Trigonometria aplicada à topografia

1. ElementosdeMatem´atica
Trigonometria do Triˆangulo Retˆangulo
Roteiro no.5 - Atividades did´aticas de 2007
Vers˜ao compilada no dia 9 de Maio de 2007.
Departamento de Matem´atica - UEL
Prof. Ulysses Sodr´e
E-mail: ulysses@matematica.uel.br
Matem´atica Essencial: http://www.mat.uel.br/matessencial/
Resumo: Notas de aulas constru´ıdas com materiais utilizados em nossas
aulas na Universidade Estadual de Londrina. Desejo que elas sejam um
roteiro para as aulas e n˜ao espero que estas notas venham a substituir
qualquer livro sobre o assunto. Alguns conceitos foram obtidos em livros
citados na Bibliografia, mas os assuntos foram bastante modificados. Em
portuguˆes, h´a pouco material de dom´ınio p´ublico, mas em inglˆes existem
diversos materiais que podem ser obtidos na Rede Internet. Sugerimos que
o leitor fa¸ca pesquisas para obter materiais gratuitos para os seus estudos.
Mensagem: ‘No princ´ıpio era o Verbo, e o Verbo estava com Deus, e o
Verbo era Deus. Ele estava no princ´ıpio com Deus. Todas as coisas foram
feitas por interm´edio dele, e sem ele nada do que foi feito se fez. Nele
estava a vida, e a vida era a luz dos homens; a luz resplandece nas trevas, e
as trevas n˜ao prevaleceram contra ela. ... Estava ele no mundo, e o mundo
foi feito por interm´edio dele, e o mundo n˜ao o conheceu. Veio para o que
era seu, e os seus n˜ao o receberam. Mas, a todos quantos o receberam,
aos que crˆeem no seu nome, deu-lhes o poder de se tornarem filhos de
Deus; os quais n˜ao nasceram do sangue, nem da vontade da carne, nem da
vontade do var˜ao, mas de Deus. E o Verbo se fez carne, e habitou entre
n´os, cheio de gra¸ca e de verdade...’ A B´ıblia Sagrada, Jo˜ao 1:1-5,10-14
Resumo dos principais
conceitos da trigonometria
aplicados à Topografia

2. CAP´ITULO 1
Trigonometria do triˆangulo retˆangulo
1.1 Trigonometria e aplica¸c˜oes
Tratamos aqui sobre alguns conceitos relacionados com a Trigonometria no
triˆangulo retˆangulo, assunto comum na oitava s´erie do Ensino Fundamental.
Tamb´em dispomos de uma p´agina mais aprofundada sobre o assunto tratado
no ˆambito do Ensino M´edio.
A trigonometria possui uma infinidade de aplica¸c˜oes pr´aticas. Desde a anti-
g¨uidade j´a se usava da trigonometria para obter distˆancias imposs´ıveis de serem
calculadas por m´etodos comuns. Algumas aplica¸c˜oes da trigonometria s˜ao:
1. Determina¸c˜ao da altura de um certo pr´edio.
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3. 1.2. TRIˆANGULO RETˆANGULO 2
2. Os gregos determinaram a medida do raio de terra, por um processo
muito simples.
3. Seria imposs´ıvel se medir a distˆancia da Terra `a Lua, por´em com a
trigonometria se torna simples.
4. Um engenheiro precisa saber a largura de um rio para construir uma
ponte, o trabalho dele ´e facilitado com o uso de recursos trigonom´etricos.
5. Um cart´ografo (desenhista de mapas) precisa saber a altura de uma mon-
tanha, o comprimento de um rio, etc. Sem a trigonometria ele demoraria
anos para desenhar um mapa.
Tudo isto ´e poss´ıvel calcular com o uso da trigonometria do triˆangulo retˆangulo.
1.2 Triˆangulo Retˆangulo
´E um triˆangulo que possui um ˆangulo reto, isto ´e, um dos seus ˆangulos mede
noventa graus, da´ı o nome triˆangulo retˆangulo. Como a soma das medidas dos
ˆangulos internos de um triˆangulo ´e igual a 1800
, ent˜ao os outros dois ˆangulos
medir˜ao 900
.
Observa¸c˜ao: Se a soma de dois ˆangulos mede 900
, estes ˆangulos s˜ao denom-
inados complementares, portanto podemos dizer que o triˆangulo retˆangulo
possui dois ˆangulos complementares.
Ver mais detalhes em triˆangulos
1.3 Lados de um triˆangulo retˆangulo
Os lados de um triˆangulo retˆangulo recebem nomes especiais. Estes nomes
s˜ao dados de acordo com a posi¸c˜ao em rela¸c˜ao ao ˆangulo reto. O lado oposto
ao ˆangulo reto ´e a hipotenusa. Os lados que formam o ˆangulo reto (adjacentes
a ele) s˜ao os catetos.
Termo Origem da palavra
Cateto Cathet´os: (perpendicular)
Hipotenusa Hypoteinusa: Hyp´o (por baixo) + teino (eu estendo)
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4. 1.4. NOMENCLATURA DOS CATETOS 3
Para padronizar o estudo da Trigonometria, adotaremos as seguintes nota¸c˜oes:
Letra Nome do lado V´ertice = ˆAngulo Medida
a Hipotenusa A = ˆAngulo reto A = 900
b Cateto B = ˆAngulo agudo B < 900
c Cateto C = ˆAngulo agudo C < 900
Ver mais detalhes em ˆangulos
1.4 Nomenclatura dos catetos
Os catetos recebem nomes especiais de acordo com a sua posi¸c˜ao em rela¸c˜ao
ao ˆangulo sob an´alise. Se estamos usando o ˆangulo C, ent˜ao o lado oposto,
indicado por c, ´e o cateto oposto ao ˆangulo C e o lado adjacente ao ˆangulo
C, indicado por b, ´e o cateto adjacente ao ˆangulo C.
ˆAngulo Lado oposto Lado adjacente
C c cateto oposto b cateto adjacente
B b cateto oposto c cateto adjacente
Um dos objetivos da trigonometria ´e mostrar o uso de conceitos matem´aticos
no nosso cotidiano.
Iniciaremos estudando as propriedades geom´etricas e trigonom´etricas no triˆangulo
retˆangulo. O estudo da trigonometria ´e extenso e minucioso.
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5. 1.5. PROPRIEDADES DO TRIˆANGULO RETˆANGULO 4
1.5 Propriedades do triˆangulo retˆangulo
1. ˆAngulos: Um triˆangulo retˆangulo possui um ˆangulo reto e dois ˆangulos
agudos complementares.
2. Lados: Um triˆangulo retˆangulo ´e formado por trˆes lados, uma hipotenusa
(lado maior) e outros dois lados que s˜ao os catetos.
3. Altura: A altura de um triˆangulo ´e um segmento que tem uma extremi-
dade num v´ertice e a outra extremidade no lado oposto ao v´ertice, sendo
que este segmento ´e perpendicular ao lado oposto ao v´ertice. Existem
3 alturas no triˆangulo retˆangulo, sendo que duas delas s˜ao os catetos.
A outra altura ´e obtida tomando a base como a hipotenusa, a altura
relativa a este lado ser´a o segmento AD, denotado por h e perpendicular
`a base.
