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7- Qlandoumâ  seqüéncia dveÍg€pam+ó, escÍeve-                             an                       8. Cacule vaorcsdossegL...
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Gpílulo . lìtmduçáolimitês      i          aos                                                                           2...
206                                                                                    . conÌ-ÂxÌo                        ...
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Exemplos:          ì            llm Ile)   lim 1:          r-4    =::                      lim x        4    2         v.-...
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212                                                                               À4âlêmát. contexto                      ...
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(apftrio7 . lnÍoú4ão limites                   aos                                                                        ...
Cap.7 introdução aos limites
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  1. 1. t, I gou vamos falar dosparadrnos, gan- sempredcsafioumentesespeculativa.s, o foí lldes desa,fros lógicos, ve2es às apenas jo- "ParadorNoAquiles.ContaqueAquiles, de um Ãgos depdLatns.Muitas vezes recone- dosheróis guerrade Ttóía,decidíu da aposta.r mos a raciocíníos a.pdrehtemehte coerenteE umacoffid.tl cotuuma taftarugae qaopof ser masqueescond,em contradições dbsurdas, para. maisrápido, pemitiu queelainiciasse corri- a convencetmos alguém queaQoèverdadeiro. da 80m à sualrentaAo serdadaa largadano de Na Filosofra a dialétíca(a arte d.odiá.logo) mesmo é ínterualo tempo queAquiles d,e em per- quepossibi[ita essa argumektação, Paraà.otn, coneuos80 m, a tartaruga deslocou m e se 8 do gregopuâdoksos, kohtrário à opiníãaco- enquahto Aquilesos pefcoftia,a tartaruga. ah- mum",signífrca. eaposiçãa contraditóría, uma dava fiaís 0,8 m, e d.ssím sucessívamente, E argurflentaçào levaa algumacontradigìo. Zenào que concluiu Aquiles que nunca alançaria Nd Geometuia, fgwas impossívek padem a t"z.ltaruga, sempre poís havería pereurso um a noslevara resultados absurdos awiliar e nas cumpúr, menor por quefosse argumentações. Sãoídrkosos desekhos ar- os da Esse paradoxolevouos matemátícos ao tistagrártcohola dêsFÁchet (1898-1972), que conceito delir te Oslaloresacimapodemser co ntrad.izerlt princípios os matemátícos. representadas umaEeqüênci.a" poï Sedoíslddosdeum tuiâtÌgulo detemínatu (80: 0,8: 8; 0,08; já por 0,008...),estudada vocè. um plano,como pod.efiamos os ter parcsdeId- E uma PG deprimeiro teruo 80 e raaio 0,1. dosde um mumo triâtlgulokã.ocoplanares? Obsewe que o compime to do percursod.e Essafguraé umparadotco! Aquílescorresponde somadcsses à terrnose, Zm,ãodeElêa (século a.C.)eraumfih- V como PG é Wfiita o ,11átimo a quepodemos sofo reconia, paradaxo| que aos pard cottstruír fazer é calcularpara qual valor "tendeessa seusMcíocít1ios. d.e Uth seus argumentos, que soma, a esse E valor damos ome de limite o Você podeveúfcáJocomo a.u.tílio ulka caL- de culaáora aplicarafótmula quevocê ou apreh- dct Experitnekte, qualquer De forma, a con- clusã.o Zenãoé apekas dÊ teórica, corres- não pohdeà iealidnde" O êokceíto limite esteve de presente ao longode toda a históriada MatemáticaeÍoi fundamentalparu o desenvolvímento Cál- do culoDiferchcial I tegal assunto hoiese e que apliú ernínúmeras árcis cie tífcas,,
  2. 2. l. OsfractaÌs bons são exemplosdeapicação conceto llnì do de Ì€. Háurn chamado obtda a pattt de rt) fsponl? l4en7et, de cLrbodeste modoidlvdlndo-o 27cubinhos afestas em de com 1 tamanrìo arestas nais, das org removem a p€ça se centra Jdo do cuboe cada dos6 cubos uÍn (ou decadaface seja,7 centrals ,l do )-.Lbot do.-mo.oo9ÀoaíI. oesse ô estag -o--,-o..+- -* pÍocesso cada dos20cubos cora uÍrì te,ÌndeÍinidamente. restantes, m pordan Acompanheostrês € ass prlmeirosesláq cujo os, ", 7 pÍocesso repetdoinfinitamente, é gerandotodosos estágios L.- È-- | FI -.- ., LtrÈ.- r{Il{ - 1. Isaac Newton e Gottíried Wí[helm ìl .- 8" -!:r Leíb4í2, o primeiro inglês e o segundo Segundoestágio ÌeÌceiroe5tágio alemão,Íora.m contemporâneos (sécuh XWI) e mesmosem um saber do outro O paÍadoxo qu€ assoclãdoe e é o sequf te: observe a cada a estégio perde volume se coma retlrada cubos, ga dos mas descobfiramsimulta eamenteosprincí- nham-se po áreas, s vãoaparecendo veznìaistúneisi cada píos do Cálculo.Nele,asíu ções ocupam Vamos comprová- o. um lugar central e seucomportame to é Chamando a meddada aíe5Ìa cÌai deà in estudadoe interpretado.A íut1çãopode a)cacule área docubo ca, a tota in terporÌtosde desconti uidade e ínteressa b)cãculea área tota após prìÍrìeÍoestág o oì c) coÍnpaÍe-as(qualé maior?); â determina.r se eríste um va.