricos em regime transitório. Nem
todo circuito pode ser resolvido de forma tão simples, por isto, em Circuitos Elétricos será
estudada a poderosa técnica da análise espectral, através da transformada de Laplace.
2.2 Associação de Bipolos
É freqüente a necessidade de se associar bipolos em circuitos elétricos. A fim de
simplificar a análise da rede, são apresentadas algumas regras para associação de bipolos em
série (ou em cascata) e em paralelo.
a) Associação série de resistores
Na Fig. 2.10 a) tem-se uma rede com n resistores ligados em série. Diz-se que o circuito
mostrado na Fig. 2.10 b) é equivalente ao da Fig. 2.10 a), se v(t) e i(t) são iguais para ambos em
todos os instantes. O valor REQ é chamado de resistor equivalente da associação série.
(a) (b)
Figura 2.10 – Associação série de resistores. a) Circuito original. b) Circuito equivalente.
Aplicando-se a LKT à malha da Fig.2.10 a), em conjunto com a lei de Ohm, vem
)
(
)
...
(
)
(
...
)
(
)
(
)
(
2
1
2
1
t
i
R
R
R
t
v
t
v
t
v
t
v
n
n








(2.3)
Por outro lado, a Fig.2.10 b) revela que
)
(
)
( t
i
R
t
v EQ
 (2.4)
Comparando-se (2.3) com (2.4), conclui-se que
n
EQ R
R
R
R 


 ...
2
1 (2.5)
ou seja, que a resistência equivalente é obtida pela soma das resistências em série individuais.
b) Associação paralela de resistores
Na Fig.2.11 tem-se uma rede com n resistores em paralelo, representadas por suas
condutâncias G1, G2, ..., Gn. Na Fig.1.11 b), tem-se o seu circuito equivalente.
(a) (b)
Figura 2.11 – Associação paralela de resistores. a) Circuito original. b) Circuito equivalente.
Aplicando-se a LKC ao circuito da Fig.2.11 a), e usando a equação (1.7 b), vem
)
(
)
...
(
)
(
...
)
(
)
(
)
(
2
1
2
1
t
v
G
G
G
t
i
t
i
t
i
t
i
n
n








(2.6)
Da Fig.2.11 b), obtém-se
)
(
)
( t
v
G
t
i EQ
 (2.7)
Então, comparando-se (2.6) com (2.7), conclui-se que
n
EQ G
G
G
G 


 ...
2
1 (2.8)
ou seja, que a condutância equivalente da associação em paralelo é igual a soma das
condutâncias individuais.
Como G=1/R, (2.8) conduz a um resultado alternativo:
n
EQ R
R
R
R
1
...
1
1
1
2
1



 (2.9)
em temos de resistências.
c) Associação série de indutores
Na Fig. 2.12 a), tem-se uma rede com n indutores ligados em série, e, na Fig.1.12 b), o
seu circuito equivalente.
(a) (b)
Figura 2.12 – Associação série de indutores. a) Circuito original. b) Circuito equivalente.
Aplicando-se a LKT à malha da Fig.2.12 a), e usando-se (1.10)

dt
t
di
L
L
L
t
v
t
v
t
v
t
v
n
n
)
(
)
...
(
)
(
...
)
(
)
(
)
(
2
1
2
1








(2.10)
dt
t
di
L
t
v EQ
)
(
)
(  (2.11)
n
EQ L
L
L
L 


 ...
2
1 (2.12)
ou seja, que a indutância equivalente é obtida pela soma das indutâncias individuais em série.
d) Associação paralela de indutores
Na Fig.2.13 a) tem-se uma rede com n indutores em paralelo, e, na Fig.1.13 b), o seu
circuito equivalente.
(a) (b)
Figura 2.13 – Associação paralela de indutores. a) Circuito original. b) Circuito equivalente.
Aplicando-se a LKC ao circuito da Fig.2.13 a), e usando a equação (1.11), vem









dt
t
i
L
L
L
t
i
t
i
t
i
t
i
n
n
)
(
)
1
...
1
1
(
)
(
...
)
(
)
(
)
(
2
1
2
1
(2.13)

 dt
t
i
L
t
i
EQ
)
(
1
)
( (2.14)
n
EQ L
L
L
L
1
...
1
1
1
2
1



 (2.15)
ou seja, que o inverso da indutância equivalente é igual a soma dos inversos das indutâncias
individuais ligadas em paralelo.
e) Associação série de capacitores
Na Fig. 2.14 a), tem-se uma rede com n capacitores ligados em série, e, na Fig.1.14 b), o
seu circuito equivalente.
(a) (b)
Figura 2.14 – Associação série de capacitores. a) Circuito original. b) Circuito equivalente.
Aplicando-se a LKT à malha da Fig.2.14 a), e usando-se (1.17)