1.6 A hipotenusa como base de um triˆangulo retˆangulo
Tomando informa¸c˜oes da mesma figura acima, obtemos:
1. o segmento AD, denotado por h, ´e a altura relativa `a hipotenusa CB,
indicada por a.
2. o segmento BD, denotado por m, ´e a proje¸c˜ao ortogonal do cateto c
sobre a hipotenusa CB, indicada por a.
3. o segmento DC, denotado por n, ´e a proje¸c˜ao ortogonal do cateto b
sobre a hipotenusa CB, indicada por a.
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6. 1.7. PROJEC¸ ˜OES DE SEGMENTOS 5
1.7 Proje¸c˜oes de segmentos
Introduziremos algumas id´eias b´asicas sobre proje¸c˜ao. J´a mostramos, no in´ıcio
deste trabalho, que a luz do Sol ao incidir sobre um pr´edio, determina uma
sombra que ´e a proje¸c˜ao obl´ıqua do pr´edio sobre o solo.
Tomando alguns segmentos de reta e uma reta n˜ao coincidentes ´e poss´ıvel
obter as proje¸c˜oes destes segmentos sobre a reta. Nas quatro situa¸c˜oes apre-
sentadas, as proje¸c˜oes dos segmentos AB s˜ao indicadas por A B , sendo que
no ´ultimo caso A = B ´e um ponto.
1.8 Proje¸c˜oes no triˆangulo retˆangulo
Agora iremos indicar as proje¸c˜oes dos catetos no triˆangulo retˆangulo.
1. m = proje¸c˜ao de c sobre a hipotenusa.
2. n = proje¸c˜ao de b sobre a hipotenusa.
3. a = m + n.
4. h = m´edia geom´etrica entre m e n.
Ver mais detalhes em m´edia geom´etrica
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7. 1.9. RELAC¸ ˜OES M´ETRICAS NO TRIˆANGULO RETˆANGULO 6
1.9 Rela¸c˜oes M´etricas no triˆangulo retˆangulo
Para extrair algumas propriedades, decomporemos o triˆangulo retˆangulo ABC
em dois triˆangulos retˆangulos menores: ACD e ADB. Dessa forma, o ˆangulo
A ser´a decomposto na soma dos ˆangulos CAD = B e DAB = C.
Os triˆangulos retˆangulos ABC, ADC e ADB s˜ao semelhantes.
Triˆangulo hipotenusa cateto maior cateto menor
ABC a b c
ADC b n h
ADB c h m
Assim:
a
b
=
b
n
=
c
h
a
c
=
b
h
=
c
m
b
c
=
n
h
=
h
m
logo:
a
c
=
c
m
equivale a ac2
= a.m
a
b
=
b
n
equivale a ab2
= a.n
a
c
=
b
h
equivale a aa.h = b.c
h
m
=
n
h
equivale a ah2
= m.n
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8. 1.10. FUNC¸ ˜OES TRIGONOM´ETRICAS B´ASICAS 7
Existem tamb´em outras rela¸c˜oes do triˆangulo inicial ABC. Como a = m+n,
somando c2
com b2
, obtemos:
c2
+ b2
= a.m + a.n = a.(m + n) = a.a = a2
que resulta no Teorema de Pit´agoras:
a2
= b2
+ c2
Esta ´e uma das v´arias demonstra¸c˜oes do Teorema de Pit´agoras.
1.10 Fun¸c˜oes trigonom´etricas b´asicas
As Fun¸c˜oes trigonom´etricas b´asicas s˜ao rela¸c˜oes entre as medidas dos lados do
triˆangulo retˆangulo e seus ˆangulos. As trˆes fun¸c˜oes b´asicas mais importantes
da trigonometria s˜ao: seno, cosseno e tangente. Indicamos o ˆangulo pela letra
x, o cateto oposto ao ˆangulo x por CO, o cateto adjacente ao ˆangulo x por
CA, a hipotenusa do triˆangulo por H e m(Z) a medida do segmento Z.
Fun¸c˜ao Nota¸c˜ao Defini¸c˜ao
seno sin(x)
m(CO)
m(H)
cosseno cos(x)
m(CA)
m(H)
tangente tan(x)
m(CO)
m(CA)
Tomando um triˆangulo retˆangulo ABC, tal que m(H) = 1, o seno do ˆangulo
x sob an´alise ´e a medida do cateto oposto CO e o cosseno do mesmo ´e o seu
cateto adjacente CA. Portanto a tangente do ˆangulo analisado ser´a a raz˜ao
entre o seno e o cosseno desse ˆangulo.
sin(x) =
m(CO)
H
=
m(CO)
1
cos(x) =
m(CA)
H
=
m(CA)
1
tan(x) =
m(CO)
m(CA)
=
sin(x)
cos(x)
Rela¸c˜ao fundamental: Para todo ˆangulo x (medido em radianos), vale a
rela¸c˜ao:
cos2
(x) + sin2
(x) = 1
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9. CAP´ITULO 1
Elementos gerais sobre Trigonometria
1.1 O papel da trigonometria
Trigonometria ´e uma palavra formada por trˆes radicais gregos: tri (trˆes), gonos
(ˆangulos) e metron (medir). Da´ı vem seu significado mais amplo: Medida dos
Triˆangulos, assim atrav´es do estudo da Trigonometria podemos calcular as
medidas dos elementos do triˆangulo (lados e ˆangulos).
Com o uso de triˆangulos semelhantes podemos calcular distˆancias inacess´ıveis,
como a altura de uma torre, a altura de uma pirˆamide, distˆancia entre duas
ilhas, o raio da terra, largura de um rio, entre outras.
A Trigonometria ´e um instrumento potente de c´alculo, que al´em de seu uso
na Matem´atica, tamb´em ´e usado no estudo de fenˆomenos f´ısicos, Eletricidade,
Mecˆanica, M´usica, Topografia, Engenharia entre outros.
1.2 Ponto m´ovel sobre uma curva
Seja uma curva no plano cartesiano. Se um ponto P est´a localizado sobre
esta curva, simplesmente dizemos P pertence `a curva e que P ´e um ponto
fixo na mesma. Se assumirmos que este ponto possa ser deslocado sobre a
curva, este ponto receber´a o nome de ponto m´ovel.
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10. 1.3. ARCOS DA CIRCUNFERˆENCIA 2
Um ponto m´ovel localizado sobre uma circunferˆencia, partindo de um ponto A
pode percorrer esta circunferˆencia em dois sentidos opostos. Por conven¸c˜ao,
o sentido anti-hor´ario (contr´ario aos ponteiros de um rel´ogio) ´e adotado como
sentido positivo.
1.3 Arcos da circunferˆencia
Se um ponto m´ovel em uma circunferˆencia partir de A e parar em M, ele
descreve um arco AM. O ponto A ´e a origem do arco e M ´e a extremidade
do arco.
Quando escolhemos um dos sentidos de percurso, o arco ´e denominado arco
orientado e simplesmente pode ser denotado por AB se o sentido de percurso
for de A para B e BA quando o sentido de percurso for de B para A.
Quando n˜ao consideramos a orienta¸c˜ao dos arcos formados por dois pontos A
e B sobre uma circunferˆencia, temos dois arcos n˜ao orientados sendo A e B
as suas extremidades.