[orpa.ra o d)caculeovo uÍnedaesponja o pr meÌro após eÍágioemfun qual ela texde queseráo seulimite. Para ção vo ume do lnicialdo cubo; DAlembert, matefiá.tico íratlc^ do sé e)compareos (qualéo mãÌor?). culoXWII, a idéia de límíte era a "verda.- Agorâ, ta Quando número estág tendeâ infln o reí o de os Ìo, deíra metafsica do Cálculo, referind.o- queacontece a área comovo um€da€sponja? cofiì e Ass poderÍìos m, definÌr Esponja lúenger a de comoumobl?ro seà acejta4o, por pa.rtede algunsmate- que geamétrìco ten volume eáteainfÌnital zerc máticos,de que havia. um estágiointer- rhediá,rio entre útua quahtidadeser e 2. .ra dò) oroco"poró e Lode -.na rçàoqLadi-" não ser alguma coka, deúdo à idéia de que magine umadoceiía qaneRS 2,00 com cadapudnì que queuma quantídaãe"tendia"a ufi ralor, produza (então, é o preço cuÍo de um pld nr).Élãc esse de que imdgÌnar a qLrantdâdeplrdlnsvendidos vare de pordÌa de mas não chegava atingí-lo. Ma.is taúe, a acordo o preço com decada Então, Lrn seja.xopíeçodevenda aind.a no século XVIII, Augustín:Louís de um pudiÍÍì suponharnos 05consìJrn e que dorescomprem Cauchy viria a dar a.oconceitode limite (20 dÌariamente- x)pudÌns€qLreessa s€jataÍìbémaquantda utu carâter arittfiético aíkda maispreci de produzlda dlarlamente. so,apoiando-sena idéí.ad.e vizifihakça, e râ d .. e.óae p. do qLeepe.er d q .o "9" .pa d. parapÍoduz rtodosospudÌns serãovendÌdos. que é d.elca dcf,níçao dc limite que tuaís se que b)Escreva aexpressão Íepresenta ê quãntlaãrrecadada conì aprotcimada que seconsiderahoje. a vendadlára pudins dos produzidos. Este capítulo propõe uma introd - c) Expresseo lucroL obudocoma venda ára dospLrdÌns d enì çíío ao assunto,indugurando nossajor- função pÊçodevenda cada nì do de pud ada no carhikho de ama Matemática d) A doc€lra ucíosevender terá cada rn porR$3,00? por pld E Ri 21,00? fìque lust maís abstrata, tratada deíoma mais e) Esbocêqréfco o dafunção lcro obtida tem. no lnteJva no axalítica. o emqueo lucroé postivo. f) Observe, gráfìco,queocoÍe co.no ucro no o q!andoo pre ço unÌtário venda pldlnss€aproxlma RS de dos de 20,00, e quando seaproximaR$11,00. de a
  3. 3. 198 . lìàÍêmátl(àComêxm &AplkàçõesÍlA idéiaintuiriva timire de Vejamos caso5 queaparecêa informôle âlguns êm idéia intLritiva limite. deExemDlos:1e)Consideremos região uma quadrada área de iguala1.Numprimêiro êstágio,colorimos metade dêla: â,rÁ r^l ^ri À r. r No estágioseguinte, colorimos metadeda regiãoe maismetadêdoque restou: - - I oanecororida: lj No próximo, colorÌmos que haviasidocoloddoemâismetadêdoque restoui o - ---=i^:Í,^". panê coloíidai 111a1=26"1or," 2488 Eassim, sucessivâ e indêfìnidamênte, daregião a área colorida resultantê vaitenden- 117 como os valores-, :, - váo seâproximando l. Dizemos, do a 1,Observemos de então,que o ,mite desse quandoo númerode estágios desenvolvimento, tende a nun<a compì€tâda, será infÌnito,écolo rafìguratoda,ouseja,obterumaárea<olorida 1. igual a à ân com a, = f, n c lN*,explicitàdà2e) Consideremosseqüêncìà de númêros por: 111 111 Itl 1, Z t n õ ee roo 9 9 9 lo O O ; t i que, que Observemos à medidâ n cresce Indêfìnìdamêntê, o vôlorde vãi5eaproximando, -: vaitendendo,vai para então, quando tende infinito, limite seqüênciaigual O. convergindo 0.Dizemos, que, n a o da é a3J)Consideremos exponencialt.. fi, t-f - íl ì. a lunçáo lR xtendendoumvalor<adavêz a maior+f(x) tendea 0 a
  4. 4. .GpÍtulo7 lntoduçãoàorlLmlÌês 199 Ob5eruemos à medidaque xtende a 0, Í(x)tendeô 1. Notêmos qoê, tambémque,à medidaque x cresce inde- flnldômente, f(x)têndea 0. Podemosentão dizerqueo limitedêssafunção para exponencial, xÍendendo a infi- nito,é zero.Observação: todosoi êxemplos Em quandodizemos n tendêa ìnfìnito,,." "xtendea zêro,..", ôcima, "se ou queremos qmostrar ue essas variávek estãoseaptoximândo desses"valores"(atênção,infìnitonáoé um númerol)sem,entre-tanto,serem iguaisaeles,lssoé especialmenteútilen detêrminadas 5ituaçõesmatemáticas emquesedesejaoblêrum rêsuìtâdo só ocoffequandoumadeterminada quê variávelaprêsenta vàlorque muitasvezes não pode um elatêr (comodissemos, inÍìnitonão é número), issoa variávêl Por "têndea essevalo/,ou seja, variável aproxima a segradativamentê dês5ê valor,chêgandotãopertodelequantodesejamos. os resultâdos E decoÍentesdessasapro-ximações oslimites. sáo {4e) Nocapítulodeste vimosas 3 livro hipélboles dentre vimos e, elas, umâhipéÊ boìeeqüilátera o que ìmportante, reprêsentâgráfìco exprime relação que â entre pressãovolume umgás e de perfeito, condìçóes êm isotérmicas. Anâlisando â siÍuação, podemos pensar:Ê possívelovolume serzero? Orô, uma é situação imposível. queé algode volume O zero? é uma Essa situação interêssante, náoocorre prática, quepodemos