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Gpílulol. Geomer              aãna/írkãrponro                         Êrel.  2. Demonstrc o ÍângLro                que    ...
14                                                                                        . tomexto kaçóe5                ...
.CâpituloI GeomerÍladèlítka:      Ponanto:.lq=            *,     ,o                       ,o =r=                     ".   ...
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22                                                                                                  . (omeÍro Ap          ...
:    CapÍtulo 6!omèÍaanâtíriGrpontoercra         1        outta resolução:                                           0s po...
MatemiÍie CorteÍtoAplkàçôes                                                                                               ...
(apíÌulol. 6úÍìetdâanaíÌtc:ponroerch       Snrmasegmentáriada equação da reta   Consideremos retaÌ que não pâssa (0,0),int...
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Apftulol . GeoneÍia                 daÌítjor                        p0nÌo                           ereta 2ã)A mesma pode ...
Cap.1 geometria analítica-ponto e reta
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  1. 1. t GeemefrÍo enalÍiÍca: pantoercta tabeleceu Viii:ü;xíïi"--"rir relaçõesentrecurvasno plano e equações algébricasem daas vaúáveís.As propried.ades geométricasdas curvas fo- culares,ond,e cadapontof,ca perÍeitamehte r^m, assim,traduzidas" meiode equa- por identif,cado por sua poiíçã,o.Imagine que ções osresultados álgebra e da foram ínter- vocêqueira índícar oncledeveser colocado pretadx geometrícawent4nós E ganhamos um pregonumaparede- bastadizer a qae conl ísso, poís temosmaitas vezes maisía.ci altara eledeveestardo chãoe qual suadís lidade com a Álgebra ou corna Geometría lànciaa uma paredelaLeral. Fazendo isso, glaçasa essa comprees^o,e a pa.ssa.gelnd.e voeê estaráaplicando ewttctmente púncí- o uma representação (algeb .a oa geométuí-pío de representação pontos no pl,ano ca) àoatrn toma clarososconceítos dos mate cattesíat1o a cacía - posíçã,o plano fica no mátícos. associ1.do ponto. am Descartes estova,acima de tado, empe- Foi RenéDescartes (1596-1650), filóso- nhad,o descobrír em umafórmala quedisct-fo famoso por suafrase: "penso,logoerísto: plinasse mciocinio unifcasse conheci. o e o que, percebendo essaconespondêncía, es- mento,Sua obut maisÍamosa.,o Discurso do metodoparabem ccinduzìr razàoa e procurar a verdadenas ciêÍrciag de 1637, contém Lrèsapëndices ilustramo "mè- que todo" com exemplospráticos. LÌtu desses apêndices, chamadoA Geomelúra, contém as ídéias básícasda Geometríaanalítica
  2. 2. VamosÍecordaf âp icação representação pontosno a dê de (cham anteriorm ntedc Geometri panocârtesiano. A lustraçãoabaixo mosÍaumasaa ceaua. ada e a cartesi ).Ësse ana simples ndiceécon- apé siderado alguns por estud iosos "maioÌ o avaço, em um sópasso,11o progresso d.as cíêncías eratas: Oufro estudioso Matenàtica que da r colúríbaiu p6ríí o desenvolúmento da GeometrÌa analtticaíoi ofrancèsPiene Fefthat (1601- 1665). Sua cohttibuiçào nes.e Lampo numtertodenominado eslà lntroduçãoaoslugaresplanose sólidos pot escrito voltade 1636.porém publi-i a)Locallze mesaque esténa terceiía a fileka, partirdã parede a quecontêm lousa/ naprimerãíle ra, partiÍdêparede a e a que cado14 anosdepois suamorte.Assím d,e contéma poíta,marc.ndo,a coÍì um X. aomoDecartes, Fermat associou eqaa- b) Representa asmesas ndo num p ano, acoÍdo de com oesque- ções curvasesuperíícíÊs, a maa seguiÍ, rnãrcou suacorna letÍap. ExplÌque PaLrlo a como Ernbora comuma idëiadeque seja estásltuada mesa Pau (vocêpodetomarcornoexem a de o ploa maneiÍa descrita Ìtern no a). a Geometuía analítíca é uma redaçãa da Geometria Algebra, escritos à os de Descartes mostram que saapreocupa- trtrtr ção era a. cottstraçãogeométrící e apossibílidade encontrar corres- d,e um trn n 2epondente geométrícoàs operações al- ntr trgébricas.Já com rclação a Ferma.t,o usode coord,eadassurgeda aplícação n n tr & da Álgebru da Renascença proble- a c)Seconslderarmos eÌxos, coincjdÌndo a pãredêda dois um corn mas geométrícos Antíguídade. Isso da lousa outrocorÍìa parede porta, e da sendo inteÍsecção sua a mostra qae os caminhos percorridos oílgerndessesisterna êlxos, repreçentarmos de e a posjçãô depor eles foram índ,ependentes, século O cada por mesa metode parordenado n), Lrrn (m, noquaméaXVIIÍoi, assim, distância parede ponaà mesa n a distância paÍede da da e da marcado um gran- por da Ìousa mesa, uaI par corresponderá çãoda rnesã à q à pos dede avançona Matemátícaao ser esta Pau o/desligadad,asimplesaplícaçao às ne- d) lvlaÍque, esquemã no acÌma, mesade Rosa, a representadacessídades econômíca,s e tecnológíca.s, poÍ (1,3)e dê Martã, a repÍesentadd (2,4). por Começaremos estudoda Geome- otria analítíca, nestecapítulô,por seuselementos púmítívos, o ponto e a reta.,obseruaqdo como a recarsode proces- sosalgéb cos ímprime uma precísãoqasmedídas noscá.lcalos e coL- e nãotrada na Geometriae como, por oatrolado, a representuçAo geométríca torna ltconcfetasas expressões algébrícas,namaíoría das wzes Ìão d,bstratas. I
