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Geo
    m   ét r
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Es p a c i a i s
Sólidos Geométricos
Poliedros (edro: do grego hedra-
face/poli:várias): Sólidos limitados
por polígonos planos.

 Diante da definição, identifique dentre os
  sólidos apresentados no slide anterior, aqueles
  que não são poliedros.

 Veja se você é um bom entendedor, verificando
  com um clique quais os sólidos contidos no slide
  que não poliédricos.
Sólidos Geométricos
• Você acertou? Parabéns, pela sua ótima
  compreensão.
• Se não acertou entenda:
 Não poliedro: é um sólido que não é limitado
  apenas por superfícies poligonais (polígonos).
  O cone, o cilindro, e a esfera não são
  poliedros, pois possuem superfícies curvas.
  São também chamados sólidos de revolução.
 Poliedro tem “bicos”, que são ângulos
  poliédricos, e é formado por apenas faces que
  são polígonos.
OS POLIEDROS PODEM
           SER:
• Poliedro Côncavo (não-convexo):
O que pode ser dividido em duas
ou mais partes por um plano que
contém uma de suas faces.

Podemos dizer ainda que ele é
não-convexo quando um segmento
que liga dois de seus pontos não está
totalmente contido nele.
• Poliedro Convexo: O que está inteiramente de
  um dos lados de qualquer plano que contém uma
  das suas faces.




   Ou ainda é quando o segmento que liga dois de
   seus pontos está sempre contido nele.
Dos poliedros abaixo quais são não convexos
(côncavos). Veja-os com um clique.




                   Justifique
Agora identifique os poliedros que são
convexos, justificando. Confira com um clique.
• A nomenclatura de um poliedro convexo é
  dada de acordo com o número de faces. A
  tabela a seguir mostra os nomes dos
  principais poliedros convexos.
ELEMENTOS DE UM POLIEDRO:
• Cada poliedro é formado pela reunião de um número
  finito de regiões poligonais planas chamadas faces e
  a região do espaço limitada por elas.

• Cada lado de uma dessas regiões poligonais é
  também lado de uma única outra região poligonal. E
  cada lado de uma região poligonal, comum a
  exatamente duas faces, é chamado aresta do
  poliedro.

• A intersecção de duas faces quaisquer ou é um lado
  comum, ou é um vértice. Cada vértice de uma face é
  um vértice do poliedro.
Vértice/“bico”



                 Face/polígono



                       aresta
• Nos poliedros apresentados acima vamos, para
  simplificar nossa escrita, chamar os vértices, as
  arestas e as faces de V, A e F, respectivamente.
  Com os dados obtidos dos poliedros dados
  confeccionamos a tabela a seguir:




        Complete a última coluna! O que você observa?
 OBSERVAÇÕES:
         1) Na tabela apresentada observa-se um fato interessante: o valor na
   última coluna é constante, 2. Este fato é válido para qualquer poliedro
   convexo e é conhecido como RELAÇÃO DE EULER.




Leonhard Paul Euler* (pronuncia-se "Óiler“ - Basiléia, 15 de abril de 1707 – São
   Pesterbugo, 18 de setembro de 1783) foi um matemático e físico suíço é
   autor de contribuições importantes em todas as áreas da Matemática e da
   Física-Matemática do seu tempo.




                          (“o mestre de nós todos”, como lhe chamava Laplace)
2) Existem poliedros não-convexos que satisfazem
   a relação de Euler:
Poliedro 1:




Poliedro 2:




Podemos afirmar que:
Aplicando a Relação de Euler
•   Um poliedro convexo possui 4 faces triangulares todas regulares.
    Quantos vértices esse poliedro possui?