que na mas imâgi- narteoricamente, Obsêrvandográíìco, o vemos quando pressão que a âü- menta tendendo infìnìto volumê a o diminui,tendendo zero, a Ponanto, para pressãotendendo a a iníinito,o limitedovolume ézero, pÍopostos ExeKídos I " Considefercgãodo plâno a lmtadapeo tràngLro re- 3. Cons a seoüenca = dere a L.nE 61- tánguod€ base e Íxa gLra 4 cm.Faça altLrÉ se â a | n+l aprcxirnando3, Ínas nuncâ de s€Ín ãtingir3, é,íaça isto a) Expiciteessa seqüéncia,escfev€ndo vâofêspara os tendef 3. CoÍnpete tâbela a altuÍa a a dada vefÍque e n = l, 2,3,4,5,..,10,..., I 000, 100,..., para vaof está que tendendoárca € dessâ ão. rcg b) Escrcv€ foma de íìúmero na decirnaosteÍnosdâse qÜência item do antefof, c) Pam queva está of tendendo seqüência essa quândo n tende pa|anÍìn to? 4. Co_s dere or; cod. - ìçêoog€r o rìicà llJ - og- que al à rnedida xtendea l, f[x] tende que p€Ía vâloÌ? blà Tedda quex Ìeìdepa-a.rì v€lorc"d8uel 1.èio-. f[x] iendeparaquanto? 2" 0 queocoÍre, lirnite, a rnedid€ h potenusade no corn dâ umtrânguloretángu semantiverÍnos dâdeurn o € med catetoconstante a do oúro cateto dirninundo e for tendendo 0 [mas a nlncaiguala0]? xtendendo Lrm a valor cada maor vez
  5. 5. . MateÍnálkãContexto kades &ApFã Limitesde seqüências Vejamosalguns exemplos seqüênciasêus de e respectivos (quando limites existirem),le) Rêtomemos a seqüéncia.., poíà, = -L, comn e lN*, explicitadâ deíinida ê por: 1 r ììr 11111 2 3 4s67A g 1 1 1 rO" 1oO" 1oO0" n ou,âinda, representaçáo em decima ll 1;0,5; 0,333...ì 0,2i 0,25; 0,16...j O,142; 0,125ì ...; ; ..r0,01...; O,11 O,1 ; 0,001 ; ... que, quencresce Obsêrvemos à medida (tendendoa ìndeÍìnidamente infinito),otermoa": tendea -L O.Indi- camosassiml ou,então, assim: ti,n o l= limitede f quando tendea ÍnlinÍto iguala 0. Nesse dizemos ô seqüëncia que lemos: n è caso que converge para ouqueo limite seqüênciã0. 0, da é Observaçâo:O 7 número = 3,1?2857... o,ol I ê uma -àpÍoxrmdçáodonumero iíacional - l, út sgz..., ,r isto é,é umô aproximação comerro den àbsolutomenordoque0,0l.Jáont^.ro!:Z;IASZ...naoéu^u V7 0,001-aproximâção - 3,141592... den Demodo geral,5eeé número um realpositivo, quexéuma dizemos €-aproximaçáode sóselx y] < €, trsêe ou seja, a-a uma proximaçáo y é umâaproximâção y comerro(absohito) de de menor que€, do As5im, exemplo no acìma,quandodizemos: lim f = o êstamos que,parà dizendo qualquer número positivo dado, íeal Ê sempre po5sível é encontrar teÍmoda um /! seqüência I a panirdoqualtodos I ostermos dessa seqüêncìa s-a dêzero porexemplo, sáo píoximaçóes (O). n ,/ setomarmos = 0,1, e têremo,i ] o < e q r" n d o n > 1 nÊ ouseja, 1- 6 ç 6 q r6 n 4 q n ; 1 n 0,1 ou, ainda: lf.o,tou"naono 1 Logo, n > ì0,-: é umà0,1-àpíoximàção para dêzero(0), é,umaaproximãção zero(0)com (absolu- isto de eío to)menor que0,1. constataíìsso, verosvâlorêsseqüência: do Para basta da ,1 1 1 1 1 .I1 1 1111 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 t3" JJ J J J J i J T.I 1 lr 0,5; 0,333,.; 0,25j 0,125i Oirrl..; 0,1; O,O9O9O9;0,03333,.;0,076923,..
  6. 6. (.pítulo . llJroduÍãoaor 7 imits (4,2el sejãa seqúèncià )1F N, definidàpor a. - --L e explicitadd por: 1234567 99 999 1t +i E 7e" r o o - r o oo " ou,emrepresentação por: dêcimal, 0,5; 0,666...; 0,8; 3.; 0,a57 O,A7 ...; 0,75; 0,83 ...; 5; 0,99; 0,999; ...j ,.. Obsetuemosque, à medidaqueovalorde aumenta, dendo infìnìto, n ten a I ovalorde tende l. pormais a n+1 que,observandoseqüência valores a de peÍcebâmos crescimento vàl6rs5 --L, q1s3 decimais, um nos 6s n+1 nunca5erão maioresque 1,poiso numêradorsempre é que menor o denominador. Assim, valorde I o n+ l sêm ultra 1 cresce nunca pâssar. Indìca âssiml mos n -+ ó= -J1 ou,atnoâ: Um sÌrórrnode"ÌÌmite da s€qüência 0" é dizer é que â "s€qüência conveÌge n+l quelêmot:limhe --ll, quando de ntendeainÍnìto, ìguâlaL Nesse é caso,o limite seqüência da é.ì. n+l Vejamos,agora, algunscasosemque o limitenãoexisfe,1P(aso Asêqúência(aJi€lN*,coma"=(-1)",explicitadapor-1,1,-1,1,j,...,(-l)n,..., oscita entre tej,não paranúmêroalgum,Oíndicen pode crescerconvêÍgindo indefìnjdamente o termo annão5eaproxima ne_ quê denhum número. entâo,quenõoexiste limite, Dizemos, o seqúênciâs comoessa châmèdas são diveryentes.29aâso A seqüência 8, I 6, 32,64,.,.,2",.,,nãoconverge 2,4 paranenhumnúmero, caso, particular, Nesse em dizêmo5que eladivergepara+-. 2": +- ^lim Demodogerâ|,é possívelprovarque, à > l,temos: para a": +6 "lim39<âso -L, -]. -4-. 9 -19 Aseqüéncia(a")^€lN_talquea-- exol;ciLàdâpor ---, naoconverge n,l 2 3 4 5 -, Paranenhumnúmero, Nessêcâsoem panicular, dizemosqueeladivergeparâ @.Assiml l. Câlcuei bl 2n + 5l nlirn. tn -