  3. 3. 10 . (onterto ttatemi,rka &Aptk4ôêsff? sistemacanesiano ortogonal Existe umacorrespondência biunívoca entreospontosde plânoeoconjuntodos um paresordenãdosde númerosreais, é,a cada isto pontodo planocorresponde únicoparoÍdenado um (x,y)eacada parordenado y) está (x, associadoum únìcopontodoplano.Arelação biunívocâ é única, não depende sjstema eixos do de onogonais adotado. Para estabelecer dessas uma correspondências biunívocas usados são doisêixos ortogonais(eixoxê eixoy)queíotmam o sistema cattesianoottogonol, Aintese<çáo dos eixosx e y é o ponto O, chamadode o/iqemdo sjstema.Exemplo: Ao pãrordenado números de reâis:. (0,0)estáassociado ponto O (origem), o I. (3,2)estáassociado ponto Â; o. ( 1,4)estáâssociâdo ponto B; o. ( 2, -3)está âssociado ponto C; o. (2,-1) estáâssociâdo ponto D. o Considerando ponto Â(3,2),dizemos o que o número3 é a coor-denada ou a abacÍt9 do ponto Aeo númêro2 é a coordenada x youa oidênâdado oonto A,Observaçôês:1.) Oseixos e y chama seeixos x m coordenadosdividem plânoem quâtro e o regiõeschamadâs quddrontet cujaidentìÍcação feitâconforme fìgura. é a O sinalpositivoou negativoda abscissâ dâ ordenada e variade acordo com o quadrante.2q) Seo ponto P pertence eixox, suas ao coordenadas (a,0),com a C lR. sáo31) Seo ponto P pertênceaoeixoy,suas coordenadâs (0,b),com b € lR. são O pontoOtO,0l pertence doiseixos, aos4ã) SeopontoP penence bissetriz quadrantes à dos Ímpares, coordenadastêm suas ordenãdô iqualàabscissa, ou seja, dotipo{â,â)coma e R. são5?) Seo ponto P pertence bìssetriz à pares, dosquadrantes suascoordenadastêm abscissa ordenada e opostas, òu seja, dotipo (a,-a)com â c lR, são
  4. 4. .Qpílülo1 GqgmeÍia ponto analÍtka: êÍeli tl propostos Exercí<ios l.obseÍÌe a ÍguÍa e d"tetn ê oò porÌos o- sô,è. ce 3. Nofetângu daiigura, = 2aeBÌ = a. Dêascooroe- o ÃE suâs cooÍdenadas nadas véftices rcünguo dos do clc d)D 4. 0 èlo dek,. ab"roo o oo-.o " oLe P . 2k pele- t ceà bss€trz quadÍantes dos ímpares, é: a) .pl -r. r dr "),+ + "r+ 5. O Éio da cìrcunfeÉncia f- da glrmrnede undadesQuais 2 sãoas coordenadês pon dos tosA,B,CeD? 2. ÍVlarque sisternâ coofdenadas nurn de cartesianas orto- gonais pontos: os a)Atr, íl Nt0, -ìl -21 6" Sabendo P[a b], comab > 0, emqu€quadrante que s€ blDtO,3) d ci4, 4) cl qt3 :2). encontm ponto o P] hlM(-4,ol dt-a---tã D Rt3, o) 7. Sabendo P[2m+ 1. -3rn 4] peftence terceifo que ao e)P(-1, 5l quadEnte determin€ possiv€is os valofes de m feasffil Distância entredoispontos Dadosdois pontos, e B, a distânciâentreeles,que seráindicadapor d(A, B),é a medidado segmentodeextremidâdesAe B,Exemplos:te) 3e) d{A,B) = 3 1:, d (A , B )= 2 + 4 : 6 B(-2,4) l. L 3 ot-r,,rf " d ( 4 8 ) = 3 + 2 :s d(A,B):4 1=3
  5. 5. 12 . ConreÌro&Ad ÀlatemáÌ.à (àóe5 : ld(4,B)]] 3:+ 2?+ d(4,B): 14J [d(4,8)]z 3: + 5, + d(A, : út B) - Podêmog que indica â dìstânciã determinaruma expressão entre A e B, quaisquerque sejâmA(xa,ya) yB).e B(xB, OtriânguloABCretânguloem é C,logopodemos a relação Pitágoras: usar de (xB xÀ): {yB ya)? d(4, B) = úx,ld{A,B)1?: + - 3 xJ +(y, y^fObseryaçâo: expressão A obtidâpâraâ dìstância €ntredoispontosA e B independe localizâçáo e B,ou seja, da deAvaleparaA e B quaìsquer, Vejamos 29,49e 6-Õ no exemplos analisados anteriormente:2 e ) a (2 , - r ) e B(3 ,-1 )rd (A ,B ):ú 3 (r)I + ( r ) 1r ) l = ,6+ C = ús:s4q) a (2 , 1 ) e B ( -2 ,4 )+a i A e l :l i i2 tr2 )F+ ( a lf = 6 + * = r ç= :6q)  (2 , 2 ) e B ( 1 ,-3 )+d (4 ,B ):,fr 2 )F +I( - 3) - 2) l= !6t+ ( - sf ( = v5t Concluímos, então,quea distância pontos e B quâisquerdo entredois A plano, yB), talqueA(xa,ya)B(xB, é: e =arn. = o(,, - er ,t * tv; vJ @_, para I veirìque ostfes I ourÍosexemPros. ,, I 1. Umporìto 2) é eqüid P(a, stanre ponros dos A[3, èg 6a+/+1=4 4a+ / +4+ B[2,4) Calcue abscssa ponto a do P. +-6a+4a=4+4 I t= Resoluçâol ) 2a:-2..2a=2:+a=1 Como é eqüidistante A € B, d€vernoster: P d€ = dtP,Bl = Verifcandol dtP,A) = Jt3 - aÍ + (r z) = .,1t2 â) + (4 2)1 .+ =1 G- a f + r =út âf+4 = =[3 a],+l =(2-a),+4= Então, abscjssa ponto é ] a do P
