Cap.4 números complexos

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Cap.4 números complexos

  1. 1. È Númçrascernplws sdescoberta.s matemâ.tícas muítasve- tudo dessefenômeno orígem uma ova deu a zesparecemser,a pri1Lípío,total- concepçãode movimelTto, desordenadoe me te d.íssocíáves qualquercorres- de aleatófio, d,enomínado BenoítMakdel- por pondentefia Natureza,fazentlo-nos pensar brot (tncttemático polo ês, ascidoem 1924) que fiã.o possueh,Ìhplica.çâo pftitíca. Por de ftactal A Ceonetria eüc[idianajá nòo eremplo, o Ìnovímentoapare temefite de- ?rasufciente para explicà-lo cadavez e mais sordenado partículasflo a cotl1o quese de o sefazía presentee necessá.río oatrc típo de vêquandoa luz íncicle lugarestnuito se- eu Geomehía, não- lídíqna, a euc cos rcvelandomíÜop.nÍículasqueÍutuam O primeíro destes íractais é chamado em movimealos alealònos.parecendo poei- conjuntode Mândelbroteasoutrassãoré- 16,constituì objetoda Teofia do Caos,que plícas dele contid,asnele. Por defniçã.o,o etplica o funcíoname to de sístemas com- conjunto de Mandelbrot é o conjúnto dos.pleros e dí âmicos.O primeíro a obsewar polltos c do pla o complelo que satisfazem essefenômenofoibiólogo o efísicoescocês Ro- uma seqüêÌtcía iteratfua, ísto é, que seíor- bert Brown (1773-1858), quemé atribu[d,a a ma por repctiçào uma ou mai açoes. de a.teoríado movíme to brow11irlfio. futr- Maís Osnutuerosomplexor I apaíe(ewnose de, em 1905,Albeft Eihsteinpropôs que a culoXVI motivados pelasresoluções equa- de matéríafosse constítuíc1a moléculas. es de O ções de terceiroe quarto graus.Em 1545,o matemátícoitu íano Gírolamo Catuano (1501-1576) pablka seufamosolívro Ars MagÍâ, no qual trata da resolução equa- da çâode terceíro gfttu do típo f + ax + b : 0. Oproblema: "Quale a medidâx, comumà
  2. 2. I . Em Mdgnd, rdanoapresenta das Ar Ca da de unìa Íaíz€s eqLração ,rq., a.-b 0dd.po Essa ollrofêmolo m.te fónÌì! a ío sugêfda â € e porTartaqla, rnãÌicotallanode5sa época. a) Moír€ comocardanôseaeparou com o nLlmeronf tzl ao f lentèÍefcontrar.s raizet da ÊqLração Íelolvjao problemi qLre d".,-u.".tu de um pa- do.ubo e do paral e pedo epi rnenci onado com "Jhúú "ubo 15 deralelepípedo base unidades b)V erl Íque que4 é raÌzda equaçao.área,sabendo que â diíerença entre 2. E m 1545, ardano C propôsem !nì cl eseus vrosos€gunÌÊseusvolurnesé de 4 unidades?" corres- paftes modoqu€ seuproou probemâ D i vda l 0 eÌn dLrds deponderia ax3 - lsx - q e,aplícando- a) Reqstreunìãequâção que Íâduza esseprcblema.seumafórmula deduzída ele,apa- por b)R €sol va equação i da,manÌ€ndo propri edades a obi as q!ereceriaa soluçã.o obtidada eipressão 4, paraos núnìeÍos sãoválldâs reaiç.42- l- r21 + :12+ -.1-127 !caftla perêo o - .b^,p,oD o.oor.€nosepefgu tava corlo um númeroreal 3. Eìì 197s,lúand€brot e5tudo! a equ.ção X, . : (X,.): Z, nà + quâ Z= a+ b,l :: l en= 1,2,1, . A l favés Lrm de pÍogr.m apoderia se orígínar de uma expressão rec!rsjvode côÌÌpltadof (Lrnì progrâm, Ênì ioop), zvârlo! Ê oquecontínharaízes números de negati- corìputadoÍ imprjm u na t," a os ponlôs X, r. aônsÌaÌouq!e,vosseestas ã,oeristíam.O maíscurio- para cadi vaordeZ,Lrmêfìqura€ra r mpÍessa nat€a.A mp i rndoso é que era possível operarcom esses ã5fl g!rasdescobrl que conti nh.mcopêsaproxrrnâdâ! 5 u oe úmeros "esquisitosimesmo que ão tí rnesmas liruto{ef.e nançal. ErcmP erÌÍaidone ovessem pois matematicamente sentido, hftp//blqeô.1Ì.5.om/s!aidabÍ/.ompE!o.hrmosproblemas davamcerto. . A.e*. tsn13/5/2007 Mak tarde,o matemáticoítalianoRaíaelBombe í (1526-1572) estudou o Você pode, ,:om os rec!Ísos maternáicos qu€ conhe.e ató nabalha de Cardano e veri,ficou que aqora,deeenvo pe o meno5Lr pou.o e5sâ ver nì seqúènciaao rea[úenteessesúmercsfuncionavaml nìe.e consdeÍdndoXN= 0, depo s,façâX = (Xr)r+ Z e ii5slÍì Sua representaÇão soíreuraríaçoes11o poo" .o." oo" o,--i ,o Ldo f " * deconerdo tempo, até queforamesctí- S rnp e5menteânote os resuÌados Ê observeâ seqúén.a en tos díoma deprodutopor fi , como, conÍãda. Ela dá origern ao conjunlo de 4and€brot e ês5e :poretemplo,.Frzr ttJ-r.lro sa- sobrea quã essê seráse! pr me ro contirtocoÍì a maternálicaculo XVIII, Euler inttoduz o símboloi teoÍla fo .onírLrída.paw represefitar raízquadrada a de IAssim,.F11í passaa sererpresso por11í. Finalmerlte,a represefitaçãogeo-métrícados úmeros compleros elaboMda pelo matemátíco, astrônomo efí- alemãoGauss siêo (1777-1855),nofnaldos^ulo XVIII, tomoumaissígnirtcaüfi seuestado ílplícabilídade. e NestecapítuloestudítreTos cô11s- atruçãodo conjül1to t4úmeros dos completos, defnindo suasoperações reeprese tações,