dt
t
i
C
C
C
t
v
t
v
t
v
t
v
n
n
)
(
)
1
...
1
1
(
)
(
...
)
(
)
(
)
(
2
1
2
1
(2.16)

 dt
t
i
C
t
v
EQ
)
(
1
)
( (2.17)
n
EQ C
C
C
C
1
...
1
1
1
2
1



 (2.18)
ou seja, que o inverso da capacitância equivalente é igual a soma dos inversos das capacitâncias
individuais ligadas em série.
e) Associação paralelo de capacitores
Na Fig.2.15 a) tem-se uma rede com n capacitores em paralelo, e, na Fig.1.15 b), o seu
circuito equivalente.
(a) (b)
Figura 2.15 – Associação paralela de capacitores. a) Circuito original. b) Circuito equivalente.

Aplicando-se a LKC ao circuito da Fig.2.15 a), e usando a equação (1.16), vem
dt
t
dv
C
C
C
t
i
t
i
t
i
t
i
n
n
)
(
)
...
(
)
(
...
)
(
)
(
)
(
2
1
2
1








(2.19)
dt
t
dv
C
t
i EQ
)
(
)
(  (2.20)
n
EQ C
C
C
C 


 ...
2
1 (2.21)
ou seja, que a capacitância equivalente é obtida pela soma das capacitâncias individuais em
paralelo.
2.3 Algumas Regras Práticas
Regras práticas, como o divisor de tensão e de corrente, podem simplificar
substancialmente a solução de circuitos, e são abordados neste item.
a) Associação em paralelo de dois resistores
Quando os resultados obtidos na equação (2.9) é aplicada à associação paralela de apenas
dois resistores, tem-se como resistência equivalente:
2
1
2
1
2
1
1
1
1
R
R
R
R
R
R
REQ



 (2.22)
Invertendo-se (2.22), obtém-se a regra prática
soma
produto
//
2
1
2
1
2
1 


R
R
R
R
R
R (2.23)
que informa que a resistência equivalente é dada pela razão entre o produto e a soma das
resistências.
b) Associação em paralelo de dois resistores : caso onde 2
1 R
R 
Neste caso, 0
/ 1
2 
R
R , e (2.23) pode ser rescrita como:
2
1
2
2
1
2
1
1
2
1
/
1
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
REQ 



 (2.24)
Portanto, dadas duas resistências muito diferentes entre si, o resultado da associação em paralelo
é aproximadamente igual a menor delas. No exemplo da Tabela 2.1, apresenta-se o resultado da
associação R1//10 , para R1 igual a 10 , 100, ..., 100 k. Neste último caso, 100 k >> 10
, e 100 k//10=9,999, ou seja, aproximadamente 10.
Tabela 2.1 - Caso onde R1>>R2.
R1 () Associação Resultado em 
10 10 //10 
5
10
10
10
.
10


100 100  //10 
091
,
9
10
100
10
.
100


1000 1000  //10 
901
,
9
10
1000
10
.
1000


10 k 10 k //10 
990
,
9
10
10
10
.
10


k
k
100 k 100 k //10 
999
,
9
10
100
10
.
100


k
k
Mesmo no caso onde R1= 100 , o resultado de R1//10  ainda é aproximadamente igual
a 10 , dentro de uma tolerância de 10% de erro.
Exemplo 2.8: Dado o circuito mostrado na Fig. 2.16, pede-se para calcular a resistência vista
pela fonte de tensão e a potência fornecida pela mesma.
Solução: Procura-se resolver este circuito aplicando-se algumas das regras estudadas neste item.
Por exemplo, aplica-se (2.23) aos resistores de 3  e 6, em paralelo, bem como, aos de 4 e
12.
2
6
3
6
.
3
6
//
3 

 
3
12
4
12
.
4
12
//
4 

 
Com isto, o circuito da Fig. 2.16 pode ser
simplificado como na figura ao lado.
Aplicando-se (2.5) à associação em série dos
resistores de 1 e 3, tem-se o novo circuito
desenhado ao lado.