  6. 6. Gpílulol. Geomer aãna/írkãrponro Êrel. 2. Demonstrc o ÍângLro que comvénces 2, 4]. A[ Corno : I3 + 52,podernos 65 que afÍrnaf o tánguto Bi 5. ll e ct-6 5)é sósceles. ABCé fetângulo C. em Resolução: p[x, 4. Cons urnponto y] ta queasLtadtstâncaaopon dere UrnÍángulo é isósceles qlandotem dos adoscon to A[3,2) é semprc vezes suad stânc aoponto duas a a gruent€s(med iguaisl. das Vamos calc!af, então, B( 4 ll. Nessâs condçÕes,€ncontfeurnaequação as Ínedidas ados rángLr ÁBC: dos do o quesela sâtisfeita ascoordenadas ponto com do p. Resolução: dtA. = i[.t+ A + 0 B) 4), = Deacordo o pÍoberna, com d€vernosteÍ =" 6+s =" 4 ã = : ú d(P A) = 2d(p B) o! sejê, [dtp,A)], = 4ldtp,Bll, d(4,c) = ít-6 + 2Ì + (5 aÌ = . ,) -t2 ,r_4- 1-J- ll _y.1. = ! i 6 + r = fi =9-6x+xr+4-4y+yz= - =4fl6+8x+x,+ 1 2y+y,)= drB.C- ir 6-cJ 5 -J,- 6 =9.6x1x:+4-4y+yr: =64+32x+4xr+4 8y+4yr+ d(4,Cl = d(B Cl,o trìánguto é sósceres. Como + -3xz- 3y, - 38x+ 4y - 55 = 0 + ABC = 3x+ 3y+ 38x- 4y+ 55 = 0 3. CoJìsideEndo ces osvéft At- t, -3) Bt6,ll eCt2, 5), vefique o rânguo ABC fetângu se é o. 5, A Íìred atrzdeumsegnì€nto é a reta AB forrnâda pelos pontos eqüdstanì que deA€ B. Encontre rclâção uma Resoluçâo: p[x, enÍ€ ascoordenadas y do ponto y), sabendo xe Paru tfânglo fetánguo quadrado !m ado ser o de que ele pertence medatrzdo segrnento coÍn à AB, deve guêlà soma quadÉdos outfos sef dos dos oots. A[3,2]e Bt-2 41. Re6oluçào: dA.Bì -JL6-D tt .3Ì - Jrg--6 SeP[x,y) pedence med à atdzdeAB,então = J6s= t./ãFl,= os dtP A; = 61pBl, ou seja. ldtp All, = ldtp Bll, d ( 4cl = J( 2+ rl, + i 5+31, =!6+4 , = t 3ì, _ t) /r _ ( ._2)) (i _ (_ _Jl. , = + = r: "/iã [.,4ã], =rxr-ox+9+yz-4y14= =x?+4x+4+yr+By+16= diB,c) = ii2 - 6Í + t-5 rlz = !í6-1 36 = + 2x 12y 7=A)2x+12y= Ì êunadas = Jsz.+ (Jsz)" sz = Tnane de€xpTessafâação |as re €nÌre rey.i1tg:Eqr!@< dados E. Ca a dstância ospontos clle entrc @ Quale a d stância ponïoA[cos a, senêJ ao porìto do al A{3 , € Btr,a) dl Mt0, 2l € N [./6, -2J B(sen -cos al? a, bl Et3, e F(3,51 el Pt3, 3l e qi 3,3l -rl I1. Umponto peftenc€ eixo âbscssâs é €qüÌdis P âo d€s e cl Ht-2, 5l e O(0, fl C(-a, 0l e D(0, 0l raredosoonLos .2JeBLt { euatssÍ;o coo. AL a! 3l denadas porìto do P) A tgl Á dstáncia poJìro ]J aoponro do A[a. B[0,2]é guaa [? A aosc"ade - r oorÌoP é -6 e s. ã d stáncE ponro ao " 3,CacLreovaorda âbscssã a q0 3) e J7a. DercÍn d o-oelaoa po-ro. -F oo
  7. 7. 14 . tomexto kaçóe5 Matemátka &Ap Ì 3" Consderc um pontoP[x,y] cujad stâncÌa ponto ao l :1,Demonstfe uÍntriângulocom vértices q!e A[0 5], A[5 3] ó sempíeduasvezesdstância Pao ponto a de Bt3,-21 e Ct-3, -21 é isósce e calcu o seu €s e Bí --. e5)dsco d çoes, escÍe/a 1a eq-cÉo J perímetÍ0. quedeve satisfeita ascooÍdenadasponto sef corn do P.L,l!s!ls jlvEqr Sejam g e Ptrêspontosdo A, plano que cartesìano,tais PdivideosegmentoiiB numarazão = rnadarazão seção. dè Observe figura nâ que âbaixo ostÍângulosAPCPBDsão e semelhantes. PB Então,temosì AP X I_X P YE- Y pB xp -xg yp-ysCoordenadas pontomédiode um segmento reta do de Dadoum segmento íeta ABtal que A(xÀ, e B(xB, vamosdeterminar coordênadãs M, o ponto de yÀ) yB), as demédiode A-B. À(r"yJ O ponto médioé o ponto divisorquedivideo segmento duaspârte5 em Sendo e B os pontosextre iguais. Amosdo segmento com ponto médioM,teremos4 A-8, = L Ponanto: t!18 ;ì;.# =* I. -) = x , - x , = xÁ- xM = 2 xv= x" *" = l!+ ,,= _+- r =. g v : -& -r - y s - yo y*.- 2 yu - y^ - v,- y, &+ - /48 yM - yB * - r - ys yMCoordenadas baricentro um triângulo do de Dôdo triângulo devértjces ya, B{xB, e C(xc, um ABC A(xa, yB) yc),vamos dêtêÊminaras coordenadas baricenío dec, dotriángulo ABC. ladoBc.Então = laj-lL Seja o pontomédiodo M xM y, = &+ " Seja bâricentro Íiânguloquedivide medianã êmduas Go do a AM partes, emoueumaé o dobro outra, da Nesse E = z. caso, GM
  8. 8. .CâpituloI GeomerÍladèlítka: Ponanto:.lq= *, ,o ,o =r= ". 2xM= x Á x c â 3 x c = x a + 2 x M= 3 x o = * o + z Ì o & - cM xc X u -r" " Xu xc = 3xc:xÀ+xB+x.= xn = xot!+x.. *: } j + - r :} 2yM y a- y c+ 3 y c y a+ 2 y M 3 y c y À 2 y s y . = + : = = + }=zv" + 1 Y,- Y Y -Y t n z ys- y.- y,- Y +Y 32 - 3 yc= yo 6. Detemin€ pontornédio Ã8, nossegu M, de nr€sca- Resolução: como nal!a! Y al Ai3,-21 e Bi-t, 6) zz) 1Y. ],enuo. bl Ato,7l e Bi6, 0l - a= - r .= t**= 6ìx= _13 Aí 1 .-Lì" Bí_] ì "] 2 3) | 3/ -. l3+v Resolução: 24=-=13+y=48-y:35 ConsideÉndo yM], M[xM, temos: LoSo, B[-]3,3b1. alx".= - =1=r 8. Caculeoscornpf mentosdasmedanasdeumtfaÍrguo 22 devertces A[2, 6],B(-4 2) e CtO,4l. - ! - = v",= -:= a 22 Mtr,-4) bìr =i :=::? 22- 7+A 7 -1 Yv 22 "(. .i) i)","ft Resohrção: Obseruandoa ÍguÍa,temos: M, é o pontornédio adoA-Bi do M, é o pontomédìo adom; do un triângulo M3 é o ponto médodo tado m Cálcu dascoofdenâdas Mjl o d€ t2 J x= ::= l v.,= r =_ 22 . ïodorriânguto M Í_ ]. Lì 4 2) Cálculo coordenád€sM2i das de 7, Umâdasextrem dadesde urnsegmento o po|ro 0+2 = é *= t A(7, l3) e a ouÌÍa o ponto yl. Sendo ,- triângulo. é Bix, Mt-3,2a) 0 ponto rnédto,deterÍnrne coordenadâs extrerni_ as da 46 dade do segÍnento. B
