Trigonometria

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Trigonometria

  1. 1. ElementosdeMatem´atica Trigonometria do Triˆangulo Retˆangulo Roteiro no.5 - Atividades did´aticas de 2007 Vers˜ao compilada no dia 9 de Maio de 2007. Departamento de Matem´atica - UEL Prof. Ulysses Sodr´e E-mail: ulysses@matematica.uel.br Matem´atica Essencial: http://www.mat.uel.br/matessencial/ Resumo: Notas de aulas constru´ıdas com materiais utilizados em nossas aulas na Universidade Estadual de Londrina. Desejo que elas sejam um roteiro para as aulas e n˜ao espero que estas notas venham a substituir qualquer livro sobre o assunto. Alguns conceitos foram obtidos em livros citados na Bibliografia, mas os assuntos foram bastante modificados. Em portuguˆes, h´a pouco material de dom´ınio p´ublico, mas em inglˆes existem diversos materiais que podem ser obtidos na Rede Internet. Sugerimos que o leitor fa¸ca pesquisas para obter materiais gratuitos para os seus estudos. Mensagem: ‘No princ´ıpio era o Verbo, e o Verbo estava com Deus, e o Verbo era Deus. Ele estava no princ´ıpio com Deus. Todas as coisas foram feitas por interm´edio dele, e sem ele nada do que foi feito se fez. Nele estava a vida, e a vida era a luz dos homens; a luz resplandece nas trevas, e as trevas n˜ao prevaleceram contra ela. ... Estava ele no mundo, e o mundo foi feito por interm´edio dele, e o mundo n˜ao o conheceu. Veio para o que era seu, e os seus n˜ao o receberam. Mas, a todos quantos o receberam, aos que crˆeem no seu nome, deu-lhes o poder de se tornarem filhos de Deus; os quais n˜ao nasceram do sangue, nem da vontade da carne, nem da vontade do var˜ao, mas de Deus. E o Verbo se fez carne, e habitou entre n´os, cheio de gra¸ca e de verdade...’ A B´ıblia Sagrada, Jo˜ao 1:1-5,10-14 Resumo dos principais conceitos da trigonometria aplicados à Topografia
  2. 2. CAP´ITULO 1 Trigonometria do triˆangulo retˆangulo 1.1 Trigonometria e aplica¸c˜oes Tratamos aqui sobre alguns conceitos relacionados com a Trigonometria no triˆangulo retˆangulo, assunto comum na oitava s´erie do Ensino Fundamental. Tamb´em dispomos de uma p´agina mais aprofundada sobre o assunto tratado no ˆambito do Ensino M´edio. A trigonometria possui uma infinidade de aplica¸c˜oes pr´aticas. Desde a anti- g¨uidade j´a se usava da trigonometria para obter distˆancias imposs´ıveis de serem calculadas por m´etodos comuns. Algumas aplica¸c˜oes da trigonometria s˜ao: 1. Determina¸c˜ao da altura de um certo pr´edio. Elementos de Matem´atica - No. 5 - Ulysses Sodr´e - Matem´atica - UEL - 2007
  3. 3. 1.2. TRIˆANGULO RETˆANGULO 2 2. Os gregos determinaram a medida do raio de terra, por um processo muito simples. 3. Seria imposs´ıvel se medir a distˆancia da Terra `a Lua, por´em com a trigonometria se torna simples. 4. Um engenheiro precisa saber a largura de um rio para construir uma ponte, o trabalho dele ´e facilitado com o uso de recursos trigonom´etricos. 5. Um cart´ografo (desenhista de mapas) precisa saber a altura de uma mon- tanha, o comprimento de um rio, etc. Sem a trigonometria ele demoraria anos para desenhar um mapa. Tudo isto ´e poss´ıvel calcular com o uso da trigonometria do triˆangulo retˆangulo. 1.2 Triˆangulo Retˆangulo ´E um triˆangulo que possui um ˆangulo reto, isto ´e, um dos seus ˆangulos mede noventa graus, da´ı o nome triˆangulo retˆangulo. Como a soma das medidas dos ˆangulos internos de um triˆangulo ´e igual a 1800 , ent˜ao os outros dois ˆangulos medir˜ao 900 . Observa¸c˜ao: Se a soma de dois ˆangulos mede 900 , estes ˆangulos s˜ao denom- inados complementares, portanto podemos dizer que o triˆangulo retˆangulo possui dois ˆangulos complementares. Ver mais detalhes em triˆangulos 1.3 Lados de um triˆangulo retˆangulo Os lados de um triˆangulo retˆangulo recebem nomes especiais. Estes nomes s˜ao dados de acordo com a posi¸c˜ao em rela¸c˜ao ao ˆangulo reto. O lado oposto ao ˆangulo reto ´e a hipotenusa. Os lados que formam o ˆangulo reto (adjacentes a ele) s˜ao os catetos. Termo Origem da palavra Cateto Cathet´os: (perpendicular) Hipotenusa Hypoteinusa: Hyp´o (por baixo) + teino (eu estendo) Elementos de Matem´atica - No. 5 - Ulysses Sodr´e - Matem´atica - UEL - 2007
  4. 4. 1.4. NOMENCLATURA DOS CATETOS 3 Para padronizar o estudo da Trigonometria, adotaremos as seguintes nota¸c˜oes: Letra Nome do lado V´ertice = ˆAngulo Medida a Hipotenusa A = ˆAngulo reto A = 900 b Cateto B = ˆAngulo agudo B < 900 c Cateto C = ˆAngulo agudo C < 900 Ver mais detalhes em ˆangulos 1.4 Nomenclatura dos catetos Os catetos recebem nomes especiais de acordo com a sua posi¸c˜ao em rela¸c˜ao ao ˆangulo sob an´alise. Se estamos usando o ˆangulo C, ent˜ao o lado oposto, indicado por c, ´e o cateto oposto ao ˆangulo C e o lado adjacente ao ˆangulo C, indicado por b, ´e o cateto adjacente ao ˆangulo C. ˆAngulo Lado oposto Lado adjacente C c cateto oposto b cateto adjacente B b cateto oposto c cateto adjacente Um dos objetivos da trigonometria ´e mostrar o uso de conceitos matem´aticos no nosso cotidiano. Iniciaremos estudando as propriedades geom´etricas e trigonom´etricas no triˆangulo retˆangulo. O estudo da trigonometria ´e extenso e minucioso. Elementos de Matem´atica - No. 5 - Ulysses Sodr´e - Matem´atica - UEL - 2007