Usando-se, novamente, (2.23) com os
resistores de 2 e 4 em paralelo, obtém-se
3
4
4
2
4
.
2
4
//
2 

 

e daí, o circuito ao lado.
A associação em série dos resistores de 2 , resulta em
3
10
3
4
1 


EQ
R 

a qual constitui a resistência elétrica vista pela fonte de tensão. A corrente elétrica fornecida é
obtida por:
2
3
3
/
10
5
5



EQ
R
i A

a partir da qual se calcula a potência fornecida pela fonte:
2
15
2
3
.
5 

 vi
p W.
c) Regra do divisor de tensão
A regra do divisor de tensão será amplamente utilizada no curso de Eletrônica 1. Na
Fig.2.17, dois resistores em série, R1 e R2, são usados para dividir a tensão v(t). A tensão v0(t)
constitui uma porção menor de v(t), cujo valor deseja-se conhecer. Admite-se que nenhum bipolo
será conectado em paralelo com R2.
Figura 2.17 – Circuito divisor de tensão de v(t).
Aplicando-se a lei de Ohm (1.7 a) ao resistor R2, obtém-se
)
(
)
( 2
0 t
i
R
t
v  (2.25)
Por outro lado, como a corrente i(t) flui por R1 em série com R2, vem
2
0
2
1
2
1
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
R
t
v
R
R
t
i
R
R
t
v




(2.26)
onde extraiu-se i(t) de (2.25). Finalmente, reorganizando-se os termos de (2.26), obtém-se
)
(
)
(
2
1
2
0 t
v
R
R
R
t
v

 (2.27)
Observe-se o caso trivial, no qual R1 = R2 em (2.27), que resulta v0(t)=v(t)/2, ou seja,
divide-se a tensão v(t) à metade, como esperado.
d) Regra do divisor de corrente
Na Fig.2.18 ilustra-se o circuito divisor da corrente i(t). Deseja-se determinar o valor da
corrente i0(t).
Figura 2.18 – Circuito divisor de corrente de i(t).
Pela lei de Ohm, aplicada ao resistor R2, obtém-se:
2
0
)
(
)
(
R
t
v
t
i  (2.28)
e, ao resistor R1:
1
1
)
(
)
(
R
t
v
t
i  (2.29)
Da LKC, observa-se que:
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2
1
2
1
2
1
0
1
t
v
R
R
R
R
R
t
v
R
t
v
t
i
t
i
t
i






(2.30)
onde (2.28) e (2.29) foram usadas. Reorganizando-se (2.30), vem
)
(
)
(
2
1
2
1
t
i
R
R
R
R
t
v

 (2.31)
Por fim, substituindo-se (2.31) em (2.28), conclui-se que
)
(
)
(
2
1
1
0 t
i
R
R
R
t
i

 (2.32)

É interessante comparar (2.32) com (2.27) para observar as diferenças. Esta regra também será
muito usada em Eletrônica 1.
e) Aplicação: Gerador de tensão real – efeito do carregamento
Nas seções anteriores definiu-se geradores de tensão ideais. Modelos de geradores reais
possuem uma resistência interna equivalente não nula, e assim, podem ser representados pela
Fig.2.19, onde vs(t) é a tensão em vazio (ou força eletromotriz) e Rs é a resistência interna da
fonte. A tensão acessível nos terminais deste gerador prático é vi(t).
Figura 2.19 – Circuito equivalente de um gerador de tensão prático.
Na prática, é importante adquirir geradores com a menor resistência interna possível, a
fim de se evitar o efeito de carregamento: com a presença de uma carga conectada à vi(t), haverá
circulação de corrente, e assim, a queda de tensão em Rs causa redução na tensão útil entregue à
saída do gerador, vi(t). Observe que se o gerador estiver em vazio, não haverá corrente através de
Rs e vi(t)=vs(t). Isto será melhor compreendido com o exemplo a seguir.
Exemplo 2.9: Dados vs=100 mVp (lê-se 100 milivolts de pico) e RL=1 k, como mostrado na
Fig.2.20, investigar o valor de vL(t) para os valores de Rs apresentados na Tabela 2.2.
Figura 2.20 – Circuito usado para estudar o efeito do carregamento.
Solução: Ao contrário do circuito da Fig.2.19, agora, existe uma carga RL ligada na saída do
gerador (vs, Rs). A tensão medida sobre a carga corresponde a vL(t). A tensão na carga pode ser
obtida aplicando-se o divisor de tensão (2.27):
100
1
1