    Resolução:

         Como o poliedro possui 4 faces triangulares, então:
         4 (faces) X 3 (arestas de cada face) = 12.
         Cada aresta foi contada duas vezes, portanto, temos:
         2A = 12       A=12/2         A=6

         Como o poliedro é convexo vale a relação de Euler:

         V–A+F=2           V–6+4=2            V–2=2

         V=2+2              V= 4
DESAFIO
1)   Um poliedro convexo possui 20 vértices e de
     cada um deles saem 3arestas. Calcule o número
     de arestas e o número de faces desse sólido.

2)   Arquimedes descobriu um poliedro convexo
     formado por 12 faces pentagonais e 20 faces
     hexagonais, todas regulares. Este poliedro
     inspirou a fabricação da bola de futebol que
     apareceu pela primeira vez na copa do mundo de
     1970. Quantos vértices possui esse poliedro?
• Há uma infinidades de poliedros. No
  segundo slide desta apresentação
  podemos observar alguns.
• Porém existem poliedros que possuem
  algumas características especiais, os
  apresentados no primeiro slide, lembram
  das formas geométricas?
• Relembremos:
Poliedros

            de

                 Platão
Porque Poliedros de Platão? Quem
    foi Platão?
•   POLIEDROS DE PLATÃO SÃO POLIEDROS REGULARES.
     – Poliedro Regular é aquele que:
         • suas faces são polígonos regulares;
         • de cada vértice do poliedro sai o mesmo número de arestas.

•   PLATÃO de Atenas (428/27- 347 a.C.) foi um filósofo grego: Acredita-se que seu
    nome verdadeiro tenha sido Aristocles; Platão era um apelido que, provavelmente,
    fazia referência à sua característica física, tal como o porte atlético ou os ombros
    largos, ou ainda a sua ampla capacidade intelectual de tratar de diferentes temas.
    Πλάτος (plátos) em grego significa amplitude, dimensão, largura. Sua filosofia é de
    grande importância e influência. Platão ocupou-se com vários temas, entre eles ética,
    política, metafísica e teoria do conhecimento. Discípulo de Sócrates, fundador da
    Academia e mestre de Aristóteles.



                                                      •    Polígono Regular tem todos os
                                                           lados e ângulos internos
                                                           congruentes.
POLIEDROS REGULARES


• tem todos os lados e ângulos internos
  congruentes
•   Os antigos gregos tinham conhecimento da existência de apenas cinco poliedros
    regulares, este fato os impressionou de tal forma que os Pitagóricos e, mais tarde,
    Platão, construíram as suas teorias cosmogônicas, associando aos cinco poliedros
    regulares a constituição fundamental da natureza. É por este motivo que os poliedros
    regulares são também denominados sólidos platônicos. Além disso, ainda defendia uma
    outra teoria. Defendia que o mundo só poderia ter sido feito a partir de corpos
    perfeitos. Mais tarde descobriu que podia existir mais um sólido geométrico regular e
    deu-lhe o nome de dodecaedro que representava o universo.
•   Em sua obra intitulada “Timeu”, Platão descreve o tetraedro como “elemento e origem”
    do fogo, o octaedro do ar, o icosaedro da água, o cubo da terra, enquanto o dodecaedro
    representa a imagem do universo no seu todo: “permanecendo uma quinta combinação,
    que Deus utilizou para o desenho do universo”.
•   Foram também encontrados modelos de poliedros regulares em civilizações anteriores
    à grega; o seu fascínio, ligado quer à harmonia das proporções quer às propriedades
    matemáticas, continuou a inspirar artistas e cientistas até aos nossos dias.
•   Na cultura etrusca, os dodecaedros tinham também um significado religioso e
    foram utilizados como dados na Itália romana.
    No Renascimento, os poliedros regulares constituíram um ótimo tema para a
    realização de estudos de perspectiva: podemos encontrá-los em obras de Paolo
    Uccello, Piero della Francesca, Albrecht Dürer, Leonardo da Vinci, Luca Pacioli e
    Leonardo Pisano (o Fibonacci).
•   Em 1595, Kepler acreditou “ter penetrado nos segredos do criador” ao elaborar um
    modelo do sistema planetário (que posteriormente se viria a revelar errado)
    utilizando os sólidos platónicos para descrever as distâncias entre as órbitas
    elípticas dos seis planetas conhecidos naquela época (a figura abaixo da direita foi
    retirada do “Mysterium Cosmographicum” de Kepler).
•   Também a natureza nos revela exemplos de poliedros regulares: alguns cristais, os
    vírus, que têm muitas vezes forma icosaédrica, ou simples organismos vivos como os
    radiolários, …
                                             Texto original (italiano): por Cristina Vezza
Poliedros: podemos imaginar que
existe uma infinidade, mas quantos
poliedros de Platão existirá?
•   Aparentemente é possível construir poliedros regulares com quantas faces
    desejarmos.
    Quantos poliedros regulares é possível construir?
    Para responder esta pergunta vamos recordar dos polígonos regulares e, com eles
    construir poliedros.
    Utilizando régua e compasso a construção de polígonos regulares se torna uma tarefa
    fácil.
•   Para isto é preciso lembrar a medida do ângulo interno ou externo de cada polígono.
   O triângulo eqüilátero possui ângulo interno de 60º. Se o interno é 60º o externo é
    120º.
 O quadrado: ângulo interno mede 90º e o externo 90º.