  5. 5. 1.5. PROPRIEDADES DO TRIˆANGULO RETˆANGULO 4 1.5 Propriedades do triˆangulo retˆangulo 1. ˆAngulos: Um triˆangulo retˆangulo possui um ˆangulo reto e dois ˆangulos agudos complementares. 2. Lados: Um triˆangulo retˆangulo ´e formado por trˆes lados, uma hipotenusa (lado maior) e outros dois lados que s˜ao os catetos. 3. Altura: A altura de um triˆangulo ´e um segmento que tem uma extremi- dade num v´ertice e a outra extremidade no lado oposto ao v´ertice, sendo que este segmento ´e perpendicular ao lado oposto ao v´ertice. Existem 3 alturas no triˆangulo retˆangulo, sendo que duas delas s˜ao os catetos. A outra altura ´e obtida tomando a base como a hipotenusa, a altura relativa a este lado ser´a o segmento AD, denotado por h e perpendicular `a base. 1.6 A hipotenusa como base de um triˆangulo retˆangulo Tomando informa¸c˜oes da mesma figura acima, obtemos: 1. o segmento AD, denotado por h, ´e a altura relativa `a hipotenusa CB, indicada por a. 2. o segmento BD, denotado por m, ´e a proje¸c˜ao ortogonal do cateto c sobre a hipotenusa CB, indicada por a. 3. o segmento DC, denotado por n, ´e a proje¸c˜ao ortogonal do cateto b sobre a hipotenusa CB, indicada por a. Elementos de Matem´atica - No. 5 - Ulysses Sodr´e - Matem´atica - UEL - 2007
  6. 6. 1.7. PROJEC¸ ˜OES DE SEGMENTOS 5 1.7 Proje¸c˜oes de segmentos Introduziremos algumas id´eias b´asicas sobre proje¸c˜ao. J´a mostramos, no in´ıcio deste trabalho, que a luz do Sol ao incidir sobre um pr´edio, determina uma sombra que ´e a proje¸c˜ao obl´ıqua do pr´edio sobre o solo. Tomando alguns segmentos de reta e uma reta n˜ao coincidentes ´e poss´ıvel obter as proje¸c˜oes destes segmentos sobre a reta. Nas quatro situa¸c˜oes apre- sentadas, as proje¸c˜oes dos segmentos AB s˜ao indicadas por A B , sendo que no ´ultimo caso A = B ´e um ponto. 1.8 Proje¸c˜oes no triˆangulo retˆangulo Agora iremos indicar as proje¸c˜oes dos catetos no triˆangulo retˆangulo. 1. m = proje¸c˜ao de c sobre a hipotenusa. 2. n = proje¸c˜ao de b sobre a hipotenusa. 3. a = m + n. 4. h = m´edia geom´etrica entre m e n. Ver mais detalhes em m´edia geom´etrica Elementos de Matem´atica - No. 5 - Ulysses Sodr´e - Matem´atica - UEL - 2007
  7. 7. 1.9. RELAC¸ ˜OES M´ETRICAS NO TRIˆANGULO RETˆANGULO 6 1.9 Rela¸c˜oes M´etricas no triˆangulo retˆangulo Para extrair algumas propriedades, decomporemos o triˆangulo retˆangulo ABC em dois triˆangulos retˆangulos menores: ACD e ADB. Dessa forma, o ˆangulo A ser´a decomposto na soma dos ˆangulos CAD = B e DAB = C. Os triˆangulos retˆangulos ABC, ADC e ADB s˜ao semelhantes. Triˆangulo hipotenusa cateto maior cateto menor ABC a b c ADC b n h ADB c h m Assim: a b = b n = c h a c = b h = c m b c = n h = h m logo: a c = c m equivale a ac2 = a.m a b = b n equivale a ab2 = a.n a c = b h equivale a aa.h = b.c h m = n h equivale a ah2 = m.n Elementos de Matem´atica - No. 5 - Ulysses Sodr´e - Matem´atica - UEL - 2007
  8. 8. 1.10. FUNC¸ ˜OES TRIGONOM´ETRICAS B´ASICAS 7 Existem tamb´em outras rela¸c˜oes do triˆangulo inicial ABC. Como a = m+n, somando c2 com b2 , obtemos: c2 + b2 = a.m + a.n = a.(m + n) = a.a = a2 que resulta no Teorema de Pit´agoras: a2 = b2 + c2 Esta ´e uma das v´arias demonstra¸c˜oes do Teorema de Pit´agoras. 1.10 Fun¸c˜oes trigonom´etricas b´asicas As Fun¸c˜oes trigonom´etricas b´asicas s˜ao rela¸c˜oes entre as medidas dos lados do triˆangulo retˆangulo e seus ˆangulos. As trˆes fun¸c˜oes b´asicas mais importantes da trigonometria s˜ao: seno, cosseno e tangente. Indicamos o ˆangulo pela letra x, o cateto oposto ao ˆangulo x por CO, o cateto adjacente ao ˆangulo x por CA, a hipotenusa do triˆangulo por H e m(Z) a medida do segmento Z. Fun¸c˜ao Nota¸c˜ao Defini¸c˜ao seno sin(x) m(CO) m(H) cosseno cos(x) m(CA) m(H) tangente tan(x) m(CO) m(CA) Tomando um triˆangulo retˆangulo ABC, tal que m(H) = 1, o seno do ˆangulo x sob an´alise ´e a medida do cateto oposto CO e o cosseno do mesmo ´e o seu cateto adjacente CA. Portanto a tangente do ˆangulo analisado ser´a a raz˜ao entre o seno e o cosseno desse ˆangulo. sin(x) = m(CO) H = m(CO) 1 cos(x) = m(CA) H = m(CA) 1 tan(x) = m(CO) m(CA) = sin(x) cos(x) Rela¸c˜ao fundamental: Para todo ˆangulo x (medido em radianos), vale a rela¸c˜ao: cos2 (x) + sin2 (x) = 1 Elementos de Matem´atica - No. 5 - Ulysses Sodr´e - Matem´atica - UEL - 2007
  9. 9. CAP´ITULO 1 Elementos gerais sobre Trigonometria 1.1 O papel da trigonometria Trigonometria ´e uma palavra formada por trˆes radicais gregos: tri (trˆes), gonos (ˆangulos) e metron (medir). Da´ı vem seu significado mais amplo: Medida dos Triˆangulos, assim atrav´es do estudo da Trigonometria podemos calcular as medidas dos elementos do triˆangulo (lados e ˆangulos). Com o uso de triˆangulos semelhantes podemos calcular distˆancias inacess´ıveis, como a altura de uma torre, a altura de uma pirˆamide, distˆancia entre duas ilhas, o raio da terra, largura de um rio, entre outras. A Trigonometria ´e um instrumento potente de c´alculo, que al´em de seu uso na Matem´atica, tamb´em ´e usado no estudo de fenˆomenos f´ısicos, Eletricidade, Mecˆanica, M´usica, Topografia, Engenharia entre outros. 1.2 Ponto m´ovel sobre uma curva Seja uma curva no plano cartesiano. Se um ponto P est´a localizado sobre esta curva, simplesmente dizemos P pertence `a curva e que P ´e um ponto fixo na mesma. Se assumirmos que este ponto possa ser deslocado sobre a curva, este ponto receber´a o nome de ponto m´ovel. Elementos de Matem´atica - No. 6 - Ulysses Sodr´e - Matem´atica - UEL - 2007