k
R
k
v
R
R
R
v
s
s
L
s
L
L mVp
Na Tabela 2.2, apresenta-se o resultado dos cálculos para diversos valores de Rs:
Tabela 2.2 – Efeito de Rs sobre a tensão na carga.
Rs,  vL, mVp Redução de vs, em %
1 99,90 0,1
10 99,01 0,99
50 95,24 4,76
100 90,91 9,09
500 66,67 33,33
1000 50,00 50,00
Portanto, para uma carga RL=1 k Rs deve ser no máximo igual a 100  a fim de que se
perca menos de 10% de vs, caso contrário, em vez da tensão vs chegar integralmente à carga, uma
boa parcela de si ficará retida sobre a resistência interna Rs. Normalmente, geradores de sinais
são fabricados com Rs=50 .
f) Aplicação: Gerador de corrente real
Geradores de corrente práticos devem levar em conta uma resistência interna shunt finita,
como esquematizado na Fig. 2.21, onde is(t) é a corrente de curto-circuito e Rs é a resistência
interna. Ao se conectar uma carga na saída do gerador de corrente, corre-se o risco da corrente
is(t) não atingir integralmente esta carga, ficando uma parcela retida na resistência interna Rs.
Figura 2.21 – Circuito equivalente de um gerador de corrente prático.
É interessante adquirir geradores de corrente cujo valor de Rs seja o maior possível. Caso
contrário, pode haver uma perda de corrente substancial em Rs, antes de se atingir a carga.
Obviamente, se a fonte estiver curto-circuitada, não haverá tensão em Rs e, portanto, também não
haverá corrente nesta resistência. Com isto, a corrente de curto-circuito é o próprio valor de is(t).
Exemplo 2.10: Dados Is=1 A e RL=1 k, conforme representado na Fig.2.22, investigar o valor
de IL para os valores de Rs apresentados na Tabela 2.3.
Figura 2.22 – Circuito usado para estudar o efeito do carregamento.
Solução: Uma carga RL=1 k encontra-se conectada à saída da fonte de corrente (Is, Rs).
Aplicando-se o divisor de corrente (2.32), obtém-se
1
1 




k
R
R
I
R
R
R
I
s
s
s
L
s
s
L A

Na Tabela 2.3, variou-se Rs e calculou-se IL. Como se observa, quanto maior o valor da
resistência interna Rs, uma maior porção de Is consegue atingir a carga RL. Caso contrário, a
corrente dará preferência por circular através de Rs.
Tabela 2.3 – Efeito de Rs sobre a corrente de carga.
Rs,  IL, mVp Redução de Is, em %
1 k 0,5 50
10 k 0,909 9
100 k 0,990 1
1 M 0,999 0,1
Na prática, é importante utilizar fontes de corrente com resistência shunt da ordem de
M.
g) Percurso preferido pela corrente
Dado duas resistências em paralelo, como desenhado na Fig.2.23, a corrente sempre terá
predileção por circular pela menor das duas resistências.
Figura 2.23 – A corrente prefere circular pela menor resistência.
De fato, se 2
1 R
R  , ou seja, 0
/ 1
2 
R
R , e
)
(
)
(
0
1
1
)
(
1
1
)
(
)
(
)
(
1
2
1
2
1
1
1
2
1
1
0 t
i
t
i
t
i
R
R
t
i
R
R
R
R
R
t
i
R
R
R
t
i s
s
s
s
s 







 (2.33)
Ou seja, a corrente is(t) passa praticamente toda por R2. Se ocorresse o inverso, ou seja, R2<<R1,
a corrente teria predileção por circular através de R1.
Este resultado é amplamente explorado para proteção de pessoas contra choques
elétricos. Na Fig.2.24 a), mostra-se um motor elétrico no qual existe uma fuga (um vazamento)
de corrente, dos enrolamentos para a carcaça (devido a algum tipo de defeito ou falha).
Normalmente, o motor está sobre um pedestal isolado do solo, de modo que se uma pessoa tocar
em sua carcaça, haverá circulação de corrente através da mesma. Tem-se o choque elétrico.
Contudo, se a carcaça do motor for aterrada, cria-se um trajeto seguro para esta corrente de falta
para o solo, no qual ela será dissipada (embora com prejuízo na conta de energia do proprietário
do motor). Mesmo se uma pessoa tocar a caraça do motor, a corrente dará preferência por
circular pelo fio condutor com resistência bem menor que o a do corpo da pessoa.
(a) (b)
Figura 2.24 – Proteção contra choque elétrico. a) Circuito sem aterramento. b) Circuito com fio terra de proteção.
03 – Corrente Alternada
3.1 O regime permanente senoidal
Estuda-se neste tópico, sinais de tensão que variam senoidalmente no tempo conforme
)
(
)
( 
 
 t
sen
V
t
v m (3.1)
onde Vm é o valor de pico (ou amplitude, medida em volts),  é a freqüência angular (rad/s) e  é
a fase inicial (rad) da senóide. A frequência angular () se relaciona com a frequência linear (f,
medida em ciclos por segundo ou Hz) através de
f