  3. 3. Entreos conjuntosnuméricosjá conhecidos tínhamos iniciâlmente conjuntodosnúmeros o naturais: = {0,r,2,3,...,n,_..} Paraque â subtraçãofosse semprêpossíver, erefoiestendido obtivemos e oconjunto dosnúmerosinteiros: Z : Í..., -n,..., 2, -1,0, 1,2,...,n,...t Paraquetambéma divisãoÍos5e possiver, estendemos úrtiooe obtivemosoconjuntodosnúmeros este racio- que podemserescritos formadefração,nais, na com numeradoredênominâdor inteiros: t Ìã Q: Jx= :,c o ma e Z , b € Z e b -O l Lol EmQ,aúnicâ divisão por0. = EmQ,a equaçãox, 2 nãopode resolvida, seja, soluções= 1â e x = _1ã nãopodem repre- ser ou as x sersentadasporumafraçáoa,comb+oeaebpenencentesaz.nãe-rãsãoexemplosdosnúmeroschamad bde iÍâcionais(íI4. Da uniãodosracionaiscom irracjonais os surgemos númerosrêais(R): IR:QUIIÍ podemos Portanto, identificarN comouma partedeZ,Z <omo umapaftede e, e e comouma pârtede lR e INCZCQCIR que, Sabemos sex € R,então > 0.Assim, equâçãox, j :0 náotemsolução R,pois: x, a + em x:+1=03xr=-t+x::tafìe náo exìsteum númerorearx que elevadoao quadradoÍesulte-r. por isso,temosde estender conjuntodos onúmeros reaisparàobter um novoconjuntochamado conjuntodos,1úm complexos, de eros o conjuntoc é um conjuntocujoseremêntos os númeroscomprexos devemsertaisque - - oossam sersomados multiplicados, tambémpossibilitem éxtraçâo raizquadrada um númeroneqatrvo. e e â da de Looicàmênte, os númêrosreaisprecisam erementos ser desseconjuntoo, e as operaçôes adìçãoe riurtipticaçioíeitas desobreos números reaisnô conjuntoo devemserâsmesmasjá conhecidas. Noteque,se issonãofosseobseívâdo,o (onjunto náoseria sub(onjunto O. lR um de Ao longo do tempo,os erementos conjuntoo, os númêroscomprexos, do foram deíinidos várias dê formas. porcau5s, exemplo, defìniuos complexoscomoÉàres oÍdenados números de redis. Hojeem dja,a notâçãopreferida paradefìn os elementoa conjuntocomplêxo a formaalgébrÌcâ. ir do éA formaalgébrica Todonúmerocomplexozpode serescrito maneìra de únicanaformâ: :Ìz!ãgbi (ae lR,b e tRe i, : -t)
  4. 4. atgébrica foma binomial escíever númêro Essa a farma é ou de um complexo. que Obseruemos um número ,complexoescrito formatêm dua5Pârtes: nêssa z= o +8J padê rcãl Como -1,é comum lz: dê, encontÍarq{Ìemdefina I i : J r. u"!t"riu. Re(z): a pÌEFrinrgs continunri é â unidadeimâginária, | que iz: -1 tâ Aexìstênciâ iéque permitequeno conjunto lDexistâ do raizdeíndicepardê númerosnegãtivos, defìnida nãonoconjuntolR. Í Porexemplo, È O e x1: -25, entãox: a5i,pois: 5ex - 2s : ú1) 25 : i?s1 (si)1 : 5e o númerocomplexo a (ou possui unidãdeimagináíia sejâ, b + 0) eleé chamâdo imaginário se de Devemosobservârtambémque,seb:0,temosz=a(númeroreal);esea:Oeb+0,temosz=bi,queéumnúmeroimâginário Puro.Ëxemplos:11Emz : 2 + 3ì.temosRe(, = 2 e ìm(z): 3.2e)Emz - 3.temosRe(z) 3 ê lm(z - 0 Ponanto, íeal ze3e)Emz = -2i, temosRe(z) 0 e lm(z): -2 Ponanto, é um númeÍoimaginário - z puÍo lJsando forma algébíca,as operaçóes adição, a de subtração multiplicaçáo ìntuitivasNá multìplicaçào, e sáoporêxemplo, mesma bastaaplicara propriedade usada multiplicaçáode distributivâ na porémobserva binômios, ndo queilé um número reale vãle-1, Nãohá necessidâdealguma decorarfórmulâs deÊxêmDlol: rr9 ( 2 + 3 0 + ( - 3 +4 0 :(2 -3 )t(3 +4 )i :-1 + 7Ì 6i2:2+ i- 61 l) = 2+ i+ 6- 8+ i2e()1+ 2 i ) ( 2 3 i )=1 .2 +1 (-3 D +(2 i )2 +( 2D( - 30:2- 3i+ 4i3 e ) (+ D r ( 3+ 2 D : (1- 3 )+ (l 2 )i = 2 1i: 2- i Ìl. rados númeÍos os z, : complexos l + 3le 2. Calc!e zr - z! dâdos números os exos = 2 + 3l comp zr - zz= -2+ i, calct-) e, a)zt + 22 Resoluçãor z-1:Q+3) ( I + 4I = t2 + 3D+ tl - 4i]= b)zh =(2+r)+i3 4Jì=3- Resoluçqo: a) z+2 ,:11,+30+ l-2+ )= 3. Determlne of rcâlde paÍâ o númerc o va x que complexo: = ( 1 - 2 1+(3+rli= 1+41 al z = [] - 2x) + 3 s€ja núrnero urn pufo magináÍio = : o)z [8- 2-3ìi 5êd.n ,reo nao b) zrz, [] + 3i)t-2 + l) náro pufo =l( - 2 ) +l i+3i[ 2]+3j = z = 6 - [3x 5) sejaurnnúrnerc fea]. cl = - 2 + i- 6i+ 3i:= 2 - si+ 3(-1)= = tl - xl + tx - 1l seja númerorc410. dlz o Resolução: c) 21- | + 3t)2= 2. 1 .3i + t3D? 11+ = = I + 6l+91z=+6i+S (-ll = 8+ 6 i I a)z=(1 2x)+3 pêra z selâ nú que !m mercmâglnáno ê neces puro üzt+ .tr = l +30+[ 2+D?= sáfoqle Re[z] = = 0, polslÍn[zJ 3 + 0 = ( l +3 D+{4-4 +?1 = Então: = 0+3 1 +14-4i+t r)l = = Re[z] I 2x=0=x=- I = 0 + 3) + (3- 4D= I + 3i+ 3 4=4 r