  10. 10. 1.3. ARCOS DA CIRCUNFERˆENCIA 2 Um ponto m´ovel localizado sobre uma circunferˆencia, partindo de um ponto A pode percorrer esta circunferˆencia em dois sentidos opostos. Por conven¸c˜ao, o sentido anti-hor´ario (contr´ario aos ponteiros de um rel´ogio) ´e adotado como sentido positivo. 1.3 Arcos da circunferˆencia Se um ponto m´ovel em uma circunferˆencia partir de A e parar em M, ele descreve um arco AM. O ponto A ´e a origem do arco e M ´e a extremidade do arco. Quando escolhemos um dos sentidos de percurso, o arco ´e denominado arco orientado e simplesmente pode ser denotado por AB se o sentido de percurso for de A para B e BA quando o sentido de percurso for de B para A. Quando n˜ao consideramos a orienta¸c˜ao dos arcos formados por dois pontos A e B sobre uma circunferˆencia, temos dois arcos n˜ao orientados sendo A e B as suas extremidades. 1.4 Medida de um arco A medida de um arco de circunferˆencia ´e feita por compara¸c˜ao com um outro arco da mesma circunferˆencia tomado como a unidade de arco. Se u for um arco de comprimento unit´ario (igual a 1), a medida do arco AB, ´e o n´umero de vezes que o arco u cabe no arco AB. Elementos de Matem´atica - No. 6 - Ulysses Sodr´e - Matem´atica - UEL - 2007
  11. 11. 1.5. O N´UMERO PI 3 Na figura seguinte, a medida do arco AB ´e 5 vezes a medida do arco u. Denotando a medida do arco AB por m(AB) e a medida do arco u por m(u), temos m(AB) = 5 m(u). A medida de um arco de circunferˆencia ´e a mesma em qualquer sentido, sendo que a medida alg´ebrica de um arco AB desta circunferˆencia ´e o comprimento deste arco, associado a um sinal positivo se o sentido de A para B ´e anti- hor´ario, e negativo se o sentido ´e hor´ario. 1.5 O n´umero pi Em toda circunferˆencia, a raz˜ao entre o per´ımetro e o diˆametro ´e uma con- stante denotada pela letra grega π, que ´e um n´umero irracional, isto ´e, que n˜ao pode ser expresso como a divis˜ao de dois n´umeros inteiros. Uma aproxima¸c˜ao para o n´umero π ´e dada por: π = 3, 1415926535897932384626433832795... Mais informa¸c˜oes sobre pi, podem ser obtidas na p´agina ´Areas de regi˜oes circulares: http://www.mat.uel.br/matessencial/geometria/areas/circ.htm 1.6 Unidades de medida de arcos A unidade de medida de arco do Sistema Internacional (SI) ´e o radiano, mas existem outras medidas utilizadas por t´ecnicos como o grau e o grado. Este ´ultimo n˜ao ´e muito comum. Radiano: Medida de um arco cujo comprimento ´e o mesmo que o raio da circunferˆencia que estamos medindo o arco. O arco usado como unidade tem comprimento igual ao comprimento do raio ou 1 radiano, denotado por 1 rad. Elementos de Matem´atica - No. 6 - Ulysses Sodr´e - Matem´atica - UEL - 2007
  12. 12. 1.7. ARCOS DE UMA VOLTA 4 Grau: Medida de um arco que corresponde a 1/360 do arco completo da circunferˆencia na qual estamos medindo o arco. Grado: ´E a medida de um arco igual a 1/400 do arco completo da circun- ferˆencia na qual estamos medindo o arco. Exemplo 1. Para determinar a medida em radianos de um arco de compri- mento igual a 12 cm, em uma circunferˆencia de raio medindo 8 cm, tomamos: m(AB) = comprimento do arco(AB) comprimento do raio = 12/8 = 1, 5 rad 1.7 Arcos de uma volta Se AB ´e o arco correspondente `a volta completa de uma circunferˆencia, a medida do arco ´e igual a C = 2πr, ent˜ao: m(AB) = comprimento do arco(AB) comprimento do raio = 2πr r = 2π A medida em radianos de um arco de uma volta completa ´e 2π rad, isto ´e, 2π rad = 360 graus. Temos as seguintes situa¸c˜oes usuais: 90 graus 180 graus 270 graus 360 graus 100 grados 200 grados 300 grados 400 grados π/2 rad π rad 3π/2 rad 2π rad Observa¸c˜ao: 0 graus = 0 grado = 0 radianos. Elementos de Matem´atica - No. 6 - Ulysses Sodr´e - Matem´atica - UEL - 2007
  13. 13. CAP´ITULO 2 O c´ırculo trigonom´etrico 2.1 C´ırculo Trigonom´etrico Seja uma circunferˆencia de raio unit´ario com centro na origem de um sistema cartesiano ortogonal e o ponto A = (1, 0). O ponto A ser´a tomado como a origem dos arcos orientados nesta circunferˆencia e o sentido positivo consid- erado ser´a o anti-hor´ario. A regi˜ao contendo esta circunferˆencia e todos os seus pontos interiores, ´e denominada c´ırculo trigonom´etrico. Em livros de l´ıngua inglesa, a palavra c´ırculo se refere `a curva envolvente da regi˜ao circular enquanto circunferˆencia de c´ırculo ´e a medida desta curva. No Brasil, a circunferˆencia ´e a curva que envolve a regi˜ao circular. Os eixos OX e OY decomp˜oem o c´ırculo trigonom´etrico em quatro quadrantes que s˜ao enumerados como segue: Elementos de Matem´atica - No. 6 - Ulysses Sodr´e - Matem´atica - UEL - 2007
  14. 14. 2.2. ARCOS COM MAIS DE UMA VOLTA 7 Quadrante abscissa ordenada α Primeiro positiva positiva 0o < α < 90o Segundo negativa positiva 90o < α < 180o Terceiro negativa negativa 180o < α < 270o Quarto positiva negativa 270o < α < 360o Os quadrantes s˜ao usados para localizar pontos e caracterizar ˆangulos para uso em trigonometria. Por conven¸c˜ao, os pontos sobre os eixos n˜ao pertencem a qualquer um dos quadrantes. 2.2 Arcos com mais de uma volta Em Trigonometria, algumas vezes precisamos considerar arcos com medidas s˜ao maiores do que 360o . Por exemplo, se um ponto m´ovel parte de um ponto A sobre uma circunferˆencia no sentido anti-hor´ario e para em um ponto M, ele descreve um arco AM. A medida deste arco (em graus) poder´a ser menor ou igual a 360o ou ser maior do que 360o . Se esta medida for menor ou igual a 360o , dizemos que este arco est´a em sua primeira determina¸c˜ao. Assim, o ponto m´ovel poder´a percorrer a circunferˆencia uma ou mais vezes em um certo sentido, antes de parar no ponto M, determinando arcos maiores do que 360o ou arcos com mais de uma volta. Existe uma infinidade de arcos mas com medidas diferentes, cuja origem ´e o ponto A e cuja extremidade ´e o ponto M. Elementos de Matem´atica - No. 6 - Ulysses Sodr´e - Matem´atica - UEL - 2007