  7. 7. 202 . À,latemátka Conlexlo Aolicde! & Resoluçâo: A seqüêncê corn = 5 é chanada an a" seqúêncÌa e pode escrta constanle ser assirn: 5, 5, 5,... 5, Ela para ouseja: convefge 5, , , ry_5 =5 Obsewaç ão: Deroooqeê ì "-k[o ì te oe Lna concra é rgual .e à b) lirn [n3 2n + 5] Para cálculo o desseirnite, usamosm adííciocoocamos emevidénc ! n3 a .2 quanoonrendea&,- |,ì " l- l-t (-2 -5)- ir nlr- r r -" tende zerc. mesmo a O - n) 5 -0 ; Logo, m (f3-2n+51 = lrn n3=- ObsewaçãoiPode pfovar se q!e: t n aa d.7-...-an.- l"r ar.rcora,0 Conìo cons€qüênc a tenìos a. ér o, . ì Lb- lr- n t.or" +0eb.0ì ^b ... b cJ hT - " - l_ -i+ - m r-n) --( n-,3n2+2n n-r 3nr ,2- 3nr = n3l+ ,_l 6 n- " 3n+d = ; - 5 lm n:-L 1t + 2n = n211 n ,, 5 j " ,(, m tn l 3n3 3n+5 í:-rì 3+- propostosI lxeÍ(iqos .lt---_i !1.Expciteostermos seqüénciss fo|rna mal€ das na dec {i- Entre seqüénclas as abaixo, quais convergentes diga são que: c0n$aÌe e q!a s sãod veruentes e justfqLte: a11,01,0,1,0, -3 oâ"=l;l l bl m =0 d lr 3 l. 3 . l. 3 . | 3 . . . . 23a cj a (eqrencrd € rc"ì co-r,^ - ]l q". 2n-l -. l pam . converce ")",= l-r) fl r, 2 3,4,5,6,. g)2,3.5,7, 11, 17,... 13, dJ A . êoüèL" ;J . Ê N. coT a^ :--::.. qLe hìt ]t I I l para converce 4. 2 4 b 810" 2n
  8. 8. 7- Qlandoumâ seqüéncia dveÍg€pam+ó, escÍeve- an 8. Cacule vaorcsdossegLtntes os lirnitesr nos lin an -ó. e qJaldo dive-ge - oa-a-d. es - n+l r - al lim 6 crcvernos a" = n{n* - l+4n 5 -n NosexercÍciosabaxo, os"vaores" êxprcssões dê dâs lm 2+7n 2+3n al lrn n dl im 2" 8n cl lim 0l m (n - 2) bl lm nz e) im [-n] 2n+3 n+5 c) ( n5+ 5l dJ lm hl m [ 2n5+n+]ì nlm_ 3n+2 iNúmercsreais como limites de seqüências Já estudâmos ãmplìãção conjuntos â dos numéricos (lN)ãtéos reaÈ(lR).Vimos existem desdeos naturais queceftosnúmêrosracìonais, quê como0,333..., sáochamados peiódìcos. dízìmos Números dessetipo nãosãodecimaisexâtos,ma5podemservistoscomo "de(imaisinfìnitos", seja,um númerocom infinitascasas ou decimais, Vimostàmbémquea gerãtriz 0,333...é , poisi dê _ N = 0,333...ê10N= 3,333...ê10N= 3 + 0,333...<â = 3 + N ê9N:3 10N (3 N: I <+N: - Essa dízìmaperiódica, oudecimalinfìnito,é obtìdaa partìrdeumaseqúência infinitaS^dê decimais exatos: S.:0.3 S,:0,33 53:0,333 5,r 0,3333 1que tende para-. lssoocorreporque,à medidaque n cresce, quantidãde "3" do termo Sntambémcresce, a detendendo infìnito(âquântidôdê a dê3). Então5.tendeà dízimâperìódica quandon tendea infinito.Como 0,333... tÌa geratriz 0,333... ;,s, tendêa ; quandôn tendêâ infìnito. de é Assìm, medidaq-ue índicen ciesce à o indefÌnidamente,otermo S" vaisetornandocadavezmaispíóxamo deì ouselâ:Jr n-.=s"-] ",T.s"=; então,quea seqüência 0,3 0,3 0,3 Dizemos, 0,3; 3; 33; 333;...convergepara-L, ôu rem lirniteìguâla ]. De modogeral, todo númerorâcionalpode servistocomolimitede seqüências dedecimais exatos,Èxemplos:1e) O númeroracional podeservistocomolÍmìteda seq êncÌa stànte0,5;0,5;0,5;... ] ü con 2 O númeroracional podeservìstocomolimiteda seqüência 0,66; ,666; 0,6; 0 0,6666; ... ; O númêro racìonal podeservistocomolimite seqüência dâ 0,41;0,4141ìO,414141ì0,41414141ì.,, O número :i racional podêservisto - comolimite seqüência da constante -t; -t; -1; -1,... -1;
  9. 9. . Malemáti.aconÌexÌo &AplkàçõerUm númeroirracional um limiteimportante e Ao estudar logaritmos os 1, que naturais volume vimos a base no desses logaritmos o número era irracìonale : 2,7182818294... A seqüência € lN*,t"fo*"" = (t * 1)", *tá explicìtada (a")" abaixo: / 1 o r t tot f -iJ,l - rl,f.;J ,l .;J ,l .* J JJJJ f-,;J 2,0000 2,2500 2,3703 2,4414 2,5937 2,7048 i r r r" o / r io , r r ì" l rooJ l [ " Í, sooooJ l _ì "" J o*J ooooJ J 2,7156 2,7169 2,7141 2,7142 Essa pois é importantq seulimite umdoschamados seqüência é limites fundamenraii, valor o número e seu é e,Atsim: . ri. ír , - ì" - n+F n1 "Obseftâçáo:Limitedaseqüência somadostermosdeuma PGinÍìnita daNovolume1 destacoleção estuda mosasseqüências entreelas, progressões e, as geométricas, Vimostambémqueé possívelobteÍ valor um para soma inÍìnitos a de teímos umaPG de quando Íazão fortalqueO < ql< 1.Esse a qvaloré o limitêdaseqüênciâfoÍmâdãpelâs somas PG, ocâsiáo, dâ Nâ obtivemosumâÍórmulaque nosdavaovâlorda somainfinita".Essevaloré o limitêda somados termosdã PGparao númerode teÍmostendendoao infìnito.como estudado a termosda PGé dada por s- = 3í.91-a anteriormente, somados n primeiros oaraqualquer qìrazãoexcêtoq=l.Quando0<lq <l,olimitedeq"parantendendoãinfìnitoézero.ÉpossÍvelperceberisso o =relembrando gráÍicodà funçãoexponencìalf(x) at para0 < a < 1,assunto tambémestudado volume1: noSe liÍn qô = 0 para0 < lql < ì, entào: ,_ à(q" -l) à(0-lÌ a( l) _ à n-_ Ç_t q,t q 1 l_qque é a fórmulaestudeda anteriormente, 9" Determ os números ne que racionas sãolirnites seguintes das seqüêncies elustiíque os: al0,6;0,66;0,666;0,6666;... c)0,24;0,2424tA.242424t... bl0,9; 0,99i0,999; 0,9999; ... dl3,3,3,3,3,. .