  9. 9. Ma$mÍka. ontexto Ap & kaçõe5 Cálcu dascoordenadasMs: o de .1:t^ tP ^ - - 04 3 v, v" v t 3l- 2 y)-2i 6-36-3y , -211+3)-3(12- á5)7=30+)?=6 v= :3 - Logo, P(S, 6). Vâmos cacular, agorâ, comprmentos Ínedia- os das Ì U. Seos vélKesde ur InángLlo os pollocAf . l) são Bt 2,3l e C(-4, 2), deteÍnìne cooÍdenadas as do lúediane sendoA(2, e Ms(-2,3): ÃMs, -6) bâfc€ntrc dessetâng!lo. d(A,M3)= {(-2 -2Í + (3 + 6) Resolução: { lvledana sendo 4,2)eM,(1,-l): 6M,, B( dtB. = 10 4I + l-1- 2) = rvlt + =rr5+s = l E i,4ediana sendo õM| C(0,4l e Mi[-], -21: d(c, = ./(-r ol + t-2 - 4y r,1,) - 9. Dados pontosA[5, ]21 € B[]5, 31,deteÍm o ne G:baricenÍo [ponto encontrc med d€ das anas] os ponto Pdo segmentoÂBta quea râzão entre Ínedi âs xo + It + xc sabernos xc = que e :. das APe PBsearouala de 3 Resolução: apz 3 PB3 5 Fazendo y),temos: P[x, I + 3 + r-2 ì 2 2x^x,5x 3 . 3 x 15 .+2t - lb) - 3(5- x)r2x- 30 = 15- 3r- Loqo, coôÍdenádâs barcenÍosão-i as do e: 0u 33 sep, -*. * I. cl +5x=45=x=915. DeteÍm o pontomédio segmento e*rrcmidâ- 18, Numtiárìguo sósceles,aturae a med€na ne do de a rclátivâs à des: bâse segmentos ncldentes. são co Calcule medidã a dâ a)A[-],6) e B(-5,4l âltum isósceles véÊ relatva base de urntriângulo à BC de b)A(r,-71 e B(3, -5) ucesAi5,3), Bt2,21 Ct8,2). e c) A(-r, O e B(5,-2) 19. J.r osraleog"ÍÌo ABCD. M(l -2) e o oonlo e_ de d)A( a, 2) eB(-2,-4) que contrcdasdiagonais e BD.Sabe-se A[q, 3) e AC16. uÍnâ das e*uemìdades um segÍnento o ponro de é 6(6. ) sàooorsvéÍtcesco1sec-ïvos. vel ilueâs Ura A[ 2, -2]. $bendo qle M[3, 2] é o pontomédio dagonàs cortam se mutuamente Íneio, ao dercrmrneas desse s€gmento, caculeas coordenâdas ponto do coofdenadas vértcesC e D. dos B[x,y], queé a oltm extrernidadesêgmento. do 20. Delerm ascoordenadas ponto yl quedivide ne do P(x, o17. Câlcule compÍimentos medianas tÍiângulo os dãs do Apl segÍre_lo 0) e Br7.20ì ìa dzão_ - A[2. cujosvédices ospontosA[0,0), 2) e C(2,4) são B(4, PB4
  10. 10. (ò p i t ülolúeoneüià a n a trÌc à :o o n t0 ê rp Ìà 17 .tïïli;."::.ï:",:",T:.:":.p^"::ï.1,-"-dlll"1" Deterrnine o bâficenrrc dotÍiânsurovértÌces3J, de 12, I s ê9. ì o etre T ro a d e? . trê r B j F r Ìrp .ocÍ ê1r dó ls , ] ," 6 l t, È s glas Condiçãode atinlramentode três pontos Dizemos quetrêspontosdistintosestãoalinhados,ouquetrêspontossão colÌredres, quandoexÍsteumaretaque passa petostres. A, I e C sãotrêspontosalinhados. Vejamos que ocoffequandotrês o pontosA,B e C estãoalinhados: Peloteoremade Tales: AB A,B, AB x, x AC A,C, ac O AB A,B, AB Ac A,C, AC (D h - y1 Comparando e @, temos: Q x: xr_Y:-Y,_y:-!, _ Y t-Yt..> Yz -l t Y r-y, = n* Yi-yj Xu X, X:X ,X:X :X,+(x3 - xrxy, y,) (x, x,)(yj yr)= o + xry,- x3y, - -xJ,+ !ú _x2,, +x,yt+xJt =o.+ lí+xry: - xry3+ xry3 xryr + x3yr- x3y,: O Oprimeiro termo iguãÍdade da corresponde aoder"r, """," lï; ;; ;l Verifìqu€ o prìmêlÍo que podemos DâL dizerque: l" y, rl SetrêspontosA(x| y1), B(xzyJ e C(x3, estãoãtinhados, yj) então: ]" r t D = lx, y, 1 l:0 lx: Y: l I L -*"0*.0*"0*o-o-. I + coruna abs.Èsas dâs dospontos.Obseruação: Fâzendo ocâminhoinverso, podemos verifica tambémquel r v l l y, 1SeD:]x, 0,êntão A(xi, ),S(x,, e C(x3, são yr y,) yJ pontos - cotineares (recíproca pr.priedade da anteri.r). J l x: Yr 1l
  11. 11. t8 . Màtêníio tunrxlo AplloÍôer & I l.VerÍquese os pontos Ai-3, 51, 80, ll e C(3,-1) 12. Sab€ndo ospontos -4), Bt- 1,-2) e C(2,t) que Aia, estão alinhados. estão ainhados,câÌclle ovaorde a. Resolução: Rêsoluçâo: Usando coordenadas, as cacuiâmosdeterminante: o Seospontos estão âlÌnhados, devemosteÍ: 13 5 r D=l r 1 1 =-3+15-l-3-5-3= 2 1 :A 3tl 211 =+15 15=0 Resovendoa equáqão, teÍnos: .i Corno = 0,os pontos D dados estão alinhados. -2a-8-1+ / / -a=a,+ Observaçâo: ) 2a-a=8+ 1+3a= -9âa= -3 Logo, _3. a: 13. Detêm o valofdex modo ospontosA[ 3,]l ne de que B[x,2] e C[-3, -]) sejaÍn vértices umnìesmo os de triángLro. Resolução: que Para A, B e C sejâm vé(jces Ltm os de tfiânguo, eesnãodevem estaÍalinhados. Então, l-: r rl Il z r l^ o - d-3-+d--3,0, t geÒÍn€alcamente,pontos AÍguÊrlustra, queos dados l- 3 - r r l es6o" inhddo.Tes ó eÍão 1JÌa Tìesìa Íelê.oL sejd, è x -x + 3 + 3 = 2 x + -6 + x + -3 o processo Ít co qLre ana gêrânte prcp edade. a Logo,I -3. x23.Verifqueseos pontos: 25. Considerando fetar que passa uma peospontos al A(0,2),8t 3, l) e C[4,5] esião alinhados; A(- I , 2l e B[4,2) e intercectaeixo o y nopontoP, blAt l, 31, al eCt-4, 10J Bt2, podemsefosvénces detemine coodenadasoonto as do P. d€ uÍnmesmo ângulo. t24. DeteÍm x de mane queos pontos 51, ne ra Ai3, Btl, 3l e C(x,1)sejam vértices umt ângúlo. os de âo de uma reta Seja â medida ânguloquea retaÌforma com o eixox. A medidãddo ânguloé considerada eixox para o do doa retâÌ, no senüdoanti-horário, denomina-se e ,inclin acãoda tetaJ.