1.4 Medida de um arco
A medida de um arco de circunferˆencia ´e feita por compara¸c˜ao com um outro
arco da mesma circunferˆencia tomado como a unidade de arco. Se u for um
arco de comprimento unit´ario (igual a 1), a medida do arco AB, ´e o n´umero
de vezes que o arco u cabe no arco AB.
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11. 1.5. O N´UMERO PI 3
Na figura seguinte, a medida do arco AB ´e 5 vezes a medida do arco u.
Denotando a medida do arco AB por m(AB) e a medida do arco u por
m(u), temos m(AB) = 5 m(u).
A medida de um arco de circunferˆencia ´e a mesma em qualquer sentido, sendo
que a medida alg´ebrica de um arco AB desta circunferˆencia ´e o comprimento
deste arco, associado a um sinal positivo se o sentido de A para B ´e anti-
hor´ario, e negativo se o sentido ´e hor´ario.
1.5 O n´umero pi
Em toda circunferˆencia, a raz˜ao entre o per´ımetro e o diˆametro ´e uma con-
stante denotada pela letra grega π, que ´e um n´umero irracional, isto ´e, que n˜ao
pode ser expresso como a divis˜ao de dois n´umeros inteiros. Uma aproxima¸c˜ao
para o n´umero π ´e dada por:
π = 3, 1415926535897932384626433832795...
Mais informa¸c˜oes sobre pi, podem ser obtidas na p´agina ´Areas de regi˜oes
circulares: http://www.mat.uel.br/matessencial/geometria/areas/circ.htm
1.6 Unidades de medida de arcos
A unidade de medida de arco do Sistema Internacional (SI) ´e o radiano, mas
existem outras medidas utilizadas por t´ecnicos como o grau e o grado. Este
´ultimo n˜ao ´e muito comum.
Radiano: Medida de um arco cujo comprimento ´e o mesmo que o raio da
circunferˆencia que estamos medindo o arco. O arco usado como unidade tem
comprimento igual ao comprimento do raio ou 1 radiano, denotado por 1 rad.
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12. 1.7. ARCOS DE UMA VOLTA 4
Grau: Medida de um arco que corresponde a 1/360 do arco completo da
circunferˆencia na qual estamos medindo o arco.
Grado: ´E a medida de um arco igual a 1/400 do arco completo da circun-
ferˆencia na qual estamos medindo o arco.
Exemplo 1. Para determinar a medida em radianos de um arco de compri-
mento igual a 12 cm, em uma circunferˆencia de raio medindo 8 cm, tomamos:
m(AB) =
comprimento do arco(AB)
comprimento do raio
= 12/8 = 1, 5 rad
1.7 Arcos de uma volta
Se AB ´e o arco correspondente `a volta completa de uma circunferˆencia, a
medida do arco ´e igual a C = 2πr, ent˜ao:
m(AB) =
comprimento do arco(AB)
comprimento do raio
=
2πr
r
= 2π
A medida em radianos de um arco de uma volta completa ´e 2π rad, isto ´e,
2π rad = 360 graus.
Temos as seguintes situa¸c˜oes usuais:
90 graus 180 graus 270 graus 360 graus
100 grados 200 grados 300 grados 400 grados
π/2 rad π rad 3π/2 rad 2π rad
Observa¸c˜ao: 0 graus = 0 grado = 0 radianos.
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13. CAP´ITULO 2
O c´ırculo trigonom´etrico
2.1 C´ırculo Trigonom´etrico
Seja uma circunferˆencia de raio unit´ario com centro na origem de um sistema
cartesiano ortogonal e o ponto A = (1, 0). O ponto A ser´a tomado como a
origem dos arcos orientados nesta circunferˆencia e o sentido positivo consid-
erado ser´a o anti-hor´ario. A regi˜ao contendo esta circunferˆencia e todos os
seus pontos interiores, ´e denominada c´ırculo trigonom´etrico.
Em livros de l´ıngua inglesa, a palavra c´ırculo se refere `a curva envolvente da
regi˜ao circular enquanto circunferˆencia de c´ırculo ´e a medida desta curva. No
Brasil, a circunferˆencia ´e a curva que envolve a regi˜ao circular.
Os eixos OX e OY decomp˜oem o c´ırculo trigonom´etrico em quatro quadrantes
que s˜ao enumerados como segue:
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14. 2.2. ARCOS COM MAIS DE UMA VOLTA 7
Quadrante abscissa ordenada α
Primeiro positiva positiva 0o
< α < 90o
Segundo negativa positiva 90o
< α < 180o
Terceiro negativa negativa 180o
< α < 270o
Quarto positiva negativa 270o
< α < 360o
Os quadrantes s˜ao usados para localizar pontos e caracterizar ˆangulos para uso
em trigonometria. Por conven¸c˜ao, os pontos sobre os eixos n˜ao pertencem a
qualquer um dos quadrantes.
2.2 Arcos com mais de uma volta
Em Trigonometria, algumas vezes precisamos considerar arcos com medidas
s˜ao maiores do que 360o
. Por exemplo, se um ponto m´ovel parte de um ponto
A sobre uma circunferˆencia no sentido anti-hor´ario e para em um ponto M,
ele descreve um arco AM. A medida deste arco (em graus) poder´a ser menor
ou igual a 360o
ou ser maior do que 360o
. Se esta medida for menor ou igual
a 360o
, dizemos que este arco est´a em sua primeira determina¸c˜ao.
Assim, o ponto m´ovel poder´a percorrer a circunferˆencia uma ou mais vezes
em um certo sentido, antes de parar no ponto M, determinando arcos maiores
do que 360o
ou arcos com mais de uma volta. Existe uma infinidade de arcos
mas com medidas diferentes, cuja origem ´e o ponto A e cuja extremidade ´e o
ponto M.
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15. 2.2. ARCOS COM MAIS DE UMA VOLTA 8
Se AM ´e um arco cuja primeira determina¸c˜ao mede m, ent˜ao um ponto m´ovel
que parte de A e pare em M, pode ter v´arias medidas alg´ebricas, dependendo
do percurso.
Se o sentido for o anti-hor´ario, o ponto M da circunferˆencia trigonom´etrica
ser´a a extremidade de uma infinidade de arcos positivos de medidas:
m, m + 2π, m + 4π, m + 6π, ...
Se o sentido for o hor´ario, o ponto M ser´a extremidade de uma infinidade de
arcos negativos de medidas alg´ebricas:
m − 2π, m − 4π, m − 6π, ...
e assim temos uma cole¸c˜ao infinita de arcos com extremidade no ponto M.
Generalizando este conceito, se m ´e a medida da primeira determina¸c˜ao posi-
tiva do arco AM, podemos representar as medidas destes arcos por:
m(AM) = m + 2kπ
onde k ´e um n´umero inteiro, isto ´e, k ∈ Z = {..., −2, −3, −1, 0, 1, 2, 3, ...}.
Fam´ılia de arcos: Uma fam´ılia de arcos {AM} ´e o conjunto de todos os
arcos com ponto inicial em A e extremidade em M.