  15. 15. 2.2. ARCOS COM MAIS DE UMA VOLTA 8 Se AM ´e um arco cuja primeira determina¸c˜ao mede m, ent˜ao um ponto m´ovel que parte de A e pare em M, pode ter v´arias medidas alg´ebricas, dependendo do percurso. Se o sentido for o anti-hor´ario, o ponto M da circunferˆencia trigonom´etrica ser´a a extremidade de uma infinidade de arcos positivos de medidas: m, m + 2π, m + 4π, m + 6π, ... Se o sentido for o hor´ario, o ponto M ser´a extremidade de uma infinidade de arcos negativos de medidas alg´ebricas: m − 2π, m − 4π, m − 6π, ... e assim temos uma cole¸c˜ao infinita de arcos com extremidade no ponto M. Generalizando este conceito, se m ´e a medida da primeira determina¸c˜ao posi- tiva do arco AM, podemos representar as medidas destes arcos por: m(AM) = m + 2kπ onde k ´e um n´umero inteiro, isto ´e, k ∈ Z = {..., −2, −3, −1, 0, 1, 2, 3, ...}. Fam´ılia de arcos: Uma fam´ılia de arcos {AM} ´e o conjunto de todos os arcos com ponto inicial em A e extremidade em M. Exemplo 4. Se um arco de circunferˆencia tem origem em A e extremidade em M, com a primeira determina¸c˜ao positiva medindo 2π 3 , ent˜ao os arcos desta fam´ılia {AM}, medem: Determina¸c˜oes positivas (sentido anti-hor´ario) k = 0 m(AM) = 2π 3 k = 1 m(AM) = 2π 3 + 2π = 8π 3 k = 2 m(AM) = 2π 3 + 4π = 14π 3 k = 3 m(AM) = 2π 3 + 6π = 20π 3 ... ... k = n m(AM) = 2π 3 + 2nπ = (2 + 6n)π 3 Elementos de Matem´atica - No. 6 - Ulysses Sodr´e - Matem´atica - UEL - 2007
  16. 16. 2.3. ARCOS CˆONGRUOS E ˆANGULOS 9 Determina¸c˜oes negativas (sentido hor´ario) k = −1 m(AM) = 2π 3 − 2π = −4π 3 k = −2 m(AM) = 2π 3 − 4π = −6π 3 k = −3 m(AM) = 2π 3 − 6π = −16π 3 k = −4 m(AM) = 2π 3 − 8π = −22π 3 ... ... k = −n m(AM) = 2π 3 − 2nπ = (2 − 6n)π 3 2.3 Arcos cˆongruos e ˆAngulos Arcos cˆongruos: Dois arcos s˜ao cˆongruos se a diferen¸ca de suas medidas ´e um m´ultiplo de 2π. Exemplo 5. Arcos de uma mesma fam´ılia s˜ao cˆongruos. ˆAngulos: As no¸c˜oes de orienta¸c˜ao e medida alg´ebrica de arcos podem ser estendidas para ˆangulos, uma vez que a cada arco AM da circunferˆencia trigonom´etrica corresponde a um ˆangulo central determinado pelas semi-retas OA e OM. Como no caso dos arcos, podemos considerar dois ˆangulos orientados um positivo (sentido anti-hor´ario) com medida alg´ebrica a correspondente ao arco AM e outro negativo (sentido hor´ario) com medida b = a−2π correspondente ao arco AM. Tamb´em existem ˆangulos com mais de uma volta e as mesmas no¸c˜oes apre- sentadas para arcos se aplicam a ˆangulos. Elementos de Matem´atica - No. 6 - Ulysses Sodr´e - Matem´atica - UEL - 2007
  17. 17. 2.4. ARCOS SIM´ETRICOS EM RELAC¸ ˜AO AO EIXO OX 10 2.4 Arcos sim´etricos em rela¸c˜ao ao eixo OX Sejam AM e AM arcos na circunferˆencia trigonom´etrica, com A = (1, 0) e os pontos M e M sim´etricos em rela¸c˜ao ao eixo horizontal OX. Se a medida do arco AM ´e igual a m, ent˜ao a medida do arco AM’ ´e dada por: µ(AM ) = 2π − m. Os arcos da fam´ılia {AM}, aqueles que tˆem origem em A e extremidades em M, tˆem medidas iguais a 2kπ + m, onde k ´e um n´umero inteiro e os arcos da fam´ılia {AM } tˆem medidas iguais a 2kπ − m, onde k ´e um n´umero inteiro. 2.5 Arcos sim´etricos em rela¸c˜ao ao eixo OY Sejam AM e AM arcos na circunferˆencia trigonom´etrica com A = (1, 0) e os pontos M e M sim´etricos em rela¸c˜ao ao eixo vertical OY . Se a medida do arco AM for igual a m, ent˜ao a medida do arco AM ser´a dada pela express˜ao µ(AM ) = π − m. Os arcos da fam´ılia {AM }, isto ´e, aqueles com origem em A e extremidade em M , medem (2k + 1)π − m onde k ∈ Z. Elementos de Matem´atica - No. 6 - Ulysses Sodr´e - Matem´atica - UEL - 2007
  18. 18. 2.6. ARCOS SIM´ETRICAS EM RELAC¸ ˜AO `A ORIGEM 11 2.6 Arcos sim´etricas em rela¸c˜ao `a origem Sejam arcos AM e AM na circunferˆencia trigonom´etrica com A = (1, 0) e os pontos M e M sim´etricos em rela¸c˜ao `a origem (0, 0). Se o arco AM mede m, ent˜ao µ(AM ) = π+m. Arcos gen´ericos com origem em A e extremidade em M medem m(AM ) = (2k + 1)π + m. Elementos de Matem´atica - No. 6 - Ulysses Sodr´e - Matem´atica - UEL - 2007
  19. 19. CAP´ITULO 3 Seno, Cosseno e Tangente 3.1 Seno e cosseno Dada uma circunferˆencia trigonom´etrica contendo o ponto A = (1, 0) e um n´umero real x, sempre existe um arco orientado AM sobre esta circunferˆencia, cuja medida alg´ebrica corresponde a x radianos. Seno: No plano cartesiano, consideremos uma circunferˆencia trigonom´etrica, de centro em (0, 0) e raio unit´ario. Seja M = (x , y ) um ponto desta cir- cunferˆencia, localizado no primeiro quadrante, este ponto determina um arco AM que corresponde ao ˆangulo central a. A proje¸c˜ao ortogonal do ponto M sobre o eixo OX determina um ponto C = (x , 0) e a proje¸c˜ao ortogonal do ponto M sobre o eixo OY determina outro ponto B = (0, y ). A medida do segmento OB coincide com a ordenada y do ponto M e ´e definida como o seno do arco AM que corresponde ao ˆangulo a, denotado por sen(AM) ou sen(a). Elementos de Matem´atica - No. 6 - Ulysses Sodr´e - Matem´atica - UEL - 2007
  20. 20. 3.2. TANGENTE 13 Como temos v´arias determina¸c˜oes para o mesmo ˆangulo, escreveremos sen(AM) = sen(a) = sen(a + 2kπ) = y Para simplificar os enunciados e defini¸c˜oes seguintes, escreveremos sen(x) para denotar o seno do arco de medida x radianos. Cosseno: O cosseno do arco AM correspondente ao ˆangulo a, denotado por cos(AM) ou cos(a), ´e a medida do segmento 0C, que coincide com a abscissa x do ponto M. Existem v´arias determina¸c˜oes para este ˆangulo, raz˜ao pela qual, escrevemos cos(AM) = cos(a) = cos(a + 2kπ) = x 3.2 Tangente Seja t a reta tangente `a circunferˆencia trigonom´etrica no ponto A = (1, 0). Esta reta ´e perpendicular ao eixo OX. A reta que passa pelo ponto M e pelo centro da circunferˆencia tem interse¸c˜ao com a reta tangente t no ponto T = (1, t ). A ordenada deste ponto T, ´e definida como a tangente do arco AM correspondente ao ˆangulo a. Elementos de Matem´atica - No. 6 - Ulysses Sodr´e - Matem´atica - UEL - 2007