 Para construir o pentágono basta lembrar que:




   Logo o ângulo externo de um pentágono é 360º÷5 = 72º.
   E o interno é 180º - 72º = 108º.
•   Assim para construir qualquer polígono regular basta dividir 360º pelo
    número de lados, pois todos os ângulos são todos congruentes.
•   Para construir um poliedro precisamos de um estoque de polígonos
    regulares.
    Obs. : Para podermos unir as faces, vamos fixar um comprimento para os
    lados de todos os polígonos de por exemplo, 6 cm.


    CONSTRUINDO POLIEDROS:


    Para perceber as limitações da construção de polígonos regulares ou não.
    Precisamos então construir o primeiro vértice (bico), que será necessário no
    mínimo três polígonos para formar um bico (ângulo poliédrico). E os outros
    bicos:
 A escolha de polígonos para formar o primeiro bico não é totalmente livre.
  Não conseguimos formar um bico com seis triângulos eqüiláteros.
 Nem com quatro quadrados, conseguimos construir um bico:




 Nem com cinco hexágonos:
•   Nesses casos, a soma dos ângulos internos dos polígonos totalizam 360º,
    formando um ângulo plano, e não um bico (ângulo poliédrico).
    Se tentarmos formar um bico com o heptágono ou com o octógono, veremos
    que os ângulos totalizam mais que 360º, não formando assim um bico.




    Então para formar um ângulo poliédrico (bico), precisamos reunir pelo menos
    3 polígonos e a soma dos ângulos internos não deves ser inferior a 360º.
 Portanto para construir poliedros regulares, com bicos idênticos e polígonos
  regulares, é possível utilizar o triângulo, o quadrado e o pentágono.
•   Mãos a obra!
 Com três triângulos formamos o primeiro bico e utilizando quatro triângulos
  construímos o Tetraedro Regular:




 Já formando o primeiro bico com quatro triângulos regulares e completando
  os demais com triângulos regulares obteremos o Octógono Regular:
 Ainda é possível formar o primeiro bico com cinco triângulos, e completando
  os demais com triângulos teremos o: Icosaedro Regular (20 faces):




 Já utilizando quadrados é possível juntar apenas três deles, pois com quatro
  não formamos um bico, ma sim um ângulo plano.
   Completando o primeiro bico com outros quadrados, teremos o: Hexaedro
   Regular ou Cubo:
 Reunindo três pentágonos, e completando cada um dos bicos com pentágonos,
  obteremos o: Dodecaedro Regular:




 Obs. : Com hexágonos obteremos apenas uma trilha.