Exemplo 4. Se um arco de circunferˆencia tem origem em A e extremidade
em M, com a primeira determina¸c˜ao positiva medindo
2π
3
, ent˜ao os arcos
desta fam´ılia {AM}, medem:
Determina¸c˜oes positivas (sentido anti-hor´ario)
k = 0 m(AM) = 2π
3
k = 1 m(AM) = 2π
3 + 2π = 8π
3
k = 2 m(AM) = 2π
3 + 4π = 14π
3
k = 3 m(AM) = 2π
3 + 6π = 20π
3
... ...
k = n m(AM) = 2π
3 + 2nπ = (2 + 6n)π
3
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16. 2.3. ARCOS CˆONGRUOS E ˆANGULOS 9
Determina¸c˜oes negativas (sentido hor´ario)
k = −1 m(AM) = 2π
3 − 2π = −4π
3
k = −2 m(AM) = 2π
3 − 4π = −6π
3
k = −3 m(AM) = 2π
3 − 6π = −16π
3
k = −4 m(AM) = 2π
3 − 8π = −22π
3
... ...
k = −n m(AM) = 2π
3 − 2nπ = (2 − 6n)π
3
2.3 Arcos cˆongruos e ˆAngulos
Arcos cˆongruos: Dois arcos s˜ao cˆongruos se a diferen¸ca de suas medidas ´e
um m´ultiplo de 2π.
Exemplo 5. Arcos de uma mesma fam´ılia s˜ao cˆongruos.
ˆAngulos: As no¸c˜oes de orienta¸c˜ao e medida alg´ebrica de arcos podem ser
estendidas para ˆangulos, uma vez que a cada arco AM da circunferˆencia
trigonom´etrica corresponde a um ˆangulo central determinado pelas semi-retas
OA e OM.
Como no caso dos arcos, podemos considerar dois ˆangulos orientados um
positivo (sentido anti-hor´ario) com medida alg´ebrica a correspondente ao arco
AM e outro negativo (sentido hor´ario) com medida b = a−2π correspondente
ao arco AM.
Tamb´em existem ˆangulos com mais de uma volta e as mesmas no¸c˜oes apre-
sentadas para arcos se aplicam a ˆangulos.
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17. 2.4. ARCOS SIM´ETRICOS EM RELAC¸ ˜AO AO EIXO OX 10
2.4 Arcos sim´etricos em rela¸c˜ao ao eixo OX
Sejam AM e AM arcos na circunferˆencia trigonom´etrica, com A = (1, 0)
e os pontos M e M sim´etricos em rela¸c˜ao ao eixo horizontal OX. Se a
medida do arco AM ´e igual a m, ent˜ao a medida do arco AM’ ´e dada por:
µ(AM ) = 2π − m.
Os arcos da fam´ılia {AM}, aqueles que tˆem origem em A e extremidades em
M, tˆem medidas iguais a 2kπ + m, onde k ´e um n´umero inteiro e os arcos da
fam´ılia {AM } tˆem medidas iguais a 2kπ − m, onde k ´e um n´umero inteiro.
2.5 Arcos sim´etricos em rela¸c˜ao ao eixo OY
Sejam AM e AM arcos na circunferˆencia trigonom´etrica com A = (1, 0) e
os pontos M e M sim´etricos em rela¸c˜ao ao eixo vertical OY . Se a medida do
arco AM for igual a m, ent˜ao a medida do arco AM ser´a dada pela express˜ao
µ(AM ) = π − m. Os arcos da fam´ılia {AM }, isto ´e, aqueles com origem
em A e extremidade em M , medem (2k + 1)π − m onde k ∈ Z.
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18. 2.6. ARCOS SIM´ETRICAS EM RELAC¸ ˜AO `A ORIGEM 11
2.6 Arcos sim´etricas em rela¸c˜ao `a origem
Sejam arcos AM e AM na circunferˆencia trigonom´etrica com A = (1, 0) e
os pontos M e M sim´etricos em rela¸c˜ao `a origem (0, 0).
Se o arco AM mede m, ent˜ao µ(AM ) = π+m. Arcos gen´ericos com origem
em A e extremidade em M medem m(AM ) = (2k + 1)π + m.
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19. CAP´ITULO 3
Seno, Cosseno e Tangente
3.1 Seno e cosseno
Dada uma circunferˆencia trigonom´etrica contendo o ponto A = (1, 0) e um
n´umero real x, sempre existe um arco orientado AM sobre esta circunferˆencia,
cuja medida alg´ebrica corresponde a x radianos.
Seno: No plano cartesiano, consideremos uma circunferˆencia trigonom´etrica,
de centro em (0, 0) e raio unit´ario. Seja M = (x , y ) um ponto desta cir-
cunferˆencia, localizado no primeiro quadrante, este ponto determina um arco
AM que corresponde ao ˆangulo central a. A proje¸c˜ao ortogonal do ponto M
sobre o eixo OX determina um ponto C = (x , 0) e a proje¸c˜ao ortogonal do
ponto M sobre o eixo OY determina outro ponto B = (0, y ).
A medida do segmento OB coincide com a ordenada y do ponto M e ´e
definida como o seno do arco AM que corresponde ao ˆangulo a, denotado
por sen(AM) ou sen(a).
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20. 3.2. TANGENTE 13
Como temos v´arias determina¸c˜oes para o mesmo ˆangulo, escreveremos
sen(AM) = sen(a) = sen(a + 2kπ) = y
Para simplificar os enunciados e defini¸c˜oes seguintes, escreveremos sen(x) para
denotar o seno do arco de medida x radianos.
Cosseno: O cosseno do arco AM correspondente ao ˆangulo a, denotado por
cos(AM) ou cos(a), ´e a medida do segmento 0C, que coincide com a abscissa
x do ponto M.
Existem v´arias determina¸c˜oes para este ˆangulo, raz˜ao pela qual, escrevemos
cos(AM) = cos(a) = cos(a + 2kπ) = x
3.2 Tangente
Seja t a reta tangente `a circunferˆencia trigonom´etrica no ponto A = (1, 0).
Esta reta ´e perpendicular ao eixo OX. A reta que passa pelo ponto M e
pelo centro da circunferˆencia tem interse¸c˜ao com a reta tangente t no ponto
T = (1, t ). A ordenada deste ponto T, ´e definida como a tangente do arco
AM correspondente ao ˆangulo a.
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21. 3.3. ˆANGULOS NO SEGUNDO QUADRANTE 14
Assim a tangente do ˆangulo a ´e dada pelas suas v´arias determina¸c˜oes:
tan(AM) = tan(a) = tan(a + kπ) = µ(AT) = t
Podemos escrever M = (cos(a), sen(a)) e T = (1, tan(a)), para cada ˆangulo
a do primeiro quadrante. O seno, o cosseno e a tangente de ˆangulos do
primeiro quadrante s˜ao todos positivos.
Um caso especial ´e quando o ponto M est´a no eixo horizontal OX, pois
cos(0) = 1, sen(0) = 0, tan(0) = 0
Ampliaremos estas no¸c˜oes para ˆangulos nos outros quadrantes
3.3 ˆAngulos no segundo quadrante
Se na circunferˆencia trigonom´etrica, tomamos o ponto M no segundo quad-
rante, ent˜ao o ˆangulo a entre o eixo OX e o segmento OM pertence ao
intervalo
π
2
< a < π. Do mesmo modo que no primeiro quadrante, o cosseno
est´a relacionado com a abscissa do ponto M e o seno com a ordenada deste
ponto. Como o ponto M = (x, y) possui abscissa negativa e ordenada posi-
tiva, o sinal do seno do ˆangulo a no segundo quadrante ´e positivo, o cosseno
do ˆangulo a ´e negativo e a tangente do ˆangulo a ´e negativa.