  21. 21. 3.3. ˆANGULOS NO SEGUNDO QUADRANTE 14 Assim a tangente do ˆangulo a ´e dada pelas suas v´arias determina¸c˜oes: tan(AM) = tan(a) = tan(a + kπ) = µ(AT) = t Podemos escrever M = (cos(a), sen(a)) e T = (1, tan(a)), para cada ˆangulo a do primeiro quadrante. O seno, o cosseno e a tangente de ˆangulos do primeiro quadrante s˜ao todos positivos. Um caso especial ´e quando o ponto M est´a no eixo horizontal OX, pois cos(0) = 1, sen(0) = 0, tan(0) = 0 Ampliaremos estas no¸c˜oes para ˆangulos nos outros quadrantes 3.3 ˆAngulos no segundo quadrante Se na circunferˆencia trigonom´etrica, tomamos o ponto M no segundo quad- rante, ent˜ao o ˆangulo a entre o eixo OX e o segmento OM pertence ao intervalo π 2 < a < π. Do mesmo modo que no primeiro quadrante, o cosseno est´a relacionado com a abscissa do ponto M e o seno com a ordenada deste ponto. Como o ponto M = (x, y) possui abscissa negativa e ordenada posi- tiva, o sinal do seno do ˆangulo a no segundo quadrante ´e positivo, o cosseno do ˆangulo a ´e negativo e a tangente do ˆangulo a ´e negativa. Outro caso especial ´e quando o ponto M est´a no eixo vertical OY e temos que: cos( π 2 ) = 0, sen( π 2 ) = 1 e a tangente n˜ao est´a definida, pois a reta OM n˜ao intercepta a reta t, pois elas s˜ao paralelas. Elementos de Matem´atica - No. 6 - Ulysses Sodr´e - Matem´atica - UEL - 2007
  22. 22. 3.4. ˆANGULOS NO TERCEIRO QUADRANTE 15 3.4 ˆAngulos no terceiro quadrante O ponto M = (x, y) est´a localizado no terceiro quadrante, o que significa que o ˆangulo a ∈ [π, 3π/2]. Este ponto M = (x, y) ´e sim´etrico ao ponto M = (−x, −y) do primeiro quadrante, em rela¸c˜ao `a origem do sistema, indicando que tanto a sua abscissa como a sua ordenada s˜ao negativos. O seno e o cosseno de um ˆangulo no terceiro quadrante s˜ao negativos e a tangente ´e positiva. Em particular, se a = π rad, temos que cos(π) = −1, sen(π) = 0, tan(π) = 0 3.5 ˆAngulos no quarto quadrante O ponto M est´a no quarto quadrante, 3π/2 < a < 2π. O seno de ˆangulos no quarto quadrante ´e negativo, o cosseno ´e positivo e a tangente ´e negativa. Se o ˆangulo mede 3π/2, a tangente n˜ao est´a definida pois a reta OP n˜ao intercepta a reta t, estas s˜ao paralelas. Quando a = 3π/2, temos: cos( 3π 2 ) = 0, sin( 3π 2 ) = −1 Elementos de Matem´atica - No. 6 - Ulysses Sodr´e - Matem´atica - UEL - 2007
  23. 23. 3.6. SIMETRIA EM RELAC¸ ˜AO AO EIXO OX 16 3.6 Simetria em rela¸c˜ao ao eixo OX Em uma circunferˆencia trigonom´etrica, se M ´e um ponto no primeiro quad- rante e M o sim´etrico de M em rela¸c˜ao ao eixo OX, estes pontos M e M possuem a mesma abscissa e as ordenadas possuem sinais opostos. Se A = (1, 0) ´e um ponto da circunferˆencia, a o ˆangulo correspondente ao arco AM e b o ˆangulo correspondente ao arco AM’, ent˜ao sen(a) = −sen(b), cos(a) = cos(b), tan(a) = −tan(b) 3.7 Simetria em rela¸c˜ao ao eixo OY Seja M um ponto da circunferˆencia trigonom´etrica localizado no primeiro quadrante, e seja M sim´etrico a M em rela¸c˜ao ao eixo OY , estes pontos M e M possuem a mesma ordenada e as abscissa s˜ao sim´etricas. Se A = (1, 0) ´e um ponto da circunferˆencia, a ´e o ˆangulo correspondente ao arco AM e b ´e o ˆangulo correspondente ao arco AM , ent˜ao sen(a) = sen(b), cos(a) = − cos(b), tan(a) = − tan(b) Elementos de Matem´atica - No. 6 - Ulysses Sodr´e - Matem´atica - UEL - 2007
  24. 24. 3.8. SIMETRIA EM RELAC¸ ˜AO `A ORIGEM 17 3.8 Simetria em rela¸c˜ao `a origem Se M ´e um ponto da circunferˆencia trigonom´etrica localizado no primeiro quadrante e se M ´e o sim´etrico de M em rela¸c˜ao `a origem, estes pontos M e M possuem ordenadas e abscissas sim´etricas. Se A = (1, 0) ´e um ponto da circunferˆencia, a ´e o ˆangulo correspondente ao arco AM e b ´e o ˆangulo correspondente ao arco AM , ent˜ao sen(a) = −sen(b), cos(a) = − cos(b), tan(a) = tan(b) 3.9 Senos e cossenos de alguns ˆangulos not´aveis Um modo de obter os valores do seno e cosseno de alguns ˆangulos que apare- cem com freq¨uˆencia em exerc´ıcios e aplica¸c˜oes, sem necessidade de memo- riza¸c˜ao, ´e atrav´es de simples observa¸c˜ao no c´ırculo trigonom´etrico. Elementos de Matem´atica - No. 6 - Ulysses Sodr´e - Matem´atica - UEL - 2007
  25. 25. CAP´ITULO 2 Resolu¸c˜ao de triˆangulos Os elementos fundamentais de um triˆangulo s˜ao: os lados, os ˆangulos e a ´area. Resolver um triˆangulo, segnifica conhecer as medidas destes elementos. Tendo trˆes dentre estes elementos podemos usar as rela¸c˜oes m´etricas ou as rela¸c˜oes trigonom´etricas dependendo do caso, para calcular os outros elementos. Estas rela¸c˜oes est˜ao expostas na sequˆencia. 2.1 Lei dos Senos Seja um triˆangulo qualquer, como o que aparece na figura com lados a, b e c, respectivamente tendo ˆangulos opostos A, B e C. O quociente entre a medida de cada lado e o seno do ˆangulo oposto a este lado ´e uma constante igual a 2R, em que R ´e o raio da circunferˆencia circunscrita ao triˆangulo, isto ´e: a sen(A) = b sen(B) = c sen(C) = 2R Elementos de Matem´atica - No. 7 - Ulysses Sodr´e - Matem´atica - UEL - 2007
  26. 26. 2.1. LEI DOS SENOS 8 Demonstra¸c˜ao: Para simplificar as nota¸c˜oes denotaremos o ˆangulo que corre- sponde a cada v´ertice pelo nome do v´ertice, por exemplo para o triˆangulo de v´ertices ABC os ˆangulos ser˜ao A, B e C respectivamente, assim quando es- crevermos sen(A) estaremos nos referindo ao seno do ˆangulo correspondente com v´ertice em A. Seja ABC um triˆangulo qualquer, inscrito numa circunferˆencia de raio R. Tomando como base do triˆangulo o lado BC, construimos um novo triˆangulo BCA , de tal modo que o segmento BA seja um diˆametro da circunferˆencia. Este novo triˆangulo ´e retˆangulo em C. Temos trˆes casos a considerar, dependendo se o triˆangulo ABC ´e acutˆangulo, obtusˆangulo ou retˆangulo. 1. Triˆangulo acutˆangulo: Os ˆangulos correspondentes aos v´ertices A e A s˜ao congruentes, pois s˜ao ˆangulos inscritos `a circunferˆencia correspon- dendo a um mesmo arco BC. Ent˜ao: sen(A ) = sen(A) = a 2R isto ´e, a sen(A) = 2R Elementos de Matem´atica - No. 7 - Ulysses Sodr´e - Matem´atica - UEL - 2007