  5. 5. 6-Éi,=tr-tl-_l t=43=tt_l= i z=[] 2 x)+3=Ír-z.l l +3i= 2) i3=lara=ll l =[] tl+3=0+3=3i[nú rneÍofnag naft0 obsetue aspotências começarn rcp€trÍ que dei a se PUÍoJ depois ia.Demodo de geml, temos: É"=tl"=l = Looo., -1. -2 blz = i8 xl + i2x 3) I .t-ll = -l .i,.i= r.t_ll .i=_ Re[z]-0-8-.-0-À-8 0u seja: P€Éx=8,temos: rn[z)=[2.8-3)=1310 el t3-D3=i3 l(3-D= VefÍcando,pamx=8: - ! 2.3 ,atl-,-fg 6, , j. J z=[8 8]+[2.8-3) =0+]3 = t3i[núme =i8 6)t3 )=2a 8Ì-t8+6= fo maginádo purol =24 26i-6=18 26 Logo, = 8 x Íl (2 - 31, (3 l2i= c)z=6 i3x-5)i =2 _ 2.2.3i+ (3D 16 _2i1= - Para z seja é necessário rn(zl= !. que rcal que =4-12 +9, 6Ì+2,=4-t8i |: = lm(z) [3x- 5) =0+-3x+5 =0=x= I 3 5.Cac!eovaorde: VerÍicando. x = 1: oara 3 al iag bl rm í.ì Resolução: z=6 1 3.; 5 l =6 ts-str= €l N = r43. útr:. = i= .J =6 O!, de out|arnaneiÍa: 0 =6[númercrea) =t ry4i= ri= i .5 -3 = blrú=(1,150=( rlso l d)z=(l xl+ix rl OLr outmrnanerÍa: de tuÍèoLezser e .pcpsd, 0 oquFR"r,,r- 0et"1vl- 0 i ,!i = (r4)4.0= 0= r Então: .l Re[z]=0+l-x=0ìx=l cl 3 r5 i r6 rn[z]-0=x-t=0+x=l = i lli : I : -i Veriícando, x = l: para l.i n-í ri- , r -1. 0 0-0 Entã0,ternosl Logo, = L x 3r5_i ,6= 3(-l t: 3i l 3Ìr5 16 _t P orranto, = 3. 4. Eíelue opefaçôes as indicadas: alt6+5D+t3-40 blo-l t 3 -2 D J4= jL:i 49 4 cl tr + ltr tl noo dl Ìì. i,, i3,i!, i5,16. 3 -t e)t3-D3 Í) (2 3) - 13 i)2ì iroo:iô= t Ì00 4 [o 20 25 Resolu.ção: aJ t6+sil+(3 4ll=6+5 +3-4 = is:F= i rS l4 =(6+31 +[5 4]Ì=9+i _3 ï blir I t3-2D=1 i 3+2- =[] r?í:ir= t 74 [ 3l+(2 l)= 2+i 134 18 cJ ||Ì!||_ U=|-l + |1- . = 2 =t i,=1-[ ])=t+t=2 6.Resolvaâ eqlaçãox, 4x+ b = O. + o Resolução: r= I = ii= t-tli= 4+./5;r -4 ! i t , = t É 1 , = t_ rl ,=j 2 i5= 4 = I = [nìpossíve iR] ernI
  6. 6. b) z-i 36 = i a3 z- a3+ ì36ì Em podernos 0 ternos: resolvé Assm, l€, -zez+ ti -4!F.4 - + 1,+ z= 22 -- 2 -22= L000.2:--- ri =-2+ e 22 2 cllz=z-l+51 = :-2 Comoz:a+b,temos: -2 [a+bi]=a+bi l+5ì= Vedfcando, vemi [ -n = a t S=x+x=(-2+D+t 2-l= a = b+a=te ll + [ b + 5 ] i= l Í tê= o+ ! P=xx-l2+i)(-2 )-4+2i 21 (= = 4 - t-tl:5 Satisfazendoenuioxz-Sx+ P = 0,oLt s€ja, b=b+5 t=-2b=4=b=-2 x2+4x+5=0 a= 2+5=3 Logo,z=3 21.7. EncontÍe número o complexotâlque z al42=z (-9+60; 8- caclle o vaor de: = - blz i33 i13 z a)(l + ); b)0 +Dn; cltl + 1". cliz=z 1+5 Resolução: Resolução: â) (l + ilz- l?+ 2i+iz= 1+2i+l-1)=2i al 42=z ( -9+6Dã b) 0 +tt,o= t0+ ïÌ = t2il - =42 z=-[-9+6D+32=9 6â =210. tD:1024.i= 1024 cl 0 + Ì=tl +L]a.tr +D= Logo,z:3-2i. = 1024 (l+D= 1a24 1024 propostosExeÍdciosI tDados númeDs os comp"*o" : t + zi t, = -l + :l r, 6. Deteminevalofdex, para o núm€ro o rcâ, que complexo e/ - / 2,cac-e at(J -, - t sejaLì llrìeo nag à,ooJo. a) 21+ z 2 s)z:+ z, bl [xz 1] + seja número - um puro; magináfo . Ô ) z t- 22 cl x + (xz 4)iseja núÍn€ro - urn Íea; c),zt z, )a+11+z ) dlx + xìsela númeÍo o reâL0l .d) (z + z)23 ))2 , zr ql" 4, .r - í - ^r 5pjo 1uìero Jr inàgrnà- e ) l+ z) + 1 n )1 +zâ -z: í) x + lxz 7x + ]2liselâumnúmeÍo reali g) (l xD[x+ ]) seja número um rcal.2. Determinenúmero emcada o z casol a)32+4 -z 6z1 7, VefÍìque segu as igualdades: ntes b)32:z+ a)(2 3i)( 2+)= r+8i(3. Efetuel íl I Ì b li3 + li3 - )l- + -. l= 2 + l a)P It 1 ," Ò tu ) bl ,. o(ú ,) ( r - i ã ) = + h)165 5i,o t3lr - d )0 D" = 4 o i" i) tl 2D que cornpexos = I + e 2, = I 8. Ivlostrc osnúÍneros zr i D i6m r,ú sãoassouçÕes equsção 2z+ 2 = o. da I = 4.Sendoz 2 - 2i,calcue: 9. Encontre expfessão a geralda adção e mut plicâção a) z supondo €xosna foma aìgébÍìca, de númeÍos coÍìrp quezÌ= ar + bì ez2= a2+ h,. 5. Res olvo s s t e rn a a ]:- : - . = t+ 3 1^ . 1 5 4 -tz que. l0- PÍove sezé unìnúmeÍo então comp€xo, de varláveLs e 22. z, (1 + z)= 1+ 2z+ z