  12. 12. Qpilülo1 Gmmetria ítka: ma Fnroeera 19 Quantoà inclinação retãsnão-parâlelas eixox, podemos de ao ter: 0o< a < 9 0 o 90o<o<180o , Sea reta ré paralelâao eixo )ç dizemos que suainclinação ézêro,ou seja, : 0.. d podemos Entáo, dizerque,pârâcadaretaÍroângulo d é únìcoê talque O.< d < 180". CoeÍiciente angularde uma Íeta Consideremos retarde inclinação em relação eixox, uma d ao o coeÍiciente angularoua dêclividade dessaretaré o númerorealm queexpressa tangentêt.gonomêtrica âde suaincrinaçãoa, seja: ou m = tg,g , Vamosobservar vários os câsos, considerando < a < l8O.: Oo Parao-0,temos Para < q < ì80, 90" m --tg0=tg0q:0. temos cr< 0:ì m < 0. tg 4e) Para0"<a<90, Para : 90, a tg a nãoé defìnida. e Dizemos então temostge>0=m>0. que,quandoor= 90o, é, quandoa retaé verti isto cal,elã nãotem declividade.
  13. 13. 20 e . Àlatemát Conro(o &Aplka!Õês agoraque é possível Vejamos angulardê uma retaa partìrdascoordenadas dois de calcular coefìciente o de Comoparao=0(retahorizontal)adeclividadeé0eparao:90(retaverticât)nãohádeclividade,vamosânalisar casos 0< a < 90e 90< o < 180": os de1r)0.<a<90" Sejã Íetadeterminada Ìa porA(,yr)e B(x,, y:)e seja C(x,,yr). NoÌriánguloretângulo ABCG é reto), temos: d(C.B) Av - d(4,C) Ax xz Xr Então: -_ v, v12r)90.<o<180" A(x,,yr), yr)e c(xtr, B(x,, y1) retángulo (e é reto),temos: NotÍiângulo ABC .l/a aÌ ^v d(A, c) Àx Comotg(180" o) : -tg e, vem: v, 4 v, ,ì Àv ,2 ,l tqo - Ìaa-:jL= - x -x . -m - Ax X : -^ , Então: Obsêrvequex, xÍjá quer nãoé paralela eìxo + ao y. Podemos se yr)e concluirque, A(xr, B(xr,yr)são pontos dois quaisquer retaÌ, quenãoé paralela distintos na aoeixoy(xr xr),a + declividâdeo coeficiente ou angulaÍde indìcaremos m,é dada Ì,que por por: v. v, ^v ax x: Xr Assim,temosduâsmaneira5 obteÍ o coeficiente de angular de umareta,quandoeleexistir:. conhecendoainclinaçãooda m= reta,calculamos t9 d;. conhecendodois y: yr pontos A(xr,yr)e calculamos : B(x/yr)dareta, m . x: Xr Naprática,é maisdifÍcilobterâìnformâçáo sobreã inclinàçãoda porissoé importante reta, nuncaesquecerquern=J:-Jror.; Yr, Y:ObseÌvaçáo: Agoravocêpode utilizâroutro métodoparaveriÍicar âlinhamento três pontos, o de comparando os angulâres retasque passamcoeficientes dãs pelospontosdois a dois,Porexemplo, veíiÍicâçáo alinhamen- na doto de trê5pontosA{x| yì), B(x,,yr)e c(x3,y3)podgrn65 q66rÍs f!-l]! vsrifiça1ss = Ficaa seucÍitério :.usaresse métodoou continuarutilizandoo determinanteparaverifìcaroalinhâmento náo de três pontos. ou
  14. 14. -(apíülo1 Gúmeíiâ ftìGr ana poÌrrorcta e 21 14. Calcule coeÍciente o angutar rctaquepassa da pelos pontosA[2,3) B[4,D e Oânsulooéasudo Resoluçâo: [0<d<90],poìs 7-3 4 =2oum= " ConÍÌrm€ aonsrrulndo a = a =t 42 2 242- frguÌaaomA€8. ì propostos Exercídos :ìi:.,Determine coefrciefte o anglrlar dectivìdade) [ou da |eraquepassâ petospontos: al4t3,2) e Bt 3, -r) bl At2,-3) e Bt-4,31 cl P,t3,2l e P,t3,-2) dl Prt l, 4l ê P,t3,2l el P(5,21 qt 2, -3) e 0 4t200, 100) 8(300,801 e ll: Seo é a Íned da Ìncl da nâção urnê e m é a sua de rcta (o! declivdâde coeÍìciente angLtlat, cornplete a raDeEl Equação reta quandosão conhecidos ponto da um Á(xo,yo) e a cieclividade da reta m Jávimosquedois pontosd istintos dêtermina umareta,ou seja, m dadosdoispontosd istintos, existeumaúnicarètaque pâssa pelosdoispontos, Damesma formã,um ponto A(xo,yo)e declividade dêterminâm a m p(x, umaretâÍ.Considerando y) um pontogenérlcodessareta,veremos sepode chegaraumaequação, variáveis e, a panÍrdos números yoe que de x xo, m,que seíâchamadaequacàoda rcta r. 15" DetenÌin€ equação retar quepassa a da peloponÌo Al4.2l e tenìlnclinaçãode 45.. Resoluçâo: consdefar pontop[x, y] q-ue Varnos Lm penence ã NotfiânguloAPC é fero], [ô temos: ãT Dì UIÀ, UJ =y-2=Ã(x-4)=y-2 Os paÌes y] quesatisfazem [x, =y-2 x+4=0+-x+y+2=0+ eçsaisualdãd€(soluções da equâçãol r€presentam os pontos rêtari t0, -21,[5,5J, da Logo, equação tlo,8l,( t _t e oütr3s. a pedida éx y - Z = 0.