  10. 10. Gpílulo . lìtmduçáolimitês i aos 205Ël Limites Íunções de No tópicoânteriorvimosos limitesde seq ências; ü agoíaêstudaremos que vema sero lìmite umafunção. o deComessê conceitopodemos descobriÍoque ocoÍe com afunçáonum determinado ponto,conhêcendo apenasoqueestáacontecendo com elanospontos"bêmpróximoí daquele determinado,Afunçãonem precisa estardefi-nidanaquele ponto.Oconcêito limitede umafunçãoé de grandeutilidadeno cálculo de diíerencial, assunto ser aestudado nÍvelsupêrior. emldéiaintuitiva limitede umaÍunção de VâmosveÍessa idéiacom algunsexemplo9lq) Consideremosgráíicoda funçãoÍ lR + lR definidaporf(x) = x - 1. o que, Observemos à medida osvalores seaproximam 4 (sem que dex dê porvalores atìngi-lo), que menores 4 (pela ou maiores 4 (pela esquerdâ) porvalores que direita), valores f(x)corÍespondentes os de seaproximam cada mais 3.A tabela segujr vez de a mostra valores Í(, para os de alguns valoresdex: Assim, podemos q escrêvêr uei . o limitê f(x)quando de xtendea 4 pelaesquerdaiguala3,ê indicamos é f(x) = 3 _lim. . o lìmite f(x)quando de xtendea 4 peladireita igualà e indicamos: é 3, lim f(x) = 3 Esses limitessãochâmad ti^it", tot"roi, roiosão iguais, duasindicaçóes o, as podemse resumir ânteriores numaúnicâ; ", lim f(x) = 3 e lêmos quandoxtende 4é iquala limitedeí{x) a 3. (2 x + l)(x -1 ) a função lR- {l} -t lRdeÍinida f(x) = Considêremos Í por estudar limitedeÍ(x)quâ x tende 1, ouseja,limf(x). Vamos o ndo a
  11. 11. 206 . conÌ-ÂxÌo l,laÌêmátÌo &Adkações Obseruemos nêstêcãso, funçãonemestádefinidano ponto x : ì, quê, â ou seja, nãoexiste f(1). Comox+ l,entãox 1 + 0 e podemos dividìr numerôdordenominâ- e dor por(x - 1)obtendo: f(x)=2"*tt**t cujográfìcoestáao lado(aretadá"um salto"parax: ì, poisa funçãonão estádefinidanesseponto).Obserue tabelaabaixovaloresde x e f(x) nà próximo5 I e 3, respectivamente de i 0,9 0,99 0,999 0,9999 1,00011.001 L0l t,1 f{x) =2 x+r 2,4 2 ,9 4 2,994 2,9994 3,00023,002 3.02 3,2 Quando seaproxìma x gradativam€nte 1,querpela de esquerda, pelà quer porém atingi-lo, va- diÍeita, sem o5 lores correspondentesf(x)seaproximarn vezmais 3. Dizemos de cada de entáoquelimitede f(x)quôndo x tendea1 é iguâì 3 e escrevemos: a limlf(x):3 emboraf(l )ìão exìsta.Definição Considêremos o gráfìco função da f. quê A medidô osvâlores x seâproximãm de um númêro dê mais ã,pêladireita pela e o5valores esquerda,emconsêqüêncìã, e, deí(x)seàpro-ximam vez d€ L, que cada mais umnúmero dizemos o lìmite def(x)quan-doxtendea a é igual L e escrevemos: a lìmf(x): L Éìmportanteobservarquequandosê câlculâ nãoesta mosinteressados f(a),mesmo em queeleexis- xlimaf(x)ta, e simno comportamento f(x)quandox seaproxima a, Nesse de de nãohá necessidade o valorx : a sentido, depêrtencer domínio de f e, portãnto, ôo náoé nêcessá que rio f(x) sejaigualaf(a). maìorìa limitesimpor- Na dos *lim"tantes, pontoã nãopenence domínio, o aoExemplos:1q) Consideremosfunçãof:lR + ìRdefinidapor â ... lx A,parax+2 Ìtxl = { ll,sex:2 Observemos conformexseaproxìma 2, quet pelôêsquer- que, de da, quer pela dirëita,porém sem atingi-lo,os valoresde f(x) se aproxìmam cadâvezmaisde 0, Então,temos: lim f(x)= 0 que f(2) = 1. NoÌemos Logo,limf(x) + f(2).