  7. 7. @ Conjugado um númerocomplexo de A propÍiedadedo inveÍso pode mukiplicativo serescrita seguinte da maneira: 10, existe único sez um núme- ro compiexo taique z, : 1, Comopodemosdeterminaro 1 número nalormâalgébrica? Pàra precisàmos isso, detiniÍ oque vema seroconjugàdode número um complexo. O conjugadode número um complexoz (a, = a + bié o númerocomplexo (a,_b) _ a - b) Z= bi.Exemplo5: i1q) z:2 + 3i,entâoZ:2 3ì. Se 5e)Sez: i,entãoZ- -i.2e)5e z = -3 4i, entáoZ : -3 + 4i. 6-) z: (2,3), 5e entãoZ= (2, 3).3e)Sez = 2,entãoZ= 2. 7e) z = (-1, -1) então : (-1, 1). 5e Z =4e)Sez 5i,entãoZ- 5i. 8e)Se = 0,entãoZ: 0. z 9. Deteminenúrnero e,o talque2z- I =Z+ . o cornp z r+[2a - ]) + 2bi= a + [-b + ]l Resolução: lgualando panesrcas irnagJìáfas, as e temos: Considercmosz=a+b. 2a 1=a=>a=1 2b:-b+l+3b-l3b= ErtÁa - 1= 7+ië2la +bil - I =[a bD+r.+ 2z è2a+2h 1=a b+ <rPropriedades conjugado dole)Sez=â+bi,então: 72 - à) b: (que Íeal, e posirivo nulo) ou l?= ã+ hi _ - Dados hipoteses ou ]: lz:a_ol Tese{zz-az+b, Demonstração: Efetuando produto zZ,temos: o zz = (â + bi)(a bi):a:- (bD,-a, - (-1)b,:a,+ b,2!)Para número o complexo z,temosque: z - ZÕz é númeroíeal Demonstrâção: Sez:a+bi,temos: z=Zêâ + bi = a - bi(>bi = -bi<.]b = 0<ìzéreal (om plexos,39iSezr e 22sãonumeros entào: 4i1 + Zr(o cortjugado somaé iguâlàsomadosconjugados) dâ -Zj Demonstração: , sezr = a + biez2- c + dì,lêmos: z, + z,: (a + br)+ (c + di): (a + c)+ (b+ d)i = (a+ c) (b+d)i= a +c _ bi di= (a bi)+ (c _ di)_4e)Sez1e z, sãonúmeroscomplexos, então: Zi1 =Z 1.Zr(o .onjugadode um produtoindicado igualao produtodosconjugados) é
  8. 8. .Gpítulo4 Númsor úmdexos 107 Demonstrãção: Sez,: u 16 e22=c+d,temos zr4: (ac bd) +(bc+ ad)iàzã:G. bd)-(bc+ad)i o Sabemos tambémque: 21- a-bi eZ2=. di z,z: = (a bi)(c- di) : (ac bd) - (bc + ad)i O Comparando e O, concluímos O quel lO. Dado + 0.delemìne nâfoÍma + bidek modo ll.Dadoz z a - I + 2i,encontreo nv€rso mutp calvode qle z. página - I (questão pfopostana €nterioD. íl zt-0uz L Resolução: B"st"n. prcaÍ ur"raoor oenoì e po inddor tor Resoluçãol )ea peo conj gaoooe z qJe è dlíeenLe 0. oois de ta + blta br) â: + b: tâb z z à- +b , a,+b: è,+b,G} Divisão números de complexos A o quociente entre números dois co compìexos, o,ea^a"o", jt, = -.r+ lfi Resoluçãol I 2. EscÍ€va forÍna + b o not"ro nâ a "oto ",,o ;| z, 1+ 2t (1+ 2i)(2 5) Resolução: z, 2+5 [2+5i][2 5L] l í3Ìrì il 3 3 i (3- i)[3+j] 9+r l0 l0 12i 12 1 2+5 29 29 29 13.Fl"lLe qle ,obenoo / 2te7 -? | xi. z12 l --- 29 29 4
  9. 9. /-:__ --;--- -- _--I lxeÍcrdos propostos Jt;---__-- z paÍaI r r. ueÌenn ne 15, Deteffnineinverco o muttiptcatÌvoz, sabendo de que < ajz = l+ s ii e)z = 5: a)z=2+4Ì c)z= 1 3) b)z = 2l llz=3+3i b)z= 1-2 Ê)z= 2+3 c)z: A: gjz= I {l d)z = -4 + 2il fiz - lt 2i. 16" Eíetue dÌvÌsões ês ndimclas í?. Calcule noscasos: t+3i z ^ -. I i t --a)z=3 4i cl z: -l 1+2i " r i rr D)z=7 bl_ ] 3s- ^zr =2 3i e z, = 315,6"t"rrn" 3+2 i ,F-i-t-ft_È:. ! 7, Escrcva lo[ì]az = a + bios núrnercs na cornpexos: b)zt + zz c) z,z, tt)zÌt + z, 3-2 e)7ì,e 11 2+l í) 7,zt 2+i i g)a + 12, ! 4. EncontfetalqueZ+ 2zi- I = 2. z ",=(+)" Representaão geométricados númeroscomplexos Conforme dito anteriormente, númeroscomplexos foi os po-dem ser representados váriasformâs, de Até agoravimosa formaalgébrica + bi, Outra maneira repÍesentar complexoz é ã de umâtÍàvés um parordenado números de de reais, Assih,sez: a + bi,podemos escrever quez = (a,b).(Gauss usava só essanotação.) Poroutrolâdo,sabemos a cadaparde números quê reais(a,b)estáassociado únicoponto do plano.Logo,podemos um associar âcada número complexoz: a + bio pontoP do plânode coordenadasa e b, istoé,P(a,b). O plâno cartesiano qual estáo representados números no oscomplexos denominado é planocomplexo planodeArgand-Gauss. ouDizemos o ponto P(a, que b)é o dÍlxodo númerocomplexo + bi. aExêmploiVamos geometrica íepresentàr menteos números complexos21=3 2|2,= 5,4= -2i,za-2 +i e zs: 2 +i.21= 3 2i)(3,2)zr:5=(5,0)4= 2i.3lo,2)za:2+ i,- (2,1)z5: -2+ i.+(-2,1)Observâçóes:1?)os números complexos peitencem eixox,mantendocorrespondência reais ao ô quarpara nú- segundoa cada meroreàlexiste pontoda Íeta, um2t) Osnumerosimaginários purospertencem eixoy. ao