   Como os ângulos internos dos heptágonos, eneágonos, etc. totalizam   mais de
   360º não se pode formar um bico.
•   Portanto só é possível construir cinco tipos de poliedros regulares:
     –   usando pentágonos, somente conseguimos construir o dodecaedro;
     –   usando quadrados, somente é possível construir o hexágono;
     –   usando triângulos, é possível construir o tetraedro, o octaedro e o icosaedro.


 Logo não existe mais poliedros d e Platão do que os dedos de uma mão!
TETRAEDRO
Este poliedro é formado por quatro triângulos
equiláteros. E em cada um dos vértices encontra-se o
mesmo número de lados (arestas). O prefixo tetra
deriva do grego e significa quatro (quatro faces).
HEXAEDRO
O cubo é o único poliedro regular com faces
quadrangulares. Cada vértice une três quadrados. O
cubo tem 6 faces, pelo que também se pode chamar
de hexaedro (hesa significa seis em grego).
OCTAEDRO
As faces deste poliedro são também triângulos
equiláteros, mas em cada vértice reúnem-se quatro
triângulos. Assim, o total das faces é oito, pelo que o
poliedro se chama octaedro (octa significa oito em
grego).
DODECAEDRO
O dodecaedro é o único poliedro regular cujas faces
são pentágonos regulares. Em cada vértice
encontram-se três pentágonos. Assim, este poliedro é
formado por doze faces e daí ter o nome de
dodecaedro (dodeca significa doze em grego).
ICOSAEDRO
Neste poliedro são cinco os triângulos equiláteros
que se encontram em cada vértice, perfazendo vinte
faces. Por isso, o poliedro se chama icosaedro (icosa
significa 20 em grego).
Planificação
•   O fascínio dos poliedros (quer na harmonia ou nas propriedades
    matemáticas), continuou a inspirar até a atualidade numerosos matemáticos,
    artistas plásticos, designers e arquitetos, propondo várias formas de os
    construir e também de os representar. Podendo ser encontrados em
    construções, nas obras de Leonardo da Vinci, Leonardo de Pisa (o
    Fibonacci), nas obras de Ester, entre outros. Sendo também a principal
    fonte de inspiração do chamado origami modular.
Cubo modular
Construção de um tetraedro regular com canudinhos
  Um metro de linha nº 10;
  Seis pedaços de canudo de mesma cor e comprimento (sugiro 8 centímetros).

    Tome o fio de linha, passe-o através de três pedaços de canudo, construindo um
triângulo e o feche por meio do um nó. Agora, passe o restante da linha por mais
dois pedaços de canudo, juntando-os e formando mais um triângulo com um dos
lados do primeiro triângulo. Finalmente, passe a linha por um dos lados desse
triângulo e pelo pedaço que ainda resta, fechando a estrutura com um nó. Essa
estrutura representa as arestas de um tetraedro regular e as etapas intermediárias
de sua construção estão representadas abaixo:
Resolução/Desafios
1)



                           Smole/Diniz



2)



                          Dante-3ª série
* Entre outras obras, Euler é ainda o criador da teoria dos
  grafos, que teve origem no seu artigo sobre o problema das
  sete pontes de Königsberg. O problema consistia em passear
  pelas ruas da cidade prussiana de Königsberg (a atual cidade
  russa de Kaliningrado) passando cada ponte uma e uma só
  vez de maneira a terminar no ponto de partida (veja-se o
  mapa abaixo). Euler provou que o problema não tem solução.
BIBLIOGRAFIA


– Smole, Kátia Cristina Stocco/smole, Maria Inez de Souza Diniz –
  Matemática, ensino médio, v. 2, 2ª série, 5ª ed., São Paulo: Saraiva,
  2005;
– Dante, Luiz Roberto – Matemática, ensino médio, 3ª série, 1ª ed., São
  Paulo: Ática, 2004;
– Machado, Nilson José – Os poliedros de Platão e os dedos da mão, São
  Paulo:Scipioni, 2000. (Coleção Vivendo a matemática);
– Enciclopédia do origami, Robinson, trad. Assunção, Joana, 1ª ed, Lisboa:
  Quarto Publishing, 2006;
– http://www.eb23anadia.rcts.pt/ProjectoTurmas/ProjMatematica5F/So
  lidos%20Geometricos.htm;
– http://www.atractor.pt/simetria/matematica/docs/regulares2.html.