 2
 (3.2)
Este tipo de sinal pode ser encontrado, por exemplo, nos geradores de corrente alternada
de usinas de geração de energia onde, normalmente, se usa f=60 Hz.
Os sistemas de distribuição de energia, o rádio, a televisão, os sistemas de comunicação,
os sistemas de computação, etc., dependem fundamentalmente de tensões e correntes senoidais.
Exemplo 3.1: Considere-se um sinal senoidal no qual f= 1 kHz, Vm=1 V e =0 rad. Desenhar o
gráfico de v(t).
Solução: Na Tabela 3.1, consideram-se alguns valores de t para o cálculo de (3.1), ou seja,
t
sen
t
v 3
10
2
1
)
( 
 .
Tabela 3.1 – Alguns valores particulares para desenhar o gráfico de v(t).
t, s v(t), V
0 0
10-3
/4 sen(/2)=1
10-3
/2 sen()=0
3x10-3
/4 sen(3/2)=-1
1x 10-3
sen(2)=0
Na Fig.3.1, apresenta-se um esboço do gráfico correspondente, mostrando-se apenas um
de seus ciclos.

Figura 3.1 – Sinal senoidal típico.
A duração de um ciclo completo de sinal é chamado período, T. No caso do exemplo, T=
1ms. Através de regra de três simples, obtém-se a relação entre o período e a freqüência
(comprovar isto):
f
T
1
 (3.3)
Observe-se que T= 1ms é igual a 1/f=1/(1 kHz) = 1ms.
3.2 – Circuitos resistivos
Todas as equações apresentadas nas seções 1 e 2 deste texto podem ser empregadas para
o caso onde as fontes de tensão são senoidais. Em particular, quando os circuitos são puramente
resistivos, como a maioria dos circuitos que serão estudados em Eletrônica 1, a aplicação destas
equações torna-se bastante simples. Os casos não resistivos serão estudados em Circuitos
Elétricos.
Considere-se o circuito resistivo operando em regime senoidal, mostrado na Fig.3.2.
Assume-se que a fonte de tensão v(t) seja ideal.
Figura 3.2 – Circuito resistivo em regime senoidal.
Com isto, a tensão na resistência de carga RL será dada simplesmente por:
)
(
)
(
)
( 
 

 t
sen
V
t
v
t
v m
R (3.4)
Usando a lei de Ohm:
)
(
)
( t
i
R
t
v L
R  (3.5)
Assim, extraindo i(t) de (3.5) e usando (3.4), obtém-se:
)
(
)
(
)
( 
 
 t
sen
R
V
t
i
L
m
(3.6)
Portanto, a corrente resultante tem a mesma freqüência e fase inicial que v(t), porém, sua
amplitude é alterada para Vm/RL. Em geral, em Eletrônica 1, considera-se apenas casos onde
=00
.
Em vez de usar a coordenada t, o gráfico da senóide também pode ser desenhado em
termos de t. Este é um procedimento interessante, uma vez que dispensa o conhecimento do
valor de  (ou de f), como aconteceu no caso da Fig.3.1. Desta forma, apresenta-se na Fig.3.3, os
gráficos de vR(t) e i(t) dados por (3.4) e (3.6), respectivamente.
(a)
(b)
Figura 3.3 – Sinais na carga. a) Tensão na carga. b) Corrente na carga.
No caso de circuito resistivo, diz-se que a tensão e corrente na carga estão em fase, ou
seja, atingem seus valores máximos simultaneamente. Isto não acontece em circuitos contendo
elementos L ou C, conforme será visto em Circuitos Elétricos.
Exemplo 3.2: Para o circuito da Fig.3.4, calcular a tensão v0(t) e a corrente i(t).
Figura 3.4 – Circuito para o Exemplo 3.2.
Solução: O circuito abaixo resulta da associação série dos resistores de 1 

Associando-se os resistores em paralelo, de
2e 4 
3
4
4
2
4
.
2
4
//
2 

 
resulta no circuito a seguir.
A tensão v1 é o resultado do divisor de tensão
de v(t)
)
(
5
2
)
(
2
3
/
4
3
/
4
1 t
v
t
v
v 


no qual, substituindo-se a expressão de v(t),
obtém-se
t
sen
v 
2
1 
Também, da figura acima
t
sen
t
sen
t
v
t
i 

2
3
5
10
3
3
/
4
2
)
(
)
( 



Retornando ao circuito original da Fig.3.4 e aplicando o divisor de tensão de v1:
t
sen
t
sen
v
t
v 