  27. 27. 2.1. LEI DOS SENOS 9 Repetindo o mesmo processo para as bases AC e AB, obtemos os outros quocientes b sen(B) = c sen(C) = 2R 2. Triˆangulo obtusˆangulo: Se A e A s˜ao os ˆangulos que correspondem aos v´ertices A e A , a rela¸c˜ao entre eles ´e dada por A = π − A, pois s˜ao ˆangulos inscritos `a circunferˆencia correspondentes a arcos replementares BAC e BA C. Ent˜ao sen(π − A) = a 2R = sen(A) isto ´e, a sen(A) = 2R Repetindo o mesmo processo para as bases AC e AB, obteremos os outros quocientes b sen(B) = c sen(C) = 2R 3. Triˆangulo retˆangulo: Como o triˆangulo ABC ´e um triˆangulo retˆangulo, ´e imediato que sen(B) = b a , sen(C) = c a , sen(A) = sen( π 2 ) = 1 Elementos de Matem´atica - No. 7 - Ulysses Sodr´e - Matem´atica - UEL - 2007
  28. 28. 2.2. LEI DOS COSSENOS 10 Como, neste caso a = 2R, temos, a sen(A) = b sen(B) = c sen(C) 2.2 Lei dos Cossenos Em um triˆangulo qualquer, o quadrado da medida de um lado ´e igual a diferen¸ca entre a soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados e o dobro do produto das medidas desses lados pelo cosseno do ˆangulo formado por estes lados. a2 = b2 + c2 − 2 b c cos(A) b2 = a2 + c2 − 2 a c cos(B) c2 = a2 + b2 − 2 a b cos(C) Demonstra¸c˜ao: Temos trˆes casos a considerar, dependendo se o triˆangulo ABC ´e acutˆangulo, obtusˆangulo ou retˆangulo. 1. Triˆangulo retˆangulo: Se o triˆangulo ABC ´e retˆangulo, com ˆangulo reto no v´ertice A, a rela¸c˜ao a2 = b2 + c2 − 2 b c cos(A) Como cos(A) = cos(π/2) = 0, esta rela¸c˜ao recai na rela¸c˜ao de Pit´agoras: a2 = b2 + c2 2. Triˆangulo acutˆangulo: Seja o triˆangulo ABC um triˆangulo acutˆangulo com ˆangulo agudo correspondente ao v´ertice A, como mostra a figura. Seja o segmento de reta HC perpendicular ao lado AB (altura do Elementos de Matem´atica - No. 7 - Ulysses Sodr´e - Matem´atica - UEL - 2007
  29. 29. 2.2. LEI DOS COSSENOS 11 triˆangulo relativa ao lado AB), passando pelo v´ertice C. Aplicando o Torema de Pit´agoras no triˆangulo CHB, temos: a2 = h2 + (c − x)2 = (h2 + x2 ) + c2 − 2cx (2.1) No triˆangulo AHC, temos que b2 = h2 + x2 e tamb´em cos(A) = x b , ou seja, x = b cos(A). Substituindo estes resultados na equa¸c˜ao 2.1, obtemos: a2 = b2 + c2 − 2 b c cos(A) 3. Triˆangulo obtusˆangulo: Seja o triˆangulo obtusˆangulo ABC com o ˆangulo obtuso correspondente ao v´ertice A, como mostra a figura. Seja o segmento de reta HC perpendicular ao lado AB (altura do triˆangulo relativa ao lado AB), passando pelo v´ertice C. Aplicando o Torema de Pit´agoras no triˆangulo CHB, temos que: a2 = h2 + (c + x)2 = (h2 + x2 ) + c2 + 2cx (2.2) No triˆangulo AHC, obtemos a rela¸c˜ao de Pit´agoras b2 = h2 + x2 e tamb´em cos(D) = x b = cos(π − A) = − cos(A), logo, x = −b cos(A). Substituindo estes resultados na equa¸c˜ao 2.2, obtemos: a2 = b2 + c2 − 2 b c cos(A) Elementos de Matem´atica - No. 7 - Ulysses Sodr´e - Matem´atica - UEL - 2007
  30. 30. 2.3. ´AREA DE UM TRIˆANGULO EM FUNC¸ ˜AO DOS LADOS 12 As express˜oes da lei dos cossenos podem ser escritas na forma cos(A) = b2 + c2 − a2 2 b c cos(B) = a2 + c2 − b2 2 a c cos(C) = a2 + b2 − c2 2 a b 2.3 ´Area de um triˆangulo em fun¸c˜ao dos lados Existe uma f´ormula para calcular a ´area de um triˆangulo conhecendo-se as medidas de seus lados. Se a, b e c s˜ao as medidas dos lados do triˆangulo, p a metade do per´ımetro do triˆangulo, isto ´e: 2p = a + b + c, ent˜ao, S = p(p − a)(p − b)(p − c) A demonstra¸c˜ao da f´ormula acima est´a em nosso link F´ormula de Heron: http://www.mat.uel.br/matessencial/geometria/heron/heron.htm Elementos de Matem´atica - No. 7 - Ulysses Sodr´e - Matem´atica - UEL - 2007
  31. 31. CAP´ITULO 4 Fun¸c˜oes trigonom´etricas circulares Fun¸c˜oes circulares constituem o objeto fundamental da trigonometria circular e s˜ao importantes pela sua periodicidade pois elas representam fenˆomenos naturais peri´odicos, como varia¸c˜oes da temperatura terrestre, comportamentos ondulat´orios do som, press˜ao sangu´ınea no cora¸c˜ao, n´ıveis de ´agua em oceanos, etc. 4.1 Fun¸c˜oes reais Para estudar trigonometria, devemos ter um bom conhecimento das defini¸c˜oes e propriedades que caracterizam a teoria de fun¸c˜oes reais. Fun¸c˜ao: Uma fun¸c˜ao de um conjunto n˜ao vazio A em um conjunto n˜ao vazio B, denotada por f : A → B, ´e uma correspondˆencia que associa a cada elemento de A um ´unico elemento de B. O conjunto A ´e denominado o dom´ınio de f, o conjunto B ´e denominado contradom´ınio de f. O elemento y ∈ B que corresponde ao elemento x ∈ A de acordo com a lei f, ´e a imagem de x por f, indicado por y = f(x). O conjunto de todos elementos de B que s˜ao imagem de algum elemento de A ´e denominado conjunto Imagem de f. Uma fun¸c˜ao f ´e denominada fun¸c˜ao real de vari´avel real, se o dom´ınio e Elementos de Matem´atica - No. 7 - Ulysses Sodr´e - Matem´atica - UEL - 2007