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Poliedros de Platão: os 5 sólidos geométricos regulares

  • 1. Figu r as Geo m ét r icas Es p a c i a i s
  • 3. Poliedros (edro: do grego hedra- face/poli:várias): Sólidos limitados por polígonos planos.  Diante da definição, identifique dentre os sólidos apresentados no slide anterior, aqueles que não são poliedros.  Veja se você é um bom entendedor, verificando com um clique quais os sólidos contidos no slide que não poliédricos.
  • 5. • Você acertou? Parabéns, pela sua ótima compreensão. • Se não acertou entenda:  Não poliedro: é um sólido que não é limitado apenas por superfícies poligonais (polígonos). O cone, o cilindro, e a esfera não são poliedros, pois possuem superfícies curvas. São também chamados sólidos de revolução.  Poliedro tem “bicos”, que são ângulos poliédricos, e é formado por apenas faces que são polígonos.
  • 6. OS POLIEDROS PODEM SER: • Poliedro Côncavo (não-convexo): O que pode ser dividido em duas ou mais partes por um plano que contém uma de suas faces. Podemos dizer ainda que ele é não-convexo quando um segmento que liga dois de seus pontos não está totalmente contido nele.
  • 7. • Poliedro Convexo: O que está inteiramente de um dos lados de qualquer plano que contém uma das suas faces. Ou ainda é quando o segmento que liga dois de seus pontos está sempre contido nele.
  • 8. Dos poliedros abaixo quais são não convexos (côncavos). Veja-os com um clique. Justifique
  • 9. Agora identifique os poliedros que são convexos, justificando. Confira com um clique.
  • 10. • A nomenclatura de um poliedro convexo é dada de acordo com o número de faces. A tabela a seguir mostra os nomes dos principais poliedros convexos.
  • 11. ELEMENTOS DE UM POLIEDRO: • Cada poliedro é formado pela reunião de um número finito de regiões poligonais planas chamadas faces e a região do espaço limitada por elas. • Cada lado de uma dessas regiões poligonais é também lado de uma única outra região poligonal. E cada lado de uma região poligonal, comum a exatamente duas faces, é chamado aresta do poliedro. • A intersecção de duas faces quaisquer ou é um lado comum, ou é um vértice. Cada vértice de uma face é um vértice do poliedro.
  • 12. Vértice/“bico” Face/polígono aresta
  • 13. • Nos poliedros apresentados acima vamos, para simplificar nossa escrita, chamar os vértices, as arestas e as faces de V, A e F, respectivamente. Com os dados obtidos dos poliedros dados confeccionamos a tabela a seguir: Complete a última coluna! O que você observa?
  • 14.  OBSERVAÇÕES: 1) Na tabela apresentada observa-se um fato interessante: o valor na última coluna é constante, 2. Este fato é válido para qualquer poliedro convexo e é conhecido como RELAÇÃO DE EULER. Leonhard Paul Euler* (pronuncia-se "Óiler“ - Basiléia, 15 de abril de 1707 – São Pesterbugo, 18 de setembro de 1783) foi um matemático e físico suíço é autor de contribuições importantes em todas as áreas da Matemática e da Física-Matemática do seu tempo. (“o mestre de nós todos”, como lhe chamava Laplace)
  • 15. 2) Existem poliedros não-convexos que satisfazem a relação de Euler: Poliedro 1: Poliedro 2: Podemos afirmar que:
  • 16. Aplicando a Relação de Euler • Um poliedro convexo possui 4 faces triangulares todas regulares. Quantos vértices esse poliedro possui? Resolução: Como o poliedro possui 4 faces triangulares, então: 4 (faces) X 3 (arestas de cada face) = 12. Cada aresta foi contada duas vezes, portanto, temos: 2A = 12 A=12/2 A=6 Como o poliedro é convexo vale a relação de Euler: V–A+F=2 V–6+4=2 V–2=2 V=2+2 V= 4