2
3
2
4
3
1
3
3
)
( 1
0 


 .
3.3 – Valor médio
Alguns sinais, embora sejam de corrente direta (DC do inglês Direct Current), não são de
corrente constante (CC), pois variam no tempo. Na Fig. 3.4 ilustra-se um tal caso:
Figura 3.6 – Sinal periódico arbitrário e valor médio.
Alguns instrumentos, como amperímetros e voltímetros DC, são capazes de medir o valor
médio desse tipo de sinal.
Dada uma função v(t) periódica no tempo, de período T, define-se seu valor médio como:



T
DC
AVG dt
t
v
T
V
V
0
)
(
1
(3.7)
onde a integração do sinal é realizada entre 0 e T. Neste texto, as notações VAVG (do inglês
average) e VDC serão usadas indistintamente. VDC é preferida pelo livro de Sedra e Smith. Na
realidade, a integração (3.7) pode ser executada em qualquer intervalo de tempo com duração T.
Assim, por exemplo, também são válidas as relações:





2
/
2
/
)
(
1
T
T
DC
AVG dt
t
v
T
V
V (3.8 a)
ou 



0
0
)
(
1
t
T
t
DC
AVG dt
t
v
T
V
V (3.8 b)
para um t0 qualquer.
Além disso, quando o período T (medido em segundos) não é fornecido, é mais adequado
calcular VAVG, partindo-se de (3.7), como (notar que em t=0 tem-se t=0, e, quando t=T tem-se
t=T):
)
(
1
)
(
1
0
t
d
t
v
T
V
V
T
DC
AVG 




 (3.9)
Como T=1/f e =2f, então, T=2f.(1/f)= 2Assim, (3.9) torna-se
)
(
)
(
2
1
2
0
t
d
t
v
V
V DC
AVG 




 (3.10 a)
Ou então, )
(
)
(
2
1
t
d
t
v
V
V DC
AVG 







 (3.10 b)
Exemplo 3.3: Calcular o valor médio da forma de onda mostrada na Fig.3.7, ou seja














2
,
0
0
,
)
(
t
t
t
sen
V
t
v m
a qual é denominada de meia-onda.
Figura 3.7 – Valor médio da meia-onda.
Solução: Aplicando-se (3.10 a), obtém-se

dx
senx
V
t
d
t
sen
V
t
d
t
v
V m
m
DC 

 










 0
0
2
0
2
)
(
2
1
)
(
)
(
2
1
)]
1
(
1
[
2
)]
0
cos
(
cos
[
2
]
cos
[
2
0 













 m
m
m V
V
x
V
e assim,

m
DC
V
V 
Este resultado será amplamente utilizado no estudo de retificadores a diodos em Eletrônica 1.
Embora os sinais das Figs. 3.6 e 3.7 sejam do tipo DC, a definição de valor médio é geral,
e também se aplica a sinais alternados, que apresentam valores instantâneos positivos ou
negativos.
Exemplo 3.4: Calcular o valor médio da tensão senoidal t
sen
V
t
v m 

)
( , mostrado na Fig.3.8.
Figura 3.8 – Sinal senoidal simples.
Solução: Não é preciso de cálculo para deduzir que o valor médio de v(t) é zero, uma vez que o
sinal senoidal é simétrico: cada valor positivo da primeira metade do ciclo é compensado por um
valor igual negativo da segunda metade do ciclo. Portanto, ao somar todos os valores da integral
entre 0 e 2, se obterá zero como resultado. Apenas para confirmar, aplica-se (3.10 a)
dx
senx
V
t
d
t
sen
V
t
d
t
v
V m
m
DC 

 











2
0
2
0
2
0
2
)
(
2
1
)
(
)
(
2
1
0
)]
1
(
1
[
2
)]
0
cos
(
2
cos
[
2
]
cos
[
2
2
0 














 m
m
m V
V
x
V
Na verdade, as funções do tipo )
2
(
)
(
2 
 
 t
sen
V
t
v m , )
3
(
)
(
3 
 
 t
sen
V
t
v m , ..., todas,
têm valor médio nulo (verificar isto!). Estes sinais têm freqüências dupla (2), tripla (3), etc., e
são denominados de segunda harmônica, terceira harmônica, etc, respectivamente. A função com
freqüência  é denominada de componente de freqüência fundamental. Os gráficos de v2(t) e
v3(t) estão desenhados na Fig. 3.7, e apresentam dois e três ciclos por período 2da
fundamental, respectivamente.
Figura 3.9 – Harmônicas senoidais. a) Segunda harmônica.b) Terceira harmônica.
Exercício 3.1: Calcular o valor médio do sinal )]
(
1
[
2
)
( t
sen
V
t
v m