Outro caso especial ´e quando o ponto M est´a no eixo vertical OY e temos
que:
cos(
π
2
) = 0, sen(
π
2
) = 1
e a tangente n˜ao est´a definida, pois a reta OM n˜ao intercepta a reta t, pois
elas s˜ao paralelas.
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22. 3.4. ˆANGULOS NO TERCEIRO QUADRANTE 15
3.4 ˆAngulos no terceiro quadrante
O ponto M = (x, y) est´a localizado no terceiro quadrante, o que significa
que o ˆangulo a ∈ [π, 3π/2]. Este ponto M = (x, y) ´e sim´etrico ao ponto
M = (−x, −y) do primeiro quadrante, em rela¸c˜ao `a origem do sistema,
indicando que tanto a sua abscissa como a sua ordenada s˜ao negativos. O seno
e o cosseno de um ˆangulo no terceiro quadrante s˜ao negativos e a tangente ´e
positiva.
Em particular, se a = π rad, temos que
cos(π) = −1, sen(π) = 0, tan(π) = 0
3.5 ˆAngulos no quarto quadrante
O ponto M est´a no quarto quadrante, 3π/2 < a < 2π. O seno de ˆangulos no
quarto quadrante ´e negativo, o cosseno ´e positivo e a tangente ´e negativa.
Se o ˆangulo mede 3π/2, a tangente n˜ao est´a definida pois a reta OP n˜ao
intercepta a reta t, estas s˜ao paralelas. Quando a = 3π/2, temos:
cos(
3π
2
) = 0, sin(
3π
2
) = −1
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23. 3.6. SIMETRIA EM RELAC¸ ˜AO AO EIXO OX 16
3.6 Simetria em rela¸c˜ao ao eixo OX
Em uma circunferˆencia trigonom´etrica, se M ´e um ponto no primeiro quad-
rante e M o sim´etrico de M em rela¸c˜ao ao eixo OX, estes pontos M e M
possuem a mesma abscissa e as ordenadas possuem sinais opostos.
Se A = (1, 0) ´e um ponto da circunferˆencia, a o ˆangulo correspondente ao
arco AM e b o ˆangulo correspondente ao arco AM’, ent˜ao
sen(a) = −sen(b), cos(a) = cos(b), tan(a) = −tan(b)
3.7 Simetria em rela¸c˜ao ao eixo OY
Seja M um ponto da circunferˆencia trigonom´etrica localizado no primeiro
quadrante, e seja M sim´etrico a M em rela¸c˜ao ao eixo OY , estes pontos M
e M possuem a mesma ordenada e as abscissa s˜ao sim´etricas.
Se A = (1, 0) ´e um ponto da circunferˆencia, a ´e o ˆangulo correspondente ao
arco AM e b ´e o ˆangulo correspondente ao arco AM , ent˜ao
sen(a) = sen(b), cos(a) = − cos(b), tan(a) = − tan(b)
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24. 3.8. SIMETRIA EM RELAC¸ ˜AO `A ORIGEM 17
3.8 Simetria em rela¸c˜ao `a origem
Se M ´e um ponto da circunferˆencia trigonom´etrica localizado no primeiro
quadrante e se M ´e o sim´etrico de M em rela¸c˜ao `a origem, estes pontos M
e M possuem ordenadas e abscissas sim´etricas.
Se A = (1, 0) ´e um ponto da circunferˆencia, a ´e o ˆangulo correspondente ao
arco AM e b ´e o ˆangulo correspondente ao arco AM , ent˜ao
sen(a) = −sen(b), cos(a) = − cos(b), tan(a) = tan(b)
3.9 Senos e cossenos de alguns ˆangulos not´aveis
Um modo de obter os valores do seno e cosseno de alguns ˆangulos que apare-
cem com freq¨uˆencia em exerc´ıcios e aplica¸c˜oes, sem necessidade de memo-
riza¸c˜ao, ´e atrav´es de simples observa¸c˜ao no c´ırculo trigonom´etrico.
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25. CAP´ITULO 2
Resolu¸c˜ao de triˆangulos
Os elementos fundamentais de um triˆangulo s˜ao: os lados, os ˆangulos e a ´area.
Resolver um triˆangulo, segnifica conhecer as medidas destes elementos. Tendo
trˆes dentre estes elementos podemos usar as rela¸c˜oes m´etricas ou as rela¸c˜oes
trigonom´etricas dependendo do caso, para calcular os outros elementos. Estas
rela¸c˜oes est˜ao expostas na sequˆencia.
2.1 Lei dos Senos
Seja um triˆangulo qualquer, como o que aparece na figura
com lados a, b e c, respectivamente tendo ˆangulos opostos A, B e C. O
quociente entre a medida de cada lado e o seno do ˆangulo oposto a este lado
´e uma constante igual a 2R, em que R ´e o raio da circunferˆencia circunscrita
ao triˆangulo, isto ´e:
a
sen(A)
=
b
sen(B)
=
c
sen(C)
= 2R
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26. 2.1. LEI DOS SENOS 8
Demonstra¸c˜ao: Para simplificar as nota¸c˜oes denotaremos o ˆangulo que corre-
sponde a cada v´ertice pelo nome do v´ertice, por exemplo para o triˆangulo de
v´ertices ABC os ˆangulos ser˜ao A, B e C respectivamente, assim quando es-
crevermos sen(A) estaremos nos referindo ao seno do ˆangulo correspondente
com v´ertice em A.
Seja ABC um triˆangulo qualquer, inscrito numa circunferˆencia de raio R.
Tomando como base do triˆangulo o lado BC, construimos um novo triˆangulo
BCA , de tal modo que o segmento BA seja um diˆametro da circunferˆencia.
Este novo triˆangulo ´e retˆangulo em C.
Temos trˆes casos a considerar, dependendo se o triˆangulo ABC ´e acutˆangulo,
obtusˆangulo ou retˆangulo.
1. Triˆangulo acutˆangulo: Os ˆangulos correspondentes aos v´ertices A e A
s˜ao congruentes, pois s˜ao ˆangulos inscritos `a circunferˆencia correspon-
dendo a um mesmo arco BC. Ent˜ao:
sen(A ) = sen(A) =
a
2R
isto ´e,
a
sen(A)
= 2R
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27. 2.1. LEI DOS SENOS 9
Repetindo o mesmo processo para as bases AC e AB, obtemos os outros
quocientes
b
sen(B)
=
c
sen(C)
= 2R
2. Triˆangulo obtusˆangulo: Se A e A s˜ao os ˆangulos que correspondem
aos v´ertices A e A , a rela¸c˜ao entre eles ´e dada por A = π − A, pois s˜ao
ˆangulos inscritos `a circunferˆencia correspondentes a arcos replementares
BAC e BA C. Ent˜ao
sen(π − A) =
a
2R
= sen(A)
isto ´e,
a
sen(A)
= 2R
Repetindo o mesmo processo para as bases AC e AB, obteremos os
outros quocientes
b
sen(B)
=
c
sen(C)
= 2R
3. Triˆangulo retˆangulo: Como o triˆangulo ABC ´e um triˆangulo retˆangulo,
´e imediato que
sen(B) =
b
a
, sen(C) =
c
a
, sen(A) = sen(
π
2
) = 1
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28. 2.2. LEI DOS COSSENOS 10
Como, neste caso a = 2R, temos,
a
sen(A)
=
b
sen(B)
=
c
sen(C)
2.2 Lei dos Cossenos
Em um triˆangulo qualquer, o quadrado da medida de um lado ´e igual a
diferen¸ca entre a soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados e
o dobro do produto das medidas desses lados pelo cosseno do ˆangulo formado
por estes lados.
a2
= b2
+ c2
− 2 b c cos(A)
b2
= a2
+ c2
− 2 a c cos(B)
c2
= a2
+ b2
− 2 a b cos(C)
Demonstra¸c˜ao: Temos trˆes casos a considerar, dependendo se o triˆangulo
ABC ´e acutˆangulo, obtusˆangulo ou retˆangulo.
