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Vamos construir vários polígonos de vários tipos.
Polígonos?
Sim ... figuras p...
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Os poliedros podem
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São convexos
quando se encontram
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Falar de poliedros, matematizar, filosofar?
Chegamos em outro estudo importante !!!
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E trazendo estes estudiosos para a
matemática e especialmente para os sólidos.
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Os poliedros de Kepler-Poinsot são poliedros
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  1. 1. EDITORA PORTIDEIAS
  2. 2. EDITORA PORTIDEIAS
  3. 3. EDITORA PORTIDEIAS Imagine esta construção: Vamos construir vários polígonos de vários tipos. Polígonos? Sim ... figuras planas. São excelentes para fazermos experiências de construção de POLIEDROS. E para construção de poliedros são necessários polígonos? porque? Lógico! Chegamos ao ponto: POLIEDROS são sólidos limitados por polígonos (que são as faces de um poliedro. Vamos continuar a construção; É possível visualizar um poliedro a partir da armação construída pelas suas arestas. Os vértices, as arestas e as faces de um poliedro dizem-se os elementos do poliedro. Capitulo 1
  4. 4. EDITORA PORTIDEIAS Os poliedros podem ser Convexos ou Côncavos. São convexos quando se encontram todos para o mesmo lado em relação ao plano de qualquer uma das suas faces, ou seja, quando as suas faces deixam sempre as demais no mesmo semi- espaço. Caso contrário, os poliedros dizem-se côncavos. Exemplo de um poliedro côncavo: Uma relação válida para todos os poliedros que iremos referir neste trabalho, é a Relação de Euler, descoberta pelo matemático suíço Euler: n.º faces + n.º vértices = n.º arestas + 2 Em alguns poliedros, todas as faces são polígonos regulares geometricamente iguais e em cada um dos seus vértices encontra-se o mesmo número de arestas. A estes poliedros chamamos Poliedros Regulares. Estes são também conhecidos por Sólidos Platónicos. Capitulo 2
  5. 5. EDITORA PORTIDEIAS Falar de poliedros, matematizar, filosofar? Chegamos em outro estudo importante !!! Já construímos, agora vamos viajar.... Conhecer os filósofos, matemáticos que tanto contribuíram para estes conhecimentos: Platão foi um filósofo e matemático do período clássico da Grécia Antiga, autor de diversos diálogos filosóficos e fundador da Academia em Atenas, a primeira instituição de educação superior do mundo ocidental. Johannes Kepler foi um astrônomo, matemático e astrólogo alemão e figura-chave da revolução científica do século XVI. Louis Poinsot foi um matemático francês. Nascimento: 3 de janeiro de 1777, Paris, França. Falecimento: 5 de dezembro de 1859, Paris, França. Capitulo 3
  6. 6. EDITORA PORTIDEIAS E trazendo estes estudiosos para a matemática e especialmente para os sólidos. Os sólidos de Platão também são denominados de poliedros, pois são formados por faces, arestas e vértices. As faces são constituídas por seções de planos, considerando que entre duas faces temos as arestas, as quais possuem em suas extremidades os vértices. Platão foi um filósofo grego, que viveu entre os séculos V e IV a.C., e estabeleceu importantes propriedades em alguns poliedros. Os poliedros de Platão possuem características próprias e se enquadram nas seguintes condições: O número de arestas é igual em todas as faces; Os ângulos poliédricos possuem o mesmo número de arestas; Nos sólidos considerados poliedros de Platão vale a relação de Euler (V – A + F = 2) onde V = vértices, A = arestas e F = faces. O prisma a seguir pode ser considerado um Poliedro da Platão, pois se encaixa nas condições descritas anteriormente. Capitulo 4
  7. 7. EDITORA PORTIDEIAS Os poliedros de Kepler-Poinsot são poliedros regulares não convexos. Existem apenas quatro destes sólidos: pequeno dodecaedro estrelado, grande dodecaedro estrelado, grande icosaedro e grande dodecaedro. Para considerá-los como poliedros regulares é preciso admitir que nesta categoria as faces podem ser polígonos regulares não convexos e que estas faces podem se intersectar. Johannes Kepler apresentou dois deles – pequeno dodecaedro estrelado e grande dodecaedro estrelado – em seu trabalho Harmonice Mundi, em 1619. Embora ilustrações desses sólidos já existissem, Kepler recebeu os créditos por ser o primeiro a considerá-los matematicamente. Em 1809, Louis Poinsot descreve os quatro - pequeno dodecaedro estrelado, grande dodecaedro estrelado, grande icosaedro e grande dodecaedro - na sua obra Polygons and Polyhedra. Assim como no caso dos poliedros descritos por Kepler, há ilustração do grande dodecaedro anterior à obra de Poinsot. Esses poliedros passaram, então, a ser conhecidos como poliedros de Kepler-Poinsot. Portanto, são nove os poliedros regulares, os cinco poliedros de Platão e os quatro de Kepler-Poinsot. Cauchy provou que são apenas estes os poliedros regulares. Capitulo 5
  8. 8. EDITORA PORTIDEIAS No pequeno dodecaedro estrelado e no grande dodecaedro estrelado as faces são pentagramas (Figura 1). No grande icosaedro, as faces são triângulos e no grande dodecaedro, as faces são pentágonos (Figura 2). Como já falamos anteriormente, o prisma a seguir pode ser considerado um Poliedro da Platão, pois se encaixa nas condições descritas anteriormente. Diante do exposto, podemos concluir, partindo do princípio que os objetos que nos rodeiam apresentam as mais diversas formas, ocupando um espaço em um Capitulo 6
  9. 9. EDITORA PORTIDEIAS certo lugar e tendo uma forma imutável, chamamos sólidos. Uns limitados por superfícies planas - poliedros, como já falamos anteriormente, outras curvas e outras ainda planas e curvas. Exemplos de sólidos: cubo, prisma, paralelepípedo, pirâmide, cone, cilindro e esfera. Se os poliedros são delimitados por regiões planas que são os polígonos podemos que os cones, cilindros e esferas não são poliedros. Sólidos de Platão ANEXOS
  10. 10. EDITORA PORTIDEIAS Sólidos de Kepler-Poinsot
  11. 11. EDITORA PORTIDEIASSólidos de Kepler-Poinsot

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