  • 17. DESAFIO 1) Um poliedro convexo possui 20 vértices e de cada um deles saem 3arestas. Calcule o número de arestas e o número de faces desse sólido. 2) Arquimedes descobriu um poliedro convexo formado por 12 faces pentagonais e 20 faces hexagonais, todas regulares. Este poliedro inspirou a fabricação da bola de futebol que apareceu pela primeira vez na copa do mundo de 1970. Quantos vértices possui esse poliedro?
  • 18. • Há uma infinidades de poliedros. No segundo slide desta apresentação podemos observar alguns. • Porém existem poliedros que possuem algumas características especiais, os apresentados no primeiro slide, lembram das formas geométricas? • Relembremos:
  • 19. Poliedros de Platão
  • 20. Porque Poliedros de Platão? Quem foi Platão? • POLIEDROS DE PLATÃO SÃO POLIEDROS REGULARES. – Poliedro Regular é aquele que: • suas faces são polígonos regulares; • de cada vértice do poliedro sai o mesmo número de arestas. • PLATÃO de Atenas (428/27- 347 a.C.) foi um filósofo grego: Acredita-se que seu nome verdadeiro tenha sido Aristocles; Platão era um apelido que, provavelmente, fazia referência à sua característica física, tal como o porte atlético ou os ombros largos, ou ainda a sua ampla capacidade intelectual de tratar de diferentes temas. Πλάτος (plátos) em grego significa amplitude, dimensão, largura. Sua filosofia é de grande importância e influência. Platão ocupou-se com vários temas, entre eles ética, política, metafísica e teoria do conhecimento. Discípulo de Sócrates, fundador da Academia e mestre de Aristóteles. • Polígono Regular tem todos os lados e ângulos internos congruentes.
  • 21. POLIEDROS REGULARES • tem todos os lados e ângulos internos congruentes
  • 22. Os antigos gregos tinham conhecimento da existência de apenas cinco poliedros regulares, este fato os impressionou de tal forma que os Pitagóricos e, mais tarde, Platão, construíram as suas teorias cosmogônicas, associando aos cinco poliedros regulares a constituição fundamental da natureza. É por este motivo que os poliedros regulares são também denominados sólidos platônicos. Além disso, ainda defendia uma outra teoria. Defendia que o mundo só poderia ter sido feito a partir de corpos perfeitos. Mais tarde descobriu que podia existir mais um sólido geométrico regular e deu-lhe o nome de dodecaedro que representava o universo. • Em sua obra intitulada “Timeu”, Platão descreve o tetraedro como “elemento e origem” do fogo, o octaedro do ar, o icosaedro da água, o cubo da terra, enquanto o dodecaedro representa a imagem do universo no seu todo: “permanecendo uma quinta combinação, que Deus utilizou para o desenho do universo”. • Foram também encontrados modelos de poliedros regulares em civilizações anteriores à grega; o seu fascínio, ligado quer à harmonia das proporções quer às propriedades matemáticas, continuou a inspirar artistas e cientistas até aos nossos dias.
  • 23. Na cultura etrusca, os dodecaedros tinham também um significado religioso e foram utilizados como dados na Itália romana. No Renascimento, os poliedros regulares constituíram um ótimo tema para a realização de estudos de perspectiva: podemos encontrá-los em obras de Paolo Uccello, Piero della Francesca, Albrecht Dürer, Leonardo da Vinci, Luca Pacioli e Leonardo Pisano (o Fibonacci). • Em 1595, Kepler acreditou “ter penetrado nos segredos do criador” ao elaborar um modelo do sistema planetário (que posteriormente se viria a revelar errado) utilizando os sólidos platónicos para descrever as distâncias entre as órbitas elípticas dos seis planetas conhecidos naquela época (a figura abaixo da direita foi retirada do “Mysterium Cosmographicum” de Kepler). • Também a natureza nos revela exemplos de poliedros regulares: alguns cristais, os vírus, que têm muitas vezes forma icosaédrica, ou simples organismos vivos como os radiolários, … Texto original (italiano): por Cristina Vezza