  10. 10. Gpítulo4 Numèú q6 . onp 1093a) Osdemâisnumeroscomplexosla+bi,comâ+0eb+0)perterìaemâosváfiosquadíantes,dea(ordocomos sinâisdeaeb,4q) PaÍacâdanúmerocomplexo existeum únicoponto do planoe vÌce-veísa,5?) Podemos associãr cadacomplexoz : a + bi um únicovetor com â extremÌdades ponto o, origemdo sistema coordenâdâs no de carte sianâs, no e ponto P(a, b), Nesse plânocomplexo, alémdo númerocomplexo = a + bi, estão z representadosoutrosdois números complexos, e 22e a somade- z1 les, + z, (diagonaldoparalelograÍno zr formâdoporzl ezz). i69) Aassociaçãodos númeíoscomplexosz:a + bi aosvetorespermite o usodosnúmeros complexos d iversos em camposnos quaisa5grandezâs vetoriais, exemplo são Um dìsso o estudoda eletricidade nívelsupeÍìor; é em o alunoque optãrpor um cuÍsosuperior áreadeexatâs na que descobrirá corrente eléÍica,voltãgem, impedân- cia,etc.sãotodosnúmeros complexos, 14. Dados númercs os cornpexas= 4+2,2,= -3i a I6. Dados pontos os coÍespondentes númercs aos corn e4 = 4, ocalze, planocornpexo,pontos no os coÍes plexos ez. desculrÍa poftoscorÍespond€nÌes zr os âos poncenÌescaoa a nurì€ro. nLrmercs e -22, -z! Resolução: zr= 4 + 21,è(-4.2) z, = 3i= (0, 3l 23=43i4,01 Resolução: P[],llìzr = I +i+-zr : -l -i+ .ì P,[-r, -]) Qt 2.-l)=z?= 2 = z,=2+1)Q12 1) 15. Detefm os números ne corìrpexoscoffespondentes aospontosA. C, D € E naÍìguÍa B, abaxo I 7. I o d I e os porÌosoo pê o col espo ìde do. -L .pc rnercs cornpexos z = a + b, nosseg!1ntescasos âJa=s cla<0eb=0 bla>0eb<0 Resolução: aJ a=3 Resolução: A[3 0)=z=3 8 r c , 2 ) ) z =2 C12,1)=z=2+1 Dl 2, 1)=z=-2-i E[], ll=z=l- Pontosz a + b, coma= 3 eb qualquef. =
  11. 11. . contexto o(ões l,talemátka &Apt bla>oeb<o 18. Efetue algébrica georneÍicamente e a adçãodosnú- meros z, = complexos I +2ie22= 4+i. Resoluçào: A gebricamente, ternos: z1+2,=11 +2i)+ (4+ l:5 +3:23 Geornetr câmenle, veTn: qLr€ ObseÍve 23coffesponde ponto[5, 3], ou seja ao =5 ao númerocomplexoz3 + 3i. Pontosz=a+b,comâ>0€ Í. c) a<0eb=0 Pontosz a + bi,corn < 0 e b = 0. = a ì 8. Nummesmo planocornpexo,ocalize pontos os cor 21, Loca os pontos plano ize do coÍespondentes núme- aos respondenies segu aos nlesnúÍneroscomplexosl = rcscornpexosz a + bi,nossegutntes casos: z1= -3+3i 22=1+ 4it4=2itzÃ= -4 a)b=-2 ela>0 = zi= 2 - 3lt1= 3:27 4. bla= I eb>0 f)a>2eh>3 15- Escreva númercs os complexoscoffespondentes aos cJa=0eb>0 ooltosA. C.D.E e F do os o B. dla<3eb>-3 ?2- DeteÍnine possíve oÍesreaisde e b para os os s va a que pomoscoÍrespondentes números = a + tì estejaÍÌì aos z naregãocolo da.20- Dados pontos os correspondentes númeÍos aos corn pexos 22e 23,oescub|a pontos zj, 0s coÍespond€ntes ã0snuÍnercs coÍIpexos-zr -z"e .InterpÍetaçãogeométÌicado conjugado Geometricamente, conjugadot de z é representado o pelosimétricodezem relacão eixox. âo
  12. 12. (.pí!ulo4 Númeroi . omdsos fll proútoìíÏ,,eÍcícosE a"-t" t-." *,t os coÍnp€xos exo números da :tri. Dadaa foLrfa, ize nelâ os números oca complexos "" € dosabaixo seusíespectivos conjugados -z,Z e -2.Iì alz=l+3i b)z=-l-i c)z=3i dlz=3 e)z= 3 - 2l l)z=-5+4i Oz= -2 f lìlz= -5lã Módulode um número.complexo Geometricamente,módulo de um númerocomplexoé â distância o daorigemdo sìstema coordenadas ao afixo de O de z, Aplicandooteorema Pitágoras de notriânguloOAP,temos: lzl2 :d2 +b 1+A = tE ** Observemos essa ldade também ospontos quê igua vale paÍa situados eixos nosdemais nos e quadrantês. podemos Então que, dizeÍ dadoum número z = a + bi,chamase complexo módulo de por z e indica-se lzlonúmero realDositivonulodado ou oor: FIObseÌvação: LJmaconexáo com a Geometria interes5ãnte ânâlíticâ que, pensando é nos complexos e w como z é entreosdois pontos: - wL= d(4 w).pontosno plano,o móduloda diferença ô distância lz o módulo seguntes 19. Determlne dos númeÍos compexos: ,tl 22 a ) z=2 +3 el Sez = -3, então: z = 3 =3 c) z= - 1 2i Íl Sez = 0, então: Resolução: zl= 0 =0 alSez=2+3i,então: 20. Descubfa dstância ponto40, 2l ao ponlo a do z - 2 + s i l : ú +, = {i ã Bt5,-rl. b)Sêz= 3i,então: Resolução: z l : l 3 i l : i s =3 dtA, = J0 5) + (2+ D B) c) Sez = -1 - 2i,então: l z= l - t - 21 =rÇ 1 Y 1 1 4 =!i + 4 =!6 z= I +2i ew=5-i z w=-4+3 dìSez=l.então: -2 d[A,B]= z-w = 1-,, + :i| =.úo+s =s