  12. 12. (.pítulo7 lnÍôduçáoãosllmtes . Consideremos f:lBr R,defìnidaporf(x)= a função .ujográficoà união duas e de semj-retas. " 1, + 2,r",, t, que,quandoxse Obseruemos aproxima I pelâ de êsquerdô,f(x)se aproxÈ madê 1.As5im: f(x) = 1 (limitelaterâl esquerda) à _lìnÌ E,qlandox seaproxima 1 peladireitâ,f(x)se de aproximô 2. Assim: de = 2 (lìmite lateralà diÍeita) rlim,f(x) Nessêcaso, que dizemos o limitede f(x)nãoexistequãndoxtende â 1,pois 05limites direita à esquêrda diferêntes. à e sáoObsêÍvâçáo: que Para exista limite ("lim"f(x)),devem um existire iguais limites ser os lâteraisesquerdà direità, à eàtsÌoe: tim f(x) = lim í(x): lim f(x) propostos Exercícios l L Determ ne,quando existif, o mâf[x] nosseg!ntes 13. Considefe a íunção R ì R deÍnida poÍ ii r [] x,sex+3 al (xl=j2| .-- [2,sex=3 """.:,i â) Esboce Oráí d€í[x]. o co b) Detemì f[3] !ìe / c) DeÌerrn inì- ftrl e hrn (f). ne d) Seexstir, deteffn ovaor de ne fcx). xlirn3 14. Consd€reÍlnçãoí lR-ì lRdeíndapof a .-- h- oarar<: I2x,paftx>2 al Esboce gráftco f(x). o de bl Detefnìine m, ítl e lrn ítx) c) S€existIdeieffninevalor o de rn?f[x). x I 5. Considefea função R + R defnida l: pof .,- Í3+t.psa+2 t"=]opr,.r=, 6l Esboce gÉÍco def(x) o bl Verifqueque m, f(xl + f(2). x I6. Considere a funÉof: R --,lRdeÍndapor1 L Dadâ função + lR,defnidaporf[x] = 3x - l, a f:,R pfóxirnos fx+ l,par ax< 2 construa tabela !ma atíibuindo axvalofes de ftxl= 1a,paËx= 2 2,íaça géfco e calcue im, f(xl. o x 13,paÊx>212. Dada função R a f: a) Esboce gráf def[x]. {ll-)lR,deÍnidapor o co f[xJ= j--+, consÌrua tabe atrìbuindo uma a â xvalo- b) D€teÍnne m" fGl e rm^ ftx) Íespóx mos I, façâ gfáÍcoe calcule mÌ f(xl. de o cl Seexsfif,deterÍnìne o vaoÍ f[x]. r xlirn,
  13. 13. lúatenìát . Comexto o &AplkôçÕesffi$Propriedades limites dos O cálculo um limiteíjca de maissimple5 partirde a propriedades suâs operatórias.Primeirapropriedade O limitêdâ somâé igualà somados lìmites(quando existirem). seja, Ou seexistirem limites os f(x) : Lr e xlima 1,,então:xlrlìa9(x) - + gk)l: lim f (x) + g(x)= L1+1, *lim"If(x) "lima iExemplo:Im( x + J , = lr propriedadeSegunda O limitedo produtoé iguâlao pÍodutodos limites(quando existiÍem). seja, existirem limites Ou se os f(x): Lre limàg(x)= L,,então:_lim" : f(x)lrjìà s(x)= L, .1,, lim [f(x).s(x)l "lim.Exenploille) (5x) : 5 x:5 x = 5 3 : 15 xlim- xlim3 xlim3 xlim32q) ( 3 x) = ,l i m , J,1",3 J1",,:3 x|,1",x=3 2 : 6 comoconseqüência,5e delâs a função umô é constante, temos: fk): L+ k (x)= k f(x): kL(k€ lR) _lim" *lim" _lrlÌ, Outrà conseqüência: - : tflx) s(x)l ,lim"If(x) ( l)s(x)l=xlimà + lima(-l)s(x): rlimaf(x)+( 1),lim"9(x)- + (x)_lim"= limaíG)-,lim" g(x) Ouseja, limiÍe diferençaigualàdifêrençâ limites o dà é dos (quândoexistirem).Ëxêmplos:] s ) l i m r kz 2 x):limrx?- lìml2x= limr (x . x ) 2 . limrx - limrx . limì x -2 . lì mrx =2 e)xl i m( 4x, 2x+ 1): 3 - 4x,- lim32x+ l imr l = 4 . 3 . 3 -2 . 3 + l =3ì ,lìm Generalizândo, lR+ lRé aíunçâo sel polinomial nìda defi por : í(x) a"x" a"-rxn-ì+ . + â2x: arx+ ao + + temoslim f(x)= f{a). Eastâ lcular valor umérico função pontoa. ca o n dâ no3 e)l i m r ( 2 x3 3x,-, x + 3): 2 . 13 3 . l, + + 1+ 3 = 2 + 3 - 1+3=7Terceirapropriedade O limite quociente igualâoquociente limites do é dos (quando existìremquôndoolimite divisorfordiíe- ê dorentede 0).Ou seja, existirem se f(x) : Lr ê g(x)= Lr,com L, * 0, então: xlimâ xlimu .. f(x) L, xJa 9(x) L,
  14. 14. Exemplos: ì llm Ile) lim 1: r-4 =:: lim x 4 2 v.-1 lim-{x7.1ì .). rì 52-l lim.^ xi2 x _ I t) 2_t l *t;m-A3e) lim ^ -:? Como lim(x 2) = 0,istoé,olimitedodivkorénulo,não podemosâplicara propriedâde âcimã. Neste caso, i devemos usarum artifício fazer: e x q v + 2 )te 4 x 2 Lx,-2) Então: lìm- : lim lx+2:2+2=4 ,-2 x 2 propostos Ixercí<ios I7- Cac! e ossegu nteslirnites: el m l^" x, - 3ìro al lirn x fl lirn í^+ 2ì5 rl_9, " oJ trn oì rnì Bx + xì - o * h n.l m d ) "! , x -x J r 3 x -1 ..3 DrJr 2X+l Ì8. DeteÍnine osvaores segLrintes dos lmites al - 2x - 1) rlrnr [3x, xJox3+x,+x+1 b)r mo[4x3+2x,+x+2) .. 3x+x+l cl mì [x4 x3+ x, + x + 1) 2 " x3+ 2x2+3x+2 dlrliÍn [2xz-x+2] tl I "19o2 x " + x + 2 x + 4 ões contínuas Intuitivamente dizemos que umafunçãoé confínudnum ponto a do seudomíniose nesseponto elâ não dá"saltosnêmapresenta "furo,Vejamos âlgunsexemplosl A função é cortínuo pontox: a. Í no