1. Triˆangulo retˆangulo: Se o triˆangulo ABC ´e retˆangulo, com ˆangulo reto
no v´ertice A, a rela¸c˜ao
a2
= b2
+ c2
− 2 b c cos(A)
Como cos(A) = cos(π/2) = 0, esta rela¸c˜ao recai na rela¸c˜ao de Pit´agoras:
a2
= b2
+ c2
2. Triˆangulo acutˆangulo: Seja o triˆangulo ABC um triˆangulo acutˆangulo
com ˆangulo agudo correspondente ao v´ertice A, como mostra a figura.
Seja o segmento de reta HC perpendicular ao lado AB (altura do
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29. 2.2. LEI DOS COSSENOS 11
triˆangulo relativa ao lado AB), passando pelo v´ertice C. Aplicando o
Torema de Pit´agoras no triˆangulo CHB, temos:
a2
= h2
+ (c − x)2
= (h2
+ x2
) + c2
− 2cx (2.1)
No triˆangulo AHC, temos que b2
= h2
+ x2
e tamb´em cos(A) =
x
b
,
ou seja, x = b cos(A). Substituindo estes resultados na equa¸c˜ao 2.1,
obtemos:
a2
= b2
+ c2
− 2 b c cos(A)
3. Triˆangulo obtusˆangulo: Seja o triˆangulo obtusˆangulo ABC com o
ˆangulo obtuso correspondente ao v´ertice A, como mostra a figura. Seja
o segmento de reta HC perpendicular ao lado AB (altura do triˆangulo
relativa ao lado AB), passando pelo v´ertice C. Aplicando o Torema de
Pit´agoras no triˆangulo CHB, temos que:
a2
= h2
+ (c + x)2
= (h2
+ x2
) + c2
+ 2cx (2.2)
No triˆangulo AHC, obtemos a rela¸c˜ao de Pit´agoras b2
= h2
+ x2
e
tamb´em cos(D) =
x
b
= cos(π − A) = − cos(A), logo, x = −b cos(A).
Substituindo estes resultados na equa¸c˜ao 2.2, obtemos:
a2
= b2
+ c2
− 2 b c cos(A)
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30. 2.3. ´AREA DE UM TRIˆANGULO EM FUNC¸ ˜AO DOS LADOS 12
As express˜oes da lei dos cossenos podem ser escritas na forma
cos(A) =
b2
+ c2
− a2
2 b c
cos(B) =
a2
+ c2
− b2
2 a c
cos(C) =
a2
+ b2
− c2
2 a b
2.3 ´Area de um triˆangulo em fun¸c˜ao dos lados
Existe uma f´ormula para calcular a ´area de um triˆangulo conhecendo-se as
medidas de seus lados. Se a, b e c s˜ao as medidas dos lados do triˆangulo, p a
metade do per´ımetro do triˆangulo, isto ´e: 2p = a + b + c, ent˜ao,
S = p(p − a)(p − b)(p − c)
A demonstra¸c˜ao da f´ormula acima est´a em nosso link F´ormula de Heron:
http://www.mat.uel.br/matessencial/geometria/heron/heron.htm
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31. CAP´ITULO 4
Fun¸c˜oes trigonom´etricas circulares
Fun¸c˜oes circulares constituem o objeto fundamental da trigonometria circular
e s˜ao importantes pela sua periodicidade pois elas representam fenˆomenos
naturais peri´odicos, como varia¸c˜oes da temperatura terrestre, comportamentos
ondulat´orios do som, press˜ao sangu´ınea no cora¸c˜ao, n´ıveis de ´agua em oceanos,
etc.
4.1 Fun¸c˜oes reais
Para estudar trigonometria, devemos ter um bom conhecimento das defini¸c˜oes
e propriedades que caracterizam a teoria de fun¸c˜oes reais.
Fun¸c˜ao: Uma fun¸c˜ao de um conjunto n˜ao vazio A em um conjunto n˜ao vazio
B, denotada por f : A → B, ´e uma correspondˆencia que associa a cada
elemento de A um ´unico elemento de B.
O conjunto A ´e denominado o dom´ınio de f, o conjunto B ´e denominado
contradom´ınio de f. O elemento y ∈ B que corresponde ao elemento x ∈ A
de acordo com a lei f, ´e a imagem de x por f, indicado por y = f(x).
O conjunto de todos elementos de B que s˜ao imagem de algum elemento de
A ´e denominado conjunto Imagem de f.
Uma fun¸c˜ao f ´e denominada fun¸c˜ao real de vari´avel real, se o dom´ınio e
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32. 4.2. FUNC¸ ˜OES CRESCENTES E DECRESCENTES 17
contradom´ınio de f s˜ao subconjuntos do conjunto dos n´umeros reais.
Fun¸c˜ao peri´odica: Uma fun¸c˜ao real f, com dom´ınio em A subconjunto da
reta real, ´e dita peri´odica se, existe um n´umero real positivo T, tal que para
todo x ∈ A, vale
f(x + T) = f(x)
Podem existir muitos n´umeros reais T com esta propriedade, mas o menor
n´umero T > 0, que satisfaz a esta condi¸c˜ao ´e o per´ıodo fundamental.
Exemplo 1. A fun¸c˜ao real definida por f(x) = x − [x], onde [x] ´e a parte
inteira do n´umero real x que ´e menor ou igual a x. Esta fun¸c˜ao ´e peri´odica
de per´ıodo fundamental T = 1.
Fun¸c˜ao limitada: Uma fun¸c˜ao f de dom´ınio A ⊂ R ´e limitada, se existe um
n´umero real L > 0, tal que para todo x ∈ A, valem as desigualdades:
−L ≤ f(x) ≤ L
e esta ´ultima express˜ao ´e equivalente a |f(x)| ≤ L.
Exemplo 2. A fun¸c˜ao real f(x) =
2x
1 + x2
´e limitada pois
−1 ≤
x
1 + x2
≤ 1
4.2 Fun¸c˜oes crescentes e decrescentes
Seja f uma fun¸c˜ao definida em um intervalo I, sendo x, y ∈ I, com x < y.
Afirmamos que f ´e crescente, se f(x) < f(y) e que f ´e decrescente, se
f(x) > f(y).
Exemplo 3. A fun¸c˜ao real f(x) = 2x + 1 ´e crescente enquanto que a fun¸c˜ao
real f(x) = e−x
´e decrescente.
4.3 Fun¸c˜oes pares e ´ımpares
Fun¸c˜ao par: Uma fun¸c˜ao f ´e uma fun¸c˜ao par, se para todo x do dom´ınio de
f tem-se que
f(−x) = f(x)
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33. 4.4. FUNC¸ ˜AO SENO 18
Fun¸c˜oes pares s˜ao sim´etricas em rela¸c˜ao ao eixo vertical OY .