  15. 15. 22 . (omeÍro Ap MatemáÌka & kaçõe5 16, Deteffnineequação rctar quepassa a da peo pomo Sem = -2, então Jìcinação ré urnâìguo obtu, a de angulaf = -2. A[5,3) etemcoeícierìte m so,ou seja. 0 : 2. tg NotrlánglloACP,retángLr C,emq!€ P[x,y] é urn o eÍn p0nt0g€nófco rcta, da Ìernos: 2=i-y 3 = -2[x 5)- (y {J= yo) fr(x to) 1y - 3= -2x+ l0 = 2x- y - 3 t0 ={ = =2x+y t3=0 f Então, equação rctaré 2x + y - t3- 0 a da podemos Genericãmente obterâ equaçáo retaque passâ um ponto A(xo, da por yo)etem um coefìciente ân-gular m: Considerando ponto P(x, qualquersobrea um y) reta,temos: m- Y-Yo y-y":m(x-x^) -ObseÌvaçõesl1e)Aequaçãoy % = m(x xo)independe m serpositivo nêgativo da localização pontoA. de ou e do2:) Sea retaé paralela eixo)ç temosm = 0 e â equaçáo retasêrá ao da dadâpory = yo.3ã)Sea retaé paralelâ eixoy,todosos pontosda retatêm a mesma âo abscissa equaçáo ea sêrádãdapor x: xô, 17. Deteffnine €quação retaqle passa a da peloponro R€solüção: A(-1, 4) e Ìemcoefciente angul€r 2. Jásabernos calcuÌaro como coefrciente angularda rcta R€dução: determináda pontos ], -21 e B[5,2): pelos A[ Usando equâção - yo]= m(x xJ, temos: a [y 2+2 2 n=Ys-]yA -4 Y-4=2[x t ]ll =r y - 4 = 2(x+ 1l + xe -Xa 5+l 6 3 .+y - 4- 2x+ 2=. -2x+y 6:0= usando pontoA[ ], -2l,temos: o = 2x y+6=0 y-t /ì-^( | ll-i2--t.lJ- é 2x y + 6 = 0. procLrmda Aequação18. Derermineeqirâção r€taquepassâ a da petos pontos =3y+€=2x+2ã2x 3y 4=0 - At-], -2) e Bts,2l. Aêqlaçãoda fetaABé 2x - 3y 4 = 0.
  16. 16. : CapÍtulo 6!omèÍaanâtíriGrpontoercra 1 outta resolução: 0s pontos r têrn de ordenada quaquerqueseja 7, a Chamando P(x,y) um pontogenéÍico retaAB, de da podemos aímãrqLt€ A e I estão P, alnhâdos. Logoi Logo, equação ré y = 7. a de V] l Podemos jlstiÍcarass i seÍé pâÉela tambérn m ao l-l 2 ll:0:+-â+5y-2+10+y U=A= €ixo temcoeftcient€ x anguiaÍ = 0. m 5 21 =-4x+6y+8=0= Log0: =4x-6y 8=0=2x 3y-4-0 Y 7=0(Ì 4l=y 7=a+y=7 A €quação fetaAB é 2x 3y - 4 = 0. da oJ 19, DeteÍmÌnea equação retanosseguintes da casos: al r passa [4, , e é paráteta e]xo pof ao x. b) r passa (4,, e é paË€taaoeixo por y. Resolução: êJ Ser é pâralea eixo seus âo y, pontos abscissa têm 4, quaiquer seja ord€nâda. que â Logo, eqLiação fetaré x = 4 a dâ propostos Exerddos , r DetenÌìne eqLração retaqLte a da saÌisfaz segutnt€s âs dJPassapelos pontosA[3, e Bt-5,41. ]) condlgôes: el Passê peopontop[-3, 4] eé pamtela exoy. au a)A declvdade 4 e passa ponto é pelo A[2, -3). b)A nclinâçãode 45e passa ponÌo p(4, ll. 29, Vedftq!€ o ponto se p[2, 3) penence fetaÌ quepassa à é peto pelo cJP€ssa pontoM[-2, S] e teÍncoeíicienre pelos pontosA[ì, e B(0, 31. ]l €n_ gular 0.t Vimosque a êquação retaque passâ um pontoA(xo, com dêclividade é dadaporl da por yo) m Y-Yo:m(x_xoj se escolhermos ponto particulãr n),istoé, o ponto em que a retaintersectâ o (0, o eixoy, parao ponto (xor yÕ),teremos: y- n - m(x-0)+y- n : mx+y= mx+ n o númeroreaI n, que é a ordènada ponro em que â reta Intêrsecta eixo é chamado do o y,. coeficiente linear Lcoêt5crênre tinêÍ Lcoe6.iêntêanqúÌãÌ
  17. 17. MatemiÍie CorteÍtoAplkàçôes & Essaforma é especialmente importantepoÍque permiteobter o coeficienteangular uma retaa pâftirde uma equação, de alémde expressar claÍamente a ycoordenãda em funçãode x. Éconhecida como formdfeduzido equãçáoda dã reta.íì 20. Detemne o coeÍcient€ ângular o co€Íìc e €nt€ neaf rn = SLrbstituindo 3 naparne eqLração |a remos: da fetadeequação + 3y : I 2x 3-n=_5= n=_8=n=8 Resoluçào: Logo,âequação = 3x coffespondenteéy + 8. 2x+3V=l=3v= Zx+l:v: ?x+] 33 Faça exercÍcio o r€solyido de 2l Logo, coeÍcient€ o angLraf rn: : e o coeÍcente é umaterc€ira rnanêirâ, usndo o lr 3 X Y ìI 21. Dêêrn êclo.rd .o. io" o" eo.d.aodd ."u. -l 5r passa pelospontosA[],51e Bt-3, t). 