 .
Exercício 3.2: Calcular o valor médio do sinal mostrado na Fig.3.10, o qual é chamado de onda
completa.
Figura 3.10 – Forma de onda para o Exercício 3.2.
3.4 – Valor eficaz
Com exceção do osciloscópio, os instrumentos de corrente alternada, tais como
amperímetros e voltímetros (analógicos ou digitais) são lentos demais para que possam
acompanhar os ciclos efetivos de oscilações de um sinal variável no tempo (como o senoidal).
Assim, em geral, estes últimos são calibrados em termos de valores eficazes. Por exemplo, se
você ligar um voltímetro de corrente alternada a uma tomada elétrica doméstica, ele deve indicar
127 volts eficazes (127 Vef ou 127 VRMS). A sigla RMS advém do inglês Root Mean Squared.
Dada uma função v(t) periódica no tempo (não necessariamente senoidal), de período T,
define-se o valor eficaz como:



T
ef
RMS dt
t
v
T
V
V
0
2
)
(
1
(3.11 a)
ou então, em termos de (t):






2
0
2
)
(
2
1
t
d
t
v
V
V ef
RMS (3.11 b)
Exemplo 3.5: Se t
sen
V
t
v m 

)
( , calcular a sua tensão eficaz.
Solução: Aplicando-se (3.11 b)

















2
0
2
2
0
2
2
2
0
2
2
2
2
cos
1
2
2
1
)
(
2
1
dx
x
V
t
d
t
sen
V
t
d
t
v
V m
m
RMS






2
]
4
0
4
4
2
0
2
2
[
2
]
4
2
2
[
2
2
2
2
0
2
m
m
m V
sen
sen
V
x
sen
x
V







de onde se conclui que
2
m
RMS
V
V 
Assim, em vez de (3.1), também é comum se utilizar a notação:
)
(
2
)
( 
 
 t
sen
V
t
v RMS . Este resultado é amplamente utilizado em eletricidade.
Exercício 3.3: Mostrar que todas as expressões abaixo possuem 2
/
m
RMS V
V  .
a) t
V
t
v m 
cos
)
( 
b) )
(
)
( 
 
 t
sen
V
t
v m ,  qualquer.
Exercício 3.4: Mostrar que usando-se 





t
d
t
v
VRMS )
(
2
1 2
, para t
sen
V
t
v m 

)
( , obtém-se
o mesmo resultado, ou seja, que 2
/
m
RMS V
V  .
Exercício 3.5: Calcular a tensão eficaz da função de meia-onda v(t) estudada no Exemplo 3.3.
Exercício 3.6: Calcular a tensão eficaz da função de onda completa v(t) mostrada na Fig.3.8.
3.5 – Potência Média
Quando a corrente e a tensão num bipolo são funções do tempo, é adequado definir uma
potência média conforme:

 

T
T
AVG dt
t
i
t
v
T
dt
t
p
T
P
0
0
)
(
)
(
1
)
(
1
(3.12)
onde T é o período de v(t) e i(t).
A expressão (3.12) é válida para quaisquer formato de v(t) e i(t), não obrigatoriamente
senoidais como, por exemplo, o sinal arbitrário periódico mostrado na Fig.3.11.
Figura 3.11 – Sinal de tensão arbitrário e de período T.
Outra forma de se calcular PAVG, mais simples que (3.12), é

 









t
d
t
p
t
d
t
p
PAVG )
(
2
1
)
(
2
1 2
0
(3.13)
Exemplo 3.6: Se t
sen
V
t
v m 

)
( e t
sen
I
t
i m 

)
( , calcular a potência média.
Solução: Este é um caso típico de circuito senoidal resistivo. Aplicando-se (3.13):













 



dx
x
I
V
t
d
t
sen
I
V
P m
m
m
m
AVG
2
cos
1
2
2
1 2
]
0
0
2
2
[
2
]
4
)
2
(
4
2
)
2
(
2
[
2
]
4
2
2
[
2











 












m
m
m
m
m
m I
V
sen
sen
I
V
x
sen
x
I
V
Portanto, o valor da potência média do sinal senoidal simples será:
RMS
RMS
m
m
AVG I
V
I
V
P 

2
No próximo exemplo, emprega-se este resultado para interpretar o significado de valor eficaz.
Exemplo 3.7: Considere o circuito de corrente contínua mostrado na Fig.3.12, alimentado por
uma fonte de tensão CC cujo valor é Vef..
Figura 3.12 – Circuito resistivo alimentado com fonte CC de valor Vef.
A potência dissipada no resistor é