  • 24. Poliedros: podemos imaginar que existe uma infinidade, mas quantos poliedros de Platão existirá? • Aparentemente é possível construir poliedros regulares com quantas faces desejarmos. Quantos poliedros regulares é possível construir? Para responder esta pergunta vamos recordar dos polígonos regulares e, com eles construir poliedros. Utilizando régua e compasso a construção de polígonos regulares se torna uma tarefa fácil. • Para isto é preciso lembrar a medida do ângulo interno ou externo de cada polígono.  O triângulo eqüilátero possui ângulo interno de 60º. Se o interno é 60º o externo é 120º.
  • 25.  O quadrado: ângulo interno mede 90º e o externo 90º.  Para construir o pentágono basta lembrar que: Logo o ângulo externo de um pentágono é 360º÷5 = 72º. E o interno é 180º - 72º = 108º.
  • 26. Assim para construir qualquer polígono regular basta dividir 360º pelo número de lados, pois todos os ângulos são todos congruentes.
  • 27. Para construir um poliedro precisamos de um estoque de polígonos regulares. Obs. : Para podermos unir as faces, vamos fixar um comprimento para os lados de todos os polígonos de por exemplo, 6 cm. CONSTRUINDO POLIEDROS: Para perceber as limitações da construção de polígonos regulares ou não. Precisamos então construir o primeiro vértice (bico), que será necessário no mínimo três polígonos para formar um bico (ângulo poliédrico). E os outros bicos:  A escolha de polígonos para formar o primeiro bico não é totalmente livre. Não conseguimos formar um bico com seis triângulos eqüiláteros.
  • 28.  Nem com quatro quadrados, conseguimos construir um bico:  Nem com cinco hexágonos:
  • 29. Nesses casos, a soma dos ângulos internos dos polígonos totalizam 360º, formando um ângulo plano, e não um bico (ângulo poliédrico). Se tentarmos formar um bico com o heptágono ou com o octógono, veremos que os ângulos totalizam mais que 360º, não formando assim um bico. Então para formar um ângulo poliédrico (bico), precisamos reunir pelo menos 3 polígonos e a soma dos ângulos internos não deves ser inferior a 360º.  Portanto para construir poliedros regulares, com bicos idênticos e polígonos regulares, é possível utilizar o triângulo, o quadrado e o pentágono.
  • 30. Mãos a obra!  Com três triângulos formamos o primeiro bico e utilizando quatro triângulos construímos o Tetraedro Regular:  Já formando o primeiro bico com quatro triângulos regulares e completando os demais com triângulos regulares obteremos o Octógono Regular:
  • 31.  Ainda é possível formar o primeiro bico com cinco triângulos, e completando os demais com triângulos teremos o: Icosaedro Regular (20 faces):  Já utilizando quadrados é possível juntar apenas três deles, pois com quatro não formamos um bico, ma sim um ângulo plano. Completando o primeiro bico com outros quadrados, teremos o: Hexaedro Regular ou Cubo:
  • 32.  Reunindo três pentágonos, e completando cada um dos bicos com pentágonos, obteremos o: Dodecaedro Regular:  Obs. : Com hexágonos obteremos apenas uma trilha. Como os ângulos internos dos heptágonos, eneágonos, etc. totalizam mais de 360º não se pode formar um bico.