  13. 13. 112 . ComexÌ0 ruaÌemátka &AplÌc!ôesPropriedades envolvendomódulo1a)Sezé umriúmero complexo, então: à: lzl Demonstraçãol Sdbemos que: zZ: (a+ bixâ bi) : a, + b, H: . , 6+b Logo: l,l : (J^, + b, ), : a2 b2= Ìz + Porranro,- zl,. zz i2:) Sezé um númerocomplêxo, então: 4 =l 2 l Demonstração: Dadoz-a-bi,temos: 2=a-bi ="6+d 1 la=16+(br:!ã+bt = Portanto,lzlzl.3c) Se21e22sãonúmeros complêxos, êntáo: z,z.l= )z,llz,l Demonstração: Usandoa primeira propriedade,temos: lzé,|z= (2.2,)(aÒ A Mas sabêmos que: zi1 : z 1z)w Então, substituindo emO vem: O lzhl : ztz,z = {zFt)(z)2,): lzl, z,l,: lzllz,lf F, Comoo móduloumnúmero é positivoou podemosextraira nulo, raizquadrada emambosos membros eche- gamosao quê queríamos demonstràrl : z,zJ lz,llz,l propostos Exercícios25. D€t€mne módulo cada dossegu o de uÍn ntesnúrne * ,,1 ôlz, + z, a)z=t+l b) zÍ, ,)+ e)z=3+4i b)z= -3 - 2 flz=3 d z=3 +a J, D z,l, dlz=í3 -J2i Dz= .1,- "1, gÍaÍcamente núrnercs 28. Localize os cornpexostalquei z a)lz = 426. DeteÍmine Ínódu de cadâurndosnúÍnercs o o com b l lz > a plexos: cJz é um maginário e zi > 4 puro al (3 ,3+4i dlzl<2 lt2 + 2il 2 +i eJz é uÍn maginário e zl < 3 puro bl - " ,. tr + r)(2 3D + que, 29. Prove sezl e 22sãodos números qua complexos s - ii t, b qLr€Í comz, + 0,enÌào l:! = !1.2 7 , s e ,= t z lzz lz
  14. 14. (apitulo4 NúmeÍoromdercj . 11 3LL Forma tÍisonollglflgggggl!Ínglgr colplglg! Sabemos um númerocomplexoz= a + bié representado um ponto do plano,de coordenãdâs b), que por (â,Essas ascoordenadas são cartesianâ ponto z, Veremos sdo agoraqueessemesmoponto podeserrepresentadopor polarcs,que sã)o:suascoordenodas por1?)o módulodovetord,indicado z ou p,representandoa distância pontoP à origem plâno do do (supondo lzl+ 0)i2e) oângulo0,emqueO<0<2r!,queovetordformacomoeixox.Esseângulo0échâmãdoo/gumentodez principal z)e indicado arg(z). íou arqumento de por t z:a +b i,z+ o 4 : p : . ,f, + * :0 aryQ) que: Jávimos Trigonometria em cos0= sen0: {como<0<zn) t4 fr Essas igualdades levama: .o 1 6 =- a 1z1,cos0 lz -6= se n e : ] = u:lzl.senrl tzl Substituindo valoÍes z - a + bi,temos: esses em z : a + bi = lzl.cos0+ lzl.sen :lzl(cos0+ i. s e n 0 ) 0i PortaÍìto: z=l:l(c o s 0 + ì . s e n 0 i que é chamada formdtf&onométrìco formapolot dez. ou?1, Determin€ geornétÍicaforma â representação ea tdgo - nornétÍim núrnero do complexo dado: a)z=1+l b)z=r+16 clz- I +i d)z = 2ì Resolução: a)z=l+l 0<0<2l
  15. 15. !14_ , (omeno Màtêmáti(a &Aptkô6et zi=1 r + i;= .,(- r1r r = + "ã a r. l5 _ c o s u = -= . . Ê = )z .12 2 t; 2,122 Assim, loma trigonornétrica é dada a dez por: 0 < 0 < 2 r! z= z[c060+r.sen0] cosl + . senaI = Jtl t 4 4) VeriÍcaçãoi L0Tn0 " r E ^, r"cos = E esen_=- Ìemos 42 42 ,( ..rE vãì 12 2) .,tÇ .lE . 15 tE 22 Logo,forma gonométré dada a tr ca pof: 22 z = lz (c o s 0 + i. s e n 0 l= 22 t-l =vltms 3,I 3,! ì +.sen-l 4 4) b)z=r+iÌã d)z = 2i b=v6 b=2 Enião: Entãol l^ z = l r + , J 3 :!r,+(J3 ) =,l t =z 2l= 2i = v0+2 =la =2 ç656= - a= 9= 6 z2 lz1 2 -b2 senb= =7=t -- _ 3 E 2 0<e<2,! 0<0<2ri Podanto,íoma t gonométrica â é dadapof: Logo,forrna a tÍgonométdca por: é dada z- ,/[cos o .* nor -rfc os ï ri .* . * j z = lz í c o0 + i. s e n ì = z í " o " 4 + i. . " n a ì s 6 ó 2 2) e lz = 3 a=-l a= 3 b=0I
  16. 16. (apÍlulo4 Númss.omplexor . 5 Então: Rêso|||ção: z= -3 =3 . I 1l 1tì aJz=rlcos-+rsen-l= 4 4) cos0=-:=_:=-l lz3 =0-âÍg(zl=n ^(J, lí zlì 26 ^b0_ zl 3 f 2 2 ) 2 2 0<0<2n = + t"lz "E to1o. ",E+ t"lí. z: Í o;z: Jãl cos] + r . sen]l = 610* . U = z 2) = n 6 . 0 + 6 . r = iJ ã Logo, fomatgonométfca dada a é por: z=3[cosrÌ+i.senÍ] Logoz : ir6. 22. tscrevana íomìa algébdca seguintes os núÍneros . í 7Í 7Í cJz = dlcos-:- + .s€n-- l= o o) - -( n rì ,r r 4 o l , = 6 Íco a +, .s ena s 2 I 4) 2) = e l- " o " 4 + i L 6 " - * 6ì/l= BIl I l 9,(;)] : -IJí + - t 7Í lÍ) ocjz=31 ms ^ +l sen I ^ Logo,z= +16 zr. o a/ íd;ú,ir;pnprõ;ì E;. ;;;";;;;Ínérrica earonnâ trsonomeÍ .-Í ,I êl zl cos + | .sen:- | 1tì I cados seguintes complexosi números o a) t- a l t3 + bls[cos0+ì.sen0] I t- I bl -i3 +i -3nYr c.J - cos + 1. sen- t- ut- | " dl4[cosr!+.sen,r] dr-n3-i I e; zlç65I1; ss.II | 3 l. LcÍea rè oÍnarqo oneÌ caos seguites ìJ ne os 4 4) compexos: I 33, Determin€valor aÍg[z]dosnúmeros o do cornplexos: I al6 I atz*zi t+iJ3 t- cl 8.J3+8 i o o "r. - ---;---; .l I e)2 2i J4.lJadoò osì-Ììeosco-npeos 1- V3iez -l: zI I i J o. êl coloqle-os foÍma na trigonornéÍicã; bJefelue produto e cooqueo na forrna o zrz, trlgono- ls ] 32- ta"ru," na formaaloeorica )ea- nleò nune os os c) constare lzjz,l= lzj z,l e que qle comole"os arcQÍ,) = arclzì + atglz,). I