R
V
R
V
V
I
V
P
ef
ef
ef
ef
ef
R
2



Agora, considerando-se o circuito de corrente alternada mostrado no Fig.3.13, no qual
t
sen
V
t
v m 

)
( .
Figura 3.13 – Circuito senoidal resistivo.
A corrente elétrica resultante será:
t
sen
R
V
t
sen
I
t
i m
m 
 

)
( , onde R
V
I m
m 
Para um circuito como o da Fig.3.13, já foi visto que a potência média fornecida pela fonte
senoidal é:
R
V
I
V
P m
m
m
AVG
2
2
2


pois R
V
I m
m /
 . A partir de PR e PAVG, obtém-se uma interpretação física para o valor eficaz.
Igualando-se PR e PAVG, verifica-se que
R
V
R
V m
ef
2
2
2

a partir da qual, conclui-se que
2
/
m
ef V
V 
como havia sido previsto no Exemplo 3.5. A partir deste resultado, tem-se a seguinte
interpretação: se uma tensão t
sen
V
t
v ef 
2
)
(  for aplicada a uma resistência R, produz-se a
mesma dissipação de energia que uma fonte CC com valor Vef aplicada à mesma resistência R.
04 – Transformador
Não se deve ligar um eletrodoméstico cuja tensão de operação é 127 Vef numa rede de
220 Vef, pois isto danificaria o aparelho. O inverso não existe perigo, porém, a eficiência do
aparelho cairia sensivelmente. Necessita-se, portanto, de um dispositivo que consiga aumentar
ou diminuir a diferença de potencial num circuito (mantendo-se a potência média constante). O
transformador de tensão alternada constitui esse elemento (e não existe um sistema equivalente,
com simplicidade equivalente, para corrente contínua).
Em eletrônica, um transformador, normalmente, é usado para abaixar o nível de tensão da
rede (127 ou 220 Vef) para níveis compatíveis com os dispositivos semicondutores
(normalmente, abaixo de 15 volts). Na Fig.4.1, apresentam-se alguns modelos comerciais destes
transformadores.
(a)
(b)
Figura 4.1 – Alguns exemplos de transformadores práticos. a) Enrolamento exposto. b) Blindado.
Na Fig. 4.2 a), ilustra-se o esquema de um transformador de potencial, constituídos por
dois enrolamentos, sobre um mesmo núcleo de material ferromagnético [ver Fig.4.2 b)]. Assim,
o lado de maior tensão corresponde ao enrolamento primário, enquanto o lado de menor tensão,
ao enrolamento secundário.
(a) (b)
Figura 4.2 – Transformadores de potencial. a) Esquema elétrico. b) Elementos constituintes.
As tensões do primário e do secundário de um transformador ideal estão relacionadas por:
1
2
1
2
n
n
V
V
 (3.14)
onde V1 e V2 são as tensões dos enrolamentos primário e secundário (eficazes ou de pico),
respectivamente, enquanto n1 e n2 são os números de espiras destes enrolamentos. Assim, se

n2<n1, então, V2=(n2/n1)V1 < V1. Ou seja, a tensão do secundário é menor que a do primário
(trata-se de um transformador abaixador).
Além disso, o transformador isola a carga (a qual corresponde aos circuitos ligados no
secundário) da linha (ou rede CA). Isto quer dizer que o único acoplamento com a rede CA é
através do campo magnético, o qual põe em comunicação os enrolamentos do primário e
secundário. Isto reduz os perigos de um choque elétrico, porque não existe mais um contato
elétrico direto entre os dois lados da linha.
Conforme será estudado na disciplina Conversão de Energia, um transformador prático
possui enrolamentos com resistências que produzem alguma perda de potência. O núcleo
laminado de material ferromagnético também possui correntes parasitas, que produzem perdas
adicionais de potência. E, por fim, apresenta não-linearidade e histerese, que podem distorcer o
sinal no secundário do transformador. Contudo, estes problemas causam mais preocupação em
grandes transformadores, como os de sistema de transmissão e distribuição de energia. Em
eletrônica, normalmente, esta preocupação normalmente não é muito crítica.
05 – Bibliografia
[1] Luiz de Queiroz Orsini e Denise Consonni, Curso de circuitos elétricos, volumes 1 e 2,
segunda edição, editora: Edgard Blücher, 2002.
[2] Albert Paul Malvino, Eletrônica, volumes 1 e 2, quarta edição, editora: Makron Books,
1997.

Eletricidade Básica: Conceitos Fundamentais de Corrente, Tensão e Bipolos

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