O documento define e descreve os elementos básicos de um cone circular, incluindo sua base, vértice, eixo, geratrizes e altura. Ele também discute as propriedades de cones circulares retos e oblíquos, bem como fórmulas para calcular a área lateral, área total, volume, ângulo central e relações entre os elementos de um cone circular reto.

1. Cones Circulares
2°Ano “D”
David Levi

2. Definição
Caracterizado por uma base circular e por
todos os pontos formarem segmentos de retas
com um extremo nessa base e outro extremo
em um mesmo ponto de
vértice, fora da base.
Base circular (C)
Vértice (v)

3. Elementos de um cone circular
Base do cone, como o próprio nome denota, é
a estrutura principal do cone, a partir da base
sairão às demais estruturas.
Vértice do cone é o ponto em comum de
encontro de arestas ou segmentos.
Eixo do cone é uma reta que liga o centro da
base à vértice do mesmo.

4. Elementos de um cone circular
Raio da base, como o próprio nome denota, é
o raio da base circular.
Geratriz é todo segmento de reta cujos
extremos são à vértice e um ponto da
circunferência da base.
Altura do cone é a distância entre o vértice e
o plano da base.

5. Elementos de um cone circular
geratriz
V
base
C
α
O
r
altura

6. Secções de um cone circular
Secção transversal é qualquer intersecção no
cone com um plano paralelo a base.
secção transversal
Obs: Toda secção
transversal é um
círculo, assim
como a base.

7. Secções de um cone circular
Secção meridiana é quando há uma
intersecção que passa pelo vértice e pelo
centro da base.
Obs: Toda secção
meridiana é um
triangulo.
Secção meridiana

8. Classificação dos cones circulares
Cone circular reto ou cone de revolução é
todo cone circular cujo eixo é perpendicular
ao plano da base, ou seja, formam ângulo de
90° e no qual é possível criar-se a partir da
rotação de 360° de um triângulo retângulo.

9. Cone de revolução

10. Propriedade do CCR
Quando um cone circular reto (ou cone de
revolução) recebe um secção meridiana, há a
formação de um triângulo isósceles (triângulo
com dois lados iguais).

11. Cone equilátero
Quando um cone circular reto recebe uma
secção meridiana e o resultado é um triângulo
equilátero, chamamos de cone equilátero.
Obs: Em todo cone equilátero, a geratriz é
equivalente a 2 raios da base; logo, g=2r.
r
r
g = 2r 2r2r
2r

12. Classificação dos cones circulares
• Cone circular obliquo é quando o grau entre o
eixo e a base circular é menor que 90°.

13. Relações entre elementos de um CCR
Pelo teorema de Pitágoras, podemos
relacionar os elementos de um cone circular
reto, da seguinte forma:
g²=r²+h².
r
h
g

14. Área lateral de um CCR
Área lateral (Al) a área da superfície formada
pela reunião de todas as geratrizes do cone
após a planificação do mesmo, em que o raio
e o arco do setor circular medem g e 2πr,
respectivamente.
g
g
2πr
θ

15. Área lateral de um CCR
Logo, Al pode ser calculado pela regra de três:
Logo, concluímos:
Al = 2πr . πg²
2πg
Al = πrg
2πg πg²
2πr Al

16. Área total
Área total (At) é a soma da área lateral com a
área da base:
Logo:
At = πrg(g+r)
At = πrg + πr²
g
g
2πrr
θ

17. Ângulo Central
A medida θ, em radiano, pode ser definido
como: a inclinação do ângulo que corresponde
a abertura da superfície lateral e pode ser
obtida pela seguinte regra de três:
θ = 2πr . 2π rad
2πg
2πg 2π
2πr θ

18. Ângulo Central
Logo, concluímos:
Como 2π equivale a
360°, podemos definir
a seguinte formula
para calcular θ em graus: θ
θ = 2πr rad
g
θ = 360°. R
g

19. Volume de um Cone Circular
• O volume V do cone circular é igual a ⅓ do
produto da área de sua base por sua altura.
V = ⅓ . Bh
V = ⅓πr2h
r
h

20. Princípio de Cavalieri
 Segundo o princípio de Cavalieri, os
sólidos têm volumes iguais. O volume V
da pirâmide é compatível com o volume V
do cone.
V = ⅓ . Bh V = ⅓πr2h

21. Tronco de CC de bases paralelas
Quando um plano α está paralelo a base de
um cone circular C separando-o em 2 sólidos,
sendo um cone C’ e o outro
um tronco de cone
circular de bases
paralelas.

22. Tronco de CC de bases paralelas
Em um tronco, temos:
 As partes planas da superfície do tronco são as
bases do tronco.
 A distância entre as bases é a altura do
tronco.
 A parte restante da geratriz do cone passa a
ser geratriz do cone.

23. Tronco de CC de bases
paralelas
 O volume do tronco é a diferença entre os
volumes dos cones C e C’.
 A área lateral do tronco é a diferença entre as
áreas laterais dos cones C e C’.
 A área total do tronco é a soma de sua área
lateral com as áreas das suas bases.

24. Tronco de CC de bases paralelas
base menor
base maior
tronco T
geratriz
cone C
cone C’
altura

25. Cones semelhantes
Quando um plano α realiza uma secção
transversal, gera-se 2 cones semelhantes.
Eles tem o mesmo ponto de ligação (vértice),
porém suas bases C e C’ são diferentes, no
entanto, eles são semelhantes.

26. Cones semelhantes
O
O’
C
C’
r
h
r’
h’
v
g
g’