3 t1 Resolução: Vârnos,incalm€nte, cacular coefcient€ o anguafd€ 22. Detemne â equação fe.llzida r€ta coftaos ei cla que xosnospontos 5, 0] e [0.3]. [ v" v. l5-6 Resolução: -3+t 2 - A€quação daforrna = rnx+ n e.como Íetacorta é y a Usandoponto ].5l.temos: o A[ o ex0y em[0.3], ternos = 3. n Y-Yr =mtx x,l+jr 5=3[x+]l+ Ficânìosentão, y = mx + 3. Como retapassa com a +y 5=3x+3+y=3x+8 Ìambem ponto 5,0]. peo vern: [ Looo. pouú!;o o( " p -3 -8. "d"ei 0 = Íìr[ 5]+3=5m=3+rn=9 Autu resoiuÇàt 5 A equação Í€duzidê rctaé dafoÍma : mx+ n da y Corno passa [-] 5l temos: ea pof Logo €qìração a pfocuÉdê = :x + 3. éy 5:m[ ]l+n 23. Delenìlne €qlação a feduzda rctar quepassa da peta Corno tambérn ea passa [ 3, ]l,vern: pof orrg€rnteminc Íìação 60 e de I =mi 3l+n 0svaofes m e n seéocaculados Í€solução de pela Resolução: do A equâção ÍeduzÌda r é dafoffna = mx+ n de y Corno rpassa pela ofgem(0,01, tenìos = 0 n fm -n = s [+/=s Como ncinação de 60",então: â é [3m n=] lsÍl í:r m=ts60=!ã 2rn:6=rn=3 Logo, €qlação a rcduzi.la.le y = Jgx. re Exercício-spropostos : Dada reta a quet€rn eqLração3x4y = 7,detefm a + ne Escr€va foffìraÍedu fa s!a decividad€. zda a eqLração reta da que passapeos pontos r" Determne eqdação fetade coeÍicent€ a da arrgla Plr-2. e Pt-1, -51 7) m = 2 e queIntersecta y no ponto o exo A[0, 3J EscfevaeqLrâção: a .l Uína passa ponto ], 5l €rem reta peo P[ coefcien al darctabssetrizdos quadrânÌes ímparcs: bl dafetab ssetdz quadÉntes dos pâÍesi te anglrlâr = :-. EscrevaequaÇão rctanaforrna rn a da cl do exox; dl do exoy.
  18. 18. (apíÌulol. 6úÍìetdâanaíÌtc:ponroerch Snrmasegmentáriada equação da reta Consideremos retaÌ que não pâssa (0,0),inteÍsêcta êixox no ponto A{a, uma por o QJ Intersecta eixoy no e oponto A(0,b). Calculando coeíiciente o angular,temos: o_b b . â-0 a Usando foíma reduzida : mx + n, em que m = a y ! n : b, u"r, a " Podenoscì€gàrão m€smo b resultãdo tonsiderando !m Y= - x + b+ay= -bx+ ab=bx + ay= ab pontogenérìco y) e Ptx, -,""," ll.. ltbã Dividindo doismembros os porâb (a + 0 e b + 0),têmos: bxâvabx --- + aDaoabati =) - +::1 lo r -=- Esta â forma é segmenfárd equação retaquenáopassâ (0,0)e intersecta eixos pontos da dâ por os (ô, nos O)e (0,b).Exemplos:1e)AfoÍma segmentáriâ daequação retâ corra eixos (5, e (0,_21"a .. -L = 1. da que os em O)2e)Aretacuja equação naÍorma segmentária + I : .l (ortâoseixos (5,0) (0,2). éI em ê39)Sey:2x 5 é a equaçâode Íeta íorma uma na podemos reduzidô, chegaÍà forma segmentárÌa: y = 2x - s .+ 2x - y : s = 4 - ,L : r :- + I : j 55:-s - 2 tssàretacorla eixoç os em - . 0J e (0, 5, l ì., ......, l24- Escrevâ íonÌa segrnentáda na a equação rcÌaque da passa pelospontos -]l e [-2, 4]. = -! 1 -, L = r [j, 14 -14 Resolução: Tb Determinamos o coeÍcient€ angulâr: Outraresoluçao: m= =_1:: ConsideraÍnos gené co p(x,yl e fazemos: o ponto Usêndo ponto o [3, ]1,ternos: y+t=-[{ ^gom vâÍnos I 3] obÌeraeqlraçâo íorma y+l=-[x-3]=5v+5=3À na segrnentáÍìâ: l;ir -a -x 4 12- 2-3y +4x= 0= 9+ 33;1-5y:14341-L=1 ì3x qv=,r-3*-5Y 5y = t 4 -1 :l = t= -, . 14 -14 - 3x ã5
  19. 19. 26 , (onrexro íftremátka. &Artka.óes propostos ExeÍ(í(ios 35, Escrevâ foffna n€ a equação retaque segrnentáÍia da Nafg!É dada, ponto é a of gern sstemâ o O do de satisíaz seguintes çô€s: as cond coofdenadas oftogonaisOABC uÍnquadrado ado e é de al Passapelos ponlosA(3,01 B[0,2] e 4 Sabendo M é o ponro que rnódio O*A N, o poJìb de e blP€ss€ pelos pontos 0.)