  15. 15. 210 . ConldÌo Apli.â(ôer l,latemárka & A lunçào g é descontínua ponto x = a. no Seugráficodá um "sâlto"nêsse ponto. A funça)o é des.ont[nuo pontox = â. h no , seugrafìcoapresentè "furo" um nesseponto, istoé,ela está não deÍinida ponto. nesse Observemos a íunçãoÍestá defìnida ponto x: a e, portanto, que no existeí(a).Vemos tambémque Í(x) rlimaeque f(x) = í(â). xlimã A funçãog estádefinidano ponto x = a e, portanto,existeg(â).lúasnáo existe g(x),poìs,quãndox se ,limuaproxima â pelaesquerda, limiteé L1e, quandox seaproximã de o dea peladireita, limiteé Lz com Lj + Lr. o AÍunçáohnàoestó definda no pontox: a, ou seja, exi5te nAo h(a),embora exista lim h(x).DeÍiniçãode Íunção contínua Umafunçãoíécontínuanum pontox = a se,e somentese/asseguintes condiçóes satisfeitas: êStiverêm 1e)existef{â); 2s)existelim f(x); A pÍmein condição 3s) lim f{x)= íâ). pertence domÍnio I âo de Quando (oumãis)dessâs uma parax: a,dizemosque condições é satisfeita não afunção édescontínua ô.em que Dizemostambém umaÍunçáocontínua aorjunÍo íorcontínua todos elementos é num se em os desse con-junto.üzemos simplesmenteque funçáo contínuâ uma é quando for emtodos pontos seu o os do domínio.Exemplo5 Íunçôes de <ontínuas:a )Afun çã o p o linomialí(x)=anxn+an . + a rx 2 + â rx + ã o é c o n t í n u a n o c o n ju n t o lR. Re c o r d à m o s q u e rxnr+.. nessêcaso,lim f(x): f(a). Éstãoincluídâs a função f(x): ax + b e a funçáo aí aÍim quâdrática = ax: bx + c (a+.0). f(x) +b) A funçãoexponencialR + Rl,f(, f: = a*(a> 0): logaÍítmìtalRÌ J LR, : log,x (a> 0 e a + 1):c) A função I f(x)
  16. 16. (àpítulo7. lnlÌodüçáo llmÌtes ms zll trigonométricâa e co!5eno,lFì lR, = senxeÍ(x): cosd) Asfunçóes seno ft --t f(x) x:e) A tunção módulo t ft lR-ì lR, = lxl f(x)f) Afunção enésima raiz f: lB+ lR, = ú, comnnatural (x) pogitivo -g)Afunção í lB - {ol+ lR,defìnidê (x) = 1 por Observemos 0 não peítence domínio. função contínua que âo A é lR- {0}. Ponanto,Íé contínua.h) A função - i- sex > o _ _ _ -.I 1 I i Í rR.-+ rR. norírx) ]4 = .11 derinida = : ; ig: x l -l ,sex< o -T.Éi :l !l Afunçãofdáumsalto"nopontox=0.Ma5oponto0nãopertenceaodomíniodafunção,queélR*=lR- Ponanto,lé contlnua, A função tangente tn- + r.r} rn, ke z,f{x|= x .om te {f -
  17. 17. 212 À4âlêmát. contexto o &Aplicçóe5 frÌl todos pontos Afunçãotgxécontínuaem os doseudomínio.Adúvida poderia pontos surgirnos masesses pertencem domíniodafunçáo. não ao Logo,Í é contínuâ. ttExemDlos descontinu de idades:a) Consideremosfuncão a Í Essa nçãonão estádefinidâ parax = I . Portanto, fu não existe ). Assìm, pÍìmeira f(1 a condição definiçãonão da Logo, nãoé contínuâ x estásatisfeita, f em = 1,emborasejacontínua paratodosos pontosdo domínio.b)consideremos funçáodefinidâpor a ]),r" * + l flxl é continua €nì [("*l)(" Ìlxl:< x-ì l:,r""=t caso, : 3. Portanto, primeira Nesse f(1) a condição definição da estásatisfeita. Alémdisso,liml í(x): 2j logo,a segunda condiçãotambém estásatisfeita. limìflx):2efl1):3;logo, limr íx)* f(l)e, portânto, teÍceira l4as â condição está não satisfeitã. Logo,Ínãoé contínua x = l. em l poríx)c) consideíen a funçáoÍdefinida os descontinua pontox - l: no , " paràtodos os pontosdo Nãoexist€ ), poisa Íu nçãonãoestádefinidaparax = 1. Logo,a pÍimêira f(1 condição estásatisfeitâ. de fato, não E, Í é descontínua pontox no : l.d) consideremos fu nçãoao lado,dêrinidâ a porf(x) = {: *" -: 1 ll,parax>2 Obseruamos queí(2): 2j assim,aprimeiracondiçãoestásâtìsfêita. Vejamos quantovalemos limiteslaterais esquerda à direitade f(x)quando à e x tendea 2. lim- íx):2 e lin íx): I Como f(x) + f(x),entãonãoexisteo f(x),Poúãnto, segunda a condiçãonãoé satisfeita con- € xlim, "l "lin1 cluímos íé descontínua Dontox : 2. oue no