  32. 32. 4.2. FUNC¸ ˜OES CRESCENTES E DECRESCENTES 17 contradom´ınio de f s˜ao subconjuntos do conjunto dos n´umeros reais. Fun¸c˜ao peri´odica: Uma fun¸c˜ao real f, com dom´ınio em A subconjunto da reta real, ´e dita peri´odica se, existe um n´umero real positivo T, tal que para todo x ∈ A, vale f(x + T) = f(x) Podem existir muitos n´umeros reais T com esta propriedade, mas o menor n´umero T > 0, que satisfaz a esta condi¸c˜ao ´e o per´ıodo fundamental. Exemplo 1. A fun¸c˜ao real definida por f(x) = x − [x], onde [x] ´e a parte inteira do n´umero real x que ´e menor ou igual a x. Esta fun¸c˜ao ´e peri´odica de per´ıodo fundamental T = 1. Fun¸c˜ao limitada: Uma fun¸c˜ao f de dom´ınio A ⊂ R ´e limitada, se existe um n´umero real L > 0, tal que para todo x ∈ A, valem as desigualdades: −L ≤ f(x) ≤ L e esta ´ultima express˜ao ´e equivalente a |f(x)| ≤ L. Exemplo 2. A fun¸c˜ao real f(x) = 2x 1 + x2 ´e limitada pois −1 ≤ x 1 + x2 ≤ 1 4.2 Fun¸c˜oes crescentes e decrescentes Seja f uma fun¸c˜ao definida em um intervalo I, sendo x, y ∈ I, com x < y. Afirmamos que f ´e crescente, se f(x) < f(y) e que f ´e decrescente, se f(x) > f(y). Exemplo 3. A fun¸c˜ao real f(x) = 2x + 1 ´e crescente enquanto que a fun¸c˜ao real f(x) = e−x ´e decrescente. 4.3 Fun¸c˜oes pares e ´ımpares Fun¸c˜ao par: Uma fun¸c˜ao f ´e uma fun¸c˜ao par, se para todo x do dom´ınio de f tem-se que f(−x) = f(x) Elementos de Matem´atica - No. 7 - Ulysses Sodr´e - Matem´atica - UEL - 2007
  33. 33. 4.4. FUNC¸ ˜AO SENO 18 Fun¸c˜oes pares s˜ao sim´etricas em rela¸c˜ao ao eixo vertical OY . Exemplo 4. A fun¸c˜ao real definida por f(x) = x2 ´e par. Fun¸c˜ao´ımpar: Uma fun¸c˜ao f ´e uma fun¸c˜ao´ımpar, se para todo x do dom´ınio de f tem-se que f(−x) = −f(x) Fun¸c˜oes ´ımpares s˜ao sim´etricas em rela¸c˜ao `a origem (0, 0) do sistema de eixos cartesiano. Exemplo 5. A fun¸c˜ao real definida por f(x) = x3 ´e ´ımpar. 4.4 Fun¸c˜ao seno Dado um ˆangulo de medida x, a fun¸c˜ao seno associa a cada x ∈ R o seno do ˆangulo x, denotado pelo n´umero real sen(x). A fun¸c˜ao ´e denotada por f(x) = sen(x). Segue uma tabela com valores de f no intervalo [0, 2π]. x 0 π/4 π/2 3π/4 π 5π/4 3π/2 7π/4 2π y 0 √ 2/2 1 √ 2/2 0 − √ 2/2 −1 − √ 2/2 0 Gr´afico: Na figura, o segmento Oy que mede sen(x), ´e a proje¸c˜ao do seg- mento OM sobre o eixo OY . Propriedades da fun¸c˜ao seno 1. Dom´ınio: A fun¸c˜ao seno est´a definida para todos os valores reais, sendo assim Dom(sen) = R. Elementos de Matem´atica - No. 7 - Ulysses Sodr´e - Matem´atica - UEL - 2007
  34. 34. 4.4. FUNC¸ ˜AO SENO 19 2. Imagem: O conjunto imagem da fun¸c˜ao seno ´e I = {y ∈ R : −1 ≤ y ≤ 1} 3. Periodicidade: A fun¸c˜ao ´e peri´odica de per´ıodo 2π. Para todo x ∈ R e para todo k ∈ Z: sen(x) = sen(x + 2π) = sen(x + 4π) = ... = sen(x + 2kπ) Justificativa: Pela f´ormula do seno da soma de dois arcos, temos sen(x + 2kπ) = sen(x) cos(2kπ) + cos(x)sen(2kπ) Como para todo k ∈ Z, tem-se que cos(2kπ) = 1 e sen(2kπ) = 0, ent˜ao sen(x + 2kπ) = sen(x)(1) + cos(x)(0) = sen(x) A fun¸c˜ao seno ´e peri´odica de per´ıodo fundamental T = 2π. Completamos o gr´afico da fun¸c˜ao seno, repetindo os valores da tabela em cada intervalo de medida 2π. 4. Sinal Intervalo [0, π/2] [π/2, π] [π, 3π/2] [3π/2, 2π] Seno positiva positiva negativa negativa 5. Monotonicidade Intervalo [0, π/2] [π/2, π] [π, 3π/2] [3π/2, 2π] Seno crescente decrescente decrescente crescente 6. Limita¸c˜ao: O gr´afico de y = sen(x) est´a contido na faixa do plano limitada pelas retas horizontais y = −1 e y = 1. Para todo x ∈ R, temos: −1 ≤ sen(x) ≤ 1 7. Simetria: A fun¸c˜ao seno ´e ´ımpar, pois para todo x ∈ R, tem-se que: sen(−x) = −sen(x) Elementos de Matem´atica - No. 7 - Ulysses Sodr´e - Matem´atica - UEL - 2007
  35. 35. 4.5. FUNC¸ ˜AO COSSENO 20 4.5 Fun¸c˜ao cosseno Dado um ˆangulo de medida x, a fun¸c˜ao cosseno denotada por f(x) = cos(x), ´e a rela¸c˜ao que associa a cada x ∈ R o n´umero real cos(x). Segue uma tabela com valores de f no intervalo [0, 2π]. x 0 π/4 π/2 3π/4 π 5π/4 3π/2 7π/4 2π y 1 √ 2/2 0 √ 2/2 −1 − √ 2/2 0 √ 2/2 1 Gr´afico: O segmento Ox, que mede cos(x), ´e a proje¸c˜ao do segmento OM sobre o eixo horizontal OX. Propriedades da fun¸c˜ao cosseno 8. Dom´ınio: A fun¸c˜ao cosseno est´a definida para todos os valores reais, assim Dom(cos) = R. 9. Imagem: O conjunto imagem da fun¸c˜ao cosseno ´e o intervalo I = {y ∈ R : −1 ≤ y ≤ 1} 10. Periodicidade: A fun¸c˜ao ´e peri´odica de per´ıodo 2π. Para todo x ∈ R e para todo k ∈ Z: cos(x) = cos(x + 2π) = cos(x + 4π) = ... = cos(x + 2kπ) Justificativa: Pela f´ormula do cosseno da soma de dois arcos, temos cos(x + 2kπ) = cos(x) cos(2kπ) − sen(x)sen(2kπ) Para todo k ∈ Z: cos(2kπ) = 1 e sen(2kπ) = 0, logo cos(x + 2kπ) = cos(x)(1) − sen(x)(0) = cos(x) A fun¸c˜ao cosseno ´e peri´odica de per´ıodo fundamental T = 2π. Elementos de Matem´atica - No. 7 - Ulysses Sodr´e - Matem´atica - UEL - 2007
  36. 36. 4.6. FUNC¸ ˜AO TANGENTE 21 11. Sinal Intervalo [0, π/2] [π/2, π] [π, 3π/2] [3π/2, 2π] Cosseno positiva negativa negativa positiva 12. Monotonicidade: Intervalo [0, π/2] [π/2, π] [π, 3π/2] [3π/2, 2π] Cosseno decrescente decrescente crescente crescente 13. Limita¸c˜ao: O gr´afico de y = cos(x) est´a contido na faixa localizada entre as retas horizontais y = −1 e y = 1. Para todo x ∈ R, temos: −1 ≤ cos(x) ≤ 1 14. Simetria: A fun¸c˜ao cosseno ´e par, pois para todo x ∈ R, tem-se que: cos(−x) = cos(x) 4.6 Fun¸c˜ao tangente Como a tangente n˜ao tem sentido para arcos da forma (k + 1) π 2 para cada k ∈ Z, vamos considerar o conjunto dos n´umeros reais diferentes destes valores. Definimos a fun¸c˜ao tangente como a rela¸c˜ao que associa a este x ∈ R, a tangente de x, denotada por tan(x). f(x) = tan(x) = sen(x) cos(x) Segue uma tabela com valores de f no intervalo [0, 2π]. x 0 π/4 π/2 3π/4 π 5π/4 3π/2 7π/4 2π y 0 1 Inexiste −1 0 1 Inexiste −1 0 Elementos de Matem´atica - No. 7 - Ulysses Sodr´e - Matem´atica - UEL - 2007