_q decliviçade A(5, tem 2; médode OC,escreva equação rctaqlr€psssa a da por c$kssapetospontoíp,3r: p"trâs); -3),e C e M e a equação fetaquepassa da porA e IÌ. oìSud eq-açao /,ore i - -ì - 5 êo :i ii, NaíguÍEdâda, ponto é aoÍigem sistema cooÊ o O do de denadasorrogonais e OABC umquâdEdo ado3. é de Escre s equ€çãoda sLrpoi€ diagona rcta da AC Í geratda retaftll Equação Todaretado plânopossuiumaequação dêÍormai âx+by+c-Onaquala,becsãoconstanteseâêbnãosãosimultaneamentenulos,Elaédenomifiàdaequaçãogeraldarcta.Exemplot ì.y :x - I podeserescrità tormà nà geralpor I ay -4=O- 3x xv = I pode 1erdadana Íormageíàlpor 5x 2y 10 = 0.. t Z t. y:5, queé pârâlela eixoX podeserdàda ao porox+ ìy- 5 =o,. x - 2,queé umâretavenical, podeserdadâ por 1x + 0y 2=0..y - 3 5(x- 1)podeserdada por5x - ly - 2 : 0. -Observaçôes:13) Vimosque a equação retapode serescrita várias da de formas, resolução exercícios Na de devemos escolhera maÍsconveniente relaçáoaos em dadose à proposta problema. do Assim: . nâformay- yo=m(x-xo,identifìcamosainclinaçãoddareta(m:tgC[)eumpontodareta(xo,yo); . nâ formareduzida mx + n, jdentificamos inclinaçáoo y: â (m: tg o),o pontode interseciãoda retacom o eixoy (0,n) e aindâo ponto (1,m + n); I . naformasegmentària + + = t, idenrificâmos pontos intersetção retacom oseixos: O)e(0,b), os de da (â, b x v tl . quandofazemosxr y, I :0, identiíicamos fazêrcálcu doispontosdâ rêtà(xr,yr)e{x/yr), sem los Y, 1 . aformageralax by + c:0 podeserobtida partìrde + â quàlquer dasantêriores. uma
  20. 20. Apftulol . GeoneÍia daÌítjor p0nÌo ereta 2ã)A mesma pode diversas reta teÍ representações naformâ geral, seja, + 2y _ 1:O,2x+4y _2=0, ou x x 2y + 1= 0 e inÍinitâs equaçõesequivarentes por a essa;. e.r" i"reo,e pr"r"riuut ,,obter equação geralda reta,,a,,obìer umd d equacãogeralda comonoexercício reta,,, "rcrever resolvido abaixo, exemplo, 31) Dadaumaequaçao 26 por gerarde retar: ax + by + c = o,seucoefìciente uma ,sanao.n.-. " o"ã"_ì"r"0,0"rapidamente ""n"i", ou-. ffi---4) A Í e t a r t a l q u e à x-b y.c-o i n re rse cràoseixosnospontosf- !,0ì"Í0,_.. à 1. ll*,"*".,,",i- l b/ ,, Jobservàcò€s Í 25. Escreva fomâs reduzÌda, nas segmentáfa gera â e ConoA,B e p estão alÍìhados,devemos eq!€ção rerâquepêssa da p€toporìto _6J e tem tefi [], Inctnação t3b. de t ] Resolução: I 4 ] = 0 = 4x+ 3y- 3 - 12- V+ 3x = 0 = I Pelosdados prcblema mais do é coJìveniente escrcv€f 1s-: ri rnr"ren,ea.c-aL:oêorndg ,,.. n.. -,r. ,- 7x+ 2y - 15 = 0 Uomo = 135". a então: zr. ê rgL " ddd" .o po ro O e d rÌ=tga=tgt35o= l o.i geì oo st,, I d o- coo del add)otogonar e qB C Dê qLèr doo ae E,como retapassa [], 6),temos: a por -n y+6=-t[x-]l èdo3J2 -s.Íeê Lnà poLêç:o gpra, retêdeÌetr oa nâdap€os ponÌosA e D. Daiveml 5_ | | " --" . Ìorma segrnentãria: y + 6 = - x + t = ì+y= s=-]:+{ =r . foma o€ral: y + 6 = - x + l =x+y-t+6 =0 + +x+y+5=0 Resolução: S€a ÍÌgu|a !m quadÍ€do é Ìemos = OD. OA ADltdìooo eo,erêdeDttaoo.d.ro .érg-o,p€.g. . Essa reminctinaçàoI35, ÌPtã de passpeto ponrc. lo AOD temos r/, ôJ€ conãeixos [ 5,01eÍ0,_5ì. €m fAD -rAO| OOr.- ;J. i - lo{r ! OAJ_ . O^rnân€ulo eta qu€ d€rêÍmina oseixos !m com e 2[oA]:= 163 1941: e = 64 =. = InangutoretànsÌrto lsóscetes. a medtda cltcute dà - spnooêçcn. no is pr a d- coordenaoas o1oou, ar, temosAt-3,01, B[0. 3].Ct3,0l Dt0.3l26, Dere-r-,ne ,.o 9",u, ,"trì*1,-o,o o",0. o" umaequação geral fetadeteffninâda DonÌos "qur.;o da peios pontos A[], 4) e B[3, 3) AeDédadapor: Resolução: Vanìos caÌcu a dectivÌdadefeta: âr dâ l v tl o I = o + -s + 3 y -3 x = o + ] -: lo 3 r l Conslderando o ponto A[], 41, ternos: =3x 3y+9=O=x-y+3=0 Loqo.Lr êequeÇão ge.dtoètetae., _ j _ C Y-Y =mLx x j=y 4=-:[x-]l= 2- .o. LreÌe^-Trne os oofÌosde i.te.òecç;o et oe equd_ oê 77 =y-4 =--x+_+2v-8= 7+73 ção3x 2y- l2 - 0comoseixosxey Resoluçào: =7x+2y 15=0 o ponto intercecção o exox t€rnordenada de com 0. Logo, íâzendo = 0,temos y Auïa resaluçaa: 3x 2.0 tZ=0=3x-12=0=3x=12+ unì p[x, Corìsderamos porìto y] quatqler rctaque da passa ospontos B. pe Ae Então, retacortro eixo noponto 0]. a r [4,

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