Exemplo 4. A fun¸c˜ao real definida por f(x) = x2
´e par.
Fun¸c˜ao´ımpar: Uma fun¸c˜ao f ´e uma fun¸c˜ao´ımpar, se para todo x do dom´ınio
de f tem-se que
f(−x) = −f(x)
Fun¸c˜oes ´ımpares s˜ao sim´etricas em rela¸c˜ao `a origem (0, 0) do sistema de eixos
cartesiano.
Exemplo 5. A fun¸c˜ao real definida por f(x) = x3
´e ´ımpar.
4.4 Fun¸c˜ao seno
Dado um ˆangulo de medida x, a fun¸c˜ao seno associa a cada x ∈ R o seno
do ˆangulo x, denotado pelo n´umero real sen(x). A fun¸c˜ao ´e denotada por
f(x) = sen(x).
Segue uma tabela com valores de f no intervalo [0, 2π].
x 0 π/4 π/2 3π/4 π 5π/4 3π/2 7π/4 2π
y 0
√
2/2 1
√
2/2 0 −
√
2/2 −1 −
√
2/2 0
Gr´afico: Na figura, o segmento Oy que mede sen(x), ´e a proje¸c˜ao do seg-
mento OM sobre o eixo OY .
Propriedades da fun¸c˜ao seno
1. Dom´ınio: A fun¸c˜ao seno est´a definida para todos os valores reais, sendo
assim Dom(sen) = R.
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34. 4.4. FUNC¸ ˜AO SENO 19
2. Imagem: O conjunto imagem da fun¸c˜ao seno ´e
I = {y ∈ R : −1 ≤ y ≤ 1}
3. Periodicidade: A fun¸c˜ao ´e peri´odica de per´ıodo 2π. Para todo x ∈ R e
para todo k ∈ Z:
sen(x) = sen(x + 2π) = sen(x + 4π) = ... = sen(x + 2kπ)
Justificativa: Pela f´ormula do seno da soma de dois arcos, temos
sen(x + 2kπ) = sen(x) cos(2kπ) + cos(x)sen(2kπ)
Como para todo k ∈ Z, tem-se que cos(2kπ) = 1 e sen(2kπ) = 0, ent˜ao
sen(x + 2kπ) = sen(x)(1) + cos(x)(0) = sen(x)
A fun¸c˜ao seno ´e peri´odica de per´ıodo fundamental T = 2π. Completamos
o gr´afico da fun¸c˜ao seno, repetindo os valores da tabela em cada intervalo
de medida 2π.
4. Sinal
Intervalo [0, π/2] [π/2, π] [π, 3π/2] [3π/2, 2π]
Seno positiva positiva negativa negativa
5. Monotonicidade
Intervalo [0, π/2] [π/2, π] [π, 3π/2] [3π/2, 2π]
Seno crescente decrescente decrescente crescente
6. Limita¸c˜ao: O gr´afico de y = sen(x) est´a contido na faixa do plano
limitada pelas retas horizontais y = −1 e y = 1. Para todo x ∈ R,
temos:
−1 ≤ sen(x) ≤ 1
7. Simetria: A fun¸c˜ao seno ´e ´ımpar, pois para todo x ∈ R, tem-se que:
sen(−x) = −sen(x)
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35. 4.5. FUNC¸ ˜AO COSSENO 20
4.5 Fun¸c˜ao cosseno
Dado um ˆangulo de medida x, a fun¸c˜ao cosseno denotada por f(x) =
cos(x), ´e a rela¸c˜ao que associa a cada x ∈ R o n´umero real cos(x).
Segue uma tabela com valores de f no intervalo [0, 2π].
x 0 π/4 π/2 3π/4 π 5π/4 3π/2 7π/4 2π
y 1
√
2/2 0
√
2/2 −1 −
√
2/2 0
√
2/2 1
Gr´afico: O segmento Ox, que mede cos(x), ´e a proje¸c˜ao do segmento
OM sobre o eixo horizontal OX.
Propriedades da fun¸c˜ao cosseno
8. Dom´ınio: A fun¸c˜ao cosseno est´a definida para todos os valores reais,
assim Dom(cos) = R.
9. Imagem: O conjunto imagem da fun¸c˜ao cosseno ´e o intervalo
I = {y ∈ R : −1 ≤ y ≤ 1}
10. Periodicidade: A fun¸c˜ao ´e peri´odica de per´ıodo 2π. Para todo x ∈ R e
para todo k ∈ Z:
cos(x) = cos(x + 2π) = cos(x + 4π) = ... = cos(x + 2kπ)
Justificativa: Pela f´ormula do cosseno da soma de dois arcos, temos
cos(x + 2kπ) = cos(x) cos(2kπ) − sen(x)sen(2kπ)
Para todo k ∈ Z: cos(2kπ) = 1 e sen(2kπ) = 0, logo
cos(x + 2kπ) = cos(x)(1) − sen(x)(0) = cos(x)
A fun¸c˜ao cosseno ´e peri´odica de per´ıodo fundamental T = 2π.
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36. 4.6. FUNC¸ ˜AO TANGENTE 21
11. Sinal
Intervalo [0, π/2] [π/2, π] [π, 3π/2] [3π/2, 2π]
Cosseno positiva negativa negativa positiva
12. Monotonicidade:
Intervalo [0, π/2] [π/2, π] [π, 3π/2] [3π/2, 2π]
Cosseno decrescente decrescente crescente crescente
13. Limita¸c˜ao: O gr´afico de y = cos(x) est´a contido na faixa localizada
entre as retas horizontais y = −1 e y = 1. Para todo x ∈ R, temos:
−1 ≤ cos(x) ≤ 1
14. Simetria: A fun¸c˜ao cosseno ´e par, pois para todo x ∈ R, tem-se que:
cos(−x) = cos(x)
4.6 Fun¸c˜ao tangente
Como a tangente n˜ao tem sentido para arcos da forma (k + 1)
π
2
para cada
k ∈ Z, vamos considerar o conjunto dos n´umeros reais diferentes destes
valores. Definimos a fun¸c˜ao tangente como a rela¸c˜ao que associa a este
x ∈ R, a tangente de x, denotada por tan(x).
f(x) = tan(x) =
sen(x)
cos(x)
Segue uma tabela com valores de f no intervalo [0, 2π].
x 0 π/4 π/2 3π/4 π 5π/4 3π/2 7π/4 2π
y 0 1 Inexiste −1 0 1 Inexiste −1 0
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37. 4.6. FUNC¸ ˜AO TANGENTE 22
Gr´afico: O segmento AT, mede tan(x). Pelo gr´afico, observamos que quando
a medida do arco AM se aproxima de π/2 ou de −π/2, a fun¸c˜ao tangente
est´a crescendo muito r´apido, pois a reta que passa por OM tem coeficiente
angular cada vez maior e vai se tornando cada vez mais vertical e a interse¸c˜ao
com a reta t vai ficando mais distante do eixo OX.
Propriedades
1. Dom´ınio: Como cos(
π
2
+ kπ) = 0 para cada k ∈ Z, temos que
Dom(tan) = {x ∈ R : x =
π
2
+ kπ}
2. Imagem: O conjunto imagem da fun¸c˜ao tangente ´e o conjunto dos
n´umeros reais, assim I = R.