  18. 18. Qpítulo . lntmduçãoaos 7 limiÌer 213 propriedades funçôesAlgumas das contínuas Comoconseqüência propriedadesdos das limites(l;miteda soma,limitedoproduto,etc.)temosas proprìedâ-des dasfunçõescontínuas. Assim, í e se g sãofunçõescontínuâs um ponto x = a, também sêrãocontínuas em 1 (se9(a).nes5êponÌoarÍuncóesÍ-g,Í-g,kí(k€lB).f9, o1e9of19çompostacomÍ). deíinição funçãocontínua AtercêiÍâcondiçáoda de num pontox = a é f{x) = f(a).Então, paradeterminar xlimâo valordo limitede umafunçáocontínuâquandoxtende a a, bastadeterminarf(â). 2.Dete[ì]ne os vâlofes se0lntes irnites dos sabeÍìdo qle asfunções contínlras seus são em domÍnos n m {,f rì m iç=í16ì={,iiã=2 sl"lrnri2f) -. .-.-rì dà " d hl mì [log, + 7]l [x3 loS,(x3 7)l : log,[]3 + 7] = los,8= 3 hl"lirnr + x rì r_ ts"n, 2j .Fr - | ,l | -- .I m isenx+2x l ,-; " -+ t" ^ 3. trê-lr F:e a r, Çdo oe,ì oo 0o ,., ] l?:e 2 adrniÌe agLrm ponto descontinudâde. de Resolução: al hrìì Ìz= fí3ì = 3): 9 Se essafunção alglm pontode descontnu adrnitir dade, seÍáx= 2. ele bì [nì ]=ff3): l [,44slirn i(x) = 2 ê lirn l(x] = 2, o queacaffeta cl"ima3=f[4]=34=81 lirn Íaì:2=ff2ì. Logo, funçãoÍécontínua ponto = 2. Écontínua a no x dl ims os,x=l(8)=log,8:3 também todoo domíinio em R. r | 9.Asíunçôes segursãocontÍnuas sels dornínios â ern DeteÍrn os vaores dos seuslimilesnos pontos ne al lm t2 + cosxl .-: dl f!4 * r" ì al im x3 fl lm 2 bl"9,i" - :t el liÍn t2- . og,xl bì m oo--^ aì hm fxr+x2+2ì lì *, * u "l,r i.,.uF cl lrn cosx hl lm senx ,-14 2 I . Exoìcileouando streÍìr. Dontos d€scont ex os d€ nuidade dasseguntesíunções: 0l lTn -.- x)2 lm x+2x + 1 a)(x)=l dl ftxl = s€cx " el lm xl l bl ftx) 20,4s funções segLrif contÍnuas seusdomÍ â são ern dos seuslrntes nos nios.Determ os valores ne pontosndicados:
  19. 19. 214 . Contexto&Aplc!Ões MaÉmárka 22. Esboce gÍáÍcode mdâfunção. o Observe ondeexis- tx + 2)tx 2l tem"saltos" gÉÍco e mostre condição deÍ- no qual da a)í(xl = (x 2l , p a Ê x + 2 nição está não apontãndo pontos des- sstisíeita, os de a,P aÉ X -2 contnuidade: -..- -x-2 x,_9 ^, x2 bl (xl = a,pârãx=3 -,-- Í(+t,parax<2 -- ll paÍ.x>2 xt 6x+1lx-6 t"?_,_ i ..-- l" ^ ".se,r+g cjÌr!=1 x-3 5,sex=3 23. Determ os vaoresd€ a paraos qlais as funções ne 0,parax=0 aba sãocontÍnlas: xo Um limitemuitoimportante: o limite ÍundamentaltrÍgonométrico Consideremosfunçáóf:lB* --t lRdeÍinidàpoÍ flx): I a qualéo valorde: e verifiquemos ;161!9!J! quexseàproxima À medida senx nosdoissentidos 0,a funçào de f(x): seaproxima l. de A tabelaâbaixofoifeitacom o auxÍliodêumacalculadora, importante É perceber x estáem radiânos, que poisx c lB.Sex náoestiver radianos, 1;r JSII em o = 1 6566 yi;1;6e; ,-0 X 0,1 o,o2 0,01 0,99833 0,19998 0,00999 0,9983 0,99993 o,99994 que: lssosignifica Geometricamente, temos:
  20. 20. (apftrio7 . lnÍoú4ão limites aos 215 observandofigura, a que: vemos l/ senx x<toxl0x/j:ì - - 2J Tomando inverso, o obtemosi L>f > l- _ _ L > 1 > 1 9 ! 1 S enx x tgx Senx x senx Como x > 0,pois0 < x < +, multiplicamos sen 2 porsen obtendo: x, t"n* taou ,-t De mãneiÍaanálogâ, obtemosessaexpressàoquando < x < o. -{ 2 Assim,oara <x< tr x/ o,temos: -Í 2 ì > t"n* >aos* _ cosx < i!!r <.ì l v^v lim cosx: I lim 1 :1 :::j-j:, queestá Como lim cosx:1e ìim I - l, então Íunção à entre x e l, temtambém cos limiteigualaìquandox tendeâ 0, ou seja: ., senx _ 4. Deteminê valoÍ o de: lgla í cl lm Iì "- senx 2) âl lim 3x .- + dl lim 2 - xJ0 íÍ- ,r x cosx/ ì- r+ "" ro x . ir xi ocosx - r sen4x l91r dl NesÌe Íazernos x - a então caso, u: b l "9 o 2x .- + el liÍn x = u + a , e v e mo s o u e : 2 2 tg x x+a<=u+o "l ,lTo 2 Resolução: senx ít sen^ì 2) i-o 3x -03 lm ) .. ì senÌ ^ I l --+ 1l 2 xro3 xeo x 3 3 el Ìlxl = e comnlan0 ponÌo ^ÌunÇêo - sen4x ,. í sen4^ 4ì x-a r-0 4x 2) 2 2x sen -ínì I 2 ,. sen4x r_r r 21 xeo 4X r+0

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