  17. 17. 116 o . Maremát cônrexro&ApuodesMultiplicaçãode númeroscomplexosna forma trigonométrica Consideíemos núm€ros os complexosz,ez? dadosnaíormatÍ9onométrica: zÌ = lzÌ (cos0r + i . sen0r) z, = lz, (cos0, + i sên0r) =zrz? Ìzr(cosgr i.sen 0r)Ì2, + (cos0, i.sen 0,) : lzr z,ì(cos0r i.sen (]rxcos0, í. sen0,) + + + -= lz,llz?ll(cos cos0, - sen0, . sen0,)+ i(5en .cos0, + 5en 0, . 0] 0r.cos0,)l= lzjllzzllcos + 0,)+ i.sen ((]j+ 0z)l (01 Portànto: zrz, : lzj zrllcos(0r+ er) + i . sen(0r + 0r)l Í Assim, produto de dois númeroscomplexos o escritos íorma trigonométricâ o númerocomplexocujo na émódulo igualao é produto módulos dos dosfatores cujoargumento ìgualà e é soma argumentos dos dosfatores,Íeduzida le voka (0 < aryQÍ,) < 21Í). à -Í n ,rì Resolução: osdados probema Substt!ndo do naíórmua temos: Emzrz, houv€Lrma rotsçãopostivaa zr d€ um âÍìgulo z z ^ z z l c o sl igualaoânguo de 22.Or.rseja nessecaso,holrveLrma ^ " ì,." " " Í" ìl- 4 2) 14 2ll _ | Íoré(;ode j : èz,.C oroodrg-ìenrooer,ed e :bl-l cos3Í +r.sen 3r! ì| z. re.ebêu J n" oloÇ;ode :, o o od 10 z. e z- oêssà 2 4 4) a e a o, n-r.o oLo a l" "" Jd o rnool-lo a geoméidca Fazendo nteÍpretâÇão desseproberna. 424 zrz,ó 6 quecoÍrcspofdea 3aú 4122. 2ObsêÍv.ção:AÍórmulãda multiplicação dois números de complexos, segundoaqualbostomulíiplicar módulos ose somarseus éválidaparaum númeroqualguer orgumentos, finito d€ vãloÍes, noslevará potenciação nú lsso à demeÍoscomplexos.Divisão números de complexos Íormatrigonométrica na óadosos comp** u * r.j,Tü]ii., núme,os o" ilï,ì:";* r,, 2, - lz,l(cos + i sen o, o,) z1podemos obter o quociente , para z) 0, àsqim: z- - z , : l z ,) tcos - o,t+ i sen - 0,)l 10, {0r 4 llJ pode ÂdemonstÍâção relação serfeita de5sa queoproduto mostrando defl lcos(er er)+ i. sen(0i 0r)lporz, é iguôlâ 21.
  18. 18. Assim,oquocientè doisnúmeros de complexos formatrigonométrica, o segundo na com de nÚmerodiferênteO,éo númeÍocomplexocujo móduloé o quocientedosmódulos cujo arïmento é â diferen(a e dosargumentosdos númeíosordem reduzidà volta argl- doir na dàda, à ìÉ riÌJ l0 .J 24. Calcu o quocente e j| oara = 2lcosl: + L, sen:: le 7 - - z, 4 4l , - = g Í "o r l +.r" n Iì 2 2) Resolução: Substt!ndozr e z2nafómlla dada, ternos: ; - i l . " . ({;) ; ll -(ï 4 é o ârguto de côngruo ! at cue < fL a < 2,1t. pÍopostos Exercídos cornpexos i:;. Dados núrnefos os 36. DprFrr o rur pro oTDÊ.oz,.rabedooLp ine / 5,r 7=6t .ns-+.s€n 5,! ì te z- = l0lcosr: + . s€nrl l e 6 6) 9 s.l í Llr 1lrì ,.- = 2oJtÍ"o, + .s"n18./ w = 3l cos:- + . s€n1 L cacule w2, - zw, 18 4 4) zw wz Osnúm€ros obtidos àrgumentosque devem seus ter talPotenciação números de complexos Íormatrigonométrica na -a primeira fórmulade De Moivre* 2", é poÍ1"- z z -z. A poténcia n F N_, dada Assim, umnúmero se complexozestá escrito foÍma na trigonométrica ]zl(cos + i sen0),temos: z: 0z 2.2.....2- z|.|z|.... |zI.lcos(eF0-... 0 i i. s e n { 0 ru -. 1 . 0 )l- !o1.de dên íàroè. ^,^- ;i" " ;;;;,* (n0)+ i . sen(no)l (fórmulã De Ìúoivre)+ z" = lzl"Ìcos de Para 0,temos: n zo= lz,olcos e) - i sen{0.0r1 l{cotO I i senO)- l{1 -Oì- (0. - I Assìm,podemos de è dizerque a potência ordemn de um númerocomplexoescrito formatrigonométrica nao número complexo módulo igualâo cujo é módulodo númeroelevado e cujoârgumento i9uâlao an é argumen-to do númeromuhiplicadopoí n, reduzido primeira à volta(0 < arg(2") 2t[) <- (tooz francês. ebçta. aeuorvre I rs4), úãtêmárco
  19. 19. 1 18 . (onr..xto kãçõs t,taremár.a &Ap25. Dado n-rreo u -z(crls" o ,.".Iì,a"."- z= 1 = Jtí"o. Zt + ..unZtì 4 4) Resolução: Logo: NafoÍmâ tÍigonoÍnétrca, temosi zrc=0 ltu= , = frÍ*..l r *n lìl = L 4 . 4.)l :(4["*[, +)] ?).