  • 33. Portanto só é possível construir cinco tipos de poliedros regulares: – usando pentágonos, somente conseguimos construir o dodecaedro; – usando quadrados, somente é possível construir o hexágono; – usando triângulos, é possível construir o tetraedro, o octaedro e o icosaedro.  Logo não existe mais poliedros d e Platão do que os dedos de uma mão!
  • 34. TETRAEDRO Este poliedro é formado por quatro triângulos equiláteros. E em cada um dos vértices encontra-se o mesmo número de lados (arestas). O prefixo tetra deriva do grego e significa quatro (quatro faces). HEXAEDRO O cubo é o único poliedro regular com faces quadrangulares. Cada vértice une três quadrados. O cubo tem 6 faces, pelo que também se pode chamar de hexaedro (hesa significa seis em grego). OCTAEDRO As faces deste poliedro são também triângulos equiláteros, mas em cada vértice reúnem-se quatro triângulos. Assim, o total das faces é oito, pelo que o poliedro se chama octaedro (octa significa oito em grego). DODECAEDRO O dodecaedro é o único poliedro regular cujas faces são pentágonos regulares. Em cada vértice encontram-se três pentágonos. Assim, este poliedro é formado por doze faces e daí ter o nome de dodecaedro (dodeca significa doze em grego). ICOSAEDRO Neste poliedro são cinco os triângulos equiláteros que se encontram em cada vértice, perfazendo vinte faces. Por isso, o poliedro se chama icosaedro (icosa significa 20 em grego).
  • 36. O fascínio dos poliedros (quer na harmonia ou nas propriedades matemáticas), continuou a inspirar até a atualidade numerosos matemáticos, artistas plásticos, designers e arquitetos, propondo várias formas de os construir e também de os representar. Podendo ser encontrados em construções, nas obras de Leonardo da Vinci, Leonardo de Pisa (o Fibonacci), nas obras de Ester, entre outros. Sendo também a principal fonte de inspiração do chamado origami modular.
  • 38. Construção de um tetraedro regular com canudinhos Um metro de linha nº 10; Seis pedaços de canudo de mesma cor e comprimento (sugiro 8 centímetros). Tome o fio de linha, passe-o através de três pedaços de canudo, construindo um triângulo e o feche por meio do um nó. Agora, passe o restante da linha por mais dois pedaços de canudo, juntando-os e formando mais um triângulo com um dos lados do primeiro triângulo. Finalmente, passe a linha por um dos lados desse triângulo e pelo pedaço que ainda resta, fechando a estrutura com um nó. Essa estrutura representa as arestas de um tetraedro regular e as etapas intermediárias de sua construção estão representadas abaixo:
  • 39. Resolução/Desafios 1) Smole/Diniz 2) Dante-3ª série
  • 40. * Entre outras obras, Euler é ainda o criador da teoria dos grafos, que teve origem no seu artigo sobre o problema das sete pontes de Königsberg. O problema consistia em passear pelas ruas da cidade prussiana de Königsberg (a atual cidade russa de Kaliningrado) passando cada ponte uma e uma só vez de maneira a terminar no ponto de partida (veja-se o mapa abaixo). Euler provou que o problema não tem solução.
  • 41. BIBLIOGRAFIA – Smole, Kátia Cristina Stocco/smole, Maria Inez de Souza Diniz – Matemática, ensino médio, v. 2, 2ª série, 5ª ed., São Paulo: Saraiva, 2005; – Dante, Luiz Roberto – Matemática, ensino médio, 3ª série, 1ª ed., São Paulo: Ática, 2004; – Machado, Nilson José – Os poliedros de Platão e os dedos da mão, São Paulo:Scipioni, 2000. (Coleção Vivendo a matemática); – Enciclopédia do origami, Robinson, trad. Assunção, Joana, 1ª ed, Lisboa: Quarto Publishing, 2006; – http://www.eb23anadia.rcts.pt/ProjectoTurmas/ProjMatematica5F/So lidos%20Geometricos.htm; – http://www.atractor.pt/simetria/matematica/docs/regulares2.html.