  37. 37. 4.6. FUNC¸ ˜AO TANGENTE 22 Gr´afico: O segmento AT, mede tan(x). Pelo gr´afico, observamos que quando a medida do arco AM se aproxima de π/2 ou de −π/2, a fun¸c˜ao tangente est´a crescendo muito r´apido, pois a reta que passa por OM tem coeficiente angular cada vez maior e vai se tornando cada vez mais vertical e a interse¸c˜ao com a reta t vai ficando mais distante do eixo OX. Propriedades 1. Dom´ınio: Como cos( π 2 + kπ) = 0 para cada k ∈ Z, temos que Dom(tan) = {x ∈ R : x = π 2 + kπ} 2. Imagem: O conjunto imagem da fun¸c˜ao tangente ´e o conjunto dos n´umeros reais, assim I = R. 3. Periodicidade A fun¸c˜ao tangente ´e peri´odica de per´ıodo π Para todo x ∈ R, com x = π 2 + kπ, sendo k ∈ Z: tan(x) = tan(x + π) = tan(x + 2π) = ... = tan(x + kπ) Justificativa: Pela f´ormula da tangente da soma de dois arcos, temos tan(x + kπ) = tan(x) + tan(kπ) 1 − tan(x) · tan(kπ) = tan(x) + 0 1 − tan(x).0 = tan(x) A fun¸c˜ao tangente ´e peri´odica de per´ıodo fundamental T = π. Podemos completar o gr´afico da fun¸c˜ao tangente, repetindo os valores da tabela na mesma ordem em que se apresentam. 4. Sinal: Intervalo [0, π/2] [π/2, π] [π, 3π/2] [3π/2, 2π] Tangente positiva negativa positiva negativa Elementos de Matem´atica - No. 7 - Ulysses Sodr´e - Matem´atica - UEL - 2007
  38. 38. 4.7. FUNC¸ ˜AO COTANGENTE 23 5. Monotonicidade: A tangente ´e uma fun¸c˜ao crescente, exceto nos pon- tos x = kπ 2 , sendo k ∈ Z, onde a fun¸c˜ao n˜ao est´a definida. 6. Limita¸c˜ao: A fun¸c˜ao tangente n˜ao ´e limitada, pois quando o ˆangulo se aproxima de (2k + 1) π 2 , a fun¸c˜ao cresce (ou decresce) sem controle. 7. Simetria: A fun¸c˜ao tangente ´e ´ımpar, pois para todo x ∈ R onde a tangente est´a definida, tem-se que: tan(−x) = − tan(x) 4.7 Fun¸c˜ao cotangente Como a cotangente n˜ao existe para arcos da forma kπ onde k ∈ Z, vamos considerar o conjunto dos n´umeros reais diferentes destes valores. Definimos a fun¸c˜ao cotangente como a rela¸c˜ao que associa a cada x ∈ R, a cotangente de x, denotada por: f(x) = cot(x) = cos(x) sen(x) Segue uma tabela com valores de f no intervalo [0, 2π]. x 0 π/4 π/2 3π/4 π 5π/4 3π/2 7π/4 2π y Inexiste 1 0 −1 Inexiste 1 0 −1 Inexiste Gr´afico: O segmento Os mede cot(x). O gr´afico mostra que quando a medida do arco AM est´a pr´oxima de π ou de −π, podemos verificar que o gr´afico da fun¸c˜ao cotangente cresce muito rapi- damente, pois a reta que passa por OM vai ficando cada vez mais horizontal e a sua interse¸c˜ao com a reta s vai se tornando muito distante. Elementos de Matem´atica - No. 7 - Ulysses Sodr´e - Matem´atica - UEL - 2007
  39. 39. 4.7. FUNC¸ ˜AO COTANGENTE 24 Propriedades: 1. Dom´ınio: Como a fun¸c˜ao seno se anula para arcos da forma kπ, onde k ∈ Z, temos Dom(cot) = {x ∈ R : x = kπ}. 2. Imagem: O conjunto imagem da fun¸c˜ao cotangente ´e o conjunto dos n´umeros reais, assim I = R. 3. Periodicidade A fun¸c˜ao ´e peri´odica e seu per´ıodo ´e π. Para todo x ∈ R, sendo x = kπ, onde k ∈ Z: cot(x) = cot(x + π) = cot(x + 2π) = ... = cot(x + kπ) A fun¸c˜ao cotangente ´e peri´odica de per´ıodo fundamental 2π. 4. Sinal Intervalo [0, π/2] [π/2, π] [π, 3π/2] [3π/2, 2π] Tangente positiva negativa positiva negativa 5. Monotonicidade: A cotangente ´e uma fun¸c˜ao sempre decrescente, ex- ceto nos pontos x = kπ, sendo k ∈ Z, onde a fun¸c˜ao n˜ao est´a definida. 6. Limita¸c˜ao: A fun¸c˜ao cotangente n˜ao ´e limitada, pois quando o ˆangulo se aproxima de kπ/2, a fun¸c˜ao cresce (ou decresce) sem controle. Elementos de Matem´atica - No. 7 - Ulysses Sodr´e - Matem´atica - UEL - 2007
  40. 40. CAP´ITULO 5 Fun¸c˜oes trigonom´etricas inversas Uma fun¸c˜ao f, de dom´ınio D possui inversa somente se f for bijetora, logo nem todas as fun¸c˜oes trigonom´etricas possuem inversas em seus dom´ınios de defini¸c˜ao, mas podemos tomar subconjuntos desses dom´ınios para gerar novas fun¸c˜oes que restritas a conjuntos menores possuem inversas. Exemplo 6. A fun¸c˜ao f(x) = cos(x) n˜ao ´e bijetora em seu dom´ınio de defini¸c˜ao que ´e o conjunto dos n´umeros reais, pois para um valor de y corres- pondem infinitos valores de x. Por exemplo, se cos(x) = 1, podemos tomar x = 2kπ, onde k ´e um n´umero inteiro, isto quer dizer que n˜ao podemos definir a inversa de f(x) = cos(x) em seu dom´ınio. Devemos ent˜ao restringir o dom´ınio a um subconjunto dos n´umeros reais onde a fun¸c˜ao ´e bijetora. Como as fun¸c˜oes trigonom´etricas s˜ao peri´odicas, existem muitos intervalos onde elas s˜ao bijetoras. ´E usual escolher como dom´ınio, intervalos onde o zero ´e o ponto m´edio ou o extremo esquerdo e no qual a fun¸c˜ao percorra todo seu conjunto imagem. 5.1 Fun¸c˜ao arco-seno Consideremos a fun¸c˜ao f(x) = sen(x), com dom´ınio no intervalo [−π/2, π/2] e imagem no intervalo [−1, 1]. A fun¸c˜ao inversa de f = sen, denominada arco Elementos de Matem´atica - No. 7 - Ulysses Sodr´e - Matem´atica - UEL - 2007
  41. 41. 5.2. FUNC¸ ˜AO ARCO-COSSENO 30 cujo seno, definida por sen−1 : [−1, 1] → [−π/2, π/2] ´e denotada por sen−1 (x) = arcsen(x) Gr´afico da fun¸c˜ao arco-seno 5.2 Fun¸c˜ao arco-cosseno A fun¸c˜ao f(x) = cos(x), com dom´ınio [0, π] e imagem [−1, 1], possui inversa, denominada arco cujo cosseno e ´e definida por cos−1 : [−1, 1] → [0, π] e denotada por cos−1 (x) = arccos(x) Gr´afico da fun¸c˜ao arco-cosseno: 5.3 Fun¸c˜ao arco-tangente A fun¸c˜ao f(x) = tan(x), com dom´ınio (−π/2, π/2) e imagem em R, possui uma inversa, denominada arco-tangente definida por tan−1 : R → (−π/2, π/2) e denotada por tan−1 (x) = arctan(x) Elementos de Matem´atica - No. 7 - Ulysses Sodr´e - Matem´atica - UEL - 2007
  42. 42. 5.4. FUNC¸ ˜AO ARCO-COTANGENTE 31 Gr´afico da fun¸c˜ao arco-tangente: 5.4 Fun¸c˜ao arco-cotangente A fun¸c˜ao f(x) = cot(x), com dom´ınio (0, π) e imagem em R, possui uma inversa, denominada arco-cotangente definida por cot−1 : R → (0, π) e deno- tada por cot−1 (x) = arccot(x) Gr´afico da fun¸c˜ao arco-cotangente: Elementos de Matem´atica - No. 7 - Ulysses Sodr´e - Matem´atica - UEL - 2007

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