*"(, /- = ZlcosZ.ll+ .senz.1l= lvlasi 4 Í 4) ("ã1"- (,+) 70rl 35ír í1- 442 Logo. = l28lcos-: 27 + .s€n 1| 4 4) 35Ì colleòpordFo .ovolal Ías. ::: a Eroe NafoÍma gébrca, a 2 ;em - ,trì r !1- :31 tn - n , - z l . o , r t .5 6 n l - 2 l !l a . v2 l- / on Jl - a. zo r 3n r" I 4) ? ) 2 2 ) 2 12 = ntí+ 0u sea.i:1 é cónonro :: dê ,1í 22 7Ì tÍ Portânto: z- = --( cos 2õl +r.sen l= 4 4) z" = tr jl* il,, = 2Ícos . *" !lì 2 2) Nafoma a gébfca,te{ìosi, - - ) z! = (l ),0= 32to ti-tll = + =32,0 32i= 32i Laso.zl = 6a1, 64^lt . Logo, = -32i. zro26. Calcu a potênca e [] )ro. 27.Detemhe,a rnenof vaof de n Ê lN., pam o qual Rêsoluçáo: l2í3i+ 2J éreaepositivo. Uma maneirâsÍnultiplicâr D pofee mesmo, das é [] u$ndo dezíatores. Resolüção: Outmé des€nvolvera expressão [1 ]r0 usando b nônì de Newton. o o UmaterceiÍâ Passandoo núrnero = 2 + Z16i pama forma z trigo rnan€im escrevef núrnero é o comp/exo - l) nâfoÍ- [] nornétric€: rnatfgonométricausâfa fórmu de DeÍVlowe. e a As- . f ,- .,, lz= íz+ l2v3] = J4+ 12= 4 z=1-l ^a211 I b = -1 z42l EnÌão: 3 -|+0=1T60"ì L = !!1- = !1 1 l z = J t r l + t D =J2 ""n o =zl 4 2 ) lls€ndo íórmula DeN,4oivÍe, € de ternosl = 1 .1, z" = lzn[cos + i . senn0) = n0 cosu : F. E = cÍ"0"l1l+ ,.""ntlì s e nb ) a E - 3 3) o: z queznseja e pos Parâ feal tvo,devernostef ^ = g= 0<0<2n sen- =0 ç65!a ; 6 3
  20. 20. Como e N,Íaz€rnosl n - 67t r r6^ 3 -5 g n z i= 6 " " o " ! a = =cos2Í=l>0 t: Logo, menof den e N*é6. o valor - lir lj^ Nessecaso,Ìemos: (:n6i+ z)" = +,f"o" z" + .sen 2írl = 4 0e6[fea q = = !a posrtvol n = 3 =se n s€nn o ecos 33 -t <0 @---___., Verifique n = 4e n : s., para I pÌopostosIxercídos3?. DeteÍm ne 3r puru, os das que 39" Calcule valores potôncias f e f sabendo z?, "np a ) 2 ,= r [ 2= 21ç6s3a1,ssnal 3 3) 40. Usando cacule potêncas: a Íóffnula DeMovre, de as .,= 3[ a l0 -D3 bt t3 - 305 t,, = .( cl + ii2 ií2l d lll t"=l í31 e) (r + J3iJ JB De.e rrreo p-od /,4 e dèa s! r êrpreBção ilo apo Ínetr noscasos: ca, 0 lv3 + J | . . alz, = 2l cos++ sen;le -( 2 2 ) J h)( 3l z,=sl co "1+.s en* ì - z z) l Ï Sabendo - qlreI = 2(cos + . serì 30 30l e z, = 3(cos150+ sen150"J, ne delefiì] b)3frl3Í os - + - z =c sen- e 2n 2n zr =co s e +L senRadiciação Íaízes - de complexos enésimas números Dadoum númeÍocomplexo e um númeÍonaturaln, n > 1,defìnimos C: z em de rotal:Qrlè = z. l Raizênesima zé úrnnúinerocomptexo ónExêmplos:1e) 2, 2,2ie -2i sáoasraízes quartas númerocomplexo16 do 2, Pois = 16 2a 2,Pois (-2)a=,16 2i,pois(2ì)a: 16 -2i, poisl-2i)a : 16 Há,portanto, O,quatroraízes em quartasde1629) i e -i sãoasraizes quôdrâdas númêrocomplexo-1. do i, poisi]: -1 -1, pois = (-Ì)? 1 Há,portânto,em duâsËízesquadrâdas O, de ì.
  21. 21. 39) 3 e -3 sãoasraízesquadradas númerocomplexo do 9, 3, pois3z 9: -3, pois( 3), = 9 Há,portanto, O, duasraízes em quadradas 9. de4e) 1, 1,i e -i sãoas raízesquartas númeÍocomplexol. do 1,pois1": 1 -1, pois ì)4: 1 ( i, poisia: 1 -i, pois( i)a: 1 Há,portanto, O,quatroraízes em quârtas 1. de5e) A única raizquintâ Oé 0,poh Oéo único de númeÍocomplexotalque 0. 05: f A pergunta entáoé:Quàntas as raízes são enésimas um númerocomplexoz+ 0 e comopodemos de determi_ná-las?Veremos com a segundo i5so fórmula Delúoivre, deA segunda fórmula De Moivre de consideremosonúmerocomplexoz+otalquez=lzl(cose+i.sen0).Encontrarâsraízesenésimasdezsignifica determinãÍtodos números os complexos distintos tipol do lol(cos + i. sen(r) o: dde modo que o" = z paran > 1,ou seja, procurarnúmeros tàl que: o lo (coso+ i. senc)1" lzl(cos0 i. sen0) = + AplicandopíimeÍraíórmulâ DeMoivre,temosl a de o n(cosna ì. senno.) ]zl(cos0 i. sen0) + : + Daigualdade: on : Io[(cosnd + i. sennd) = z : lzl(cos(] i. sene) + n:vem o lzl, nd = cos0 e senn&: sen0. cos Dêiof = z,temosl(ül=!4tl (sempre posirivo). reâte = DecosnC[ cosB e senna = sen0,temosl o +?kr e=o+zkr+a= (comk e z) Mas,paraque 0 < a < 27r, necessário O< k < n - 1. é que Assim, concluímos que: 0+2k,r or = Vlzll cos.:::-:- + i.sen e+2kn (s e g u n d a f ó rmu la d e De Mo iv re )p a ra k = 0 , 1 , 2 , . . . , ( n _ t ) - - l r( ) - nn Apósk:n-l,osvalorescomeçamàserêpetir,Então,de0an-l,temosnraízesdistintas. Obseruemosqueessafórmulatambémpode serescírâasstml -ï,l l .o,Í-9 k . 2 * . ì , i. * " 1 - 0 , k . - 2 Íì ì - | n rn n )) qualquernúmerocomplexoz, não-nulo, Assim, âdmiten raLesenésimas dis_tintas.Todasêlastêm módulo iguai a ifif e seusargumentos formamuma pro- aritméticâ primeiroter.o 9 e razão4.gressão de Geometrica mente, n Íaízes as sãovértices um polígonoregulârden lados. de Logo,sâbendouma delase sabendoquantassãono total,é Éossível obter àsn I raÍzes desconl_ìecidas.

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