3. Periodicidade A fun¸c˜ao tangente ´e peri´odica de per´ıodo π
Para todo x ∈ R, com x =
π
2
+ kπ, sendo k ∈ Z:
tan(x) = tan(x + π) = tan(x + 2π) = ... = tan(x + kπ)
Justificativa: Pela f´ormula da tangente da soma de dois arcos, temos
tan(x + kπ) =
tan(x) + tan(kπ)
1 − tan(x) · tan(kπ)
=
tan(x) + 0
1 − tan(x).0
= tan(x)
A fun¸c˜ao tangente ´e peri´odica de per´ıodo fundamental T = π.
Podemos completar o gr´afico da fun¸c˜ao tangente, repetindo os valores
da tabela na mesma ordem em que se apresentam.
4. Sinal:
Intervalo [0, π/2] [π/2, π] [π, 3π/2] [3π/2, 2π]
Tangente positiva negativa positiva negativa
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38. 4.7. FUNC¸ ˜AO COTANGENTE 23
5. Monotonicidade: A tangente ´e uma fun¸c˜ao crescente, exceto nos pon-
tos x =
kπ
2
, sendo k ∈ Z, onde a fun¸c˜ao n˜ao est´a definida.
6. Limita¸c˜ao: A fun¸c˜ao tangente n˜ao ´e limitada, pois quando o ˆangulo se
aproxima de (2k + 1)
π
2
, a fun¸c˜ao cresce (ou decresce) sem controle.
7. Simetria: A fun¸c˜ao tangente ´e ´ımpar, pois para todo x ∈ R onde a
tangente est´a definida, tem-se que:
tan(−x) = − tan(x)
4.7 Fun¸c˜ao cotangente
Como a cotangente n˜ao existe para arcos da forma kπ onde k ∈ Z, vamos
considerar o conjunto dos n´umeros reais diferentes destes valores. Definimos
a fun¸c˜ao cotangente como a rela¸c˜ao que associa a cada x ∈ R, a cotangente
de x, denotada por:
f(x) = cot(x) =
cos(x)
sen(x)
Segue uma tabela com valores de f no intervalo [0, 2π].
x 0 π/4 π/2 3π/4 π 5π/4 3π/2 7π/4 2π
y Inexiste 1 0 −1 Inexiste 1 0 −1 Inexiste
Gr´afico: O segmento Os mede cot(x).
O gr´afico mostra que quando a medida do arco AM est´a pr´oxima de π ou de
−π, podemos verificar que o gr´afico da fun¸c˜ao cotangente cresce muito rapi-
damente, pois a reta que passa por OM vai ficando cada vez mais horizontal
e a sua interse¸c˜ao com a reta s vai se tornando muito distante.
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39. 4.7. FUNC¸ ˜AO COTANGENTE 24
Propriedades:
1. Dom´ınio: Como a fun¸c˜ao seno se anula para arcos da forma kπ, onde
k ∈ Z, temos Dom(cot) = {x ∈ R : x = kπ}.
2. Imagem: O conjunto imagem da fun¸c˜ao cotangente ´e o conjunto dos
n´umeros reais, assim I = R.
3. Periodicidade A fun¸c˜ao ´e peri´odica e seu per´ıodo ´e π. Para todo x ∈ R,
sendo x = kπ, onde k ∈ Z:
cot(x) = cot(x + π) = cot(x + 2π) = ... = cot(x + kπ)
A fun¸c˜ao cotangente ´e peri´odica de per´ıodo fundamental 2π.
4. Sinal
Intervalo [0, π/2] [π/2, π] [π, 3π/2] [3π/2, 2π]
Tangente positiva negativa positiva negativa
5. Monotonicidade: A cotangente ´e uma fun¸c˜ao sempre decrescente, ex-
ceto nos pontos x = kπ, sendo k ∈ Z, onde a fun¸c˜ao n˜ao est´a definida.
6. Limita¸c˜ao: A fun¸c˜ao cotangente n˜ao ´e limitada, pois quando o ˆangulo
se aproxima de kπ/2, a fun¸c˜ao cresce (ou decresce) sem controle.
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40. CAP´ITULO 5
Fun¸c˜oes trigonom´etricas inversas
Uma fun¸c˜ao f, de dom´ınio D possui inversa somente se f for bijetora, logo
nem todas as fun¸c˜oes trigonom´etricas possuem inversas em seus dom´ınios de
defini¸c˜ao, mas podemos tomar subconjuntos desses dom´ınios para gerar novas
fun¸c˜oes que restritas a conjuntos menores possuem inversas.
Exemplo 6. A fun¸c˜ao f(x) = cos(x) n˜ao ´e bijetora em seu dom´ınio de
defini¸c˜ao que ´e o conjunto dos n´umeros reais, pois para um valor de y corres-
pondem infinitos valores de x. Por exemplo, se cos(x) = 1, podemos tomar
x = 2kπ, onde k ´e um n´umero inteiro, isto quer dizer que n˜ao podemos
definir a inversa de f(x) = cos(x) em seu dom´ınio. Devemos ent˜ao restringir
o dom´ınio a um subconjunto dos n´umeros reais onde a fun¸c˜ao ´e bijetora.
Como as fun¸c˜oes trigonom´etricas s˜ao peri´odicas, existem muitos intervalos
onde elas s˜ao bijetoras. ´E usual escolher como dom´ınio, intervalos onde o zero
´e o ponto m´edio ou o extremo esquerdo e no qual a fun¸c˜ao percorra todo seu
conjunto imagem.
5.1 Fun¸c˜ao arco-seno
Consideremos a fun¸c˜ao f(x) = sen(x), com dom´ınio no intervalo [−π/2, π/2]
e imagem no intervalo [−1, 1]. A fun¸c˜ao inversa de f = sen, denominada arco
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41. 5.2. FUNC¸ ˜AO ARCO-COSSENO 30
cujo seno, definida por sen−1
: [−1, 1] → [−π/2, π/2] ´e denotada por
sen−1
(x) = arcsen(x)
Gr´afico da fun¸c˜ao arco-seno
5.2 Fun¸c˜ao arco-cosseno
A fun¸c˜ao f(x) = cos(x), com dom´ınio [0, π] e imagem [−1, 1], possui inversa,
denominada arco cujo cosseno e ´e definida por cos−1
: [−1, 1] → [0, π] e
denotada por
cos−1
(x) = arccos(x)
Gr´afico da fun¸c˜ao arco-cosseno:
5.3 Fun¸c˜ao arco-tangente
A fun¸c˜ao f(x) = tan(x), com dom´ınio (−π/2, π/2) e imagem em R, possui
uma inversa, denominada arco-tangente definida por tan−1
: R → (−π/2, π/2)
e denotada por
tan−1
(x) = arctan(x)
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42. 5.4. FUNC¸ ˜AO ARCO-COTANGENTE 31
Gr´afico da fun¸c˜ao arco-tangente:
5.4 Fun¸c˜ao arco-cotangente
A fun¸c˜ao f(x) = cot(x), com dom´ınio (0, π) e imagem em R, possui uma
inversa, denominada arco-cotangente definida por cot−1
: R → (0, π) e deno-
tada por
cot−1
(x) = arccot(x)
Gr´afico da fun¸c˜ao arco-cotangente:
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